Polinomio cromatico

5/25/2018 Polinomio cromatico

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Coloracin de vrtices

Polinomio Cromtico


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Si dispongo de k colores, de cuntas formas

distintas puedo colorear los vrtices de un grafo?

1942, Birkhoff and Lewis introducen el polinomio cromtico ensu intento de demostrar el teorema de los 4 colores

Polinomio cromtico Dado un grafo G y un conjunto de colores k,

definimos la funcin P(G, k)como el nmero de formas distintas de

colorear G usando los k colores.


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Propiedades

P(G,0)=0

Si H es un subgrafo recubridorde G P(G,k) P(H,k)

P(G,k)>0 si y slo si G es k-coloreable

P( Gi, k)= P(Gi, k), Gi disjuntos dos a dos.r

i 1

r

i 1

si k


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P(On, k)=kn, con Ones el grafo trivial de n vrtices

P(Kn, k)=k(k-1)(k-2)(k-n+1)


Polinomios cromticos de algunas familias de grafos

conocidas

P(Ln, k)=k(k-1)n-1

, con Ln el grafo camino de n vrtices

Observacin: si G tiene n vrtices:

K(k-1)(k-2)(k-n+1) P(G,k) kn

P(An, k)= ejerc., con An un rbol con n vrtices.


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K colores

C4 k


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k colores

C4 k

k-1


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k colores

C4 k

k-1

k-1


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k colores

C4 k

k-1

k-1

k-1?


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k colores

C4 k

k-1

k-1

K-2?

Depende

Cmo calculamos el polinomio cromtico de C4?


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Operaciones que se usan en el clculo del polinomio cromtico

Eliminacin de una arista

Contraccin de una arista: Dado el grafo Gy sea a={u,v} una aristasuya, llamaremos contraccin de la arista adel grafo Ga la operacin

resultante de considerar los vrtices uy vcomo un nico vrtice

a

v

u


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Operaciones que se usan en el clculo del polinomio cromtico

Eliminacin de una arista

Contraccin de una arista: Dado el grafo Gy sea a={u,v} una aristasuya, llamaremos contraccin de la arista adel grafo G (Ga) a la

operacin resultante de considerar los vrtices uy vcomo un nico

vrtice.

u

a

v

G

vu

Ga


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Teorema: Sean G un grafo, a={u,v} una arista suya y k un nmero

natural, entonces:

P(G,k) = P(G-a,k) - P(Ga,k)

Algoritmo Eliminacin-contraccin (come aristas)

Algoritmo Adicin-contraccin

Recursivamente


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= -a

Ga=C4

G- aG = -

= +

GG- aC4 = +


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Ejercicio: Obtener el polinomio cromtico de Cn, para cualquier n.

= -

Cn-1LnCn = -

a a

P(Cn,k)=(k-1)n+(-1)n(k-1)


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Teorema: Para un grafo simple G de orden n y tamao m,

P(G,k) verifica que:

es un polinomio de grado n en k con coeficientes enteros su trmino independiente es 0

sus coeficientes alternan el signo

y el coeficiente de kn-1esm.


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Otra informacin que podemos obtener del polinomio cromtico:

el nmero de componentes conexas del grafo coincide con el menor

grado de los sumandos del polinomio cromtico

el nmero cromtico es el nmero entero ms pequeo para el que

el polinomio cromtico es distinto de 0

Ojo!!, el polinomio cromtico no caracteriza el grafo

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