POLINOMIOS DE CHEBYSHEV. Los Polinomios de Chebyshev estn estrechamente ligados a la teora de la aproximacin de funciones. Tiene notables similitudes con los Polinomios de Legendre, ya una de las principales aplicaciones de ambos la constituye el desarrollo de los filtros elctricos, o filtros de ondas, de gran importancia en las ramas de la ingeniera elctrica y electrnica. En el estudio de ecuaciones diferenciales surgen como la solucin a la ecuacin diferencial: ( )

Aunque tambin surgen de la funcin Cn (x) = cos(n arcos x) En la cual n es cualquier nmero natural, se conoce como Polinomio de Chebyshev de orden n.

Ahora, si n = 0, C 0 (x) = cos(0) = 1 Para n = 1, C 1(x) = cos (arcos x) = x Ahora bien, para calcular los polinomios sucesivos, se puede utilizar la frmula de recurrencia que demostraremos a continuacin: El Polinomio de orden n es, por definicin: Cn(x) = cos (n arcos x) Y si llamamos, para simplificar, k = arcos x Reemplazando, obtenemos: Cn (x) = cos (n k) A su vez, la funcin inversa de u es: x=cos(k) El polinomio de orden n + 1, ser: C n+1(x) = cos [(n+1)k] = cos(nk+k) Y el polinomio de orden n -1 es: C n-1(x) = cos [(n-1)k] = cos(nk-k)

Al aplicar las conocidas frmulas del coseno de la suma y del coseno de la diferencia, las dos ltimas igualdades quedan modificadas como sigue: C n+1(x) = cos(k)*cos(nk)-sen(k)*sen(kn) y C n-1(x) = cos (k)*cos (nk)+sen(k)*sen (kn) Al sumar miembro a miembro estas dos igualdades, y despejar luego, se obtiene: C n+1(x) = 2cos(k)*cos(kn) - C n-1(x) Y reemplazando lo anterior obtenemos su frmula de recurrencia: C n+1(x) = 2x C n (x) - C n-1(x) A partir de este resultado, es posible determinar, por reiteracin, el polinomio que representa a cada una de las funciones de Chebyshev.

Algunos polinomios de Chebyshev son:

%Programa para graficar las funciones de Chevyshev function [T3]=grafchebyshev(n) syms x; T0=1; T1=x; for i=2:n T2=2*x*T1-T0; T0=T1; T1=T2; end T3=expand(T2); ezplot(T3); axis([-2 2 -2 2]) grid on end

Graficas de algunos polinomios de Chebyshev. 1. n=22 x2 - 1 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2

-1.5

-1

-0.5

0 x

0.5

1

1.5

2

2. n=34 x3 - 3 x 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2

-1.5

-1

-0.5

0 x

0.5

1

1.5

2

3. n=48 x4 - 8 x2 + 1 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2

-1.5

-1

-0.5

0 x

0.5

1

1.5

2

4. n=516 x 5 - 20 x 3 + 5 x 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2

-1.5

-1

-0.5

0 x

0.5

1

1.5

2

5. n=632 x 6 - 48 x 4 + 18 x 2 - 1 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2

-1.5

-1

-0.5

0 x

0.5

1

1.5

2

6. n=764 x 7 - 112 x 5 + 56 x 3 - 7 x 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2

-1.5

-1

-0.5

0 x

0.5

1

1.5

2

7. n=8128 x 8 - 256 x 6 + 160 x 4 - 32 x 2 + 1 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2

-1.5

-1

-0.5

0 x

0.5

1

1.5

2

8. n=9256 x 9 - 576 x 7 + 432 x 5 - 120 x 3 + 9 x 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2

-1.5

-1

-0.5

0 x

0.5

1

1.5

2

9. n=10512 x 10 - 1280 x 8 + 1120 x 6 - 400 x 4 + 50 x 2 - 1 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2

-1.5

-1

-0.5

0 x

0.5

1

1.5

2

Integracin numrica con polinomios de Chebyshev. Los polinomios de Chebyshev son aplicables para integrales de la forma: ( )

En donde: ( ) ( )

La programacin en Matlab es:%Programa para integracin numrica con polinomios de Chebyshev. %El programa se corre as: [I]=chebyshev(y,n) %En donde: % y Es la funcion f(x) multiplicada por el peso 1/sqrt(1-x^2) % n Es el grado de aproximacion del mtodo. Debe ser igual o % mayor a 2 ya que se utiliza la serie de recurrencia para % generar los polinomios. % %NOTA: Los polinomios de Chebyshev integran entre [-1,1]. function [I]=chebyshev(y,n) syms x; T0=1; T1=x; for i=2:n T2=2*x*T1-T0; T0=T1; T1=T2; end T3=expand(T2); x=roots(sym2poly(T3)); f=eval(y); I=sum(f)*pi/n; end

Ejemplo: Evaluar la integral:

Si integramos en derive sabemos que el valor de la integral es: 3.976986632 Si utilizamos el programa en Matlab para integrar, tenemos que: ( )

Una vez definida la funcin f(x), procedemos a utilizar el programa de aproximacin de la integral con polinomios de Chebyshev. Para ello ejecutamos el programa con diferentes aproximaciones: n 2 3 4 5 Resultado Obtenido 3.960266052790758 3.977321960082316 3.977462634661960 3.977463258776694

Conclusiones: - La mayora de integrales que se calcularn con este mtodo nos son calculables analticamente y no estn definidas en los lmites de integracin. - Los integrales que se realizarn con el polinomio de Chebyshev, deben ser de la forma: ( ) ( ) ( )

Las frmulas de Newton Cotes y la Cuadratura de Gauss divergen del resultado real para funciones del tipo expresadas anteriormente. En este caso se deber integrar mediante la aproximacin con polinomios de Chebyshev.