PLACAS RECTANGULARES - UFRGS...Placas Rectangulares 3 solución de las ecuaciones en derivadas...

PLACAS RECTANGULARES

1. PLACAS RECTANGULARES 1.1.GENERALIDADES. Matemáticamente la ecuación diferencial en derivadas parciales que gobierna el comportamiento de una placa se clasifica entre las de cuarto orden con coeficientes constantes. Si el término independiente es nulo, ecuación diferencial homógenea, se denomina Ecuación Biarmónica.

0 = y) w(x, D

y)q(x, = y) w(x, ∆∆∆∆

La solución de la ecuación diferencial de la placa debe satisfacer las condiciones de contorno lo que dificulta extraordinariamente el proceso en tal forma que sólo es posible encontrar dicha solución en muy pocas situaciones. Incluso en la mayoría de estos casos debe recurrirse a la linealidad de la ecuación diferencial lo que permite obtener la solución como superposición de las soluciones de la ecuación diferencial homogenea (q=0) y a una solución particular de la ecuación no homogenea (q≠ 0). Es decir: y)w(x, +y)w(x, = y)w(x, PH donde wH representa la solución de la ecuación diferencial homogénea y wP es una solución particular de la ecuacion original. Es decir:

Dy)q(x,=

yw+

yxw2+

xw 0=

yw+

yxw2+

xw

4P

4

22P

4

4P

4

4H

4

22H

4

4H

4

∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂∂

∂∂

Algunas condiciones de borde permiten el uso de soluciones especiales, tal como sucede con la solución de Navier que se describe más adelante en la que wH=0 de modo que:

y)w(x, = y)w(x, P

Análisis de Estructuras 2

Las primeras soluciones básicas en la estática de Placas fueron dadas por Navier en 1821 poco después de haber deducido Lagrange su ecuación diferencial y haber estudiado Fourier las series que llevan su nombre. 1.1.1. Solución de la Ecuación Homogénea. La ecuación homogénea, término independiente nulo, puede físicamente interpretarse como la asociada a una placa sobre la que sólo actúan acciones exteriores en los bordes. La solución de la ecuación homogénea w(x,y)H , describe plenamente las condiciones de borde de la Placa y mantiene el equilibrio con las fuerzas externas en los bordes pero no considera el equilibrio de las fuerzas q(x,y). La determinación de esta solución presenta en general graves dificultades y limita el campo de aplicación de esta metodología de cálculo. 1.1.2. Solución Particular. La solución particular w(x,y)P , satisface la ecuación diferencial completa de la Placa pero no satisface completamente las condiciones de contorno. En general la solución particular tiene un mayor sentido físico y es sencilla de determinar. Por ejemplo en placas rectangulares pueden usarse como soluciones particulares la flecha de una viga con las mismas condiciones de borde y carga o la flecha de una Placa con condiciones de borde simplemente apoyados. Más adelante se presenta algún ejemplo de aplicación de esta metodología a placas de interés práctico.

1.2. SOLUCIONES BASADAS EN LAS SERIES DE FOURIER. Las series de Fourier son una herramienta indispensable para obtener una solución analítica de muchos problemas en el campo de la mecánica aplicada, tales como la

Placas Rectangulares 3

solución de las ecuaciones en derivadas parciales que originan la teoría de la elasticidad, las vibraciones, el flujo de calor, las ondas electromagneticas, etc. Los teoremas de Fourier establecen que una función arbitraria f(x) puede expresarse mediante una serie infinita de senos y cosenos es decir, la función se reemplaza por la superposición de infinitas ondas de senos y cosenos.

Tx2nsenBT

x2nA +A2

1 =f(x) n1

n1

0 + ππ ∑∑∞∞

cos 5

donde An y Bn son los coeficientes de Fourier del desarrollo que vienen dados por:

dxT

x2nf(x)senT2=B dx

Tx2nf(x)

T2=A f(x)dx

T2=A

T

0n

T

00

T

00

ππ∫∫∫ cos

siendo T el periodo de la función f(x). En 1820 Navier presentó en la Academia de Ciencias Francesa la solución de placas simplemente apoyadas en los cuatro bordes usando series de Fourier dobles. Este tipo de soluciones se denominan forzadas ya que implican automáticamente unas determinadas condiciones de borde para la Placa pero tienen la ventaja de que transforman la ecuación diferencial que rige su comportamiento en otra algebraica de fácil solución. 1.2.1. Aplicación de las series de Fourier a Flexión de Vigas. La mecánica de trabajo que incorpora el uso de los desarrollos en serie de Fourier se introduce en este capítulo con su aplicación a la flexión de vigas. Para ello se considera una viga de longitud l y rigidez EI simplemente apoyada en sus extremos y sometida a una carga variable q(x). Como es bien conocido la flecha w(x) de la viga debe satisfacer la ecuación diferencial siguiente:

EIq(x) =

xdw(x)d

4

4

Desarrollando en serie de Fourier la función w(x) :

lxm senw = w(x) m

1=m

π∑∞

8

función que satisface automáticamente las condiciones de borde simplemente


0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

apoyado ya que:

0 = xdwd EI- = M(x)0 = w(x)l=x 0=x 2

2

9 Si se desarrollan en serie las cargas exteriores usando las mismas funciones armónicas:

lxm senq = q(x) m

1=m

π∑∞

la condición de que w(x) satisfaga la ecuación diferencial nos proporciona los si-guientes valores de las amplitudes wm:

con π

π44

4m

mm

m4

44

m EIl q

= w EIq

= w l

m

dx l

xm senq(x) = ql

0m

π∫

Sí la carga q(x)=q es uniforme: )m -1 ( m2q = qm π

πcos

Representación del desarrollo de una carga uniforme


lxm sen

m2

msen 2Pl =

xdwd -EI= M(x) 2

=1m22

2 ππ

π∑

∞

lxm sen

mm -1 l2q =

xdwd EI- = M(x) 3

1=m3

2

2

2 ππ

π

cos∑∞

En el centro de la viga x = l/2 se tienen los siguientes valores de w y M para los distintos términos no nulos del desarrollo armónico usado: m w . ql4/EI M . ql2 1 0.0130711 0.1290060 3 -0.000054 -0.0047780 5 0.0000042 0.0010321 7 -0.0000008 -0.0003761 Σ 0.0130207 0.1249 Exacta 0.0130208 0.125

Variación de la flecha y del momento con el número de términos del desarrollo

Si la carga es puntual q(l/2)=P :

lxm sen

m2

msen

EIl2P = w(x)

2m sen

l2P = q 4

1=m4

3

mπ

π

π

π ∑∞

0,013

0,0130208

0,0130416

0,0130624

0,0130832

1 3 5 7 9 11 13 150,12

0,1225

0,125

0,1275

0,13

1 3 5 7 9 11 13 15

lxm sen

mm -1

EIl2q = w(x) 5

1=m5

4 ππ

π

cos∑∞


En el centro de la viga x = l/2 se tienen los siguientes valores de w y M para los distintos términos no nulos del desarrollo armónico usado: m w . ql4/EI M . ql2 1 0.02053196 0.2026434 3 0.00025348 0.0225158 5 0.00003285 0.0081057 7 0.00000855 0.0041356

Σ 0.020827 0.2374 Exacta 0.02083 0.25

2.2. Placas rectangulares simplemente apoyada en los 4 bordes. Solución de

Navier. En una placa rectangular simplemente apoyada en los 4 bordes de longitudes a y b respectivamente, la flecha w(x,y) se puede representar con la serie doble siguiente:

byn sen

axm senw =y)w(x, mn

1=n1=m

ππ∑∑∞∞

que satisface automáticamente las condiciones de los 4 bordes simplemente apoyados:

0 =M 0 =M 0 =)yw(x, ] b=y0,=y [y ] a=x0,=x [ x] b=y0,=ya,=x0,=x [

ya que son nulas tanto la función flecha w(x, y) como sus segundas derivadas en los bordes x=0 x=a, y=0 e y=b al estar afectadas por los desarrollos de senos correspondientes. La carga q(x ,y) se desarrolla en la misma forma que w(x, y):

byn sen

axm senq =y)q(x, mn

1=n1=m

ππ∑∑∞∞

17 con :

y)dxdyq(x, ab4 =q

b

0

a

0mn ∫∫


la condición de que la función w(x, y) satisfaga la ecuación diferencial de la placa para cada término del desarrollo armónico nos proporciona la siguiente relación:

b

yn

a

xmmnq

Db

yn

a

xm

b

n

ba

nm

a

mmnw

πππππππcossen

1cossen4

44

22

42224

44=++

de donde se obtiene: 2

2

2

2

24

+

=

bn

amD

qw mnmn

π

y por tanto la flecha w(x,y) puede escribirse:

bym

axm

bn

am

qD

yxw mn

nm

ππ

πsensen1),(

2

2

2

2

2114

+

= ∑∑∞

=

∞

=

Conocida la flecha es fácil determinar los esfuerzos que derivan de ella para cada término del desarrollo armónico en función de la amplitud de la carga qmn. MOMENTOS

byn

axm

bn

am

bn

am

qMn

mnm

xππ

ν

πsensen1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

112

+

+= ∑∑

∞

=

∞

=

byn

axm

bn

am

bn

am

qMn

mnm

yππ

ν

πsensen1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

112

+

+= ∑∑

∞

=

∞

=

byn

axm

bn

am

bn

am

qMn

mnm

xyππ

π

ν coscos12

2

2

2

2112

+

−= ∑∑

∞

=

∞

=


CORTANTES

byn sen

axm

bn+

am

m q a

=Q

2

2

2

2mn1=n1=m

xππ

πcos1 ∑∑

∞∞

byn

axm sen

bn+

am

n q b

=Q

2

2

2

2mn1=n1=m

yππ

πcos1 ∑∑

∞∞

CORTANTES EQUIVALENTES

( )b

ynsena

xm

bn

am

bn

am

qa

Vn

mnm

xππν

πcos

212

2

2

2

2

2

2

2

2

11

+

−+= ∑∑

∞

=

∞

=

( )b

yna

xmsen

bn

am

bn

am

qb

Vn

mnm

yππν

πcos

212

2

2

2

2

2

2

2

2

11

+

+−= ∑∑

∞

=

∞

=

Debe hacerse notar que en general mientras la flecha crece inversamente proporcional a potencias de m y n altas lo que provoca una convergencia rápida de la serie usada para su representación, los esfuerzos lo hacen más lentamente. Esta velocidad de convergencia depende del tipo de carga q(x, y) y para cada una de ellas se deben determinar los coeficientes qmn del desarrollo de Fourier correspondiente. 2.2.1. Amplitudes de una Carga Uniforme. Si sobre la placa actúa una carga uniforme de valor qo se obtienen las siguientes amplitudes para su desarrollo armónico:

)n-(1)m-(1mn

q4=dxdy

byn sen

axm senq

ab4 =q 2

00

ba

mn πππ

ππ coscos00∫∫


mnq16

=q

0 =q

20

mn

mn

π:impares enteros númerosson n y m sí

:pares enteros númerosson n y m sí

2.2.2. Amplitudes de una Carga Uniforme Parcial y Puntual. La amplitud del desarrollo armónico asociado a una carga puntual se determina como limite de la de una carga uniforme parcial que actua sobre un elemento superficial (u,v) cuando u y v tienden a cero.

uvP = q

La amplitud para una carga uniforme q0 parcial en (u,v) viene dada por:

ydxd b

ynsen a

xmsen q ba

4 =q 0

vpb

vpb

upa

upa

mnππ

∫∫+

−

+

−

2

2

2

2

que trás realizar la integración correspondiente nos proporciona:

2bvn sen

2aum sen

bbn

senaam

senmnuv

16P =q pp2mn

ππππ

π

La amplitud asociada a una carga puntual se obtiene en el límite cuando u y v tienden a 0. En este caso el seno coincide con el ángulo y se obtiene:


bbn

senaam

senab

4P =q pp4mn

ππ

π

2.3. Placas rectangulares simplemente apoyadas en los 4 bordes. Solución de Levy. Para Placas rectangulares con dos bordes opuestos simplemente apoyados Levy propuso tomar como solución para la ecuación homogenea la serie simple:

axm sen(y)Y = )yw(x, m

1=mH

π∑∞

dónde se supone que los bordes x=0 y x=a están de forma forzada simplemente apoyados ya que cada término de la serie adoptada satisface automáticamente dichas condiciones de borde.

( )[ ] ( )[ ] 0),(),(0,,2

2

02

2

0 =

∂

∂=

∂

∂==

====

axxaxx x

yxwx

yxwyxwyxw

En este caso la amplitud del desarrollo depende de y y se determina de modo que satisfaga las condiciones de borde en y=± b/2 y la ecuación diferencial de la placa. La solución w(x, y) se puede obtener ahora como suma de la correspondiente de la ecuación diferencial homogénea wH más una solución particular wP:

)y w(x,+ )y w(x,= y)w(x, PH


Como solución particular se elige la flecha de una franja (viga con rigidez EI= D) paralela al eje x de longitud a con la carga que actúa sobre la placa. Si la carga es uniforme q(x, y)=qo

x)a+ax2-x( 24Dq

=)yw(x, 3340P

sólo función de x que satisface la ecuación diferencial de la placa y las condiciones de borde en x=0 y x=a. Esta solución particular puede desarrollarse en serie de senos para uniformizarla con la solución homogénea elegida.

axmsen

m1

Daq4

=x)a+ax2-x( 24Dq

=)yw(x, 51=m

5

403340

Pπ

π∑∞

La solución w(x, y)H debe satisfacer la ecuación diferencial homogénea, q(x,y)=0, y para ello las amplitudes Ym(y) deben cumplir:

01

=

′′∑

∞

axmsenY

am + Y

am2 -Y m4

44

m2

22IVm

πππ

Para que se cumpla para todos los valores de x:

0 = Ya

m + Y a

m2 -Y m4

44

m2

22IVm

ππ ′′

La solución general de esta ecuación diferencial para una carga uniforme q0 es de la forma:

+

+

+

=

aymCh

aymD

aymShC

aymSh

aymB

aymChA

DaqyY mmmmm

ππππππ40)(

Si se considera la simetría de la solución respecto al eje X no quedan más que los términos impares del desarrollo de w(x,y)P y los términos Cm y Dm de w(x,y)H deben ser nulos. En este caso la flecha total w(x,y) viene dada por:

+

+= ∑

∞

=a

xma

ymSha

ymBa

ymChAmD

aqyxw mmm

ππππ

πsen4),( 55

1

40

que satisface la ecuación diferencial completa ∆∆w(x,y)=q/D y las condiciones de contorno en los bordes x=0 y x=a. Las condiciones de contorno en los bordes paralelos al eje x nos permiten determinar las constantes de integración Am y Bm.


Si dichos bordes también están simplemente apoyados deben satisfacerse las dos condiciones siguientes:

( )[ ] 0),(0,

2

2

2

2=

∂

∂=

±=±= by

by yyxwyxw

De estas dos condiciones se obtienen las dos ecuaciones siguientes en Am y Bm:

0222

455 =

+

+

abmSh

abmB

abmChA

mmm

πππ

π

( ) 0222

2 =

+

+

abmSh

abmB

abmChBA mmm

πππ 31

de donde:

=

+

−=

abmChm

B

abmChm

abmTh

abm

A mm

2

2

2

222

2

5555 ππ

ππ

ππ

Obtenidas estas expresiones la flecha de la placa queda ahora representada por una serie de Fourier simple en la dirección x y por unas funciones hiperbólicas en la dirección y en la forma:

( )

+

+

−= ∑∞

=a

xma

ymSh

abmCha

yma

ymCh

abmCh

abmTh

abm

mDaqyxw

m

πππ

πππ

ππ

πsen

22

22

222

114, 51

5

40

Una vez determinada la flecha de la placa w(x,y) es fácil obtener las expresiones para los esfuerzos, momentos y cortantes, que actúan sobre el plano medio de la misma. En los apartados anteriores se presenta la solución de la misma placa, rectangular simplemente apoyada en sus cuatro bordes, usando dos técnicas similares pero diferentes en cuanto a su desarrollo. La solución de Levy abre más expectativas pues permite representar otras condiciones de contorno en los bordes paralelos al eje x. Así por ejemplo sí particularizamos la solución en algún punto típico de una placa cuadrada de lado a y coeficiente de Poisson ν=0.3 , es fácil comprobar que ambas soluciones coinciden. FLECHA EN EL PUNTO MEDIO.


Daq 0.00406 =,0)

2aw( =)

2b,

2aw(

4

LevyNavier

MOMENTOS EN EL PUNTO MEDIO

aq 0.0479 =,0)2a(M =)

2b,

2a(M

aq 0.0479 =,0)2a(M =)

2b,

2a(M

2y

Levyy

Navier

2x

Levyx

Navier

33 CORTANTES MAXIMOS EN EL CENTRO DE LOS BORDES

qa 0.338 =(0,0)Q =)2b(0,Q

qa 0.338 =)2b,

2a(Q =,0)

2a(Q

y Levyy Navier

x Levyx Navier±±

3. Placas rectangulares con bordes empotrados. La respuesta tenso deformacional de una placa rectangular con los 4 bordes simplemente apoyados para cualquier tipo de carga puede obtenerse como se ha visto en apartados anteriores, con facilidad usando desarrollos en serie de senos que satisfacen automáticamente dichas condiciones de borde.

5

Si alguno de los bordes está empotrado se debe proceder siguiendo un esquema de compatibilidad similar al utilizado en vigas. Es decir se considera la placa apoyada en sus cuatro bordes y se supone que sobre el borde que está empotrado actúa un momento de empotramiento que da lugar a un giro nulo a lo largo del borde.


( ) ( ) 0,,

=

+

ntoempotramieMApoyadaeSimplement ydyxwd

ydyxwd

Para poder superponer soluciones sería necesario conocer la flecha w(x,y) de una placa rectangular cuando sobre un borde actúa un momento variable con la coordenada que describe el mismo. 3.1. Placa rectangular con un momento distribuido en dos bordes. Sea la placa rectangular, de dimensiones a y b, de la figura de la página anterior, simplemente apoyada en sus cuatro bordes sometida a dos momentos f1 (x) y f2 (x) variables con x actuando a lo largo de los bordes y=0 e y=b (o y=± b/2 si consideramos que el eje x está situado en el centro de la placa). Con q(x,y)=0 la flecha w(x,y) debe satisfacer la ecuación diferencial homogé nea:

0 = yw+

y x

w 2 + xw

4

4

22

4

4

4

∂∂

∂∂∂

∂∂

y las condiciones de borde siguientes:

(x)f =yw D- 0=w

2b-=y (x)f =

yw D- 0=w

2b=y

0 = xw 0=w a=x 0 =

xw 0=w 0=x

22

212

2

2

2

2

2

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂∂

__

__

Las condiciones en X se satisfacen automáticamente considerando desarrollos en seno. Las condiciones respecto a Y deben estudiarse más específicamente.Se supone que la solución viene representada por la serie simple:


axm sen(y)Y = y)w(x, m

=1m

π∑∞

Para que la flecha w(x,y) satisfaga la ecuación diferencial, la función amplitud Ym(y) debe satisfacer la ecuación diferencial ordinaria:

0 = Ya

m + Y a

m2 -Y m4

44m2

22IVm

ππ ′′

La solución de esta ecuación diferencial es de la forma:

aymCh

aym

D+a

ym Sha

ymC+

aymCh B+

aym ShA=(y)Y mmmmm

ππππππ

Si los momentos, f1 (x) = - f2 (x) , son simétricos respecto al eje X:

Am = Dm = 0 Si los momentos, f1 (x) = f2 (x), son antimétricos respecto al eje X:

Bm = Cm = 0 En el primer caso la condición de flecha nula en el borde y=b/2 nos proporciona:

2abmTh

2abm C- = B 0 =

2abm Sh

2abm C +

2abmCh B mmmm

πππππ

En el segundo:

2abmTh

2abm

1 A- = D 0 = 2a

bmCh 2a

bm D + 2a

bm ShA mmmmπ

ππππ

Si desarrollamos las funciones f1(x) y f2(x) en serie de senos se tiene:

axmsen E = (x)f = (x)f m

1=m21

π∑∞

±

La condición de contorno en el caso simétrico viene dada por:

axm senE =

axm sen

2abmCh C

am D 2- m

1=mm2

22

1=m

ππππ ∑∑∞∞

de donde se obtiene:

2abmChm D 2

Ea - = C22

m2

m ππ


( )

−

= ∑

∞

=a

xma

ymCha

yma

ymShabmCth

abm

abmShm

E

Dayxw m

m

ππππππππ

sen22

22

,21

2

2

( )

−

= ∑

∞

=a

xma

ymSha

yma

ymChabmTh

abm

abmChm

E

Dayxw m

m

ππππππππ

sen22

22

,21

2

2

y por tanto la flecha w(x,y) se puede expresar como: en función de Em amplitud del momento f1 (x). La condición de contorno en el caso antimétrico viene dada por:

axm senE =

axm sen

2abmTh

2abm ShA

2abm

m a

D 2m

1=mm

2

1=m2

2 πππππ

π ∑∑∞∞

de donde se obtiene:

2abmTh

2abmSh

2abm

. D m 2

Ea = A 22m

2m ππ

π

π

y por tanto la flecha w(x,y) se puede expresar como:

La superposición del caso simétrico y antimétrico permite obtener la solución cuando actua un momento 2 f (x), con amplitud de desarrollo en serie Em, sobre un borde. Conocida la función f1 (x) está perfectamente determinado Em y por tanto la flecha w(x, y). Si por el contrario f1 (x) fuese un momento hiperestático, su amplitud Em se determina igualando los giros en el borde considerado. Ecuación que permite determinar Em y por lo tanto el desarrollo armónico del momento reacción. Conocido este momento queda perfectamente definida la flecha w(x, y) de una placa rectangular con un borde empotrado bajo una carga q(x, y). 4. Placa Rectangular empotrada en 3 bordes y con un borde libre. Las placas rectangulares con este tipo de condiciones de borde presentan un interés especial en ingeniería ya que permiten simular el comportamiento de las paredes de depósitos rectangulares o los muros de contención. Por ello se presentan a continuación las bases necesarias para encontrar la solución a este tipo de placa cuando actua una carga exterior uniforme o hidrostática.


En ambos casos de carga la solución para la flecha w(x,y) puede expresarse de la forma siguiente:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] HP yxwyxwyxwyxw ,,,, 21 ++= Las funciones w(x,y)P y (w(x,y)1 )H tratan con condiciones de bordes simplemente apoyados en x=± a/2 y la función (w(x,y)2 )H con las coacciones adicionales que el empotramiento introduce en los mismos.

4.1. Carga Uniforme. Para una carga q(x,y)=q0 uniforme, la solución particular:

( ) ( )

( )

−

=

=

=+−=

−∞

=

∞

=

∑

∑

axm

mD

q

axm

mD

qxaxax

Dqyxw

m

m

a

m

aP

π

π

π

π

cos14

sen142

24,

52

1

15

40

51

5

403340

correspondiente al desarrollo de la flecha en una franja de ancho unidad (viga de rigidez D) de longitud a simplemente apoyada en sus extremos.

( )[ ] ( ) ( )

−=

−∞

=∑ a

xmyYyxwm

mm

Hπcos1, 2

1

,..5,3,11

donde:


( )

+

+

+

=

aymSh

aymD

aymShC

aymSh

aymB

aymChA

DaqyY mmmmm

ππππππ40

En ambos casos, wP y w1H , cuando x=± a/2 , el coseno de un múltiplo de /2 es cero y por lo tanto se anulan automáticamente la flecha y el momento de ella derivado ya que el coseno permanece en una segunda derivación, en estos bordes.

( )[ ]

+

+

+

+

−

=

∑

∑∞

=

∞

=

axm

aymSh

aymI

aymCh

aymH

aymShG

Daq

byn

bxnSh

bxnF

bxnCh

banTh

banF

Daqyxw

mmmm

nnn

H

ππππππ

ππππππ

cos

2sen

22244,

,..5,3,1

40

,..5,3,1

40

2

desarrollo que satisface automáticamente la condición de borde:

(w(x y)2 )H=0 en y=0 y x= ± a/2 Esta función debe también satisfacer: BORDE LIBRE y=b. GIROS NULOS EN x=± a/2.

( ) ( ) ( ) 0,,0 2

2

2

2=

∂

∂+

∂

∂⇒=

==

bybyx

yyxw

xyxwM ν

( ) ( ) ( ) ( ) 0,2,0 2

3

3

3=

∂∂

∂−+

∂

∂⇒=

==

bybyy

yxyxw

yyxwV ν

( ) 00

2

21

0

2 =

∂

++∂=

∂

∂

±==ax

HHP

y

Hx

wwwy

w

con estas condiciones de borde se pueden determinar las constantes de integración Fn , Gm , Hm e Im. 4.2. Carga hidróstatica. Se trata de la misma forma que una carga uniforme pero considerando que la carga es ahora función de la coordenada y.


bym sen

m1

q2 = q(y)

1=m

0 ππ ∑

∞

Desarrollando en serie de senos la función carga hidrostática q(y) se obtiene:

Sustituyendo q en las expresiones de wP , w1H y w2H del apartado anterior por la expresión algebraica q(y) o por su desarrollo armónico, se puede obtener siguiendo los pasos allí descritos la solución w(x, y) usando las mismas condiciones de borde. Estas aplicaciones ponen de manifiesto las dificultades que aparecen al resolver la ecuación diferencial de incluso placas de geometría y condiciones de carga senci-llas. De ahí que los métodos numéricos, diferencias y elementos finitos hallan alcanzado un desarrollo importante y constituyan en la actualidad la herramienta más adecuada para el análisis de Placas.


EJEMPLO Nº 1

Obtener la flecha, esfuerzos y reacciones en una placa cuadrada de lado a simplemente apoyada en los cuatro lados sometida a una carga uniforme q0

SOLUCION

Si la flecha w(x, y) se desarrolla en serie doble de senos:

= ∑∑

∞=

=

∞=

=a

yna

xmnmwyxw

n

n

m

m

ππ sensen),(11

los desarrollos satisfacen de forma automática unas condiciones de contorno:

( ) 0sen0sen),(11

0 =

= ∑∑

∞=

=

∞=

== a

ynwyxw nm

n

n

m

mx

π

( ) 0sensen),(11

=

= ∑∑

∞=

=

∞=

== a

ynmwyxw nm

n

n

m

max

ππ

( ) 00sensen),(11

0 =

= ∑∑

∞=

=

∞=

== a

xmwyxw nm

n

n

m

my

π

( ) 0sensen),(11

=

= ∑∑

∞=

=

∞=

== π

π na

xmwyxw nm

n

n

m

may

x

q0

a

a q0

y


( ) ( ) 0sen0sen22

112

2

0 =

+−= ∑∑

∞=

=

∞=

== a

ynnmwa

DM nm

n

n

m

mxx

πν

π

( ) ( ) 0sensen22

112

2=

+−= ∑∑

∞=

=

∞=

== a

ynmnmwa

DM nm

n

n

m

maxx

ππν

π

( ) ( ) 00sensen22

112

2

0 =

+−= ∑∑

∞=

=

∞=

== a

xmnmwa

DM nm

n

n

m

myy

πν

π

( ) ( ) 0sensen22

112

2=

+−= ∑∑

∞=

=

∞=

== π

πν

π na

xmnmwa

DM nm

n

n

m

mayy

La selección de un determinado desarrollo armónico para representar la flecha w(x, y) implica que se satisfacen automáticamente unas condiciones de contorno específicas. Por ello en esta situación las condiciones se denominan forzadas ya que vienen incluidas en la solución y por tanto no se pueden alterar. En este caso las condiciones de flecha y momentos nulos en los cuatro bordes corresponden a la situación de lados simplemente apoyados. En la técnica de desarrollos en serie la carga exterior se desarrolla en la misma forma que la flecha:

= ∑∑

∞=

=

∞=

=a

yna

xmnmqyxq

n

n

m

m

ππ sensen),(11

pero ahora como la función q(x, y)=q0 es conocida las amplitudes del desarrollo se pueden determinar sin más que:

dxa

yna

xmqaa

qay

y

ax

xnm

= ∫∫

=

=

=

=

ππ sensen220

00

( )[ ] ( )[ ]πππ

ππ

ππnm

nm

qa

a

yna

a

xm

n

a

m

a

a

qnmq cos1cos1

1204

0cos

0cos2

04−−=−−=

cuando m y/o n sean pares el cos (par x π)=1 de forma que:

( )[ ] ( )[ ] 0cos1/0cos1 =−=− ππ noym

sin embargo cuando m y n sean impares el cos (impar x π)=-1 de forma que:

( )[ ] ( )[ ] 2cos1/2cos1 =−=− ππ noym

por lo tanto:

=

=

L

L

,7,5,3,1116,8,6,4,20

20 nympara

nmq

nomparaq nm

π


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

La variación de la carga a lo largo del eje x con y=0,5 a viene dada en las siguientes figuras.

Fig 1. q(x,y) considerando 1 término del desarrollo Fig 2. q(x,y) considerando 3 términos

Fig 3 q(x,y) considerando 5 términos Fig. 4 q(x,y) considerando 7 términos

Fig. 5 q(x,y) considerando 9 términos La flecha w(x, y) tiene que satisfacer la ecuación diferencial de equilibrio de la placa:

ayn

axmq

D

ayn

axm

an

an

am

amw

nm

n

n

m

m

nm

n

n

m

m

ππ

ππππππ

sensen1

sensen2

11

4

44

2

22

2

22

4

44

11

∑∑

∑∑∞=

=

∞=

=

∞=

=

∞=

=

=

=

++

0

0,25

0,5

0,75

1

1,25

1,5

1,75

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,50

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5


que proporciona para cada término del desarrollo:

Dq

an

an

am

amw nm

nm ==

++ 4

44

2

22

2

22

4

442 ππππ

( )2224

4

2

2

2

2

2 nmD

aq

a

n

a

mD

qw nmnm

nm+

=

+

=π

La flecha viene dada por tanto por:

( )

+= ∑∑

∞=

=

∞=

=a

yna

xm

nm

q

D

ayxw nmn

n

m

m

ππ

πsensen),( 222

114

4

y para la carga uniforme:

( )

+= ∑∑

∞=

=

∞=

=a

yna

xm

nmnmD

aqyxwn

n

m

m

ππ

πsensen116),( 222

116

40

w(0,5 a, 0,5 a) x (q0 a4 / D)

n=1 SUMA n=3 SUMA n=5

m=1 0,0041606 -5,548 10-5 4,92 10-6

0,0041606 m=3 -5,548 10-5 5,707 10-6 -9,598 10-7

0,0040554

m=5 4,92 10-6 -9,598 10-7 2,66 10-7

SUMA 0,0040636

Tabla 1. Flecha en el centro de la placa para 1 3 y 5 términos del desarrollo

La solución converge rápidamente ya que en el denominador de la flecha aparecen las quintas potencias de m y n.(Fig 6)

La solución exacta vale w(0,5 a, 0,5 a)= 0,0040624 q0 a4 /D

Para tener un orden de magnitud si se considera una placa de 5 m. sometida a 2 T/m2 y con un D= 1.500 T m la flecha máxima vale 3,4 mm.


0,004042

0,004062

0,004082

0,004102

0,004122

0,004142

0,004162

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31

Fig. 6. Convergencia de la flecha en el centro de la placa con el número de armónicos Conocida la flecha, se pueden calcular los esfuerzos que dependen de ella:

+

+∞=

=

∞=

=

=

∂

∂+

∂

∂= ∑∑ a

yna

xm

nmnm

nmn

n

m

m

aq

y

yxw

x

yxwDxM ππν

πν sensen222

22

114

2016

2),(2

2),(2

( )

+

+=

∂

∂+

∂

∂= ∑∑

∞=

=

∞=

=a

yna

xm

nmnm

nmaq

y

yxw

x

yxwDMn

n

m

my

ππν

πν sensen16),(),(

222

22

114

20

2

2

2

2

Los momentos Mx y My son nulos en los bordes y toman su valor máximo en el centro, senos máximos, de la placa y son por simetría iguales.

Mx(0,5 a, 0,5 a)

x (q0 a2) n=1 SUMA n=3 SUMA n=5

m=1 0,0533831 -0,0020258 0,0004131

0,053383 m=3 -0,0050919 0,0006591 -0,0001563

0,0469244

m=5 0,0012295 -0,0002624 8,541 10-5

SUMA 0,0482337

Tabla 2. Mx en el centro de la placa para 1 3 y 5 términos del desarrollo

La solución ya no converge tan rápidamente como la flecha ya que las potencias de m y n son ahora de orden 4 (Fig 7).

La solución exacta vale Mx=0,0479 q0 a2

Para tener un orden de magnitud si se considera una placa de 5 m. sometida a 2 T/m2 el momento máximo vale 2,4 m T/ m.

A las mismas conclusiones se llega para My que es simétrico con Mx.


0,0285

0,0295

0,0305

0,0315

0,0325

0,0335

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31

0,0469

0,0479

0,0489

0,0499

0,0509

0,0519

0,0529

0,0539

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31

Fig. 7 Convergencia del Mx en el centro de la placa con el número de armónicos El momento torsor MXy viene dado por:

( ) ( ) ( )( )

( )( ) a

yna

xm

nm

aq

ayn

axm

nmnm

an

am

aqyxyxwDM

m

m

m

m

m

m

m

mxy

ππ

π

ν

ππππ

π

νν

coscos1116

coscos116,1

222114

20

222116

40

2

+

−=

=+

−=

∂∂∂

−=

∑∑

∑∑∞=

=

∞=

=

∞=

=

∞=

=

Mxy(0, 0) x (q0 a2)


m=1 0,0287448 0,0011498 0,0001701

0,0287448

m=3 0,0011498 0,0003549 9,946 10-5

0,0313992

m=5 0,0001701 9,946 10-5 4,599 10-5

SUMA 0,0319843

Tabla 3. Mxy en las esquinas de la placa para 1 3 y 5 términos del desarrollo

El momento torsor es nulo en el centro de la placa y máximo en las esquinas, cosenos máximos. La solución ya no converge tan rápidamente como la flecha ya que las potencias de m y n son ahora de orden 4.

Fig. 8 Convergencia del Mxy en las esquinas de la placa con el número de armónicos


La solución exacta vale Mxy=0,0325 q0 a2 Este momento torsor activa una reacción vertical puntual en cada esquina

R= 2 Mxy=0,065 q0 a2

Para tener un orden de magnitud del momento y de la reacción, en una placa cuadrada de 5 m de lado sometida a una carga uniforme de 2 T/m2 Mxy= 1,625 m T/ m y R= 3,25 T. Si no se toman precauciones pueden aparecer problemas de anclaje de la placa al apoyo.

Los cortantes Qx y Qy vienen dados por

( ) ( )

( )

( )

+=

=

+

+=

∂∂

∂+

∂

∂=

∑∑

∑∑∞=

=

∞=

=

∞=

=

∞=

=

aym

axm

nmn

aq

aym

axm

nmnm

a

na

m

a

maq

yx

yxw

x

yxwDQ

n

n

m

m

n

n

m

mx

ππ

π

πππππ

π

sencos116

sencos16,,

2211

30

222

2

22

3

33

116

40

2

3

3

3

( ) ( )( )

( )

+=

=

+

+=

∂

∂+

∂∂

∂=

∑∑

∑∑∞=

=

∞=

=

∞=

=

∞=

=

aym

axm

nmm

aq

aym

axm

nmnm

a

n

a

ma

naq

y

yxw

xy

yxwDQ

n

n

m

m

n

n

m

my

ππ

π

πππππ

π

cossen116

cossen16,,

2211

30

222

3

33

2

22

116

40

3

3

2

3

El cortante Qx es nulo cuando x = 0,5 a e y=0 o y=a. El cortante Qy es nulo cuando x = 0 y x= a e y=0,5 a. El cortante Qx es máximo cuando x=0 o x=a e y=0,5 a. El cortante Qy es máximo cuando x=0,5 a e y=0 o y=a. Por simetría los cortantes máximos son iguales.

La solución ya no converge tan rápidamente como la flecha y los momentos ya que las potencias de m y n son ahora de orden 3.

La solución exacta vale Qx=0,338 q0 a

3,25 T


Qx(0, 0,5 a) x (q0 a)


m=1 0,2580123 -0,0172008 0,0039694

0,258012 m=3 0,0516025 -0,009556 0,0030354

0,2828579

m=5 0,0198471 -0,0050591 0,0020641

SUMA 0,3067149

Tabla 4. Qx en las esquinas de la placa para 1 3 y 5 términos del desarrollo

Para tener un orden de magnitud si se considera una placa de 5 m. sometida a 2 T/m2 el momento máximo vale 3,38 T/ m.

Fig. 9 Convergencia del Qx en centro de lado de la placa con el número de armónicos Debe hacerse notar que con 31 términos del desarrollo todavía no ha convergido el Qx.

El cortante equivalente viene dado por:

xM

QVy

MQV xy

yyxy

xx ∂

∂+±=

∂

∂+±=

Como de las expresiones anteriores se conoce el cortante, sólo es necesario calcular las derivadas del momento torsor respecto a x e y.

( )( )

( )( ) a

yna

xm

nm

maq

ayn

axm

nm

am

aqx

M

m

m

m

m

m

m

m

m

xy

ππ

π

ν

πππ

π

ν

cossen116

cossen116

222113

0

222114

20

+

−−=

=+

−−=

∂

∂

∑∑

∑∑∞=

=

∞=

=

∞=

=

∞=

=

0,238

0,263

0,288

0,313

0,338

0,363

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31


yM xy∂

∂

Qx

0,5 a, 0 o a

0,078

0,08

0,082

0,084

0,086

0,088

0,09

0,092

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31

( )( )

( )( ) a

yna

xm

nm

naq

ayn

axm

nm

an

aqy

M

m

m

m

m

m

m

m

m

xy

ππ

π

ν

πππ

π

ν

sencos116

sencos116

222113

0

222114

20

+

−−=

=+

−−=

∂

∂

∑∑

∑∑∞=

=

∞=

=

∞=

=

∞=

=

Estas derivadas se anulan para y=0,5 a y x=0,5 a respectivamente y son máximas en los puntos medios de los lados x=0,5 a y=0 e y=a y y=0,5 a, x=0 y x=a respectivamente. Por la simetría los valores máximos son los mismos para las dos derivadas. La solución ya no converge tan rápidamente como la flecha y los momentos ya que las potencias de m y n son ahora de orden 3.

δMxy/δy

(0, 0,5 a)x (q0 a)

n=1

SUMA

n=3

SUMA

n=5 m=1 0,0903043 -0,0108365 0,0026717

0,0903043 m=3 0,0012041 -0,0011149 0,0005208

0,079557

m=5 0,0001069 -0,0001875 0,0001445

SUMA 0,0828134

Tabla 5. δMxy/δy en los puntos medios de los lados para 1 3 y 5 términos del desarrollo

La solución exacta vale dMxy/dy=0,082 q0 a

Fig. 9 Convergencia del dMxy/dy en centro de lado de la placa con el número de armónicos

Para tener un orden de magnitud si se considera una placa de 5 m. sometida a 2 T/m2 el momento máximo vale 0,82 T/ m.

El cortante equivalente en el centro de lado vale: Vxmáxima=(0,338 + 0,082) q0 a = 0,42 q0 a


EJEMPLO Nº 2

Calcular la flecha, los esfuerzos y reacciones en un placa rectangular de lados a y 2a simplemente apoyada en sus bordes sometida a una carga uniforme q0 usando la solución de Levy

SOLUCION

La solución de Levy usa, cuando los bordes x=0 e x=a están simplemente apoyados, los desarrollos:

( )a

xmyYyxw mm

πsen),(1

∑∞

=

=

que satisface de forma forzada las condiciones de borde en x=0 y x=a.

La solución de la ecuación diferencial homogénea, q(x,y)=0, implica que Ym(y) debe satisfacer

( ) ( ) ( )02 4

4

2

2

2

22

4

44=

+−

yd

yYd

yd

yYd

a

myYa

m mmm

ππ

cuya solución general, teniendo en cuenta la simetría, es de la forma:

( )

+=

aymSh

aymB

aymChA

DaqyY mmm

πππ40

Como solución particular se toma la flecha de una franja de placa en la dirección x de forma que para una carga uniforme q0:

( ) ( ) 51

5

403340

sen42

24),

ma

xm

D

aqxaxaxD

qyxwm

P

π

π∑∞

=

=+−=

2a

a

x

y


( )a

xma

ymSha

ymBa

ymChAmD

aqyxw mmm

ππππ

πsen4, 55

1

40

++= ∑

∞

=

Am y Bm se determinan en base a las condiciones de contorno en y. Como los bordes y = ± a están también simplemente apoyados:

( ) 0),(0),(),(0, 2

2

2

2

2

2=

∂

∂→=

∂

∂+

∂

∂==

===

axaxyay

y

yxw

y

yxw

y

yxwMyxw ν

Como w(x,y) debe satisfacer estas dos condiciones:

( ) 020455 =++=++ ππππππ

πmShmBmChBAmShmmChA

mmmmm

dos ecuaciones que determinan:

( ))(

2

)(

2)(25555 ππππ

ππ

mChmB

mChm

mThmA mm =+

−=

( )a

xma

ymSha

ymmCha

ymChmCh

mThm

mD

aqyxwm

ππππ

ππ

ππ

πsen

)(21

)(22)(114, 5

15

40

+

+−= ∑

∞

=

La flecha máxima se produce en el centro de la placa y=0, x=a/2

( )2

sen)(2

2)(114, 51

5

40 π

πππ

π

mmCh

mThm

mD

aqyxwm

+−= ∑

∞

=

w(0,5 a, 0) x

4q0/D

m=1

0,0101788

0,0101788

m=3

-5,3741 10-5

0,0101251

m=5

4,1827 10-6

0,0101293

m=7

-7,7771 10-7

0,0101285

Tabla 1. Evolución de la flecha en el centro con el número de armónicos

La flecha converge rápidamente a la solución exacta wexacta=0,0101286 q0 a4/D


Figura 1. Convergencia de la flecha en el centro

Figura 2. Flecha en la sección (y=0, x=0, y=0 x=a/2)

Figura 3. Flecha en sección x=a/2 y=0 x=a/2 y=a

Los momentos Mx y My vienen dados por:

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂= 2

2

2

2

2

2

2

2 ),(),(),(),(

y

yxw

x

yxwDMy

yxw

x

yxwDM yx νν

Si la flecha se representa como:

0,0101086

0,0101286

0,0101486

0,0101686

0,0101886

1 3 5 7 9 11 13 15

- 0 ,0 1 0 1 3

- 0 ,0 0 8 1 0 4

- 0 ,0 0 6 0 7 8

- 0 ,0 0 4 0 5 2

- 0 ,0 0 2 0 2 6

00 0 ,1 0 ,2 0 ,3 0 ,4 0 ,5 0 ,6 0 ,7 0 ,8 0 ,9 1

-0,01013

-0,0075975

-0,005065

-0,0025325

00 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5


( ) ( )[ ] ( )xyShyByChAmD

aqyxw mmmmmmm

ααααπ

sen114),( 51

5

40 +−= ∑

∞

=

con ( )( ) ( ) a

mmCh

BmCh

mThmA mmmπ

αππ

ππ==

+=

21

22

( ) ( )[ ] ( )xyShyByChAmD

aq

x

yxwmmmmmm

m

mαααα

α

πsen14),(

5

2

15

40

2

2+−−=

∂

∂ ∑∞

=

( ) ( )[ ] ( )xyShyByChBAmD

aq

y

yxwmmmmmmm

m

mαααα

α

πsen)2(4),(

5

2

15

40

2

2++−=

∂

∂ ∑∞

=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )xyShyByChByChAm

aqM mmmmmmmmm

x ααανανανπ

sen1211143

13

20 −+−−−= ∑

∞

=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )xyShyByChByChAm

aqM mmmmmmmmm

y ααανααννπ

sen121143

13

20 −−−−+= ∑

∞

=

Ahora el Mx y el My ya no son iguales en el centro:

ν=0,3

Mx(0,5 a, 0) x q0a2

m=1

0,10568591

0,10568591

m=3

-0,00477469

0,10091122

m=5

0,001032047

0,10194327

m=7

-0,000376111

0,10156716

Tabla 2. Evolución del Mx en el centro con el número de armónicos

La solución converge al valor exacto Mx=0,1017 q0 a2


Figura 4. Convergencia de MX en el centro con el número de armónicos.

ν=0,3

Mx(0,5 a, 0) x q0a2

m=1

0,04755445

0,04755445

m=3

-0,001435714

0,04611873

m=5

0,000309616

0,04642835

m=7

-0,000112833

0,04631552

Tabla 3. Evolución del My en el centro con el número de armónicos

Figura 5. Convergencia de MY en el centro con el número de armónicos La solución converge al valor exacto My=0,04635 q0 a2 El momento torsor MXY viene dado por:

0,04535

0,04585

0,04635

0,04685

0,04735

0,04785

0,04835

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21

0,0997

0,1007

0,1017

0,1027

0,1037

0,1047

0,1057

0,1067

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21


( ) ( ) ( )[ ] ( )xyChyByShBAaqyxyxwDM mmmmmmmxy αααα

π

νν cos)1(4),()1( 3

20

2++−

−=

∂∂∂

−=

ν=0,3

Mxy(0ª, a) x

q0a2

m=1

0,043928186

0,043928186

m=3

0,001672301

0,04560049

m=5

0,000361217

0,0459617

m=7

0,0000131639

0,04609334

Tabla 4. Evolución del Mxy en las esquinas con el número de armónicos

El valor máximo se alcanza en las esquinas de la placa y vale Mxy=0,04626 q0 a2

Figura 6. Convergencia de Mxy en las esquinas con el número de armónicos. La reacción en las esquinas vale R= 2 Mxy = 0,0925 q0 a2 Los cortantes vienen dados por:

( ) ( ) ( )[ ] ( )xyChBm

aq

yx

yxw

x

yxwDQ mmmm

x ααπ

cos2114,,2

120

2

3

3

3−=

∂∂

∂+

∂

∂= ∑

∞

=

( ) ( ) ( )[ ] ( )xyChBm

aq

y

yxw

xy

yxwDQ mmmm

y ααπ

sen2114,,2

120

3

3

2

3−=

∂

∂+

∂∂

∂= ∑

∞

=

0,043263

0,043763

0,044263

0,044763

0,045263

0,045763

0,046263

0,046763

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53


ν=0,3

Qx (0, 0) x q0a

m=1

0,37032214

0,37032214

m=3

0,045024369

0,41534651

m=5

0,016211384

0,4315579

m=7

0,008271117

0,43982901

Tabla 5. Evolución del Qx en centro de lado con el número de armónicos

Qx converge con mayor dificultad y su valor máximo vale: Qx=0,464 q0 a

Figura 7. Convergencia de Qy en centro de lado con el número de armónicos

ν=0,3

Qy (0,5a, a) x q0a

m=1

0,403773864

0,403773864

m=3

-0,045031637

0,35874223

m=5

0,016211389

0,37495362

m=7

-0,008271117

0,3666825

Tabla 6. Evolución del QY en centro de lado con el número de armónicos

QY converge con dificultad y su valor máximo vale: QY=0,3698 q0 a

0,3590,3740,3890,4040,4190,4340,4490,4640,479

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53


Figura 8. Convergencia de QY en centro de lado con el número de armónicos Para determinar VX y VY calculamos las derivadas del momento torsor MXY

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )yyChyByShBAm

q

x

Mmmmmmmm

m

axyααααν

πsen

11

42

120

++−−=∂

∂∑∞

=

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )yyShyByChBAm

q

yM

mmmmmmmm

axy αααανπ

cos2114

21

20

++−−=∂

∂∑∞

=

ν=0,3

dMxy /dx (0,5a, a) x

q0a

m=1

0,138004468

0,138004468

m=3

-0,015761069

0,1222434

m=5

0,005673986

0,12791738

m=7

-0,002894891

0,12502249

Tabla 7. Evolución de la variación de Mxy con x en centro de lado con el número de armónicos

El valor máximo de la derivada de Mxy respecto a x es: 0,126 q0 a Por tanto el valor máximo de VY= QY+ dMXY/dx (0,370 + 0,126) q0 a=0,496 q0 a

0,3498

0,3598

0,3698

0,3798

0,3898

0,3998

0,4098

0,4198

0,4298

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53


Figura 9. Convergencia de dMXY/dx con el número de armónicos.

ν=0,3

dMxy /dy (0, 0) x q0a

m=1

0,038300064

0,038300064

m=3

2,3975 10-5

0,03832404

m=5

2,68631 10-8

0,03832407

m=7

3,58324 10-11

0,03832407

Tabla 8. Evolución de variación de MXY respecto a y en centro de lado con número de armónicos

Figura 10. Convergencia de la dMXY/dy en centro de lado con el número de armónicos Por tanto el valor máximo de Vx= Qx+ dMXY/dy (0,465 + 0,038) q0 a= 0,503 q0 a

0,03829

0,0383

0,03831

0,03832

0,03833

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53

0,116

0,121

0,126

0,131

0,136

0,141

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53


EJEMPLO Nº 3

Determinar la flecha, esfuerzos y reacciones en una placa cuadrada de lado a simplemente apoyada en dos bordes y empotrada en los opuestos sometida a una presión hidrostática pmáxima = γa.

SOLUCION ESTADO 1. Placa simplemente apoyada en los cuatro lados con carga hidrostática ESTADO 2. Placa simplemente apoyada con un M(x) en los bordes y= ± 0,5 a SOLUCION ESTADO 1 SOLUCION ESTADO 2

LEVY ( ) ( )xyYyxw mmm

αsen)(,,..3,2,1

∑∞

=

=

x

γ a

y

a

γ x

x

y

+

x

M(x) M(x)

x

y

x


ESTADO 1 ( ) ( ) ( )xwyxwyxw PH += ,, wH (x,y)

( ) ( ) ( )[ ] ( ) 0sen2 24

1=+′′−∑

∞

=

xyYyYyY mIV

mmmmmm

ααα

( ) ( ) ( ) 02 24 =+′′− yYyYyY IVmmmmm αα

( ) ( ) ( )yShyByChAyY mmmmmm ααα +=

( ) ( ) ( )[ ] ( )xyShyByChAyxw mmmmmmm

H αααα sen,1

+= ∑∞

=

wP (x,y)

( )

( ) ( )xmD

a

xaxaax

Daxw

mm

m

P

απ

γ

γ

sen12

7103360

5

1

15

5

335

+∞

=

−=

=

+−=

∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xyShyByChAmD

ayxw mmmmmmm

mαααα

π

γ sen12, 55

1

1

5

++

−=

+∞

=∑

Esta flecha debe satisfacer las condiciones de contorno de simplemente apoyado en y= ± 0,5 a

( ) ( ) ( ) ( ) 05,05,05,0120, 55

1

5,0 =++−

=+

= aShaBaChAm

yxw mmmmmm

ay αααπ

( ) [ ] ( ) ( ) 05,05,05,020,

5,02

2=++=

=

aShaBaChBAyd

yxwdmmmmmm

ay

ααα

ahora mmma

ama δ

ππα ===

25,05,0

Resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se obtiene:

x

y

xx


( )[ ] ( )( )

( )( )m

mm

m

mmm

mChm

BChm

ThAδπδπ

δδ55

1

55

1 112 ++ −=

−+−=

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )xyShyDyChCmD

ayxw mmmmmmm

mαααα

π

γ sen21, 55

1

1

5++

−=

+∞

=∑

( )

( ) ( )mm

m

mmm Ch

DCh

ThCδδ

δδ 12=

+−=

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )[ ] ( )xChShThChmD

ay

yxwmmmmmm

m

m

may

αδδδδδπ

γ sen11,55

1

1

5

2

+∂+−−

=

∂

∂ +∞

==∑

ESTADO 2 ( ) ( )yxwyxw H ,, = wH (x,y)

( ) ( ) ( )[ ] ( ) 0sen2 24

1=+′′−∑

∞

=

xyYyYyY mIV

mmmmmm

ααα

( ) ( ) ( ) 02 24 =+′′− yYyYyY IVmmmmm αα

( ) ( ) ( )yShyByChAyY mmmmmm ααα +=


H αααα sen,1

+= ∑∞

=


αααα sen,1

+= ∑∞

=

Esta flecha debe satisfacer las condiciones de contorno de simplemente apoyado con un momento M(x) en y= ± 0,5 a

( ) ( ) ( ) 00, 5,0 =+== mmmmmay ShBChAyxw δδδ

( ) ( ) [ ] ( ) ( ){ } mmmmmmmmmmma

y

MShBChBADxsenMxMyd

yxwdD =++→==

∑

∞

==

δδδαα 2)(, 2

12

2

2

Resolviendo este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se obtiene:

y

M(x) M(x) xx


( )

( ) ( )mm

mm

mm

mmmm

ChM

DB

ChThM

DA

δαδα

δδ22 2

121

=−=

( )( )

( ) ( ) ( )[ ] ( )xyShyyChThChM

Dyxw mmmmmm

mm

m

mααααδδ

δαsen

21, 2

1+−= ∑

∞

=

( )( )

( )( ) ( ) ( )[ ] ( )xChShThCh

MDy

yxwmmmmmm

mm

m

may

αδδδδδδα

sen121,

212

+−=

∂

∂ ∑∞

==

que igualado con el giro anterior permite obtener Mm

( )( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] 011

121

33

13=++−

−+

++−

+

mmmmmm

mmmmmm

ChShThm

a

ChShThM

δδδδδπ

γ

δδδδδ

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )mmmmm

mmmmmm

m ChShThChShTh

maM

δδδδδδδδδδ

π

γ+−−+−

=+

1112

33

13

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) mmmm

mmmmm

m ThThThTh

maM

δδδδδδδδ

π

γ+−−+−

=+

1112

33

13

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

+−−+−

=+∞

=∑ a

xmThThThTh

maxM

mmmm

mmmmm

m

πδδδδδδδδ

π

γ sen1112)( 33

13

1

Figura 1. Convergencia del momento de empotramiento en el centro del lado con el número de

armónicos

0,0339

0,0344

0,0349

0,0354

0,0359

0,0364

0,0369

0,0374

0,0379

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19


m MY (0,5 a, 0,5 a) Σ MY (0,5 a, 0,5 a) x γ a3

1 0,03691453 0,03691453 3 -0,002381746 0,03453279 5 0,00051602 0,03504881 7 -0,000188056 0,03486075 9 8,84816 10-5 0,03494923 11 -4,84621 10-5 0,03490077

Figura 2. Convergencia del momento con el número de armónicos

0

0,00818566

0,01612742

0,02352768

0,02998028

0,034914740,037543410,03681898

0,03141364

0,01973079

00

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0,035

0,04

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

PLACAS RECTANGULARES - UFRGS...Placas Rectangulares 3 solución de las ecuaciones en derivadas...

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