UNIVERSIDAD SIMON BOLIVARDEPARTAMENTO DE MATEMATICASPURAS Y APLICADASMA2112Abr-Jul 2005

Problemario. Parte II

Derivadas parciales iteradas. Teorema de la fun-cion implıcita de una variable. Teorema de lafuncion implıcita y superficies.

1. Calcule las segundas derivadas parciales ∂2

∂x2 , ∂2

∂y∂x ,∂2

∂x∂y y ∂2

∂y2 . Determine los casos en que ∂2

∂x2 = ∂2

∂y2 .

a) f(x, y) = 2xy(x2+y2)2 ; (x, y) 6= (0, 0).

b) f(x, y, z) = e−2z + 1x + xe2y; x 6= 0.

c) f(u, v) = uvu−2v ; (2, 3), (−1, 4), (0, 1) (resp:

Dom(f) = {(u, v) : u 6= 2v}; − 32 , 4

9 , 0).

d) f(u, v) = cos(uv2).

e) f(x, y, z) = e−xz2+ y3x4.

f) f(x, y) = 1cos2(x)+e−2y .

g) f(x, y) = sen (y2 − 3xy).

h) f(x, y) = x2y3e−4xy.

i) f(x, y) = 2x2+7x2y3xy ; (x, y) 6= (0, 0).

2. Dada z = f(x, y) una funcion de clase C2 sobre elplano y sea x = u + v, y = u− v. Muestre que

∂2z

∂u∂v=

∂2z

∂x2− ∂2z

∂y2.

3. Sea

f (x, y) =

x(y−1)(x2−(y−1)2)x2+(y−1)2 , si (x, y) 6= (0, 1)

0, si (x, y) = (0, 1)

a) Si (x, y) 6= (0, 1), calcule ∂f∂x y ∂f

∂y .

b) Muestre que ∂f∂x (0, 0) = 0 = ∂f

∂y (0, 1).

c) Muestre que ∂2f∂x∂y (0, 1) = 1

y ∂2f∂y∂x (0, 1) = −1.

d) ¿ Por que no son iguales las derivadas par-ciales cruzadas?.

4. Una funcion z = f(x, y) con segundas derivadas par-ciales continuas que satisfaga la ecuacion de Laplace

∂2z

∂x2+

∂2z

∂y2= 0

se llama funcion armonica.

a) Muestre que la funcion z(x, y) = x3 − 3xy2 esarmonica.

b) ¿Cuales de las sihuientes funciones son ar-monicas?

i) f(x, y) = x2 − y2.ii) f(x, y) = xy.iii) f(x, y) = x2 + y2.iv) f(x, y) = y3 + 3x2y.v) f(x, y) = ex cos(y).

5. Comprobar que para cada uno de los sigientes camposescalares se satisface la igualdad ∂2f

∂x∂y = ∂2f∂y∂x .

a) f(x, y) = x4 + y4 − 4x2y2.

b) f(x, y) = log(x2 + y2), (x, y) 6= (0, 0).

c) f(x, y) = 1y cos(x2), y 6= 0.

6. Considere la funcion t = f(x, y, z) , definida im-plicıtamente por la ecuacion F (x, y, z, t) = 0; supongaque F es continua junto con sus derivadas parciales yque sea F (x0, y0, z0, t0) = 0, ∂F

∂t (x0, y0, z0, t0) 6= 0;suponga ademas que en el punto (x0, y0, z0, t0) lassiguientes derivadas parciales de F tienen los valoresque se indican :

∂F∂x = 2, ∂F

∂y = 3, ∂F∂z = 5,

∂F∂t = −1, ∂2F

∂x2 = −2, ∂2F∂y2 = −5,

∂2F∂t2 = −3, ∂2F

∂x∂y = ∂2F∂y∂x = 7, ∂2F

∂x∂t = ∂2F∂t∂x = −7,

∂2F∂t∂y = ∂2F

∂y∂t = −5.

Halle

a) ∂f∂x (x0, y0, z0) b) ∂f

∂y (x0, y0, z0)

c) ∂2f∂x2 (x0, y0, z0) d) ∂2f

∂x∂y (x0, y0, z0)

e) ∂2f∂y2 (x0, y0, z0)

Solucion: a) 2, b) 3, c)−42, d) −42, e) −62.

7. Considere la funcion z = f(x, y), definida im-plıcitamente por la ecuacion: xyz +x2 +y2 +z2 =20 , con la condicion f(1, 2) = 3. Halle los valoresde las siguientes derivadas parciales en el punto(1, 2).

a) ∂f∂x b) ∂f

∂y

c) ∂2f∂x∂y d) ∂2f

∂x2

e) ∂2f∂y2

Solucion: a) -1, b) − 78 , c) − 1

4 , d) 0, e)− 57256 .

8. Las dos ecuaciones: 2x + 3y + 5z = 17,xy + yz + zx = 11 definen implıcitamente a dosfunciones x = X(z), y = Y (z) con la condicion:X(1) = 3, Y (1) = 2. Halle X ′(z), Y ′(z), X ′′(z) eY ′′(z) en el punto z = 1. Sol: X ′(1) = 5, Y ′(1) =−5, Y ′′(1) = 150, Y ′′(1) = −100.

9. Las tres ecuaciones : x + y + z + t = 5,x2 + y2 + z2 + t2 = 15, x3 + y3 + z3 + t3 = 35,definen implıcitamente a tres funciones x = X(t),y = Y (t), z = Z(t) con la condicion:X(−1) = 1, Y (−1) = 2, Z(−1) = 3.Halle X ′(t), Y ′(t) y Z ′(t) en el punto t = −1.Sol: X ′(−1) = −6, Y ′(−1) = 8, Z ′(−1) = −3.

El teorema de Taylor. Puntos de extremo. Clasi-ficacion de puntos crıticos. Maximos y mınimosglobales. Extremos condicionados y multipli-cadores de Lagrange.

10. Para las siguientes funciones calcule la formula deTaylor de segundo orden alrededor del origen.

a) f(x, y) = sen (x + 2y).

b) f(x, y) = ex cos(2y).

11. Halle la aproximacion de Taylor de primer y segun-do orden para la funcion f(x, y) = sen (2xy) en lepunto (x0, y0) = (1, π/2).

12. En cada uno de los siguientes ejercicios, determine laformula de Taylor de segundo orden alrededor delpunto (x0, y0) indicado.

a) f(x, y) = sen (x + y)2; (x0, y0) = (1,−2).

b) f(x, y) = 1(x−1)2+(y+1)2+1 ; (x0, y0) = (1,−1).

c) f(x, y) = ex+y; (x0, y0) = (−1, 1).

d) f(x, y) = sen (xy) + cos(xy); (x0, y0) = (0, 0).

e) f(x, y) = e−x2−y2cos(xy); (x0, y0) = (0, 0).

f) f(x, y) = e(x−2)2 cos y; (x0, y0) = (2, 0).

13. En cada uno de los siguientes casos, halle maximo ymınimo absolutos para la funcion f : A → R.

a) A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + xy + y2 = 7}; f(x, y) =x2 + y2

b) A = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 5, x + y + z = 1};f(x, y, z) = x2 + y2 + z2

c) A = {(x, y, z) ∈ R3 : x = cos(t), y = sen (t), z =sen (t/2), t ∈ R}; f(x, y, z) = x2 + y2 + z2

d) A = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 1, xz = 1};f(x, y, z) = xy + xz

e) A = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1};f(x, y, z) = x2 + xy + y2 + yz + z2

14. Dada la curva interseccion de las superficies x2 + y2 −2x = 0, x2 + y2 = z2 , halle su distancia maxima y sudistancia mınima al punto (6, 3, 0).

15. Considere la funcion f(x, y) = x2 + xy + y2 en el discounitario D = {(x, y) : x2 +y2 ≤ 1}. Use el metodo demultiplicadores de Lagrange para localizar los puntosmaximo y mınimo para f restricta a la circunferenciaunitaria x2 + y2 = 1. Utilice este hecho para deter-minar valores maximo y mınimo de f en D. Sol: 3

2es el maximo absoluto y 0 es el mınimo absoluto.

16. Disear una lata cilındrica (con tapa) que contenga 1litro de agua, usando la mınima cantidad de metal.Sol: El diametro debera ser igual a la altura, 20

3√2π.

17. Hallar el mınimo y el maximo absolutos para la fun-cion f(x, y, z) = x + y − z en la bola B = {(x, y, z) ∈R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 1}. Sol: max=

√3, alcanza-

do en(

1√3, 1√

3,− 1√

3

)y mın= −√3, alcanzado en(

− 1√3,− 1√

3, 1√

3

).

2

18. Para la funcion : R2 → R, dada por:

f(x, y) = x2 + y2 − x4 + 2y4.

a) Clasifique los puntos crıticos de f .

b) Calcule los maximos y mınimos globales def(x, y) en el disco x2 + y2 ≤ 1.

Resp:

a) P1 = (0, 0) mınimo, P2 = ( 12 , 0) punto de

ensilladura, P1 = ( 12 , 0) punto de ensilladura.

b) Usando el metodo de Lagrange: g(x, y) =x2 + y2 − 1, ∇f = λ∇g, se tiene que losmınimos absolutos son Q1 = (0, 1), Q2 =(0,−1) y los maximos absolutos son Q3 =(1, 0) y Q4 = (−1, 0).

19. Halle los extremos absolutos def(x, y, z) = x−2y+2z en la esfera x2+y2+z2 = 1.

20. Para f(x, y) = x3 +y3−3x2 +6xy−3y2, determinesus puntos crıticos y clasifıquelos.

21. Se desea cortar y adornar un espejo rectangular conarea de 40 centımetros cuadrados. Si los adornosa lo largo de los lados horizontales cuestan 3000bolıvares por centımetro cuadradro y los de loslados verticales cuestan 4500 bolıvares por cen-tımetro cuadradro, determine las dimensiones delespejo que minimizan el costo total de adornos.Sol: La longitud horizontal debe ser 2

√15 y la

longitud vertical debe ser 4√

303 .

Trayectorias. Longitud de arco. Integral a lolargo de una trayectoria.

22. Si la posicion en el tiempo t de una partıcula en elespacio es (6t, 3t2, t3), ¿cual es su vector velocidadcuando t = 0? Resp: (6, 0, 0).

23. Determine la ecuacion de la recta tangente a lastrayectorias siguientes en el valor de t indicado.

a) σ(t) = (sen 3t, cos 3t, 2t5/2); t = 1.

b) σ(t) = (cos2 t, 3t− t3, t); t = 0.

24. Suponga que una partıcula que sigue la trayectoriaσ(t) sale por una tangente en t = t0. Calcule laposicion de la partıcula en el tiempo t1 indicado.

a) σ(t) = (t2, t3 − 4t, 0); t0 = 2, t1 = 3. Resp:(8, 8, 0).

b) σ(t) = (et, e−t, cos t); t0 = 1, t1 = 2. Resp:(2e, 0, cos(1)− sen (1)).

c) σ(t) = (4et, 6t4, cos t); t0 = 0, t1 = 1. Resp: (8, 0, 1).

d) σ(t) = (sen (et), t, 4− t3); t0 = 1, t1 = 2.

25. En cada uno de los siguientes ejercicios calcule la inte-gral de lınea a lo largo de la trayectoria indicada.

a) f(x, y) = (x2 − 2xy, y2 − 2xy), a lo largo de laparabola y = x2 desde (−1, 1) a (1, 1).

b) f(x, y) = (2a− y, x), a lo largo de la trayectoriaσ(t) = (a(t− sen t), a(1− cos t)), 0 ≤ t ≤ 2π.

c) f(x, y, z) = (y2 − z2, 2yz,−x2), a lo largo de latrayectoria σ(t) = (t, t2, t3), 0 ≤ t ≤ 1.

d) f(x, y) = (x2+y2, x2−y2), a lo largo de la curvay = 1− |1− x|, desde (0, 0) a (2, 0).

e) f(x, y) = (x + y, x − y), alrededor de la elipseb2x2 + a2y2 = a2b2, en sentido contrario a lasagujas del reloj.

f) f(x, y, z) = (2xy, x2 + z, y), desde (1, 0, 2) a(3, 4, 1) a lo largo de un segmento de recta.

g) f(x, y, z) = (x, y, xz−y), desde (0, 0, 0) a (1, 2, 4)a lo largo de un segmento de recta.

h) f(x, y, z) = (x, y, xz−y), a lo largo de la trayec-toria σ(t) = (t2, 2t, 4t3), 0 ≤ t ≤ 1.

31. Sean f : Rn → R un campo escalar de clase C1 yσ : [a, b] ⊂ R → Rn una trayectoria de clase C1.Probar que

∫

σ

∇fds = f(σ(b))− f(σ(a).

26. Dados F : R2 → R2 el campo vectorial definido por

F (x, y) = (ex+y, ex+y),

y σ : [0, π/2] → R2 la trayectoria definida por

σ(t) = (cos7(t), sen7(t)).

Calcule la integral de lınea∫

σFds. Sugerencia: Util-

ice el resultado del ejercicio 31.

27. Calcular el trabajo realizado al mover una partıculaa lo largo de la curva σ(t) =

(t, t2, t3

), 0 ≤ t ≤ 2,

bajo la influencia del campo de fuerzas F (x, y, z) =(x + y, y, y) .

3

28. Calcule el valor de la integral de lınea∫

C

(x2 − 2xy)dx + (y2 − 2xy)dy,

donde C es el arco de la parabola y = x2 que unea los puntos (−2, 4) y (1, 1). Resp: − 369

10 .

29. Un campo de fuerzas F en el espacio, viene dadopor F (x, y, z) = (x, y, xz − y). Calcule el traba-jo realizado pr esa fuerza al mover una partıculadesde (0, 0, 0) a (1, 2, 4) a lo largo del segmento derecta que une a esos dos puntos. Resp: 23

6 .

30. Calcule la integral de lınea con respecto a la longi-tud de arco en cada uno de los casos siguientes.

a)∫

C(x + y)ds, donde C es el triangulo de

vertices (0, 0), (1, 0) y (0, 1), recorrido en sen-tido antihorario. Resp: −√2.

b)∫

Cy2ds, donde C tiene ecuacion parametrica

σ(t) = (a(t− sen (t)), a(1− cos(t))),0 ≤ t ≤ 2π.

4