解答編

1-1

①3

3= 1 ②

2

4=

1

2③

−4

2= −2

1-2

比例は「𝑦 = 𝑎𝑥」の形であらわすことができる

① ○ ② × ③ × ④ ○

① 𝑦 = 2𝑥 ② 𝑦 = 2𝑥2 ③ 𝑦 = 2𝑥 + 1 ④ 𝑦 = −3𝑥

1-3

① 2秒後・・・ 𝑦 = 5 × 22 𝑦 = 20 （m）5秒後・・・ 𝑦 = 5 × 52 𝑦 = 125 （m）

② 125 − 20 = 105 （m）③ 105 ÷ 5 − 2 = 35 （m/秒）④ 4秒後・・・ 𝑦 = 5 × 42 𝑦 = 80 （m） ③

125－80 ÷ 5 − 4 = 45 （m/秒）

⑤ 𝑣 = 10 × 5 𝑣 = 50 （m/秒）

解答編

1-5

1-6

1-4と同じ考え方を使用する𝑎 3 + －1 = 42𝑎 = 4𝑎 = 2

1-4と同じ考え方を使用する𝑦 = 𝑎𝑥2で、xの値が2から 4まで増加するときの変化の割合𝑎 4 + 2 = 6𝑎

𝑦 = −3𝑥 + 2の変化の割合は、どこで調べても−3したがって、 6𝑎 = −3

𝑎 = −1

2

1-4

𝑦 = 2𝑥2の xの値 1から 3まで増加するときの変化の割合は

変化の割合 =𝑦の増加量

𝑥の増加量

=2×32−2×12

3−1=

2× 3+1 3−1

3−1= 2 × 3 + 1

① 𝑦 = 2𝑥2 2 × 3 + 1 = 8① 𝑦 = −𝑥2 −1 × 3 + 1 = −4

② 𝑦 = 2𝑥2 2 × −3 + −1 = −8① 𝑦 = −𝑥2 −1 × −3 + −1 = 4

解答編

8

4

l

1-7

(1) 放物線はA 2, −2 を通るので、 2 = 𝑎 −2 2

よって 𝑎 =1

2となる（ 𝑦 =

1

2𝑥2 ）

(2) 直線lはA 2, −2 と 0, 4 を通るので、𝑦 = 𝑥 + 4

この2つの式を連立して解く

𝑦 =

1

2𝑥2

𝑦 = 𝑥 + 41

2𝑥2＝𝑥 + 4 ⇔ 𝑥2 − 2𝑥 − 8＝0

𝑥 + 2 𝑥 − 4 ＝0 ⇔ 𝑥 = −2, 4

したがって、Bの座標は 4, 8

(3) △OABは図のように分けると△ 4 × 2 ÷ 2 = 4△ 4 × 4 ÷ 2 = 8

合わせると △OAB= 12

8

4

l

解答編

4

4

l

C

(1) 放物線はA 2, 1 を通るので、 1 = 𝑎 × 22

よって 𝑎 =1

4となる（ 𝑦 =

1

4𝑥2 ）

(2) 直線lはA 2, 1 と 0, −2 を通るので、

𝑦 =3

2𝑥 − 2

この2つの式を連立して解く

𝑦 =

1

4𝑥2

𝑦 =3

2𝑥 − 2

1

4𝑥2 =

3

2𝑥 + 4 ⇔ 𝑥2 − 6𝑥 + 8＝0

𝑥 − 2 𝑥 − 4 ＝0 ⇔ 𝑥 = 2, 4

したがって、Bの座標は 4, 4

(3) △OABは図のように△OBC－△OCAで求められる。Cの座標は4

3, 0

△4

3× 4 ÷ 2 =

8

3△

4

3× 1 ÷ 2 =

2

3

△OBC－△OCA =8

3−

2

3△OAB＝2

解答編

2-1

判別のポイント

ア. 原点（0，0）を通る上に開いた形 a

イ. 軸がずれている上に開いた形 b

ウ. 原点（0，0）を通る下に開いた形 d

エ. 切片がずれている下に開いた形 c

① ア 𝑦 = 2𝑥2 イ 𝑦 = 𝑥 − 3 2 ウ 𝑦 = −3𝑥2 エ 𝑦 = −𝑥2 − 2

②

xの範囲が軸を含む場合は、最大値（または最小値）が軸の時の値になる

2次関数の変域のポイント

𝑦 = 2𝑥2 、 𝑦 = −𝑥2 − 1はいずれも軸が 𝑥 = 0 のときで、それぞれ𝑦 = 0、𝑦 = −1である。

ア. 2 ≦ 𝑦 ≦ 8 、 −5 ≦ 𝑦 ≦ −2

イ. 2 ≦ 𝑦 ≦ 72 、 −37 ≦ 𝑦 ≦ −2

ウ. 0 ≦ 𝑦 ≦ 50 、 −26 ≦ 𝑦 ≦ −1 ※軸と𝑥 = 5が最大または最小になる

エ. 0 ≦ 𝑦 ≦ 32 、 −17 ≦ 𝑥 ≦ −1 ※軸と𝑥 = −4が最大または最小になる

解答編

2-2

① 軸は 𝑥 = 0最大値 1（ 𝑥 = 0のとき）最小値 −3（ 𝑥 = 2のとき）

② 軸は 𝑥 = 4最大値 −4 （ 𝑥 = 2のとき）最小値 −25（ 𝑥 = −1のとき）

③ 軸は 𝑥 = 1最大値 31（ 𝑥 = −1のとき）最小値 3（ 𝑥 = 1のとき）

この形を意識してください。

解答編

2-3

① 与えられた2次関数は、𝑥2の係数がマイナスなので、上に凸のグラフ最大値は軸のところとなる。

𝑦 = −𝑥2 + 2𝑘𝑥 = − 𝑥 − 𝑘 2・・・から、この2次関数の軸は𝑥 = 𝑘であり、𝑥 = 4のとき最大となるので、𝑘 = 4

つまり、この2次関数は、 𝑦 = −𝑥2 + 8𝑥であり、 𝑥 = 4のとき最大値をとる。したがって、𝑦の最大値は、16

② 与えられた2次関数は、𝑥2の係数が不明だが、最小値があるのは、下に凸のグラフであり、最小値は軸のところとなる。このことから 𝑎 > 0であることがわかる。

𝑦 = 𝑎𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 1 ↔ 𝑦 = 𝑎 𝑥 − 1 2・・・からこの2次関数の軸は𝑥 = 1つまり、𝑥 = 1のとき𝑦は最小値−2をとるはずである。

したがって、 𝑦 = 𝑎𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 1に 𝑥 = 1, 𝑦 = −2を代入して𝑎 − 2𝑎 + 1 = −2−𝑎 + 1 = −2𝑎 = 3

解答編

2-5

𝑥は時間なので、0秒以上。また、 𝑦は高さなので0ｍ以上でなければならないため、与えられた式が0になるときの𝑥の値を求めることで、変域が分かる

𝑦 = 20𝑥 − 5𝑥2 ⇔ 𝑦 = 5𝑥 4 − 𝑥⇒ 𝑥 = 4のとき、𝑦 = 0となる。

つまり、ボールを投げ上げてから4秒後に初めの高さに戻ることになる。したがって𝑥の変域は 0 ≦ 𝑥 ≦ 4

①

② 𝑦の値が最大になるのは、軸のときで、 𝑥 = 2のときこのとき、 𝑦 = 20したがって、最大の高さは20𝑚

2-6

①

②

もとの売上金は200×500円と表せるので、問題の条件を加味して𝑦 = 200 + 𝑥 500 − 2𝑥

①より𝑦 = 200 + 𝑥 500 − 2𝑥

売上金額が最大になるのは、軸のところとなるので、𝑥 = 25のとき

したがって、 𝑥 = 25のとき、最大となるので、25円値上げした時が売上金額が最大となる。

2-4

この2次関数の軸は𝑥 = 2、 𝑦軸との交点は（ 0, 𝑘 ）であることからグラフを考える。下のグラフのように、正と負の実数解をひとつずつ持つkは、𝑘 < 0

解答編

3-1① 与式＝2（3＋2－4）＝21＝2② 与式＝3（3＋5－4）＝34＝81③ 与式＝25×（22）-2＝ 25×2-4＝21＝2

④ 与式＝ −33

43

1

3= −

3

4

⑤ 与式＝ 33 21

3 = 32 = 9

⑥ 与式＝ 24 ∙ 31

3 22 ∙ 321

3 = 26 ∙ 331

3 = 22 ∙ 3 = 12

⑦ 与式＝ 261

3

1

2= 21 = 2

⑧ 与式＝ 241

4 = 21 = 2

⑨ 与式＝ 321

6

3

= 31 = 3

① 与式＝ 3−31

5 3−21

5 = 3−3 ∙ 3−21

5 = 3−51

5 = 3−1 =1

3

② 与式＝323 ∙ 3 + 2

33 +

3−34= 2

33 + 2

33 − 3

33 =

33

③ 与式＝36−3

2 = 22 ∙ 32 −3

2 = 2−3 ∙ 3−3 = 2 ∙ 3 −3 =1

216

④ 与式＝ 24 −3

4 = 2−3 =1

8

⑤ 与式＝𝑎12

𝑎∙𝑎13

12

=𝑎12

𝑎12∙𝑎

16

= 𝑎1

2−1

2−1

6 = 𝑎−1

6

3-2

3-3

① 𝑦 = 3𝑥 ② 𝑦 = 3−𝑥 ③ 𝑦 = 2 ∙ 3𝑥 ④ 𝑦 = −3𝑥 ⑤ 𝑦 = −3−𝑥

①が基本の形になり、②は①と𝑦軸に関して対称④は①と𝑥軸に関して対称になり、⑤は𝑦軸に関して対称になる。③のグラフは①のグラフの2倍の値をとる。

①のグラフは以上のことから ウ②のグラフは ア③のグラフは イ④のグラフは オ⑤のグラフは エ

解答編

3-4① 与式 ⇔ 2𝑥 2 − 12 × 2𝑥 ×

1

2+ 8 = 0

2𝑥 2 − 6 2𝑥 + 8 = 02𝑥 − 4 2𝑥 − 2 = 0

2𝑥 = 4, 2x＝2，1

② 与式 ⇔ 3𝑥 2 + 8 × 3𝑥 − 9 < 03𝑥 − 1 3𝑥 + 9 < 0

−9 < 3𝑥 < 13𝑥＞0 より、 0 < 3𝑥 < 1したがって、3𝑥 < 30

x＜0

解答編

3-5① 与式＝log3 3

2 = 2 log3 3 = 2

② 0.5＝1

2なので、底を2にする。与式＝

log21

2

log2 8=

log2 2−1

log2 23 =

−1 log2 2

3 log2 2= −

1

3

③ 16も1024も2の累乗なので、底は2。

与式＝log2 1024

log2 16=

log2 210

log2 24 =

10 log2 2

4 log2 2=

10

4=

5

2

④ 与式＝log3 91

3 = log3 321

3 = log3 32

3 =2

3log3 3 =

2

3

3-6① 与式＝log2 2

2 ∙ 3 − log2 3 = log222∙3

3= log2 2

2 = 2

② 与式＝log10 2 + log10 3 ∙ 51

2 − log103

5

1

2= log10

2∙ 3∙512

3

5

12

= log10 2 ∙3∙5∙5

3

1

2＝log10 2 ∙ 52

1

2 = log10 2 ∙ 5 = log10 10 = 1

③ 与式＝ 2 log3 3 −log2 8

log21

2

3 log5 5 +log7 49

log71

7

= 2 −3

−13 − 2 = 5

① 与式＝log10 3 ∙ 100 = log10 3 + log10 102 = 0.4771 + 2 = 2.4771

② 与式＝log10 3 ∙ 5 ∙ 10 = log10 3 + log1010

2+ log10 10

＝log10 3 + log10 10 − log10 2 + log10 10＝0.4771 + 1 − 0.3010 + 1 = 2.1761

③ 与式＝log10 22 ∙ 31

3 =1

32log10 2 + log10 3

=1

32 × 0.3010 + 0.4771 = 0.3597

3-7

5 =10

2と、2と10で

あらわすことができる

解答編

3-8① 𝑦 = log3 𝑥 ② 𝑦 = log 1

3

𝑥 ③ 𝑦 = log3 9𝑥 ④ 𝑦 = log31

𝑥

⑤ 𝑦 = log3 𝑥 + 2 ⑥ 𝑦 = log3 −𝑥 ⑦ 𝑦 = log3 −1

𝑥

まず、基本となる log3 𝑥のグラフを確定する。基本の形は① 近い形は③ log3 9𝑥 = log3 9 + log3 𝑥 = 2 + log3 𝑥 で①よりも2ずつ大きいグラフとなる。

グラフ内で該当するのは、イとウ。常に値の小さいものはウなので、

①のグラフは ウ③のグラフは イ

となる。

② 𝑦 = log13

𝑥 =log3 𝑥

log31

3

=log3 𝑥

−1= − log3 𝑥

なので、①を𝑥軸に関して対称にしたもの ア

④ 𝑦 = log31

𝑥= log3 𝑥

−1 = − log3 𝑥

となるので、②と同じになる ア⑤ 𝑦 = log3 𝑥 + 2は、①のグラフを𝑥軸方向に− 2移動させたもの①は𝑦＝0のとき、 𝑥＝1、⑤は𝑥＝－1となるよって、 カ

⑥ 𝑦 = log3 −𝑥 は①と 𝑦軸に関して対称 エ

⑦ 𝑦 = log3 −1

𝑥= log3 −𝑥−1

= − log3 −𝑥となるので、⑥と𝑥軸に関して対称、①原点0に関して対称になる オ

解答編

3-11① log2 𝑥 =A とおくと与式 ↔ 𝐴2 − 𝐴 − 2 = 0 ↔ 𝐴 − 2 𝐴 + 1 = 0したがって、A＝2，－1

つまり、 log2 𝑥 =2，－1 なので、𝑥 = 4,1

2

② 2 log13

𝑥 < log13

2𝑥 − 1

log13

𝑥2 < log13

2𝑥 − 1

log3 𝑥2

log31

3

<log3 2𝑥−1

log31

3

−log3 𝑥2 < −log3 2𝑥 − 1

log3 𝑥2 > log3 2𝑥 − 1

𝑥2 > 2𝑥 − 1𝑥2 −2𝑥 + 1＞0𝑥 − 1 2＞0よって、 𝑥 ≠ 1

ただし、真数条件から 𝑥＞0かつ2𝑥 − 1＞0

（1

3は何乗しても0や負にならない＝真数条件という）なので、 𝑥＞

1

2となる。

以上より、1

2＜𝑥＜1 ， 1＜𝑥

1

3は、3にしてしまおう

3-10

大小を比較するために、底を揃える

① 3 log4 3 =3 log2 3

log2 4=

3

2log2 3 となるので、

3

2log2 3＜2 log2 3

よって 3 log4 3＜ 2 log2 3

② 1.5 =3

2log2 2 = log2 2

3

2 = log2 23 = log2 2 2 とかける

したがって、2 2 と 3 を比べる。

それぞれ2乗して 2 22と 32 つまり、 8 と 9なので、8＜9

よって、 1.5＜ log2 3

解答編

4-1微分計算のポイント（1） 𝑥𝑛 を微分すると 𝑛𝑥𝑛−1 （2） 定数項は微分すると0（3） 𝑛は負の数でも同じ要領で微分できる。（ただし𝑥＞0の場合）

① 2 ② －15 ③ 6𝑥 − 4 ④ 9𝑥2 − 4𝑥＋4 ⑤ −3𝑥2 + 6𝑥 − 2

⑥ 与式＝ 𝑥−1＋𝑥1

2なので、微分すると

−1𝑥−2＋1

2𝑥−

1

2 = −𝑥−2＋1

2𝑥−

1

2

4-2Bの計算方法で微分した後に、それぞれの値を代入する① 𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 − 4𝑥 + 1

⇒ 𝑓′ −2 = 3 ∙ −2 2 −4 ∙ −2 + 1 = 12 + 8 + 1 = 21

② 𝑓′ 𝑥 = −6𝑥2 + 8𝑥 − 3⇒ 𝑓′ −3 = −6 ∙ −3 2 +8 ∙ −3 －3 =－54－24－3 = −81

③ 𝑓′ 𝑥 = 10𝑥 − 2⇒ 𝑓′ 2 = 10 ∙ 2－2 = 20－2 = 18

④ 𝑓′ 𝑥 = 3𝑥1

2 − 𝑥−1

2 + 4𝑥−2

⇒ 𝑓′ 1 = 3 − 1 + 4 = 6

① 接線の方程式を𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏とすると、𝑎は𝑓′ 𝑥 = −2𝑥に 𝑥 = 2を代入して求められる。𝑎 = −4 となり、直線の式は、 𝑦 = −4𝑥 + 𝑏 と表せる。この直線が点(2，－3) を通るので、点の座標を代入し、 𝑏を求める。

－3 = −8 + 𝑏 ∴ 𝑏 = 5よって求める式は 𝑦 = −4𝑥 + 5

②以降も同様の手順で求める

② 𝑦 = 𝑥 + 1③ 𝑦 = 7𝑥 + 6④ 𝑦 =－4𝑥 + 2

4-3

解答編

4-4① 求める接線の式を𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏とすると、この接線の傾きは

𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 − 2 で表される傾きが10（これが𝑎になる）の時の𝑥の値を調べる

3𝑥2 − 2 = 10 3𝑥2 = 12 𝑥2 = 4 よって、𝑥 = ±2つまり、接点は −2，－4 2，4 の2つの場合があるので、 𝑦 = 10𝑥 + 𝑏にそれぞれ代入して、𝑦 = 10𝑥 + 16， 𝑦 = 10𝑥 − 16

② 求める接線の方程式は 𝑦 = 2𝑥 + 𝑏 となる（ 𝑦 = 2𝑥－3に平行）①と同様に、接点を調べる𝑓′ 𝑥 = 4𝑥 − 2で𝑓′ 𝑥 = 2となる𝑥を求める4𝑥 − 2 = 2 4𝑥 = 4 よって 𝑥＝1 このとき 𝑦＝3 となり、接点は1，3 である。これを𝑦 = 2𝑥 + 𝑏に代入して、 𝑏を求める。𝑦 = 2𝑥 + 1

解答編

5-1𝑓′ 𝑥 = 0になるとき（傾きが0になるとき）の𝑥を調べると

① 𝑓′ 𝑥 = 6𝑥2 − 6𝑥－36𝑓′ 𝑥 ＝0

↔ 𝑥2 − 𝑥－6＝0↔ 𝑥 + 2 𝑥 − 3 ＝0↔ 𝑥＝− 2, 3

極値が2つあり、グラフは全体的に右上がり。増減表は上の通りで、𝑥＝ − 2のとき、極大値 56 𝑥＝3のとき、極小値 𝑥＝ − 69

② 𝑓′ 𝑥 = −3𝑥2 − 6𝑥 − 9𝑓′ 𝑥 = −3(𝑥 + 1)2−6 < 0これは方程式に実数解はない。

𝑦＝0を満たす𝑥は存在しないことがわかる。よって、極値はない

③ 𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 + 6𝑥－24

𝑓′ 𝑥 = 0となるのは

↔ 𝑥2+2𝑥－8＝0

↔ 𝑥 + 4 𝑥 − 2 ＝0

↔ 𝑥＝− 4, 2

極値が2つあり、グラフは全体的に右上がり。増減表は上の通りで、𝑥＝ − 4のとき、極大値 82 𝑥＝2のとき、極小値 𝑥＝ − 26

𝑥 −2 3

𝑓′ 𝑥 + 0 − 0 +

𝑓 𝑥 極大 極小

𝑥 −4 2

𝑓′ 𝑥 + 0 − 0 +

𝑓 𝑥 ↗ 極大 ↘ 極小 ↗

解答編

5-25-1 と同じように𝑓′ 𝑥 = 0になるとき（傾きが0になるとき）の𝑥を調べる。切片は式にあるので注意

① 𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 + 6𝑥＝0𝑓′ 𝑥 = 0を調べると

↔ 3𝑥 𝑥 + 2 ＝0↔ 𝑥＝− 2, 0

極値が2つあり、グラフは全体的に右上がり。増減表は下の通り

𝑥＝ − 2のとき、極大値 0 𝑥＝0のとき、極小値 𝑥＝ − 4であるので、グラフは右の通り

𝑥 −2 0

𝑓′ 𝑥 + 0 − 0 +

𝑓 𝑥 ↗ 極大 ↘ 極小 ↗

② 𝑓′ 𝑥 = − 3𝑥2 − 1 < 0𝑓′ 𝑥 は単調減少

③ 𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 + 2𝑥 − 1＝0𝑓′ 𝑥 = 0

↔ 3𝑥 − 1 𝑥 + 1 ＝0

↔ 𝑥＝− 1,1

3

極値が2つあり、グラフは全体的に右上がり。増減表は下の通り

𝑥＝ − 1のとき、極大値 0 𝑥＝1

3のとき、極小値 𝑥＝ −

32

27

であるので、グラフは右の通り

𝑥 −11

3

𝑓′ 𝑥 + 0 − 0 +

𝑓 𝑥 極大 極小

解答編

5-3直方体の体積（ 𝑉 ）は、上の図より、𝑉 𝑥 = 𝑥 20 − 2𝑥 2 （ 0 < 𝑥 < 10 ）と表せる

𝑉 𝑥 = 4𝑥3 − 80𝑥2 + 400𝑥𝑉′ 𝑥 = 12𝑥3 − 160𝑥 + 400𝑉′ 𝑥 = 0のとき

↔ 3𝑥3 − 40𝑥 + 100 = 0↔ 3𝑥 − 10 𝑥 − 10 = 0

↔ 𝑥＝10

3, 10

増減表は右の通りで、極大値をとるとき、このグラフの値が 0<𝑥<10 の範囲で最大となる。

よって、切り取る1辺の長さは10

3ｃｍ

𝑥10

3（10）

𝑓′ 𝑥 + 0 − 0

𝑓 𝑥 ↗ 極大 ↘ （極小）

解答編

5-4

問題文より、長方形ABCDの辺の長さは右の図のようになる。長方形の面積Sは𝑆 𝑥 = 2𝑥 1 − 𝑥2 0 < 𝑥 < 1

𝑆 𝑥 = −2𝑥3 + 2𝑥𝑆′ 𝑥 = −6𝑥2 + 2𝑆′ 𝑥 = 0となるのは

↔ －6𝑥2＋2 = 0↔ 6𝑥2 = 2

↔ 𝑥 = ±3

3

0 < 𝑥 < 1より、増減表は右の通りで、極大値をとるとき、長方形の面積の値が最大となる。

𝑆𝟑

3=

4 3

9、 𝑥 =

3

3

1 − 𝑥2

𝑥 0𝟑

31

𝑓′ 𝑥 + 0 −

𝑓 𝑥 ↗ 極大 ↘

5-5問題文の円すいは右の図の通り。求める体積（ 𝑉 ）は

𝑉 𝑥 =1

3𝜋𝑥2 12 − 𝑥 0 < 𝑥 < 12

↔ 𝑉 𝑥 = −𝜋

3𝑥3 + 4𝜋𝑥2

𝑉′ 𝑥 = −𝜋𝑥2 + 8𝜋𝑥

𝑉′ 𝑥 = 0となるのは↔ −𝜋𝑥2 + 8𝜋𝑥 = 0↔ 𝑥 𝑥 − 8 = 0↔ 𝑥 = 0, 8

0 < 𝑥 < 12より、増減表は右の通りで、極大値をとるとき、円すいの体積が最大となる。求める半径は8 ｃｍ、円すいの体積は

𝑉 8 =1

3𝜋 ∙ 64 12 − 8 =

256

3𝜋（ｃｍ3）

𝑥 0 8 12

𝑓′ 𝑥 + 0 −

𝑓 𝑥 ↗ 極大 ↘