KËRKIME OPERACIONALE

Ligjërues i lëndës:Dr.sc.Ramë Likaj, Prof.

Literatura

• Prof. dr. Justina Pula: “ Metodat e transportit të programitlinear”, Prishtinë, 2005,

• Prof. dr.Shpëtim Shehu: Kërkimet operacionale”, Tiranë2004.

Kapitulli i I /HYRJE-1

Në veprimtaritë ekonomike të individëve, firmave apo kompanive ndeshen situata ku ka rrugë të shumta e të ndryshme veprimi për menaxhimin e tyre. E mira është të zgjidhet ajo rrugë që realizon sipas situatës konkrete diku shpenzimet më të vogla, diku fitimin më të madh, një here kohën më të shkurtër të realizimit të qëllimit, njëhere tjetër shfrytëzimin maksimal të gjitha resurseve në dispozicion, etj.

Shpesh herë realizimi i qëllimeve të mësipërme ka të bëjë me zgjidhjen e problemeve të ndryshme të optimizimit në modele matematikore që përfaqësojnë situatën praktike të cilën e studiojmë.

Kapitulli i I/HYRJE-2/

Dega e shkencës matematikore që merret me shtrimin dhe zgjidhjen e problemeve të tilla, njihet me emrin Kërkime operacionale.

Meqenëse problemet e optimalizimit janë të shumta dhe shpesh mjaft të ndryshme ndërmjet tyre, atëhere edhe metodat për gjetjen e zgjidhjeve për këto probleme janë të ndryshme. Kjo ka bërë që nën emërtiminkërkime operacionale të përfshihen shumë disciplina, ku secila prej tyre studion grup të caktuar të problemeve të ngjashme për nga modelimi matematikor. Të tilla janë: Programimi linear dhe jo-linear, teoria e grafeve, teoria e radhëve, teoria e lojërave, etj.

KONCEPTET DHE VEPRIMET

Shumë lëmenjë shkencorë hulumtojnë, krijojnë dhe zhvillojnë metoda dhe mjete në bazë të cilave është e mundshme të zgjidhen problemet dhe detyrat e caktuara.

Me këtë problematikë merren edhe Kërkimet operacionale, me qëllim të përcaktimit të zgjidhjeve dhe marrjes së vendimeve më optimale udhëheqëse, të planifikimit, realizimit dhe vazhdueshmërisë së tyre dhe shfrytëzimit më të mirë të resurseve ekzistuese në të gjitha lëmitë dhe sistemet.

Është vështirë të përcaktohen metodat matematikore dhe kufijë e aplikimit, në procesin e pregaditjes, marrjes dhe realizmit të vendimeve udhëheqëse. Kufijtë e aplikimit mund të gjenden në rastet kur faktorët që janë marrë në konsideratë me rastin e planifikimit dhe vendosjes nuk mund të mbikqyren dhe të kontrollohen.

Shumë nga rezultatet dhe zgjidhjet nuk mund të adoptohen dhe të aplikohen sepse shoqëria nuk është e pregaditur dhe nuk ka kapacitete njerëzore për të menaxhuar dhe aplikuar metodat analitike.

Aplikimi i metodave matematikore dhe infrastrukturës teknike, nënkupton nevojë të përhershme për kualifikim të menaxherëve, që ti kuptojnë rrethanat dhe të jenë në një hap me kohën.

Roli i ekspertëve dhe specialistëve është deri diku i kufizuar sepse zgjidhjet përfundimtare dhe vendimet varen nga personat që menaxhojnë proceset e caktuara e jo nga ata që hulumtojnë procesin.Ata vetëm mund të japë opcionet (skenarët) e mundshme të zgjidhjeve për probleme të caktuara dhe të përkrahin procesin e implementimit.

Pra, grupi analitik karakterizohet si grup që aplikon principet shkencore, metodat dhe mjetet, për të hulumtuar sisteme dhe procese të caktuara, por edhe detyrat e lidhura me funsionet e sistemeve organizative, me qëllim që të pregadisë dhe propozojë zgjidhje optimale atyre që menaxhojnë dhe marrin vendime. Metodat shkencore paraqesin bazëne këtyre zgjidhjeve.

Ekzistojnë disa koncepte unike dhe veprime që shfrytëzohen me rastin e aplikimit të metodave matematikorenë proceset e menaxhimit.

Mënyra e pregaditjes së vendimeve është e ndryshme, mirëpo ato duhet të jenë të ndërtuara në kalkulime dhe të mbështetura në kritere të cilat mundësojnë që të vlerësohen pasojat negative dhe pozitive.Nga aspekti i vendosjes dallojmë:- vendosjen intuitive,- vendosjen në bazë të gjykimit dhe- vendojen racionale.

Marrja e vendimeve është punë intelektuale me të cilën ballafaqohet çdo individ, organizatë apo institucion dhe i paraprinë aksionit.

Vendimet si proces intelektual bazohen në të dhëna dhe informata, ndërsa teknikat e përpunimit të tyre është proces ianalizës për të parashikuar zgjidhjen, përfundimin apo rezultatin, icili mbaron me vendim.

Kur flasim për mënyrën e vendosjes atëhere mendojmë për dy aspekte:- për problemet për të cilat vendoset (të programuar dhe të pa programuar),

- për subjektet e vendosjes (individuale apo grupore).

Zgjedhja e mënyrës apo metodës për marrjen e vendimit varet nga shkalla e përgjegjësisë së marrësit të vendimit:- përgjegjësi e vogël (pa analizë dhe parashikim subjektiv),- përgjegjësi e madhe (të dhëna, informata, analiza dhe bindshmëri e madhe).

Mënyrat dhe proceset e mësipërme të vendosjes, nënkuptojnë edhe nevojën që para se ti mirren vendime të tilla ato të miratohen nga ekspertët, specialistët dhe shkencëtarët, gjë e cila nuk ndodhë shpesh.

Kjo imponon nevojën për përdorimin e metodave analitike, të cilat duhet të propozojnë zgjidhje që janë optimale dhe të realizueshme.Mirëpo mundësia e aplikimit të metodave analitike përcillet me vështirësi dhe rreziqe të caktuara:- nëse nuk disponohen të dhënat e duhura, ose procesi i vendim marrjes është i shpejtë,

- edhe vonesa në vendim marrje sjell destabilim dhe mungesë vendimi.

Metodat matematikore

Aplikimi i metodave matematikore gjatë procesit të pregaditjes dhe realizimit të vendimeve realizohet në disa faza:- faza e parë, pregaditja e modelit matematikor për problemet,- faza e dytë, zgjedhja e algoritmit, përpunimi i programeve dhe llogaritja e të dhënave fillestare,

- faza e tretë, vërtetohet zghidhja e kërkuar.

Modelet matematikore

Procesi: - parashtrimi i problemit dhe formulimi i tijë nga menaxheri,- mbledhja e informacioneve nga shumë persona, por ato duhet të jenë sistematike.

Aplikim i modeleve matematikore- modeleve shkencore, gjithmonë kërkon ndryshim në procesin e grumbullimit, përpunimit, bartjes dhe menaxhimit të informacioneve.Ndërtimi i modelit matematikor ka të bëjë me:- Funsionin e qëllimit F(x),- Kufizimet (<ose>).

Programimi linear-PLNë jetën bashkëkohore, në institucione, në subjekte të ndryshme ekonomike, tentohet që zgjidhjet të përcaktohen dhe realizohen me paraqitjen e më shumë alternativave apo variantave të mundshme.Për zgjidhjen apo përcaktimin e mundshëm të këtyre alternativave, përdoren metodat kuantitative, metodat optimale matematikore.

PL, paraqet njërën nga metodat më të thjeshta për përcaktimin e zgjidhjeve optimale në ekonomi, inxhinieri, në shoqëri, pozita udhëheqëse, ku më shumë zgjidhje të mundëshme ose varianta. Karakteristikë e PL është Funksioni i qëllimit F(x), si kombinim linear i të panjohurave dhe kufizimeve që jepen sipas sistemit të barazimeve dhe jobarazimeve.Në PL përfshihen tri kategori të faktorëve:- hyrës (kushtet ekonomike, prodhimit, nevojave, shpenzimeve),- dalës (rezultatet, aksionet), dhe- strukturorë (procesi i punës, teknologjia, struktura, karakteristikat e resurseve, organizimin etj).

Aplikimi i PLNë këtë pjesë, problemet do të shtrohen si probleme te programimit linear. Disa probleme te programimit linear të cilat janë shqyrtuar në këtë kapitull janë:a) Problemi i dietësProblemi i dietës është një ndër problemet e para që është shtruar si problem i programimit linear.Për pacientët e një pavioni ne spital përgaditet një dietë ditore e cila përbëhet prej tre lloje ushqimesh U1,U2,U3.

UshqimiVitaminat

U1 U2 U3 Kërkesat përvitamina

A a11 a12 a13 b1

B a21 a22 a23 b2

C a31 a14 a15 b3

Çmimi c1 c2 c3

Problemi që shtrohet është:

Në qfarë sasie do të përfshihet ushqimet U1,U2,U3 në dietën ditore nëmënyrë që të plotësohen kërkesat minimale të pacientit për vitaminat A, B, C dhe kostoja e dietës të jetë sa më e vogël.Sasitë e panjohura të ushqimeve që përfshihen në dietën ditore i shënojme me x1,x2,x3.Pra sistemi i inekuacioneve është:

a11x1+a12x2+a13x3 ≥ b1

a21x1+a22x2+a23x3 ≥ b2

a31x1+a32x2+a33x3 ≥ b3

x1 ≥0, x2 ≥0, x3 ≥0

Kostoja e dietës ditore është: f = c1x1+c2x2+c3x3

Funksioni f quhet funksion i qëllimit.

Nga e gjithë ajo që u tha më lartë formulimi matematikor iproblemit të dietës është:

Të minimizohet funksionif = c1x1+c2x2+c3x3

me kushtet

a11x1+a12x2+a13x3 ≥ b1

a21x1+a22x2+a23x3 ≥ b2

a31x1+a32x2+a33x3 ≥ b3

x1 ≥0, x2 ≥0, x3 ≥0

b) Problemi tjeter

Një fabrikë e cila meret me përpunimin e mineraleve, furnizohet prej dy xeherorëve.Përfitimet nga përpunimi i 1 ton xeherori janë dhënë në tab.

x1 x2 KërkesatBakër 0,04 t 0,025 t 20 tPlumb 0,03 t 0,035 t 15 tNikel 0,05 t 0,045 t 27 tÇmimi 180 160

Problemi që shtrohet është: sa t nga secili xeheror duhen përpunuar në mënyrë që të realizohen kërkesat e kontratës dhe shpenzimet më të vogla.

Formulimi matematikë i problemit është:Të minimizohet funksioni:

f = 180 x1 + 160 x2me kushtet:

0,04 x1 + 0,025 x2 ≥ 200,03 x1 + 0,035 x2 ≥ 150,05 x1 + 0,045 x2 ≥ 27

x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0

c) Problemi i radhës

Një kompani monton dy tipe kontenierësh K1 dhe K2, duke përdorur tre lloje pllakash hekuri P1,P2 dhe P3, që mbushenme qymyr.

Kompania duhet të dijë sa kontenierë të çdo tipi duhet të prodhojënë mënyrë që të mbajnë sasinë maksimale të qymyrit.

P1 P2 P3 Sasia në t e qymyrit që mban kontenieri

K1 3 4 7 14

K2 2 6 5 12

Sasia e pllakave

60 80 100

Sasia e qymyrit që mbajnë kontenierët ipet me funksioni:f = 14 x1 + 12 x2

Në këtë rast problemi matematikë do të ishte:Të maksimizohet funksioni

f = 14 x1 + 12 x2me kushtet:3x1 + 2x2 ≤ 604x1 + 6x2 ≤ 807x1 + 5x2 ≤ 100x1 ≥ 0, x2 ≥ 0x1, x2 të plotë

d) Problemi i transportit

Nafta që prodhohet në tre rafineri do të transportohet në pesë pika konsumatore.

K1 K2 K3 K4 K5 Sasia e prodhuar

R1 X11300

X12250

X13220

X14180

X15270

300

R2 X21320

X22240

X23310

X24120

X25360

250

R3 X31160

X32150

X33170

X34280

X35160

350

Sasia e kërkuar

120 140 210 190 240 900

Menaxheri i rafinerive kërkon të realizojë kontratën mujore me konsumator me shpenzime të transportit sa më të vogla.

Me xij shënojmë sasinë e naftës që do të transportohet nga rafineria e itë te konsumatori i jtë

Shpenzimet e përgjithshme të transportit janë:f = 300 x11 + 250 x12 + 220 x13 + 180 x14 + 270 x15 + 320 x21 + 240 x22 + 310 x23 + 120 x24 + 360 x25 + 160 x31 + 150 x32 + 170 x33 + 280 x34 + 160 x35.

Matematikisht problemi i transportit shtrohet:

Të minimizohet funksioni: f me kushtet:

x11 + x12 + x13 + x14 + x15 = 300x21 + x22 + x23 + x24 + x25 = 250x31 + x32 + x33 + x34 + x35 = 350x11 + x21 + x31 = 120x12 + x22 + x32 = 140x13 + x23 + x33 = 210x14 + x24 + x34 = 190x15 + x25 + x35 = 240xij ≥ 0 i = 1,2,3; j = 1,2,3,4,5

e) Problemi i caktimit të punëveNë një pikë riparimi makinash punojnë tre punëtorë P1,P2,P3 dhe do të riparohen tre makina të tipeve të ndryshme M1,M2,M3.

Problemi që shtrohet është: të shpërndahen punëtorët në mënyrë që, secili punëtorë të riparojë një makinë dhe shuma e kohëve të punës për riparimin e tre makinave të jetë minimale.

M1 M2 M3

P1 3 5 6P2 4 4 5P3 2 3 7

Zgjedhjen e këti problemi do ta kërkojmë në formën e të panjohurave xij ( i=1,2,3; j = 1,2,3 ) ku xij merr vlerën 1 në qoftë se punëtori Pi riparon makinën Mj dhe vlerën 0 në rast të kundërt.Matematikisht ky problem formulohet kështu:Të minimizohet funksioni:

f = 3 x11 + 5 x12 + 6 x13 + 4 x21 + 4 x22 ++ 5 x23 + 2 x31 + 3 x32 + 7 x33

me kushtet x11 + x12 + x13 = 1x21 + x22 + x23 = 1x31 + x32 + x33 = 1x11 + x21 + x31 = 1x12 + x22 + x32 = 1x13 + x23 + x33 = 1

Xij = 0 ose 1

PROBLEMET E TRANSPORTIT (PT)

- KO kanë lindur, në lëminë e operacioneve luftarake,- shpejt janë zhvilluar në diciplina tjera si në aspektin teorik apo praktik.Për zgjidhjen e problemeve të kërkimeve operacionale, ndërtohen modele matematikore dhe kemi të bëjmë me teori të shumta, diciplina shkencore, teori të informacioneve, teori të mbështetjes së sistemeve, etj.Një prej metodave që më së shumti përdoret për optimizimin e proceseve dhe problemeve të caktuara dhe në menaxhim, është metoda e PL.Metoda simplekse është metodë themelore për zgjidhjen e problemit të përgjithshëm të PL. Kjo metodë gjatë zgjidhjes kërkon më shumë veprime dhe merr kohë më të gjatë. Për këtë arsye janë zhvilluarmetoda më të thjeshta, me strukturë të veçantë, e një nga to është metoda e transportit “Problemet e transportit”.

Problemi i transportit (PT), si formë e veçantë e PL, ka për detyrë që nga numri i caktuar i qendrave liferuese, të bëj transportin e mallërave deri te një numër i caktuar i qendrave pranuese, ashtu që shpenzimet e tërësishme të transportit të jenë minimale.PT mund të zbatohen edhe në fusha të tjera jotransportuese, duke bërë përshtatjen e zgjidhjeve. Prandaj, emërtimi PT duhet marrë me kusht dhe si i përkohshëm, sepse zbatimi i metodave të transportit është shumë më i gjerë.Modelet e tilla, quhet edhe si modele aproksimative, sepse zgjidhja bëhet në mënyrë të përafërt, me gabime mbrenda kufijve që mund të tolerohen.

Metodat e transportit kohëve të fundit po përdoren për: përcaktimin e lokacioneve optimale (objekteve dhe mjeteve), shpërndarjen optimale(makinave, veglave, shërbimeve, depove etj.). Pastaj, për zgjidhjen optimale të makinave për kryerjen e operacioneve të caktuara, në agronomi, prodhim, mjekësi etj., përmes shtrimit të funksionit të qëllimit dhe kriterit të minimumit apo maksimumit.

PËRKUFIZIMI I PROBLEMEVE TË TRANSPORTIT Përkufizimi i problemeve të transportit në përgjithësi do të bëhet përmes teorisë sëProgramimit Linear (PL). Teoria e PL është pjesë e KO që nënkupton një kompleks tëmetodave matematikore dhe ekonomike sasiore, me anën e të cilave tentohet nëekonomi që nga shumë zgjidhje të mundshme të gjindet zgjidhja optimale. Përkufizimi i problemeve të transportit në përgjithësi shtrohen sipas dy pikëpamjeve:

- Matematikore dhe - Ekonomike.

Përkufizimi matematikor Problemet e transportit, si dhe të gjitha problemet e KO shtrohen në dy mënyra, siprobleme:

- Origjinale dhe - Duale.

Pavarësisht nga forma dhe pamja e problemit të shtruar, përkufizimi matematikorzakonisht bëhet me anën e tri elementeve:

- Funksionit të kriterit, - Aktivitetet apo kufizimet dhe - Hipoteza jonegative.