Presentación de PowerPointºmeros Racionales. Multiplicación y... · Matemática de 1er Año con...

Matemática de 1er Año con Tu Profesor Virtual

Kharla Mérida

Números Racionales

Este objetivo contiene las tres operaciones restantes de los Números Racionales: Multiplicación, División y Potenciación, así como las propiedades que determinan cómo efectuar cada una de las operaciones. Como ya hemos trabajado con las propiedades de la suma, multiplicación y Potenciación en los Naturales y en los Enteros, sabemos en qué consisten y cómo aplicarlas, de modo que ahora nos concentraremos en aprender las propiedades que se agregan a causa de las características de los Números Racionales. Vamos a conocerlas.

6.3 Multiplicación y División de

Fracciones. Propiedades de las

Operaciones.

1

Las acciones se vuelven sencillas en la medida que en nuestra mente estén vibrantes las lecciones aprendidas antes. Siendo así, cada nueva

experiencia consiste en sumar una herramienta más.

Descripción

6 6ta Unidad

Números Racionales


Kharla Mérida

Números Racionales

Operaciones con Fracciones, Multiplicación de Fracciones, Ejercicios.

NÚMEROS RACIONALES. Operaciones con Fracciones. Multiplicación

NÚMEROS RACIONALES. Multiplicación de Fracciones. Ejercicio 1



NÚMEROS RACIONALES. Operaciones con Fracciones. División

NÚMEROS RACIONALES. Operaciones Combinadas, Multiplicación y División. Ejercicio

1

NÚMEROS RACIONALES. Propiedades de la Suma, Multiplicación y Potencia

2

Se sugiere la visualización de los videos por parte de los estudiantes previo al encuentro, de tal manera que sean el punto de partida para desarrollar una dinámica participativa, en la que se use eficientemente el tiempo para fortalecer el Lenguaje Matemático y desarrollar destreza en las operaciones.

Conocimientos Previos Requeridos

Contenido

Videos disponibles

Descomposición de Números en Factores Primos, m.c.m, m.c.d, Suma y Resta de Fracción con Igual denominador, Suma y Resta de Fracciones con Distintos Denominador, Multiplicación, División, Propiedades de la Potenciación de Fracciones.

https://guao.org/primer_ano/matematica/multiplicacion_y_division_de_fracciones_propiedades_de_las_operaciones-operaciones_con_fracciones













https://guao.org/primer_ano/matematica/multiplicacion_y_division_de_fracciones_propiedades_de_las_operaciones-multiplicacion_de_fracciones_ejercicio_1













































https://guao.org/primer_ano/matematica/multiplicacion_y_division_de_fracciones_propiedades_de_las_operaciones-operaciones_con_fracciones_













https://guao.org/primer_ano/matematica/multiplicacion_y_division_de_fracciones_propiedades_de_las_operaciones-operaciones_combinadas_de_numeros_racionales_ejercicio_1



















https://guao.org/primer_ano/matematica/multiplicacion_y_division_de_fracciones_propiedades_de_las_operaciones-operaciones_y_propiedades_de_los_numeros_racionales



















Kharla Mérida

Números Racionales

En los Números Racionales la multiplicación responde a la misma regla de los signos de los números enteros. Esto es:

Ahora descomponemos ambos valores y hallamos el M.C.D. para dividir numerador y denominador, y simplificar la fracción.

NÚMEROS RACIONALES. Operaciones con Fracciones. Multiplicación

Guiones Didácticos

Caso I: cuando multiplicamos números racionales de igual signo, el resultado es positivo.

Caso II: cuando multiplicamos números racionales de distintos signos el resultado es negativo.

(+) (+) = +

(–) (–) = +

(+) (–) = –

(–) (+) = –

¿cómo se efectúa la multiplicación de números racionales en forma fraccionaria?

Tenemos: Multiplicación de Racionales en forma Decimal, y Multiplicación de Racionales en forma Fraccionaria.

Para multiplicar racionales en forma fraccionaria se multiplica numerador por

numerador y denominador por denominador.

Primero efectuamos la multiplicación de signos: El producto de signos diferentes es negativo.

a c a c

b d b d

a c

b d

Ejemplo

15 8

16 9Hallar el producto

15 8

16 9

(+) (–) = –

Ahora el producto de los números: Numerador por numerador y denominador por denominador.

15 8 120

16 9 144

144 2

72 2

36 2

18 2

9 3

3 3

1

120 2

60 2

30 2

15 3

5 5

1

M.C.D. = 233 5

M.C.D. = 24

15 8 120 24

16 9 144 24

15 8 5

16 9 6

3



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Números Racionales

Calcular el producto Indicado, simplificando la fracción a su mínima expresión.

Los factores son: positivo, negativo, negativo y negativo

Ahora multiplicamos fracciones:

numerador por numerador y denominador por denominador.

Hay dos opciones para desarrollar estas operaciones: • Una es calcular el producto del numerador y del denominador y luego

descomponer en factores primos para simplificar. • Otra es aprovechar que tenemos factores de valores pequeños para descomponer

y simplificar de forma más sencilla.

Descomponemos los factores 6, 4 y 12, en factores primos.

NÚMEROS RACIONALES. Multiplicación de Fracciones. Ejercicio 1.

17 6 3 4

12 7 2 7

Primero efectuamos la multiplicación de signos:

(+) (–) (–) (–)

más por menos es menos,

menos por menos es más, más por menos es menos. Este es el signo de la fracción resultante.

(+) (–) (–) (–)

(–) (–) (–)

(+) (–)

(–)

17 6 3 4 17 6 3 4

12 7 2 7 12 7 2 7

Aplicaremos la 2da opción

2

2

17 6 3 4 17 2 3 3 2

12 7 2 7 2 3 7 2 7

3 2

3 2

2 3 17

2 3 7

Multiplicamos potencias de igual base y ordenamos.

Dividimos potencias de igual base:

3

0

3

22 1

2

22-13

3 33

2

3 17

7

17 6 3 4 51

12 7 2 7 49

4



Kharla Mérida

Números Racionales


Calcular el producto Indicado, simplificando la

fracción a su mínima expresión. 2 96 7

1575 10 32

Los factores son: positivo, positivo, negativo y positivo


(+) (+) (–) (+)

más por más es más, más por menos es menos, menos por más es menos. Este es el signo de la fracción resultante.

(+) (+) (–) (+)

(+) (–) (+)

(–) (+)

(–)

Ahora multiplicamos fracciones: numerador por numerador y denominador por denominador.

1

2 96 15 7 2 96 15 7

75 10 32 75 10 1 32

Descomponemos en factores primos

5

2 5

2 2 3 3 5 7

3 5 2 5 2


6 2

6 3

2 3 5 7

2 3 5

2

3 7 21

5 25

Simplificamos potencias y efectuamos las operaciones

2 96 7 21

1575 10 32 25

5



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Números Racionales


Calcular el producto Indicado, simplificando la

fracción a su mínima expresión.

34

2 1-1

7 5

Escribimos el número mixto como una fracción impropia.

34

3 7-1 1

4 4

Los factores son: negativo, negativo y negativo


(–) (–) (–)

menos por menos es más, más por menos es menos, Este es el signo de la fracción resultante.

(–) (–) (–)

(+) (–)

(–)

Ahora multiplicamos fracciones: numerador por numerador y denominador por denominador.

7 2 1

4 7 5

7 2 1 7 2 1

4 7 5 4 7 5

Descomponemos en factores primos


Simplificamos potencias y efectuamos las operaciones

2

7 2 1

2 7 5

2

1 2 7

2 5 7

1 1

2 5 10

34

2 1 1-1

7 5 10

6



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Números Racionales

Tenemos: División de Racionales en forma decimal, y División de racionales en forma fraccionaria.

Para efectuar la división de fracciones necesitamos conocer un nuevo concepto.

El inverso de es

Para efectuar la división de fracciones, transformamos la división en una multiplicación invirtiendo la fracción divisora y luego se opera la multiplicación como ya se estudió veamos un ejemplo.

NÚMEROS RACIONALES. Operaciones con Fracciones. División.

En los Números Racionales la División responde a la misma regla de los signos de los números enteros. Esto es:

Caso I: cuando dividimos números racionales de igual signo, el

resultado es positivo.

Caso II: cuando dividimos números racionales de distintos signos el resultado es negativo.

(+) (+) = +

(–) (–) = +

(+) (–) = –

(–) (+) = –

12 4

13 57,5645 1,23

¿cómo se efectúa la división de números racionales en forma fraccionaria?

El inverso. El inverso de un racional de la forma a sobre b, es b sobre a

a

b

b

aEl inverso de es

Ejemplo

2

3

3

2El inverso de es

1

7

77

1

Para efectuar la división de fracciones, transformamos la división en una multiplicación invirtiendo la fracción divisora, luego se opera la multiplicación de fracciones.

a c a d a d

b d b c b c

Ejemplo

2 5

3 7

2 5 2 7

3 7 3 5

Efectuar la división

transformamos la división en una multiplicación invirtiendo la fracción divisora

2 7 2 7 14

3 5 3 5 15Efectuamos la multiplicación

7



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Números Racionales

Efectuar las operaciones indicadas y hallar la fracción resultante en su mínima expresión.

Ahora hallaremos el producto dentro del paréntesis, numerador por numerador y

denominador por denominador, Nota: descompondremos cada factor en factores primos para visualizar los que se puedan simplificar.

Ordenamos los factores y multiplicamos potencias de base 2 en el denominador.

Simplificamos el factor 3 de numerador y denominador.

NÚMEROS RACIONALES. Operaciones Combinadas, Multiplicación y División. Ejercicio 1.

5 7 14

3 18 27

Primero efectuamos la operación encerrada en paréntesis, que es una división.

Para efectuar una división de fracciones debemos transformarla en una multiplicación invirtiendo la fracción divisora.

5 7 27

3 18 14

3

2

5 7 3

3 2 3 2 7

3

2 2

5 3 7

3 2 3 7

2

5 3 5 3

3 2 3 4

Simplificamos potencias de base 3 y 7 y efectuamos potencia de 2.

5

4

5 7 14 5

3 18 27 4

8



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Números Racionales

NÚMEROS RACIONALES. Propiedades de la Suma, Multiplicación y Potencia.

En los Números Racionales tenemos 4 Operaciones base: Suma Algebraica, con sus dos casos. Multiplicación, División y Potenciación. La suma y la multiplicación tienen propiedades (reglas) particulares, y existe una propiedad que está definida en función de ambas. Veamos cómo es esto.

NÚMEROS RACIONALES

SUMA ALGEBRAICA

MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN POTENCIACIÓN

PROPIEDADES DE LA SUMA

• Conmutativa • Asociativa • Elemento Neutro • Opuesto

PROPIEDADES LA MULTIPLICACIÓN

• Conmutativa • Asociativa • Elemento Neutro • Inverso

Distributiva de la Multiplicación

Respecto a la Suma

En la suma tenemos 4 propiedades: Conmutativa, Asociativa, Elemento Neutro y el Opuesto. En la multiplicación tenemos también 4 propiedades: Conmutativa, Asociativa, Elemento Neutro e Inverso. Y combinando estas dos operaciones tenemos la Propiedad Distributiva de la multiplicación respecto a la suma.

En la división, mas que propiedades tenemos características operativas o casos notables: dividir entre la unidad y dividir una suma.

En la potenciación tenemos 10 propiedades. Entre esas 10 propiedades está la Propiedad Distributiva de la Potenciación respecto a la multiplicación y la división.

CASOS NOTABLES DE LA DIVISIÓN • Dividir entre 1 • Dividir una suma

PROPIEDADES LA POTENCIACIÓN • Potencia con Exponente Cero • Potencia con Exponente Uno

Mas…

Distributiva de la Potenciación Respecto a la Multiplicación y División

9



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Números Racionales

Nota: Es muy importante entender bien como opera y aplica la propiedad distributiva porque es frecuente encontrar que en el desarrollo de ejercicios a lo largo del bachillerato, y también en estudios universitarios, aparezcan

distribuciones de multiplicación con multiplicación y de suma con suma. La propiedad distributiva se define en base a la combinación de dos operaciones distintas. O se distribuye la multiplicación respecto a una suma algebraica, o se distribuye una potenciación respecto a una multiplicación o división.

Como cuentas con la mayor parte de las propiedades en las lecciones de números naturales y enteros presentaremos aquí sólo los elementos nuevos como son el Inverso en la multiplicación y la potencia con exponente negativo.

Inverso de un número racional de la forma a sobre b, es un número de la forma b sobre a que satisface la igualdad Es decir, si el producto de dos números racionales es 1, dichos números son inversos el uno del otro.

a b

1b a

Ejemplo 1

3 3 es inverso de porque

13 1

3

Potencia con Exponente Negativo La potencia con exponente negativo es igual al inverso de la base con exponente positivo.

-n na b

b a

Ejemplo

-2 24 5

5 4

Cuatro quintos a la menos dos es

igual a cinco cuartos a la dos.

10


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Números Racionales

NÚMEROS RACIONALES. Operaciones Combinadas. Ejercicios

Efectuar las operaciones y hallar el resultado en cada caso:

La presencia del paréntesis indica que primero efectuamos las operaciones que están dentro del paréntesis. Otra opción es aplicar propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma.

8 1 5 7

5 3 18 61.

1 1 1

3 4 61

2

2.

7 53

2 72 5

3 7

3.

8 1 5 7

5 3 18 61.

8 1 5 7

5 3 18 6

Dentro del paréntesis tenemos una suma algebraica de fracciones con distintos denominadores. El m.c.m. entre 3, 18 y 6 es 18

8 6 5 + 21

5 18

8 22 8 22

5 18 5 18

Dividimos 18 entre cada denominador, multiplicamos cada cociente por el numerador correspondiente, y

colocamos los productos obtenidos como sumandos del numerador de la fracción suma.

Multiplicamos numerador por numerador y denominador por denominador. Y Descomponemos para simplificar la fracción.

3 4

2 2

2 2 11 2 11

5 2 3 2 3 5 Simplificamos las potencias y efectuamos los productos.

3

2

2 11 88

3 5 45

8 1 5 7 88

5 3 18 6 45

11

https://www.youtube.com/watch?v=6oWMU6HIif0&index=2&list=PLTDunuLIi6ogRs9uiWJJBttdBhEZO03gH


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Números Racionales

1 1 1

3 4 61

2

2. Tenemos una fracción principal cuyo numerador es una suma de fracciones y denominador una fracción. Efectuamos la suma del numerador.

En el numerador tenemos una suma algebraica de fracciones con distintos denominadores. El m.c.m. entre 3, 4 y 6 es 12.

1 1 1

3 4 6 121 1

2 2

4 3 + 2 3

12 121 1

2 2

Dividimos 18 entre cada denominador, multiplicamos cada cociente por el numerador correspondiente, y colocamos los productos obtenidos como sumandos del numerador de la fracción suma.

La fracción del numerador se puede simplificar dividiendo numerador y denominador entre 3. Aunque aquí hemos indicado esta división entre 3, esto es un procedimiento que se puede hacer mentalmente.

Tenemos una división de fracciones, la transformamos en una multiplicación cambiando la fracción divisora por su inverso.

3 3 1

12 3 41 1

2 2

1 2

4 1

1 2 2 1

4 1 4 2Efectuamos la multiplicación de fracciones y

simplificamos.

1 1 113 4 6

1 2

2

1

2

2

1Inverso

12


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Números Racionales

Tenemos una fracción principal cuyo numerador es una suma de fracciones y denominador una suma de fracciones también. Efectuamos las sumas de numerador y denominador.

En el numerador tenemos una suma algebraica de fracciones con distintos denominadores. El m.c.m. entre 3, 4 y 6 es 12.

7 53

2 7 142 5

3 7 21

Dividimos 18 entre cada denominador, multiplicamos cada cociente por el numerador correspondiente, y colocamos los productos obtenidos como sumandos del numerador de la fracción suma.

Tenemos una división de fracciones, la transformamos en una multiplicación cambiando la fracción divisora por su inverso.

101 29 101 21

14 21 14 29

Efectuamos la multiplicación de fracciones y simplificamos.

7 53

3032 72 5 58

3 7

7 53

2 72 5

3 7

3.

42 + 49+10 101

14 1414 +15 29

21 21

29

21

21

29Inverso

101 21 101 3 7

14 29 2 7 29

101 3 7 101 3

2 7 29 2 29

101 y 29 son números primos, la fracción no se puede simplificar más.

13


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Números Racionales

NÚMEROS RACIONALES. Potenciación. Ejercicios 1

Efectuar las operaciones y hallar el resultado en cada caso:

5 -4 -7 112 2 2 2

3 3 3 31.

2.

3.

-2 -115 141 1

4 44 4

-14 -3

5 5 5

3 3 3

5 -4 -7 112 2 2 2

3 3 3 31.

Tenemos 4 potencias de igual base que se multiplican

Cuando se multiplican potencias con igual base, se escribe una sola vez la base y se suman los exponentes.

5 -4 -7 112 2 2 2

3 3 3 3

5-4-7+11 52 2

3 3

Cuando tenemos exponente impar la potencia queda con el signo de la base.

52

3

La potencia de un cociente (división) es el cociente (división) de las potencias.

5

5

2

3

Efectuamos las potencias y obtenemos la fracción irreducible.

5 -4 -7 112 2 2 2 32

3 3 3 3 243

2.

-2 -115 141 1

4 44 4

Tenemos dos potencias de base -1/4 y dos potencias de base -4. Transformaremos la potencia de base -1/4 en potencia de base -4 cambiando el signo del exponente.

14



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Números Racionales

-2 -115 141 1

4 44 4 Toda potencia con exponente negativo es

igual al inverso de la base con exponente positivo,

5 2 11 14

4 4 4 4

Cuando se multiplican potencias con igual base, se escribe una sola vez la base y se suman los exponentes.

5+2+11+14

4

32

4

Toda potencia de exponente par resulta positiva. 324

-2 -115 14 321 1

4 4 44 4

3.

-14 -3

5 5 5

3 3 3

¿Qué forma (propiedad) identificas en la expresión?

Observando de afuera hacia adentro, tenemos una potencia con exponente negativo. Dentro del paréntesis multiplicación de potencias con igual base.

-14 -3

5 5 5

3 3 3 Cuando se multiplican potencias con igual

base, se escribe una sola vez la base y se suman los exponentes.

-1 -14-3+1 2

5 5

3 3

-2 25 3

3 5

Ahora tenemos la potencia de una potencia. Escribimos la base y multiplicamos los exponentes.

Toda potencia con exponente negativo es igual al inverso de la base con exponente positivo.

Finalmente, toda potencia con exponente par resulta positiva.

23

5

La potencia de un cociente (división) es el cociente de las potencias.

2

2

3 9

5 25

-14 -3

5 5 5 9

3 3 3 25

15


Kharla Mérida

Números Racionales


Efectuar las operaciones y aplique propiedades de la potenciación:

16 123 3

4 41. 2. 3.

3 -45 2

2 5

-6 75 5

7 7

1. Tenemos división de potencias de igual base

Cuando se dividen potencias con igual base, se escribe una sola vez la base y se restan los exponentes.

Toda potencia con exponente par queda positiva.


16 123 3

4 4

16 123 3

4 4

16-12 14 143 3 3

4 4 4

14

14

3

4

Las potencias representan valores muy grandes, así que las dejamos indicadas.

16 12 14

14

3 3 3

4 4 4

2.

3 -45 2

2 5

Tenemos dos potencias, una inverso de la otra. Buscaremos igualar las bases.


3 -4 3 45 2 5 5

2 5 2 2


3-4 -15 5

2 2

12

5

Nuevamente potencia con exponente negativo. Invertimos la base y el exponente queda positivo.

3 -45 2 2

2 5 5

16



Kharla Mérida

Números Racionales

3.

-6 75 5

7 7

Cuando se dividen potencias con igual base,

se escribe una sola vez la base y se restan los exponentes.

Toda potencia con exponente par queda

positiva.


Dejamos las potencias indicadas porque representan valores muy grandes.

tenemos dos potencias de bases opuestas (misma fracción y signos distintos). Aprovechamos el exponente par para igualar las bases.

-6 7 -6 75 5 5 5

7 7 7 7

-6-7 -135 5

7 7


137

5

13

13

7

5

-6 7 -13

-13

5 5 5

7 7 7


Efectuar las operaciones y aplique propiedades de la potenciación:

32 3

8 8

3 31.

2.

22 2

2

1 3

3 2

12

3

32 3

8 8

3 31. Tenemos dos potencias de bases iguales dividiéndose, y

elevadas al cubo. Potencia de una división.


3 3 32 3 2 3

8 8 8 8

3 3 3 3

La potencia de una potencia es la base elevada a la multiplicación de los exponentes.

2 3 3 3 6 98 8 8 8

3 3 3 3


6-9 -38 8

3 3

17



Kharla Mérida

Números Racionales


-3 38 3

3 8


3

3

3

8

Efectuamos las potencias.

32 3

8 8 27

3 3 512

2.

24 2

2

1 3

3 2

12

3

Observemos de fuera hacia adentro, resaltando los elementos que definen la operación o propiedad correspondiente.

24 2

2

1 3

3 2

12

3

Potencia de una división. En el numerador y denominador de la fracción productos de potencias.

2

División de Potencias de igual base. Ambas potencias son de base 1/3.

24 2

2

1 3

3 2

12

3

Potencias de divisiones (cocientes).

24 2

2

1 3

3 2

12

3

4

2

4 2

2

2 24 2 4-2 2

2

1 3 1 3

3 2 3 2

212

3

Aplicamos División de potencias de igual base, 1/3. Como el mayor exponente está en el numerador, el resultado queda en el numerador. Escribimos la misma base y restamos los exponentes.

4

2

18


Kharla Mérida

Números Racionales

Aplicamos potencia de un cociente a los dos factores del numerador.

22 2 2

2 2

2 2

1 3 1 33 2 3 2

2 2

Efectuamos la multiplicación de fracciones del numerador, y simplificamos la potencia de base 3.

2 22 2 2

2 2 2

1 3 1

3 2 22 2

Transformamos la división en una multiplicación cambiando al divisor, 2, por su inverso, ½.

¿Identificas la raya de fracción principal?

22

2

1

22

El numerador de la fracción principal es una fracción, y el denominador es 2.

22

2

1 1

2 2

2 2

Numerador: Dividendo

Denominador: Divisor

3

2 22 3

2

1 1 1

2 2 2

Multiplicamos fracciones y potencias de igual base.

Aplicamos potencia de un cociente, y

potencia de potencia.

23 6

2 63

1 1

22

24 2

2

1 3

13 2

6412

3

Efectuamos las potencias

19


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Números Racionales

A Practicar

Efectuar las operaciones y obtener el resultado en la mínima expresión:

5 13 1 2

4 15 5 301. 2.

1 4 2 7 46

9 5 3 2 153.

4 1 2 316 12

3 11 3 7

6 1 1 3

5 2 4 44.

9 1 3 1 1

6 2 4 5 105.

1 7 1 1 1 1

8 4 4 12 6 186.

1 12

2 41 1

16 9

7.

2 3 1 1

5 2 4 6

3 54

10 2

8.

2 1 11

5 7 2

2 1 5

5 10 2

9.

11.

-8 0 6

11 -91 1 15 5

5 5 512.

-2 3 24 3 6 -19

2 2 3 3 3

3 3 2 2 2

13.

4-3 2 2

56 -3

1 9 10

6 4 6

9 3

2 10

14.

43 2

-2

53

-2

10 1215

21 25

449

15

20


Kharla Mérida

Números Racionales

¿Lo Hicimos Bien?

1. 2. 337

2703.

89

11

13

54.

5

65.

41

636.

11

12

63

347.

61

1088.

12

1759. 11. 625 12.

13.

11

25 7

2

3 514.

3 3 85 3 7

4

8

27

21

Presentación de PowerPointºmeros Racionales. Multiplicación y... · Matemática de 1er Año con...

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