Primeras practicas desarrolladas

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS

PRIMERAS PRÁCTICAS DESARROLLADAS

-CURSO: Matemática Discreta

-CÓDIGO DE CURSO: CB-112

-SECCIÓN: “W”

-PROFESOR: TOCTO INGA, PAUL

-INTEGRANTES:

CAMPOS SUÁREZ DIEGO JESÚS (20131056D)

GUERRERO CASIANO CHRISITIAN (20134078I)

GUTARRA SAMAN GERARDO (20132032A)

MATIAS LLANOS OLIVER (20130099A)

BALBIN CHAVEZ JORGE (20132095C)

-CICLO ACADÉMICO: 2014-I

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas

ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS

CURSO : MATEMÁTICA DISCRETA CICLO : 2013-I

CÓDIGO : CB-112W

DOCENTE : PAUL TOCTO INGA FECHA : 17.04.13

PRACTICA CALIFICADA Nº 1

1- La municipalidad de Lima está realizando un censo de árboles que fueron plantados desde el 2010, a la fecha se han llegado a plantar más de 300 mil árboles, como también se han realizado la tala de más de mil árboles.

a) ¿Cuál sería el mejor formato para trabajar esta información? Justifique. b) Si cada año se puede plantar aproximadamente 100 mil árboles, como también se

realiza la tala de mil árboles. Hallar en el formato definido en a) el número de árboles en el 2050, con el número de bits adecuado.

SOLUCIÓN De los datos tomamos:

#aprox. árboles plantados (del 2010 hasta la fecha): M=300000 #aprox. árboles talados (del 2010 hasta la fecha): N=1000

a) Para representar estos datos usamos el formato de representación sin signo. Debido a que son números enteros sin signo y este formato nos facilita el trabajo en la representación y las operaciones.

b) Piden el total de árboles plantados hasta el 2050.

De los datos: Por cada año se plantan aprox. 100000 y se talan 1000 árboles.

Total de árboles: (Total de años)x(árb. plantados – árb. Talados (anualmente)) + # árboles en el 2010 (M-N)

E= (2050-2013)x(100000-1000)+300000-1000 Convirtiendo y realizando operaciones en base binaria (base 2): E= (100000000010-11111011101)x(11000011010100000- 1111101000)+1001001001111100000-1111101000 E= (100101)x(11000001010111000)+1001000111111111000

E=1101111110010010011000+1001000111111111000 E=1111000111010010010000 Completando a E al formato con 32 bits (más adecuado por ser números grandes). E=00000000001111000111010010010000 Al pasar E al formato Hexadecimal se expresa como: 003C7490H.

2- Se tiene la siguiente información financiera del PERÚ:

Perú: PBI Trimestral y Anualizado

Trimestres BCR

millones US$

INEI Millones

S/. Tipo de cambio

Millones US$

2011-III 44,819 125,964 2,741 45,955

2011-IV 46,321 128,714 2,710 47,496

2012-I 46,645 127,454 2,682 47,522

2012-II 56,100 136,327 2,282 51,212

TOTAL 187,855 518,459 2,698 192,164

Hallar en el formato IEEE adecuado el error existente del PBI, entre la

información proporcionada por el BCR y el INEI, con respecto al valor del BCR,

que se asume que es el valor más exacto.

SOLUCIÓN Según los datos proporcionados en la tabla: PBI total según BCR = 187,885 PBI total según INEI = 192,164 Convirtiendo PBI y aproximando decimales a base binaria tenemos:

PBI (BCR): 187,885=128 + 32 + 16 + 8 + 2 + 1+ 0,88

0,885 es aproximadamente: 0.5 + 0.25 + 0.125

187,855 aproximando decimales = 27+0x26+25+24+23+0x22+21+20+2-1+2-2+2-3

Convirtiendo a binario tenemos: 187,885 aprox. es 10111011,11100 = 1,011101111100 x 27... (1)

PBI (INEI): 192,164 = 128 + 64 + 0,164

0,164 es aproximadamente: 0.125+0.03125

192,164 aproximando decimales

=27+26+0x25+0x24+0x23+0x22+0x21+0x20+ 0x2-1+0x2-2+2-3+0x2-4+2-5

Convirtiendo a binario tenemos: 192,164 = 11000000,00101 =1,100000000101 x 27... (2) : Según lo pedido el error existente del PBI se calcula así:

error = ∣ 𝑃𝐵𝐼 (𝐵𝐶𝑅) − 𝑃𝐵𝐼 (𝐼𝑁𝐸𝐼 ) ∣

𝑃𝐵𝐼(𝐵𝐶𝑅)

De 2 y 1 (restando): 1,100000000101 x 27 - 1,011101111100 x 27 = 0,000010001001 x 27

Hallando el error del PBI pedido:

𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 =|0,000010001001 × 27|

1,011101111100 × 27

Aproximando: error= 0,0000010111= 1,0111 x 2-6

Convirtiendo el error del PBI al formato IEEE-754

Signo : positivo = 0

Exponente (8 bits): (-6) + (28-1 – 1) = 121

12110 = 011110012

Mantisa (23 bits): 0111

Completando con ceros: 01110000…000 (23 bits) Codificacion del error en IEEE 754 de 32 bits:

Signo Exponente ( 8 bits) Mantisa (23 bits)

error =001111001011100…000 (32 bits)

=3CB80000H

3- Dadas las siguientes proposiciones verdaderas:

a) A Diana le gusta tener como amiga a Carmen. b) A nadie le gusta tener alguien como amiga, si esta persona no quiere tenerla como amiga. c) Ana quiere tener como amiga a todos los que quieren tener como amiga a Betty. d) Todo quieren tener al menos una amiga. Con las proposiciones dadas anteriormente llenar la siguiente matriz que indica que una persona “x” le gusta tener como amiga a otra persona “y”:

x/y Ana Betty Carmen Diana

Ana

Betty

Carmen

Diana

SOLUCIÓN Usando los datos que nos dan en el enunciado y analizando nos damos cuenta que hay 3 casos en los cuales se pueden cumplir las proposiciones dadas, entonces podemos analizar cada caso, teniendo como referente a Betty.

1er caso: Betty tiene como amiga a Carmen


Ana ------ x v x

Betty x ------ v x

Carmen v v ------ v

Diana x x v ------

2do caso: Betty tiene como amiga a diana


Ana ------ x x v

Betty x ------ x v

Carmen x x ------ v

Diana v v v ------

3er caso: Betty tiene como amiga a Diana y Carmen.


Ana ------ v v v

Betty v ------ v v

Carmen v v ------ v

Diana v v v -------

4- Probar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas:

a) Sean a,b,c,d números reales cualesquiera: Si a=min b,c y d<=a entonces d<=b y d<=c

b) Para todos los números reales a y b, si a+b>=2, entonces a>=1 v b>=1.

SOLUCIÓN

a) De los datos: a≤b y a≤c y d≤a, por transitividad d≤b y d≤c

a=minb,c ˄ d ≤ a d ≤ b ˄ d ≤ c

V V V V V V V

Siempre será tautología.

b) De los datos: a+b ≥ 2

a b a + b ≥ 2 a ≥ 1 v b≥1

1 1 v v v v v

2 0 v v v v F

0 2 v v f v V

-1 3 v v f v V

… … … … … … …

Siempre será tautología.



CURSO : MATEMÁTICA DISCRETA CICLO : 2013-II

CÓDIGO : CB-112 U, V

DOCENTE : JOSÉ BENITES, JOSUE ANGULO FECHA : 17.09.13


1- a) Los siguientes datos A: 62548000H y B: 53D48000H corresponden a números reales en notación binaria de precision sencilla (1 bit para el signo, 8 bits para el exponente y el resto para la mantisa). Hallar (A+B) y dar resultado en precisión sencilla. Realice todas las operaciones en binario. b) Los siguientes datos:

A: 01000000101100100000000000000000

B: 11000001010000000000000000000000

Corresponden a números reales en formato IEEE 754. Hallar A x B y dar resultado en el mismo formato. Realice todas las operaciones en binario.

SOLUCIÓN:

a) Hallando A + B Convirtiendo A y B de base hexadecimal y realizando operaciones:

A= 0 11000100 10101001000000000000000 B= 0 10100111 10101001000000000000000


Exponente: e + 2n-1

Exponente: 27 + 26 +22 = 68 +27 exponente: 27 + 25 +22 + 2+1= 39 +27

A: 0,10101001 x 268 B: 0,000..000 10101001 x 268

29 ceros

Sumando A+B: 0,10101001 x 268 + 0,000..000 10101001 x 268

A + B = 0,10101001 0000…00 10101001 x 268

A precisión simple aproximando y convirtiendo a hexadecimal:

= 01100010010101001000000000000000000

= 62548000H

b) A: 01000000101100100000000000000000

B: 11000001010000000000000000000000

Convirtiendo al formato IEEE 754


Exponente: e + 2n-1 -1 = e-1 +27 eA = 2 y eB = 3

A: 1,011001 x 22

B: - 1,1 x 23

Efectuamos AxB

1,011001 x

-1,1

1,011001

1,011001

-10, 0001011

AxB= -1,00001011 x 26

Convirtiendo al formato IEEE

= 110000101000101010000000000000000000000

= C2858000H

2- Calcular la siguiente suma en BCD:

a) 0001 + 0100 + 1001 +…+ 011000100101

b) Calcular el valor del determinante, cuyos elementos están en exceso 2n-1

𝐴 =100001 100010 100011100100 100101 100110100111 101000 101001

SOLUCIÓN

a)

S= 0001= 1 + 0100=4 + 1001=9 …. + 011000100101= 625

Entonces: S = 12 + 22 + 32 + 42 + … + 252

S=1 + 4 + 9 + 16 + … + 625

Se puede usar la fórmula 𝑆 =𝒏(𝒏+𝟏)(𝟐𝐧+𝟏)

𝟔, para calcular la suma.

Donde: n = 25 = 11001

Realizando operaciones en base binaria:

𝑆 =𝒏(𝒏 + 𝟏)(𝟐𝐧 + 𝟏)

𝟔 =

𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏(𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏 + 𝟏)(𝟏𝟎𝐱𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏 + 𝟏)

𝟏𝟏𝟎

𝑆 =𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝒙𝟏𝟏𝟎𝟏𝟎𝐱𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏

𝟔

Multiplicando:

11001 x

11010

00000

11001

00000

11001

11001

1010001010

1010001010 x

110011

1010001010

1010001010

0000000000

0000000000

1010001010

1010001010

Dividiendo:

1000000101111110 110

110 1010110010101

1000

110

1001

110

110

110

111

110

111

110

110

110

---

Entonces:

S = 1010110010101 (2) = 5525

1000000101111110

Convirtiendo al sistema BCD:

S = 5 5 2 5

S = 0101 0101 0010 0101

b)

𝐴 =100001 100010 100011100100 100101 100110100111 101000 101001

En binario convirtiendo los elementos en exceso 2n-1

𝐴 =000001 000010 000011000100 000101 000110000111 001000 001001

Calculando determinantes por el método de cramer:

|𝐴| = (1𝑥101x1001 + 10x110x111 + 11x100x1000) − (11x101x111 + 10x10001x100 + 1x110x1000)

|𝐴|=101101 + 1010100 + 1100000 – (1101001 + 10010000 + 110000)

|𝐴|=11100001 – 11100001

|𝐴| = 𝑀 − 𝑁 = 11100001 − 11100001 = 0

3- Cuatro personas A, B, C, D cuyos votos valen respectivamente 1,4,6,9 puntos, votan sobre distintos proyectos. Ninguna de las cuatro personas se abstiene, ni vota en blanco o nulo. Se denotan a,b,c,d las variables que toman el valor 1 cuando las personas A,B,C,D, respectivamente, votan a favor del proyecto y toman el valor 0 cuando las personas A,B,C,D respectivamente, votan en contra del mismo. Obtener una función f(a,b,c,d) que toma el valor 1 cuando el proyecto es aceptado con mayoría absoluta de puntos (al menos11 puntos), y 0 en caso contrario. Simplifique

SOLUCIÓN:

Analizando los distintos casos:

f(a,b,c,d) = a +4b+6c +9d

A B C d Aceptación

1 1 1 1 1

1 1 1 0 1

1 1 0 1 1

1 1 0 0 0

1 0 1 1 1

1 0 1 0 0

1 0 0 1 0

1 0 0 0 0

0 1 1 1 1

0 1 1 0 0

0 1 0 1 1

0 1 0 0 0

0 0 1 1 1

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 0

Aceptación= 0: desaprobado --- 1: aceptado

Función lógica: a’b’c’d’ , a’b’c’d, a’b’cd’, a’bc’d’, ab’c’d’, ab’cd’ abc’d’

4.-Justificando su respuesta, determine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:

a) Existen infinitos primos

b) √𝟑 𝐞𝐬 𝐢𝐫𝐫𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐚𝐥

c) A es invertible si y solo si det (A)≠ 0

d) Si la-5l<2 entonces 𝟏/𝟗 < 𝟏/(𝒂 + 𝟐) < 𝟏/𝟓

SOLUCIÓN:

a) Usaremos el método del absurdo para demostrar que los números primeros son infinitos o lo mismo que demostrar que no existe un número primo mayor que todos.

P: Existe un primo mayor que todos los números primos

Pi: P1,P2,P3….Pn , 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛

Donde Pn: El máximo número primo

𝑄 = 𝑃1𝑥𝑃2𝑥𝑃3 … 𝑃𝑛

𝑅 = 𝑄 + 1

-Q: puede ser un numero primo o compuesto.

Si se demuestra que Q es un numero primo entonces estaríamos negando lo que se planteo(Los números son primos son infinitos); demostraremos esto por método del absurdo suponiendo que R es compuesto

i)𝑅 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 → ∃ 𝑑 ∈ 𝑃𝑖 ˰ 𝑑 ∈ 𝑁 . .𝑅

𝑑 ∈ 𝑁

𝑅 = 𝑄 + 1

𝑅

𝑑=

𝑄 + 1

𝑑

𝑅

𝑑=

𝑃1𝑥𝑃2𝑥𝑃3. . 𝑃𝑛 + 1

𝑑

𝑑 ∈ 𝑃𝑖 → 𝑑 = 𝑃𝑘

𝑅

𝑑=

𝑃1𝑥𝑃2𝑥𝑃3. . 𝑃𝑛

𝑃𝑘+

1

𝑑

𝑅

𝑑= 𝐶 +

1

𝑑

∴𝑅

𝑑 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑦 𝑛𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑒𝑐𝑒 𝑎 𝑙𝑜𝑠 𝑁 ∶ 𝑅

Se concluye mediante el método del absurdo que R no es compuesto y por ende es R es primo.

Si R es primo entonces existe una contradicción con lo afirmado de P ya que existe un primo(R) mayor que Pn .

Quedando demostrado entonces por el método de absurdo que no existe un primo mayor ya que siempre habrá uno mayor que otro.

B) √3 𝑒𝑠 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 ∶ 𝑃

Por el método del absurdo demostraremos P

- √3 𝑒𝑠 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙

∀𝑥 ∈ 𝑄 ⋰ 𝑥 = 𝑝

𝑞 , 𝑝˰𝑞 𝑠𝑜𝑛 𝑃𝐸𝑆𝐼

√3 = 𝑝

𝑞

3𝑞2 = 𝑝2

31𝑞2 = 32𝑛. 𝑘2

1 = 2𝑛

𝑛 =1

2 , (𝑛 ∈ 𝑁 = ¬𝑟)

∴ (𝑟˰¬𝑟) 𝑑𝑒𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 √3 𝑒𝑠 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 √3 𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑟 𝑅𝑒𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙

𝐶 ∈ N

𝑑 ∈ 𝑁 , 𝑑 ≠ 1 → 1

𝑑 ¬∈ 𝑁

P = 3° , P=3n.k ˰ n ∈ N (r)

q≠ 3°

C) 𝐴 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 ↔ |𝐴| ≠ 0

𝑖)𝑝 → 𝑞

A es invertible → A-1= M

𝐴−1 = 𝐴𝑑𝑗(𝐴)

|𝐴|

M existe → |𝐴| ≠ 0

𝐴 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 → |𝐴| ≠ 0

𝑖𝑖)¬𝑞 → ¬𝑝

|𝐴| = 0

𝐴−1 = 𝐴𝑑𝑗(𝐴)

|𝐴|=

𝐴𝑑𝑗(𝐴)

0

∴ 𝐴−1 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒

𝐴−1 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 → 𝐴 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒

|𝐴| = 0 → 𝐴 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 ≡ |𝐴| ≠ 0 → 𝐴 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒(𝑞 → 𝑝)

∴ (𝑝 → 𝑞)˰ (𝑞 → 𝑝) ≡ 𝐴 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 ↔ |𝐴| ≠ 0

d)

Si |a-5|<2→ 1

9<

1

𝑎+2<

1

5

→ |𝑎 − 5| < 2

→ −2 < 𝑎 − 5 < 2

→ 5 < 𝑎 + 2 < 9

1

9<

1

𝑎 + 2<

1

5

∴ |𝑎 − 5| < 2 →1

9<

1

𝑎 + 2<

1

5



CURSO : MATEMÁTICA DISCRETA CICLO : 2013-I

CÓDIGO : CB-112 U, V

DOCENTE : J. BENITES, J. ANGULO FECHA : 16.04.13


1. Sea:

𝑨 = (𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟏𝟎𝟏 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟎 𝟎𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏

)

Donde a1i, a2i, a3i,i = 1,2,3 son dados en c-2, c-1 y exceso 2n-1 respectivamente, Hallar

det(A), Adj(A) y A-1 . Mostrando los cálculos en los mismos formatos. Halle el número mínimo de bits requeridos para la representación de los cálculos. SOLUCIÓN

1ra fila > Complemento a 2

2da fila > Complemento a 1

3ra fila > Exceso en 2n−1 Usando la regla de cramer:

det(A) = a11 * a22 * a33 + a21 * a32 * a13 + a31 * a12 * a23 − a13 * a22 * a31 − a23 * a32 * a11 − a33 * a12

* a21

Pasando todo a binario:

𝐴 = (00001011 00000110 0000010000000110 00000011 0000001000000100 00000010 00000001

)

det(A) = − 00100001 − 00110000 − 00110000 − (− 00110000 − 00101100 − 00011000) =− 00001101

𝐴𝑑𝑗(𝐴) = (00000001 00000010 0000000000000010 00000101 0000001000000000 00000010 00000011

)

𝑨𝒅𝒋(𝑨)𝒕 = (00000001 00000010 0000000000000010 00000101 0000001000000000 00000010 00000011

)

𝐴^(−1) = (1

−00001101) (

00000001 00000010 0000000000000010 00000101 0000001000000000 00000010 00000011

)

Debido a que no son números muy altos y estos no cambiaran se usan 8 bits para representar los

cálculos.

2. Una empresa petrolera realiza perforaciones en el pozo P21 y luego en el pozo Q50 , se

sabe que las distancias en línea recta desde el campamento son dp y dq respectivamente

en punto flotante de precisión simple expresadas en Km sin embargo el mayor volumen

de petróleo se encuentra en el punto equidistante a P21 y Q50.

Encontrar la distancia desde el punto equidistante al campamento, dar la respuesta en

precisión simple formato hexadecimal.

dP = 0100 0010 0100 0101 0000 0000 0000 000

dQ = 0100 0100 0110 1000 1000 0000 0000 0000

(Realizar las operaciones en punto flotante)

SOLUCIÓN

Sea el signo de: dP = 0 Positivo dQ = 0 Positivo

Exponente en 2n−1 − 1:

dP = 100 0010 0 --> quitándole el 2n−1 − 1 : 00000101 −> 5

dQ = 100 0100 0 --> quitándole el 2n−1 − 1 : 00001001 −> 9 Mantisa: dP = 100 0101 0000 0000 0000 0000 −> 1.1000101

dQ = 110 1000 1000 0000 0000 0000 −> 1.11010001

Finalmente: dP = 1.1000101 * 25 dQ = 1.110 1000 1 * 29 = 11101.0001 * 25

dP2

+dQ = 11110.1001101 * 24 = 111101001.101

Rpta = 111101001.101

3- a) ¿Cuál es el rango de números que se pueden codificar en exceso con 14 bits?

b) Realizar las operaciones aritmeticas necesarias para cambiar el codigo ASCII de: a,b,c,d,e,f,g,h,i,j al de los números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8 respectivamente.

c) Cual es el numero positive maximo que se puede codificar en punto fijo de 12 bits (a bit de signo, 5 bit para la parte entera y 6 bit para la fracción)

d) Realizar 71-49 en BCD natural, dar la respuesta en BCD natural.

SOLUCIÓN

a) El rango de números que se pueden codificar en exceso con n bits es

− 2n−1 ≤ x ≤ 2n−1 − 1 rpta con 14 bits 8192 a 8191

b) Si se observan los números que representa a a,b,c,d,e,f,g,h,i , j en ascii son

97,98,99, … 106 y los que corresponden a 0,1,2,3, …9 son 48,49,50, … 57

Lo cual se obtendría simplemente restando 49 en base 10 a cada uno de los dígitos que

representa en ascii.

c) El número máximo que se puede codificar es 011111111111 = 7 F F H

d) Hallar 71 – 49 en BCD natural 71 = 000001110001 49 = 000001001001 51 = 000001010001

51 en bcd = 100101010001 000001110001+ 000001010001

11000010 0110

1010 0110 000000100010

Respuesta: 00100010

4. a) Alejandro y Beatriz tienen cuatro hijos: Carmen ,Daniel , Enrique y Felix. Cuando

salen a cenar van a un restaurante que solo sirve pollo o a uno que solo sirve comida

criolla. Antes de salir la familia vota para elegir el restaurante. Gana la mayoría excepto

cuando los padres y Carmen (La hija mayor) están de acuerdo en cuyo caso, ellos ganan.

Cualquier otro empate implica ir al restaurante que sirve comida criolla. Contruir una

función lógica que permita seleccionar en forma automática el restaurante elegido por

toda la familia.

b) Demuestre:

i) ɏx perteneciente R+, √x < √x + 1

ii) la condición necesaria y suficiente para que una matriz A sea involutiva es que

(I - A)(I +A)

SOLUCION

A

B

C

D

E

F

VOTOS

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

1

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

1

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

0

1

0

0

1

1

0

0

0

1

0

1

1

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

1

1

1

1

0

1

0

1

0

0

0

1

1

0

0

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

1

1

0

1

1

0

1

0

0

1

1

1

0

1

1

0

1

1

1

0

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

0

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

0

1

1

0

1

1

1

0

1

1

0

1

1

0

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

0

1

1

0

0

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

1

1

0

1

0

0

1

1

1

1

1

0

0

1

1

1

0

0

1

0

1

1

1

1

0

1

0

1

1

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

0

0

0

1

1

1

0

1

0

0

1

1

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0:Pollo 1 : Comida criolla

Función lógica

F(A,B,C,D,E,F)= ABC’DE’F’+ABC’D’E’F+ABC’D’E’F+ABC’D’E’F’+AB’CDE’F’+AB’CD’EF’+AB’CD’E’F+AB’CD’E’F’+AB’C’DEF’+AB’C’DE’F+AB’C’DE’F’+AB’C’D’EF+AB’C’D’EF’+AB’C’D’E’F+AB’C’D’E’F’+A’BCDE’F’+A’BCD’EF’+A’BCD’E’+A’BCD’E’F’+A’BC’DEF’+A’BC’DE’F+A’BC’D’EF+A’BC’D’EF’+A’BC’D’E’F+A’BC’D’E’F’+A’B’CDEF’+A’B’CDE’F+A’B’CDE’F’+A’B’CD’EF+A’B’CD’EF’+A’B’CD’EF’+A’B’CD’E’F+A’B’CD’E’F’+A’B’C’DEF+A’B’C’DEF’+A’B’C’DE’F+A’B’C’DE’F’+A’B’C’D’EF+A’B’C’D’EF’+A’B’C’D’E’F+A’B’C’D’E’F’

b) Demuestre

i) Para todo x perteneciente R+, √x < √x + 1

Partimos de : x > 0

2x > 0

2x + 1 > 1 > 0

2x + 1 > 0

X2 + 2x + 1 > x2

(x + 1)2 > x2

|x + 1| > |x|

x + 1 > x

√x + 1 > √x

ii) Supongamos que (IA)(I+A) =I –A2 = 0 , luego A2 = I, entonces A es involutiva

Supongamos que A es involutiva ; entonces A2= I, y (IA)(I+A) = IA2 = II = 0

Primeras practicas desarrolladas

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