POLIEDROS

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CUERPOS GEOMÉTRICOS: formas geométricas tridimensionales.

Llamamos cuerpos geométricos a los sólidos queocupan un lugar en el espacio. Es decir que lospodemos tocar, medir y pesar.Las medidas se toman en longitud, anchura y

altura.Los cuerpos geométricos se dividen en dosgrupos: prismas - poliedros y los cuerposredondos.

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VOLÚMENES DE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOSCuando estudiamos las áreas hablábamos dedos dimensiones: largo y ancho. El producto delos valores largo X ancho nos da el área.

Para calcular un volumen necesitamos tresdimensiones: largo, ancho y alto. El productode los valores largo X ancho X alto nos da el

volumen.Es lo mismo que decir, el volumen localculamos también multiplicando el área dela base por la altura.

1º ¿Cuántas cajas pequeñas enteras de 1 cm. de largo, 1 cm. de ancho y 1 cm. de alto caben en la caja cuyas medidas aparecen en la siguiente figura:

En una caja grande de base rectangular hanentrado 300 cajas pequeñas exactas de devolumen. La altura de la caja es de 10 cm. ¿Cuál esel área de la base?

Respuesta 1º: 187 cajas.SoluciónCalculo el volumen multiplicando las tres medidas: base por anchura, por altura yobtengo un resultado deCada caja tiene un volumen de .Como han de ser cajas enteras, la respuesta será 187 cajas.

Respuesta 2º:SoluciónEn primer lugar calculamos el volumen del recipiente o la caja grande. Para ello,nos dicen que caben 300 cajas pequeñas de cada una. Esto quiere decirque el volumen del recipiente es de:

Sabemos que el volumen calculamos multiplicando el área de la base por la altura:

Sustituyo por los valores numéricos que conozco:

¿Cuántos litros de agua caben en undepósito cuyas medidas las tienes en lafigura siguiente, sabiendo que en unrecipiente de 1 dm3 cabe exactamente 1litro?

Halla la altura de un depósito que tiene pormedidas las que ves en la figura siguiente.Sabemos que caben 90.000 litros de agua.

Respuesta: 289.000 litros de aguaSoluciónCalculo el volumen del depósitoEste resultado lo escribo en

Respuesta: 6 m. de alturaSoluciónSabemos que el volumen obtenemos multiplicando las 3 dimensiones: largo, ancho y alto, es decir:

Conocemos el volumen porque nos dicen que caben 90.000 litros de agua.Sabemos que 90.000 litros de agua equivalen a un volumen de Dado que en el problema las medidas vienen dadas en metros, el volumen lo expresamos en

Respuesta: 10 metros cuadrados.

OTRO CASO En un depósito caben 30.000 litros de agua. Tiene una altura de 3 metros ¿Cuál es el área de la base?

Volumen= 30.000 dm3= 30 m330= 3*X*Y

X*Y= 30/3 = 10

POLIEDROS.

La palabra poliedro está compuesta por dos palabras griegas poli (muchos) yedro (planos, caras).

Los poliedros son cuerpos geométricos cerrados por polígonos. Estospolígonos pueden ser triángulos, cuadrados, rectángulos, etc.

Ejemplos de poliedros:

Para calcular el volumen de un poliedro tenemos que tener mucho cuidado.No es suficiente decir que basta multiplicar el área de la base por la altura, esto sí es cierto en los prismas.

Los poliedros son cuerpos geométricos limitados por caras que son polígonos. soncuerpos geométricos que están limitados por su parte superior e inferior porpolígonos iguales que llamamos bases.Ejemplo:

Aristas en un poliedro:Arista de un poliedro es la línea donde se cortan dos caras, o si quieres, la recta que es común a dos caras

Vértices en un poliedro:El vértice es el punto común a tres o más planos o caras de un poliedro. Con dos caras sería imposible dibujar un poliedro y tampoco con más de cinco caras porque la suma de los ángulos interiores de los polígonos regulares que se juntan en un vértice deben valer menos de 360º.¿Por qué?Toma una hoja de papel y traza cuatrorectas concurrentes en un punto, tal como lo tienes en la siguiente figura:

Los poliedros se dividen en dos grupos: Regulares e Irregulares.POLIEDROS REGULARESSe llama poliedro regular al cuerpo geométrico cerrado cuyas caras son polígonosregulares iguales y en el que en cada vértice se encuentran el mismo número de caras.

¿CUÁNTAS CARAS PUEDEN CORTARSE EN EL VÉRTICE DE UN POLIEDRO REGULAR?

Todas las caras de un poliedro regular han de ser iguales. Pueden ser triángulos equiláteros, cuadrados y pentágonos regulares.

Para construir un ángulo poliedro necesitas un mínimo de 3 caras iguales y cada una debe valer menos de 120º para que entre las tres, no lleguen a 360º.

El máximo de caras iguales que se necesitan para formar un ángulo poliedro regular serían 5. ¿Por qué?

Supongamos que las caras son triángulos equiláteros iguales. Cada ángulo del triángulo equilátero vale 60º y no puede valer menos porque entre los 3 ángulos no llegarían a 180º y la suma de los ángulos interiores de todo triángulo debe valer 180º.

Si el número de caras de un ángulo de un poliedro regular fuesen 6, el producto de 60º de cada cara por las 6 caras obtendríamos 360º y no existe un ángulo poliedro de este valor, por eso, el máximo de caras han de ser 5.

Poliedros formados con triángulos equiláteros:El menor número de caras que concurren en un ángulo poliedro ha deser 3 y para que la figura esté completamente cerrada necesitamos 4caras:

A este poliedro le llamamos TETRAEDRO:(Tetra = cuatro,edros = caras).Las caras las tenemos numeradas, la 4ª cara no la vemos por encontrarse oculta por detrás.

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Construir un tetraedro: Necesitas: una regla, una cartulina, unas tijeras y pegamento.

1º.- Dibuja 4 triángulos equiláteros tal como los tienes en la figura dejando tres trozos, en color rojo.2º.- Recorta todo el contorno (respetando las solapas en color rojo).3º.- Dobla la cartulina por las líneas en color negro. Dobla las solapas y pégalas por la parte posterior del tetraedro.

¿Cuántos vértices tiene un tetraedro?Respuesta: 4 vértices¿Cuántas aristas tiene un tetraedro?Respuesta: 6 aristas¿Cuántas caras concurren en un vértice del tetraedro?Respuesta: 3 caras

TEOREMA DE LOS POLIEDROS DE EULER.

Leonhard Euler matemático suizo del siglo XVIII publicó las relaciones que había entre las caras, aristas y vértices de los poliedros que acabamos de estudiar.

Representando por:

Algunas de las relaciones encontradas por Euler fueron las siguientes:

Para comprobar lo que acabas de leer tomamos los datos de la Tabla siguiente:

VOLUMEN DEL TETRAEDRO.

El volumen puedes obtener de dos modos, ambos un poco laboriosos.

VOLUMEN ES IGUAL AL ÁREA DE LA BASE POR LA ALTURA.Las aristas de un tetraedro miden 2,5 cm. Calcular su volumen.

SoluciónSegún los datos, tenemos la siguiente figura que representa una de las 4 caras iguales de un

tetraedro, y por lo tanto su base de 2,5 cm.

Área del tetraedro

Volumen del tetraedro

Respuesta:SoluciónSegún los datos, tenemos la siguiente figura que representa una de las 4 caras iguales de un tetraedro, y por lo tanto su base de 2,5 cm.

Tenemos que calcular la altura que la representaremos con h.Tenemos en color amarillo, un triángulo rectángulo en el conocemos la hipotenusa (2,5 cm) y un cateto (mitad de la base que mide 1,25 cm.). Utilizando el teorema de

Pitágoras tendremos:

La base, es un triángulo equilátero, es decir, con sus tres lados iguales. Los lados son las aristas del tetraedro.El área de la base la obtenemos multiplicando la base por la altura y dividiendo por dos por tratarse de un triángulo:

Una vez calculada el área de la base pasamos a hallar el volumen del tetraedro.Nos encontramos que desconocemos la altura del tetraedro y antes es bueno recordar que no confundas altura del tetraedro con apotema.Apotema en los cuerpos geométricos significa la altura de una cara.La línea en color amarillo es la altura del tetraedro y la línea en color rojo es la apotema.

Creo que no estará de más recordar lo que es el ortocentro.Ortocentro es el punto donde se cortan las 3 alturas de un triángulo.

En la figura siguiente puedes ver un punto verde u ortocentro el lugar donde se cortan las 3 alturas (color azul) de un triángulo.

Por ello, al medir la altura del triángulo 2,165cm., el ortocentro se halla a 1,443 cm., del vértice y a 0,722 del lado del triángulo. La de estas dos distancias nos dará la longitud de la altura del triángulo.

El tetraedro podemos construirlo tal como lo tienes en la figura siguiente:

Para calcular el volumen de un tetraedro debes observar el siguiente ejemplo: Ves a la izquierda, tres recipientes iguales (TETRAEDROS), que aunque estén en equilibrio muy inestable, van aservirnos para ver como se calcula el volumen de un tetraedro. A la derecha se encuentra un recipiente quetiene la misma base y la misma altura de cada uno de los tetraedros iguales. Para llenar el recipiente de laderecha, es decir, del prisma, necesitamos la capacidad de tres tetraedros. Si el volumen de un prismacalculamos multiplicando área de la base por la altura, es fácil ver, que el volumen de un tetraedro vale lo mismoque la tercera parte del volumen de un prisma con la misma base y la misma altura.

Volviendo a nuestro problema, el volumen del tetraedro propuesto será:

2,5

FORMULA CALCULAR VOLUMEN

Calculamos el valor de la apotema o altura de una cara de un triángulo equilátero. En nuestra figura tienes en color verde un triángulo rectángulo (la hipotenusa vale a y los catetos,

Vamos a calcular el valor de la apotema:Por Pitágoras sabemos:

Extraemos la raíz cuadrada en ambos términos de la igualdad:

Conocemos los valores de la arista y la apotema

Conocidos los valores de la arista y la apotema hallamos el área de una cara cualquiera porque las 4 de un tetraedro son iguales (base por altura dividido entre dos):

El valor de ap lo sustituimos por su valor en función de la arista que ya lo hemos calculado anteriormente:

Para calcular el volumen necesitamos conocer la altura del tetraedro y para ello vas a fijarte en la figura siguiente:

Recuerda que el ortocentro o punto donde se cortan las alturas de un triángulo dista 1/3 de su longitud hasta el lado opuesto, es decir, ap/3 que equivale a un cateto del triángulo rectángulo de color verde. Este valor lo escribimos en función de la arista y obtenemos:

La hipotenusa del triángulo verde vemos vale luego aplicando el teorema de Pitágoras y el otro cateto es h la altura del tetraedro escribimos:

Extraemos las raíces cuadradas en ambos miembros:

Ya hemos conseguido obtener los valores del:

Si estuviésemos tratando con prismas el volumen sería: Área de la base X altura, pero en este poliedro el volumen sería la tercera parte, recuerda que el volumen de tres tetraedros iguales equivalen al de un prisma de la misma altura y bases paralelas e iguales a sus caras.El volumen de un tetraedro será, por lo tanto:

Después de simplificar las nos ha quedado una fórmula muy simple en la que únicamente se requiere conocer el valor de la arista.

MUCHAS GRACIAS