POLIEDROSPOLIEDROS

I -    Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Veja alguns exemplos:

    

II - POLIEDROS NÃO CONVEXOS OU CÔNCAVOS.

Unindo dois pontos distintos, pertencentes a duas faces distintas por um segmento de reta, se existirem pontos deste segmento, não pertencente a nenhuma das faces, então o poliedro é côncavo. Exemplo:

III - POLIEDROS CONVEXOS

Condição de convexidade: O plano de cada polígono deixa os demais num mesmo semi- espaço.

IV - RELAÇÃO DE EULERV – A + F = 2 OU V + F = A + 2

Onde:V- NÚMERO DE VÉRTICESA- NÚMERO DE ARESTASF – NÚMERO DE FACES

OBSERVAÇÃO:Todo poliedro convexo obedece a relação de Euler , mas existem poliedros côncavos que também obedecem a relação de Euler.Ex:

V=12, F= 8 e A =18Então:V+F=12+8=20 eA+ 2= 18+2=20Assim , este poliedro é Euleriano.

V- Soma dos ângulos internos de todas as faces de um

poliedro convexo.

S = ( V – 2). 360º

VI - POLIEDROS PLATÔNICOS OU DE PLATÃO

Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se:a) for convexo;b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas;c) toda face tiver o mesmo número de arestas;d) for válida a relação de Euler.

Exemplos:

Poliedro de Platão Não é poliedro de Platão, pois as faces não tem o mesmo número de arestas

VII - Propriedade dos poliedros VII - Propriedade dos poliedros convexosconvexos

. 2.n F A= ⇒ .

2

n FA=

Onde :n - Representa o número de arestas do polígono da face.F - Representa o número de faces.A - Representa o número de arestas.

Exemplos:Exemplos:

a) Quantos vértices possui um dodecaedro?Sabemos que o dodecaedro possui 12 faces,

então:

. 5.1230

2 2:

2 30 2 12

20

n FA A A

Assim pela relaçãode Euler temos

V F A V

V

= ⇒ = ⇒ =

+ = + ⇒ = + −=

São respectivamente o número de faces triangulares e faces quadrangulares.

Assim:

b)Um poliedro convexo tem seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares.Calcule o número de vértices e a soma dos ângulos de todas as faces deste poliedro.

t qF eF

3. 4. 3.6 4.519

2 2t qF F

A A A+ += ⇒ = ⇒ =

:

2 19 2 11

10

Assim pela relaçãode Euler temos

V F A V

V

+ = + ⇒ = + −=

Sabemos que:S = ( V – 2). 360º, então:S=(10 – 2).360ºS=2880º

VIII - POLIEDROS REGULARESSão poliedros de Platão em que todas as faces são polígonos

regulares