La Probabilidad propone modelos para los fenómenos aleatorios, es decir, los que se pueden predecir con certeza, y estudia sus consecuencias lógicas. Dado un experimento y cualquier evento A: La expresion P(A) denota la probabilidad de que ocurra el evento A P(A) constituye la proporcion de veces que se presenta el evento A en el tiempo, si es que el experimento se realiza una y otra vez. Axiomas de probabilidad

Espacio muestral. Conjunto de todos los posibles resultados de un experimento. El espacio muestral suele denotarse por la letra S. Los elementos del espacio muestral, se denominan puntos muestrales. Evento. Subconjunto del espacio muestral Por ejemplo, se puede tener interés en la probabilidad de que un dado caiga en un numero par. El espacio muestral para el experimento es 1,2,3,4,5,6 y el correspondiente a que caiga en un numero par es el subconjunto 2,4,6.

Combinacion de eventos La union de dos eventos A y B, se denota por A U B, es el conjunto de resultados que pertenecen ya sea a A o B, o a ambos. La interseccion de dos eventos A y B se denota como A ∩ B; es decir, constituye el conjunto de resultados que pertenece tanto a A como a B. Por consecuencia el evento A ∩ B se presenta siempre que A y B ocurren. El complemento de un evento A se denota por A’. Por consiguiente, el evento A’ se presenta siempre que no ocurra A.

Eventos mutuamente excluyentes Se dice que los eventos A y B son mutuamente excluyentes si no tienen resultados en común. Ejemplo. Es imposible que una moneda que se arroje al aire caiga a la vez en cruz y cara.

Ejercicio. Un ingeniero eléctrico tiene en sus manos dos cajas de resistores, cada caja con cuatro de estos. Los resistores de la primera caja están etiquetados con 10 Ω (ohms), pero, de hecho, sus resistencias son de 9, 10, 11 y 12. Los resitores de la segunda caja tienen una etiqueta de 20 Ω (ohms), pero sus resistencias son de 18, 19, 20 y 21. El ingeniero elige un resistor de cada caja y determina la resistencia de cada uno. Sea A el evento para el cual el primer resistor tiene una resistencia mayor a 10 Sea B el evento en el que el segundo resistor tiene una resistencia menor a 19. Sea C el evento en el cual la suma de las resistencias es igual a 28. Solución. S=(9,18),(9,19),(9,20),(9,21),(10,18),(10,19),(10,20),(10,21),(11,18),(11,19),(11,20), (11,21), (12,18),(12,19),(12,20),(12,21) A=(11,18),(11,19),(11,20),(11,21),(12,18),(12,19),(12,20),(12,21) B=(9,18),(10,18),(11,18),(12,18) C=(9,19),(10,18)

Ejemplo. Se tiene 8 tarjetas de computadoras de la marca T1, 5 tarjetas de la marca T2 y 4 tarjetas de la marca T3. Cual es la probabilidad que se escoja una tarjeta de la marca T1 o una de la marca T2?

Solución. Evento A. Seleccionar una tarjeta de la marca T1 P(A) = 8 / 17 = 0.47 Evento B. Seleccionar una tarjeta de la marca T2 P(B) = 5 / 17 = 0.29 Los dos eventos son mutuamente excluyentes, ya que al tomar una tarjeta de una marca, elimina la posibilidad de escogencia de la otra. La probabilidad de escogencia de una tarjeta de una de estas dos marcas es: P(AUB) = 0.47 + 0.29 = 0.76

Ejemplo. Considere el experimento siguiente: en una empresa existe una grúa que tiene un sistema de guayas, las cuales requieren ser reemplazadas cada cierto tiempo de uso. Para probar si se debe cambiar, se somete el sistema a una tensión exagerada, si se rompen 2 o más hilos, se dice que la guaya no sobrevive y por lo tanto debe ser reemplazada. Codifiquemos como cero (0) si no se rompe algún hilo y uno (1) si se rompe un hilo Espacio Muestral S=0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,1,1,1,0,0,1,0,1,1,1,0,1,1,1 Evento En el ejemplo, un evento puede estar definido por los puntos muestrales en los cuales se rompan dos o más hilos. Este evento se puede denotar por: A=0,1,1,1,1,0,1,0,1,1,1,1.

Complemento de un Evento. Es el conjunto de puntos muestrales, del espacio muestral, que no están en el evento. Si el evento lo denotamos por A, el complemento esta denotado por A’

En el ejemplo 3.5, el complemento de este evento sería definido por los puntos muestrales en los cuales se rompan menos de dos hilos. Este evento se puede denotar por: A’=0,0,0,0,0,1,0,1,0,1,0,0.

Intersección de dos Eventos. Es el evento que contiene los puntos muestrales comunes de los dos eventos. Si denotamos por A y por B los dos eventos, entonces la intersección se denota por A∩B

Sea el evento A definido A=0,1,1,1,1,0,1,0,1,1,1,1 y sea el evento C definido por los puntos muestrales de que se rompan dos hilos. Este evento se denota por: C= 0,1,1, 1,0,1, 1,1,0 La intersección de estos dos eventos sería: A∩C= C

La unión de dos eventos A y B, se denota por A U B, es el conjunto de resultados que pertenecen ya a A o B, o ambos.

𝑃𝑛,𝑟 =𝑛!

𝑛 − 𝑟 !

PERMUTACION Es el numero de arreglos diferentes en un orden especifico. El numero de permutaciones de n objetos distintos es N! = n(n-1)(n-2)(n-3)…1 El numero de permutaciones de n objetos diferentes, tomados r a la vez es: Ejemplo. En relacion con el ejemplo 3.14. Supongase que los circuitos son tomados dos a la vez. De cuantas maneras puede ser armado el mecanismo?

𝑃6,2 =6!

6 − 2 != 30

Conteo Permutacion Combinacion

𝑛𝑟

=𝑛!

𝑟! 𝑛 − 𝑟 !

Conteo Permutacion Combinacion

UNIDAD III

VARIABLEA ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA. Definición. Se dice que una v.a es discreta si el conjunto de todos los valores que puede tomar es un conjunto, a lo sumo, numerable (discreta). Ejemplos. Son Variables discretas El numero de accidentes laborales en un año El numero de errores en un mensaje transmitido. El numero de piezas defectuosas producidas a lo largo de un día en una cadena de producción.

Modelos de distribuciones de probabilidad para variables discretas. Según lo que hemos

visto, la forma en que se asigna probabilidad a los resultados de una variable aleatoria

discreta viene dada por la función de probabilidad.

A partir de ahora vamos a describir algunos de los modelos teóricos de probabilidad mas

habituales en el ámbito de las Ingenierías, comenzando por el caso de las v.a discretas.

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA.

Una variable aleatoria es continua si el conjunto de valores que puede tomar sólo puede

encerrarse en intervalos, formando por tanto, un conjunto con un numero infinito no

numerables de elementos,

Ejemplos Son variables aleatorias continuas

• La tensión de fractura de una muestra de asfalto

• El grosor de una lamina de aluminio

• El pH de una muestra de lluvia

• La duración de una llamada telefónica

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA.

Hay una diferencia fundamental entre las variables discretas y continuas; en las discretas

podemos, al menos, numerar los posibles valores y contar el numero de veces que sale

cada valor posible de una muestra. Sin embargo, por el carácter que tienen los intervalos

de números reales, por muy grande que fuera la muestra que tomaríamos de una variable

continua, jamás tendríamos mas de un valor de algunos puntos que puede tomar la

variable.

Por esa razón, en una variable continua no podemos definir una función empírica,

precisamente porque los valores de una variable continua no tiene masa de probabilidad.

Sin embargo, como sabemos, existe una representación análoga a la función masa

empírica que permite aproximar las probabilidades de los valores de una variable

continua: el histograma.

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL. Sea X una v.a discreta que toma los valores x = 0, 1,…, n. donde n es un numero natural conocido. Se dice que X sigue una distribución binomial de parámetros n y p (y se nota X →B (n,p)) si su función misma es,

𝑓 𝑥 =𝑛𝑥

𝑝𝑥 1 − 𝑝 𝑛−𝑥

𝑓 𝑥 =𝑛!

𝑥! 𝑛 − 𝑥 !𝑝𝑥 1 − 𝑝 𝑛−𝑥, 𝑥 = 0,1,2, … , 𝑛

1. La ultima novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leído. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:

a. Cual es la probabilidad de que en el grupo hayan leído la novela 2 personas? b. Y como máximo 2?

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.

Fuente: http://www.vitutor.com/pro/3/b_g.html

2. Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o mas es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan: a. Las cincos personas b. Al menos tres personas c. Exactamente dos personas

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.

CARACTERIZACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.

Supongamos que un determinado experimento aleatorio se repite n veces de forma

independiente y que en ese experimento hay un suceso que denominamos éxito,

que ocurre con probabilidad constante p. En ese caso, la variable aleatoria X que

mide el numero de éxitos sigue una B(n,p).

En esta caracterización es importante observar que las dos hipótesis fundamentales

de esta distribución son:

• Los experimentos se repiten de forma independiente y

• La probabilidad del éxito es constante.

DISTRIBUCION GEOMÉTRICA. Sea X una v.a discreta que puede tomar los valores x=0,1,2,… Se dice que sigue una distribución geométrica de parámetro p (y se nota X →Geo(p)) con 0 < p < 1, si su función es,

𝑓 𝑥 = 𝑝 1 − 𝑝 𝑥−1, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0,1,2, …

Sea X → Geo(p). Entonces

EX = (1-p)/p

Var X= (1-p)/p^2

Caracterización de la distribución geométrica. Supongamos que un determinado

experimento aleatorio se repite sucesivamente de forma independiente y que en ese

experimento hay un suceso que denominamos éxito, que ocurre con probabilidad

constante p. En ese caso, la variable aleatoria X que cuenta el numero de fracasos hasta que

ocurre el primer éxito sigue una Geo(p).

DISTRIBUCION GEOMÉTRICA.

1. Se lanza un dado hasta que aparece el numero 6. Cual es la probabilidad de que el numero de lanzamientos sean 3?

Solución. Éxito 6 Probabilidad que salga el numero 6 es 1/6 (p=1/6 y q=5/6)

𝑓 𝑋 = 3 = 𝑝 1 − 𝑝 𝑥−1 =1

6

5

6

3−1

= 0.1157

2. La probabilidad de que cierto análisis clínico de una reacción positiva es 0,4. Los resultados de los análisis son independientes unos de otros. Cual es la probabilidad de que la primera reacción positiva ocurra antes del tercer análisis?

Solución. El éxito es que salga una reacción positiva. P=0,4 y q=0,6. Si la primera reacción positiva debe aparecer antes del tercer análisis, entonces

𝑓 𝑋 < 3 = 𝑃 𝑋 = 1 + 𝑃 𝑋 = 2 = 0.4 0.6 1−1 + 0.4 0.6 2−1 = 0.64

3. Una maquina detecta fallas en los productos que elabora una fabrica. Si los productos tienen una probabilidad de falla del 5%, calcular la probabilidad de que la maquina encuentre su primer producto defectuoso en la octava ocasión que selecciona un producto para su inspección. Definir éxito: salga defectuoso el producto.

Solución. X = 8 p = 0.05 q = 1 - 0.05 = 0.95

DISTRIBUCION GEOMÉTRICA.

𝑓 𝑋 = 8 = 𝑝 1 − 𝑝 𝑥−1 = 0.05 0.95 8−1 = 0.0349

Fuente :http://www.estadisticafacil.com/Main/DistribucionGeometrica#sthash.rgcerFd8.dpuf

DISTRIBUCION DE POISSON Sea X una v.a discreta que puede tomar los valores de x = 0,1,2,…. Se dice que X sigue una distribución de Poisson de parámetro λ (y se nota X→P(λ)) si su function es,

𝑓 𝑥 = 𝑒−𝜆𝜆𝑥

𝑥!, 𝑥 = 0,1,2 …

Sea X→P(λ), entonces EX = λ VarX= λ Caracterización de la distribución de Poisson. Consideremos el numero de éxitos en un periodo de tiempo donde los éxitos acontecen a razón de λ veces por unidad de tiempo (en promedio) y de forma independiente. En ese caso X: numero de ocurrencias del suceso por unidad de tiempo Es una variable de Poisson de parámetro λ, y se nota X→P(λ). En esta caracterización, las hipótesis fundamental ahora son: • La independencia de las realizaciones y • El promedio constante de ocurrencias por unidad de tiempo

APLICACIONES DE POISSON

La distribucion de Poisson suele utilizarse como modelo para el numero de accidentes

ocurridos en los individuos de una población a lo largo de un periodo de tiempo. Lo que

mucha gente no termina de asumir es que hacer una suposición equivale a decir que todos

esos individuos tienen el mismo riesgo de tener un accidente y que el hecho de que un

individuo tenga un accidente no modifica para nada la probabilidad de sufrir un nuevo

accidente. Es evidente que en muchas situaciones de la vida real eso no es cierto, asi que el

modelo no será adecuado en ellas.

Otra aplicación muy común de la distribución de Poisson es al numero de partículas por

unidad de volumen en un fluido cuando una disolución esta realmente bien disuelta. En

caso de que los datos indiquen que la distribución de Poisson no es adecuada, podríamos

inferir que la disolución no esta bien disuelta.

1. En una clase de contabilidad el 3% de alumnos son muy inteligentes. Si ya se conoce que solo el 3% de los

alumnos de Contabilidad son muy inteligentes ¿ calcular la probabilidad de que si tomamos 100 alumnos al

azar 5 de ellos sean muy inteligentes. Lamba es igual a n * P ( tamaño de muestra multiplicado por la

probabilidad de éxito). n = Tamaño de muestra / x = Cantidad de éxitos / P = Probabilidad de éxito / e = base de

logaritmos = 2.718281828

n = 100

P = 0.03

lambda = 100 * 0.03 = 3

x = 5

e = 2.718281828

2. La producción de televisores en SAMSUNG trae asociada una probabilidad de defecto del 2%, si se toma un

lote o muestra de 85 televisores , obtener la probabilidad de que existan 4 televisores con defectos.

n = 85

P = 0.02

X = 4

lambda = 1.7

3. En una jaula con 100 pericos 15 de ellos hablan ruso calcular la probabilidad de que si tomamos 20 pericos al

azar 3 de ellos hablen ruso.

n = 20

p = 0.15

X = 3

lambda =3

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P 𝑋 = 5 = 𝑒−3 35

5!= 0.10081

P 𝑋 = 4 = 𝑒−1.7 1.74

4!= 0.0635746

P 𝑋 = 3 = 𝑒−3 33

3!= 0.2240418

DISTRIBUCION DE POISSON

𝑛𝑟

=𝑛!

𝑟! 𝑛 − 𝑟 !

1. En una urna o recipiente hay un total de N objetos, entre los cuales hay una cantidad n objetos que son defectuosos, si se selecciona de esta urna n objetos al azar, y sin reemplazo, cual es la probabilidad de obtener x objetos defectuosos.

Considerando que en la urna hay un total de 10 objetos, 3 de los cuales son defectuosos, si se seleccionan 4 objetos al azar. Cual es la probabilidad de que 2 sean defectuosos? Solución. N=10 objetos en total r=3 objetos defectuosos n=4 objetos seleccionados en muestra X=2 objetos defectuosos deseados en la muestra

𝑃(𝑥) =

𝑟𝑥

𝑁 − 𝑟𝑛 − 𝑥𝑁𝑛

𝑃 𝑥 =

32

10 − 34 − 2

104

=3 ∗ 21

210= 0.3

Fin de presentación

𝑛𝑟

=𝑛!

𝑟! 𝑛 − 𝑟 !

Fuente: http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/03Ddistr%20Hipergeometrica.htm

En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar a) una imperfección en 3 minutos, b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos, c) cuando más una imperfección en 15 minutos. Solución: a) x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 3 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc. l = 0.2 x 3 =0.6 imperfecciones en promedio por cada 3 minutos en la hojalata

b) x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 5 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc. l = 0.2 x 5 =1 imperfección en promedio por cada 5 minutos en la hojalata

=1-(0.367918+0.367918) = 0.26416 c) x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 15 minutos = 0, 1, 2, 3, ....., etc., etc. l = 0.2 x 15 = 3 imperfecciones en promedio por cada 15 minutos en la hojalata

= 0.0498026 + 0.149408 = 0.1992106

DISTRIBUCION DE POISSON