TEORIA DEL CALCESTRUZZO ARMATO

Il calcestruzzo possiede una discreta resistenza a compressione e una bassa resistenza a trazione (circa un decimo di quella a compressione). Inserendo delle barre di acciaio nelle zone sottoposte a trazione si ottiene un materiale che resiste a flessione: il calcestruzzo armato. L’unione dei due materiali, è resa possibile dal fatto che il cemento aderisce perfettamente all’acciaio, costringendo quest’ultimo a deformarsi allo stesso modo del calcestruzzo, pur avendo, l’acciaio, un modulo di elasticità molto maggiore. Inoltre, poiché i due materiali hanno un coefficiente di dilatazione termica praticamente uguale non nascono tensioni aggiuntive per effetto della temperatura. Il calcestruzzo armato è un materiale non omogeneo essendo composto da due materiali diversi. Per studiarne il comportamento è necessario renderlo omogeneo. Per fare questo si deve “trasformare” l’acciaio in calcestruzzo equivalente, sfruttando il fatto che le deformazioni di questi due materiali sono uguali tra loro :

Dalla legge di Hooke : = E

Si può dunque scrivere :

Dove n è il coefficiente di omogeneizzazione, rapporto tra i due moduli di elasticità, ed è uguale circa a 6-7, ma si assume pari a 15 per tenere conto delle deformazioni di lunga durata.

c : deformazione nel calcestruzzo. s : deformazione nell’acciaio. c : tensione nel calcestruzzo. s : tensione

nell’acciaio. Ec : modulo di elasticità nel calcestruzzo. Es : modulo di elasticità nell’acciaio

Laboratorio tecnologico per l’edilizia ed esercitazioni di topografia

PROGETTAZIONE COSTRUZIONI E IMPIANTI

Prof. Stefano Pierri - Anno Scolastico 2013-2014

s

s

c

c

EE

sc

cc

c

ss n

E

E

La sezione resistente del pilastro è formata dall’area del calcestruzzo e dall’area delle barre

longitudinali. Riteniamo quindi che ciascuna area possa sopportare rispettivamente il carico

In una sezione semplicemente compressa si può dunque scrivere la seguente relazione di equilibrio:

D.M. 9 gennaio 1996

L’area di acciaio minima As, in funzione dell’area minima di calcestruzzo è :

L’area di calcestruzzo strettamente necessaria Ac,min, per assorbire lo sforzo normale N :

dove la tensione ammissibile del calcestruzzo vale:

Per elementi soggetti a SFORZO NORMALE CENTRATO la tensione ammissibile del

calcestruzzo [N/mm2] si valuta con la seguente relazione (Rck in N/mm2)

se lo spessore s [dimensione trasversale minima] ≥ 25 cm:

sscc AAN

scid nAAA

idc AN

sss AN ccc AN

min,008,0 cs AA

c

c

NA

min,

4

1567,0 ckc

R

Per elementi soggetti a SFORZO NORMALE CENTRATO la tensione ammissibile del

calcestruzzo [N/mm2] si valuta con la seguente relazione (Rck in N/mm2)

se lo spessore s [dimensione trasversale minima] < 25 cm:

Inoltre deve essere verificato che :

Altre prescrizioni normative prevedevano un utilizzo di barre aventi un > 12 mm e un numero

minimo di barre pari a 4.

Prescrizioni normative relative alle staffe

• Le staffe devono avere diametro ≥ ¼ massimo diametro longitudinale e comunque almeno di 6 mm

• Il passo delle staffe deve essere p ≥ 15 volte il diametro dei ferri longitudinali e comunque ≤ 25 cm.

effcseffc AAA ,, 06,0003,0

4

156*2503,017,0 ckc

Rs

PROGETTO SEZIONE IN C.A. SOGGETTA A COMPRESSIONE

D.M. 9 gennaio 1996 - tensioni ammissibili

ESERCIZIO 1

Calcolare l’armatura longitudinale minima di un pilastro in c.a. di dimensioni 40x40 cm, caricato in compressione semplice da uno sforzo normale N=1000 kN, utilizzando un calcestruzzo C 20/25. Rck sarà dunque 25 MPa = 25N/mm2

La tensione ammissibile del cls è = 5,95 N/mm2

L’area minima dell’armatura necessaria a soddisfare i requisiti di resistenza si ricava dalla seguente

relazione in cui si eguaglia c a c

(con c = 595 N/cm2 e Ac = 1600cm)

Il valore ottenuto tuttavia deve soddisfare i requisiti minimi della normativa.

≥ 13,448 cm2 valore compreso anche tra lo 0,3% e il 6% di Ac

Essendo = 1681 cm2

4

1567,0 ckc

R

idc AN id

cA

N

sc

cnAA

N

c

sc

NnAA

c

sc

NnAA

c

c

s AN

nA

1

5,38 cm2

min,008,0 cs AA

c

c

NA

min,

A questo punto cerchiamo un valore di As superiore a 13,45 cm2 nella seguente tabella per un

numero di tondini pari. Risulta conveniente scegliere 8 tondini che ben si dispongono in una sezione

quadrata:

Si disporranno pertanto 816 che corrispondono ad un’area di 16,08 cm2.

ESERCIZIO 2

Progettare la sezione di un pilastro soggetto ad uno sforzo normale N = 1000 kN. Calcolare Si

assume una percentuale di armatura pari a =1%=0,01. Si utilizzi un calcestruzzo C20/25. Rck sarà dunque 25 MPa = 25N/mm2

SEZIONE QUADRATA

La tensione ammissibile del cls per sezioni soggette a sforzo normale centrato è :

= 5,95 N/mm2

Utilizzando la relazione che fornisce la tensione nel calcestruzzo nel caso di elementi compressi :

e sostituendo in essa il rapporto

Avremo la seguente :

Dalla relazione inversa si ricava l’area di calcestruzzo Ac; avendo ipotizzato una sezione quadrata

avrà come area un valore pari ad L2.

= 1461 cm2

Lo spigolo del pilastro è pari a = 38,2 cm ≈ 40 cm

4

1567,0 ckc

R

sc

cnAA

N

c

s

A

A cs AA

cc

cAnA

N

nA

N

c

c

1

nN

LAc

c

1

2

cAL

Avremo dunque Ac = 1600 cm2 . Invece l’area minima di armatura si ricava dalla relazione :

= 15,20 cm2

A questo punto cerchiamo un valore di As superiore a 15,21 cm2 nella seguente tabella per un

numero di tondini pari. Risulta conveniente scegliere 8 tondini che ben si dispongono in una sezione

quadrata:

Si disporranno pertanto 816 che corrispondono ad un’area di 16,08 cm2 o in alternativa 422

corrispondono ad un’area di 15,21 cm2 (come in figura)

cs AA min,

VERIFICA SEZIONE IN C.A. SOGGETTA A COMPRESSIONE

D.M. 9 gennaio 1996 - tensioni ammissibili

ESERCIZIO

Verificare la sezione di un pilastro in c.a. di dimensioni 40x40 soggetto ad uno sforzo normale

N = 1000 kN. L’armatura è costituita da 8 barre di diametro 16. Si utilizzi un calcestruzzo C20/25. Rck sarà dunque 25 MPa = 25 N/mm

2. L’acciao utilizzato è acciaio B450C con fyk= 450 N/mm2.

L’area del calcestruzzo è : Ac = 1600 cm2

L’area dell’acciao è : As = 16,08 cm2

Utilizzando la relazione che fornisce la tensione nel calcestruzzo nel caso di elementi compressi :

= 5,44 N/mm2

Questa tensione va confrontata con la tensione ammissibile e deve risultare inferiore ad essa

affinchè la verifica possa ritenersi soddisfatta.

La tensione ammissibile del cls per sezioni soggette a sforzo normale centrato è :

= 5,95 N/mm2

LA VERIFICA E’ SODDISFATTA essendo c < c

La verifica delle armatura è superflua. Infatti tale verifica richiede che :

= 90N/mm2

Una tensione molto inferiore alla tensione di lavoro dell’acciaio B450C (ex FeB44K che aveva una

tensione ammissibile pari circa a 255 N/mm2).

sc

cnAA

N

4

1567,0 ckc

R

s

id

csA

Nnn

VERIFICA SEZIONE IN C.A. SOGGETTA A COMPRESSIONE

D.M. 14 gennaio 2008 – Stati Limite

La rottura del pilastro soggetto a compressione avviene per crisi del calcestruzzo ossia con

εc = 0,0035, mentre il ferro è certamente in campo plastico, ossia con εs > 0,000182.

La verifica è soddisfatta se:

Non si terrà in considerazione in questa fase, del fenomeno di instabilità a carico di punta.

ESERCIZIO

Verificare un pilastro in c.a. di sezione quadrata 40x40 soggetto ad uno sforzo normale Ne = 1000 kN. Il calcestruzzo utilizzato è C20/25. E’ armato con 416 (acciaio B450C) con fyk pari a 450 N/mm2.

E’ immediato il calcolo dell’area dei due materiali, pari rispettivamente a : Ac = 1600 cm

2 e As = 8,04cm2

Lo sforzo normale ultimo è pari a :

La tensione caratteristica di snervamento dell’acciaio B450C è :

La tensione di progetto fyd dell’Acciaio B450C :

= 391,3 N/mm2

re NN

sydccdr AfAfN

2450

mm

Nf yk

15,1

yk

ms

yk

yd

fff

La resistenza di calcolo a compressione del calcestruzzo è pari a (con cc coefficiente riduttivo di

lunga durata e con c coefficiente di sicurezza):

= 11,74 N/mm2

Lo sforzo normale ultimo è dunque pari a Nr = 2193000 = 2193 kN

Poiché risulta : la verifica è soddisfatta.

13,25,185,0 ckck

c

ckcccd

RRRf

re NN

PROGETTO SEZIONE IN C.A. SOGGETTA A COMPRESSIONE

D.M. 14 gennaio 2008 – Stati Limite

ESERCIZIO

Si progetti la sezione rettangolare di un pilastro in c.a. soggetto a sforzo normale di compressione

pari ad Ne = 1500 kN. Il calcestruzzo utilizzato è C20/25. Si utilizza l’acciaio B450C con fyk pari a 450 N/mm2.

Calcoliamo le tensioni convenzionali dei materiali:

La tensione di progetto fyd dell’Acciaio B450C :

= 391,3 N/mm2

La resistenza di calcolo a compressione del calcestruzzo è pari a (con cc coefficiente riduttivo di

lunga durata e con c coefficiente di sicurezza):

= 11,74 N/mm2

Per l’equilibrio si può scrivere:

Si fissa un rapporto di armatura pari all’1% perché abbiamo due incognite nella relazione

precedente.

= 0,01

15,1

yk

ms

yk

yd

fff

13,25,185,0 ckck

c

ckcccd

RRRf

sydccde AfAfN

c

s

A

A

cs AA

= 958 cm2

Si fissa una delle due dimensioni della sezione, per esempio la base B = 30 cm. L’altezza sarà

ricavata dalla relazione inversa : Ac / B = H = 31,9 cm ≈ 35 cm.

L’area dell’armatura, avendo fissato = 0,01 sarà : As = 0,01 (B x H) = 10,5 cm2

A questo punto cerchiamo un valore di As superiore a 10,5 cm2 nella seguente tabella :

Si disporranno pertanto 814 che corrispondono ad un’area di 12,32 cm2 o in alternativa 420

corrispondono ad un’area di 12,57 cm2

ydcd

ec

ff

NA

cydccde AfAfN

ydcdce ffAN