Problemario Diseno de Experimentos

Diseño de experimentos M.C. Patricia Vega Sánchez.

2009 1

UNIDAD I. DISTRIBUCION NORMAL 1. Si m es una variable aleatoria que se distribuye normalmente con media 60 y desviación

estándar de 4, encuentre la probabilidad de que un valor individual de m, seleccionado al azar, quede dentro de los siguientes intervalos: a) entre 50 y 60 b) mayor que 50 c) menor que 55 d) entre 55 y 65 e) entre 65 y 70 Respuesta: a) entre 50 y 60

µ = 60 ( )

σ

µ−=x

z ( )

5.24

6050−=

−=z

σ = 4

4938.0)5.20()05.2()6050( =⟩⟩=⟩⟩−=⟩⟩ zpzpXp b) mayor que 50

( )σ

µ−=x

z

( )5.2

4

6050−=

−=z

9939.04938.05.0)5.20(5.0)5.2()50( =+=⟩⟩+=−>=> zpzpxp

c) menor que 55

( )σ

µ−=x

z

( )25.1

4

6055−=

−=z

1056.03944.05.0)25.10(5.0)25.1()55( =−=⟩⟩−=−<=< zpzpxp d) entre 55 y 65

( )σ

µ−=x

z

( )25.1

4

60551 −=

−=z

( )

25.14

60652 =

−=z

}{ 7888.0)3944.0(2)25.10(2)25.125.1()6555( ==⟩⟩=⟩⟩−=⟩⟩ zpzpXp


2009 2

e) entre 65 y 70

( )25.1

4

60651 =

−=z

( )5.2

4

60702 =

−=z

0994.03944.04938.0)25.10()5.20()5.225.1()7065( =−=⟩⟩−⟩⟩=⟩⟩=⟩⟩ zpzpzpXp

2. Las dimensiones de una pieza metálica se distribuyen normalmente con media de 120 mm y varianza de 25. Se tienen diferentes rangos de clasificación de esta pieza: excelente, bueno, regular y malo. Encuentre los límites para cada rango si el malo es el 27.5 % inferior, regular el 30 % siguiente, bueno el 25 % y el resto el excelente. Respuesta: µ = 120 mm

σ2 = 25 ( )

σ

µ−=x

z ; µσ += zx

1) 275.0)( 1 =< xxp

275.0)( 1 =< zzp 225.0)0( 1 =<< zzp 60.01 −=z

117120)5)(60.0(11 =+−=+= µσzx

2) p( 0 < X < X2 ) = 0.075 p( 0 < Z < Z2 ) = 0.075 Z = 0.18 X2 = Z 2 σ + µ = (0.18) (5) + (120) =120.9 3) p( 0 < X < X3 ) = 0.325 p( 0 < Z < Z3 ) = 0.325 Z = 0.92 X3 = Z3 σ + µ = (0.92) (5) + (120) =124.6

Resultados Excelente: mayores de 124.6 Bueno: entre 120.9 y 124.6 Regular: entre 117 y 120.9 Malo: menor de 117

3. En un banco de ahorro, el dinero en una cuenta tiene media de 18 956 pesos y desviación estándar de 4 500 pesos. a) ¿Qué probabilidad hay de que una cuenta individual, aleatoriamente seleccionada

tenga:

1) mas de 20 000 pesos 3) menos de 15 500 2) entre 15 000 y 19 000 4) entre 20 000 y 35 000


2009 3

b) Encuentre el monto en pesos de las cuentas que se encuentran en 1) el 15% superior 2) 10% inferior. Respuesta:

a) mas de 20 000 pesos

µ = 18 956 Z= (X - µ )/ σ = (20 000 - 18 956)/4 500 = 0.232 σ = 4 500 p (X > 20 000 ) = p( Z >0.232) = 0.5 - p(0 < Z < 0.232) = 0.5 – 0.0910 = 0.409

b) entre 15 000 y 19 000

Z1= (X1 - µ )/ σ = (15 000 – 18 956)/4 500 = - 0.87911 Z2= (X2 - µ )/ σ = (19 000- 18 956)/4 500 = + 0.00977 p (15 000 < X <19 000 ) = p(-0.87911 < Z < +0.00977) = p(0 < Z < 0. 879)+ p(0 < Z < 0.01 )= 0.3106 + 0.04 = 0.35

4. La duración media de una muestra de 100 tubos fluorescentes producidos por una

compañía resulta ser 1,570 horas, con una desviación estándar de 120 horas. Probar la hipótesis µ = 1,600 horas con un nivel de significancia del 0.05. Respuesta:

Ho: µ = 1600 hs Ha: µ ≠ 1600 hs

σ = 120 hs zc = (X - µ )/(σ/ n 1/2) = (1570− 1600)/[120/(100)]1/2 n = 100

X = 1750 zc = - 2.5 α = 0.05 Zα/2 = Z0.05/2 = 1.96

Regla de decisión: Si zc > zα/2 se rechaza Ho: µ = 1600 Por lo que la duración media de los tubos fluorescentes es diferente de 1600 horas.

5. La resistencia a la rotura de los cables producidos por un fabricante tienen una media de

1,800 libras y una desviación estándar de 100 libras. Mediante una nueva técnica en el proceso de fabricación se aspira a que esta resistencia pueda ser incrementada. Para probar esta hipótesis, se tomo una muestra de 55 cables y se encuentra que su resistencia media es de 1,850 libras. ¿Puede mantenerse que, en efecto hay una aumento de resistencia al nivel de significancia de 0.01?


2009 4

Respuesta:

Ho: µ ≤1800 Ha: µ > 1800

σ = 100 libras zc = (X - µ )/(σ/ n 1/2) = (1850− 1800)/[100/(55)]1/2 n = 55

X = 1850 zc = 3.7 α = 0.05 zα = z0.05 = 2.33

Regla de decisión: Si zc > zα, se rechaza Ho: µ = 1800 Por lo que se rechaza Ho, por lo que la resistencia media se incrementó.

6. Se requiere que la resistencia a la ruptura de una fibra sea al menos de 150 psi. La

experiencia indica que la desviación estándar de la resistencia a la ruptura es de 5 psi. Una muestra aleatoria de 35 probetas se prueba y se observa que el promedio de la resistencia a la ruptura es igual a 148 psi. a) ¿Debe considerarse aceptable esta fibra, al 0.05? b) Determine un intervalo de confianza al 95 % para la resistencia media a la ruptura? Respuesta: a) Ho: µ ≥ 150

Ha: µ < 150 s = 5 tc = (X - µ )/(σ/ n 1/2) = (148− 150)/[5/(35)]1/2 n = 35

X = 148 tc = - 2.366 α = 0.05 tα,n-1 = t0.05,30 = -1.697

t0.05,40 = - 1.684

Regla de decisión: Si tc > tα,n-1 se rechaza Ho: µ ≥ 150 Por lo que la resistencia a la ruptura es menor 150 psi, y no se considera aceptable la fibra.

b) Intervalo de confianza: p[ X – (tα/2,n-1 )(σ/n1/2) < µ < X + (tα/2,n-1 )(σ/n1/2) ] = 1−α

(tα/2,n-1 ) = (t0.05/2,30 ) = 2.042

p[ 148 – (2.042)(5/35 1/2) < µ < 148 + (2.042)(5/35 1/2)] = 1− 0.05

p[ 148 – 1.7258 < µ < 148+ 1.7258] = 1− 0.05 p[ 146.27 < µ < 149.73] = 1− 0.05

7. El tiempo de vida de una bebida gaseosa almacenada resulta de interés. Doce botellas son

seleccionadas aleatoriamente y probadas, observándose los siguientes resultados:


2009 5

D I A S

108 138 115 124 163 139 124 159 134 106 129 153

Suponga que como hipótesis alterna se propone que la media de la población es mayor que 125 días. ¿Puede ser rechazada la hipótesis nula Ho: µ = 125 días? Construya un intervalo de confianza de 95 % para la vida media en almacén?

Respuesta:

a) Ho: µ ≤ 125

Ha: µ > 125

X = ΣXi/n = = 132.66 s 2 = {ΣXi

2 – [(ΣXi) 2/n]}/n-1 = 353.87

s = 18.81 n= 12

tc = (X - µ )/(σ/ n 1/2) = (132.66− 125)/[18.81/(12)1/2] tc = 1.41

tα,n-1 = t0.05,11 = 1.796

Regla de decisión: Si tc > tα,n-1 se rechaza Ho: µ ≤ 125. En este caso tc < tα,n-1 por lo que no se rechaza Ho: µ ≤ 125. La media de la población no es mayor de 125 días.

b) Intervalo de confianza:

p[ X – (tα/2,n-1 )(s/n1/2) < µ < X + (tα/2,n-1 )(s/n1/2) ] = 1−α

(tα/2,n-1 ) = (t0.05/2,11 ) = 2.201 p[ 132.66 – (2.201)(18.81/12 1/2) < µ < 132.66 + (2.201)(18.81/12 1/2)] = 1− 0.05 p[ 132.66 – 11.95 < µ < 132.66+ 11.95] = 1− 0.05 p[ 120.71 < µ < 144.61] = 1− 0.05

8. El tiempo de reparación, medio en horas, de un instrumento electrónico e s una variable

aleatoria normalmente distribuida. Los tiempos de reparación de 16 de tales instrumentos, elegidos al azar, son los siguientes:


2009 6

H O R A S 159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170

¿Es razonable suponer que el tiempo de reparación medio verdadero sea mayor que 225 horas? Determine un intervalo de confianza para el tiempo de reparación medio verdadero. Respuesta: a) Ho: µ ≤ 225

Ha: µ > 225

X = ΣXi/n = = 241.5 s 2 = {ΣXi

2 – [(ΣXi) 2/n]}/n-1 = 9746.8

s = 98.72 n= 16

tc = (X - µ )/(σ/ n 1/2) = (241.5− 225)/[98.72/(16)1/2] tc = 0.668

tα,n-1 = t0.05,15 = 1.753

Regla de decisión: Si tc > tα,n-1 se rechaza Ho: µ ≤ 225. En este caso tc < tα,n-1 por lo que no se rechaza Ho: µ ≤ 225. El tiempo de reparación medio verdadero es mayor de 225 días.



(tα/2,n-1 ) = (t0.05/2,11 ) = 2.131 p[ 241.5 – (2.131)(98.72/16 1/2) < µ < 132.66 + (2.131)(98.72/16 1/2)] = 1− 0.05 p[ 241.5 – 52.59 < µ < [ 241.5 + 52.59] = 1− 0.05 p[ 188.91 < µ < 294.09] = 1− 0.05

9. Un investigador está interesado en estimar el nivel medio de alguna enzima en una cierta

población, toma una muestra de 10 individuos, determina el nivel medio de la enzima en cada uno. ¿Se puede concluir que el nivel medio de la enzima es de 25? Calcule el intervalo de confianza al 95 % para la media.


2009 7

CONTENIDO DE ENZIMA 23.7 22.3 24.0 26.5 27.4 25.4 25.8 25.0 29.0 24.9

Respuesta:

a) Ho: µ = 25

Ha: µ ≠ 25

X = ΣXi/n = = 25.4 s 2 = {ΣXi

2 – [(ΣXi) 2/n]}/n-1 = (192)2 = 3.688

s = 192 n= 10

tc = (X - µ )/(σ/ n 1/2) = (25.4− 25)/[1.92/(10)1/2] tc = 0.6589

tα/2,n-1 = t0.05/2,9 = 2.262

Regla de decisión: Si tc > tα/2,n-1 se rechaza Ho: µ = 25. En este caso tc < tα/2,n-1 por lo que no se rechaza Ho: µ = 25. El efecto del nivel medio de la enzima es diferente de 25.



(tα/2,n-1 ) = (t0.05/2,11 ) = 2.262 p[ 25.4 – (2.262)(1.92/10 1/2) < µ < 25.4 + (2.262)(1.92/10 1/2)] = 1− 0.05 p[ 25.4 – 1.37 < µ < 25.4 + 1.37] = 1− 0.05 p[ 24.03 < µ < 26.77] = 1− 0.05

10. En el control de calidad de latas de champiñones en vinagre, el contenido de ácido acético

es una variable que tiene que tomarse en cuenta. Se tomaron aleatoriamente 16 latas de un mismo lote, se analizó el contenido de ácido acético (vinagre). Los resultados se dan a continuación:

Lata % de AcOH Lata % de AcOH Lata % de AcOH Lata % de AcOH

1 15.8 5 17.5 9 18.5 13 17.3 2 18.3 6 19.4 10 14.9 14 20.4 3 16.4 7 20.5 11 17.2 15 18.9 4 14.9 8 17.8 12 19.4 16 15.8


2009 8

Este producto requiere para su venta un máximo en el contenido de vinagre de un 17.5 % a) En el informe del químico analista ¿Cuál es su resultado? (puede o no venderse este

producto) b) Reporte al gerente de control de calidad el intervalo de confianza para la media al 0.05 de

significancia?

Respuesta: a) Ho: µ ≤ 17.5

Ha: µ > 17.5

X = ΣXi/n = = 17.68 s 2 = {ΣXi

2 – [(ΣXi) 2/n]}/n-1 = (1.79)2 = 3.2265

s = 1.79 n= 16

tc = (X - µ )/(σ/ n 1/2) = (17.68− 17.5)/[1.79/(16)1/2] tc = 0.402

tα,n-1 = t0.05,15 = 1.753

Regla de decisión: Si tc > tα,n-1 se rechaza Ho: µ ≤ 17.5 En este caso tc < tα,n-1 por lo que no se rechaza Ho: µ ≤ 17.5 El contenido de ácido acético no es mayor de 17.5 %, por lo que puede venderse.

b) Intervalo de confianza: p[ X – (tα/2,n-1 )(s/n1/2) < µ < X + (tα/2,n-1 )(s/n1/2) ] = 1−α

(tα/2,n-1 ) = (t0.05/2,11 ) = 2.131 p[ 17.68 – (2.131)(1.79/16 1/2) < µ < 17.68 + (2.131)(1.79/16 1/2)] = 1− 0.05 p[17.68 – 0.953 < µ < 17.68 + 0.953] = 1− 0.05 p[ 216.72 < µ < 18.63] = 1− 0.05

11. Se analizaron dos muestras de cuprita y se determinó el contenido de cobre en cada una

de ellas. Se realizaron 8 determinaciones de cada una de las muestras, reportandose los resultados en la siguiente tabla:

MUESTRA 1 MUESTRA 2 30.4 32.6 34.6 35.7 32.5 31.5 35.7 36.4 29.6 30.6 36.2 34.8 32.9 29.8 35.6 34.7


2009 9

Este mineral se va a vender al extranjero y se necesita saber si pueden juntarse para venderse como un solo mineral. ¿Pueden juntarse las dos muestras?

Respuesta:

H0 : µ1 = µ2

Ha : µ1 ≠ µ2

ΣX1i = 249.9 ΣX2i = 283.7 X1i = 249.9 /8 = 31.2375 X2i = 283.7 /8 = 35.4625 S1 = 1.734 S2= 0.4741 n1 = 8 n2 = 8

( )( ) ( )( )2

11

21

2

22

2

11

−+

−+−=

nn

snsnSp

( )( ) ( )( )

051.1288

4741.018734.118=

−+

−+−=Sp

tc = {(31.2375 - 35.4625)/[(1.05)(1/8 + 1/8) 1/2]} tc = -8.04 tα/2,n1+n2-2 = t0.05/2,14 =2.145 Si tc > t0.05/2,14 se rechaza Ho: µ1 = µ2 Por lo que se rechaza Ho: µ1 = µ2 , entonces existe diferencia en el contenido de cobre en las muestras analizadas por lo que no pueden ser vendidas como un solo material.

12. Dos analistas tomaron medidas de la dureza del agua de la ciudad al mismo tiempo y en el

mismo lugar. Determine si los analistas tienen tendencia a hacer mediciones diferentes usando los siguientes datos.

Analista X Analista Y

0.42 0.62 0.37 0.82 0.61 0.89

0.40 0.44 0.58 0.51 0.33 0.48

0.48 0.53 0.23 0.25 0.67

0.88


2009 10

Respuesta: H0 : µ1 = µ2

Ha : µ1 ≠ µ2

ΣX1i = 3.84 ΣX2i = 5.67 X1i = 3.84/8 = 0.48 X2i = 5.67/10 = 0.567 S1 = 0.089 S2= 0.249 S1

2 = 0.00797 S2

2= 0.20622 n1 = 8 n2 = 10

( )( ) ( )( )2

11

21

2

22

2

11

−+

−+−=

nn

snsnSp

( )( ) ( )( )

196.02108

0622.011000797.018=

−+

−+−=Sp

tc = {(0.48 - 0.567)/[(0.196)(1/8 + 1/10) 1/2]} = tc = -0.936 tα/2,n1+n2-2 = t0.05/2,16 =2.120 Si tc > t0.05/2,16 se rechaza Ho: µ1 = µ2

Por lo que no se rechaza Ho: µ1 = µ2; los analistas no tienen tendencia a hacer mediciones diferentes.

13. Doce inspectores midieron el diámetro de un cojinete usando dos calibradores diferentes.

Los resultados fueron los siguientes:

INSPECTOR CALIBRADOR 1 CALIBRADOR 2 1 265 264 2 265 265 3 266 264 4 267 266 5 267 267 6 265 268 7 267 264 8 267 265 9 265 265

10 268 267 11 268 268 12 265 269


2009 11

¿Hay diferencia significativa en las medias de las poblaciones representadas por las dos muestras? Use 0.05 de significancia. Respuesta: ΣX1i = 3 195 ΣX2i = 3 192 X1i = 3 195/12 = 266.25 X2i = 3 192/12 = 266.00 S1 = 1.215 S2= 1.758

( )( ) ( )( )2

11

21

2

22

2

11

−+

−+−=

nn

snsnSp

( )( ) ( )( )511.1

21212

090.3112477.1112=

−+

−+−=Sp

tc = {(266.25-266.00)/1.511)(1/12 + 1/12) 1/2} tc = 0.405 tα/2,11 = t0.05/2,23 =2.042 Si tc > t0.05/2,16 se rechaza Ho: µ1 = µ2

tc < t0.05/2,23 Por lo que no se rechaza Ho , entonces no hay diferencia entre los datos obtenidos con dos calibradores diferentes.

14. Un industrial realizó el siguiente trabajo para probar la existencia de una relación entre el contenido de ácido ascórbico en función de la temperatura de almacenamiento en fresas congeladas. En la siguiente tabla se dan los resultados obtenidos.

Tiempo de almacenamiento

(días) 0 60 120 180 60 120 240 360 480 600 720 60 240 600

Ácido ascórbico (mg) 31 30 29 27.4 30 28.7 26 23 20 17.3 14 30.2 25 17

a) Pruebe la hipótesis del industrial. b) Encuentre la ecuación que representa esta relación. c) ¿Esta ecuación es la adecuada? d) Encuentre el coeficiente de correlación y pruebe su significancia al 0.05 e) Obtenga el gráfico de dispersión y la recta que representa a la ecuación encontrada.


2009 12

UNIDAD II. COMPLETAMENTE AL AZAR 15. Se llevó a cabo un trabajo en el cual se probaron diferentes métodos para la determinación

de plomo en muestras de alimentos. Se preparó una solución estándar con 20 ppm de plomo que se utilizó en los análisis realizados por los métodos siguientes: M1 Método colorimétrico, usando ditizona como complejante. M2 Método colorimétrico, usando cupferrón como complejante. M3 Método por absorción atómica (generador de hidruros). M4 Método por absorción atómica (horno de grafito) M5 Método polarográfico.

Los resultados obtenidos en ppm son los siguientes:

REPETICIONES Método 1 2 3 4

M1 12.5 13.0 12.7 13.8 M2 17.4 16.8 17.0 17.2 M3 20.1 19.8 18.9 19.3 M4 19.4 19.7 18.8 20.4 M5 21 22.0 19.6 20.4

a) ¿Existe diferencia entre la concentración de plomo determinada por los diferentes

métodos? (al 0.01 de significancia). b) Realice un juego de contrastes ortogonales pertinentes y concluya. (al 0.01)

16. Se ha realizado un experimento para determinar si cuatro tipos de horno afectan la densidad de un cierto tipo de ladrillo. El experimento proporcionó los siguientes datos:

Horno D E N S I D A D

A 22.3 22.5 22.3 22.1 B 21.5 21.4 21.5 21.4 C 21.9 21.8 21.8 21.6 D 21.9 21.7 21.8 21.7

Los hornos A, B y C son importados y el horno D es producido en México; A y B son europeos y C es japonés. a) La densidad depende del tipo de horno? (0.05) b) Realice un juego de contrastes ortogonales adecuados? (0.05) c) Concluya 17. Se sospecha que cinco máquinas llenadoras en una planta están sacando productos con

diferentes pesos. Se realizó un experimento para comprobarlo y los datos en onzas son los siguientes:

Máquina P E S O S N E T O S A 12.25 12.27 12.24 12.25 B 12.18 12.25 12.26 12.20 C 12.24 12.23 12.23 12.20 D 12.12 12.13 12.17 12.11 E 12.23 12.22 12.24 12.24


2009 13

a) Realice un análisis de varianza. b) Existe diferencia entre las máquinas α = 0.05. c) Las maquinas se compraron en diferentes tiempos y lugares. A, B y C se compraron en

Europa. A y B son alemanas y C es italiana; D y E son americanas, D se compró a USA y E se compró a Brasil. En base a la información proporcionada realice un juego de contrastes ortogonales (α = 0.05) y concluya.

18. Un fabricante supone que existen diferencias en el contenido de calcio en lotes de materia

prima que le son suministrados por el proveedor. Actualmente hay una gran cantidad de lotes en la bodega. Cinco de estos son elegidos aleatoriamente. Un químico realiza pruebas sobre cada lote y obtiene los siguientes resultados.

LOTE CONTENIDO DE CALCIO

1 2 3 4 5 1 23.4 23.5 23.4 23.4 2 21.6 21.5 21.4 3 23.7 23.9 24 4 22.0 22.1 22.5 22.4 22.6

a) Puede utilizar la materia prima sin ningún problema. b) Realice los siguientes contrastes:

1. Lote 1, 2 y 3 contra 4. 2. Lote 1 y 2 contra 3. 3. Lote 1 contra 2.

19. Una compañía que fabrica computadores ha instituido cuatro programas diferentes de

entrenamiento para los empleados que trabajan en operaciones de ensamblado. Veinte y cuatro trabajadores repartidos en grupos de seis tomaron los programas de entrenamiento Después del entrenamiento, se registraron los tiempos medios necesarios para el ensamblado de un determinado circuito, para cada uno de los trabajadores. Cuatro trabajadores renunciaron a su empleo durante el programa de entrenamiento. Los datos se presentan en la siguiente tabla.

Programa de entrenamiento

Tiempo medio de ensamblado (min)

A 60 80 69 65 B 80 81 73 69 75 72 C 97 84 93 79 92 D 67 84 90 78 61

a) Los programas de entrenamiento producen los mismos resultados. b) Los programas A y B son impartidos por personas externas a la compañía.

Los programas C y D son impartidos por compañeros de los empleados, solo que tienen mayor experiencia. El programa A es impartido por un japonés (hombre) El programa B por un alemán (mujer) El programa C es impartido por un hombre


2009 14

El programa D es impartido por una mujer En base a la información anterior realice un juego de contrastes ortogonales, y concluya.

20. Un fabricante de equipos de televisión está interesado en el efecto que tienen sobre los

cinescopios de televisión a color, cuatro diferentes tipos de recubrimiento. Se obtuvieron los siguientes datos de conductividad:

Recubri miento

Conductividad 1 2 3 4

A 143 141 150 146 B 152 149 137 143 C 134 136 132 127 D 129 127 132 129

a) ¿Existe diferencia en la conductividad producida por los recubrimientos? b) Si los recubrimientos A y B son producidos en el país, los recubrimientos 3 y 4 son

importados, realice un juego de contrastes ortogonales. UNIDAD III. BLOQUES AL AZAR 21. Se probaron 5 diferentes concentraciones de iniciador en la preparación de poli(acrilato de

nitrilo). La concentración que se usa comúnmente es de 0.05%, pero se desea tener información del efecto de la concentración de iniciador (AIBN), para lo cual se probaron 5 diferentes concentraciones de iniciador (0.02, 0.05, 0.08, 0.11, 0.14 %) realizándose 4 repeticiones. En un día de trabajo se pueden realizar 5 experimentos por lo que se usó un diseño bloques al azar. Los resultados en gramos de polímero obtenido son:

Concentración %

Días de trabajo I II III IV

0.02 63 59 65 57 0.05 78 75 70 74 0.08 80 76 74 79 0.11 65 69 65 68 0.14 58 59 55 53

a) Realice las cinco pruebas de rango múltiple que se mencionaron en clase. b) Encuentre la ecuación que representa el fenómeno.


2009 15

Respuesta:

Cuadro de concentración de datos

Concentra

ción % I II III IV

Totales de tratamientos

Yi.

Medias de tatamiento

Yi.

0.02 63 59 65 57 244 61 0.05 78 75 70 74 297 74.25 0.08 80 76 74 79 309 77.25 0.11 65 69 65 68 267 66.75 0.14 58 59 55 53 225 56.25

Totales de bloques

Y.j

344

338

329

331

Gran total Y.. = 1 342

Media general

Y.. = 67.1

SCT = 91 416 – (1 342)2/(5)(4) = 1 367.8 SCTrat = (365 140/4) – (1 342)2/(5)(4) = 1 236.8 SCBloques = (450 382/5) - (1 342)2/(5)(4) = 28.2 SCEE = 1 367.8 - 1 236.8 - 28.2 ANVA FV Gl SC CM Fc Fα Tratamientos 4 1236.8 309.2 36.12* 3.26 Bloques

3 28.2 9.4 1.098ns 3.49

Error experimental

12 102.8 8.56

Total 19 1367.8 Conclusión: - Existe diferencia significativa entre las concentraciones de iniciador sobre el

rendimiento del polímero. - No existe diferencia entre los días de trabajo sobre el rendimiento del polímero.


2009 16

Realice las cinco pruebas de rango múltiple que se mencionaron en clase. 1. DMS Y3.

77.25 Y2.

74.25 Y4.

66.75 Y1.

61.00 Y5.

56.25 Y3. 56.25 21* 18* 10.5* 4.75* 0

Y2. 61.00 16.25* 13.25* 5.75* 0

Y4. 66.75 10.5* 7.5* 0

Y1. 74.25 3ns 0

Y5. 77.25 0

DMS 0.05 = (t0.05/2) [(2 CMEE)/r]1/2

DMS 0.05 = (2.179) [(2)(8.56)/4] ½

DMS 0.05 = 4.506 R.D. Si dii´ > DMS0.05 se rechaza H0: µi = µi´

Conclusión: Y3. Y2. Y4. Y1. Y5.

2. Duncan: Y3.

77.25 Y2.

74.25 Y4.

66.75 Y1.

61.00 Y5.

56.25 Y3. 56.25 21* 18* 10.5* 4.75* 0

Y2. 61.00 16.25* 13.25* 5.75* 0

Y4. 66.75 10.5* 7.5* 0

Y1. 74.25 3ns 0

Y5. 77.25 0

C2 = (RSS0.05,2,12)(CMEE/r) ½ = (3.08)(1.4628) = 4.5054 C3 = (RSS0.05,3,12)(CMEE/r) ½ = (3.23)(1.4628) = 4.7248 C4 = (RSS0.05,4,12)(CMEE/r) ½ = (3.33)(1.4628) = 4.8711 C5 = (RSS0.05,5,12)(CMEE/r) ½ = (3.36)(1.4628) = 4.9150


2009 17

R.D. Si dii´ > Cn se rechaza H0: µi = µi´


3. SNK Y3.

77.25 Y2.

74.25 Y4.

66.75 Y1.

61.00 Y5.

56.25 Y3. 56.25 21* 18* 10.5* 4.75* 0

Y2. 61.00 16.25* 13.25* 5.75* 0

Y4. 66.75 10.5* 7.5* 0

Y1. 74.25 3ns 0

Y5. 77.25 0

C2 = (q 0.05,2,12)(CMEE/r) ½ = (3.08)(1.4628) = 4.5054 C3= (q 0.05,3,12)(CMEE/r) ½ = (3.77)(1.4628) = 5.5177 C4 = (q 0.05,4,12)(CMEE/r) ½ = (4.20)(1.4628) = 6.1437 C5 = (q 0.05,5,12)(CMEE/r) ½ = (4.51)(1.4628) = 6.5972 R.D. Si dii’ >Cn se rechaza H0: µi = µi´


4. Tukey Y3.

77.25 Y2.

74.25 Y4.

66.75 Y1.

61.00 Y5.

56.25 Y3. 56.25 21* 18* 10.5* 4.75ns 0

Y2. 61.00 16.25* 13.25* 5.75ns 0

Y4. 66.75 10.5* 7.5* 0

Y1. 74.25 3ns 0

Y5. 77.25 0


2009 18

Ct = (q 0.05,t,12)(CMEE/r) ½ C5 = (q 0.05,5,12)(CMEE/r) ½ = (4.51)(1.4628) = 6.5972 R.D. Si dii’ >Cn se rechaza H0: µi = µi´


22. Un fabricante de aleación de aluminio produce refinadores de textura en forma de lingotes. La compañía manufactura el producto en cuatro hornos. Se sabe que cada horno tiene sus propias características de operación de modo que los hornos se considerarán una variable problemática en cualquier corrida experimental en la fundición que implique mas de un horno. Los ingenieros de proceso sospechan que la velocidad de agitación influye en el tamaño de grano del producto. Cada horno puede operarse a cuatro velocidades de agitación distintas. Se ejecuta un diseño de bloques aleatorizados para un refinado en particular: los datos de tamaño de grano resultantes son como sigue:

Velocidad de

agitación (rpm) HORNO

1 2 3 4 5 8 4 5 6

10 14 5 6 9 15 14 6 9 2 20 17 9 3 6 25 19 10 7 8 30 18 8 6 9

Existe alguna evidencia de que la velocidad de agitación influya en el tamaño de grano? Los hornos realmente afectan la respuesta? Realice la prueba de SNK al 0.05 de significancia para comparar los tratamientos?

UNIDAD IV. CUADRO LATINO 23. Se probaron diferentes temperaturas de reacción; se sabe que los analistas y los días en

los que se realiza la prueba pueden ser fuente de error, por lo que se bloquearon. Los tratamientos probados son A: Temperatura 50° C B: Temperatura 60° C C: Temperatura 70° C D: Temperatura 80° C E: Temperatura 90° C La distribución de los tratamientos y el rendimiento en porcentaje fue el siguiente:


2009 19

Día de trabajo

Analista

I

II

III

IV

V

I E = 8.3 Y11(5)

A = 9 Y12(1)

C = 9.3 Y13(3)

B = 10.6 Y14(2)

D = 11.4 Y15(4)

II A = 7.5 Y21(1)

B = 8.7 Y22(2)

D = 9.5 Y23(4)

C = 8.2 Y24(3)

E = 6.6 Y25(5)

III C = 8.9 Y31(3)

D = 9.2 Y32(4)

A = 8.1 Y33(1)

E = 7.9 Y34(5)

B = 8.7 Y35(2)

IV D = 8 Y41(4)

E = 7 Y42(5)

B = 7.0 Y43(2)

A = 6.5 Y44(1)

C = 7.5 Y45(3)

V B = 9.0 Y51(2)

C = 10 Y52(3)

E = 8.5 Y53(5)

D = 10.5 Y54(4)

A = 8.4 Y55(1)

a) Realice el análisis de varianza y concluya. b) Encuentre la ecuación que representa al rendimiento en función de la temperatura.

Respuesta:

Día de trabajo

Analista Totales de hileras

Hj I II III IV V

I E = 8.3 Y11(5)

A = 9 Y12(1)

C = 9.3 Y13(3)

B = 10.6 Y14(2)

D = 11.4 Y15(4)

H1 = 48.6

II A = 7.5 Y21(1)

B = 8.7 Y22(2)

D = 9.5 Y23(4)

C = 8.2 Y24(3)

E = 6.6 Y25(5)

H2 = 40.5

III C = 8.9 Y31(3)

D = 9.2 Y32(4)

A = 8.1 Y33(1)

E = 7.9 Y34(5)

B = 8.7 Y35(2)

H3 = 42.8

IV D = 8 Y41(4)

E = 7 Y42(5)

B = 7.0 Y43(2)

A = 6.5 Y44(1)

C = 7.5 Y45(3)

H4 = 36.0

V B = 9.0 Y51(2)

C = 10 Y52(3)

E = 8.5 Y53(5)

D = 10.5 Y54(4)

A = 8.4 Y55(1)

H5 = 46.4

Totales de columnas

Cj

C1 = 41.7

C2 = 43.9

C3 = 42.4 C4 = 43.7

C5 = 42.6

Gran total G = 214.3


2009 20

Totales de tratamientos (temperaturas)

T1

T2

T3

T4

T5

9.0 7.5 8.1 6.5 8.4

10.6 8.7 8.7 7.0 9.0

9.3 8.2 8.9 7.5 10.0

11.4 9.5 9.2 8.0 10.5

8.3 6.6 7.9 7.0 8.5

T1 = 39.5

T2 = 44.0

T3 = 43.9

T4 = 48.6

T5 = 38.3

Fc = G2/t2 = (214.3)2 /25 = 1836.9796 SCT = ΣΣyijk

2 – Fc = 1873.81 – 1836.9796 = 36.8304

SCTrat = ΣTk

2– Fc = 9252.31/5 - 1836.9796 = 13.4824 t SCHileras = ΣHi

2– Fc = 9283.01/5 - 1836.9796 = 19.6224 t SCColumnas = ΣCj

2– Fc = 9188.31/5 - 1836.9796 = 0.6824 t SCEE = SCT – SCTrat – SCHileras – SCColumnas = 36.8304 - 13.4824 -19.6224 - 0.6824 = 3.0432 ANVA FV Gl SC CM Fc Fα Tratamientos (Temperatura)

5 -1 = 4 13.4824 3.3706 13.291 3.26

Hileras (Días de trabajo)

5 -1 = 4 19.6224 4.9056 19.3438

Columnas (Analísta)

5 -1 = 4 0.6824 0.1706 0.6727

Error Exp. 12 3.0432 0.2536 Total 24 36.8304 Conclusión: Existe efecto altamente significativos entre temperaturas. Los días de trabajo influyen significativamente en la reacción, sin embargo los analistas no si influyen significativamente.


2009 21

Efecto 39.5 44 43.9 48.6 38.3 Σ Cki yi . r Σ Cki2 SCEfk Fc F0.05,1,12

Lineal -2 -1 Fc 1 2 2.2 50 0.0968 0.381ns 4.75

Cuadratico 2 -1 0.3817

-1 2 - 24.8 70 8.7862 34.64*

Cubico -1 2 34.64

-2 1 -10.4 50 2.1632 8.529*

Cuarto 1 -4 8.5299

-4 1 -29.2 350 2.4361 9.606*

Conclusión: No existe efecto lineal Existe efecto cuadrático Existe efecto cúbico Existe efecto de cuarto grado Calculo de la ecuación yi = αo + α2 M2 P2 (x i) + α3 M3 P3 (x i) + α4 M4 P4 (x i) αo = Y... = 8.572 α2= Σ C2i yi . /r Σ C2i

2 = -24.8 / 70 = - 0.3542857 α3= Σ C3i yi . /r Σ C3i

2 = -10.4 / 50 = - 0.208 α4= Σ C4i yi . /r Σ C4i

2 = -29.2 / 350 = - 0.0834285

M2 = 1

M3 = 5/6

M4 = 35/12

P2 (x i) = [(Xi – X )2/d] - [(t2 –1)/12]= (Xi –70)2 / 10 – (25-1/12) = (0.1 Xi – 7)2 – 2 = = 0.01 Xi

2 – 1.4 Xi + 49 – 2 = = 0.01 Xi2 – 1.4 Xi + 47

P3 (x i) = [(Xi – X )3/d] -[(Xi – X )/d] [(3t2 –7)/20]= (0.1 Xi – 7)3 – (0.1 Xi – 7){[(3)(25) – 7]/ 20)} = 0.001 Xi

3 – 0.21 Xi2 +14.36 Xi – 319.2

P4 (x i) = [(Xi – X )4/d] -[(Xi – X ) 2/d] [(3t2 –13)/14] – 3(t2 –1) (t2 –9)/560 = (0.1 Xi – 7)4 – (0.1 Xi – 7) 2{[(3)(25) – 13]/ 14)} – 3(25-1)(25-9)/560 = 0.0001 Xi

4 – 0.028 Xi3 +2.89572 Xi

2 – 131 Xi

+2186.0571 Yi = 8.572+ (- 0.3542857)(1)( 0.01 Xi

2 – 1.4 Xi + 47) +(- 0.208)(5/6) (0.001 Xi3 – 0.21 Xi

2 +14.36 Xi – 319.2) + (- 0.0834285)(35/12)( 0.0001 Xi

4 – 0.028 Xi3 +2.89572 Xi

2 – 131 Xi +2186.0571)=

Yi = - 484.69 + 29.883572 Xi – 0.671766 Xi

2 + 6.63997 X 10-4 Xi3– 2.433 X 10-5 Xi

4


2009 22

Xi

Yi (estimado)

Y..k (observado)

50 8.0038 7.9 60 8.8375 8.8 70 8.7774 8.78 80 9.67475 9.72 90 7.57335 7.66

24. Un Ingeniero industrial está investigando el efecto que tienen cuatro métodos de ensamblaje (A, B, C y D) sobre el tiempo de ensamblaje de un componente para televisores a color. Se seleccionaron cuatro operadores para realizar este estudio. Por otra parte el ingeniero sabe que cada método de ensamblaje produce fatiga, por lo que el tiempo que se tarda en el último ensamblaje puede ser mayor que en el primero, independientemente del método. En otras palabras, se produce un patrón en el tiempo de ensamblaje. Para controlar esta posible fuente de variabilidad, el ingeniero utiliza el diseño de cuadro latino que aparece a continuación. Analice y haga las conclusiones apropiadas.

Orden de montaje

OPERADOR

1 2 3 4

1 C = 16 D = 14 A = 7 B = 8

2 B = 7 C = 18 D = 11 A = 8

3 A = 5 B = 10 C = 11 D = 9

4 D = 10 A = 10 B = 12 C = 14

Respuesta:

Orden de

montaje

O P E R A D O R

1 2 3 4 Cj

1 C = 16 D = 14 A = 7 B = 8 45

2 B = 7 C = 18 D = 11 A = 8 44

3 A = 5 B = 10 C = 11 D = 9 35

4 D = 10 A = 10 B = 12 C = 14 46

Hi 38 52 41 39 170


2009 23

A B C D

5 10 7 8

7 10 12 8

16 18 11 14

10 14 11 9

TA= 30 TB= 37 TC= 59 TD= 44

TA= 7.5

TB= 9.25

TC= 14.75

TD= 11

Y... = 170/16 = 10.625 FC = (170)2/16 = 1806.25

SCTotal = Σ yi 2 - [ Σyi]

2/n = 1990 – 1806.25 = 183.75 SCH = 7 302/4 – 1806.25 = 19.25 SCC = 7 350/4 – 1806.25 = 31.25 SCT = 7 686/4 – 1806.25 = 115.25 SCEE = 183.75- 19.25 –31.25 –115.25

F V gl SC CM Fc F0.01,3,6 Tratamientos 3 115.25 38.41 12.8 9.78 4.76

Hileras 3 19.25 6.42 2.14

Columnas 3 31.25 10.42 3.47

Error experimental 6 18 3

Total 15 183.75

Conclusión: Existe efecto altamente significativos entre tratamientos. No existe efecto significativo entre hileras y columnas. TC

14.75 TD

11.0 TB

9.25 TA 7.5

TA 7.5

7.25* 3.5ns 1.75ns 0

TB 9.25

5.5* 1.75ns 0

TD 11.0

3.75* 0

TC 14.75

0


2009 24

C2 = (q0.01,2,6)(CMEE/r) ½ = (3.46)(0.866) = 2.996 C3 = (q0.01,3,6)(CMEE/r) ½ = (4.34)(0.866 = 3.76 C4 = (q0.01,4,6)(CMEE/r) ½ = (4.90) (0.866) = 4.24= 1.4039 R.D. Si dii´ > Cn se rechaza H0: µi = µi´

Conclusión:

TC TD TB TA

25. Se desea saber si la intensidad de flujo de los combustibles a través de diferentes tipos de inyectores se ve afectada por la temperatura. Cinco operadores elegidos al azar, realizaron un experimento a cinco temperaturas distintas con cinco diferentes tipos de inyectores. En la siguiente tabla se presentan los resultados codificados, donde: A = 0ºC, B = 5ºC, C = 10ºC, D = 15ºC y E= 20ºC. La variable de respuesta es el volumen de combustible que atraviesa el inyector.

Encuentre el modelo matemático que representa el volumen de combustible que atraviesa el inyector con respecto a la temperatura.

OPERADOR

TIPO DE INYECTOR

1 2 3 4 5

1 C = 13 E = 32 A = 14 D =24 B =15

2 E =26 B =19 C =24 A = 18 D =22

3 A = 16 D = 24 E = 27 B = 18 C =22

4 D = 30 C = 16 B = 10 E = 28 A =9

5 B = 20 A =18 D =32 C =18 E =30


2009 25

Respuesta:

T I P O D E I N Y E C T O R OPERADORES

1 2 3 4 5 Hi

1 C = 13 E = 32 A = 14 D =24 B =15 98

2 E =26 B =19 C =24 A = 18 D =22 109

3 A = 16 D = 24 E = 27 B = 18 C =22 107

4 D = 30 C = 16 B = 10 E = 28 A =9 93

5 B = 20 A =18 D =32 C =18 E =30 118

Cj 105 109 107 106 98 525

A B C D E

14 18 16 9

18

15 19 18 10 20

13 24 22 16 18

24 22 24 30 32

32 26 27 28 30

TA= 75 TB= 82 TC= 93 TD= 143 TE= 132

TA= 15

TB= 16.4

TC= 18.6

TD= 28.6

TE= 26.4

Y... = 525/25 = 21 FC = (525)2/25

SCTotal = Σ yi 2 - [ Σyi]

2/n = 12073 – 11025 = 1048 SCH = 55507/5 – 11025 = 76.4 SCC = 55195/5 – 11025 = 14 SCT = 58871/5 – 11025 = 749.2 SCEE = 1048- 749.2 – 76.4 –14 = 208.4


2009 26

F V gl SC CM Fc F0.01,4,12 Tratamientos 4 749.2 187.3 10.785** 5.41

Hileras 4 76.4 19.1 1.099 ns

Columnas 4 14.0 3.5 0.2015 ns

Error experimental 12 208.4 17.367

Total 24 1048

Conclusión: Existe efecto altamente significativos entre tratamientos. No existe efecto significativo entre hileras y columnas. ANVA para probar los efectos Efecto 75 82 93 143 132 Σ Cki yi . r Σ Cki

2 SCEfk Fc F0.01,1,12

Lineal -2 -1 0 1 2 175 50 612.5 35.27** 9.33 Cuadratico 2 -1 -2 -1 2 3 70 0.128 0.007ns 9.33 Cubico -1 2 0 -2 1 - 65 50 84.5 4.865 ns 9.33 Cuarto 1 4 6 -4 1 - 135 350 52.07 2.998 ns 9.33 Conclusión: Existe efecto lineal No existe efecto cuadrático No existe efecto cúbico No existe efecto de cuarto grado Calculo de la ecuación yi = αo + α1 M1 P1 (x i) αo = Y... = 21 α1= Σ Cki yi . /r Σ Cki

2 = 175/50 = 3.5

M1 = 1

P1 (x i) = (Xi – X )/d = (Xi –10) / 5 = 0.2 Xi – 2 Yi = 21 + (3.5)(1)(0.2 Xi – 2) Yi = 14 + 0.7 Xi


2009 27

Xi

Yi (estimado)

Y..k (observado)

0 14 15 5 17.5 16.4

10 21 18.6 15 24.5 28.6 20 28.0 26.4

TD

28.6 TE

26.4 TC

18.4 TB

16.4 TA 15

TA 15

13.6** 11.4** 3.4** 1.4** 0

TB 16.4

12.2** 10** 2** 0

TC 18.4

10.2** 8** 0

TE 26.4

2.2** 0

TD 28.6

0

C2 = (RSS0.01,2,12)(CMEE/r) ½ = (4.32)(0.29495) = 1.274 C3 = (RSS0.01,3,12)(CMEE/r) ½ = (4.55)(0.29495) = 1.342 C4 = (RSS0.01,4,12)(CMEE/r) ½ = (4.68) (0.29495) = 1.3804 C5 = (RSS0.01,5,12)(CMEE/r) ½ = (4.76)(0.29495) = 1.4039 R.D. Si dii´ > Cn se rechaza H0: µi = µi´

Conclusión: TD TE TC TB TA


2009 28

26. Se lleva a cabo un trabajo de investigación donde se probaron diferentes temperaturas de una reacción química. Las pruebas se llevaron a cabo en diferentes laboratorios y por diferentes personas. Las temperaturas probadas son: A = 45 ºC; B = 55 ºC; C = 65 ºC ; D = 75 ºC; E = 85 ºC; F = 95 º C

Laboratorio

LABORATORISTA 1 2 3 4 5 6

1 B = 84 F = 82 C = 95 D = 90 A = 79 E = 84

2 C = 90 A= 80 B = 89 E =89 D = 89 F = 78

3 E = 95 D = 98 A= 83 F = 80 B = 84 C = 97

4 F = 80 E = 97 D = 98 B=83 C= 93 A = 82

5 A = 78 B = 86 F = 85 C = 90 E = 86 D= 87

6 D = 96 C =93 E = 97 A = 75 F = 79 B =86

a) ¿La temperatura de reacción afecta el rendimiento? b) ¿Existe efecto de hileras y columnas?

Respuesta:

Laboratorio

LABORATORISTA

Totales de

hileras Hi

1 2 3 4 5 6 514

2 C = 90 A= 80 B = 89 E =89 D = 89 F = 78 515

3 E = 95 D = 98 A= 83 F = 80 B = 84 C = 97 537

4 F = 80 E = 97 D = 98 B=83 C= 93 A = 82 533

5 A = 78 B = 86 F = 85 C = 90 E = 86 D= 87 512

6 D = 96 C =93 E = 97 A = 75 F = 79 B =86 526

Totales de columnas

Cj

523 536 547 507 510 514 Gran Total

G= 3137


2009 29

Tratamientos

A B C D E F

78 80 83 75 79 82

84 86 89 83 84 86

90 93 95 90 93 97

96 98 98 90 89 87

95 97 97 89 86 84

80 82 85 80 79 78

TA= 477 TB= 512 TC= 558 TD= 558 TE= 548 TF= 484

TA= 79.5

TB = 85.33

TC = 93

TD = 93

TE = 91.33

TF= 80.66

Y... = 3137/36 = 87.138 FC = (3137)2/36 = 273 354.69 SCTotal = Σ yi

2 - [ Σyi] 2/n = 274913 – 273 354.69 = 1 558.31

SCHil = 273449.833 –273 354.69= 95.14 SCCol = 273563.1667 – 273 354.69= 208.47 SCTrat = 274493.5 – 273 354.69= 1138.81 SCEE = 1558.31 –1138.81 – 95.14- 208.47 = 115.89

F V gl SC CM Fc F0.01,5,20 Tratamientos (Temperaturas)

5 1138.81 227.762 39.30** 4.10

Hileras (Laboratorios) 5 95.14 19.028 3.28 ns 4.10

Columnas (Laboratoristas)

5 208.47 41.694 7.19** 4.10

Error experimental 20 115.89 5.794

Total 35 1 558.31

Conclusión: Existe efecto altamente significativos entre temperaturas. Los laboratorios no tienen efecto significativo en la reacción, sin embargo los laboratoristas si influyen significativamente.


2009 30

Efecto 477 512 558 558 548 484 Σ Cki yi . r Σ Cki2 SCEfk

Lineal -5 -3 -1 1 3 5 143 420 48.68

Cuadratico 5 -1 -4 -4 -1 5 -719 504 1025.71

Cubico -5 7 4 -4 -7 5 -217 1080 43.60

Cuarto 1 -3 2 2 -3 1 13 168 1.00

Quinto -1 5 -10 10 -5 1 -173 1512 19.79

CMEfk Fc F0.01,1,20

48.68 8.4018** 8.10

1025.71 177.03 ** 8.10

43.60 7.5252 ns 8.10

1.00 0.1736 ns 8.10

19.79 3.4163 ns 8.10

Conclusión: Existe efecto lineal Existe efecto cuadrático No existe efecto cúbico No existe efecto de cuarto grado No existe efecto de quinto grado Calculo de la ecuación yi = αo + α1 M1 P1 (x i) + α2 M2 P2 (x i) αo = Y... = 87.138 α1= Σ C1i yi . /r Σ C1i

2 = 143/420 = 0.3405 α2= Σ C2i yi . /r Σ C2i

2 = -719 / 504 = - 1.4266

M1 = 2

M2 = 3/2

P1 (x i) = (Xi – X )/d = (Xi –70) / 10 = 0.1 Xi – 7 Yi = 87.138 + (0.3405)(2)(0.1 Xi – 7) + (-1.4266)(3/2) (0.1 Xi – 7)2 =


2009 31

Yi = - 16.2418 + 3.064 Xi – 0.0214 Xi2

Xi

Yi (estimado)

Y..k (observado) 45 78.303 79.33 55 87.54 85.33 65 92.50 93 75 93.18 93 85 89.58 91.33 95 81.70 80.66 80 91.92

UNIDAD V. REGRESIÓN LINEAL 27. Para determinar el efecto de la humedad relativa sobre la supervivencia de bacterias en

leche en polvo, se almacenaron muestras a diferentes porcentajes de humedad relativa y después de 103 semanas se midió el porcentaje de bacterias viables.

Humedad relativa (%) bacterias viables (%)

25 67 20 50 20 52 20 48 18 43 18 40 15 36 15 37 15 32 10 25 5 20 5 18 5 17

a) existe alguna relación entre el % de humedad y el crecimiento de microorganismos? b) Podría encontrar una ecuación sencilla que represente este efecto? c) La ecuación encontrada presenta una buena correlación , pruebe al 0.05 de significancia? d) De una conclusión en base a lo anterior. Respuesta: SCT = 20773- (485)2/13 = 2678.76 FC = 18094.23 SCReg = [8269 –(191)(485)/13] 2 / [3323 – (191) 2/13] = 2529.13 SCError = 2678.76-2529.13 =149.63


2009 32

FV gl SC CM Fc Fα Regresión 1 2529.13 2529.13 185.96 ** F0.05,1,11 = 4.84 Error experimental

11 149.63 13.60

Falta de ajuste 4 118.53 29.61 6.66 ** F0.05,4,7 =4.12 Error Puro 7 31.1 4.4 Total 12 2678.76

Xp Yp rp rp -1 sp2 sp

2 -1 20 50, 52, 48 3 2 4.0 8.0 18 43, 40 2 1 4.5 4.5 15 36, 37, 32 3 2 7.0 14.0 5 20, 18, 17 3 2 2.3 4.6 gl ep = 7 SCEP = 31.1

R.D. Si Fc > que Fα se rechaza Ho : β1 = 0 185.96 > 4.84 por lo que se rechaza Ho : β1 = 0 y por lo tanto existe regresión con alta significancia estadística o el crecimiento de los microorganismos depende del % de humedad en la muestra de leche en polvo. 6.666 > 4.12 por lo que se rechaza Ho : No hay falta de ajuste en el modelo lineal. Por lo que se concluye que se debe probar el modelo cuadrático ya que el lineal no es suficiente. 28. Para poder usar el compuesto Z como extractante se realizó un trabajo en el laboratorio,

donde se prepararon soluciones de concentración conocida (en ppm). Estas fueron sometidas al proceso de extracción con Z y se cuantificó la cantidad de compuesto extraído en ppm. Los resultados fueron:

ppm iniciales

xi ppm finales

yi 5.2 5.0 4.8 4.9 4.4 4.7 4.2 4.1 4.0 3.7 4.0 3.5 4.0 3.9 4.4 4.3 4.2 4.0 4.2 3.9 3.0 2.8 3.2 3.0 3.5 3.6 3.4 3.2 3.0 2.7


2009 33

Ppm iniciales

xi ppm finales

yi xi

2 yi 2 xi yi

5.2 5.0 27.04 25.0 26.0

4.8 4.9 23.04 24.01 23.52

4.4 4.7 19.36 22.09 20.68

4.2 4.1 17.64 16.81 17.22

4.0 3.7 16.00 13.69 14.80

4.0 3.5 16.00 12.25 14.00

4.0 3.9 16.00 15.21 15.60

4.4 4.3 19.36 18.49 18.92

4.2 4.0 17.64 16.00 16.80

4.2 3.9 17.64 15.21 16.38

3.0 2.8 9.00 7.84 8.40

3.2 3.0 10.24 9.00 9.60

3.5 3.6 12.25 12.96 12.60

3.4 3.2 11.56 10.24 10.88

3.0 2.7 9.00 7.29 8.10

Σxi = 59.5 Σyi = 57.3 Σ xi2 =241.77 Σ yi

2 = 226.09 Σ xi yi =233.5

{Σ xi yi -[ Σxi Σyi]}

2 [233.5 – (59.5)(57.3)/15]2 SCReg =------------------------ = ----------------------------------------- = 6.7 Σ xi

2 – {[Σxi] 2 /n} 241.77 – {(59.5) 2 /15}

SCTotal = Σ yi 2 - {[ Σyi]

2/n} = 226.09 – {(57.3) 2 /15} = 7.204 SCError = SCTotal – SCReg = 7.204 – 6.7

F V gl SC CM Fc Fα Regresión 1 6.7 6.7 176.31** 4.67 9.08

Error Experimental 13 0.504 0.38

Falta de ajuste 7 0.319 0.04557 1.479NS 4.21 8.26

Error puro 6 0.1856 0.0308

Total 14 7.204


2009 34

Xi Yi ni ni –1 si

2 (ni –1)si2

3.0 2.8, 2.7 2 1 0.005 0.005

4.0 3.7, 3.5, 3.9 3 2 0.04 0.08

4.2 4.1, 4.0, 3.9 3 2 0.01 0.02

4.4 4.7, 4.3 2 1 0.08 0.08

g.l. de error puro

Σ(ni –1) = 6

SC de error puro

Σ(ni –1)si2 = 0.185

UNIDAD VI. ARREGLO FACTORIAL 29. Se encuentra en estudio el rendimiento de un proceso químico. Se cree que las dos

variables más importantes son la presión y la temperatura. Se seleccionan tres niveles de cada factor y se realiza un experimento factorial con dos repeticiones. En base a los resultados que se dan en la tabla: a) Analice los datos y obtenga las conclusiones. b) Realice la prueba de Duncan para la temperatura. c) En caso de que la presión sea significativa encuentre la ecuación y grafique presión

contra rendimiento.

Temperatura

Presión

RENDIMIENTO

I II Baja 200 90.4 90.2

215 90.7 90.6 230 90.2 90.4

Intermedia 200 90.1 90.3 215 90.5 90.6 230 89.9 90.1

Alta 200 90.5 90.7 215 90.8 90.9 230 90.4 90.1

30. Para el estudio de un proceso se realizó un experimento factorial bajo un diseño de

bloques al azar, donde se probaron diferentes Maquinas (factor A), presión del reactor (factor B) y temperatura del reactor (factor C) con 4 repeticiones por tratamiento.

Maquinas Presión Temperatura a1 = Japonesa b1 = 1 atms c1 = 80 ºC

a2 = Alemana b2 = 2 c2= 120

b3 = 3 c3= 160


2009 35

En base a la tabla de resultados resuelva los siguientes incisos: a) Realice el ANVA y concluya (al 0.01 de significancia) b) En base a la prueba de Duncan compare los tratamientos al 0.01 de significancia. c) Realice la comparación entre maquina japonesa y maquina alemana. d) Encuentre el modelo matemático que represente los kg obtenidos en contra de la

temperatura. Los resultados en Kg de producto obtenido son:

Tratamientos R e p e t i c i o n e s 1 2 3 4

a1b1c1 16 22 16 10 a1b1c2 18 25 19 13 a1b1c3 21 29 23 15

a1b2c1 28 27 17 20 a1b2c2 31 30 31 25 a1b2c3 35 32 33 29

a1b3c1 34 30 29 32 a1b3c2 38 34 33 30 a1b3c3 41 40 38 35

a2b1c1 25 27 24 23 a2b1c2 28 29 27 25 a2b1c3 30 30 29 28

a2b2c1 31 35 30 32 a2b2c2 35 39 35 33 a2b2c3 40 44 40 41

a2b3c1 42 48 41 40 a2b3c2 45 51 47 42 a2b3c3 49 54 50 47


2009 36

Respuesta:

Tratamientos R e p e t i c i o n e s Totales de

tratamientos Yij.

Medias de tratamientos

Yij. 1 2 3 4

a1b1c1 16 22 16 10 64 16 a1b1c2 18 25 19 13 75 18.7 a1b1c3 21 29 23 15 88 22

a1b2c1 28 27 17 20 92 23 a1b2c2 31 30 31 25 117 29.2 a1b2c3 35 32 33 29 129 32.2

a1b3c1 34 30 29 32 125 31.2 a1b3c2 38 34 33 30 135 33.7 a1b3c3 41 40 38 35 154 38.5

a2b1c1 25 27 24 23 99 24.7 a2b1c2 28 29 27 25 109 27.2 a2b1c3 30 30 29 28 117 29.2

a2b2c1 31 35 30 32 128 32 a2b2c2 35 39 35 33 142 35.5 a2b2c3 40 44 40 41 165 41.2

a2b3c1 42 48 41 40 171 42.7 a2b3c2 45 51 47 42 185 46.2 a2b3c3 49 54 50 47 200 50 Y...k 587 626 562 520 2295 31.85

SCTotal = ΣΣΣ YiJKl

2 - [Y....] 2/n = 79723 – (2295)2/72 = 6569.875 SCA = [(Σ Yi...

2)/bcr ]- [Y....] 2/n = 2690297 / (3)(3)(4) – 73 153.125 = 1 577.34 SCB = [(Σ Y.j..

2)/acr ]- [Y....] 2/n = 1843133 / (3)(3)(4) – 73 153.125 = 3 644.08 SCAB = [(Σ Yij..

2)/cr ]- [Y....] 2/n – SCA - SCB = 941155/(3)(4) – 73 153.125 – 1577.34 – 3644.08 = 55.03 SCC = [(Σ Y..k.

2)/abr ]- [Y....] 2/n = 1770819 / (2)(3)(4) – 73 153.125 = 631 SCAC = [(Σ Yi.k.

2)/br ]- [Y....] 2/n – SCA - SCC = 904355/(3)(4) – 73 153.125 – 1577.34 – 631= 1.45 SCBC = [(Σ Y.jk.

2)/ar ]- [Y....] 2/n – SCB - SCC = 619699/(3)(4) – 73 153.125 – 3644.08 – 631= 34.17


2009 37

SCABC = [(Σ Yijk.2)/r ]- [Y....] 2/n – SCA - SCB - SCC = 316435/(4) – 73 153.125 – 1577.34 -

3644.08 – 631= 34.17 SCBloq = [(Σ Y...l

2)/abc ]- [Y....] 2/n = 1322689/(2)(3)(3) – 73 153.125 = 329.59 SCEE = SCT- SCA – SCB – SCAB – SCC – SCAC – SCBC – SCABC = 6569.88 – 1577.34 – 3644.08- 55.02 – 631- 1.44- 34.17 – 12.565 – 329.59 = 284.65 FV GL SC CM Fc Fα A(máquina) 1 1577.35 1577.35 262.68 ** 7.08 B (presión) 2 3644.08 1822.04 326.53 ** 4.98 AB 2 55.02 27.51 4.93 NS 4.98 C (temperatura) 2 631 315.5 56.54** 4.98 AC 2 1.44 0.72 0.129 NS 4.98 BC 4 34.17 8.54 1.53 NS 3.65 ABC 4 12.565 3.14 0.563 NS 3.65 Bloques 3 329.59 109.86 19.69** 4.13 Error Experimental

51 284.65 558

Total 71 6569.87 Efecto

Y..1. Y..2. Y..3.

679 763 853 ΣCpk Y..k. abrΣCpk2 SCCk

Fc Fα

Lineal -1 0 1 174 48 630.75 113.04** 7.08 Cuadrático 1 -2 1 6 144 0.25 0.0448NS 7.08 yi = αo + α1 M1 P1 (x i) αo = Y.... = 31.875 α1= Σ Cki yi . /r Σ Cki

2 = 174/48 = 3.625

M1 = 1

P1 (x i) = (Xi – X )/d = (Xi –120) / 40 = 0.025 Xi – 3 Yi = 31.875 + (3.625)(1)(0.025 Xi – 3) Yi = 21 + 0. 0906 X i Valores de la variable y estimada.

Xi Yi (estimada)

Y..k. (observada)

80 28.25 28.29 120 31.87 31.79 160 35.50 35.54


2009 38

Cuadro de diferencias de medias de tratamientos: 50 46.2

5 42.75

41.25

38.5 35.5 33.75

32.25

32 31.25

29.25

27.25 24.75 23 22 18.75 16

16 34** 30.25**

26.75**

25.25**

22.5**

19.5**

17.75**

16.25**

16** 15.25**

13.25**

11.25**

8.75**

7.0** 6.00**

2.75ns 0

18.75

31.25**

27.5**

24** 22.5**

19.75**

16.75**

15** 13.5**

13.25**

12.5**

10.5**

8.5** 6.0** 4.25

ns 3.25

ns 0

22 28** 24.25**

20.75**

19.25**

16.5**

13.5**

11.75**

10.25**

10.0**

9.25**

7.25**

5.25**

2.75

ns 1.00

ns 0

23 27** 23.25**

19.75**

18.25**

15.5**

12.5**

10.75**

9.25**

9.0**

8.25**

6.25**

4.25

ns 1.75

ns 0

24.75

25.25**

21.5**

18** 16.5**

13.75**

10.75**

9** 7.5**

7.25**

6.5 4.5

ns 2.5 ns 0

27.25

22.75**

19** 15.5**

14** 11.25**

8.25**

6.5**

5** 4.75

ns 4.0

ns 2 ns 0

29.25

20.75**

17** 13.5**

12** 9.25**

6.25**

4.5

ns 3 ns 2.75

ns 2.0

ns 0

31.25

18.75**

15** 11.5**

10** 7.25**

4.25

ns 2.5

ns 1 ns 0.75

ns 0

32 18** 14.25**

10.75**

9.25**

6.5**

3.5

ns 1.75

ns .25

ns 0

32.25

17.75**

14** 10.5**

9** 6.25**

3.25

ns 1.5

ns 0

33.75

16.25**

12.5**

9** 7.5**

4.75**

1.75

ns 0

35.5 14.5**

10.75**

7.25**

5.75**

3 ns 0

38.5 11.5**

7.75**

4.25

ns 2.75

ns 0

41.25

8.75 5** 1.5

ns 0

42.75

7.25**

3.75

ns 0

46.25

3.75

ns 0

60 0

C2 = (RSS0.01,2,51)(CMEE/r) ½ = (3.76)(1.18) = 4.44

C3 = (RSS0.01,3,51)(CMEE/r) ½ = (3.92)(1.18) = 4.63

C4 = (RSS0.01,4,51)(CMEE/r) ½ = (4.03)(1.18) = 4.76

C5 = (RSS0.01,5,51)(CMEE/r) ½ = (4.12)(1.18) = 4.86

C6 = (RSS0.01,6,51)(CMEE/r) ½ = (4.17)(1.18) = 4.92

C7 = (RSS0.01,7,51)(CMEE/r) ½ = (4.23)(1.18) = 4.99

C8 = (RSS0.01,8,51)(CMEE/r) ½ = (4.27)(1.18) = 5.04

C9 = (RSS0.01,9,51)(CMEE/r) ½ = (4.31)(1.18) = 5.08

C10 = (RSS0.01,10,51)(CMEE/r) ½ = (4.34)(1.18) = 5.12

C15 = (RSS0.01,15,51)(CMEE/r) ½ = (4.53)(1.18) = 5.35

R.D. Si dii´ > Cn se rechaza H0: µi = µi´

Conclusión: Y233. Y232. Y231. Y223. Y133. Y222. Y132. Y123. Y221. Y131. Y213. Y122. Y212. Y211.Y121. Y113. Y112. Y111.


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31. Un ingeniero diseña una batería que será sometida a variaciones extremas de temperatura. El parámetro de diseño que él puede seleccionar es el material de cubierta de la batería. Pero cuando la batería se manufactura y se envía a campo el ingeniero no tiene control sobre los extremas de temperatura a los que es expuesta, y sabe por experiencia que es probable que esta influya en la duración efectiva de la batería. Sin embargo si es posible controlar la temperatura en el laboratorio de desarrollo de productos para los fines de ensayo.

Probó tres materiales de cubierta y tres temperaturas, y cada repetición la realizó en diferentes días de la semana. a) ¿Existe diferencia significativa entre los materiales de cubierta? b) ¿La temperatura a la que es expuesto el material afecta la duración de la batería? c) Además el ingeniero desea conocer el modelo matemático que representa la duración

de la batería en horas en función de la temperatura. d) Concluya en base a la prueba de Duncan, comparando los tratamientos.

En la siguiente tabla se presentan los resultados en duración de la batería en horas.

Tratamientos Lunes

1 Martes

2 Miércoles

3 Jueves

4 M1T1 130 155 74 180 M1T2 34 40 80 75 M1T3 20 70 82 58

M2T1 150 188 159 126 M2T2 136 122 106 115 M2T3 25 70 58 45

M3T1 138 110 168 160 M3T2 174 120 150 139 M3T3 96 104 82 60


2009 40

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