SOLUCIONES

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SOLUCIONES 8. Regla de Ruffini 8.1. Valor numérico de un polinomio El valor numérico de un polinomio 𝑃(𝑥) para un número cualquiera 𝑥 = 𝑎, lo expresamos como 𝑃(𝑎). El valor numérico 𝑃(𝑎) se obtiene sustituyendo la variable 𝑥 por el número 𝑎 en el polinomio y haciendo las operaciones indicadas. Ejemplo: 𝑃(𝑥) = 3𝑥( + 2𝑥+ − 𝑥- − 𝑥. + 16, para 𝑥 = −2. Sustituimos dicho valor en 𝑃(𝑥): 𝑃(−2) = 3 · (−2)( + 2 · (−2)+ − (−2)- − (−2). + 16 = = 3 · (−32) + 2 · 16 − (−8) − 4 + 16 = −96 + 32 + 8 − 4 + 16 = −44 Luego 𝑃(−2) = −44. Lo hacemos ahora para 𝑥 = 1. 𝑃(1) = 3 · (1)( + 2 · (1)+ − (1)- − (1). + 16 =

= 3 · 1 + 2 · 1 − 1 − 1 + 16 = 3 + 2 − 1 − 1 + 16 = 19 Luego 𝑃(1) = 19.

8.2. Regla de Ruffini Para dividir un polinomio 𝑃(𝑥) entre otro polinomio de la forma 𝑥 − 𝑎 vamos a utilizar la regla de Ruffini. Vamos a aprender a utilizarla mediante ejemplos:

8.3. Teorema del resto El resto de dividir el polinomio 𝑃(𝑥) entre 𝑥 − 𝑎 es igual al valor numérico 𝑃(𝑎). Ejemplo 1: 𝑃(1) = 19, que es igual al resto de dividir 𝑃(𝑥) ∶ (𝑥 − 1), donde tenemos 𝑅(𝑥) = 19.

Ejemplo 2: 𝑃(−1) = (−1)+ − 1 = 0, que es igual al resto de dividir 𝑃(𝑥) ∶ (𝑥 − 1), donde tenemos 𝑅(𝑥) = 0. 4. Realiza las siguientes divisiones por la regla de Ruffini, indica el cociente y el resto de la división e indica si son exactas las divisiones: a) (2𝑥+ + 3𝑥. + 6𝑥 − 7) ∶ (𝑥 − 1) Sol: 𝐶(𝑥) = 2𝑥- + 5𝑥 + 11, 𝑅(𝑥) = 4; b) (𝑥- + 5𝑥. + 𝑥 − 1) ∶ (𝑥 − 2) Sol: 𝐶(𝑥) = 𝑥. + 7𝑥 + 15, 𝑅(𝑥) = 29; c) (𝑥- + 𝑥. − 𝑥 − 2) : (𝑥 − 1) Sol: 𝐶(𝑥) = 𝑥. + 2𝑥 + 1, 𝑅(𝑥) = −1; d) (𝑥- + 5𝑥 − 1) : (𝑥 + 3) Sol: 𝐶(𝑥) = 𝑥. − 3𝑥 + 14, 𝑅(𝑥) = −43; e) (𝑥+ − 2𝑥- + 𝑥. + 𝑥 − 1) : (𝑥 − 1) Sol: 𝐶(𝑥) = 𝑥- − 𝑥. + 1, 𝑅(𝑥) = 0;