ESTADSTICA Y PROBABILIDADESUNHEVAL- 2010Mg. VARGAS RONCAL, Rosario

CAPTULO VI. PROBABILIDADES

Experimento: se denomina experimento a un proceso de observacin o medicin cualquiera. Deterministas: Son aquellos en donde no hay incertidumbre acerca del resultado que ocurrir cuando stos son repetidos varias veces.Aleatorios: se caracterizan porque al repetirse en condiciones anlogas indefinidamente presentan resultados impredecibles de antemano, dependen del azar y no pueden pronosticarse con certidumbre.DEFINICIONES BSICASEjemplo: lanzar un dado

Ejemplos: Aleatorios Tirar dardos en un blanco determinadoLanzar una monedaLanzar un par de dadosLlegada de un OVNI

Ejemplos: Determinstico

Espacio muestral (S ): conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.Espacio muestral finito: Tiene un nmero finito de posibles resultados.Espacio muestral infinito: Tiene infinitos sucesos elementales.

Evento o suceso: Cada uno de los posibles subconjuntos del espacio muestral, cada uno de los elementos de (S). Los denotaremos con A, B, C, Al realizar el experimento aleatorio se dice que se ha verificado el suceso A, si el resultado obtenido pertenece a A.

Ejemplo: se lanza dos dados 1 2 3 4 5 6654321Espacio muestral S=36(1,1);(1;2);(1,3);(1,4);(1;5);(1,6)(2,1);(2;2);(2,3);(2,4);(2,5);(2,6)(3,1);(3;2);(3,3);(3,4);(3,5);(3,6)(4,1);(4;2);(4,3);(4,4);(4;5);(4,6)(5,1);(5;2);(5,3);(5,4);(5;5);(5,6)(6,1);(6;2);(6,3);(6,4);(6;5);(6,6)P(x+y=4)=3/36=1/12xyP(x

SUCESO SEGUROEs aquel que ocurre siempre.EJEMPLO : De una caja que tiene slo bolas rojas se extrae una bola roja.SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTESLos sucesos A y B son mutuamente excluyentes si: si ocurre A, no puede ocurrir B y si ocurre B no puede ocurrir ASUCESO IMPOSIBLEEs aquel que no ocurre nuncaEJEMPLO: De una caja que tiene slo bolas rojas se extrae una bola blanca.

Eventos no excluyentesSacar un 5 y una carta de espadas. Son eventos no excluyentes pues podemos tomar un 5 de espadas.Sacar una carta roja y una carta de corazones. Son eventos no excluyentes pues las cartas de corazones son uno de los palos rojos.Sacar un 9 y una carta negra. Son eventos no excluyentes pues podemos tomar el 9 de espadas o el 9 de trbolesEventos mutuamente excluyentesSacar una carta de corazones y una carta de espadas. Son eventos mutuamente excluyentes, las cartas o son de corazones o son de espadas.

Sacar una carta de trboles roja. Son eventos mutuamente excluyentes pues las cartas de trboles son exclusivamente negras.

Operaciones con eventosUnin de eventos: Se denomina unin de los eventos A y B, al evento (A U B) que consiste de todos los resultados que pertenecen a A o a B, o a ambos. El evento (A U B) describe el evento de que ocurre por lo menos uno de ellos

Interseccin de eventos: Se denomina interseccin de los eventos A y B, al evento (AB) que consiste de todos los resultados que son comunes a A y a BEl evento (AB) describe el evento de que ocurren ambos A y B

Diferencia de eventos La diferencia del evento A menos B es el evento A- B , que consiste de todos los resultados que pertenecen al evento A y no pertenecen al evento BEl evento A- B= ABC describe el evento de que ocurre A y no ocurre B

Eventos excluyentes: Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes o disjuntos, si no tienen resultados en comn(A1A2A3A4A5)=

Evento Complemento: El complemento de un evento A se representa por AC y es el evento que contiene todos los elementos que no estn en A. El evento AC ocurre si A no ocurre.

AcA

Definiciones de ProbabilidadProbabilidad Clasica o a priori (Laplace, 1812): Supongamos un espacio muestral finito S = {a1, , aN} de manera que los ai son sucesos elementales igualmente probables y sea un suceso A = {a1, , ak} (N k).

La probabilidad siempre esta comprendido entre 0 y 1

Probabilidad frecuentistaLa definicin frecuentista consiste en definir la probabilidad como el lmite cuando n tiende a infinito de la proporcin o frecuencia relativa del suceso. La definicin frecuentista de probabilidad se llama tambin probabilidad a posteriori ya que slo damos la probabilidad de un suceso despus de repetir y observar un gran nmero de veces el experimento aleatorio. Algunos autores las llaman probabilidades tericas.

Ejemplo: se arroja una moneda n veces Juega la ruleteaSimulacion de dados

nfhnfh1060,60110560,512080,40120630,5330140,47130610,4740190,48140720,5150250,50150750,5060310,52160780,4970380,54170830,4980430,54180890,4990460,51190950,50100510,512001010,50

Probabilidad subjetiva o BayesianaEs el grado de creencia o juicio personal

Se trata por tanto de un juicio personal o individual y es posible por tanto que, diferentes observadores tengan distintos grados de creencia sobre los posibles resultados, igualmente vlidos.

Probabilidad axiomticaLa definicin axiomtica de la probabilidad es quizs la ms simple de todas las definiciones y la menos controvertida ya que est basada en un conjunto de axiomas que establecen los requisitos mnimos para dar una definicin de probabilidad. La ventaja de esta definicin es que permite un desarrollo riguroso y matemtico de la probabilidad. Fue introducida por A. N. Kolmogorov y aceptada por estadsticos y matemticos en general.

Axiomas de la probabilidadAxioma 1. 0 P(A)1Axioma 2. P(S)=1Axioma 3. P(AUB)=P(A)+P(B); cuando AB=

Consecuencias de los axiomas de probabilidadPropiedad 1. p(Ac ) = 1 - p(A) Propiedad 2. p() = 0 .

Propiedad 4.Propiedad 3.

Ejemplo:Experimento: Se lanzan dos monedas = { ss, cc, sc, cs}N() = 4Sean:A: el evento de que al lanzar un par de monedas caigan dos sellos exactamenteB: el evento de que al lanzar un par de monedas caiga un sello exactamente.Los elementos de A y B sonA = { ss }B = {sc, cs}Se puede ver que A B = , no hay elementos en comn, por lo que los eventos son mutuamente exclusivos o disjuntos, por tantoP(A B) = P(A) + P(B)=1/4+2/4=3/4

PROBABILIDAD CONDICIONALSe llama probabilidad de A condicionada a B, o probabilidad de A sabiendo que pasa B:

Eventos Independientes:Se dice que los eventos A y B son independientes si se cumplen:

Si no se cumplen, se dice que los eventos son dependientes.

Ejemplo100 recin nacidos en un maternidad de Hunuco55 fueron mujeres y 45 hombresLa probabilidad de ser mujer fue de 55/100 = 0.55La probabilidad de ser hombre fue de 45/100=0.45Cul es la probabilidad de que los siguientes tres nacimientos sean mujeres?Son eventos mutuamente excluyentes, por lo tanto se multiplican las probabilidades individuales.0.55 x 0.55 x 0.55 = 0.1664 = 16.64%

Sistema exhaustivo y excluyente de sucesosA1A2A3A4Son una coleccin de sucesos

A1, A2, A3, A4

Tales que la unin de todos ellos forman el espacio muestral, y sus intersecciones son disjuntas.

A1A2A3A4Todo suceso B, puede ser descompuesto en componentes de dicho sistema. B = (BA1) U (BA2 ) U ( BA3 ) U ( BA4 )Nos permite descomponer el problema B en subproblemas ms simples..

Teorema de la probabilidad totalA1A2A3A4Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces

podemos calcular la probabilidad de B.

P(B) = P(BA1) + P(BA2 ) + P( BA3 ) + ( BA4 )=P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) +

MujeresVaronesEjemplo: En esta aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20%.T. Prob. Total.Hombres y mujeres formanUn Sist. Exh. ExaustivoDe sucesosQu porcentaje de fumadores hay en total?P(F) = P(FM) + P(FH) = P(F|M) P(M) + P(F|H) P(H) = 0,1 x 0,7 +0,2 x 0,3 = 0,13 =13%70%30%20%10%

*Expresin del problema en forma de rbolEstudianteMujerNo fumaHombreFumaNo fumaFuma0,70,10,20,30,80,9P(F) = 0,7 x 0,1 + 0,3x0,2P(H | F) = (0,3x0,2)/P(F)Los caminos a travs de nodos representan intersecciones. Las bifurcaciones representan uniones disjuntas.

Teorema de BayesA1A2A3A4Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces

si ocurre B, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de cada Ai.

P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total:

P(B)=P(BA1) + P(BA2 ) + P( BA3 ) + ( BA4 )

=P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) +

Problemas

1. Para obtener licencia para conducir, es necesario aprobar tanto el examen terico como el prctico. Se sabe que la probabilidad que un alumno apruebe la parte terica es 0.68, la de que apruebe la parte prctica es 0.72 y la de que haya aprobado alguna de las dos partes es 0.82. Si se elige un alumno al azar, cul es la probabilidad de que apruebe el examen para obtener licencia?X0.68-X0.72-XTP=0.68=0.721.4-X=0.82X=0.58

2. Una caja contiene 8 bolas rojas, 4 azules y 6 verdes. Se extraen 3 bolas al azar y se desea saber:a)La probabilidad de que las tres sean rojas.b)La probabilidad de que dos sean rojas y una verde.c)La probabilidad de que dos sean azules y la otra de otro color.d)La probabilidad de que todas sean de distinto color.e)La probabilidad de que todas sean del mismo color.

6/188/184/18864

a. Las tres sean rojasb. Dos rojas y una verde

c)La probabilidad de que dos sean azules y la otra de otro color.

d)La probabilidad de que todas sean de distinto color.

e)La probabilidad de que todas sean del mismo color.

0.60.2ABP(A)=0.2+0.6=0.83. Sabiendo que p(AB)=0.6 y que p(ABc)=0.2, se pide calcular la probabiliadad de A =0.8AB

4. La probabilidad de cara de dos monedas son 0.4 y 0.7. Calcular la probabilidad de que al lanzar las dos monedas salga slo una cara. Repetir el ejercicio considerando que las monedas estn bien construidas.0.40.60.50.5

4. Dos maquinas A y B han producido respectivamente, 100 y 200 piezas. Se sabe que A produce un 5% de piezas defectuosas y B un 6%. Se toma una pieza y se pide:a) Probabilidad de que sea defectuosa.b) Sabiendo que es defectuosa, probabilidad de que proceda de la primera mquina.

P(D)=1/3x0.05+2/3x0.06=0.0567

5. Sea la urna U (2A, 3N, 4R). Extraemos tres bolas, una a continuacin de la otra. La primera es negra, la segunda no se mira y la tercera es Amarilla. Hallar la probabilidad de que la segunda sea roja.

6. Consideremos una moneda trucada de tal forma que la probabilidad de cara P(C)=0.3. Si se arroja la moneda 4 veces, calclense las probabilidades de los siguientes sucesos: a) Cuatro caras. B) Dos cruces. c) En las dos primeras tiradas han de salir cruces y en las restantes caras. d) Al menos tres caras. e) Mas de una cara y menos de tres.

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