Polinomios de Legendre

Cristian David Ruiz Carvajal

September 3, 2012

Resumen

En este trabajo se presentaran los polinomios de Legendre como solucion a su respectiva ecucaciondiferencial, sus principales propiedades tales como formulas de recurrencia, ortogonalidad entre otras.Tambien se mostraran tecnicas implementadas para evaluar los coeficientes de estos polonomios, la cualcomprende un codigo de programacion realizado en c++, Java y Matlab.

1 Introduccion

Los Polinomios de Legendre son uno de los ejemplos mas importantes de los Polinomios ortogonales,porque aparecen como soluciones en varios proble-mas clasicos, tales como: movimiento de los plan-etas, aplicaciones matematicas, campos de conser-vacion de energıa, entre otros.

El proceso de descripcion de cualquier senal yasea discreta o continua se puede realizar a traves depolinomios ortogonales. Es por eso que se hace tanimportante el estudio e implementacion de estospolinomios en la teorıa de interpolacion de senales.

En la actualidad, existen varias familias de poli-nomios ortogonales dentro de los cuales se en-cuentran: los polinomios de Legendre, Chevichev,Laguerre, Bessel, etc. Estos polinomios estandefinidos en un intervalo [a, b]. Para el caso partic-ular de los polinomios de Legendre, las solucionesson ortogonales en el intervalo [−1, 1].

2 Polinomios de Legendre

Los polinomios de Legendre surgen como alterna-tiva para dar solucion a la ecuacion diferencial

(1− x2)y′′ − 2xy′ + λy = 0 (1)

Cuya solucion general es una combinacion lineal dedos soluciones linealmente independientes

y(x) = Ay1(x) +By2(x) (2)

Siempre que se cumpla que λn(n+ 1) una de estassoluciones es un polinomios de Legendre de ordenn y por lo tanto se tiene que

y(x) = APn(x) +BQn(x) (3)

Los polinomios de Legendre estan representados atraves de la formula de Rodriguez como

Pn(x) =1

2nn!

( ddx

)n(x2 + 1)n (4)

Donde se tiene que estos polinomios son ortogo-nales como ya se mensiono en x ∈ [−1, 1].

Este hecho que sean ortogonales permite quesean usados como una combinacion lineal de seriesinfinitas de funciones linealmente independientes,para encontrar en base a estos la representacion deuna sena, o cualquier otra funcion arbitraria.

Usando (4) se pueden encontrar los primeros

1

polinomios como

P0(x) = 1

P1(x) = x

P2(x) =1

2(3x2 − 1)

P3(x) =1

2(5x3 − 3x)

P4(x) =1

8(35x4 − 30x2 + 3)

P5(x) =1

8(63x5 − 70x3 + 15x)

.

.

.

(5)

Los cuales estan representados en La Fig.1

Fig. 1 Representacion de los primeros seispolinomios se Legendre

2.1 Generalidades de los Polinomiosde Legendre

Los polinomios de Legendre son mutuamente per-pendiculares entre sı, con un producto internodefinido como∫ 1

−1Pn(x)Pm(x)dx =

2

2n+ 1δnm (6)

Del cual podemos ver que la norma se define como∫ 1

−1P 2n(x)dx =

2

2n+ 1(7)

Estos polinomios constituyen la unica base or-togonal para un espacio de Hilbert con productointerno definido como (6).

Al ortonormalizar por el proceso de GramSchmidt la base {1, x, x2, x3, ..., xn, ...} del espaciode los polinomios Pn en [−1, 1] con el productodefinido como (6) se obtienen de manera inmedi-ata los polinomios de Legendre.

Estos Polinomios tambien tienen una repre-sentacion integral la cual esta dada por

Pn(x) =1

2π

∫ π

0

[x+

√x2 − 1cos(ϕ)

]ndϕ (8)

Igualmente cumplen una relacion de recurrencia, lacual se obtiene conociendo el termino Pn(x) y de-seando conocer el termino n+ 1 usando la formulade Rodriguez, tal que se obtiene que

(n+ 1)Pn+1(x) = (2n+ 1)xPn(x)−nPn−1(x) (9)

Como se dijo anteriormente estos polinomios seusan para encontrar la representacion de algunasenal f(x), de tal manera que esta se pueda expre-sar como

f(x) =

∞∑n=0

knPn(x) (10)

Donde los kn estan dados por

kn(x) =

∫f(x)Pn(x)dx =

2n+ 1

2

∫ 1

−1f(x)Pn(x)dx

(11)Y son los elementos a encontrar usando los codigosde programacion que se veran mas adelante. En laFig. 2 se representa un esboso del procedimientoque se hace para representar una senal en funcionde los polinomios.

Fig. 2 Proyeccion y reconstruccion de una funcionusando los polinomios de Legendre.

Este mecanismo muestra en el lado izquierdo unamultiplicacion de cada uno de los polinomios deLegendre por la funcion a representar obteniendo

2

ası cada uno de los valores kn. Por su parte enel lado derecho se muestra el proceso de recon-struccion de la funcion f(x) a partir de los coe-ficientes kn y los polinomios de Legendre Pn.

3 Implementacion computa-cional

La implementacion computacional de estos poli-nomios se realiza de varias maneras, se haceprimeo un esboso del procedimiento que se llevaa cabo en Matlab para encontrar los coeficientesdel polinomio, procedimiento que tiene sus basesteoricas en el teorema de aproximacion polinomicade Werenstrass. Este teorema afirma que cualquierfuncion construida en un intervalo [a, b] podra seraproximada uniformemente por polinomios ortogo-nales en ese mismo intervalo si, para un n suficien-temente grande y un ε suficientemente pequeno secumple que

|Pn(x)− f(x)| < ε ∀x ∈ [a, b] (12)

Despues de ver como hacer uso de manera muy gen-eral de este teorema, seguiremos con dos algoritmosimplementados en C++ y Java, los cuales calculanpolinomios de Legendre de alto orde, por ultimo seexpondra la eficiencia de los metodos en el calculode los polinomios en funcion del tiempo empleado.

3.1 Matlab

En Matlab lo que se hace es representar elpolinomio como un vector de coeficientes, y se usauna aproximacion recursiva del polinomio analogaa la que se realiza en la aproximacion mononial.

Primero se calcula la matrız Hmn dada por

Hmn =

∫ 1

−1P(m− 1)(x)Pn−1(x)dx (13)

La cual es una matrız diagonal con entradas dadaspor

Hnn =2

2n+ 1(14)

Donde se hace unso de la norma de los polinomios(7).

Seguidamente se calcula el elemento que ex-pande la funcion (los coeficientes), los cuales es-taran dados por

bm =

∫ 1

−1f(x)Pm−1(x)dx (15)

Por ultimo se soluciona la ecuacion d = H−1d us-ado el hecho que dm = 2m−1

2 bm.De esta manera la aproximacion de una funcion

arbitraria a traves de los polinomios de Legendreesta dada por

f(x) ≈n∑k=1

dkPk−1(x) (16)

A continuacion se mostrara un codigo de pro-gramacion que entrega los coeficientes de lospolinomios de Legendre hecho en Matlab, la evalu-acion de los mismos se da usando la funcion poly-val

Fig.3 Codigo para encontrar los coeficientes delpolinomio de Legendre en Matlab

3.2 C++ y Java

Vamos ahora a mostrar la tecnica empleada paracalcular los polinomios basada en el lenguaje deprogramacion C++ y Java. El proceso se hizousando cinco metodos asociados a los polinomiosde Legendre, los cuales se difernecian entre sipor la forma como esta calculado el coeficienteque expande la funcion f(x) en terminos de lospolinomios.

En la siguiente grafica se muestan los cincometodos usados.

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Fig.4 Lista de metodos para el calculo de los polinomios

Note que las diferenecias estan en que para unosmetodos se usan recurrencias (dos ultimos), mien-tras para otros se usan sumatorias (tres primeros),como lo mostraran los resultados de la imple-mentacion de los metodos mas adelante, se encuen-tra que aquellos donde se usan recurrencias sonmas eficientes que los basados en sumatorias, puesse simplifica el calculo de factoriales y binomiales,esto teniendo en cuenta que se habla de grandes in-tervalos en una de las variables durante el calculode los polinomios, esto es, valores de la variable xen el intervalo [−1, 1] de 752 muestras en el procesode calculo de los primeros 45 polinomios.

En la Fig 5. se muestra la comparacion de loscinco metodos en funcion del tiempo necesario paracalcular los 45 polinomios. En la coordenada x seexpresa el numero de polinomios calculados, mien-tras en la coordenada y se tiene el tiempo (ms)necesario para el calculo. Segun lo que se mues-tra en la grafica se puede concluir que los metodos4 y 5 son los mas eficientes, lo que concuerda conlo que se dijo anteriormente respecto al uso de lasrecurrencias en comparacion con las sumatorias.

Fig.5 Resultados de la efectividad de los cincometodos

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4 Referencias

• Computational evaluation to compute firstkind Legendre polynomials. Cesar Julio Bus-tacar a Medina, MsC. Pontificia UniversidadJaveriana, Colombia. Departamento de Inge-nierıa de Sistemas

• MATH2070: LAB 10: Legendre Polynomialsand L2 Approximation

• Series de Polinomios Ortogonales.Hector

Hernandez.Luis Nunez.Universidad de LosAndes, Merida

• NUMERICAL ANALYSIS KRESS

• arfken, weber - mathematical methods forphysicists (5th ed)

• Lecciones de fıısica Matematica. AlonsoSepulveda S.Instituto de Fısica. Universidadde Antioquia

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