r

PARTEUNO

MODELOS,COMPUTADORASy ANÁLISISDELERROR 3

.1.

CONTENIDO

PREFACIO xvii

ACERCA DE LOS AUTORES xxiii

PTl .1 Motivación 3PTl.2 Antecedentes matemáticos 5PTl.3 Orientación 8

CAPÍTULO 1

Modelos matemáticos y solución de problemas en ingeniería 11

1.1 Un modelo matemático simple 111.2 Leyes de conservación e ingeniería 19Problemas 22

CAPíTULO 2

Programación y software 26

2.1 Paquetes y programación 262.2 Programación estructurado 282.3 Programación modular 372.4 Excel 382.5 MATLAB 42

2.6 Otros lenguajes y bibliotecas 47Problemas 48

CAPíTULO 3

Aproximaciones y erroresde redondeo 53

3.1 Cifras significativas 543.2 Exactitudy precisión 563.3 Definicionesde error 573.4 Erroresde redondeo 60Problemas 76

viii CONTENIDO

PARTEDOS

RAíCESDEECUACIONES 113

CAPíTULO 4

Errores de truncamiento y la serie de Taylor 78

4.1 Laserie de Taylor 784.2 Propagación del error 954.3 Error numéricototal 99

4.4 Equivocaciones,erroresde formulación e incertidumbreen los datos 101Problemas 103

EPílOGO: PARTEUNO 105

PTl.4 Alternativas 105

PTl.5 Relacionesy fórmulas importantes 108PTl.6 Métodos avanzados y referenciasadicionales 108

PT2.1 Motivación 113PT2.2 Antecedentesmatemáticos 115PT2.3 Orientación 116

CAPíTULO SMétodos cerrados 120

5.1 Métodos gráficos 1205.2 El métodode bisección 124

5.3 Método de la falsa posición 1315.4 Búsquedaspor incrementosy determinación de valores iniciales 138Problemas 139

CAPíTULO 6Métodos abiertos 142

6.1 Iteración simple de punto fijo 1436.2 Método de Newton-Raphson 1486.3 El método de la secante 154

6.4 Raícesmúltiples 1596.5 Sistemasde ecuacionesno lineales 162Problemas 167

CAPíTULO 7Raíces de polinomios 170

7.1 Polinomiosen la ciencia y en la ingeniería 1707.2 Cálculos con polinomios 1737.3 Métodos convencionales 1777.4 Método de Müller 1777.5 Método de Bairstow 1817.6 Otros métodos 187

PARTE TRES

ECUACIONE!ALGEBRAIC'LINEALES 2

L

CONTENIDO

101

PARTETRES

ECUACIONESALGEBRAICASLINEALES 233

7.7 localización de raíces con bibliotecas y paquetes de software 187Problemas 197

CAPíTULO 8Estudio de casos: raíces de ecuaciones 199

8.1 leyes de los gases ideales y no ideales (ingeniería química y bioquímica) 199

8.2 Flujo en un canal abierto (ingeniería civil e ingeniería ambiental) 2028.3 Diseño de un circuito eléctrico (ingeniería eléctrica) 206

8.4 Análisis de vibraciones (ingeniería mecánica e ingeniería aeronáutica) 209Problemas 21 6

EPílOGO: PARTEDOS 227

PT2.4 Alternativas 227

PT2.5 Relacionesy fórmulas importantes 228PT2.6 Métodos avanzados y referenciasadicionales 228

PT3.1 Motivación 233

PT3.2 Antecedentes matemáticos 236

PT3.3 Orientación 244

CAPíTULO 9Eliminación de Gauss 247

9.1 Solución de sistemas pequeños de ecuaciones 247

9.2 Eliminación de Gauss simple 2549.3 Dificultades en los métodos de eliminación 261

9.4 Técnicas para mejorar las soluciones 267

9.5 Sistemas complejos 2759.6 Sistemas de ecuaciones no lineales 275

9.7 Gauss-Jordan 2779.8 Resumen 279

Problemas 279

CAPíTULO 10Descomposición LU e inversión de matrices 282

10.1 DescomposiciónLU 28210.2 la matriz inversa 292

10.3 Análisis del error y condición del sistema 297Problemas 303

CAPíTULO11Matrices especiales y el método de Gauss-Seidel 305

11.1 Matricesespeciales 30511.2 Gauss-Seidel 310

ix

x CONTENIDO

PARTECUATRO

OPTIMIZACIÓN353

11.3 Ecuaciones algebraicas lineales con bibliotecas y paquetes de software 317Problemas 324

CAPíTULO 12Estudio de casos: ecuaciones algebraicas lineales 327

12.1 Análisis en estado estacionario de un sistema de reactores

(ingeniería química/bioingeniería) 32712.2 Análisis de una armadura estática mente determinada

(ingeniería civil/ambiental) 330

12.3 Corrientes y voltajes en circuitos con resistores (ingeniería eléctrica) 334

12.4 Sistemas masa-resorte (ingeniería mecánica/aeronáutica) 336Problemas 339

EPílOGO: PARTETRES 349

PT3.4 Alternativas 349

PT3.5 Relacionesy fórmulas importantes 350PT3.6 Métodos avanzados y referenciasadicionales 350

PARTECINC

AJUSTEDE CURVAS

PT4.1 Motivación 353PT4.2 Antecedentesmatemáticos 358PT4.3 Orientación 360

CAPíTULO 13

Optimización unidimensional no restringida 363

13.1 Búsquedade la sección dorada 36413.2 Interpolación cuadrática 37113.3 Método de Newton 373Problemas 375

CAPíTULO 14

Optimización multidimensional no restringida 37714.1 Métodos directos 378

14.2 Métodos con gradiente 382Problemas 396

CAPíTULO 15Optimización restringida 398

15.1 Programaciónlineal 39815.2 Optimización restringida no lineal 40915.3 Optimización con bibliotecas y paquetesde software 410Problemas 422

,CONTENIDO xi

¡oftware 317

ea) 334

PARTECINCO

AJUSTEDE CURVAS 451

CAPíTULO 16Aplicaciones en ingeniería: optimización 424

16.1 Diseñode un tanque con el menor costo(ingeniería química/bioingeniería) 424

16.2 Mínimo costo para el tratamiento de aguas residuales(ingeniería civil/ambiental) 429

16.3 Máxima transferenciade potencia en un circuito (ingeniería eléctrica) 43316.4 Diseño de una bicicleta de montaña (ingeniería mecánica/aeronáutica) 436Problemas 440

EPílOGO: PARTECUATRO 447PT4.4 Alternativas 447PT4.5 Referenciasadicionales 448

PT5.1 Motivación 451PT5.2 Antecedentesmatemáticos 453PT5.3 Orientación 462

CAPíTULO 17

Regresión por mínimos cuadrados 466

17.1 Regresiónlineal 46617.2 Regresiónpolinomial 48217.3 Regresiónlineal múltiple 48617.4 Mínimos cuadrados lineales en general 48917.5 Regresiónno lineal 495Problemas 499

CAPÍTULO 18Interpolación 503

18.1 Interpolaciónpolinomialde Newton en diferencias divididas 50318.2 Polin'omiosde interpolación de Lagrange 51618.3 Coeficientesde un polinomio de interpolación 52018.4 Interpolación inversa 52118.5 Comentariosadicionales 522

18.6 Interpelación mediantetrazadores (splines) 525Problemas 537

CAPíTULO 19Aproximación de Fourier 539

19,1 Ajustede curvas con funcionessinusoidales 54019.2 Seriede Fouriercontinua 546

19,3 Dominios de frecuencia y de tiempo 551

xii CONTENIDO

PARTESEIS

DIFERENCIACiÓNE INTEGRACiÓNNUMÉRICAS 603

19.4 Integral y transformadade Fourier 55419.5 Transformadadiscreta de Fourier (TDF) 55619.6 Transformadarápida de Fourier 55819.7 Elespectrode potencia 56519.8 Ajuste de curvas con bibliotecas y paquetesde software 566Problemas 575

CAPíTULO 20Estudio de casos: ajuste de curvas 578

20.1 Regresiónlineal y modelos de población (ingeniería química/

bioingeniería) 578

20.2 Uso de trazadores para estimar la transferencia de calor(ingeniería civil/ambiental) 582

20.3 Análisis de Fourier (ingeniería eléctrica) 584

20.4 Análisis de datos experimentales (ingeniería mecánica/aeronáutica) 585Problemas 587

EPílOGO: PARTECINCO

PT5.4 Alternativas 597

PT5.5 Relacionesy fórmulas importantes 598PT5.6 Métodos avanzados y referenciasadicionales 599

PT6.1 Motivación 603PT6.2 Antecedentes matemáticos 612PT6.3 Orientación 615

PARTESIET

CAPíTULO 21

Fórmulas de integración de Newton-Cotes 619

21.1 La regla del trapecio 62121.2 Reglas de Simpson 63121.3 Integración con segmentos desiguales 64021.4 Fórmulas de integración abierta 64321.5 Integrales múltiples 643Problemas 645

ECUACIONDIFERENCI,ORDINARI.

CAPíTULO 22

Integración de ecuaciones 648

22.1 Algoritmos de Newton-Cotes para ecuaciones 64822.2 Integración de Romberg 64922.3 Cuadratura de Gauss 655

22.4 Integralesimpropias 663Problemas 666

ica) 585

.....

PARTESIETE

ECUACIONESDIFERENCIALESORDINARIAS 709

CONTENIDO

CAPÍTULO 23Diferenciación numérica 668

23.1 Fórmulas de diferenciación con alta exactitud 668

23.2 Extrapolación de Richardson 672

23.3 Derivadas de datos irregularmente espaciados 673

23.4 Derivadas e integrales para datos con errores 674

23.5 Integración/diferenciación numéricas con bibliotecas y paquetes de software 676Problemas 679

CAPíTULO 24

Estudio de casos: integración y diferenciación numéricas 682

24.1 Integración para determinar la cantidad total de calor

(ingeniería química/bioingeniería) 68224.2 Fuerza efectiva sobre el mástil de un bote de vela de carreras

(ingeniería civil/ambiental) 68424.3 Raíz media cuadrática de la corriente mediante integración

numérica (ingeniería eléctrica) 687

24.4 Integración numérica para calcular el trabajo

(ingeniería mecánica/aeronáutica) 689Problemas 693

EPílOGO: PARTESEIS 704PT6.4Alternativas 704

PT6.5 Relacionesy fórmulas importantes 705PT6.6 Métodos avanzados y referenciasadicionales 705

PT7.1 Motivación 709PTl.2 Antecedentesmatemáticos 713PT7.3 Orientación 715

CAPÍTULO 2S

Métodos de Runge-Kutta 71925.1 Método de Euler 720

25.2 Mejoras del métodode Euler 73225.3 Métodos de Runge-Kutta 74025.4 Sistemasde ecuaciones 751

25.5 Métodos adaptativos de Runge-Kutta 756Problemas 764

CAPíTULO 26Métodos rígidos y de pasos múltiples 767

26.1 Rigidez 76726.2 Métodos de pasosmúltiples 771Problemas 792

xiii

xiv CONTENIDO

PARTEOCHO

ECUACIONESDIFERENCIALESPARCIALES 859

CAPíTULO 27

Problemas de valores en la frontera y de valores propios 79427.1 Métodos generales para problemas de valores en la frontera 79527.2 Problemas de valores propios 80127.3 EDO y valores propios con bibliotecas y paquetes de software 814Problemas 822

CAPíTULO 28Estudio de casos: ecuaciones diferenciales ordinarias 82528.1 Uso de las EDO para analizar la respuesta transitoria de un reactor

(ingeniería química/bioingeniería) 82528.2 Modelos depredador-presa y caos (ingeniería civil/ambiental) 83128.3 Simulación de la corriente transitoria en un circuito eléctrico

(ingeniería eléctrica) 83728.4 El péndulo oscilante (ingeniería mecánica/aeronáutica) 842Problemas 846

EPílOGO: PARTESIETE 854PT7.4 Alternativas 854

PT7.5 Relaciones y fórmulas importantes 855PT7.6 Métodos avanzados y referencias adicionales 855

PT8.1 Motivación 859PT8.2 Orientación 862

CAPíTULO 29

Diferencias finitas: ecuaciones elípticas 86629.1 La ecuación de Laplace 86629.2 Técnica de solución 86829.3 Condiciones en la frontera 87529.4 El método del volumen de control 881

29.5 Software para resolver ecuaciones elípticas 884Problemas 885

CAPíTULO 30

Diferencias finitas: ecuaciones parabólicas 88730.1 La ecuación de conducción de calor 887

30.2 Métodos explícitos 88830.3 Un método implícito simple 89330.4 El método de Crank-Nicolson 896

30.5 Ecuaciones parabólicas en dos dimensiones espaciales 899Problemas 903

I ..CONTENIDO

794'95

CAPíTULO 31Método del elemento finito 905

31 .1 Elenfoque general 90631.2 Aplicación del elemento finito en una dimensión 91031.3 Problemas bidimensionales 919

31.4 Resolución de EDPcon bibliotecas y paquetes de software 923Problemas 930

814

:tor

CAPíTULO 32

Estudio de casos: ecuaciones diferenciales parciales 93332.1 Balance de masa unidimensional de un reactor (ingeniería química/

bioingeniería) 93332.2 Deflexiones de una placa (ingeniería civil/ambiental) 93832.3 Problemas de campo electrostático bidimensional (ingeniería eléctrica) 94032.4 Solución por elemento finito de una serie de resortes (ingeniería mecánica/

aeronáutica) 943Problemas 947

831

EPílOGO: PARTEOCHO 949PT8.3 Alternativas 949

PT8.4 Relaciones y fórmulas importantes 949PT8.5 Métodos avanzados y referencias adicionales 950

APÉNDICE A: LA SERIEDE FOURIER 951

APÉNDICE B: EMPECEMOS CON MATLAB 953

BIBLIOGRAFíA 961

íNDICE 965

xv