Pré-Cálculo · A função de Euler e a medida de ângulos em radianos Sejam R o conjunto dos...
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Pré-Cálculo
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Parte 6
Parte 6 Pré-Cálculo 1
Trigonometria
Parte 6 Pré-Cálculo 2
Trigonometria
trigonometria
triângulo retângulo funções trigonométricas
(seno de um ângulo) (seno de um número real)
Parte 6 Pré-Cálculo 3
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Parte 6 Pré-Cálculo 4
O que é um ângulo?Diversos autores dão definições diferentes!
Muitas definições são ambíguas!
Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de CarlosRoberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História & EducaçãoMatemática, v. 1, n. 1, pp. 23-37, 2001 (disponível na página WEB do curso).
Parte 6 Pré-Cálculo 5
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
A
b
a
c
C
B
sen(B̂) =cateto oposto
hipotenusa=
ba, cos(B̂) =
cateto adjacentehipotenusa
=ca,
tg(B̂) =cateto oposto
cateto adjacente=
bc.
Parte 6 Pré-Cálculo 6
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudoImportante: cos(B̂) e sen(B̂) dependem apenas do ângulo B̂ mas não dotamanho do triângulo retângulo do qual B̂ é um dos ângulos agudos. Defato:
ΔABC ∼ ΔA′B′C′ ⇒ b′
a′ =ba
ec′
a′ =ca
⇒ sen(B̂′) = sen(B̂) e cos(B̂′) = cos(B̂).
A semelhança de triângulos é a base de sustentação da Trigonometria!
A
b
c
C
B A
b
a
c
C
B
a
Parte 6 Pré-Cálculo 7
Identidade trigonométrica fundamental
A
b
a
c
C
B
(cos(B̂)
)2+(
sen(B̂))2
=c2
a2 +b2
a2 =b2 + c2
a2(∗)=
a2
a2 = 1
onde, em (∗), usamos o Teorema de Pitágoras.
Parte 6 Pré-Cálculo 8
Notações
cos2(B̂) significa(
cos(B̂))2
e sen2(B̂) significa(
sen(B̂))2
.
A identidade trigonométrica fundamental fica então escrita assim:
cos2(B̂) + sen2(B̂) = 1.
Parte 6 Pré-Cálculo 9
Funções Trigonométricas
Parte 6 Pré-Cálculo 10
A função de Euler e a medida de ângulos em radianos
(http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-euler-br.html ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/ftr/ftr-html/ftr-eul
Parte 6 Pré-Cálculo 11
A função de Euler e a medida de ângulos em radianosSejam R o conjunto dos números reais e C o círculo unitário de centro na origem:C = {(x , y) ∈ R
2 | x2 + y2 = 1}. A função de Euler E : R → C faz corresponder acada número real t o ponto E(t) = (x , y) de C do seguinte modo:
� E(0) = (1, 0).� Se t > 0, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1, 0), um
caminho de comprimento t , sempre andando no sentido positivo (contrário aomovimento dos ponteiros de um relógio comum, ou seja, o sentido que nos levade (1, 0) para (0, 1) pelo caminho mais curto sobre C). O ponto final do caminhoserá chamado E(t).
� Se t < 0, E(t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de comprimento|t |, que parte do ponto (1, 0) e percorre C sempre no sentido negativo (isto é, nosentido do movimento dos ponteiros de um relógio usual).
A função de Euler E : R → C pode ser imaginada como o processo de enrolar a reta,identificada a um fio inextensível, sobre a circunferência C (pensada como um carretel)de modo que o ponto 0 em R caia sobre o ponto (1, 0) em C.
Escrevendo A = (1, 0), O = (0, 0) e, para cada t em R, P = E(t), dizemos neste casoque o ângulo AOP mede t radianos.
Parte 6 Pré-Cálculo 12
A função de Euler e a medida de ângulos em graus
Também é possível definir uma função G : R → C pondo
G(s) = E(
2πs360
), para todo s real.
Escrevendo A = (1, 0), O = (0, 0) e, para cada s em R, P = G(s), dizemos neste casoque o ângulo AOP mede s graus.
Parte 6 Pré-Cálculo 13
A função de Euler e a medida de ângulos em graus
(http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-euler-br.html ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/ftr/ftr-html/ftr-eul
Parte 6 Pré-Cálculo 14
A função de Euler e a medida de ângulos em graus
O ângulo AOP mede 1 grau quando B = G(1), ou seja, quando o arco AP temcomprimento igual a 2π/360. Em outras palavras, o ângulo de 1 grau é aquele quesubtende um arco igual a 1/360 da circunferência. Escreve-se 1 grau = 1◦ e 1 radiano= 1 rad. Como a circunferência inteira tem 2π radianos e 360 graus, segue-se que2πrad = 360◦, ou seja,
1rad =
(3602π
)◦= 57.295779513082320876798154814105170332406... graus.
Parte 6 Pré-Cálculo 15
Seno e cosseno de números reais (caso: radianos)
(http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-def-br.html ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/ftr/ftr-html/ftr-def-b
Parte 6 Pré-Cálculo 16
Seno e cosseno de números reais (caso: radianos)
As funções cos : R → R e sen : R → R, chamadas função cosseno e função senorespectivamente, são definidas pondo-se, para cada t em R:
E(t) = (cos(t), sen(t)).
Noutras palavras, x = cos(t) e y = sen(t) são respectivamente a abscissa e a orde-nada do ponto E(t) da circunferência unitária. Note que, aqui, o número real t dáa medida do ângulo AOP em radianos!.
Parte 6 Pré-Cálculo 17
Seno e cosseno de números reais (caso: graus)
(http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-def-br.html ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/ftr/ftr-html/ftr-def-b
Parte 6 Pré-Cálculo 18
Seno e cosseno de números reais (caso: graus)
Nas definições das funções seno e cosseno dadas anteriormente, o número real tdá a medida do ângulo AOP em radianos. Se, no lugar de medidas em radianos,usarmos medidas em graus, obteremos outras funções que, por abuso de notação,também serão representadas por cos e sen. Elas são definidas pondo-se, para cadas em R:
G(s) = (cos(s), sen(s)).
Noutras palavras, x = cos(s) e y = sen(s) são respectivamente a abscissa ea ordenada do ponto G(s) da circunferência unitária.
Parte 6 Pré-Cálculo 19
Identidades trigonométricas
(Ir para o GeoGebra)
Parte 6 Pré-Cálculo 20
Identidades trigonométricas
(Ir para o GeoGebra)
Parte 6 Pré-Cálculo 21
Identidades trigonométricas
(Ir para o GeoGebra)
Parte 6 Pré-Cálculo 22
A função tangente
Parte 6 Pré-Cálculo 23
A função tangente
f (x) = tg(x) =sen(x)cos(x)
Qual é o domínio natural da função tangente?
D = {x ∈ R | cos(x) �= 0} = {x ∈ R | x �= π/2 + k · π, com k ∈ Z}
Parte 6 Pré-Cálculo 24
O gráfico da função tangente
(http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-tangente-rad-br.html ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/ftr/ftr-html/
Parte 6 Pré-Cálculo 25
A função secante
Parte 6 Pré-Cálculo 26
A função secante
f (x) = sec(x) =1
cos(x)
Qual é o domínio natural da função secante?
D = {x ∈ R | cos(x) �= 0} = {x ∈ R | x �= π/2 + k · π, com k ∈ Z}
Parte 6 Pré-Cálculo 27
A função secante
Parte 6 Pré-Cálculo 28
A função cossecante
Parte 6 Pré-Cálculo 29
A função cossecante
f (x) = cossec(x) =1
sen(x)
Qual é o domínio natural da função cossecante?
D = {x ∈ R | sen(x) �= 0} = {x ∈ R | x �= k · π, com k ∈ Z}
Parte 6 Pré-Cálculo 30
A função cossecante
Parte 6 Pré-Cálculo 31
A função cotangente
Parte 6 Pré-Cálculo 32
A função cotangente
f (x) = cotg(x) =cos(x)sen(x)
Qual é o domínio natural da função cotangente?
D = {x ∈ R | sen(x) �= 0} = {x ∈ R | x �= k · π, com k ∈ Z}
Parte 6 Pré-Cálculo 33
A função cotangente
Parte 6 Pré-Cálculo 34
A função arco seno
Parte 6 Pré-Cálculo 35
A função arco senof : R → R
x �→ y = f (x) = sen(x)não é inversível, pois não é injetiva.
Parte 6 Pré-Cálculo 36
A função arco senof : [−π/2,+π/2] → [−1,+1]
x �→ y = f (x) = sen(x)é inversível, pois é bijetiva.
Parte 6 Pré-Cálculo 37
A função arco senof−1 : [−1,+1] → [−π/2,+π/2]
x �→ y = f−1(x) = arcsen(x)é sua função inversa.
Parte 6 Pré-Cálculo 38
Exemplof−1 : [−1,+1] → [−π/2,+π/2]
x �→ y = f−1(x) = arcsen(x)é sua função inversa.
Parte 6 Pré-Cálculo 39
A função arco seno
Mostre que cos(arcsen(x)) =√
1 − x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 ⇒ [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1
⇒ [cos(arcsen(x))]2 = 1 − x2
⇒√
[cos(arcsen(x))]2 =√
1 − x2
⇒ | cos(arcsen(x))| =√
1 − x2
⇒ cos(arcsen(x)) =√
1 − x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arcsen(x) ∈ (−π/2,+π/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.
Parte 6 Pré-Cálculo 40
A função arco cosseno
Parte 6 Pré-Cálculo 41
A função arco cossenof : R → R
x �→ y = f (x) = cos(x)não é inversível, pois não é injetiva.
Parte 6 Pré-Cálculo 42
A função arco cossenof : [0, π] → [−1,+1]
x �→ y = f (x) = cos(x)é inversível, pois é bijetiva.
Parte 6 Pré-Cálculo 43
A função arco cossenof−1 : [−1,+1] → [0, π]
x �→ y = f−1(x) = arccos(x)é sua função inversa.
Parte 6 Pré-Cálculo 44
A função arco cossenof−1 : [−1,+1] → [0, π]
x �→ y = f−1(x) = arccos(x)é sua função inversa.
Parte 6 Pré-Cálculo 45
A função arco cosseno
Mostre que sen(arccos(x)) =√
1 − x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arccos(x))]2 + [sen(arccos(x))]2 = 1 ⇒ x2 + [sen(arccos(x))]2 = 1
⇒ [sen(arccos(x))]2 = 1 − x2
⇒√
[sen(arccos(x))]2 =√
1 − x2
⇒ | sen(arccos(x))| =√
1 − x2
⇒ sen(arccos(x)) =√
1 − x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arccos(x) ∈ (0, π) e, assim, sen(arcsen(x)) > 0.
Parte 6 Pré-Cálculo 46
A função arco tangente
Parte 6 Pré-Cálculo 47
A função arco tangentef : R− {π/2 + k · π | k ∈ Z} → R
x �→ y = f (x) = tg(x)não é inversível.
Parte 6 Pré-Cálculo 48
A função arco tangentef : (−π/2,+π/2) → R
x �→ y = f (x) = tg(x)é inversível, pois é bijetiva.
Parte 6 Pré-Cálculo 49
A função arco tangentef−1 : R → (−π/2,+π/2)
x �→ y = f−1(x) = arctg(x)é sua função inversa.
Parte 6 Pré-Cálculo 50
A função arco tangentef−1 : R → (−π/2,+π/2)
x �→ y = f−1(x) = arctg(x)é sua função inversa.
Parte 6 Pré-Cálculo 51
A função arco tangente
Mostre que sec2(arctg(x)) = 1 + x2, para x ∈ R.
Demonstração.
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2 = 1⇓
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2
cos2(arctg(x))=
1cos2(arctg(x))
⇓1 + tg2(arctg(x)) = sec2(arctg(x))
⇓1 + x2 = sec2(arctg(x))
⇓sec2(arctg(x)) = 1 + x2.
Parte 6 Pré-Cálculo 52
As fórmulas de adição
Parte 6 Pré-Cálculo 53
As fórmulas de adição
OA = cos(α+ β),
OE = cos(β),EC = sen(β),AB = DE = sen(α) · sen(β),OB = cos(α) · cos(β).
cos(α+ β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
Parte 6 Pré-Cálculo 54
As fórmulas de adição
cos(α+ β) = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
cos(α− β) = cos(α+ (−β))
= cos(α) · cos(−β)− sen(α) · sen(−β)
= cos(α) cos(β) + sen(α) · sen(β).
cos(2α) = cos(α+ α) = cos2(α)− sen2(α).
Parte 6 Pré-Cálculo 55
As fórmulas de adição
Já vimos que:
sen(π
2+ t
)= cos(t), − cos
(π2+ t
)= sen(t).
Agora:
sen(α+ β) = − cos(π
2+ α+ β
)= − cos
(π2+ α
)· cos(β) + sen
(π2+ α
)· sen(β)
= sen(α) · cos(β) + cos(α) · sen(β).
Logo:
sen(α− β) = sen(α) · cos(β)− cos(α) · sen(β) e
sen(2α) = 2 sen(α) · cos(α).
Parte 6 Pré-Cálculo 56