PRODUTO ESCALAR

Carmem Lúcia Geometria Analítica IFPR

PRODUTO ESCALAR ( produto interno)

Definição: O produto escalar ou interno entre os vetores

u e

v representado

u .

v é

o número real dado pelo produto |

u ||

v |cos

u

v .

O ângulo formado pelos segmentos orientados AO e OB imagens aplicados no ponto

O e que varia de 0 a .

Conseqüências da definição

Quando o produto escalar dá zero!

u .

v =0

Se

u ou

v for nulo ou se

u e

v forem ortogonais pois o ângulo é de 90º e

cos90º=0

Como fica a produto escalar entre o vetor e ele mesmo?

u .

u =|

u ||

u | cos0º

u .

u =|

u |2.1 onde podemos definir o módulo de um vetor:

uuu .||

Projeção de um vetor sobre outro vetor:

u .

v =|

u ||

v | cos

u

v dividindo ambos os membros por |

u | temos:

vu

u

vu

u

vucos

||

||||

||

. Considerando o ângulo entre os vetores e façamos das

devidas simplificações temos:


cos||

||

.

v

u

vu Considerando o triângulo ACM o segmento AM =|

v |cos

sendo a medida da projeção do vetor

v sobre o vetor

u então:

AM = med

v

u

uvpro j

u

.

||

mas se multiplicar essa medida pelo versor do

vetor

u consegue obter o vetor

AM . Logo:

O vetor projeção de

v sobre

u é dado por:

||

.

||

.

u

u

u

vuvproj

u

Propriedades:

P1 O produto escalar é comutativo, isto é,

u .

v =

v .

u

Demonstração:

Pela definição:

u .

v =|

u ||

v | cos

u

v

v .

u =|

v ||

u | cos

v

u

Como o ângulo entre os vetores varia de 0º e 180º então o cos

u

v = cos

v

u

Então

u .

v =

v .

u

P2 O produto escalar é associativo em relação ao produto por um número real.

m(

u .

v ) = (m

u ).

v =

u .(m

v )

Demonstração:

Se m = 0 ou os vetores são nulos a propriedade é válida.

Se m 0 pelo definição:

m(

u .

v ) = m.|

u |.|

v | cos

u

v

(m

u ).

v =|m

u |.|

v |cos(m

u )

v = |m|.|

u |.|

v | cos(m

u )

v


u .(m

v ) =|

u |.|m

v |cos

u (m

v ) = |m|.|

u |.|

v | cos

u (m

v )

Então basta verificar a igualdade entre m.cos

u

v =|m|cos(m

u )

v = |m|cos

u (m

v ) (1)

Para m >0

cos

u

v = cos(m

u )

v = cos

u (m

v ) e as igualdades (1) são verdadeiras, portanto a

propriedade é verificada , confira também no gráfico abaixo:

Para m < 0

cos

u

v = - cos(m

u )

v e cos

u

v = - cos

u (m

v )

Observe no gráfico abaixo:

P3 O produto escalar é distributivo em relação a soma de vetores:

u .(

v +

w ) =

u .

v +

u .

w

Demonstração


Usando a teoria de projeção de vetores temos:

)(||)(

||

||).(

||

||).(

wvmedprojuwv

u

uuwvu

u

uwvu

u

(1)

Pelo teorema de Carnot

vmedprojwvmedprojuu

)( +

wmedproju

Substituindo em (1) temos:

).

||

.

||

(||).(

w

u

uv

u

uuwvu =

u .

v +

u .

w c.q.d.

Produto escalar de vetores dados por sua expressão cartesiana

Usamos os vetores na forma cartesiana para demonstrar e aplicando a propriedade

distributiva temos

Sejam

kzjyixu111

e

kzjyixv222

u .

v = )(

kzjyix111

. )(

kzjyix222

=

kizxjiyxiixx ...212121

+

kjzyjjyyijxy ...212121

+

+

kkzzjkyzikxz ...212121

Como

i ,

j e

k são ortogonais então:

i .

i =

j .

j =

k .

k = 1 e


i .

j =

j .

i = 0 ;

i .

k =

k .

i = 0 ;

j .

k =

k .

j = 0 e o produto fica:

u .

v = 22121

zzyyxx

Aplicações do Produto Escalar

Distância entre dois pontos:

Sejam A=(x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2) a distância entre os pontos A e B é igual AL

módulo do vetor

AB ou distAB = |

AB | = 2

12

2

12

2

12)()()( zzyyxx .

Cossenos Diretores:

Cossenos diretores de um vetor (não nulo) em dado sistema cartesiano, são os

cossenos dos ângulos que o vetor forma com os eixos ordenados.

Considerando o vetor

kzjyixv e , e os ângulos que o mesmo com

os eixos ox , ou e oz e com

i ,

j e

k os vetores diretores dos eixos coordenados então:

||.

),,).(,,(

||.||

.cos

v

x

zyx

x

zyx

zyx

vi

vi2222221

001 de modo análogo


||

cos

v

y e

||

cos

v

z

Propriedade:

A soma dos quadrados dos cossenos diretores de um vetor é igual a unidade.

1222 coscoscos

Demonstração a cargo do aluno.

Obs.: os cossenos diretores de um vetor são as coordenadas do versor deste vetor.

Exercícios resolvidos:

1) Os vetores

a e

b são perpendiculares, o vetor

c forma com dois deles

ângulos iguais a 60º, sabendo-se que 3

|| a , 5|b e 8

|| c . Calcule

2

cba .

Solução

)...(||||||

cbcabacbacba 2222

2

090

ºcos||||. baba

1260

ºcos||||. caca

2060

ºcos||||. cbcb


2

cba = 9 + 25 + 64 + 2( 0 + 12 + 20) = 162

2) Prove o teorema de Pitágoras.

Hipótese

b é perpendicular a

c

Tese |

a |2= |

b |2+|

c |2

)).((.

cbcbaa

222 ||.||||

ccbba como

b e

c são perpendiculares

b .

c =0 logo

222 ||||||

cba c.q.d.

3) Determinar um vetor unitário

u ortogonal aos vetores

a =(1,1,0) e

b =(0,1,1)

Solução sendo

u = (x,y,z) e

u .

a = 0 (x,y,z).(1,1,0) = 0

u .

b = 0 (x,y,z). (0,1,1) = 0

|

u |2 = 12 x2 + y2 + z2 = 1

Resolvendo o sistema tem-se ),,( 1113

3

u


Exercícios:

01) Os vetores

a e

b formam um ângulo de 2/3, sabendo-se que |

a |=3 ; e |

b |=4

calcule:

a)

a .

b

b) (

a +

b )2

c) (3

a -2

b ).(

a + 2

b )

d) (

a -

b )2

e) (3

a +2

b )2

02) Dados os vetores unitários

a ,

b e

c satisfazendo a condição

a +

b +

c =0

calcular

a .

b +

a .

c +

b .

c

Resp.: -3/2

03) Os vetores

a ,

b e

c formam dois a dois ângulos de 60º. Determinar o módulo

do vetor

p , sabendo-se que

p =

a +

b +

c e |

a |=4; |

b |=2; |

c |=6 .

Resp.:10

04) Dado |

a |=3 e |

b |=5, determinar o valor de x para o qual os vetores

a +x

b e

a -x

b são perpendiculares.

Resp.: 3/5

05) Demonstrar que o vetor

p =(

a .

c )

b -(

a .

b )

c é perpendicular ao vetor

a .

06) Demonstrar que o vetor 2||

).(

a

baabp é perpendicular ao vetor

a .


07) Os vetores

a e

b formam um ângulo = /6 ; calcular o ângulo dos vetores

p

e

q , sabendo-se que

p =

a +

b e

q =

a -

b e |

a |= 3 e |

b |=1.

Resp.: cos=2

7

08) Calcular o ângulo obtuso formado pela medianas traçadas dos vértices dos

ângulos agudos de um triângulo retângulo isósceles.

Resp.: cos =-4/5

09) Provar que em um triângulo qualquer o quadrado de um lado é igual à soma dos

quadrados dos outros, subtraído do duplo produto destes lados pelo cosseno do

ângulo formado por eles.

10) Demonstrar que a mediana relativa à base de um triângulo isósceles é

perpendiculara `a base.

11) Provar que todo ângulo inscrito em um semi-círculo é reto.

12) Provar que as diagonais de um losango são perpendiculares.

13) Provar que a soma dos quadrados das diagonais de um paralelogramo é igual à

soma dos quadrados de seus quatro lados.

14) Provar que num triângulo retângulo a medida de cada cateto é média proporcional

entre as medidas da hipotenusa e da projeção desse cateto sobre a mesma.

dica(b am2 )

15) Provar que num triângulo retângulo a altura relativa à hipotenusa é média

proporcional entre os segmentos que ela determina sobre a hipotenusa.

dica (h mn2 )

16) Dados os vetores

a = (4,-2,4) ;

b =(6,-3,0) calcular:

a)

a .

b

b) (

a +

b )2

c) (3

a -2

b ).(

a + 2

b )


d) (

a -

b )2

e) (3

a +2

b )2

17) Dados os pontos A(-1,3,7) ; B(2,-1,0) ; C(0,1,-5) calcular:

a) |

AB |

b) |

AC |

c) (2

AB -

CB ).(2

BC +

BA )

18) Dados os vértices A(1,-2,2) : B(1,4,0) : C(-4,1,1) ; D(-5,-5,3) de um quadrilátero,

demonstrar que as suas diagonais são perpendiculares.

19) Determinar para que valores de x os vetores

a =(x,-3,2)

b =(1,2,-x) são

perpendiculares. resp. -6

20) Dado um triângulo de vértices A(-1,-2,4) ; B(-4,-2,0) C(3,-2,1) determinar o ângulo

interno do vértice A.

21) Dado um triângulo de vértices A(3,2,-3) ; B(5,1,-1) C(1,-2,1) determinar o ângulo

externo relativo ao vértice A.

22) Determinar as coordenadas do vetor

v paralelo ao vetor

u =(2,1,-1) sabendo-

se que

v .

u =3 Resp.: (1,1/2-1/2)

23) Determinar as coordenadas do vetor

v , sabendo-se que

v é ortogonal aos

vetores

a = (2,3,-1) e

b =(1,-2,3) e que satisfaz à condição

v .(2i-j+k)=6.

Resp.: (3,-3,-3)

24) O vetor

v é ortogonal aos vetores

a (1,2,0) e

b (1,4,3) e forma um ângulo obtuso

com o versor

j do eixo Oy, calcular as coordenadas de

v se |

v |=14.

Resp.: v(12,-6,4)



a =(3,-1,5)

b (1,2,-3, determinar as coordenadas do vetor

v

ortogonal ao eixo Oz e que satisfaz às condições:

v .

a = 9 e

v .

b = - 4 .

Resp.:v(2,-3,0)


a =(2,-1,3);

b =(1,-3,2) e

c =(3,2,-4). Achar um vetor

x tal que

x .

a =-5 ;

x .

b = -11 e

x .

c =20.

Resp.: (2,3,-2)

27) Dados

u (2,1,-3) e

v =(1,2,1), toma-se

w =

u +

v . Determinar para que

w

e u sejam ortogonais. Interpretar o problema geometricamente.

28) Dados

u (1,2,1) e

v =(2,6,-1), determinar os vetores

x e

y tais que

u =

x +

y

sendo

x paralelo a

v e y perpendicular a

v .

Resp.: x(26/41,78/41,-13/41) y(15/41,4/41/54/41)

29) Determinar os cossenos diretores de um vetor se e são respectivamente 60º e

30º . Resp.: (1

2

3

20, , )

30) Determinar os cossenos diretores de um vetor se =45º e =60º e é agudo.

Resp( 22

12

12

, , )

31) Encontrar os cossenos diretores do vetor

v (5,-1,2). Resp.: (30

6

30

30

30

15, , )

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