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FUNCIONES RACIONALES

DEFINICIÓN: Se define una función racional aquella función cuya expresión es una fracción algebraica, esto es:

Donde son constantes

Por ejemplo:

TIPOS DE FUNCIONES RACIONALES: Funciones racionales propias: Son aquellas donde el grado del denominador es mayor al grado del numerador. P.ej:

Funciones racionales impropias: Son aquellas donde el grado del numerador es mayor o igual al grado del denominador. P.ej:

 

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Descomposición de una función racional propia en fracciones parciales

Para empezar con la descomposición de una función propia debemos factorizar el denominador en factores lineales o cuadráticos, una vez se realice dicha factorización procederemos a identificar que tipos de fracciones parciales aparecerán, para esto se tienen los siguientes casos:

1. Factores lineales simples: Se presentan cuando los factores generados son de tipo lineal (grado 1), esto es:

Note que en el denominador los factores cumplen con las siguientes características:

El exponente de la variable (en este caso x) es igual a 1. El exponente del factor en general es igual a 1.

En este caso se reescribe la función general como:

Donde A, B,…,N son constantes que representan los numeradores de las llamadas fracciones parciales Por ejemplo:

2. Factores lineales repetidos: Se presentan cuando en el denominador se repite varias veces el mismo factor lineal, esto es:

 

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Note que en el denominador los factores cumplen con las siguientes características:

El exponente de la variable (en este caso x) es igual a 1. El exponente del factor en general es diferente a 1.

En este caso se reescribe la función general como:

Donde A, B,…,N son constantes que representan los numeradores de las llamadas fracciones parciales

Por ejemplo:

3. Factores cuadráticos: Se presentan cuando en el denominador aparecen sumas de

cuadrados, esto es:

Note que en el denominador los factores cumplen con las siguientes características:

El exponente de la variable (en este caso x) es igual a 2. El exponente del factor en general es igual a 1.

En este caso se reescribe la función general como:

Donde A, B son constantes que representan los numeradores de las llamadas fracciones parciales

Por ejemplo:

 

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4. Factores cuadráticos repetidos: Se presentan cuando en el denominador se repite varias veces el mismo factor cuadrático, esto es:

Note que en el denominador los factores cumplen con las siguientes características:

El exponente de la variable (en este caso x) es igual a 2. El exponente del factor en general es diferente a 1.

En este caso se reescribe la función general como:

Donde A, B,…,N son constantes que representan los numeradores de las llamadas fracciones parciales

Por ejemplo:

Ahora bien todo girará en torno al cálculo de los valores que debe tomar cada una de las constantes que aparecen en el numerador de las fracciones parciales de tal modo que se cumplan las igualdades propuestas. Ejemplo 1: Descomponer en fracciones parciales la función

 

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1. Para empezar factorizamos el denominador de la función:

2. Ahora identificamos cada uno de los casos que aparecen en el denominador,

examinemos uno a uno los factores:

: Este es un factor lineal simple

: Este es un factor lineal simple

3. Reescribimos la función de acuerdo a cada tipo de factor

(1)

4. Ahora vamos a buscar los valores de las constantes A, B; C y D, para realizar esto realizaremos la suma de fraccionarios presente en las fracciones parciales, esto es:

4. Ahora igualamos los numeradores de la función original y del numerador de la nueva función calculada, esto es:

5.

6. Ahora reemplazamos x por diferentes valores en esta ecuación, para escoger estos valores igualamos cada denominador a cero y despejamos, estos valores serían: x=-3 (para el denominador x+3, esto sale de despejar x+3=0), x= -2 (para el denominador x+2, esto sale de despejar x+2=0)

 

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Reemplazando x =-3 se tiene:

Reemplazando x = -2 se tiene:

7. Dado que ya conocemos los valores de A y B simplemente reemplazamos en la ecuación (1) esto es:

Ahora bien, debe tenerse en cuenta que es posible tener varios casos en un mismo ejercicio, en el ejemplo a continuación se mostrará el manejo de este tipo de ejemplos y el cómo calcular los valores de las constantes que satisfacen la igualdad propuesta. Ejemplo 2: Descomponer en fracciones parciales la función

 

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1. Para empezar factorizamos el denominador de la función:

2. Ahora identificamos cada uno de los casos que aparecen en el denominador, examinemos uno a uno los factores:

: Este es un factor lineal repetido, tenga en cuenta que

: Este es un factor lineal simple

: Este es un factor lineal simple

3. Reescribimos la función de acuerdo a cada tipo de factor

4. Ahora vamos a buscar los valores de las constantes A, B; C y D, para realizar esto realizaremos la suma de fraccionarios presente en las fracciones parciales, esto es:

 

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5. Ahora igualamos los numeradores de la función original y del numerador de la nueva función calculada, esto es:

6. Ahora reemplazamos x por diferentes valores en la ecuación, para escoger estos valores igualamos cada denominador a cero y despejamos, estos valores serían: X=0 (para el denominador x2), x=0 (para el denominador x), x=3 (para el denominador x-3, esto sale de despejar x-3=0), x= -1 (para el denominador x+1, esto sale de despejar x+1=0) Note que dos valores de reemplazo son iguales (x=0) en este caso se necesita un valor de apoyo (puede ser cualquier valor diferente a los que ya se escogieron, como sugerencia toe valores cercanos a cero) para este caso escogeremos el valor x=1 (este valor se reemplaza únicamente después de realizar los demás valores) Reemplazando x =0 se tiene:

Reemplazando x = 3 se tiene:

Reemplazando x = -1 se tiene:

 

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Reemplazando por el valor arbitrario x=1 se tiene:

Debido a que ya calculamos los valores de B, C y D los reemplazamos en esta ecuación y calculamos A, esto es:

7. Dado que ya conocemos los valores de A, B, C, D simplemente reemplazamos en la primera ecuación esto es:

 

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Descomposición de una función racional impropia en fracciones parciales

Para descomponer una fracción impropia en fracciones parciales primero realizaremos la división algebraica de sus términos, esto es:

Si calculamos: , si llamamos C(x) a la solución de

la división y R(x) a la función residuo de dicha división tenemos que:

Donde la función es una función racional propia que podemos descomponer como

vimos previamente. Por ejemplo: Descomponer en fracciones parciales la función:

Empezamos realizando la división:

Donde el resultado del cociente es C(x)= x y el residuo es R(x)= 3x+2 Por lo tanto:

 

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NOTA: Para comprobar que este resultado es correcto basta con resolver la suma, si todo está bien llegaremos a la función inicial, veamos la comprobación en detalle:

Como sabemos que la nueva expresión es equivalente a la función original procedemos a la descomposición en fracciones parciales de la nueva función, esto es descomponer la

función , para evidenciar más fácilmente el proceso llamemos

g(x) a la función de tal modo que f(x)= x + g(x), y generemos la descomposición de

g(x) en fracciones parciales. Para esto seguimos los pasos anteriormente vistos:

1. Factorizar el denominador:

2. Identificar los tipos de factores presentes:

x+2: factor lineal x-2: factor lineal 3. Reescribir la función en fracciones parciales:

4. Realizar la suma de fraccionarios, esto es:

 

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5. Igualar los numeradores:

6. Asignar valores a x (en este caso x= -2 y x=2) Si x= -2

Si x= 2

7. Reemplazar los valores en la ecuación original:

Ahora que conocemos la descomposición de g(x) en fracciones parciales podemos calcular f(x) Recuerde que en este caso: f(x)= x + g(x) Por lo tanto:

 

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En síntesis: Para descomponer una función racional en fracciones parciales debemos: 0. Identificar qué tipo de función racional es (propia si el grado del denominador es mayor al grado del numerador, impropia si el grado del denominador es menor o igual al del numerador) Si la función es propia: 1. Factorizar el denominador: 2. Identificar los tipos de factores presentes 3. Reescribir la función en fracciones parciales 4. Realizar la suma de fraccionarios de las fracciones parciales 5. Igualar los numeradores de la función original y de la función resultante de la suma hecha en el paso 4 6. Asignar valores a x en la ecuación obtenida en el paso 5. (para esto igualar cada denominador a cero, en caso de obtener valores repetidos o valores imaginarios asignar valores arbitrarios de apoyo) 7. Reemplazar los valores en la ecuación original. Si la función es impropia: 1. Realizar la división

2. Reescribir la función como , donde C(x) es el resultado

de la división y R(x) su residuo.

3. Dado que es una función propia podemos generar la descomposición con los

pasos descritos anteriormente. 4. Una vez terminada esa descomposición reemplazar dicha descomposición en

Consejos para realizar adecuadamente la descomposición en fracciones parciales:

Es totalmente imprescindible el tener un manejo del álgebra adecuado, es decir

manejar conceptos y procedimientos propios de la factorización, división de expresiones algebraicas, suma de fracciones algebraicas, etc.

El número de fracciones parciales que debe aparecer depende del grado en el denominador de la función, (deben aparecer tantas fracciones parciales como el

 

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máximo exponente de la variable en el denominador)

Cuando todos los factores son lineales simples los valores de las constantes se encuentran reemplazando la variable por los ceros de cada denominador.

Cuando hay factores de otro tipo es necesario aplicar valores arbitrarios y pueden

llegar a generarse sistemas de ecuaciones lineales

Deben asignarse tantos valores (entre ceros de los denominadores y valores arbitrarios) como fracciones parciales tenga la función.

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES POR FRACCIONES PARCIALES

Ahora vamos solucionar integrales de funciones racionales, para esto vamos a seguir los siguientes pasos:

1. Descomponer la función en fracciones parciales.

2. Integrar cada fracción parcial de forma independiente. Para esto es indispensable calcular estas integrales por medio de sustitución o sustitución trigonométrica dependiendo del caso.

Para simplificar esto sintetizaremos varias de las integrales que podemos ver en la siguiente tabla:

 

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Donde a,b,d y n son constantes y c representa la constante de integración. Veamos ahora cómo aplicar la tabla viendo diferentes integrales:

Ejemplo 1: Calcular la integral:

Identifiquemos qué tipo de integral podemos aplicar en la tabla, para esto cambiemos por letras las constantes presentes en el ejercicio, esto sería:

Podemos evidenciar que el integrando se trata de la función propuesta en la segunda fila de la tabla, por lo tanto:

Si reemplazamos a, b y d por los valores del ejercicio tenemos:

 

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Ejemplo 2:

Reemplacemos las constantes por letras, esto sería:

Esta corresponde a la última función, por lo tanto:

Si reemplazamos a, b, d y n por los valores del ejercicio (a= 4, b=3, d=2 y n=4) tenemos:

Para terminar resolveremos un ejercicio completo, aplicando la técnica de fracciones parciales y resolviendo la integral resultante con la tabla: EJEMPLO:

Podemos evidenciar que se trata de una función propia (el denominador tiene un grado (4) mayor al grado del numerador (2)), por lo tanto procedemos a realizar la descomposición en fracciones parciales del integrando. Para esto:

 

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1. Factorizamos el denominador:

2. Identificamos los tipos de fracciones parciales presentes:

: Factor lineal

: Factor lineal

: Factor cuadrático

3. Reescribir la función en términos de las fracciones parciales:

Note que salen 4 fracciones debido a que el grado del denominador en el integrando es 4. 4. Realizar la suma de fracciones:

5. igualar los numeradores:

 

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6. Reemplazar x por los ceros de los denominadores y por valores arbitrarios: (x=2, x=-2 y escogeremos 2 valores arbitrarios x=0 y x=1) Si x= 2

Si x= -2

Si x= 0

Como conocemos A y B los reemplazamos en esta ecuación:

 

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Si x= 1

Como conocemos A, B y D los reemplazamos en esta ecuación:

7. reemplazamos los valores obtenidos en las fracciones parciales:

Ahora que realizamos la descomposición volvemos a la integral original y reemplazamos por los resultados obtenidos:

 

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Y separamos en diferentes integrales:

Solucionamos ahora usando la tabla, obteniendo: