1Polinomios reales y ecuaciones polinomiales

Un polinomio real en x o en breve polinomio en x es una expresion algebraica de la forma

anxn + an1xn1 + + a1x+ a0

donde los coeficientes a0, a1, , an son numeros reales y n es un numero entero no negativo.Generalmente, un polinomio en x se representa en la forma p(x).

Si p(x) es un polinomio, entonces p(x) = 0 es una ecuacion polinomial y la relacion y = p(x)define una funcion polinomial con dominio es el conjunto de los numeros reales. La relaciony = p(x)

q(x)define una funcion racional cuyo dominio es el conjunto de los numeros reales excepto

los valores de x soluciones de la ecuacion polinomial q(x) = 0.

Los valores de x que satisfacen la ecuacion polinomial p(x) = 0, es decir sus soluciones, son lasraces o ceros del polinomio p(x).

Se deja al estudiante la tarea de recordar la suma, diferencia, multiplicacion y division depolinomios.

Propiedades

1. Teorema del resto: Si un polinomio cualquiera p(x) se divide por un polinomio monico,del tipo x a, entonces el resto r(x) de tal division es p(a).

2. Algoritmo de la division: Dados p(x) y q(x) polinomios, q(x) 6= 0, entonces existendos unicos polinomios s(x) y r(x), llamados cuociente y resto, respectivamente, tales quep(x) = s(x)q(x) + r(x), donde grado r(x) < grado q(x) o r(x) = 0.

3. Teorema del factor: Si es una raz de p(x), entonces x es un factor de p(x).El recproco del teorema del factor tambien es valido, es decir, si x es un factor dep(x), entonces es una raz de p(x).

4. Todo polinomio real de grado mayor o igual a 3 siempre puede representarse como unproducto de factores lineales y/o cuadraticos de las formas ax + b, cx2 + dx + e, cona, b, c, d, e reales, respectivamente.

5. Toda ecuacion polinomial real p(x) = 0 con grado de p(x) 1, tiene por lo menos unaraz (real o compleja).

6. Toda ecuacion polinomial de grado n tiene (contando multiplicidades) n y solamente nraces (reales o complejas).

7. Si p(x) es un polinomio y p(a) p(b) es negativo, donde a < b son numeros reales, entoncesel polinomio p(x) tiene una raz entre a y b; o equivalentemente, la ecuacion p(x) = 0tiene una solucion cuyo valor esta entre a y b.

2La division sintetica. Es una forma comoda y rapida de realizar una division entre unpolinomio cualquiera p(x) y un polinomio q(x) de la forma x (monico de grado 1). Porejemplo si p(x) = 3x4 2x2 + 1 se divide por x + 3, entonces se dispone en la primera fila loscoeficientes de p(x) segun potencias decrecientes de x, si alguno de estos no esta consideradoes porque su coeficiente es cero. Luego, se procede a completar una tabla como la que sigue:

3 0 2 0 13 9 27 75 225

3 9 25 75 226 resto

s(x) = 3x3 9x2 + 25x 75 es el polinomio cuociente y r(x) = 226 = p(3) es el polinomioresto, que en este caso es constante y no nulo, o sea de grado cero.Raices de polinomios

Relacion entre races y coeficientesSi p(x) = a0 + a1x+ + an1xn1 + anxn, entonces

suma de races de p(x) = an1/an

suma de productos de races = an2/antomadas de dos en dos

suma de productos de races = an3/antomadas de tres en tres

......

...producto de las races = (1)n(a0/an)

Races racionales: Si p(x) = a0 + a1x+ + an1xn1 + anxn tiene coeficientes enterosy si =

pq es una raz racional de p(x), entonces p divide o es un factor de a0 y q de an.

Races irracionales: Si a+b es una raz de p(x) con coeficientes racionales, entoncesab tambien lo es. Races complejas: Si z = a + bi es raz de p(x), entonces z = a bi tambien lo es.

Luego, todo polinomio real de grado impar tiene por lo menos una raz real.

Por medio de la regla de los signos de Descartes se obtiene informacion acerca de lanaturaleza de las races de un polinomio p(x).

Races positivas: p(x) no puede tener mas races positivas que el numero de cambiosde signos que hay en p(x). As, por ejemplo, si el numero de cambios de signos de p(x)es m, entonces p(x) puede tener m races positivas o bien m menos un numero par de

3veces (m 2,m 4, etc. hasta que tenga sentido), esto se debe a que el numero de racescomplejas de un polinomio con coeficientes reales de existir son siempre un numero par.

Races negativas: p(x) no puede tener mas races negativas que el numero de cambiosde signos que hay en p(x). As, por ejemplo, si el numero de cambios de signos de p(x)es m, entonces p(x) puede tener m races negativas o m menos un numero par de veces(m 2,m 4, etc. hasta que tenga sentido). Races nulas: Si p(x) tiene al 0 como raz, entonces x es factor de p(x). Si x es factor

pero x2 no lo es, entonces se dice que p(x) tiene exactamente una raz nula y el 0 es razsimple. Si x2 es factor, pero x3 no lo es, entonces p(x) tiene dos races nulas, es decir, el0 es raz doble de p(x) y as sucesivamente.

Multiplicidad: Si es raz de p(x) se dice que es de multiplicidad m, con m numeronatural, si y solo si (x )m divide a p(x), pero (x )m+1 no lo divide.

Descomposicion en fracciones parciales. En cursos mas avanzados, sobre todo en calculoy en ecuaciones diferenciales, es una gran ventaja tener la capacidad de expresar el cuocientede dos polinomios como la suma de dos o mas cuocientes menos complicados denominadosfracciones parciales. Se centrara la atencion en cuocientes de la forma p(x)

q(x)donde p(x), q(x) son

polinomios reales.Se distinguen dos casos, para la descomposicion en fracciones parciales de la expresion p(x)

q(x),

dependiendo del grado del numerador respecto del grado del polinomio denominador:Caso 1: Si el grado de p(x) es menor que el grado de q(x), entonces p(x)

q(x)se denomina

fraccion propia. Cualquier fraccion propia reducida p(x)q(x)

se puede descomponer en la suma defracciones parciales dependiendo del tipo de factores irreducibles del polinomio denominador.En primer lugar, se factoriza complemetamente sobre los reales el denominador y se sigue luegolo que se indica a continuacion:

(a) Si q(x) tiene un factor lineal que no se repite, de la forma ax+b, entonces la descomposicion

en fracciones parciales de p(x)q(x)

contiene un termino de la forma

A

ax+ b, A constante

(b) Si q(x) tiene un factor lineal, que se repite k veces, de la forma (ax + b)k, entonces la

descomposicion en fracciones parciales de p(x)q(x)

contiene los terminos de la forma:

A1ax+ b

+A2

(ax+ b)2+ + Ak

(ax+ b)k

Donde, A1, A2, . . . Ak son constantes.

4(c) Si q(x) tiene un factor cuadratico que no se repite, de la forma ax2 + bx + c, entonces

entonces la descomposicion en fracciones parciales de p(x)q(x)

contiene un termino de la forma:

Ax+B

ax2 + bx+ c, A y B constantes

(d) Si q(x) tiene un factor cuadratico, que se repite k veces, de la forma (ax2 + bx + c)k,

entonces la descomposicion en fracciones parciales de p(x)q(x)

contiene los terminos de laforma:

A1x+B1ax2 + bx+ c

+A2x+B2

(ax2 + bx+ c)2+ + Akx+Bk

(ax2 + bx+ c)k

A1, A2, . . . Ak, B1, B2, . . . Bk constantes.

Caso 2: Si el grado de p(x) es mayor o igual que el grado de q(x), entonces se dividep(x) por q(x) con lo cual se obtiene un cuociente s(x) y un resto r(x); luego, se descompone en

fracciones parciales la fraccion propia r(x)q(x)

.Grafica de una funcion polinomial. Para trazar de manera adecuada la grafica de unafuncion polinomial es conveniente considerar los siguientes aspectos:

Las races reales del polinomio y sus multiplicidades. Si es raz real simple, entoncesy = p(x) intercepta cruzando al eje X en el punto P = (, 0) (y no es tangente al ejeX). Si es raz real de multiplicidad m, numero par mayor que 1, entonces y = p(x)es tangente al eje X en el punto P = (, 0) (y no cruza al eje X). Si es raz real demultiplicidad m, numero impar mayor que 1, entonces y = p(x) es tangente al eje X enel punto P = (, 0) y cruza al eje X en este punto P .

La extension de la grafica. Para ello se observa el comportamiento de las imagenes p(x)para valores de x grandes y cada vez mas y mas grandes; por ejemplo, se podra analizarla secuencia p(10), p(100), p(1000), p(10000), etc. Lo propio se hace para valores negativosde x con valor absoluto muy grande.

Completar una tabla de valores de x, para determinar un numero adecuado y considerablede puntos (a, p(a)) y as obtener una curva mas aproximada representativa de la funcionpolinomial.