Prepa Nº 2 (Operadores Diferenciales)l

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Matemticas VI (MA-2113)

Universidad Simn Bolvar.

Matemticas VI (MA-2113).

Preparadura n 2.

[email protected] ; @ChristianLaya

Integrales de superficies de campos vectoriales

Lado de una superficie: una superficie orientada es una superficie de dos lados, donde uno de ellos es

el lado exterior o positivo y el otro es el lado interior o negativo.

- Si el vector normal y unitario corresponde al lado positivo, entonces corresponde al lado negativo.

- Si la superficie es cerrada, en general, el vector que apunta hacia afuera es positivo y el que apunta

hacia adentro es negativo.

Sea una superficie orientada (en cada punto se define el vector ), es decir, est determinado el vector

; en cada punto de est definido un campo vectorial

Donde P, Q y R son funciones continuas de coordenadas x, y e z.

Sea definida por una parametrizacin de la forma , en este caso,

la integral de superficie de F se define como:

Donde la direccin del vector coincide en cada punto con la direccin de .

Bsicamente:

1. Sea . Sea S el disco dentro del plano . Determine el flujo de F hacia afuera de S.

Solucin:

Parametrizamos el plano:

A lo cual:

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Ahora bien, nos dicen que el vector normal apunta hacia afuera de S, lo que quiere decir que ste tiene z-

componente positiva. Al observar el vector vemos que tiene z-componente positiva, por ende, ambos

vectores tienen la misma orientacin y la integral mantiene su signo.

Teniendo entonces:

2. Calcule el flujo de F a travs , donde es la superficie representada por y F se

define por . Considere el vector normal como el radio-vector que va desde un punto en el borde de la semiesfera hasta su centro, formando un ngulo agudo con el eje z.

Solucin:

Tenemos que la superficie es una semiesfera negativa:

Procedemos a parametrizarla mediante el uso de coordenadas geogrficas:

Pero como slo trabajamos con la superficie de la semiesfera: . Teniendo:

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As:

As:

Como

se tiene que y , por ende, .

Entonces, tenemos que es un vector con z-componente negativa. Asimismo, el enunciado nos dice que

es un vector con orientacin positiva (Considere el vector normal como el radio-vector que va desde un p nt en e b rde de a semiesfera hasta s centr , f rmand n ng ag d c n e e e z), por lo tanto,

consideraremos que ste tiene z-componente positiva.

Como los vectores y tienen orientacin contraria debemos multiplicar por -1 la integral:

3. Calcular el flujo de F a travs de , donde es la parte superior del elipsoide

y

. Considere el vector normal unitario con z-componente no negativa.

Solucin:

Tenemos que:

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Como se tiene una funcin explcita:

Teniendo entonces que el vector normal vendr dado por la expresin:

A lo cual, lo nico que nos interesa saber es la componente z de ste pues, al ser positiva, nos indica que el

vector sale del elipsoide. Consideramos pues que dicho vector tiene orientacin positiva.

Adicionalmente, nos dicen que el vector tiene direccin positiva (sale del elipsoide). Por lo tanto, concluimos que ambos vectores tienen la misma direccin y, por ende, la integral queda positiva.

Siendo la regin D la definida por:

Lo cual corresponde a una elipse. Tomamos coordenadas polares:

Si

, entonces .

As:

La integral nos queda como:

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4. Considere el campo vectorial F dado por y S la superficie del slido limitado por los

planos coordenados y el plano de ecuacin . Considerando la normal unitaria que apunta hacia el exterior de S, calcule:

Solucin:

Procedemos a parametrizarlo mediante el uso de coordenadas cartesianas:

Teniendo entonces:

Tenemos que este vector tiene z-componente positiva, pero las componentes x e y son negativas, por

ende, diremos que entra al plano (orientacin negativa), la cual, es contraria a la direccin del vector .

rea )

Siendo D la regin definida por:

Graficamos:

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La integral nos queda:

5. Un fluido uniforme que cae verticalmente hacia abajo (lluvia fuerte), se describe por el campo vectorial

. Halle el flujo total a travs del cono tal que .

Solucin:

Procedemos a parametrizar mediante el uso de coordenadas cartesianas:

Entonces:

Como la z-componente es positiva, consideramos que el vector tiene orientacin tambin positiva (sale del

cono), al igual que la normal.

Rotacional, divergencia y Laplaciano

Supongamos que tenemos de clase . Sea .

Operador diferencial nabla:

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Rotacional:

Divergencia:

Laplaciano:

6. Si f es un campo escalar de clase y F es un campo vectorial de clase . Demuestre que:

Solucin:

Tenemos que:

Entonces:

7. Sean f y g dos campos escalares de clase y respectivamente. Demuestre que:

Solucin:

8


Tenemos que:

Entonces:

8. Sea F un campo vectorial de clase . Demuestre que:

Solucin:

Tenemos que:

Adicionalmente:

Entonces:

9. Un campo vectorial F se denomina irrotacional si . Determine el valor de las constantes de manera que el campo sea irrotacional:

Solucin:

Busquemos el rotacional de F:

9


Donde:

Entonces:

Frmula de Stokes

Sea S una superficie orientada, definida por , donde , una regin en la cual es

vlido el teorema de Green. Sea , una curva cerrada, simple y orientada.

Sea F un campo vectorial definido por , de clase y definida en S.

Lo cual definimos como la circulacin de un campo vectorial.

1. Sea la curva triangular de vrtices A(1,0,0), B(0,1,0) y C(0,0,2). Sea el campo vectorial definido por

. Calcule:

Solucin:

Graficamos la curva:

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Notemos que el enunciado del problema no nos da una orientacin. Por cuestiones de comodidad,

establezcamos que la curva est orientada en sentido horario visto desde el origen. As, por la regla de la

mano derecha, el vector normal tendr z-componente positiva.

Debemos buscar una superficie S que tenga como borde la curva . La superficie ms sencilla que se puede elegir es un plano que contenga a los tres puntos.

Construimos los vectores directores:

Un vector normal de este plano ser:

La ecuacin del plano ser:

Bsicamente, lo que tenemos es que:

Siendo S el plano hallado. Procedemos a parametrizarlo mediante el uso de coordenadas cartesianas:

Teniendo as:

Con z-componente positiva, la cual, coincide con la orientacin de , por el teorema de Stokes.

Buscamos:

Finalmente:

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rea )

Se agradece la notificacin de errores

Christian Laya

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