Piet Mulders - Vrije Universiteit Amsterdammulders/quarks.pdf · sprekende standaard, 1000 m = 103...

VAN ATOOM TOT KOSMOSWie het kleine niet eert . . .

Piet Mulders

TC

P

R L

L R

LR

L R

R

LR

L

e e e e

e e

ee

e e e e

P.J. MuldersNationaal Instituut voor Subatomaire Fysica (Nikhef),Faculteit Betawetenschappen,Vrije Universiteit Amsterdamhttp://www.nat.vu.nl/∼mulders

ISBN 978-90-812928-0-1(herziene en uitgebreide uitgave)ReprografieHuisdrukkerij VU, 2015

Inhoudsopgave

1 Inleiding 71.1 De maat der dingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Energie en impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Impulsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Eenheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Krachten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 De grote theorieen 172.1 Speciale relativiteitstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2 Quantummechanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 Quantumveldentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4 Algemene relativiteitstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Wie het kleine niet eert . . . 293.1 Atomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2 Atoomkernen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3 Nucleonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.4 Families van deeltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 Met vereende krachten 474.1 Gravitatie en kromming van ruimte-tijd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2 Ladingen en krachtdeeltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.3 Het theoretische raamwerk: veldentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.4 Discrete symmetrieen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.5 Spontane symmetriebreking en unificatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5 Het ongrijpbare neutrino 675.1 Waar komen neutrino’s vandaan? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.2 Neutrino oscillaties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.3 Consequenties van massieve neutrino’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6 De geschiedenis van het heelal 756.1 De oerknal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.2 De temperatuur van het heelal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.3 Kosmische straling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7 Samen meer: complexiteit 85

Voorwoord

Voor de meeste aspecten die met de structuur van de materie om ons heen te makenhebben is het voldoende om te weten hoe die is opgebouwd uit atomen en moleculen metals bindende kracht op microscopisch niveau de elektromagnetische krachten en op macros-copisch niveau de zwaartekracht. Onder die laag gaat echter een fascinerende wereld schuilvan subatomaire deeltjes, zoals de quarks waaruit de kerndeeltjes in de atoomkernen zijnopgebouwd, de elektronen en de neutrino’s, deeltjes die door de Zon in grote aantallengeproduceerd worden en waar het heelal mee doordrenkt is net als met lichtdeeltjes. In ditboekje komt die wereld ter sprake, een wereld waarover we via internationale onderzoeks-inspanningen een heleboel te weten zijn gekomen. We zullen ons hier beperken tot dewereld die we uit experimenten kennen. Dat betekent dat snaren en meerdere dimensiesniet aan de orde komen. Deze onderwerpen zijn weliswaar ook fascinerend en net als dewiskunde bieden ze mogelijkheden om theorieen consistenter and esthetischer te maken,maar vooralsnog ontbreken de concrete aanwijzingen.

De opzet van de gekozen beschrijving wijkt af van die in de meeste boeken of artikelenover materie en krachten. Er is gekozen voor de presentatie van onze huidige inzichten enniet van de vaak lange en moeizame weg via welke de kennis is verworven. Deze historischelijn is in veel boeken terug te vinden. Ook de experimentele inspanningen die nodig warenom de kennis te verwerven komen niet tot hun recht. Die inspanningen zijn zo groot dat deverworven kennis er soms in ondergesneeuwd raakt. Ook hier kan de geınteresseerde lezervele boeken vinden of te rade gaan bij de webpagina’s van de verschillende experimentelefaciliteiten.

Wat niveau betreft is de insteek gekozen dat middelbare school kennis op VWO niveauvoldoende zou moeten zijn om alles te volgen, al zijn sommige kaders misschien wat aan depittige kant. Uit eigen ervaring merk ik echter dat juist bij velen die in deze onderwerpengeınteresseerd zijn behoefte bestaat aan enige diepgang, of het nu gaat om geınteresseerdeleken, amateursterrenkundigen, HOVO-cursisten, scholieren, studenten, wetenschappersin andere disciplines maar ook collega natuurkundigen waaronder leraren.

Piet Muldersfebruari 2019

Hoofdstuk 1

Inleiding

Hoe ziet de wereld van het kleine er uit. Het bekijken houdt al snel op. Zelfs met eenmicroscoop kunnen we geen details zien die kleiner zijn dan de golflengte van het gebruiktelicht. Voor zichtbaar licht is dat zo’n 0,4 tot 0,8 µm. We kunnen natuurlijk licht met eenkleinere golflengte gebruiken, maar dan hebben we het in letterlijke zin niet meer over’zien’ hoe de wereld er uit ziet, maar wordt het ’een beeld van de wereld construeren’.Wanneer we de wereld van de atomen binnengaan dan is dat toch wat we gaan doen.We kunnen dan ook gebruik maken van het feit dat deeltjes, bijvoorbeeld elektronen, opeen schaal die klein genoeg is zich manifesteren als golven, of beter geformuleerd, datelektronen beschreven worden met behulp van een quantummechanische golffunctie. Diegolffuncties oscilleren in de tijd met frequenties f = E/h bepaald door de energie Evan een deeltje en in de ruimte over golflengtes λ = h/p bepaald door de impuls p vaneen deeltje, Hier is h de constante van Planck. Uitgedrukt in alledaagse eenheden is deconstante van Planck een enorm klein getal,

h = 6, 626 070 15× 10−34 Js.

De quantummechanica speelt in de alledaagse wereld dan ook nauwelijks een rol, maar inde wereld van moleculen, atomen en kleiner speelt die juist de centrale rol.

Voor lichtdeeltjes zijn energie E en impuls p gerelateerd via de lichtsnelheid, E = pc,waar c de snelheid van het licht is,

c = 299 792 458 m/s,

afgerond 300 000 km/s. Deze relatie tussen E en p betekent dat ook de golflengte enfrequentie van lichtgolven gerelateerd zijn, namelijk f = c/λ. Overigens geldt deze re-latie niet alleen voor lichtgolven maar voor alle vormen van elektromagnetische straling,zoals (met steeds kortere golflengtes) radiogolven, infraroodstraling, zichtbaar licht, ul-traviolette straling en rontgenstraling. Het golfkarakter van licht verraadt zich in inter-ferentie verschijnselen. Dat licht een deeltjeskarakter heeft is gebleken uit het befaamdefoto-elektrisch effect, waarbij het gebruikmakend van licht met een bepaalde frequentief , alleen mogelijk is gebleken om energie over te dragen ter grootte van pakketjes hf .Dat wil zeggen dat er we licht moeten gebruiken met een frequentie die hoog genoeg iswanneer we met licht een elektron uit een atoom willen meppen.

In het voorgaande zijn we via licht al meteen in de wereld van de quantummechanica ende relativiteitstheorie terecht gekomen. Over het algemeen hebben we meer te maken met

8 HOOFDSTUK 1. INLEIDING

Frequentie en golflengteOscillerende functies zijn de sinus of cosinus (sinϕ of cosϕ) of voor wie daarmee ver-trouwd is complexe e-machten (e±i ϕ). Het argument (ϕ) geeft de fasehoek van deoscillaties. Die fasehoek loopt in radialen van 0 tot 2π. Voor oscillaties in de tijd (t) isde fasehoek

ϕ = 2πt

T= 2π ft = ωt,

waar T de trillingstijd is; f = 1/T is de frequentie en ω = 2π f = 2π/T is de hoekfre-quentie. Voor oscillaties in de ruimte (bijvoorbeeld langs de x-richting) is de fasehoek

ϕ = 2πx

λ= kx,

waar λ de golflengte is; k = 2π/λ is het golfgetal. Omdat ω en k vaak handiger ingebruik zijn dan f of λ, werken we meestal met h = h/2π i.p.v. met h. Voor eenquantummechanische golffunctie hebben we dan de belangrijke koppeling van energieen impuls met hoekfrequentie en golfgetal, E = hω en p = hk.

de ’klassieke’ wereld om ons heen waar we met de wetten van Newton uit de voeten kunnen.Dat is in figuur 1.1 het gebied rechts onderaan, waar snelheden klein zijn vergeleken met delichtsnelheid c, terwijl andere grootheden juist heel groot zijn vergeleken met de constantevan Plank h. Maar wanneer we deze hoek in de figuur verlaten en te maken hebben metsystemen waarvan de afmetingen, snelheden, energieen of combinaties daarvan van deorde van grootte van h en/of c worden, dan zijn we aangewezen op andere theorieen omte beschrijven wat er gebeurt. In vergelijking met c (vertikale richting in het diagram)gaat het primair om de snelheid, maar die correspondeert evenzo met de verhoudingvan impuls en energie of impuls en massa (we zullen dat nog verder uitwerken). Hetis noodzakelijk om quantummechanica te gebruiken wanneer relevante combinaties vangrootheden vergelijkbaar zijn met de constante van Planck. Relevante combinaties zijnbijvoorbeeld energie × tijd of impuls × afmeting. Dat kan het geval zijn bij lichtdeeltjesof zwaardere deeltjes die kort leven. Of wanneer het impulsmoment van een roterendsysteem erg klein is, bijvoorbeeld voor elektronen in een waterstofatoom.

1.1 De maat der dingen

In het voorgaande hebben we al een voorproefje gezien van de getallen die ons te wachtenstaan. We gebruiken machten van 10 om grote en kleine getallen weer te geven, bv. 1000= 103, 1/1000 = 0,001 = 10−3 en 1 = 100, waar de getallen 3, −3 en 0 de exponentenzijn. Zo zitten er ruim 30 000 000 seconden = 3 × 107 s in een jaar en is de lichtsnelheidongeveer c = 3 × 108 m/s. Het aantal atomen in een hoopje koolstof van 12 gram ismaar liefst het nauwelijks te bevatten getal van zo’n 6 × 1023, bekend als het getal vanAvogadro.

Voor afmetingen is de meter, passend bij de afmetingen van ons lichaam, een vanzelf-sprekende standaard, 1000 m = 103 m = 1 km geeft de orde van grootte van een dorp,1 000 000 m = 1000 km is al bijna de orde van grootte van de hele Aarde. Weer drie ordesmeer, 1 miljoen (106) km of 109 m zijn we de Maan al voorbij. Dit is ook zo ongeveer deafmeting van de Zon. Een lichtjaar, de afstand die met de snelheid van het licht wordt

1.2. ENERGIE EN IMPULS 9

Figuur 1.1: Wanneer is welkebeschrijving van belang? In hetdiagram is een globale opdelingte zien in een aantal domeinen.Welke beschrijving de juiste iswordt bepaald door de afmetin-gen, energieen en massa’s in sa-menhang met hun beweging. Wekunnen enkel ruwweg aangevenhoe die parameters van invloedzijn. De dynamica van elektro-nen in een draad zijn nog metde vergelijkingen van Newton enMaxwell te beschrijven, in eenatoom hebben we de quantum-mechanica nodig.

afgelegd in een jaar is het product van de lichtsnelheid (in m/s) en het aantal secondenin een jaar, wat bij benadering 1016 m oplevert. Een heelal dat 15 miljard (1, 5 × 1010)jaar oud is, heeft dan een afmeting van 1, 5× 1026 m. Een aantal van deze afstanden zijnop de ’exponentiele’ maatlat in figuur 1.2 aangegeven. In een heelal waar de gemiddeldedichtheid niet groter is dan zo’n 1 atoom/m3, levert dit toch het onmetelijke aantal van1079 atomen op.

In de richting van het kleine belanden we bij 10−10 m bij het atoom. De protonenen neutronen in de atoomkernen zijn niet groter dan 10−15 m. Zo ongeveer de kleinstdenkbare afstand, de Planck lengte, komen we later nog tegen. Een groot deel van ditverhaal speelt zich af tussen de 10−10 en 10−18 m.

Laten we even een gedachtenexperiment doen rondom de oerknal. Na 5 seconden washet heelal 1, 5× 109 m groot, 17 ordes van grootte kleiner dan nu. De gemiddelde afstandtussen de atomen in het heelal is nu 1 m. Eenvoudige schaling zou betekenen dat deafstand na 5 s van de orde van 10−17 m was, twee ordes van grootte kleiner dan zelfsmaar de kern van het atoom. Deze manier van schaling is veel te naıef en houdt geenrekening met heel veel andere zaken zoals deeltje-antideeltje creatie of vernietiging. Des-alniettemin maakt zo’n schaling duidelijk dat voor de ontwikkeling van het vroege heelalde wisselwerkingen tussen deeltjes op subnucleaire afstanden een essentiele rol moetenhebben gespeeld.

1.2 Energie en impuls

Voor degenen waarvoor energie, impuls net als golflengte, trillingstijd of frequentie be-kende begrippen zijn kunnen nu een aantal pagina’s overslaan. Wie er meer van wil wetenmoet gewoon doorlezen, maar zich er niet van laten weerhouden om als het teveel wordteven door te bladeren. De volgende pagina’s kunnen altijd als referentie te hulp geroepenworden.

Voor een deeltje, of meer algemener een vrij bewegend systeem, hangen de energie E,


nucleonatoomkern

atoom

golflengte van lichtstofmijt

mens

stad

aarde

zonafstand aarde−zon

lichtjaar

melkwegstelsel

heelal

femto

piconanomicro

milli

kilo

atto

Mega

Giga

Tera

Peta

Exa

Planck lengte

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10−24

10−30

−18

−12

−6

0

+6

+12

+18

+24

+30

Figuur 1.2: Een ’exponentiele’ meetlat vanheel klein (boven) tot heel groot (onder),waarbij ieder streepje een factor 10 meerof minder voorstelt. Daarbij zijn de ge-bruikte voorvoegsels om de machten te be-noemen gegeven. Het is gebruikelijk omde eerste letter te gebruiken, dus 1 fm =1 femtometer = 10−15 m, m.u.v. microwaarvoor de Griekse letter µ wordt ge-bruikt, dus 1 µm = 10−6 m. Het in kran-ten en tijdschriften veelgebruikte mEurovoor een miljoen Euro is dan ook niet inovereenstemming met het metrische sys-teem. Daar zou men ook eens gewoonaan de Me (een miljoen Euro’s), Ge (1miljard Euro’s) en Te (1 biljoen Euro’s)moeten wennen net als bij informatiedra-gers, waar iedereen wel netjes de MByte’s,GByte’s en TByte’s hanteert.

de impuls p en de massa m samen volgens

E2 − p2c2 = m2c4. (1.1)

Hier is p de lengte van de impulsvector p die ook een richting heeft (aangegeven als eenvetgedrukte letter. Net zoals een positie r wordt vastgelegd door drie componenten x, yen z genoteerd als r = (x, y, z), hebben ook snelheden v en impuls p drie componenten,v = (vx, vy, vz), etc. De impuls en energie hangen ook samen met de snelheid v via

p =E

c2v. (1.2)

De massa van het systeem is onafhankelijk van de snelheid van de waarnemer, maarenergie en impuls zijn dat niet. Uit bovenstaande relaties zien we dat objecten met massaaltijd E > pc hebben (volgens 1.1) en dus v < c (volgens 1.2). Voor deeltjes zonder massais E = pc en v = c.

Energie en impuls zijn niet alleen elementaire concepten voor natuurkundigen maarze spelen ook een belangrijke rol in de wereld van alledag. Hun fundamentele betekeniskrijgen de grootheden in de relatie met symmetrieen in ruimte en tijd. Als er in eengegeven richting niets is wat verandert voor een object, denk bijvoorbeeld aan een kogeldie wrijvingsloos kan rollen in een lange goot, dan verandert de impuls van die kogel niet.Een ander voorbeeld is een bewegend object in de lege interstellaire ruimte. Dit is hetfundamentele verband tussen invariantie in een richting in de ruimte, ook wel translatieinvariantie genoemd en behoud van impuls. Als er wel iets verandert in een bepaalderichting, dan is er geen behoud van impuls. Dat komt hierna ter sprake als kracht.

1.2. ENERGIE EN IMPULS 11

Energie en impuls uitgedrukt in snelheidAls we ’van buitenaf’ naar een object of systeem kijken, dan zijn energie, impuls ensnelheid gerelateerd via 1.1 en 1.2. We kunnen de vergelijkingen oplossen en energieen impuls in de snelheid uitdrukken als

E =mc2√

1− v2/c2en p =

mv√1− v2/c2

.

Voor kleine snelheden (v c) kan de wortel worden benaderd en gebruikmakend vanβ = v/c,

γ =1√

1− β2≈ 1 +

1

2β2 = 1 +

1

2

v2

c2,

krijgen we

E ≈ mc2 +1

2mv2 en p ≈ mv,

de bekende alledaagse niet-relativistische uitdrukkingen met behalve de kinetische ener-gie ook het energie-equivalent van de massa,

E0 = mc2 of m = E0/c2.

Ook al zijn beide uitdrukkingen equivalent, toch zegt de laatste vergelijking iets heelbelangrijks. Namelijk massa van een object of ook van een ingewikkelder systeem isniets meer dan de energie van het stilstaande object of de energie van het ingewikkelderesysteem wanneer het zwaartepunt in rust is. Een afgesloten hoeveelheid, zeg een liter,water met een temperatuur van 100 oC heeft dus een grotere massa dan diezelfdehoeveelheid water bij een temperatuur van 18 oC. Een auto die met 130 km/u over desnelweg rijdt heeft dezelfde massa als wanneer diezelfde auto stilstaat.

Als er niets verandert in de tijd, hebben we op dezelfde manier invariantie in de tijden daarmee correspondeert een grootheid energie die niet verandert en we hebben behoudvan energie. Dit lijkt op het eerste gezicht gekoppeld aan behoud van impuls, en dat isook het geval voor een geısoleerd vrijbewegend systeem (zie box voor energie en impulsuitgedrukt in snelheid), maar zelfs bij aanwezigheid van krachten (waarbij de impuls dusniet meer behouden is) is er de grootheid energie die niet verandert als de krachten maarniet van de tijd afhangen. In dat geval is de energie opgebouwd uit bewegingsenergie(kinetische energie) en potentiele energie.

Samenvattend zijn behoud van energie en impuls het onvermogen om voor een geısoleerdsysteem absolute tijd of absolute plaats te kunnen geven. Nu is een geısoleerd systeemeen nogal geıdealiseerde situatie. Als fietser merken we bijvoorbeeld dat je laten uitrol-len niet eeuwig doorgaat, m.a.w. de impuls (ook wel hoeveelheid van beweging genoemd)verandert. Dat komt door de wrijving tussen banden en wegdek en door de wind. Dat wilzeggen dat je het ’systeem’ moet uitbreiden. Het behoud van energie en impuls is daarompraktischer te vertalen in ’energie en impuls gaan niet verloren’. De kinetische energie dieje als fietser hebt wordt overgedragen aan het wegdek en banden in de vorm van warmte(bewegingsenergie van moleculen) of aan de luchtmoleculen. Die luchtmoleculen botsenmet je lichaam met als gevolg dat zowel van jou (inclusief fiets) als van de luchtmoleculen


de impuls verandert.De eenheid van energie is de Joule (J). Je hebt bijvoorbeeld voor je stofwisseling zo’n

100 J/s nodig. Dat is 100 Watt (W). Dat betekent zo’n 8 500 kJ/dag. De energie die jeuit de diverse voedingsmiddelen kunt halen staan meestal op de verpakking vermeld. Dieenergie stelt je in staat om ’arbeid te verrichten’ of gaat als warmte naar de omgeving.Het totale energieverbruik per hoofd van de bevolking in Nederland is van de orde vangrootte van 10 kW. Dat is dus zo’n 100 maal meer dan wat we voor onze stofwisselingnodig hebben, maar denk aan de verwarming en verlichting van onze huizen, transportper auto, trein of vliegtuig en het produceren van alles wat we consumeren.

Al die energie moet ergens vandaan komen. In hoofdzaak komt die via via van dekernfusieprocessen die zich in de Zon afspelen en die al miljarden jaren lang als zonne-straling op de Aarde terechtkomt, bij loodrechte inval zo’n 1 400 W/m2. Het overgrotedeel daarvan wordt ook weer door de Aarde uitgestraald, maar het houdt wel de at-mosfeer in beweging (zie hoofdstuk 7) en heeft via een omweg ook de voor onze huidigeenergievoorziening zo belangrijke voorraden steenkool, olie en gas geproduceerd. Op dekernfusieprocessen in de Zon komen we in hoofdstuk 5 nog terug, maar in essentie wordtdaar massa omgezet in energie. Laten we om de enorme hoeveelheid energie die viaE = mc2 in massa opgeslagen zit te illustreren, eens kijken naar het energieverbruik ineen jaar in Nederland. Dat is voor 17 miljoen inwoners ongeveer 17× 106 × 3× 107 s ×104 J/s ≈ 5× 1018 J. Dat correspondeert met de energie opgeslagen in een massa van netiets meer dan 50 kg.

1.3 Impulsmoment

Naast energie en impuls is ook impulsmoment een behouden grootheid. Hieraan ligtrotatiesymmetrie ten grondslag. Impulsmoment (J) is net als impuls een vector grootheid.Het impulsmoment is opgebouwd uit twee bijdragen, J = L + S. De eerste bijdrageis het baanimpulsmoment, bepaald door de impuls p en de arm ten opzichte van dedraaiingsas, wiskundig beschreven als het uitprodukt van de plaatsen impulsvectoren,L = r×p = m r×v. Het impulsmoment (uitprodukt) is een vector loodrecht op het vlakgevormd door positie r en snelheid v. Behoud van impuls impliceert ook de aanwezigheidvan een baanvlak, zoals we dat zien in ons planetenstelsel. Daarnaast is er ook nog eentweede bijdrage tot het impulsmoment, intrinsiek impulsmoment of spin (S) genaamd.Een mooi voorbeeld is de roterende Aarde (spin), die ook in een baan om de Zon draait.

1.4 Eenheden

In de subatomaire wereld gebruiken fysici overigens voor energieen bij voorkeur niet deJoule maar de elektronvolt (eV) en veelvouden daarvan. De getallen worden dan hanteer-baarder, bijvoorbeeld in een waterstofatoom is er 13,6 eV nodig om het elektron vrij temaken. Bovendien is het een handige eenheid in de versnellers waarmee onderzoek naarelementaire deeltjes gedaan wordt. Als je een elektron met lading e = 1, 602 176 634×10−19

Coulomb (C) een spanningsverschil van 1 V laat doorlopen dan is de verkregen energie 1eV. Met de hierboven gegeven waarde van e is dat desgewenst direct weer om te rekenennaar Joules,

1 eV = 1, 602 176 634× 10−19 J.

1.4. EENHEDEN 13

Figuur 1.3: De ligging van de versnellerringen van CERN onder Geneve

In feite is deze omrekening een definitie geworden, omdat de lading van het elektron destandaard geworden is in plaats van de Coulomb. Op eenzelfde manier zijn in het MKS-eenhedenstelsel de standaarden tegenwoordig gekoppeld aan natuurconstantes en op diemanier hoeven we daar eigenlijk nog maar een van de eenheden te gebruiken. Al velejaren wordt de meter niet langer vastgelegd door de lengte van een platina standaard inParijs, maar eenvoudigweg door te zeggen dat de waarde c = 299 792 458 m/s exact is. Wekunnen dus de meter ook vergeten; met een lengte van 1 s bedoelen we dan eenvoudigweg cmeter. De seconde wordt nog wel door een klok vastgelegd, maar dan eentje die als drivereen bepaalde frequentie horend bij een overgang in het Cesium atoom als basis heeft. Delink tussen energie en seconde wordt gelegd door de waarde van de constante van Planck(vergelijking 1) exact te kiezen i.p.v. de standaard Platina kilogram. In de subatomairewereld wordt meestal de eenheid van energie gebruikt voor allerlei grootheden. De (voorhet gemak door 2π gedeelde versie h en maar meteen gebruikmakend van veelvouden vaneV’s), omrekening is dan afgerond

h = 6, 58× 10−22 MeV s,

en relateert energie aan de seconde. Het product hc, afgerond gelijk aan

h c = 197 MeV fm = 197 eV nm,

legt dan het verband tussen lengte en energie.Uit het verband tussen lengte en energie via het product van de fundamentele con-

stantes h en c, vinden we bijvoorbeeld direct de relatie tussen golflengte en energie van


straling of de resolutie die met versnellers bereikt kan worden. In een versneller wordendeeltjes, zoals elektronen of protonen versneld. In essentie doorlopen deeltjes een vol-doende groot potentiaalverschil van bijvoorbeeld miljoenen volts om zodoende energieenvan miljoenen eV’s (MeV’s) te krijgen. In feite is de benaming versneller wat vreemd,want de snelheid wordt nooit groter dan c. De energie blijft bij het doorlopen van hetpotentiaalverschil wel toenemen. Voor een elektron met een energie van 1 GeV is dan deenergie wel zo’n 2 000 maal groter dan de massa, die correspondeert met een energie mec

2

= 0,51 MeV. Gebruikmakend van het energie-impuls kader kunnen we nagaan dat dan desnelheid in dat geval ongeveer 0, 99975 × c is. Voor een elektron met die snelheid geldtbij benadering E = pc en het gedraagt zich als ’licht’ met een golflengte van de orde vangrootte van h/p = hc/E, dus ongeveer 197 MeV fm/1000 MeV ≈ 0,2 fm. Op die manieris met elektronen de afmeting van een proton bepaald, ongeveer 1 fm. Met de grootsteversnellers kunnen we nu energieen in de orde van 10 TeV’s (10 000 GeV) halen, waarmeeeen resolutie van beter dan 10−4 fm = 10−19 m gehaald kan worden.

Versnellers kunnen lineair zijn of, wat op het eerste gezicht erg logisch lijkt cirkelvor-mig. In dat laatste geval kunnen we de deeltjes rond laten lopen, in hun baan gehoudendoor magneten, en kunnen ze bij iedere rondgang verder versneld worden. Bovendien ishet mogelijk om negatieve en positieve deeltjes in tegengestelde richtingen te laten draaien,bijvoorbeeld negatief geladen elektronen en hun positief geladen antideeltjes, positronen.Door ze op het juiste moment via een pulsje met de magneten te sturen kan men de bun-dels frontaal op elkaar laten botsen en komt de totale energie beschikbaar om via E = mc2

nieuwe deeltjes met zwaardere massa’s te creeren. Op deze manier werkte bijvoorbeeld deLEP-versneller bij het versnellercomplex CERN in Geneve (zie figuur 1.3). De elektronenen positronen draaien in een ring met omtrek van ruim 27 km, zich uitstrekkend onderde grond bij Geneve tot onder de Jura. Ondanks het feit dat men deeltjes laat rondgaan,kan de ring niet te klein zijn, want als elektronen de bocht om gaan zenden ze lichtdeeltjesuit (behoud van impuls!). Dit leidt tot energieverlies. Om dit energieverlies binnen deperken te houden moet de straal van de baan van de elektronen groot zijn. Bovendienzou afbuiging in een kleine ring erg grote magneetvelden vereisen. In de Large HadronCollider (LHC) bij CERN in Geneve, waarbij in dezelfde ring is gekozen voor het latenbotsen van protonen in twee bundels van elk 7 TeV zijn supergeleidende magneten nodigdie velden leveren van 8 Tesla. Het magneetveld van de Aarde ter vergelijking is slechtsvan de orde van grootte van 50 µT (0.5 Gauss).

Een voorbeeld waarbij de relatie tussen energie en tijd een rol speelt is de eindigeleeftijd van deeltjes. Een van de resultaten van het onderzoek met de LEP versneller isde ontdekking van het Z0-deeltje. Een deeltje vertoont zich in de experimenten als eenpiek in het aantal botsingen als functie van de gecombineerde energie van de botsendeelektron- en positronbundels, zoals geschetst in figuur 1.4. Quantummechanisch bepaaltde energie hoe de golffunctie zich gedraagt in de tijd. Een deeltje dat niet stabiel is enna een bepaalde tijd uit elkaar valt in andere deeltjes wordt niet beschreven door eengolffunctie met maar een energie, maar door een superpositie van golven met meerdereenergieen, weliswaar geconcentreerd rondom een centrale waarde. De centrale waardebepaalt de massa, Epiek = mZc

2 met als resultaat 91,2 GeV, terwijl de spreiding Γ in deenergie de levensduur bepaalt, waarbij de evenredigheidsconstante h is (wat zou het anderskunnen zijn?), zodat τ = h/Γ. Met de gevonden waarde ΓZ = 2, 5 GeV correspondeerteen leeftijd van slechts τ = 2, 5×10−25 s. Desondanks speelt dit deeltje zoals we verderopzullen bespreken een belangrijke rol als een van de fundamentele krachtdeeltjes.

1.5. KRACHTEN 15

M Z

σ [mb]

30

10

20

E[GeV]90 92

Γ

Figuur 1.4: De resonantiepiek van het Z0-deeltje zoals dat verschijnt in elektron-positronbotsingen. De energie is de gecombineerde ener-gie van de botsende deeltjes. De werkzame door-snede zullen we later nog bespreken, maar dit iseen maat voor het aantal botsingen. De energiewaarbij de werkzame doorsnede piekt bepaalt demassa van het deeltje, de energiespreiding Γ be-paalt de leeftijd van het deeltje.

1.5 Krachten

Dat brengt ons op het begrip kracht dat we tot slot van dit inleidende hoofdstuk willenintroduceren. Het effect van krachten blijkt uit een verandering van snelheid of eenvormverandering van stoffen. Een kracht heeft zowel een grootte als een richting. Desnelheidsverandering (versnelling a) van een voorwerp is evenredig met de kracht (F ),waarbij de verhouding precies de massa (m) van het voorwerp is (een van de wetten vanNewton),

F = ma. (1.3)

De eenheid van kracht is de Newton (N) en is gerelateerd aan de basiseenheden via N =kg m/s2.

Hoe krachten energie en impuls veranderen.Krachten veranderen de behouden grootheden. De verandering van de impuls (p) isafhankelijk van de stoot, bepaald door de tijd (dt) die een kracht werkt (kracht maaltijdsduur),

dp = F dt of F =dp

dt.

De verandering in energie is afhankelijk van de verrichte arbeid, bepaald door de afstand(dx) waarover een kracht langs de weg (Fx) wordt uitgeoefend (inprodukt van krachten afgelegde weg),

dE = −Fxdx of Fx = −dEdx

,

of gebruikmakend van vectoren,

dE = −F · ds of F = −∇E),

waarbij het teken uitdrukt dat je energie in een systeem stopt wanneer je het tegen eenkracht in versleept en er dus energie instopt. Alleen de component langs de afgelegdeweg is belangrijk voor de energieverandering. Wanneer het voor de energie geen ver-schil maakt hoe we een bepaalde positie bereiken (conservatieve krachten) kunnen webovenstaande vergelijking gebruiken om voor iedere plaats de potentiele energie U(r)te berekenen. Wanneer we de kracht elimineren uit beide vergelijkingen zien we datdE/dpx = dx/dt = vx. Deze laatste en bovenstaande vergelijkingen zijn zowel in deklassieke mechanica als in de relativiteitstheorie geldig.


Een voorbeeld van een kracht is de zwaartekracht tussen Aarde en Zon. De krachtzorgt voor de versnelling v2/R die nodig is om de richting van de snelheid te veranderenbij een cirkelbeweging (R is straal cirkel, v de baansnelheid). In het geval waarin dezwaartekracht de Aarde of welke planeet dan ook (massa m) in een baan om de Zonhoudt, krijgen we

F = GMzonm

R2=mv2

R, (1.4)

waar G de sterkte van de zwaartekracht geeft, G = 6, 67 × 10−11 m3 kg−1 s−2. Het isoverigens helemaal niet vanzelfsprekend dat dezelfde grootheid die bij het verband tussenkracht en versnelling, de trage massa (de m in vergelijking 1.3 en de m in het rechterlidvan vergelijking 1.4) dezelfde is als de zware massa die bij de gravitatiekracht optreedt (dem in het middelste lid van vergelijking 1.4). Dit staat bekend als het equivalentieprincipeen leidt er toe dat in vergelijking 1.4 de massa van de planeet er niet toe doet. Gegeven deafstand tot de Zon (R) kunnen we nu bijvoorbeeld de snelheid van de planeet berekenenof de omloopstijd (T ) uit v T = 2π R. Voor de omloopstijd krijgen we de bekende relatie,een van de wetten van Kepler,

GMzon

4π2=R3

T 2,

die zegt dat voor de planeten het kwadraat van de omlooptijd evenredig is met de derdemacht van de afstand. Ook zien we dat we wanneer we de sterkte van de zwaartekrachtkennen, we uit afstanden en omloopstijden van planeten de massa van de Zon kunnenberekenen. Dit werkt ook voor dubbelsterren, waar we uit de afstand en omloopstijd vaneen begeleider de massa van de ster kunnen bepalen.

Allereerst gaan we wat dieper in op de concepten.

Hoofdstuk 2

De grote theorieen

In een fysische theorie proberen we de structuur en fysische wetten te achterhalen waarmeede materie en de beweging in ruimte en tijd begrepen kan worden. Op die manier komt eentheoretisch raamwerk tot stand, waarbinnen voorspellingen gedaan kunnen worden. Metdeze voorspellingen kan door experimenten of nieuwe waarnemingen de theorie wordengetoetst en bevestigd of het is nodig om de theorie aan te passen als dat mogelijk is ofom deze te verwerpen.

Alle waargenomen verschijnselen die we in de fysische wereld proberen te beschrijvenlijken zich af te spelen in drie ruimte dimensies, waarbij we al dan niet als vierde dimensiede tijd hebben als leidraad. De tijd kan worden gemeten met (zeg maar afgelezen wordenvan) een ’klok’. Dat is niet zo eenvoudig als het lijkt. Niet alleen het perfectionerenvan de klok van slinger tot atoomklok, maar zelfs als we de klok hebben dan blijkt datzo’n klok niet synchroon loopt met klokken van bewegende waarnemers. Maar de fysischewetten waarin de tijd een rol speelt, blijken wel netjes onafhankelijk van de beweging vande waarnemer geformuleerd te kunnen worden. Het geheel staat bekend als de specialerelativiteitstheorie.

In de ruimte-tijd blijkt het meten van eigenschappen niet zomaar vanzelfsprekend.Proberen we bijvoorbeeld de snelheid of het impulsmoment te meten, dan blijkt de uit-komst soms niet eenduidig te zijn, ook al denken we metingen te doen aan identiekesystemen. Maar ook al is de uitkomst niet eenduidig, het blijkt dat die uitkomst wel meteen tweede meting bevestigd kan worden. Blijkbaar is door de meting de toestand van hetsysteem veranderd in een toestand met een unieke waarde voor die desbetreffende eigen-schap. Dit meten van eigenschappen van een systeem is een van de meest opzienbarendeaspecten in de quantummechanica.

De combinatie van de theorieen van quantummechanica en speciale relativiteitsthe-orie levert weer een volledig nieuwe wereld op, waarin zowel materie als anti-materievoorkomt en waarin massa een eigenschap is van deeltjes die zowel de wisselwerking methet Higgsveld beschrijft als de ruimte-tijd doet krommen. Deze werelden worden sepa-raat beschreven via quantumveldentheorieen, in het bijzonder die van hat zogenaamdestandaardmodel van de elementaire deeltjesfysica en de algemene relativiteitstheorie. Voorbeide theorieen zijn aanwijzingen in overvloed aanwezig. Het combineren van deze tweein een theoretisch raamwerk vereist weer nieuwe werelden met meer dimensies en nieuweruimte-tijd structuren zoals snaren en membramen. Hiervoor zijn vooralsnog geen expe-rimentele aanwijzingen voorhanden, ook al laten de eerdere theorieen nog diverse vragenonbeantwoord, zoals we met name in hoofdstuk 4 zullen zien.

18 HOOFDSTUK 2. DE GROTE THEORIEEN

tijd

afstand

tijd

afstand 5 km

UNIVERSITEIT

5 km

STATION STATION

UNIVERSITEIT

25 min25 min

fijn

ok, ik ben

we komen terug we komen terug

onderweg

kom je meophalen

fijn

kom je meophalen

onderwegok, ik ben

Figuur 2.1: Een trip van universiteit naar station. In de figuren zijn plaats-tijd diagram-men gegeven voor de ’universiteit’, het ’station’ en de ’reiziger’, allemaal in blauw. Derode punten op die lijnen geven tijdssignalen aan met 5 minuten tussenpauzes. De reisvan universiteit naar station duurt 25 minuten. De uitgewisselde berichtjes zijn op dezeschaal instantaan. In het referentiesysteem links zijn ’universiteit’ en ’station’ in rust(vaste posities), terwijl in het referentiesysteem rechts alles vanuit de ’reiziger’ is bekeken.Dit is de relativiteit in de klassieke mechanica.

2.1 Speciale relativiteitstheorie

Om de speciale relativiteitstheorie uit te leggen vergelijken we een tochtje in de stad meteen reis naar een (denkbeeldige) ster op 3 lichtjaar afstand. In figuur 2.1 hebben weonze trip in de stad beschreven, van universiteit naar station om een gast op te halen.Onderweg worden wat berichtjes uitgewisseld. De verschillen tussen beide diagrammenzijn het gekozen referentiesysteem, respectievelijk ’de stad’ of ’de reiziger’. De informatieis dezelfde. Dat wordt bedoeld met relativiteit.

We gaan nu een reis naar een (denkbeeldige) dichtbijzijnde ster op 3 lichtjaren af-stand maken. Daarvoor hebben we een raket beschikbaar die een snelheid van 0,6 van delichtsnelheid kan bereiken, zodat we de reis in principe in 5 jaar kunnen voltooien. Vanzelf-sprekend zijn we er op voorbereid dat de berichtjes er wat langer over doen. Bijvoorbeeldhet bericht of ’we iemand komen ophalen’ is 3 jaar geleden verstuurd. We bekijken dereis weer vanuit twee verschillende referentiesystemen, dat van ’aarde (ster)’ of dat vande ’raket (reiziger)’. Het essentiele verschil is dat de signalen die (met de lichtsnelheid)verstuurd worden geen horizontale lijnen meer zijn, maar lijnen onder een hoek, namelijkeen hoek van 45 graden in de figuren, waar we ’jaren’ en ’lichtjaren’ hebben gekozen alsschaal. Maar juist die hoek is dezelfde in beide referentiesystemen, want de lichtsnelheidis hetzelfde voor alle waarnemers, het uitgangspunt van de speciale relativiteitstheorie.

2.1. SPECIALE RELATIVITEITSTHEORIE 19

tijd

afstand

tijd

afstand

v = 0,6 c = 1,25

STER

AARDEγ

2,4 lj

3 lj

STER

v = 0,6 c

AARDE

ok, ik ben

we komen terug

onderwegok, ik ben

we komen terug

fijn

fijn

kom je meophalen

kom je me

onderweg

ophalen

Figuur 2.2: Een trip naar een dichtbijzijnde ster. In de figuren zijn plaats-tijd diagram-men gegeven voor de ’Aarde’, de ’ster’ en de ’reiziger’, allemaal in blauw. De rode puntenop de lijnen geven tijdssignalen aan met 1 jaar tussenpauzes. De reis naar de ster meteen snelheid van 0,6 c duurt 5 jaren. Maar dat is vanuit de Aarde (of ster) gezien (hetreferentiesysteem links). Voor de reiziger duurt het maar 4 jaar vanwege het effect datbewegende klokken langzamer lopen. De uitgewisselde berichtjes zijn lijnen onder 45 gra-den. In het referentiesysteem links zijn ’Aarde’ en ’ster’ in rust (vaste posities). In hetreferentiesysteem rechts is alles vanuit de ’raket (reiziger)’ bekeken. Merk op dat in hetrechterplaatje nu de Aarde en ster bewegen en dat nu juist op die lijnen de klokken lang-zamer gaan. De berichtjes bewegen nog steeds langs lijnen onder 45 graden. Maar zoals tezien is bij het vergelijken van de plaatjes links en rechts, kloppen de tijdsintervallen tussende diverse gebeurtenissen helemaal. Dat komt juist doordat klokken niet synschroon lopen.Dat is de speciale relativiteitstheorie.

Een van de consequenties van het feit dat de lichtsnelheid dezelfde is in alle referentie-systemen, is dat de tijd voor een bewegende klok langzamer moet lopen, wat in heel veelboeken wordt geıllustreerd met een eenvoudig gedachtenexperiment. We zullen dat hierniet herhalen. De factor die hierbij een rol speelt is de befaamde gammafactor,

γ =1√

1− β2=

1√1− v2/c2

,

die afhankelijk is van de snelheid en in het bijzonder de verhouding β = v/c. Voor snelheidv = 0, is de gammafactor gelijk aan 1, voor een snelheid v/c = 0,6 is de gammafactor al1,25, voor een snelheid v/c = 0,99 is de gammafactor al 7,1. Voor v = c wordt γ oneindig.De bewegende klok loopt dan ook langzamer en als gevolg daarvan is onze reiziger bijaankomst bij de ster niet 5, maar slechts 5/1,25 = 4 jaar ouder. In de figuur zien wedat de tijdsintervallen voor bewegende klokken (niet-vertikale lijnen) groter zijn. Voor de


met de lichtsnelheid bewegende berichtjes staat de klok zelfs stil (zie kader over specialerelativiteitstheorie).

Speciale relativiteitstheorie.Het verschil tussen de klassieke en de speciale relativiteitstheorie is dat de regels om vanhet ene referentiesysteem naar het andere te gaan (transformaties) verschillend zijn.Om ze goed te vergelijken kijken we naar tijden t en posities x en vermenigvuldigen wede tijden met de lichtsnelheid (want dan zijn ct en x grootheden met dezelfde dimensie,namelijk lengtes). In het referentiesysteem links in figuren 2.1 en 2.2 geven we tijdenen afstanden aan met t en x, in het systeem rechts met t′ en x′. Dan geldt

(Gallilei transformatie) : ct′ = ct en x′ = x− β ct(Lorentz transformatie) : ct′ = γ ct− βγ x en x′ = γ x− βγ ct

Voor de Lorentz transformaties is eenvoudig na te gaan dat x′2− c2 t′2 = x2− c2 t2, dusiets wat met de lichtsnelheid beweegt in een systeem (ongeacht de richting), beweegtook met de lichtsnelheid in elk ander systeem. De ruimte-tijd transformaties doen inbeide gevallen niets met de richtingen loodrecht op de bewegingsrichting (y en z).Met de transformatieregels is eenvoudig na te gaan dat tijdsintervallen van bewegendeklokken (∆t) langer zijn dan die voor de klok in rust (∆τ), om precies te zijn ∆t = γ∆τ .Dit heet tijddilatatie. Daarmee correspondeert dat afstanden in de bewegingsrichtingkorter lijken met eenzelfde factor ∆x′ = ∆x/γ. De afstand tot de ster in het besprokenvoorbeeld is voor de reiziger in de raket slechts 2,4 lichtjaar.Een bekend voorbeeld waar tijddilatie een rol speelt, is de leeftijd van bewegende deel-tjes. Bijvoorbeeld kosmische straling produceert bij botsingen hoog in onze atmosfeer(zeg 10 km) hele lawines van deeltjes, waaronder muonen met een gemiddelde levens-duur van 2 µs, dus goed voor 600 meter. Maar muonen blijken juist prima geschiktom dergelijke lawines van deeltjes waar te nemen (bijvoorbeeld het HISPARC project).Inderdaad blijken muonen met energie—en geproduceerd worden die gemakkelijk 100maal hun rustenergie bedragen en dus hebben we te maken met γ-factoren van 100 enleeftijden van 200 µs. Snelheden optellen gaat relativistisch ook anders. Voor snelhedenv1 en v2 in dezelfde richting wordt de somsnelheid

v =v1 + v2

1 + v1 v2c2

.

Overigens mogen we energieen en impulsen wel gewoon optellen. Gebruikmakend vande eigentijd worden die gegeven door,

E = mc2 dt

dτ= mc2γ en p = m

dx

dτ= mcβγ,

waarmee energie (E) en impuls maal lichtsnelheid (pc) op dezelfde manier transforme-ren van het ene naar het andere referentiesysteem als ct en x ,

E ′ = γ E − βγ pc en p′c = γ pc− βγ E.

2.2. QUANTUMMECHANICA 21

afstand afstand

tijdtijd

Ster

3 lj

SterAarde

Aarde

x’x

t’t

Figuur 2.3: De trip op en neer naar een dichtbijzijnde ster. Aan de diagrammen infiguur 2.2 is nu de terugreis toegevoegd. In het tweede geval hebben we het referentie-systeem ongewijzigd gelaten. We zien nu dat de terugkerende raket een snelheid van 0,6 c+ 0,6 c = 0,88 c (zie kader over speciale relativiteitstheorie) moet hebben om de aarde ’inte halen’. Net als in het voorgaande kloppen alle gebeurtenissen, inclusief het versturenen ontvangen van diverse berichtjes (in de figuur als magenta lijntjes aangegeven).

Door de terugreis er aan toe te voegen (figuur 2.3) zien we dat de persoon die met deraket op en neer geweest is uiteindelijk na 8 jaar terug is op Aarde, terwijl daar inmiddels10 jaar zijn verstreken (de tweeling paradox, raar maar waar). Het maakt niet uit of we datvanuit het referentiesysteem van de Aarde (en Ster) bekijken of dat we in een bewegendreferentiesysteem werken, al is het daarbij wel overzichtelijker om in een plaatje niet vanreferentiesysteem te wisselen. Verder is het een kwestie van gewoon systematisch te werkgaan in beide referentiesystemen.

2.2 Quantummechanica

Is speciale relativiteitstheorie vreemd, quantummechanica is veel ingrijpender wat concep-ten betreft. In de klassieke mechanica zijn we gewend een object te beschrijven met een’positie’ (zeg de coordinaten x, y en z van de vector r) en een snelheid (de componentenvx, vy en vz van de vector v) waaruit dan ook andere grootheden kunnen worden berekendzoals impuls (de componenten px = mvx, py = mvy, pz = mvz van de vector p), (kineti-sche) energie (E = p2/2m) of het impulsmoment opgebouwd uit baanimpulsmoment enspin (de componenten `x = ypz − zpy + sx, `y = zpx − xpz + sy, `z = xpy − ypx + sz vande vector j = ` + s = r × p + s). In de quantummechanica moeten we radikaal andersdenken. Een object kan worden beschreven als zijnde in een toestand ’psi’, genoteerd als


|ψ〉. In zekere zin lijkt het nog wel op de klassieke mechanica, omdat ’psi’ kan staan voorde informatie over het systeem, zoals positie, impuls, energie, lading, etc., bijvoorbeeldvoor een gelocaliseerde object |r〉 = |x, y, z〉, voor een bewegend object |p〉 of voor eenroterend object |sz〉.

Maar nu de essentiele verschillen. De mogelijke eigenschappen van een toestand blij-ken te corresponderen met de uitkomsten van metingen van zo’n eigenschap, bijvoorbeeldeen positiebepaling of een snelheidsmeting. De meting fungeert als selectiemechanismevoor de desbetreffende toestand, |x〉 of |px〉. Maar het blijkt onmogelijk om positie ensnelheid/impuls beide te bepalen en een toestand |x, px〉 te maken waarvan bij vervolg-metingen zowel de positie als de impuls vastliggen. Dus een toestand |x, px〉 bestaat niet!De grootheden positie en impuls zijn incompatibel. Een unieke bepaling van alledrie decomponenten van positie of alledrie de componenten van de impuls blijkt wel mogelijk.Daarbij is ook de volgorde waarin we eigenschappen selecteren onbelangrijk zolang degrootheden maar compatibel zijn. Het blijkt dat alleen eenzelfde componenten van positieen impuls (dus bijvoorbeeld x en px) incompatibel zijn. Dus bijvoorbeeld een quantum-toestand |x, y, pz〉 is ook mogelijk.

Vervolgens kijken we naar meting van het impulsmoment langs een bepaalde as. Datkan bijvoorbeeld voor een geladen deeltje zoals een elektron bijvoorbeeld door naar deafbuiging in een (inhomogeen) magneetveld in die richting te kijken. Zo’n magneetveldveroorzaakt een kracht die evenredig is met het impulsmoment (Stern-Gerlach meting).Voor impulsmomenten blijken juist metingen van verschillende componenten incompatibelmet elkaar te zijn. Bovendien blijkt de uitkomst van de meting in een bepaalde richtingook nog eens alleen specifieke waarden op te leveren. Klassiek zou de spin van een deeltjelangs een bepaalde richting, sz alle waarden kunnen aannemen tussen −|s| ≤ sz ≤ |s|.Quantummechanisch blijken de afgebogen deeltjes in een Stern-Gerlach apparaat slechtsdiscrete waarden te kunnen aannemen. Voor een elektron is het resultaat sz = mh metm = ±1

2. Dit discrete karakter voor het impulsmoment is algemeen. De waarden zijn

discreet met tussenstappen van h (de constante van Planck gedeeld door 2π). Voor eenelektron zijn er slechts twee mogelijkheden. Men spreekt van een elektron met spin 1/2.De volgende mogelijkheid voor impulsmoment is een toestand met als z-component vanhet impulsmoment sz = h, 0 of −h, dus sz = mh met m = 1, 0 of −1. Dit is een spin 1object. Macroscopisch merk je niet veel van deze discretizatie, want een massa van 1 kg,rondslingerend aan een touw van 1 m lengte met snelheid 1 m/s, heeft een impulsmomentvan 1 kg m2/s = 1 Js, en dat is toch wel heel veel maal h (ongeveer 1034 maal). Terwijlde spin van elementaire deeltjes in halftallige en heeltallige veelvouden van h voorkomt,komt het baanimpulsmoment alleen in heeltallige veelvouden van h voor.

Maar we zijn er nog niet. Een fysisch systeem hoeft namelijk niet in een specifieketoestand te zijn. Een meting is een manier om het systeem in een specifieke toestand teselecteren. Dus wat de z-component van spin betreft zijn er twee mogelijke toestanden|sz = +1

2h〉 = | ↑ 〉z of |sz = −1

2h〉 = | ↓ 〉z. In het algemeen blijkt een willekeurige

spintoestand te worden beschreven als een (lineaire) combinatie van de mogelijke sz-toestanden.

|ψ〉 = c+| ↑ 〉z + c−| ↓ 〉z,waarbij c+ en c− (complexe) getallen zijn (zie kader). Wanneer we een dergelijke toestanddoor een Stern-Gerlach apparaat sturen dat sz meet, blijkt de uitkomst onvoorspelbaar,namelijk sz = +1

2h of sz = −1

2h. Stel dat we het experiment een groot aantal keren

herhalen, iedere keer beginnend met dezelfde toestand |ψ〉, dan blijkt dat de waarschijn-


Toestanden in quantummechanica.Quantumtoestanden corresponderend met een bepaalde eigenschap A kunnen wordengerangschikt als toestanden met welbepaalde uitkomsten a1, a2, . . . (eigenwaarden ge-noemd) en corresponderende toestanden |a1〉, |a2〉, . . . (eigentoestanden genoemd). Eenalgemene toestand is een lineaire combinatie

|ψ〉 = c1 |a1〉+ c2 |a2〉+ . . . ,

waarbij c1, c2, . . . complexe getallen zijn, waarvan de lengte in het kwadraat, |ci|2 dewaarschijnlijk geeft dat de uitkomst van een meting van grootheid A de waarde aioplevert. De som van al die kwadraten moet dus netjes een zijn.

Deze manier van schrijven van een toestand is te vergelijken met de ontbinding vaneen vector in componenten,

a = ax ex + ay ey + az ez,

waar ei eenheidsvectoren zijn in drie richtingen. De lengte van de vector wordt gegevendoor |a|2 = a2

x + a2y + a2

z.

Complexe getallen.Complexe getallen zijn opgebouwd uit een reeel deel en een imaginair deel,

z = <e z + i=mz.

Via i2 = −1 kunnen we eenvoudig rekenen met complexe getallen. De gekwadrateerdelengte van een complex getal wordt gegeven door

|z|2 = (<e z)2 + (=mz)2 = z z∗,

waar z∗ = <e z − i=mz de complex geconjugeerde van z is. Complexe getallen metlengte 1 kunnen geschreven worden als

eiϕ = cosϕ+ i sinϕ.

lijkheid om sz = +12h te vinden gelijk is aan |c+|2, terwijl de waarschijnlijk om sz = −1

2h

te vinden gelijk is aan |c−|2. Om alle mogelijke quantumtoestanden te kunnen beschrijvenblijken complexe getallen c+ en c− nodig te zijn, maar zodanig dat de som van de lengtesin het kwadraat gelijk is aan 1. Dergelijke toestanden heten genormeerd en garanderenbehoud van waarschijnlijkheid.

Hierboven is al opgemerkt dat voor impulsmoment verschillende componenten incom-patibel zijn. Het is echter wel mogelijk de x-component van de spin te meten en hetresultaat geeft voor een elektron ook weer de waarden ±1

2h en corresponderend hebben

we toestanden |sx = +12h〉 = | ↑ 〉x en |sx = −1

2h〉 = | ↓ 〉x. Wanneer we starten met een

van deze toestanden en sz meten blijkt dat deze toestanden zich gedragen als

| ↑ 〉x =√

12| ↑ 〉z +

√12| ↓ 〉z en | ↓ 〉x =

√12| ↑ 〉z −

√12| ↓ 〉z.

Idem dito blijken er twee sy-toestanden te bestaan, die ook uitgedrukt kunnen worden als


sz-toestanden,

| ↑ 〉y =√

12| ↑ 〉z + i

√12| ↓ 〉z en | ↓ 〉y =

√12| ↑ 〉z − i

√12| ↓ 〉z,

waarbij nu een van de coefficienten een imaginair complex getal is. Een geselecteerde sx-of sy-toestand geeft bij meting van sz de waarden ±1

2h met kansen van 50%.

Een spinmeting in een willekeurige richting n geeft ook twee uitkomsten voor sn = s·n.Als de richting gekarakteriseerd wordt met poolcoordinaten θ (hoek tussen n en z-as) enϕ (rotatiehoek om de z-as vanaf x-as) worden de spin-up toestand langs die richting,|sn = +1

2h〉 = |↑ 〉n, gegeven door

| ↑ 〉n = cos (θ/2) | ↑ 〉z + sin (θ/2) eiϕ | ↓ 〉z.

Voor degenen die vertrouwd zijn met methoden in de lineaire algebra, is de quantum-mechanica voor een spin 1/2 systeem (zoals een elektron) werken met de twee complexegetallen c+ en c−, die de toestand in de 2-dimensionale spinruimte vastleggen (na de keuzevan de basistoestanden). De spin zelf, of preciezer de drie spincomponenten, kunnen danworden beschreven als 2 × 2 matrices (de Pauli matrices). Het is het bekendste voorbeeldvan de matrix quantummechanica van Heisenberg.

In het geval van oneindig veel basistoestanden, bijvoorbeeld als het om toestandenmet welbepaalde positie, |x〉, of om impulstoestanden |px〉 gaat, is de meest algemenetoestand ook een lineaire combinatie van |x〉 toestanden,

|ψ〉 =

∫ +∞

−∞dx ψ(x)|x〉.

We hebben hier een integraal wat in feite niets anders is dan een oneindige som over toe-standen. De complexe getallen ψ(x) zijn niets anders dan de getallen c+ en c− hierboven.Omdat het er oneindig veel zijn vormen de getallen ψ(x) echter de functiewaarden van eenfunctie, de golffunctie ψ(x). Nog steeds wordt (net als bij de c’tjes) de waarschijnlijkheiddat het systeem in toestand |x〉 is gegeven door |ψ(x)|2. Dat is dus de waarschijnlijk-heid dat een positiemeting x oplevert. De som van alle waarschijnlijkheden moet weer 1opleveren, ∫ +∞

−∞dx |ψ(x)|2 = 1,

voor een genormeerde golffunctie. Dit is de golfmechanica van Schrodinger. Maar intermen van Dirac’s ket-toestanden is er in wezen geen enkel verschil met de matrix-mechanica van Heisenberg, behalve een eindig aantal spin-toestanden versus een oneindigaantal positie-toestanden

Het verband tussen energie en tijd komt in de quantummechanica heel duidelijk naarvoren. Energie wordt een operator, de Hamiltoniaan of energie-operator genoemd, diebeschrijft hoe een systeem in de tijd verandert

ih∂ |ψ(t)〉∂t

= H |ψ(t)〉.

Als we toestanden hebben met welbepaalde energie genoteerd als |En〉 ligt de energievast, wat betekent dat het een zognaamde eigentoestand van de Hamiltoniaan is, dus


De impulsoperator en de onzekerheidsrelatieHet verband tussen symmetrie in de tijd en energie wordt in de quantummechanicaexpliciet gemaakt in de energieoperator of Hamiltoniaan. Net zo wordt het verband tus-sen symmetrie in positie en impuls in de quantummechanica expliciet in de werking vande impulsoperator op de functies ψ(x) als de afgeleide naar de plaats, pop = −ih ∂/∂x.Iedere richting heeft z’n eigen afgeleide, dus in drie dimensies pop = −ih∇. Terwijlde Hamiltoniaan beschrijft hoe een toestand verandert in de tijd, ’meet’ de impuls-operator hoe een toestand |ψ〉 verandert in de ruimte. Speciale functies, waarvoor deimpulsoperator de functies niet verandert, zijn

pop ei kx = −ih ∂

∂xei kx = hk ei kx.

Dat is de golffunctie van een impuls-eigentoestand met een welbepaalde impuls p = hk,in Dirac notatie

|p〉 ∝∫dx ei kx |x〉.

Deze functies heten vlakke golven. De golffunctie heeft een fase die periodiek ver-andert als functie van de plaats met een golflengte λ = 2π/k = h/p, net zoals defaseverandering in de tijd voor een energie-eigentoestand periodiek is in de tijd metfrequentie f = 2π/ω = h/E. De waarschijnlijkheid dat een positiebepaling x oplevertis voor een vlakke golf gelijk aan |ei kx|2 = 1, d.w.z. overal even groot.

In het algemeen blijkt dat we voor genormeerde (maar wel uitgesmeerde) toestandenmet een bepaalde golffunctie ψ(x) en daarmee corresponderende positiewaarschijnlijk-heden |ψ(x)|2 netjes een gemiddelde positie en een standaardafwijking ∆x kunnenberekenen. We kunnen hetzelfde doen voor impulsmetingen en vinden dan ook eenuitgesmeerde waarschijnlijkheidsverdeling met standaardafwijking ∆p. Positie en im-puls zijn niet compatibel met elkaar en dat vertaalt zich in (voor iedere richting),

∆x∆p ≥ h

2,

de befaamde positie-impuls onzekerheidsrelatie.

H |En〉 = En |En〉. Dan is de vergelijking direct op te lossen en we weten de oplossing opieder tijdstip,

|En(t)〉 = e−i Ent/h |En〉 = e−iωnt |En〉,

waar ωn gerelateerd aan energie via En = hωn dus de (hoek)frequentie is. De oplossingis dus slechts veranderd met een fase, waarvan de absolute waarde |e−iωt| = 1, dus waar-schijnlijkheden bij metingen veranderen niet. Dit heet een stationaire toestand. Het wordtpas interessant als we beginnen met een beginsituatie die opgebouwd is uit verschillendeenergietoestanden, bijvoorbeeld als

|ψ(0)〉 = c1 |E1〉+ c2 |E2〉,

dan is

|ψ(t)〉 = c1 e−iω1t |E1〉+ c2 e

−iω2t |E2〉 = e−iω1t(c1 |E1〉+ c2 e

−i(ω2−ω1)t |E2〉).


Gaande van t = 0 naar t = π/(ω2 − ω1) verandert de toestand van c1 |E1〉 + c2 |E2〉 naarc1 |E1〉 − c2 |E2〉 en dat kan bij spins bijvoorbeeld juist het omklappen van de spin van|↑ 〉x naar |↓ 〉x betekenen (zie de eerder besproken spintoestanden).

Net als in de klassieke mechanica heeft een theorie een uitgangspunt zoals een gegevenkracht, bijvoorbeeld afgeleid uit een gegeven potentiele energie U(r) via F = −∇U . Doorde corresponderende operatorvergelijking van

E =p2

2M+ U(r),

op te schrijven met H = Eop = ih ∂/∂t en pop = −ih∇ (zie kader over de impulsoperator)en dit los te laten op de golffunctie ψ(r, t) vinden we

ih∂ ψ(r, t)

∂t= − h2

2M∇2 ψ(r, t) + U(r)ψ(r, t).

Dit is de Schrodinger vergelijking en die kan gebruikt worden om bijvoorbeeld de energie-eigentoestanden van het waterstofatoom te vinden als we de Coulomb potentiaal tussengeladen deeltjes gebruiken, maar dat resultaat komt in het volgende hoofdstuk ter sprake.

2.3 Quantumveldentheorie

Relativistische quantummechanica lijkt in eerste instantie net als speciale relativiteits-theorie een simpele aanpassing van de begrippen plaats, tijd, energie en impuls aan deconditie van een maximale snelheid, maar dat blijkt toch niet helemaal goed te gaan. Hetlukt nog wel om de Schrodinger vergelijking gebaseerd op het operator-equivalent vanE = p2/2m+U(r) te vervangen door relativistische vergelijkingen zoals de Klein-Gordonvergelijking, gebaseerd op E2 = p2c2 + m2c4, voor spin 0 deeltjes, de Dirac vergelijkingvoor de componenten van spin 1/2 deeltjes of de Maxwell vergelijkingen voor fotonen.De oplossingen van deze vergelijkingen vormen een set van mogelijke golffuncties, dieechter onlosmakelijk gekoppeld worden aan quantumtoestanden in de vorm van quantum-velden. Deze quantumvelden kunnen deeltjes, maar ook antideeltjes creeren uit het niets(het vacuum genoemd), waarvan de bijbehorende golffuncties aangeven hoe de creatie opbepaalde tijden en plaatsen samenhangen. Bovendien kunnen de quantumvelden dezedeeltjes en antideeltjes ook weer vernietigen (annihileren), al gaat het creeren en annihi-leren netjes volgens stricte regels die behoud van energie, impuls, lading en nog diverseandere grootheden garanderen.

Terwijl in de gewone quantummechanica de spin vrijheidsgraad in wezen een onafhan-kelijke nieuwe vrijheidsgraad was, is die in quantumveldentheorieen verwoven met plaatsen tijd (of energie en impuls). Spin en baanimpulsmoment kunnen in principe niet meerafzonderlijk worden gemeten, dat is enkel voorbehouden aan het totale impulsmomentvan een systeem. En als klap op de vuurpijl komt daar ook nog eens het zogehetenspin-statistiek theorema bij: het blijkt dat de golffunctie van een systeem opgebouwd uitidentieke deeltjes met heeltallige spin onder verwisseling van twee zulke deeltjes verandertin zichzelf (Bose-Einstein statistiek), terwijl de golffunctie van een systeem opgebouwd uitidentieke deeltjes met halftallige spin onder verwisseling van twee zulke deeltjes verandertin minus zichzelf (Fermi-Dirac statistiek). Het bekendste voorbeeld van dit laatste gevalis de situatie van elektronen in een atoom. Als twee elektronen in een atoom in banen

2.3. QUANTUMVELDENTHEORIE 27

a en b zitten beschrijft het product de twee-elektron toestand. Maar als ze in dezelfdebaan zitten, hebben ze dezelfde golffuncties en zou ψ(r1, r2) = ψa(r1)ψa(r2) dus gelijkmoeten zijn aan −ψ(r2, r1) = ψa(r2)ψa(r1). Een dergelijke toestand moet dus nul zijn,oftewel is onmogelijk, wat bekend staat als het Pauli uitsluitingsprincipe dat zegt dattwee deeltjes met halftallige spin (dergelijke deeltjes worden fermionen genoemd) niet indezelfde toestand kunnen verkeren. Voor deeltjes met heeltallige spin (bosonen genoemd)kan dat juist wel. Ze kunnen zelfs allemaal in de laagste energietoestand gaan zitten enwe hebben een Bose-Einstein condensaat. Het spin-statistiek verband was al ver voor deontwikkeling van quantumveldentheorie bekend, maar was volkomen ad-hoc. Nu is heteen noodzaak voor een consistente theoretische opbouw.

Quantumveldentheorieen zijn ook ideaal geschikt om de consequenties van alle moge-lijke symmetrieen in de beschrijving van deeltjes en krachten in te bouwen. Daar vallenbijvoorbeeld de fundamentele symmetrieen van ruimte en tijd onder, de translaties, enLorentz transformaties. Dat geeft aanleiding tot behouden grootheden en bijbehorendestromen, die netjes voldoen aan continuıteitsvergelijkingen. Net als lading, kan energiebest stromen, maar niet verdwijnen. Nu is energie en energie-stroom niet hetzelfde alslading en elektrische stroom, maar ook dat zit er allemaal in. Bijvoorbeeld deeltjes enantideeltjes hebben beide positieve energie, maar tegengestelde lading.

De mooiste symmetrieen in quantumveldentheorie zijn zonder twijfel de zogenaamdeijksymmetrieen. In de quantummechanica speelt een globale fase in de golffunctie vooreen deeltje geen rol. Bijvoorbeeld voor een spin-toestand is het enige wat van belangis of er bijvoorbeeld een relatief plus- of minteken tussen de bijdragen zit (zoals bij despin-toestanden langs de x-as uitgedrukt in die ten opzichte van de sz-toestanden, ofdat de ene bijdrage imaginair is en de andere reeel (zoals bij de spin-toestanden langsde y-as). In principe kan zelfs op iedere plaats afzonderlijk de fase vastgelegd worden.Dit heet lokale ijksymmetrie. Maar wat blijkt, juist door deze vrijheid te verbinden metelektrische lading, kunnen we elektrische en magnetische krachten die deze ladingen voelenvertalen in samenhangende veranderingen van deze fases over de hele ruimte, waarbijvoor de golffunctie van een deeltje het faseverschil tussen twee punten wordt bepaalddoor de lading van het deeltje en het elektromagnetische veld tussen deze twee punten(voor degenen die bekend zijn met elektrodynamica bevat het elektromagnetisch veld deelektrische potentiaal en de magnetische vector-potentiaal). Het resulterende raamwerk isde Quantumelektrodynamica (QED), de quantumveldentheorie die de elektromagnetischewisselwerkingen van elektronen en fotonen beschrijft. De fotonen zijn de deeltjes of quanta(de ket-toestanden met bijvoorbeeld een welbepaalde energie en impuls) gecreeerd doorhet elektromagnetische veld.

Een van de beperkingen van quantumveldentheorieen, zit in het gebruik ervan. Inde meeste gevallen is het alleen maar mogelijk de wisselwerkingen in storingsrekening tebehandelen. Bijvoorbeeld de wisselwerking tussen geladen elektronen wordt beschrevenmet behulp van Dirac velden voor de elektronen en het elektromagnetische veld, doorRichard Feynman vertaald in een wiskundige reeks die de wisselwerking beschrijft als eenuitwisseling van fotonen, beginnende met de uitwisseling van een foton wat al de Coulombpotentiaal oplevert, etc. De wisselwerking met het magnetisch veld komt van het mag-netisch moment wat twee maal groter is dan de klassieke elektrodynamica van roterendeladingsverdelingen zou doen vermoeden. Het magnetisch moment van een elektron met


lading e, massa me en spin s wordt gegeven door

µe = ge

2me

s,

met g ≈ 2. Maar de tweede term in de reeks corresponderend met de emissie en absorptievan een extra foton in het process geeft een bijdrage en men vindt g = 2(1 + α/π), waarα = e2/4πε0 hc ≈ 1/137, dus g = 2, 002 3. Dit is een voorbeeld waar theorie en experimentwedijveren om het resultaat, want zowel de berekening als de precieze meting zijn fysischetopprestaties. Het magnetisch moment is nu bekend en begrepen tot op 14 decimalen.We komen verderop nog op berekeningen met behulp van Feynman diagrammen terug.

2.4 Algemene relativiteitstheorie

Voordat we naar dat volgende hoofdstuk gaan, willen we nog kort even de verfijning vande speciale relativiteitstheorie naar de algemene relativiteitstheorie noemen. Dit is infeite de door Einstein gerealiseerde beschrijving van interacties tussen massa’s. Hierbijzijn al wel aspecten van veldentheorie van belang, zoals het bestaan van energie- enimpuls-stromen die vertellen hoe energie en impuls zich kunnen verdelen over ruimte entijd. De krachten tussen massa’s en massaverdelingen hebben eenzelfde soort karakterals dat van elektromagnetisme waarbij de veldquanta een quadrupool veldgedrag hebbenof vertaald in deeltjes worden dat toestanden die horen bij spin 2. Eenzelfde veldgedragkenmerkt de ruimte-tijd wanneer die gekromd is. En nu even precies (alleen maar omde schoonheid van de wiskunde te laten zien), Einstein wist de kromming van ruimte-tijd met een plaatsafhankelijk loodrecht assenstelsel gekenmerkt door een metriek gµν tebeschrijven met een tensor Rµν− 1

2gµν R die samenhangt met energieen impuls-stromen,

beschreven met een andere tensor Tµν . De relatie ziet er eenvoudig uit,

Rµν − 12gµν R + gµν Λ = 8π GN Tµν .

Een extra term gµν Λ kon in principe niet uitgesloten worden. En hoewel Einstein dietoevoeging zijn ’grootste blunder’ noemde, blijkt die essentieel te zijn als we de vergelij-king op het hele heelal toepassen. Zo’n term blijkt dan nodig te zijn om de waargenomenversnelde uitdijing te begrijpen. Andere consequenties van dit verband zijn het bestaanvan zwarte gaten en energiestromen die zich als gravitatiegolven door de lege ruimte kun-nen bewegen. Maar het bovenstaande blijft in wezen ’klassiek’. Om hier een consistentequantumveldentheorie van te maken lijkt onmogelijk als we ons beperken tot de bekenderuimte-tijd dimensies.

En nu gaan we kijken hoe we al deze concepten tegenkomen.

Hoofdstuk 3

Wie het kleine niet eert . . .

Materie komt in een enorme diversiteit, in vaste vorm, in gasvorm of in vloeistofvorm.Gegeven een van deze fases, is er nog eens een ongelofelijke verscheidenheid in vorm, hard-heid, kristalstructuur of geleidingsvermogen. Al de materie is uiteindelijk opgebouwd uitatomen (figuur 3.1). Deze zijn zeker niet ondeelbaar wat de van het Griekse a-tomosafgeleide naam suggereert, maar hun substructuur is voor de macroscopische wereld vaak

ATOOM

10 m

ATOOMKERN

ELEKTRON

MATERIE

NEUTRINO

NUCLEONproton/neutron

m10

QUARKup/down

10< m

−10

−14

−15

−18

10 m

Figuur 3.1: Opbouw van de subatomaire wereld.

30 HOOFDSTUK 3. WIE HET KLEINE NIET EERT . . .

niet zo belangrijk. Het aantal atomen is beperkt, het zijn er zo’n honderd. In de ma-terie kunnen de atomen gerangschikt zijn in de perfecte regelmaat van kristallen (ziefiguur 3.2), waar miljarden × miljarden atomen perfect uitgelijnd de meest prachtigedrie-dimensionale structuren vormen, of ze bewegen vrijelijk in vloeistoffen of gassen. Dehoeveelheid stoffen is echter veel groter dan het aantal atomen, omdat atomen onder om-standigheden zoals we die hier op Aarde hebben bij voorkeur ook nog eens verbindingenmet elkaar aangaan, om moleculen te vormen zoals water, H2O, bestaande uit 2 Waterstof(H) en 1 Zuurstof (O) atoom, of door regelmatige structuren te vormen van afwisselendverschillende atomen zoals Natrium (Na) en Chloor (Cl) in zoutkristallen.

simple cubic face centered cubicbody centered cubic

Figuur 3.2: Voorbeelden van roosterstructuren in de materie zijn kubische roosters. In defiguur staan de varianten ’simple cubic’ (sc), ’body-centered cubic’ (bcc; met een atoomin het midden van elke kubus) en ’face-centered cubic’ (fcc; in het midden van elke zijdeook een atoom). Het fcc rooster heeft de dichtste pakking.

3.1 Atomen

De circa 100 atomen kunnen netjes worden gerangschikt in het periodiek systeem van deelementen (figuur 3.3). Om de elementaire verschillen tussen de atomen te begrijpen, inhet bijzonder hun atoomgetal, hun massa’s alsmede hun gedrag in relatie tot andere ato-men, is de substructuur van het atoom zelf van groot belang. De atomen met afmetingenvan de orde van 10−10 m zijn opgebouwd uit een atoomkern met daaromheen bewegendeelektronen. De atoomkern, die 10 000 maal kleiner is dan het atoom, bevat praktisch allemassa. Het is een beetje vergelijkbaar met het zonnestelsel, waar ook bijna alle massa inde Zon geconcentreerd is. Hoewel, de middellijn van de Zon is maar 100 maal kleiner dande aardstraal. Ook de aard van de krachten in Zonnestelsel (gravitatie) is verschillendvan die in het atoom. Een atoomkern is elektrisch positief geladen, terwijl de elektronennegatief geladen zijn. Het is deze elektrische aantrekking tussen tegengestelde ladingendie zorgt voor de binding van de elektronen. In het periodiek systeem is het de lading vande atoomkern die bepaalt met welk element we van doen hebben. Die lading is +Z e, teweten een geheel aantal (Z) maal de elementaire lading e en wordt in een neutraal atoomgecompenseerd door Z elektronen met elk negatieve lading −e. Zo heeft Waterstof (H)atoomgetal Z = 1, bestaande uit een atoomkern met daaromheen een elektron, Helium(He) heeft atoomgetal Z = 2 met twee elektronen, Koolstof (C) heeft atoomgetal Z = 6met zes elektronen. Een ander belangrijk aspect van de atoomstructuur is de rol van dequantummechanica. Het golfkarakter van de elektronen wordt belangrijk. Alleen heelspeciale banen zijn toegestaan, waarin de golflengtes passen bij de banen. Het patroon

3.1. ATOMEN 31

H1

Li3

Na

K

Rb

11

19

37

Fr87

B5

Rn86

He2

10

Ne18

Ar36

Kr54

Xe

6

C N O F7 8 9

59

Be

55

Cs

Si14

4

12 13

Mg

alkali metalen

zeldzame aarde metalen

edelgassen

metalen

Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn

Al

Ga

In

Tl

Ca

Sr

Ba

Ra

aardmetalen

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

Y Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd56 57 72

58 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71

Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tm Yb Lu

Th Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No90

La

Ac

73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84

89

91 92 93 94 95 96 97 98 99

Lr103102101100

105 106 107 108 109 110 111104

Rf Db Sg Bh Hs Mt Ds Rg

Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg Pb Bi Po

Te

Se

SP

As

SbSn

Ge32 33 34

1615

50 51 52

Cl

Br

I

At

53

85

35

17

88

halogenen/niet−metalen

Figuur 3.3: Het periodieke systeem van de elementen.

van banen en het opvullen van de beschikbaren posities door de elektronen bepaalt, zoalswe zullen zien, de structuur in het periodiek systeem.

Energieniveau’s

De golffuncties van het waterstofatoom worden gekenmerkt door quantumgetallen. Quan-tummechanisch hangt het impulsmoment samen met het aantal golven dat past op een cir-kelbaan. Om dat te zien berekenen we het impulsmoment in een cirkelbeweging, ` = r×p.Omdat de snelheid loodrecht op de straal staat is de grootte ` = p r = mv r (met p = mv).Wanneer de quantummechanische golflengte h/p een geheel aantal maal (n) past op deomtrek 2π r krijgen we dat 2π r = nh/p of p r = n h en we vinden

` = mv r = n h. (3.1)

Het impulsmoment is gequantiseerd in veelvouden van h, de gereduceerde constante vanPlanck. In feite is bovenstaande (Bohr) quantisatie algemener en moet n niet alleen wor-den gezien als het aantal golven dat past op een cirkelbaan (meestal aangegeven met hetbaanimpulsmoment `), maar is ook het aantal knopen in de golffunctie in de radiele rich-ting van belang (zie kader). Wat betreft het baanimpulsmoment, blijkt er voor ` = 0 maareen golfpatroon mogelijk, voor ` = 1 zijn er drie mogelijke patronen, corresponderend metspecifieke rotaties om een gegeven as. Deze worden aangegeven met een tweede quantum-getal met waarden m` = 1, m` = 0 en m` = −1 en corresponderen met impulsmomententer grootte van m` h om de gekozen as. In het algemeen zijn er 2 `+1 banen mogelijk metm`-waarden die lopen van m` = +` tot en met m` = −` in stapjes van een. Voorbeeldenvoor ` = 0 en ` = 1 zijn gegeven in figuur 3.4.


` = 0, m` = 0 ` = 1, m` = 1 ` = 1, m` = 0

Figuur 3.4: Elektronconfiguraties in het atoom met specifieke baanimpulsmoment quan-tumgetallen. Voor het magnetische (m`) quantumgetal is specificatie van een richtingbelangrijk.

Quantisatie in waterstofatoom: banen en energieniveau’sNaast de quantisatie van het impulsmoment, mvr = n h (vergelijking 3.1) hebbenwe om r, v en andere grootheden te vinden, de elektrische kracht tussen elektron enatoomkern nodig. Om het elektron in zijn baan te houden moet

mv2

r=

Z e2

4πε0 r2,

waar de constante ε0 nodig is om de eenheid van lading (Coulomb) aan het MKS stelselte relateren. Uit de quantisatie van het impulsmoment, vinden we dan dat afstandenen energieen in het atoom gequantiseerd zijn. Met wat rekenwerk vinden we

rn =n2

Z

4πε0 h2

me2≡ n2

Za0 =

n2

Z α

h

mc.

waar de Bohr straal a0 ≈ 0, 53 × 10−10 m de karateristieke afmeting van waterstof is.Om deze te vergelijken met de Compton golflengte van het elektron, wat in de laatstestap van bovenstaande vergelijking voor rn gedaan is, gebruiken we de combinatie

α ≡ e2

4πε0 hc≈ 1

137,

een dimensieloos getal dat in essentie de sterkte van elektrische krachten geeft. Voorde energie, die gegeven wordt door de som van kinetische en potentiele energie, E =12mv2 − Z e2/4πε0 r, vinden we

En =Z2

n2

me4

32π2ε20 h2 ≡

Z2

n2ER =

1

2

Z2 α2

n2mc2,

De voor het waterstofatoom karakteristieke energie, de Rydberg energie ER ≈ 13, 6 eVis heel klein vergeleken met met de massa-energie van het elektron vanwege de factorα2. Dit rechtvaardigt de hierboven gekozen niet-relativistische aanpak (impuls is mv).Bij zware atomen (hoge Z) wordt de relativiteitstheorie wel van belang. Hoewel wevoor het oplossen van het quantummechanische probleem een beroep moeten doen opde Schrodinger vergelijking, verandert dat enkel de details. Het verandert echt niets

3.1. ATOMEN 33

Quantisatie in waterstofatoom: banen en energieniveau’s (vervolg)aan de karakteristieke afmetingen en energieen. Om precies te zijn, het enige wat erverandert in de uitdrukking voor de energie, is dat het quantumgetal n staat voorn = nr + ` + 1, waar nr het aantal knopen in de golffunctie in radiele richting is en `het (heeltallige) baanimpulsmoment is.

Het Pauli principe

Het aantal beschikbare banen, elk met welbepaalde energie, is in figuur 3.5 weergegeven.Vergeleken met het waterstofatoom (Z = 1), waar alle waarden met dezelfde n-waardedezelfde energie hebben (ontaard zijn) is deze ontaarding in een zwaarder atoom verdwe-nen, tengevolge van de afstotende effecten van elektronen onderling. Als het gaat om hetaantal beschikbare posities per niveau is het belangrijk te realiseren dat elektronen ookeen intrinsiek impulsmoment, spin genoemd, hebben. De grootte hiervan is s = 1/2 met2s + 1 = 2 mogelijke orientaties (ms = +1/2 en ms = −1/2), die we zouden kunnenkarakteriseren als linksom of rechtsom draaiend.

In de laagste toestand van ieder atoom (grondtoestand) vullen de elektronen allebeschikbare niveau’s van onder af op en wel zodanig dat alle plekken bezet zijn doorprecies een elektron. Zo is de elektronstructuur van koolstof (C) met Z = 6 gegeven door(1s)2 (2s)2 (2p)2, en die van ijzer (Fe) met Z = 26 is (1s)2 (2s)2 (2p)6 (3s)2 (3p)6 (4s)2 (3d)6.Atomen waarbij juist een hele schil gevuld is zijn het meest stabiel. De atomen waarbijde p-schil juist gevuld is danken er zelfs hun naam edelgas aan.

Aan deze opvulling, ligt naast het zoeken van de laagste energietoestand ook het Pauliprincipe ten grondslag. Dit zegt dat twee identieke elektronen niet in dezelfde toestandkunnen zitten. Het Pauli uitsluitingsprincipe geldt behalve voor elektronen, voor alledeeltjes met halftallige spin (fermionen). We zullen het bij de ontrafeling van de materienog diverse keren tegenkomen.

E/E

l = 0(2x)

l = 1(6x)

l = 2(10x)

l = 3(14x)

1s

2s

3s4s 4p

3p

2p

4d3d

4f

−Z2

R

0

ln

Figuur 3.5: De energie-niveau’s in een atoom. Deenergieen worden vergele-ken met de Rydberg ener-gie. Het aantal beschik-bare posities in een niveaumet bepaalde n en ` is 2 ×(2` + 1), waarbij de fak-tor 2 van de spin van hetelektron komt en de faktor(2`+ 1) van het aantal m`-toestanden. De spectros-copische benaming s, p, d,f staat voor ` = 0, 1, 2, 3.


Spectra

Elektronen kunnen springen tussen beschikbare banen wanneer de daarvoor benodigdeenergie beschikbaar is, bijvoorbeeld door een foton te absorberen. Het geabsorbeerd wor-den van fotonen met bepaalde energie in het zonlicht is de oorzaak van de absorptielijnenin het zichtbare deel van het spectrum. Voor waterstof liggen een paar van die lijnen inhet zichtbare licht. Omgekeerd kunnen bij het terugspringen van de elektronen naar deoriginele baan of naar andere beschikbare banen weer fotonen worden uitgezonden waar-bij de energie van het foton (en dus ook golflengte en frequentie) bepaald wordt door hetenergieverschil tussen de niveau’s. Dat betekent ook dat absorptie- en emissiespectra heelkenmerkend zijn voor atomen (en moleculen).

absorptiespectrum van waterstof

emissiespectrum van waterstof

Overigens zijn de lijnen niet oneindig scherp. De natuurlijke lijnbreedte wordt bepaalddoor de tijd die een elektron in een bepaald niveau doorbrengt (analoog aan het voor-beeld in figuur 1.4). Meestal echter zijn de lijnen verbreed of verschoven door andereeffecten, in het bijzonder het Doppler effect, bijvoorbeeld verbreding ten gevolge van dewillekeurige (thermische) beweging van de absorberende of emitterende atomen of tengevolge van snelheidsvariaties van de bron (denk aan roterende sterren), periodieke ver-schuiving vanwege beweging van bron of waarnemer (dubbelsterren, aardrotatie om Zon)of de roodverschuiving vanwege de uitdijing van het heelal.

Elektronen kunnen naast absorptie ook in banen met hogere energie terechtkomendoor botsingen tussen de atomen onderling. Het aantal botsingen is afhankelijk van desnelheid (en dus kinetische energie) van de atomen en kan vergroot worden door stoffente verhitten. Een belangrijke toepassing die met spectra samenhangt is de laser waarineen heel specifieke overgang wordt gestimuleerd. Dit werkt vanwege het feit dat fotonenprecies de tegenovergestelde eigenschappen van elektronen hebben als het gaat om hoeveelfotonen er in een bepaalde toestand kunnen voorkomen. Hoe meer er al in een toestandzitten, des te liever er nog eentje bij komt. Dit gedrag is typerend voor alle deeltjes metheeltallige spin (bosonen).

AtoomgewichtVoor de massa van atomen wordt vaak als standaard de atomic mass unit (u)geıntroduceerd. Deze was gerelateerd aan 1/12 van de massa van het 12C atoom,maar is tegenwoordig gewoon gedefinieerd als 1 g/Mol. Met het vastgekozen getal vanAvogadro,

Nav ≡ (1 gr)/(1 u) = 6, 022 140 76× 1023,

is dat ongeveer 1 u = 1,661 ×10−27 kg = 931,5 MeV/c2.

3.2 Atoomkernen

De atoomkern is weliswaar nietig in vergelijking tot het atoom, maar bevat wel praktischalle massa. De atoomkern is zelf weer opgebouwd uit protonen en neutronen. De protonenhebben elk een positieve lading +e, de neutronen hebben geen lading. In een atoomkern

3.2. ATOOMKERNEN 35

−

ν

elektron neutrino

neutronproton

p n

e

C = 6p 6nHe = ppnH = pnnH = pn

H = p

Q/e = +1 Q/e = 0

NUCLEONEN

LEPTONEN

(atoomkernen)

1

2

3

3

12

Figuur 3.6: De bouwstenen van deatoomkern.

zitten dus Z protonen. Daarnaast bevat de atoomkern een aantal (N genoemd) neutronen.In totaal bevat de atoomkern A = Z +N nucleonen, de verzamelnaam voor protonen enneutronen. Proton en neutron zijn ongeveer even zwaar,

mp = 1, 673× 10−27 kg = 938, 3 MeV/c2,

mn = 1, 675× 10−27 kg = 939, 6 MeV/c2,

en ze worden daarom ook wel als de twee ladingstoestanden van een deeltje, het nucleon,beschouwd. Hun massa’s zijn veel groter dan die van het elektron (voor het protonongeveer 1836 keer zo groot),

me = 9, 109× 10−31 kg = 0, 511 MeV/c2.

Met Z elektronen vormt de atoomkern een ladingsneutraal atoom (zie ook kader overatoomgewicht). Met proton, neutron en elektron hebben we in essentie de bouwstenenvan de materie te pakken (zie figuur 3.6). De naamgeving van de atoomkern is dezelfdeals die van het atoom. Afhankelijk van het aantal neutronen heeft men verschillendeisotopen. Zo bestaan er drie isotopen van waterstof, 1H (proton, atoomkern van gewoonwaterstof), 2H (deuteron bestaande uit een proton en een neutron, het atoom wordtdeuterium of zwaar waterstof genoemd), of 3H (triton bestaande uit een proton en tweeneutronen, het atoom wordt tritium genoemd). Niet al deze isotopen komen in gelijkehoeveelheden voor. Zo is deuterium al zeldzaam (0,015 %) en valt de atoomkern vantritium na verloop van tijd spontaan uit elkaar (zie figuur 3.7). In het geval van Heliumkennen we twee isotopen, 3He en het veruit meest voorkomende 4He (ook bekend als α-deeltje). De elementen Waterstof en Helium vormen het overgrote deel van de (zichtbare)materie in het heelal, als atomen ruwweg in de verhouding 12 : 1 of als massaverhouding3 : 1.

Met het neutrino zijn we nu alle deeltjes in figuur 3.6 tegengekomen waarmee processestot op het niveau van atoomkernen kunnen worden begrepen, ook al blijven de neutrino’sware spookdeeltjes, die nog lang niet al hun geheimen hebben prijsgegeven. Dat laatstekomt met name omdat de wisselwerking met de materie zo zwak is dat de enorme hoe-veelheid neutrino’s die de zon produceert voor het overgrote deel dwars door de Aardevliegen (illustratie 3.8).


note tun

e−

ν

e t run no

notorp

Figuur 3.7: Het verval van een vrij neutron(niet gebonden in een of andere atoomkern)in een proton, een elektron en een neutrino,n → p + e− + ν. Een dergelijke reactie kanverlopen als het energetisch mogelijk is, waarwe dan wel de energie ten gevolge van massaook in rekening moeten brengen. Een vrijneutron leeft maar zo’n 15 minuten. Na dietijd is de helft van het aantal neutronen uit-eengevallen. Het verval in een atoomkern isook mogelijk, bijvoorbeeld het verval van detriton atoomkern, 3H → 3He + e− + ν. Der-gelijke vervalsprocessen zijn karakteristiek inde wereld van atoomkernen.

KernkrachtenDe afstotende elektrische krachten tussen twee protonen op een afstand van r corres-pondeert met een positieve potentiele energie ter grootte van

Uelektrisch(r) =e2

4πε0 r=α hc

r.

Met α ≈ 1/137 geeft dit voor r = 0, 2 × 10−14 m = 2 fm als resultaat Uelektrisch ≈ 0, 7MeV. Echter twee nucleonen (ongeacht of het protonen of neutronen zijn) ondervin-den daarnaast sterke krachten die behalve door afstoting op korte afstand gekenmerktworden door een met de afstand snel afnemende negatieve potentiele energie

Ukern(r) = Uafstotend −g2 hc

4π

exp(−r/r0)

r.

De dracht van deze kracht wordt bepaald door r0 ≈ 1.4 fm, de sterkte door de koppe-lingsconstante g. Met g2/4π ≈ 14 geeft de aantrekkende term voor r = 2 fm eenbijdrage tot Ukern van -340 MeV. Terwijl de elektrische potentiele energie op 10 fm meteen factor 5 is afgenomen, is de potentiele energie van de kernkracht op een afstand vanr = 10 fm veel sterker afgenomen tot −0, 2 MeV, een afname met meer dan een factorvijftienhonderd. Op afstanden groter dan 10 fm is er van de sterke kernkracht niksmeer over. Maar uit de vergelijking van de waardes van g2/4π en α zien we toch datde kernkracht in wezen veel sterker is dan de elektrische kracht. Op afstanden kleinerdan hun eigen afmetingen, ongeveer 0.8 fm, stoten twee nucleonen (ook nu ongeacht ofhet protonen of neutronen zijn) elkaar juist weer heel sterk af. Ze lijken op druppeltjes,die niet samen willen (we komen daar op terug). Het resultaat is een compromis meteen gemiddelde potentiele energie van zo’n -50 MeV en een gemiddelde afstand tussende nucleonen van de orde van grootte van r0. De straal van de hele atoomkern met Anucleonen is ongeveer R = r0A

1/3. Voor Uranium met A = 238 is die straal RU ≈ 9fm.

3.2. ATOOMKERNEN 37

rechtshandig

elektronelektron

linkshandig

neutrino

rechtshandig

neutrino

e e− −

ν ν

Figuur 3.8: Voor het grootste deelvliegen neutrino’s dwars door deAarde. Hun eigenschappen zijn invele opzichten bizar. Zo komen neu-trino’s alleen linkshandig voor en nietzoals elektronen links- en rechtshan-dig. Ze breken dus de spiegelsym-metrie van de natuur, waar we lateruitgebreid op terugkomen. Wanneerwe ook de antideeltjes meenemen, diejuist rechtshandig zijn lijkt de sym-metrie weer hersteld, tenminste bij-na! Dat het neutrino een halftalligespin moet hebben volgt uit het ver-val in figuur 3.7. Om de som vanimpulsmomenten kloppend te krijgenmet proton, neutron en elektron, al-lemaal met halftallige spin, en baan-impulsmoment dat alleen heeltallig is,moet er nog een deeltje met halftalligespin geproduceerd zijn.

De sterke kernkracht

De karakteristieke bindingsenergieen voor atoomkernen en dus ook de energieen nodigom atoomkernen aan te slaan of er protonen of neutronen uit te schieten zijn in de ordevan miljoenen elektronvolts (MeV’s), zeer veel meer dan de eV’s nodig om elektronenuit atomen te schieten (ioniseren). De krachten waarmee de nucleonen bijeen gehoudenworden zijn dan ook van een heel ander type, de sterke kernkracht (zie kader). Tochvolgen nucleonen netjes de regelmaat van de quantummechanica. Ondanks de dichtepakking die het gevolg is van de sterke kracht tussen de nucleonen onderling bevindenze zich in welgedefinieerde banen, daarbij als deeltjes met halftallige spin ook netjes hetPauli prinicipe in acht nemend. Iedere baan heeft z’n eigen energie. De gemiddeldebindingsenergie van de nucleonen varieert tussen 0 en 9 MeV per nucleon (zie figuur 3.9).Deze bindingsenergieen van atoomkernen betekenen dat in processen waarin atoomkernen

56 240A

B[MeV]

9.0

7.5

Figuur 3.9: Bindingsenergieen per nucleonvan atoomkernen als functie van het massa-getal A. De piek bij lage A is die van 4He.De meeste stabiele atoomkern is 56Fe.


gevormd worden of waarin atoomkernen uiteenvallen, energieen nodig zijn of vrijkomen diein de orde van MeV’s per nucleon zijn. Vergeleken met de nucleon massa is 1 MeV ongeveer1 promille. Vandaar dat kernprocessen op macroscopische schaal, zoals in kernreactoren,een gigantische hoeveelheid energie op kunnen leveren. Bijvoorbeeld als een A = 200atoomkern uiteenvalt in twee A = 100 atoomkernen (kernsplijting), levert dat circa 1 MeVper nucleon op. Dat is zo’n 1014 J per kg materie. In Helium (4He) is de bindingsenergieongeveer 7 MeV per nucleon, wat betekent dat kernfusie van Waterstof in Helium zoongeveer 7 MeV per nucleon levert. De meest stabiele atoomkern is die van ijzer (56Fe).

Z

N

1−10 days

10−100 days

100 dgn − 10 yr

10−10.000 yr

naturally radioactive

stable

> 10.000 yr

Figuur 3.10: Grafische weergave van stabiele atoomkernen in een Z tegen N grafiek, toonteen ’eiland’ van stabiele atoomkernen net onder de Z = N diagonaal. Een interactieve’nuclear chart’ vindt men op http://www-nds.iaea.org/nudat2

Wanneer we grafisch de (stabiele) atoomkernen als Z tegen N uitzetten (figuur 3.10),zien we dat deze niet ver van de Z = N diagonaal liggen. Dat is niet zo vreemd aan-gezien de sterke krachten voor protonen en neutronen vrijwel identiek zijn. Protonen enneutronen zijn net als elektronen deeltjes met een spin van een 1/2, d.w.z. dat we bij hetopvullen van toegestane banen in de atoomkern rekening moeten houden met het Pauliprincipe. Als een schil vol is zal een volgend proton of neutron naar een hoger energie-niveau moeten. Bij die getallen waarbij schillen juist vol zijn zien we de meest stabieleatoomkernen, zowel in horizontale richting (als een energieschil voor de neutronen gevuldis) als in vertikale richting (bij een gevulde energieschil voor protonen). Deze zogenaamdemagische getallen zijn in de figuur ook aangegeven. Het effect van de extra elektrischeafstoting van de geladen protonen heeft tot gevolg dat het vullen van de proton schilleniets achterloopt, dus voor zware atoomkernen zal N groter zijn dan Z.

3.3. NUCLEONEN 39

Verval van atoomkernen

We spraken al over de stabiliteit en het verval van atoomkernen. De drie belangrijkstevormen zijn alpha-verval, beta-verval of gamma-verval. Bij het beta-verval verandert ineen atoomkern een neutron in een proton, n→ p+e−+ ν (β− verval) of als dat energetischvoordeliger is een proton in een neutron, p→ n+ e+ + ν (β+ verval). In het laatste gevalwordt er naast een neutrino een positron, het antideeltje van het elektron, geproduceerd.Antideeltjes komen straks in meer detail ter sprake. Aan deze vervalsprocessen waarbijelektronen en neutrino’s vrijkomen ligt de zwakke kracht ten grondslag, waar we ook nogop terugkomen. Een tweede mogelijke vervalsreactie voor atoomkernen is het alpha-verval.Omdat het α-deeltje (4He) een erge stabiele atoomkern is (bindingsenergie van 7 MeVper nucleon) kan het energetisch voordelig uitpakken wanneer 2 protonen en 2 neutronengezamelijk de atoomkern verlaten. Om dat te kunnen bereiken, moeten ze de kernkrachtoverwinnen en ook nog eens een fikse barriere nemen die wordt opgeworpen doordat in debuitenste regionen van de atoomkern nucleonen de hoogste baanimpulsmomenten hebben.Maar juist de quantummechanica maakt het mogelijk dat ze ondanks deze barriere naarde vrijheid kunnen tunnelen. Zo vervalt bijvoorbeeld Uranium-238 (dat is Uranium, dusin ieder geval 92 protonen, met 146 neutronen) in Thorium, 238U → 234Th + α. De kansdat dit process optreedt is uitermate klein. De halfwaardetijd van 238U is 4, 5 × 109 jr.Gegeven een atoomkern is niet te voorspellen wanneer deze vervalt. De kans is 50 %dat het binnen 4,5 miljard jaar gebeurt, of als we maar genoeg atomen hebben danzal na 4,5 miljard jaar de helft vervallen zijn. Gamma-verval treedt op als een nucleonop een of andere manier in een hogere baan terecht gekomen is. Bij het terugspringenwordt een foton uitgezonden. Voor een typisch energieverschil in de orde van de 0,1MeV, correspondeert dit met golflengtes voor gamma-straling van zo’n 10−11 m, zeerveel kleiner dan de golflengtes van zichtbaar licht. Gamma-verval komt het meeste voorbij atoomkernen als vervolgproces van andere kernreacties, bijvoorbeeld kernsplijting ofbeschieting met andere deeltjes. De leeftijden zijn meestal vrij kort, fracties van seconden.Een van de bekendste gamma-stralers met diverse toepassingen voor conservering en voormedische behandeling is 60Co, dat een relatief lange levensduur heeft van ca. 5 jaar.

Schatting van de leeftijd van de AardeDe zeldzame isotoop Uranium-235 (slechts 0,72 %) is veel actiever dan Uranium-238 envervalt al (!) na 700 miljoen jaar. Als we aannemen dat bij de vorming van de Aarde erongeveer evenveel van beide isotopen waren, dan zien we dat er ruim 8 halfwaardetijdenvan Uranium-235 nodig zijn om er voor te zorgen dat er een factor 28 = 256 minderUranium-235 is, terwijl in die tijd het Uranium-238 maar met net iets meer dan eenfactor 2 is afgenomen. Dus na 8 halfwaardetijden van Uranium-235 is er dan zo’n 27,d.w.z. ruim 100 maal minder U-235. Dit geeft als schatting voor de leeftijd van deAarde ruim 5 miljard jaar.

3.3 Nucleonen

Gezien de dichte pakking van de atoomkernen is het verbazingwekkend hoe gering deinvloed is van de substructuur van de nucleonen zelf. Het bestaan van een substructuurvolgt uit het feit dat het proton met lading +e een afmeting heeft van ongeveer 0,8 fm.Zowel proton als neutron hebben, net als het elektron, een spin ter grootte van 1

2h, met


2 mogelijke rotatietoestanden. Uit het feit dat niet alleen het geladen proton maar ookhet ongeladen neutron zich als magneetjes gedragen volgt dat in het neutron blijkbaarladingen rondlopen. Ook is het mogelijk om door beschieting van nucleonen met fotonen,elektronen of in botsingen van protonen de deeltjes in een hogere energietoestand tebrengen, van waaruit ze over het algemeen in ontzettend korte tijden weer vervallen.

Het bijzondere aan de structuur van de nucleonen in vergelijking met die van het atoomen de atoomkern is dat de deeltjes waaruit ze zijn opgebouwd er niet uit vrijgemaaktkunnen worden, voor zover we nu weten zelfs niet met oneindig hoge energieen. Ditfenomeen heet permanente opsluiting. Desondanks is uit het combineren van alle gegevensduidelijk geworden dat protonen en neutronen opgebouwd zijn uit quarks, die zelf ookeen lading hebben, al zijn het nu fracties van de elementairlading e. Ook weten we datze spin ter grootte van 1

2h hebben. Een proton is opgebouwd uit twee up (u) quarks en

een down (d) quark, een neutron uit een u-quark en twee d-quarks. De u-quark heeft eenlading +2

3e, de d-quark heeft een lading −1

3e. In het plaatje van ’elementaire bouwstenen’

kunnen we de nucleonen vervangen door de quarks (figuur 3.11). De quarks en leptonen

handigof links−

handigalleenlinkshandig

ν− −

−

ν

QUARKS

LEPTONEN

elektron neutrino

p = uud

n = udd

(nucleonen)

Q/e = −1/3Q/e = +2/3

u d

up down

3 kleuren

rechts−

e e

e

Figuur 3.11: De quarks en leptonen(van de eerste familie); dit zijn dequarks waaruit protonen en neutronenopgebouwd zijn. De leptonen zijn dege-nen die we ook al tegenkwamen bij deopbouw van atoom en atoomkern.

zijn zover we nu weten de elementaire bouwstenen van de materie. De verzamelnaamvan alle mogelijke deeltjes opgebouwd uit quarks of gluonen is hadronen, onderverdeeldin baryonen opgebouwd uit drie quarks (zoals de nucleonen) en mesonen. Mesonen, zoalswe zullen zien, zijn opgebouwd uit een quark en een antiquark.

De elementaire eigenschappen van de deeltjes zijn hun spin, hun lading en hun identi-teit als quark of lepton. Deze laatste vrijheid wordt smaak genoemd. In figuur 3.11 zienwe de smaken up en down voor de quarks. Vanwege de gelijksoortige rollen die up en downquarks in andere dan elektromagnetische processen spelen, worden de eigenschappen ’up’en ’down’ ook wel als twee toestanden van een quark gezien.

Naast bovenstaande quantum getallen, hebben quarks een van drie mogelijke kleurla-dingen. Dit verklaart bijvoorbeeld het bestaan van het ∆++ deeltje, een baryon bestaandeuit 3 (identieke) u-quarks, alledrie in de laagste baan. Ook de quark spins moeten in de-

3.3. NUCLEONEN 41

zelfde richting wijzen omdat het deeltje een spin ter grootte van 3/2 h heeft. De extrakleur-vrijheidsgraad voorkomt dan problemen met het Pauli principe, omdat elk van dequarks een verschillende kleurlading kan hebben.

V(r) ~ 1/r

permanente

opsluiting van

gekleurde quarksgrote

afstand

korte

afstand

V(r) ~ 1/r

QCD

QED

V(r) ~ r

Figuur 3.12: Verschil in veld-lijnen voor de krachten tussenelektrische ladingen (Quantum-elektrodynamica, QED) en dietussen kleurladingen (Quantum-chromodynamica, QCD). Opkleine afstanden gedraagt dekracht tussen kleurladingen zichnet als elektrische krachten,maar uiteindelijk wordt dekracht constant, vergelijkbaarmet de elektrische kracht tussentwee condensatorplaten. Deconstante kracht tussen dequarks is overigens gigantischgroot. De kracht (energie perlengte!) is ongeveer 0,9 GeV/fmof omgerekend 1,5 ×105 N (datis 15 Ton!).

Krachten tussen quarks

Maar kleur blijkt meer dan een gewone vrijheidsgraad. Het is net als elektrische ladingde bron van een krachtveld. Zoals een elektrische lading de bron is van elektrische en(wanneer de lading beweegt) magnetische velden, die weer krachten induceren in andereladingen, is de kleurlading de bron van kleur-elektrische en kleur-magnetische velden, diegevoeld worden door andere (gekleurde) quarks. Net zoals in de wereld van atomen, kris-tallen en moleculen de krachten allemaal tot elektromagnetische krachten kunnen wordenherleid, kunnen de krachten in de wereld van nucleonen en atoomkernen herleid wordentot de kleurkrachten tussen quarks.

De velden tussen geladen deeltjes en de daarmee samenhangende krachten worden ineen quantum theorie beschreven via de uitwisseling van krachtdeeltjes. Het foton (licht-deeltje) speelt die rol bij de elektromagnetische wisselwerkingen. Bij de kleurkrachten zijner maar liefst acht verschillende gluonen die uitgewisseld kunnen worden. Het bijzondereis dat ze zelf ook een kleurlading hebben (het foton heeft geen elektrische lading!). Ditheeft tot gevolg dat de velden niet tot oneindig ver kunnen uitwaaieren, maar als verbin-ding tussen de bronnen fungeren (zie figuur 3.12). Dit geeft aanleiding tot een potentiaaldie op kleine afstanden zich als 1/r gedraagd en daarna lineair met de afstand toeneemt,

Ukleur(r) = −4

3

αs hc

r+ T0 r.

Over de waarde van αs komen we nog uitgebreid te spreken. De evenredigheidsconstantein het lineaire deel heeft de waarde T0 ≈ 0, 9 GeV/fm en correspondeert precies met de


Hoe de spanning tussen quarks volgt uit de massa-impulsmoment relatieVoor gebonden quark-antiquark toestanden blijkt het impulsmoment L evenredig methet kwadraat van de massa M , L/h = α′M2c4 met 1/α′ = 1,1 GeV2. Dit verbandwijst op een roterende relativistische ’string’. Om dat te laten zien gebruiken wedezelfde semi-klassieke aanpak als bij het waterstofatoom. Voor de snelheid van eenrelativistische string geldt v/c = r/R, zodat de bijna massaloze quarks aan de uiteinden(r = R) met de lichtsnelheid bewegen. De energie per lengte is precies de spanningT0, tenminste als de string stil zou staan. Voor de roterende string is de energie perlengte dan T0 γ = T0/

√1− v2/c2, terwijl de bijdrage per lengte aan het impulsmoment

(T0γ/c2) v r is. We vinden

r

R

v

c

LT dr0

E = M c2 =

∫ R

−Rdr

T0√1− v2/c2

= T0R

∫ 1

−1

dx1√

1− x2= π T0R,

L =

∫ R

−Rdr

T0 v r

c2√

1− v2/c2

=T0R

2

c

∫ 1

−1

dxx2

√1− x2

=π T0R

2

2 c.

Uit deze twee vergelijkingen kan R opgelost worden en volgt het verband tussen L enM2,

L

h=

1

2π hc T0

M2c4,

dus 1/α′ = 2π hc T0. Zo volgt uit het gemeten verband tussen impulsmoment en massain het kwadraat van mesonen direct de stringspanning T0 = 0,9 GeV/fm. Overigenswerkt het ook voor baryonen, met aan de uiteinden een en twee quarks respectievelijk.

constante kracht tussen de quarks op grote afstanden. Een constante kracht betekentook dat er een oneindige energie nodig is om de quarks uit elkaar te trekken. Dit leidttot de onvermijdelijke opsluiting van de quarks in kleur-neutrale combinaties. Dat kanin een meson via een quark en een antiquark met complementaire kleurlading, maar ookmet alleen maar quarks. Dan zijn wel alledrie de kleurladingen nodig om een neutralecombinatie te maken (dat is ook de reden van de keuze van de naam ’kleurlading’). Om-dat quarks en/of antiquarks zo sterk bij elkaar gehouden worden kunnen ze aangeslagentoestanden vormen met een hoog impulsmoment. In een kader is uitgelegd hoe uit hetverband tussen de massa’s van die toestanden en het impulsmoment direct de sterkte vande kracht tussen kleurladingen gevonden wordt.

Voor zover nu bekend zijn de quarks ondeelbaar. We weten dat hun afmetingen inieder geval kleiner zijn dan 10−18 m (dat is 1/1000 van het proton). Ook de quarks in hetproton bewegen (net als elektronen in het atoom en net als nucleonen in de atoomkern) inquantummechanische banen, beschreven door een golffunctie. Voor de quarks is de energiein die banen veel groter dan de energiebijdrage van de massa. De quarks in nucleonen zijndus ultra-relativistisch. Zoals we zullen zien heeft dit ook tot gevolg dat er voortdurendquark-antiquark paren verschijnen en weer verdwijnen.

3.4. FAMILIES VAN DEELTJES 43

De massa van het proton en de massa’s van de quarksOpmerkelijk aan de quarks in een nucleon zijn ook de massa’s. De quarks zijn nietmeer dan 10 - 20 maal zo zwaar als een elektron, maar het uiteindelijke resultaat vanhet systeem van drie gebonden quarks, een proton, is maar liefst bijna 2000 maal zozwaar als een elektron. Het is een prachtige illustratie van het wezen van massa als deenergie van een systeem in rust, terwijl er in het inwendige van alles gebeurt.Een goed beeld geeft het model van het proton als eendruppel met straal R ≈ 0,8 fm, waarin de energiedicht-heid hoger is dan de omgeving. Het verschil B ≈ 100MeV/fm3 correspondeert met een druk B op de druppel.De quarks met massa mq c

2 ≈ 10 MeV hebben een im-puls bepaald door de uitgebreidheid van de golffunctie(quantummechanica!), zo ongeveer de afmeting van dedruppel. Dus pc ∼ hc/R ≈ 250 MeV. Voor hun energievinden we dan zo’n 250 MeV (volgens vgl. 1.1). Driequarks samen met de energie ten gevolge van de drukop de druppel (bijdrage B × volume = (4π/3)BR3) ge-ven de energie van de totale druppel. En dat is dan demassa van het proton, mpc

2 ≈ 938 MeV.

RB

Antideeltjes

Voor alle quarks en leptonen zijn er corresponderende antideeltjes, waarvan het antideeltjevan het elektron (het positron e+) het langstbekende is. Antideeltjes hebben vergelekenmet de deeltjes tegengestelde ladingen, maar identieke massa’s. Drie quarks kunneneen kleur-neutrale combinatie vormen (baryonen) maar ook een quark en een antiquarkkunnen een kleur-neutrale combinatie vormen (mesonen). De lichtste mesonen zijn depionen met massa’s rond mπ = 140 MeV/c2. Er zijn drie ladingsvarianten voor de pionen,π+, π0 en π−. De opbouw van de geladen pionen is geıllustreerd in figuur 3.13. Het π0

is een quantummechanische lineaire combinatie van uu en dd. De leeftijd van het π0

deeltje is veel korter dan die van de geladen pionen, omdat de quark en antiquark kunnenannihileren. Het π0 deeltje vervalt met halfwaardetijd τ = 8 × 10−17 s in 2 fotonen,π0 → γγ.

3.4 Families van deeltjes

De bij botsingen in versnellers gecreeerde deeltjes en antideeltjes bevatten niet alleendeeltjes opgebouwd uit de lichtste quarks (up en down), maar ook deeltjes opgebouwduit andere quarks. Zo bestaan er mesonen opgebouwd uit een strange (vreemde) quarkmet lading −1

3e en een anti-up quark met lading −2

3e, het K−-meson. Ook bestaan er

baryonen met vreemde quarks, bijvoorbeeld het neutrale Λ-deeltje met als quark-inhoududs of de Ξ− en Ξ0-deeltjes met quark-inhoud dss en uss respectievelijk. Het Ω−-baryonbevat zelfs alleen maar vreemde quarks, sss. Deeltjes met vreemde quark hebben eengrotere massa, omdat de vreemde quark zwaarder is dan de up en down quarks. Demassa van de vreemde quark is ongeveer ms ≈ 150 MeV/c2. In totaal kennen we zesquark smaken met oplopende massa’s. Naast de up, down en strange quarks, kennen


(pionen)

ν+

π

π

_+

=

−νe e

dudu

u d

= ud

QUARKS ANTIQUARKS

ANTILEPTONENLEPTONEN

up down up down

neutrinopositronneutrinoelektron

e− +eANNIHILATIE

+− e e energie

Figuur 3.13: De quarks en leptonen (van de eerste familie) en hun antideeltjes. Deeltjesen antideeltjes kunnen annihileren, bijvoorbeeld in botsingen van elektronen en positronen(zoals in de LEP versneller gebeurde). De vrijkomende energie kan weer worden gebruiktom deeltjes en corresponderende antideeltjes te creeren.

we de charm quark (Q = +23e, mc ≈ 1.5 GeV/c2), de bottom quark (Q = −1

3e, mb ≈ 5

GeV/c2), en de top quark (Q = +23e, mt ≈ 175 GeV/c2). Qua massa is de top quark bijna

net zo zwaar als de atoomkern van Au (goud). Ook in de leptonsector zijn er naast hetelektron en neutrino, twee nieuwe families met weer ieder een negatief geladen lepton eneen (bijbehorend) neutrino. Het muon (µ−) en antideeltje (µ+) hebben massa’s van 106MeV/c2, het tau-lepton (τ−) en antideeltje (τ+) hebben massa’s van 1 777 MeV/c2. Naastde geladen leptonen zijn er ook bijbehorende (linkshandige) neutrino’s en (rechtshandige)anti-neutrino’s. De neutrino’s zijn veel lichter dan de lichtste quarks en leptonen, metmassa’s ver onder de eV/c2. Ze komen verderop nog uitgebreid aan bod.

De drie families van quarks en leptonen, hun antideeltjes en de krachtdeeltjes (ziefiguur 3.14) vormen de basis van het zogenaamde standaardmodel. Naast het foton en degluonen als de massaloze krachtdeeltjes van de elektromagnetische en kleur wisselwerkin-gen zijn er bij de krachtdeeltjes nog de zware W+- en W−-bosonen (circa 80 GeV/c2) enhet Z0-deeltje (ca 91 GeV/c2). Deze deeltjes spelen een rol in de zwakke wisselwerkingen,o.a. verantwoordelijk voor beta-verval van atoomkernen en het verval van het neutron. Opquark-niveau wordt het verval van het neutron vertaald naar het verval van een d-quarknaar een u-quark met als tussenstap de vorming van een W−-deeltje,

d −→ u+W− −→ u+ e− + νe.

Op dezelfde manier vervallen in principe alle zwaardere quarks naar lichtere, bijvoorbeeld

s −→ u+W−,

b −→ c+W−,

t −→ b+W+.

De W±-deeltjes kunnen behalve naar leptonen ook weer vervallen naar quarks die daarnaweer met quark-antiquark paren recombineren tot kleur-neutrale hadronen, bijvoorbeeld

W+ −→ u+ s −→ u+ d d+ s −→ (u d) + (d s) −→ π+ +K0.

3.4. FAMILIES VAN DEELTJES 45

− ν

− ν

µ

τ

µ

τ

e

+ +

− ν

up down elektron neutrino

neutrinomuon

neutrinotaubottomtop

charm strange

u d e

c s

t b

ANTIQUARKS ANTILEPTONEN

Familie 3

Familie 2

Familie 1

QUARKS LEPTONEN

+

Gγ 0 − +

graviton foton W, Z bosonen 8 gluonen

g W Z W

+ KRACHTDEELTJES

zwakke krachtgravitatie

elektromagnetisme sterke kracht

Figuur 3.14: De drie fami-lies van deeltjes en de kracht-deeltjes die uitgewisseld wor-den in de interacties tussendeeltjes.

Het aantal families

We hebben het over de drie families van deeltjes gehad en over de krachtdeeltjes. Een vandie deeltjes is ook het Z0 deeltje. Ook dat heeft te maken met de zwakke wisselwerkingen,maar omdat het neutraal is kan het niet zoals de W -deeltjes smaken veranderen. Voorneutrino’s, die geen sterke en geen elekromagnetische krachten voelen, is het wel het enigerelevante krachtdeeltje. Het wordt uitgewisseld als een neutrino botst met een proton,maar omdat het zo zwaar is (mZc

2 = 91.2 GeV) werkt deze kracht slechts tot op afstandenter grootte van de Compton golflengte van het Z-deeltje, −λZ = h/mZc ≈ 2× 10−18 m.

Het Z0 deeltje leeft overigens niet zo lang zoals we al in hoofdstuk 1 (zie figuur 1.4)hebben gezien. Het is een brede, maar wel heel karakteristieke piek die gezien wordt inde botsing van elektronen en hun antideeltjes, veroorzaakt door de reaktie

e− + e+ −→ Z0.

Deze reactie wordt gevolgd door de verschillende vervalsmogelijkheden,

Z0 −→ q + q (met q = u, d, s, c en b),

Z0 −→ e− + e+ (idem met µ en τ),

Z0 −→ νe + νe (idem met νµ en ντ ).

Merk op dat het verval naar de combinatie van top + anti-top quark niet mogelijk isomdat de gecombineerde massa van die eindtoestand veel groter is dan die van het Z0-deeltje. Dat is wel wat anders dan de gecombineerde massa’s van de neutrino’s die inessentie nul is vergeleken met die van het Z0-deeltje. Van al de vervalswijzen zijn dienaar eindtoestanden met quarks en geladen leptonen ook gemakkelijk waar te nemen,waarbij de quarks niet rechtstreeks gezien worden, maar net als aangegeven bij het verval


van een W+-deeltje recombineren tot mesonen of baryonen. De neutrino’s worden in dedetectoren van deeltjesversnellers echter niet gezien. Daar zijn iets grotere detectorenvoor nodig zoals we in een volgend hoofdstuk zullen zien.

Het standaardmodel stelt ons overigens wel in staat de bijdrage van de neutrino’s exactte berekenen. Die bijdrage opgeteld bij alles wat is waargenomen moet overeenkomen metde waargenomen piek. Dat klopt voor drie families van neutrino’s (zie figuur 3.15). Ineen eventuele vierde familie waarvan de quarks en leptonen te zwaar zijn om bij te dragenin het verval van het Z0-deeltje, moet dus ook het neutrino zwaar zijn (d.w.z. minstensde helft van het Z0-deeltje). Conclusie, de familiestructuur zoals we die nu kennen metuitermate lichte neutrino’s beperkt zich tot de 3 families in figuur 3.14.

EZ

σ [mb]

ν

ν

N = 3

N = 4

N = 2ν30

10

20

M c 2

Figuur 3.15: De resonantiepiek van het Z0-deeltje in elektron-positron botsingen zoals diewordt berekend wanneer er wordt uitgegaan vanvervalsmogelijkheid naar 2, 3 of 4 neutrino-antineutrino paren. Het geval Nν = 3 komtexact overeen met de waargenomen piek (zie fi-guur 1.4).

Waarom er in het standaardmodel drie families zijn, waar de massa’s vandaan komenen een verklaring voor de diversiteit van die massa’s zijn nog open vragen. Misschiendat het nu waargenomen Higgs deeltje met een massa van Mhc

2 = 126 GeV hier nieuweaanknopingspunten biedt.

En aangezien het volledige antwoord ook niet gevonden wordt in de volgendehoofdstukken betekent dit ook wachten op nieuwe resultaten van de LargeHadron Collider in CERN of een mogelijke nieuwe versneller, of misschienvinden we hints in de kosmos.

Hoofdstuk 4

Met vereende krachten

In het dagelijks leven hebben we met een heleboel krachten te maken. Die zijn echterterug te voeren tot twee basiskrachten, zwaartekracht en elektromagnetisme. Met namede laatste is een mooi voorbeeld, hoe een veelheid aan krachten gevangen kan wordenin een theorie. Bijvoorbeeld wrijvingskrachten, toch wel zo’n beetje de meest essentielekracht die ons in staat stelt recht overeind te staan en de zwaartekracht te weerstaan, isterug te voeren tot krachten tussen moleculen en atomen. Microscopisch zijn de krachtentussen neutrale moleculen, waaronder de van der Waals krachten, terug te voeren opniet-homogene verdeling van elektrische ladingen binnen de moleculen. Hetzelfde geldt inveel gevallen voor de krachten binnen de moleculen waar neutrale atomen bijeengehoudenworden doordat binnen een atoom de elektronenbanen kleine verstoringen ondervindendoor de aanwezigheid van andere atomen in de buurt.

Elektromagnetisme is ook een unificatie van elektrische en magnetische krachten. Ter-wijl statische elektrische ladingen aanleiding geven tot krachten op andere ladingen, waar-van de richting en de grootte met elektrische velden (kracht per lading, 1 Volt = 1 N/C)wordt beschreven, geven bewegende ladingen (stromen) ook nog eens aanleiding tot krach-ten die gevoeld worden door bewegende ladingen. Deze effecten worden beschreven metmagnetische velden.

4.1 Gravitatie en kromming van ruimte-tijd

Gravitatie of zwaartekracht heeft massa als bron van de kracht. Massa kan alleen positiefzijn. Alle massa’s trekken elkaar aan. Massa is ook niet gequantiseerd zoals ladingen.Het merkwaardige van massa is dat het niet alleen de bron is van een kracht (de zwaar-tekracht), maar dat het ook bepaalt hoe op een kracht (en dat kan elke kracht zijn)gereageerd wordt, d.w.z. welke versnelling de massa krijgt. Dit staat bekend als het equi-valentieprincipe. Op Aarde heeft het als consequentie dat alle massa’s ten gevolge vande zwaartekracht een even grote versnelling krijgen (meestal uitgedrukt als ’even snelvallen’), tenminste als we complicaties zoals luchtwrijving buiten beschouwing laten. Dezwaartekracht is daarmee intrinsiek verwoven met de structuur van ruimte en tijd. Hetequivalentieprincipe, het feit dat massa zowel de rol van trage als die van zware massaspeelt, leidt in combinatie met de speciale relativiteitstheorie tot de algemene relativi-teitstheorie.

De algemene relativiteitstheorie beschrijft hoe massa de structuur van ruimte en tijdverandert zodanig dat in die gekromde wereld alle deeltjes vrij en ’rechtdoor’ bewegen. De

48 HOOFDSTUK 4. MET VEREENDE KRACHTEN

Gekromde ruimteEen eigenschap van een gekromde ruimte is dat twee evenwijdig lijnen elkaar toch kun-nen kruisen (positieve kromming) of juist van elkaar afbewegen (negatieve kromming).

R

α

S

Dat is hiernaast geıllustreerd bij een bol.In een rechte lijn vertrekkende vanafde zuidpool in verschillende richtingenwordt de beweging parallel bij de eve-naar, waarna de lijnen op het noordelijkhalfrond weer naar elkaar toebewegen entenslotte op de noordpool weer kruisen.

De kromming van een bol wordt gegeven door k = 1/R2. Bijvoorbeeld, de krom-ming van een voetbal is k ≈ 50 m−2. De kromming van de Aarde is veel kleiner,k ≈ 2, 8 × 10−14 m−2. De straal kunnen we niet direct meten als we op de bol zitten,maar we kunnen wel zien dat er iets gebeurt met evenwijdige lijnen of met driehoeken.In de oppervlak S omsluitende driehoek starten twee evenwijdige lijnen vanaf de eve-naar die op de pool kruisen. Dus is de som van de hoeken meer dan 180 graden. Hieruitis de kromming te bepalen als k = α/S waar we de hoek α uitdrukken in radialen envoor S de oppervlakte van de driehoek invullen.

waarnemer die uitgaat van een niet-gekromde ruimte ziet dat de deeltjes worden afgebogen(zie kader). Daar kan de aanwezigheid van massa uit worden afgeleid, onafhankelijk ofdie massa nu licht geeft of niet.

Overigens worden ook massaloze deeltjes, zoals fotonen, afgebogen in de gekromdetijd-ruimte. De verificatie van deze door Einstein gedane voorspelling was indertijd zeeropzienbarend en bevestigde de theorie. Tegenwoordig wordt de afbuiging van licht juistgebruikt om massa’s te zoeken. Bijvoorbeeld om te zoeken naar donkere materie in dehalo van ons melkwegstelsel. Een tussen ons en een ververwijderd sterrenstelsel bewe-gend donker object veroorzaakt als een soort lens een focusering van het licht van zo’nsterrenstelsel met als gevolg dat tijdens de passage een versterking van de lichtintensiteitoptreedt. Een andere toepassing is het op kosmische schaal zoeken naar zeer ververwij-derde sterrenstelsels die door dichterbij staande massieve sterrenstelsels juist zichtbaarworden of die zich verraden doordat er meerdere beelden van ontstaan.

De koppeling van massa aan de structuur van ruimte en tijd, heeft als consequentiedat bewegende massa’s gravitatiegolven veroorzaken, trillingen van ruimte en tijd. Dit isniet anders dan dat bewegende ladingen elektrische en magnetische golven genereren. Netals voor het genereren van radiogolven energie nodig is, is dat ook nodig voor gravitatie-golven. Om de effecten te meten is eigenlijk niet meer nodig dan een ontvanger, al moetdaar wel rekening worden gehouden met het karakter van gravitatiegolven. Die hebbeneen quadrupool karakter waarbij voor een golf bewegend in een richting (zeg z-richting) pe-riodieke uitzetting-inkrimping in een van de loodrechte richtingen (zeg x-richting) preciesgecompenseerd wordt door een periodieke inkrimping-uitzetting in de andere loodrechterichting (zeg y-richting). Dit is precies wat gravitatie-detectoren (zoals LIGO en VIRGO)via lengtevariaties in twee loodrechte richtingen meten en waarmee er nu een heel nieuwemanier is gevonden om zwarte gaten en neutronensterren te bestuderen. Het idee vaneen toekomstige ondergrondse EINSTEIN telescoop is om dit in een driehoeksopstellingte realiseren en daarna met een driehoeksconfiguratie van satellieten (LISA).

4.1. GRAVITATIE EN KROMMING VAN RUIMTE-TIJD 49

Gravitatie en kromming van ruimte-tijdEen gedachtenexperiment: pendelende capsules die vrij vallend van de ene naar deandere kant van de Aarde bewegen.

5 m

afstand

16 km

42 min

tijd

hoogte (m)

5

−5tijd (s)

321

De kromming van ruimte-tijd is te bepalen uit de beweging van vallende objecten.Bijvoorbeeld via het in de figuur geschetste gedachtenexperiment, waarbij twee capsulesdoor een schacht van de ene kant van de Aarde naar de andere kant ’vallen’. Als eencapsule wordt losgelaten valt deze naar het centrum van de Aarde. Na 1 seconde isde capsule 5 m gevallen (1

2g t2), na 2 seconden 20 m, etc. Met een beetje rekenwerk

blijkt hij met zo’n 8 km/s door het middelpunt van de Aarde te zoeven en daarna weerlangzamer te gaan, totdat hij aan de andere kant precies weer tot stilstand komt (evenafgezien van wrijving e.d.). De trip duurt 42 minuten. Als we niets doen valt de capsuledan weer naar het middelpunt om bij het startpunt weer tot stilstand te komen, etc.De banen van 2 seconden na elkaar pendelende capsules in de figuur kunnen vergelekenworden met de 2 rechte lijnen (meridianen) op de bol in het vorige kader. De lengte vande meridiaan is ’πR’ en correspondeert met 42 minuten wat uitgedrukt als een lengte(vermenigvuldigen met lichtsnelheid) πR = 7, 5×1011 m geeft. We kunnen ook met dehoek α werken. In het begin verwijderen de capsules zich met 20 m/s van elkaar. Datcorrespondeert met α. Bedenkend dat 1 s = 3 × 108 m vinden we α = 0, 67 × 10−7.Uit de afstand van de capsules wanneer ze de maximale afstand hebben bereikt bijhet middelpunt van de Aarde (16 km, want in tijd lopen ze 2 seconden uit elkaar ende snelheid was daar 8 km/s) en de hoek α kunnen we ook de ’straal’ van de bol inruimte-tijd berekenen, R = (16 km)/α = 2, 4× 1011 m, hetzelfde resultaat als uit ’πR’.


Gravitatie en kromming van ruimte-tijd (vervolg)Samenvattend vinden we voor de kromming van de ruimte-tijd

k = 1/R2 = 1, 6× 10−23 m−2,

echt klein! En het gaat hier om de kromming van de vier-dimensionale tijd-ruimte tengevolge van de massa van de Aarde.

Een van de consequenties van kromming van ruimte tijd is dat een ongestoorde bewegingvan licht zich manifesteert als een gekromde baan. En net zoals lenzen lichtstralen af-buigen kunnen massa’s fungeren als lenzen voor licht. Licht kan zelfs zo sterk afgebogenworden dat het niet meer kan ontsnappen. Voor een massa M staat deze afstand bekendals de Schwarzschild straal RS,

RS =2GM

c2, (4.1)

Een object waarvan de afmeting kleiner dan of gelijk aan de Schwarzschild straal is heeteen zwart gat. In figuur 4.1 is dat het gebied rechtsonder in de figuur. Alles binnen dezestraal, ook wel de event horizon genoemd, is onzichtbaar. Een deeltje dat van buiten dezestraal komt zal op de horizon terechtkomen inclusief alle informatie die het deeltje bevaten onzichtbaar worden van buitenaf.

λc

R s

melkweg

centrum

proton

bowlingbal

Black hole

Zon

heelal

Planck

−20 −10 0 10 20 30 40 50

QM + relativiteit

elek

tron

neu

trin

o

−40 −30log M[kg]

−40

−30

−20

−10

0

10

20

log L

[m]

Figuur 4.1: Zijn elementaire deeltjes zwarte gaten? In de figuur is langs de horizontaleas de massa is uitgezet en langs de vertikale as de afmeting L. Beide schalen zijn loga-rithmisch. Ook zijn als functie van de massa aangegeven de Compton golflengte −λC en deSchwarzschildstraal RS.

4.2. LADINGEN EN KRACHTDEELTJES 51

Maar hoe zit het dan met elektronen die voor zover we nu weten puntdeeltjes zijn.Nog afgezien van het feit dat de Schwarzschildstraal voor een elektron veel kleiner is danwat we als bovengrens voor de elektronstraal kennen, is voor elektronen positie dan allang geen goed gedefinieerde grootheid meer. De daarvoor relevante grens is de Comptongolflengte

−λC =h

Mc. (4.2)

In figuur 4.1 liggen afmetingen kleiner dan de Compton golflengte horende bij een bepaaldemassa in het gebied linksonder. Als je dit soort afstanden kunt onderzoeken vliegen dedeeltjes en antideeltjes je om de oren. Een Compton golflengte is dan ook de ’schil’ rondeen zwart gat, waar sprake is van Hawking straling. Hier worden deeltje-antideeltje parengecreeerd waarbij het deeltje kan ontsnappen en het anti-deeltje op of in het zwarte gatterechtkomt. Netto is er dan een deeltje ontsnapt uit het zwarte gat. Op deze manierkunnen zwarte gaten ’verdampen’. De massa en afmeting waar de Schwarzschildstraal ende Compton golflengte samenkomen is de Planck schaal. De Planck massa is gedefinieerdals

MPl c2 =

√hc5

G= 1, 22× 1019 GeV, (4.3)

(MPl ≈ 0, 02 mg). De corresponderende Compton golflengte is de Planck lengte,

LPl =

√hG

c3= 1, 6× 10−35 m. (4.4)

De Schwarzschildstraal van een Planckmassa is dan RS = 2LPl.

4.2 Ladingen en krachtdeeltjes

Vergeleken met de zwaartekracht, ligt aan de andere krachten een heel ander principe tengrondslag. Het verbazingwekkende is wel dat het voor alle krachten hetzelfde principeis, namelijk waarbij bepaalde soorten lading als bron fungeren. Beginnen we met deelektromagnetische krachten. Elektrische ladingen, al dan niet bewegend, vormen debron voor de krachten. Ze kunnen positief of negatief zijn. Gelijksoortige ladingen stotenelkaar af, tegengestelde (ook wel complementaire) ladingen trekken elkaar aan en kunnenelkaar neutraliseren. De kleinst gemeten elektrische lading is 1, 6×10−19 C, gemeten voorbijvoorbeeld een proton (positief), hoewel er zoals we gezien hebben in een proton quarksmet fracties van deze eenheidslading voorkomen. Een elektron heeft een lading met exactdezelfde grootte als die van het proton, maar dan negatieve lading. Een positron, hetanti-elektron, heeft juist weer een positieve lading. Er bestaan ook deeltjes met andereladingen, zoals het ∆++ deeltje met lading +2 e.

In de subatomaire wereld zijn er naast zwaartekracht en elektromagnetische krachtennog twee andere krachten aan het werk, namelijk de sterke en de zwakke kracht. Maarde elektromagnetische, de sterke en de zwakke krachten werken wel volgens eenzelfdefundamentele principe, namelijk dat van de zogenaamde ijktheorieen. In dat opzichtwijkt de zwaartekracht af en is misschien wel de slechtstbegrepen kracht.

Terug naar de andere krachten. Ook al is er een universeel principe, toch zijn er groteverschillen, maar die zijn terug te voeren op de ladingen. De bron van de sterke kracht isde kleurlading van de quarks. Er zijn drie kleuren (voor de quarks) en drie complementaire


kleuren (voor de antiquarks). Net zoals het bestaan van twee rotatiemogelijkheden, links-of rechtshandig ten opzichte van bewegingsrichting, eR eL voor elektronen en qR qLvoor quarks, is het bestaan van elke quark en antiquark smaak in drie kleuren,

qr qg qb︸︷︷︸q

qr qg qb︸︷︷︸q

een voorbeeld van een symmetrie. We hebben de kleuren hier aangegeven met r, g en b(lees rood, groen en blauw). Het neutraliseren van kleur is mogelijk door het combinerenvan drie kleuren (of anti-kleuren) of door het combineren van kleur en anti-kleur.

Perfecte symmetrieen zijn overigens niet zo gemakkelijk te zien. Denk maar eens aaneen biljartbal. Pas als je er een stip opgezet hebt om de symmetrie te ’breken’ kun jeiets zeggen over posities op het balletje, en dan heb je nog steeds een symmetrie overcorresponderend met rotaties om de as door dat punt en het middelpunt. Pas als jenog ergens een stip zet (en dat moet dan niet net het tegenovergestelde punt zijn) isde symmetrie helemaal gebroken en kun je de positie op het balletje vastleggen. Denkmaar aan de keuze van Greenwich naast de Noordpool om de nulmeridiaan op de Aardevast te leggen. Op dat moment kun je alle punten vastleggen met twee coordinaten, dieper punt verschillen, maar dat neemt niet weg dat er nog steeds sprake is van symmetrie.Bijvoorbeeld, in ieder punt is de kromming hetzelfde omdat de afstand tot het middelpuntsteeds hetzelfde is.

Aan de basis van de ijktheorieen ligt de symmetrie van de ladingen. Zoals we inhet vorige hoofdstuk gezien hebben worden krachten overgebracht via de uitwisseling vankrachtdeeltjes. De symmetrie van de ladingen bepaalt welke soort en hoeveel kracht-deeltjes er uitgewisseld kunnen worden. De symmetrie vereist dat er voor een ladingdie in N varianten voorkomt meerdere krachtdeeltjes uitgewisseld kunnen worden. Zo iser van elektrische lading maar een variant (die weliswaar positief en negatief kan zijn)waarvan de grootte in termen van de elementairlading e gegeven wordt door eenvoudigegetallen (-1/3 en 2/3 voor quarks, -1 voor elektronen, 0 voor neutrino’s, en tegengesteldeladingen voor antideeltjes). Er is maar een krachtdeeltje, het foton, dat geen lading heeft.

Voor kleur zijn er drie varianten voor quarks en drie ’tegengestelde’ (geconjugeerde)varianten voor antiquarks. Om de krachten te beschrijven zijn er 8 gluonen nodig1. Dezecombinaties spelen dezelfde rol als de coordinaten op een bol. De rol van de straal vindenwe terug als de bij deze structuur behorende grootte van de kleurlading die wordt gegevendoor een getal gs, de koppelingsconstante van de sterke wisselwerkingen. Het ’sterke’van de sterke wisselwerkingen zit hem in de grootte van gs vergeleken met de sterktee. Rekening houdende met de eenheden gaat het bij de elektrische wisselwerkingen omα = e2/4πε0 hc ≈ 1/137 en bij de sterke wisselwerkingen om αs = g2

s/4π hc ≈ 1.In het standaard model van de elementaire deeltjes zijn de elektromagnetische krachten

ook onderdeel van een uitgebreidere symmetrie. De symmetrie is wat minder evident danvoor kleurladingen. Zo vormen het linkshandige neutrino νeL en het linkshandige elektroneL de twee ’ladingsvarianten’ van een deeltje (een doublet dus), terwijl het rechtshandigeelektron eR een deeltje is dat maar in een variant voorkomt (een singlet), dus we hebben

1De kleuren van de gluonen vormen alle mogelijke negen kleur-antikleur combinaties, zoals het rood-antiblauwe Gbr, met uitzondering van een ’kleurloze’ quantumtoestand rr + gg + bb. Een rode quark kanbijvoorbeeld in een blauwe overgaan onder uitzending van een rood-antiblauw gluon, qr → qb + Gbr.

4.2. LADINGEN EN KRACHTDEELTJES 53

drie linkshandige doubletten van leptonen,

ν0eL e−L︸︷︷︸ ν0

µL µ−L︸︷︷︸ ν0τL τ−L︸︷︷︸,

drie rechtshandige anti-doubletten van leptonen

e+R ν0

eR︸︷︷︸ µ+R ν0

µR︸︷︷︸ τ+R ν0

τR︸︷︷︸en twee maal drie singletten van rechtshandige leptonen en linkshandige antileptonen

e−R µ−R τ−R e+L µ+

L τ+L .

Het zou misschien logischer zijn om i.p.v. ν0eL de notatie e0

L te gebruiken, maar uiteindelijkblijkt het neutrale lepton (neutrino) zich zo anders te gedragen dat dit niet gebruikelijkis. De lading kan dan worden weggelaten (dus νeL). Het ’andere’ gedrag van het neutrinoheeft alles met de krachtdeeltjes te maken.

De leptonen hebben naast de elektrozwakke ladingen geen kleurladingen, maar dequarks hebben naast hun kleurlading wel elektrozwakke ladingen. Het blijkt dat we ze indoubletten of singletten kunnen rangschikken. De zes soorten linkshandige quarks blijkenin drie doubletten gerangschikt te kunnen worden,

u+2/3

L d ′−1/3

L︸︷︷︸ c+2/3

L s ′−1/3

L︸︷︷︸ t+2/3

L b ′−1/3

L︸︷︷︸waarbij we de lading even expliciet hebben aangegeven (met daarnaast ook drie rechts-handige doubletten van antiquarks). De zes rechtshandige quarks kunnen in zes singlettengerangschikt worden,

u+2/3

R d−1/3

R c+2/3

R s−1/3

R t+2/3

R b−1/3

R

(met daarnaast ook zes linkshandige antiquark singletten). Bij de doubletten is er welsprake van een gekke quantummechanische kronkel in het standaardmodel (zie kader), dieoverigens zoals we verderop zullen zien wel een essentiele rol gespeeld heeft in de evolutievan de kosmos.

Omdat er meerdere ladingsvarianten zijn (doublet structuur) zijn er (net als bij dekleurlading) meerdere soorten krachtdeeltjes. Er zijn krachtdeeltjes die de deeltjes in eendoublet in elkaar kunnen veranderen. Dit zijn de W -deeltjes. Omdat de deeltjes in eendoublet verschillende elektrische ladingen hebben moeten deze krachtdeeltjes ook geladenzijn (W±). We hebben bijvoorbeeld e−L → νeL + W− en d′L → uL + W−. Daarnaastzijn er nog twee neutrale krachtdeeltjes (het foton γ en het Z0-deeltje). De symmetrietussen al deze krachtdeeltjes zit in het feit dat er maar een koppelingconstante is die desterkte van de krachten bepaalt, namelijk e. Deze vier krachtdeeltjes beschrijven zowel deelektromagnetische als de zwakke wisselwerkingen. Dat deze in de natuur niet even sterkzijn - de afzonderlijke naam ’zwakke wisselwerking’ zegt het al - komt door een anderfenomeen, spontane symmetriebreking dat we verderop zullen bespreken. Dit heeft totgevolg dat een krachtdeeltje, het foton, massaloos is, terwijl de andere drie massief zijn.Daarvoor gaan we hierna de werking van de krachtdeeltjes wat nader bekijken, maar nietna een presentatie van het intrigerende patroon van deeltjes in het bijgaande kader.


Met de introductie van de quantumgetallen hyperlading Y en (zwakke) isospin Ivoor de quarks, leptonen, hun antideeltjes en de elektrozwakke krachtdeeltjes zienwe een intrigerend patroon van deeltjes in iedere familie verschijnen. De hoogste enlaagste Y-waarden zijn Y = ±2, voor isospin is dat I = ±1. De Y -waarden komen infracties voor ter grootte van 1/3, isospin waarden alleen in heel- of halftallige waarden.De elektrische lading Q is bepaald door de twee quantumgetallen Y en I volgensQ = I + Y/2, en is constant langs diagonale lijnen. Het patroon waarin de quarks enleptonen (en hun antideeltjes) in driehoeken terug te vinden zijn, is suggestief voordiepere symmetrie. Een mogelijkheid is een opbouw uit kleinere supersymmetrischeblokken van rechts- en linkshandige bosonen en dito fermionen, maar dat vereistdan wel een een subtiel samenspel van ruimtelijke dimensies, kleuren en families (iknoem het de ’magie van drie’). De boson vrijheidsgraden manifesteren zich als dekrachtdeeltjes en het Higgsdeeltje, de fermion vrijheidsgraden manifesteren zich alsin drie dimensies levende kleurloze leptonen of als opgesloten gekleurde fractioneelgeladen quarks.

(bosonen) (fermionen)

4.3 Het theoretische raamwerk: veldentheorie

De beschrijving van de krachten middels de uitwisseling van krachtdeeltjes valt binnenhet theoretische raamwerk van de zogenaamde veldentheorieen. Dit theoretisch raam-werk maakt gebruik van quantummechanica en relativiteitstheorie. Het laatste komt met

4.3. HET THEORETISCHE RAAMWERK: VELDENTHEORIE 55

Menging van familiesIn de doubletten waarin de quarks gerangschikt worden komen specifieke lineaire com-binaties van de quarks voor, namelijk de d′-, s′- en b′-quarks. Dit zijn quantum-mechanische combinaties van de d-, s- en b-quarks, d′

s′

b′

=

Vud Vus VubVcd Vcs VcbVtd Vts Vtb

d

sb

.

Dit heeft als consequentie dat de (in de volgende paragraaf ter sprake komende) koppe-ling van bijvoorbeeld een u-quark aan een d′-quark, drie mogelijkheden in zich bergt,namelijk de koppelingen van de u-quark aan d, s en b-quark, met verschillende sterk-tes evenredig met de getallen in de ’meng-matrix’. Quantummechanisch kunnen ditbovendien complexe getallen zijn, al moet de matrix wel aan bepaalde voorwaardenvoldoen, die garanderen dat er bij overgangen uiteindelijk geen quarks verloren gaan(unitariteit).

+W

~e

+W

udV~e

+W

~eVus

+W

~eVub

ud’

d u us ub

name tot uiting als we de verschillende rollen bekijken die krachtdeeltjes kunnen spelen.Dit is geıllustreerd in figuur 4.2. Een in wezen identiek diagram (lijn met doorlopendepijl en daaraan gekoppelde wiggellijn) representeert een veelheid aan mogelijkheden. Delijnen en koppelingen representeren wiskundige bewerkingen waarmee recht toe recht aankan worden berekend wat de waarschijnlijkheid is waarmee een d-quark verandert in eenu-quark onder uitzending van een W−-deeltje dat op zijn beurt weer kan overgaan in eenelektron en een neutrino.

Behalve berekening van overgangswaarschijnlijkheden tussen quarks met verschillendesmaken kunnen ook botsingswaarschijnlijkheden worden berekend ten gevolge van de uit-wisseling van deeltjes en daaruit ook weer de kracht of potentiaal tussen deeltjes. Diversevoorbeelden van zulke potentialen hebben we al genoemd in het voorgaande hoofdstuk.Zo is de elektrische potentiaal tussen twee geladen deeltjes direct te berekenen uit deuitwisseling van een foton. Het bereik van een potentiaal wordt bepaald door de massavan het uitgewisselde deeltje, om precies te zijn door de Compton golflengte −λ = h/mc.De Coulomb potentiaal waarvan de waarde omgekeerd evenredig is met de afstand (1/rgedrag) heeft in principe een oneindig bereik, corresponderend met de uitwisseling vaneen massaloos foton. Ook voor gravitatie gedraagt de potentiaal zich omgekeerd evenredigmet de afstand en het graviton is naar verwachting dus ook massaloos. Gluonen zijn welis-waar ook massaloos, maar daar is de sterkte van de wisselwerking zo groot (gs ≈ 1) dat deuitwisseling van meer dan een gluon net zo waarschijnlijk is. Dat leidt tot de opsluitendeterm (evenredig met r) in de potentiaal tussen quarks. Dit is overigens nog niet analy-


+

+

+−−

−e−

e−

e

e

e

e−

νe

νeνe

νe

νe

νe

W+

W+

W+

WW

W

Figuur 4.2: De krachtdeeltjes kunnen op verschillende manieren een rol spelen; in interac-ties en bij creatie of annihilatie van een deeltje-antideeltje paar. De tijd in ieder diagramloopt van links naar rechts. De pijlen op de lijnen en/of de ladingen geven aan of we meteen deeltje (pijl naar rechts) of antideeltje (pijl naar links) te maken hebben. Zo zien weo.a. de emissie van een W+-deeltje in νe → e−+W+, de absorptie van een W− deeltje inνe + W− → e−, de creatie van een paar van deeltjes in W− → e− + νe en de annihilatiein νe + e+ → W+.

d

u

e−

νe

−W

n

p

e−

νe

−W

Figuur 4.3: De waarschijnlijkheid voor de overgang van een d-quark in een u-quark kanworden berekend met het Feynman-diagram in het linkerdeel van de figuur. Zoals al eerdergenoemd is het deze overgang die een neutron (udd) na gemiddeld 15 minuten in een proton(uud) transformeert onder uitzending van een elektron en een neutrino (zie figuur 3.7).

tisch bewezen, maar blijkt uit grootschalige computerberekeningen, waarbij de ruimte-tijdwordt opgedeeld in een rooster. In de berekeningen kunnen de quarks zich alleen op dehoekpunten van het rooster bevinden, terwijl de gluonen zich op de verbindingen tussendeze punten bevinden.

Ook als de uitgewisselde deeltjes zelf weer samengesteld zijn, zoals pionen die alskleurloze quark-antiquark druppels tussen twee nucleonen worden uitgewisseld, wordt hetbereik bepaald door de Compton golflengte. Voor pionen is dat −λπ = h/mπ c ≈ 1,4 fm,de afstand die we als de dracht van de kernkracht zijn tegengekomen in hoofdstuk 3.Omdat de uitgewisselde deeltjes bij de zwakke wisselwerkingen zo zwaar zijn hebben dieeen uitermate korte dracht. Voor een W -deeltje met een massa van 80 GeV is de Comptongolflengte maar 1/400 fm, veel kleiner dan de afmeting van een proton.

De sterkte van de wisselwerking komt ook heel duidelijk tot uiting in de botsings-waarschijnlijkheden. Beginnen we met de sterke wisselwerkingen met op het niveau van dequarks een sterkte gs ≈ 1. Dit betekent dat quarks die elkaar tegenkomen ook verstrooid

4.3. HET THEORETISCHE RAAMWERK: VELDENTHEORIE 57

10 −15 mσ = 4 x 10 m2−30

proton protongluonquark

quark

Figuur 4.4: De werkzamedoorsnede voor proton-protonverstrooiing (sterke kracht)correspondeert met de dwars-doorsnede van de deeltjes

foton

quark

α

α = 1/137

elektron

σ = 10 m2−32

σ = 10 m2−34

foton

proton

elektronproton

Figuur 4.5: De werkzamedoorsnede voor foton-protonen elektron-proton verstrooi-ing (via elektromagnetischekracht) is veel kleiner dan dedwarsdoorsnede van deeltjesvanwege de zwakke koppeling,α = e2/4πε0 hc ≈ 1/137

protonνe

νe

neutrino

α

α

quark

0Z

σ = 10 m2−45

Figuur 4.6: De werkzamedoorsnede voor neutrino-proton verstrooiing (zwakkekracht) is nog kleiner danin het geval van de elek-tromagnetische kracht. Deuitwisseling van een zwaardeeltje geeft een onderdruk-king van de orde van groottevan m4

π/m4Z ≈ 10−11.

worden. Aangezien we geen verstrooiingsexperimenten met quarks kunnen doen, kunnenwe bijvoorbeeld kijken naar de verstrooiing van twee protonen. De metingen kunnenvertaald worden in een effectieve oppervlakte waarmee het ene proton het andere ’ziet’.Deze oppervlakte heet de werkzame doorsnede en wordt aangegeven met σ. Voor protonenzal die effectieve oppervlakte dus zo ongeveer gelijk zijn aan de dwarsdoorsnede of zelfsiets groter omdat beide protonen een afmeting hebben, dus we verwachten iets tussenπ R2 en 4π R2. Voor een proton met een straal R ≈ 0, 8 fm (en dus π R2 = 2 fm2) blijktdat inderdaad goed te kloppen. De gemeten waarde voor de werkzame doorsnede is σ ≈ 4fm2 = 4× 10−30 m2, geıllustreerd in figuur 4.4

De invloed van de sterkte van de wisselwerkingen wordt heel goed geıllustreerd in dewerkzame doorsnedes voor elektromagnetische processen waarbij een foton botst met eenproton of waarbij zoals in de botsing van een elektron met een proton een foton wordtuitgewisseld. Iedere koppeling geeft een factor e, die in de botsingswaarschijnlijkheid inhet kwadraat voorkomt. In de botsing van een foton met een proton hebben we daaromeen werkzame doorsnede die typisch een factor α ≈ 1/137 kleiner is dan de ’echte’ dwars-doorsnede en in de botsing van een elektron met een proton typisch nog eens zo’n factor(zie figuur 4.5). Dat komt uitstekend overeen met de experimenteel gemeten kansen voordeze verstrooiingsprocessen.


Tenslotte blijkt er dan ook nog de invloed van de dracht van de kracht te zijn. Dedracht of reikwijdte van de kracht wordt bepaald door de Compton golflengte die om-gekeerd evenredig is met de massa van het uitgewisselde deeltje. Het effect blijkt metde vierde macht van de massa te gaan. In het geval van het neutrino, waarbij een zwaardeeltje wordt uitgewisseld, geeft dat vergeleken met de elektromagnetische botsingen voorde werkzame doorsnede nog eens een extra onderdrukking van m4

π/m4Z ∼ 10−11 (zie fi-

guur 4.6).

Botsings- en absorptielengteHoe groter de werkzame doorsnede, des te groter de waarschijnlijkheid dat er eenbotsing plaatsvindt waarbij het deeltje wordt verstrooid (bijvoorbeeld e + p → e + p)of geabsorbeerd (bijvoorbeeld γ + p → ∆ → n + π). De lengte L die in materie of ineen gas nodig is om voldoende botsingen te hebben wordt vanzelfsprekend ook bepaalddoor het aantal deeltjes. De weglengte in de materie die nodig is om er voor te zorgendat de werkzame doorsnede, de oppervlakte die een botsend deeltje ziet, de geheledwarsdoorsnede voor zo’n deeltje vult is gemakkelijk te berekenen. Als we in een blokmaterie n deeltjes per m3 hebben die elk σ bijdragen aan de werkzame doorsnede, dan’ziet’ een botsend deeltje in die 1 m3 materie met oppervlakte 1 m2 een werkzamedoorsnede nσ. Dat wil zeggen dat een lengte

L =1

nσ

nodig is om te zorgen dat de werkzame doorsnede de hele dwarsdoorsnede voor het bot-sende deeltje vult. Bij absorptie van deeltjes wordt dit de absorptielengte genoemd; hetcorrespondeert precies met de lengte die voorkomt in de vergelijking die de exponentieleafval van de intensiteit met de afstand beschrijft,

I(x) = I(0) e−x/L.

Laten we als voorbeeld de dichtheid van water nemen, 1 g/cm3, d.w.z. Nav = 6× 1023

nucleonen per cm3 oftewel n = 6 × 1029 nucleonen/m3. Voor fotonen vinden we daneen absorptielengte van ruim 100 m in water, en (met een dichtheid van ρlucht ≈0, 001 3 ρwater) vinden we een absorptielengte van zo’n 100 km in lucht. Aan dit laatstevoorbeeld zien we inderdaad mooi dat de lucht in principe transparant is. Maar zoals weweten hangt dat wel sterk van de golflengte van het licht af. De werkzame doorsnedesen daarmee ook absorptielengtes zijn in het algemeen afhankelijk van de energieen vande botsende deeltjes.Een tweede voorbeeld is de botsingslengte voor neutrino’s. De werkzame doorsnede isin dit geval weliswaar ook sterk afhankelijk van de energie (ruwweg evenredig daarmee),maar een werkzame doorsnede van 10−45 m2 bij een dichtheid van 1 g/cm3 betekenteen botsingslengte van meer dan een biljard km, bijna een lichtjaar. Voor neutrino’safkomstig van de Zon, is de werkzame doorsnede over het algemeen nog kleiner ende botsingslengte dus nog groter. De meeste neutrino’s die in het centrum van deZon (met een straal van ruim 1 miljoen km) worden geproduceerd vliegen er dan ookongehinderd uit.

4.4. DISCRETE SYMMETRIEEN 59

Figuur 4.7: Het spiegelbeeld van een tol isweliswaar een tol, maar het spiegelbeeld vaneen rechtsom draaiende tol is een linksomdraaiende tol.

4.4 Discrete symmetrieen

We zijn het begrip symmetrie al een aantal keren tegengekomen. Symmetrie in samenhangmet behoudswetten, zoals translatiesymmetrie en behoud van (totale) impuls, rotatie-symmetrie en behoud van (totaal) impulsmoment. Een bol is een voorbeeld van eenrotatie-invariant object. Je kunt het object draaien en er verandert niets. Een kaarsrechtespoorlijn is een voorbeeld van een translatie-invariant systeem. Dat is echter niet deessentie van de symmetrie. Het bestaan van een symmetrie betekent niet dat alles ooksymmetrisch moet zijn. Wat wel de essentie van een symmetrie is, is misschien het bestete illustreren met een eenvoudiger symmetrie, namelijk spiegelsymmetrie.

Denk aan je eigen spiegelbeeld of het in figuur 4.7 geschetste spiegelbeeld van eentol. Een tol is een spiegelsymmetrisch object en het spiegelbeeld is op het eerste gezichtidentiek. Echter, als de tol draait is er wel degelijk een verschil met het spiegelbeeld.De ’tol in de spiegel’ draait andersom. Het wezen van spiegelsymmetrie is niet of beelden spiegelbeeld identiek zijn, maar of beeld en spiegelbeeld beiden kunnen bestaan. Datis in onze macroscopische wereld ook steeds het geval. In de wereld van alledag, maarook in die van de atomen, moleculen en atoomkernen is spiegelsymmetrie een perfectesymmetrie. Dat sommige suikers een linksdraaiende molecuulstructuur hebben of dat hethart bij de meeste mensen aan de linkerkant zit doet daar niets aan af. In principe kande andere situatie bestaan.

Het bovenstaande moet wel meteen even genuanceerd worden. Spiegelsymmetrie is opsubatomair niveau niet meer perfect. Werkt het nog prima voor quarks en elektronen (ziebijvoorbeeld plaatje op voorpagina), wanneer we te maken krijgen met de zwakke krachtgaat het helemaal mis. Dat hebben we al gezien bij de opbouw van de materie. De quarksen leptonen komen in twee mogelijke draairichtingen (dat het er maar twee waren heeftmet de quantummechanica te maken), behalve het neutrino dat met betrekking tot zijnbewegingsrichting alleen linksom kan draaien. Het ontbreken van het ’spiegelbeeld’ (ziefiguur 3.8) duidt op de breking van de spiegelsymmetrie, ook wel pariteitsschending vande zwakke wisselwerkingen genoemd.

Overigens is niet alleen de pariteit geschonden bij de zwakke wisselwerkingen. Naastde spiegelsymmetrie of (pariteit P) is er ook wat aan de hand met de deeltje-antideeltjesymmetrie (conjugatie C). Zoals al opgemerkt in de tekst bij figuur 3.8 is een neutrino


alleen linkshandig (het vormt een doublet met het linkshandige elektron), terwijl het anti-neutrino alleen rechtshandig is (het vormt een doublet met het rechtshandige positron).Dus ook de deeltje-antideeltje symmetrie is volledig geschonden. Met de gecombineerdesymmetrie lijkt op het eerste gezicht niets aan de hand. Dat zou mooi zijn, want sa-men met een derde discrete symmetrie, tijdsomkeer (T) gaat de wereld in zichzelf over,geıllustreerd in figuur 4.8. Deze fundamentele CPT-symmetrie is een eigenschap van prak-tisch alle veldentheorieen, en ligt ten grondslag aan het feit dat deeltjes en anti-deeltjes,elementair of samengesteld, identieke of juist volledig complementaire eigenschappen heb-ben, identieke massa en identieke leeftijd, maar bijvoorbeeld tegengestelde lading.

ruim

tespie

gel (P

)

tijdspiegel (T) ladingspiegel (C)

Figuur 4.8: Banen van een ge-kleurd (rood) deeltje en wit anti-deeltje, zoals die in een serietijdsopnamen te voorschijn zou-den komen. Het spiegelbeeld vande serie linksboven is dan de se-rie rechtsboven, terwijl het ef-fect van het omkeren van de tijdde serie linksonder zou opleveren.De plaatjes verkregen na ruimte-spiegeling (rechtsboven) en tijds-omkeer (linksonder) zijn niet het-zelfde. Maar vervangen we in hetplaatje rechtsboven ook nog eensdeeltje en antideeltje (rood en wit)dan zien we dat de plaatjes links-onder en rechtsonder wel gelijkzijn. Dit illustreert de voor zoverwe nu weten perfecte CPT sym-metrie van de wereld, voor elek-tronen met twee spin-orientatiesgeıllustreerd op de titelpagina.

Maar laten we eens kijken naar mesonen opgebouwd uit een quark en een antiquark.Bijvoorbeeld het K0-meson is opgebouwd uit een d-quark en een anti s-quark, K0 = ds.

Het corresponderende anti-deeltje is K0

= ds. Beide zijn neutrale deeltjes. Maar de echtewereld bleek niet zo eenvoudig. Er zijn wel twee neutrale mesonen die in aanmerkingkomen, maar ze leven niet even lang en ook hun massa’s zijn ietsje verschillend. Dus hetkunnen niet zomaar elkaars antideeltjes zijn vanwege CPT-symmetrie. Maar daar is weleen mouw aan te passen. Een mogelijke oplossing is dat de twee neutrale deeltjes in de

natuur niet de K0 en K0

toestanden zijn, maar (wat quantummechanisch heel normaal

is) superposities hiervan namelijk K01 = (K0 −K0

)/√

2 en K02 = (K0 + K

0)/√

2. Zoiets

kan als de K0 in een K0

kan veranderen en dat kan (zie figuur 4.9) al is er uitwisselingvan twee zwakke krachtdeeltjes voor nodig, dus het is een miniscuul effect en het massa-verschil tussen de toestanden is ook erg klein. Deze twee combinaties K0

1 en K02 gaan

4.4. DISCRETE SYMMETRIEEN 61

niet langer in elkaar over als we deeltje door antideeltje vervangen, maar ze gaan met eenplusteken of een minteken in zichzelf over al moeten we daar zowel een deeltje-antideeltjetransformatie als een ruimtespiegeling (CP) toepassen. De toestanden zijn dan even ofoneven onder CP. Ze vervallen doordat de s-quark in een u-quark (of in een c- of t-quark,zie figuur 4.10) verandert en een zwak krachtdeeltje (W−). Na verstrooiing met de anderequark kan die anti-quark vervolgens het W -deeltje weer absorberen en in een d-quarkovergaan. De vrijkomende energie kan gebruikt worden om een extra quark-antiquark

paar te creeren en voila daar hebben we twee pionen. Voor de s-quark in het K0

krijgenwe een soortgelijk verval. Er is in deze processen zelfs nog net voldoende energie om nogeen paar te creeren en zo kunnen er ook drie pionen uitkomen. Maar de CP symmetriekan ook gebruikt worden voor samengestelde deeltjes. Dan blijkt dat systemen met tweeof drie pionen onder toepassing van CP ook in zichzelf overgaan en ook met een verschilin teken. Volgens de bij CP-symmetrie behorende behoudswetten, kan het K0

1 -deeltjedan alleen vervallen in twee pionen, K0

1 → ππ, terwijl het K02 -deeltje alleen kan vervallen

in drie pionen, tenminste als de gecombineerde CP-symmetrie een goede symmetrie is.Aangezien vervallen in twee pionen gemakkelijker gaat dan in drie (daar is de energievoor een extra creatie van quark-antiquark voor nodig) zal het K0

1 -deeltje veel korterleven dan het K0

2 -deeltje.

sd

K0

K0

s d

u,c,t

W

Wsd

K0

K0

ds

W W

u,c,t

Figuur 4.9: De overgang van K0 naar K0

is een gevolg van de menging tussen verschil-lende quark families. In de tussentoestand kunnen quarks uit alle drie families voorkomen.

Dit mooie schema blijkt echter ook niet helemaal te kloppen zoals al in 1964 werdontdekt. Het langstlevende deeltje bleek niet precies de K0

2 -toestand te zijn, maar ookeen klein beetje K0

1 in zich te hebben en kan daarom af en toe ook in twee pionen tevervallen. Bovendien bleek ook de K0

2 -toestand naar twee pionen te kunnen vervallen. Hetintrigerende is dat dit terug te voeren is op de menging die optreedt tussen de drie familiesvan quarks. Het feit dat de getalletjes die de menging van de drie families beschrijven(Vud, etc.) complex kunnen zijn heeft tot gevolg dat de uit de diagrammen in figuur 4.9

berekende som van bijdragen voor de antiquarks uit elk der families (u, c en t) in K0 → K0

u,d

ds

K0

K0

d

u,d

d

π

π

W

d

π

π

Ws

u,c,t u,c,t

+

d

d

u,d

u,d

Figuur 4.10: Het verval van K0 of K0

naar twee pionen. Bij dit verval kunnen er in detussentoestand deeltjes uit alle drie de families voorkomen.


niet exact gelijk is aan de bijdrage van de quarks (u, c en t) in K0 → K0, maar daarvoor

is dan wel het samenspel tussen alledrie de families van quarks nodig. Voor mesonen dieb-quarks bevatten is het effect naar verwachting veel sterker. Dat zal bij de LHC-versnellerin CERN geverifieerd worden.

Maar ook in het vroege heelal heeft het CP-schendende effect zijn sporen nagelaten.Zonder dit effect zou er evenveel materie als antimaterie in het heelal moeten zijn endat lijkt niet in overeenstemming met waarnemingen, maar daar komen we in een laterhoofdstuk op terug.

4.5 Spontane symmetriebreking en unificatie

Het bestaan van een onderliggende symmetrie lijkt erg gekunsteld. Bijvoorbeeld links-handige elektronen en neutrino’s worden als identiek beschouwd, slechts verschillend doorer een zwakke lading aan toe te kennen die de deeltjes identificeert als behorend tot eendoublet. Maar de deeltjes hebben wel verschillende massa’s. De koppeling aan de kracht-deeltjes mag dan wel dezelfde zijn, maar de krachtdeeltjes hebben ook weer verschillendemassa’s.

Figuur 4.11: De koppelingsconstantes, αi = g2i /4πhc voor de elektrozwakke kracht (α1 en

α2) en voor de sterke kracht (α3), geplot als 1/αi als functie van de schaal, hier gegeven alseen energieschaal. De sterke kracht neemt bijvoorbeeld af bij grotere energieen (is kleinereafstanden), bekend als asymptotische vrijheid. De krachten convergeren redelijk (links),een convergentie die nog verbeterd lijkt te worden bij het bestaan van supersymmetrie (ziehttp://nobelprize.org/nobelprizes/physics/laureates/2004/public.html).

Maar de symmetrie is er wel degelijk. Gegeven de symmetrie zijn de sterktes van dekoppelingen van alle quarks en leptonen aan fotonen, W en Z-deeltjes en de massa’s vande krachtdeeltjes in een theorie te vangen, waarbij allerlei eigenschappen van deeltjes alsquantumtoestanden van een deeltje zijn te vangen. De drie kleuren van de quarks zijn driemogelijke quantumtoestanden (qr, qg, qb) van een quark, die onder uitzending van gluonenin elkaar kunnen overgaan. evenzo de spin (of equivalent chirale) toestanden (qR, qL); ende linkshandige u en d-quarks zijn twee quantumtoestanden (uL, dL) van een linkshandigequark die onder uitzending of absorptie van W -deeltjes in elkaar kunnen overgaan, etc.

4.5. SPONTANE SYMMETRIEBREKING EN UNIFICATIE 63

Het feit dat we onderscheid kunnen maken tussen deze quantumgetallen betekent nietdat er geen symmetrie is, maar is een gevolg van het feit dat de symmetrie gebroken is.In eerste instantie lijkt het ook alsof er drie krachten zijn met verschillende sterktes, duseen samengaan van drie symmetrieen, bekend als SU(3)kleur⊗SU(2)isospin⊗U(1)hyperlading.Maar ook koppelingsconstantes zijn niet zo constant als de naam suggereert. Als we de af-standen kleiner maken of, equivalent, deeltjes laten botsen bij hogere energieen gaan quan-tumcorrecties een rol spelen. Een foton kan zich manifesteren als een elektron-positronpaar, een quark als een quark-gluon paar, etc. Deze ’aankleding’ van deeltjes veroorzaakteen schaal-afhankelijkheid in de massa’s en koppelingsconstantes. Voor de koppelingen,αi = g2

i /4πhc van de drie afzonderlijke symmetrieen is deze in figuur 4.11 gegeven. Hetverloop laat zien dat bij een energie van de orde van 1015 GeV (afstand 10−31 m) desterktes van dezelfde orde van grootte worden, wat wijst op een mogelijke overkoepelendegeunificeerde theorie (bekend als Grand Unified Theorie of GUT). Het blijkt inderdaadmogelijk een ’grotere’ symmetrie te bekijken, bijvoorbeeld SU(5) waar de drie kleurladin-gen en twee zwakke ladingen vijf ladingsvarianten vormen In dat geval kunnen we toe mettwee deeltjes (en corresponderende antideeltjes) weliswaar met een heleboel eigenschap-pen (zie kader). Binnen een nog iets grotere symmetrie (gebruikmakend van de rotatiesin een interne tien-dimensionale ruimte, SO(10)) kunnen we zelfs met een deeltje metzestien quantumtoestanden volstaan.

Dan lijken zowel deeltjes als krachten te convergeren op een schaal van 1015 GeV.De convergentie van de krachten kan zelfs beter worden wanneer er deeltjes bestaan metmassa’s in het bereik van 100 GeV en de unificatieschaal. Om alle quantumcorrectiesbovendien berekenbaar te houden zou het mooi zijn als er voor ieder van de bekendebosonen (deeltjes met heeltallige spin) een fermion zou zijn en voor ieder van de bekendefermionen (deeltjes met halftallige spin) een nieuw boson, dus bij de spin 1/2 quarks ookspin 0 squarks en bij het foton een spin 1/2 fotino, etc. In figuur 4.11 is de convergentiein die situatie ook gegeven. De uitgebalanceerde situatie van bosonen en fermionen staatbekend als supersymmetrie.

Het Higgs veld en het mysterie van massa

De prachtige symmetrie die hierboven geschetst is, is op schalen beneden de 100 GeV,d.w.z. afstanden groter dan 10−17 m niet meer aanwezig. In feite is de symmetrie erals we ’massa’ gewoon even afzetten, een voor theoretici onder de fysici niet meer danstandaardprocedure. Het mooie van het standaardmodel is dat je maar een ingredientnodig hebt om de massa en de breking van de symmetrie terug te krijgen, namelijk hetHiggs veld. Het Higgs veld is een veld dat zelf ook een aantal ladingen draagt als internevrijheidsgraden. Het Higgsveld is vergelijkbaar met perfect gladde bol waarvan de puntenop het oppervlak ononderscheidbaar zijn. In onze wereld is deze vrijheid echter niet meeraanwezig. In het afkoelende heelal na de oerknal (zie hoofdstuk 6) is het veld als hetware opeens vastgeklikt in een bepaalde configuratie. Dit definieert dan in de theoriehet vacuum, de lege ruimte. Bij het beeld van d gladde bol correspondeert dat met eenreferentiepunt op de gladde bol die het opeens mogelijk maakt structuur op de bol teonderscheiden. Net zoals een punt op een bol gebruikt kan worden om breedtegraden teonderscheiden, is het vastlopen van het Higgs veld verantwoordelijk voor het onderscheiddat we kunnen maken tussen elektromagnetische en zwakke krachten. Net zoals bij hetpunt op de bol lengtegraden nog steeds ononderscheidbaar blijven (daar is nog een tweede


De deeltjes van het standaardmodel zijn in SU(5) als de geunificeerde theorie onderte brengen als eigenschappen van twee deeltjes, een quintet (5-plet) en een decuplet(10-plet); dit laatste multiplet wordt geschreven in de vorm van een anti-symmetrische5× 5 matrix,

drdgdbe+

νe

R

en

0 ub ug ur dr−ub 0 ur ug dg−ug −ur 0 ub db−ur −ug −ub 0 e+

−dr −dg −db −e+ 0

L

.

Als we hier het linkshandige anti-quintet en het rechtshandige anti-decuplet aan toe-voegen hebben we precies alle deeltjes die we tot nu toe hebben gezien. Als we hierbovendien nog een singlet, νeR (en het linkshandige anti-singlet νeL) aan toevoegen(de noodzaak hiervoor wordt in het hoofdstuk over neutrino’s duidelijk) hebben wezestien deeltjes. Met een iets andere symmetrie (namelijk een gebruikmakend van eentien-dimensionale interne ruimte met daarin alle mogelijke rotaties, SO(10)) kunnenalle bekende deeltjes en het bovengenoemde neutrino singlet beschouwd worden als16 quantumtoestanden van een linkshandig deeltje (en het corresponderende rechts-handige antideeltje). Dat is pas unificatie.

keuze voor nodig), zo ook blijft er in de Higgs configuratie symmetrie over, bijvoorbeeldde 2 ladingsvarianten van de zwakke krachtdeeltjes (W±) zijn exact even zwaar. Over deprecieze aard van het Higgs veld willen we via experimenten met de Large Hadron Colliderbij CERN meer te weten komen. Het feit dat er een Higgs deeltje bestaat laat zien dat ernet als bij andere velden quanta horen die we met een deeltje kunnen identificeren. Opelementair niveau is dit het eerste deeltje zonder spin. Een van de zaken waar het Higgsveld een essentiele rol speelt is bij het genereren van massa van deeltjes. Massa’s zijn nietsanders dan manifestatie van de mate waarin deeltjes gevoelig zijn voor het Higgs veld.Voor het vastlopen (kort na de oerknal) konden quarks en leptonen ongehinderd (dat wilzeggen met de lichtsnelheid) bewegen, d.w.z. ze waren massaloos. In ons huidige heelalhindert de vacuumconfiguratie de quarks en leptonen, wat betekent dat ze, net als drievan de vier krachtdeeltjes, massa hebben. Over enige regelmaat in deze massa’s voor deverschillende families tasten we nog in het duister.

. . . en gravitatie dan?

Tot slot kan men zich afvragen hoe gravitatie hier bij past. We hebben al gezien datde quantumwereld en gravitatie uiteindelijk bij elkaar moeten komen omdat de Schwarz-schildstraal en de Compton golflengte samenkomen. De desbetreffende afstand, de Planck-lengte, LPl = 1, 6 × 10−35 m, ligt overigens nog wel 4 ordes van grootte verder dan deunificatieschaal voor de andere krachten. Op deze afstanden moeten we dan naast het feitdat alle krachten ongeveer even sterk zijn ook nog eens de quantummechanica combine-ren met de algemene relativiteitstheorie, maar het is nog maar helemaal de vraag of dezeconcepten dan in ongewijzigde vorm blijven werken. Consistentie en inpassing van deons bekende wereld lijkt op schier oneindig veel manieren mogelijk, maar vereist mogelijkwel een geheel nieuwe kijk op ruimte, tijd, aantal dimensies en het begrip van deeltjes als

4.5. SPONTANE SYMMETRIEBREKING EN UNIFICATIE 65

punten of meer-dimensionale structuren zoals snaren.Juist de koppeling van massa en ruimte-tijd biedt mogelijk ook een uitweg waar zwaar-

tekracht een heel andere soort kracht is, bekend als een entropische kracht. Hiervoor kijkenwe allereerst weer even naar het extreme geval, namelijk een zwart gat, waar alle infor-matie zich op het oppervlak bevindt. Bekenstein heeft beargumenteerd dat het oppervlakgemeten in ’Planck oppervlakjes’ L2

Pl precies correspondeert met het aantal microtoestan-den, zeg maar vrijheidsgraden,

n =A

L2Pl

=Ac3

Gh=

4π R2S c

3

Gh=

16π GM2

hc. (4.5)

We hebben al gezien dat via quantumeffecten een zwart gat ’verdampt’. De stralingvan een verdampend zwart gat correspondeert met die van een object met de Hawkingtemperatuur,

kTH =hc3

8π GM. (4.6)

De constante van Boltzmann is niets anders dan de omrekeningsfactor van energie naartemperatuur (k = 1, 380 649 × 10−23 J/kg). Net als in een gas met een bepaalde tempe-ratuur is 1

2kT precies de gemiddelde energie per vrijheidsgraad. Voor een zwart gat gaat

dit inderdaad ook netjes op. Het is eenvoudig te checken dat de energie wordt gegevendoor

Mc2 = n 12kTH . (4.7)

De link met het aantal vrijheidsgraden is door Verlinde gebruikt worden om een uit-drukking voor de zwaartekracht te vinden op een (bol)oppervlak met straal R en daar-binnen een massaconcentratie M . Het uitgangspunt is dat ook op dat boloppervlakhet aantal vrijheidsgraden geteld kan worden als het aantal Planck oppervlakjes, dusn = 4π R2 c3/Gh net als op het oppervlak van een zwart gat. Het weghalen van eentestmassa m (een Compton golflengte naar buiten) kost energie (kracht × weg) gegevendoor F∆R = F h/mc. Bij polymeren is dit een bekend thermodynamisch verschijnsel,gekoppeld aan de verandering van de entropie S bij de overgang tussen twee media. Derelatie hangt samen met de temperatuur, F∆R = T∆S. De entropie is gerelateerd aanhet aantal mogelijke microtoestanden Ω via S = k ln Ω. Deze verandering is dus evenredigmet de Boltzmannconstante k, laten we even poneren ∆S = 2π k waaruit dan volgt datT∆S = 2π kT . Gebruikmakend van vergelijking 4.7, maar dan op het boloppervlak opafstand R, krijgen we

Fh

mc= 2π kT = 4π

Mc2

n=h

c

GM

R2=⇒ F =

GMm

R2, (4.8)

de gravitatiekracht tussen twee massa’s. De beginvergelijking in bovenstaande regel kanook worden gezien als de temperatuur die een versnelde waarnemer waarneemt, 2π kT =ha/c (Unruh-effect). Dat is een manier om de faktoren zoals de gebruikte 2π in deentropieverandering te vinden.

Dat dit hoofdstuk zo ingewikkeld is, laat enkel zien dat we het nog langniet allemaal begrijpen.

Hoofdstuk 5

Het ongrijpbare neutrino

5.1 Waar komen neutrino’s vandaan?

In dit hoofdstuk willen we een deeltje wat extra aandacht geven, namelijk het neutrino.Het neutrino werd in eerste instantie in 1930 gesuggereerd door Pauli als een neutraaldeeltje met spin 1/2 dat vrijkomt in kernreacties en zo verklaart waarom het lijkt datenergie en impulsmoment niet behouden zijn. De eenvoudigste reactie is het verval vaneen vrij neutron in een proton + elektron + neutrino, n → p + e− + νe, waarbij hetgeproduceerde antineutrino alleen rechthandig is. Wanneer in een atoomkern een neutronin een proton verandert, krijgen we een nieuwe atoomkern met een andere lading (ditheet β−-verval). In een atoomkern is het ook mogelijk dat een proton verandert in eenneutron onder uitzending van een positron en een linkshandig neutrino, p→ n+ e+ + νe(logischerwijs β+-verval genoemd). Op de energieschalen van kernprocessen, spelen demassa’s van de neutrino’s geen enkele rol. Energie en impuls van de vrijkomende neutrino’s(en elektronen) zijn van de orde van grootte van het energieverschil tussen neutron enproton (mnc

2−mpc2 = 1.4 MeV) en de bindingsenergieen van atoomkernen, d.w.z. MeV’s.

Voor neutrino’s is deze energie veel groter dan de massa, Eν ≈ pνc mνc2 en ze bewegen

dus ook met praktisch de lichtsnelheid.

H1

H2

H2

νe

He3

H1

νe

He3

H1

He4

H1

H1

H1

H1

H1

H1

γ

γ

e

e+

+

Figuur 5.1: De belangrijkste reactiewaarmee de zonneenergie wordt opge-wekt is de reactie 4 p → 4He + 2 e+ +2 νe. Hierbij verliest de Zon per secon-de ruim 4 miljard kilo aan massa. Inde reactie zelf is het massaverlies on-geveer 0,75 %. Voor iedere geprodu-ceerde 4He atoomkern worden 2 elektron-neutrino’s geproduceerd. Een eenvou-dige orde van grootte berekening leertdat we op Aarde dan ruim 1011 νe’s percm2 per s verwachten met energieen inde orde van grootte van een halve MeV.Hiervan wordt echter de helft niet waar-genomen, de zonneneutrino puzzel.

68 HOOFDSTUK 5. HET ONGRIJPBARE NEUTRINO

θ

L

θ

detector

neutrinosAARDE

L = afstand

= zenith−hoek

ATMOSFEER

atmosferische

productie

ντνµ ν1

ν2

ν2

ν1plaats en

tijd van

plaats en

tijd van

meting

produktie

Figuur 5.2: Het meten van vacuumoscillaties met behulp van atmosferische neutrino’s, be-schreven in paragraaf 4.2. In de rechterfiguur is het principe geıllustreerd. Gesimplificeerd,bestaat de golffunctie van het muon-neutrino uit twee componenten die corresponderen metverschillende massatoestanden, wat zich vertaalt in verschillende golflengte’s in de golf-functies (in figuur is λ1 tweemaal zo groot als λ2). Afhankelijk van de afgelegde afstandis de nieuwe toestand dan een andere lineaire combinatie van massatoestanden, bijvoor-beeld juist corresponderend met een tau-neutrino. De weg die neutrino’s afleggen tussenproductie en detectie varieert omdat de in de atmosfeer van de Aarde geproduceerde neu-trino’s van alle kanten de detector bereiken geıllustreerd in de linkerfiguur, waarbij (eventer herinnering) de Aarde zelf voor neutrino’s geen belemmering vormt.

Een belangrijk proces waarbij neutrino’s geproduceerd worden is de fusie van Waterstoftot Helium dat plaatsvindt in het binnenste van de Zon (zie figuur 5.1). De geproduceerdeelektron-neutrino’s vliegen min of meer ongehinderd vanuit het centrum van de Zon naarde Aarde, maar slechts ongeveer de helft van de ν ′es die op grond van berekeningen werdverwacht bleek op Aarde aan te komen. Overigens komen er niet alleen νe’s van de Zon tengevolge van de pp-reactie, maar ook andere fusiereacties waarbij koolstof (C), zuurstof (O)of stikstof (N) geproduceerd worden dragen op kenmerkende manier bij aan het spectrumvan de zonneneutrino’s. Het zijn deze energie-producerende reacties via welke de meestestabiele elementen tot aan ijzer (Fe) toe gevormd zijn en worden.

Net als de Zon produceren ook andere sterren neutrinos, maar daarvan komen erdoor de afstand niet zoveel op Aarde. Een uitzondering zijn supernova explosies, waarbijgigantische hoeveelheden neutrino’s geproduceerd worden. Ook hier zijn de neutrinos hetgevolg van kernfusie reacties. Dit zijn niet alleen de kernreacties die energie opleveren,maar ook energie opslurpende reacties, waarbij stabiele zware elementen worden gevormdzoals lood (Pb) tot aan uranium (U) toe. Deze ook in de Aarde voorkomende elementenzijn dus ontstaan in exploderende sterren en daarna bij de vorming van nieuwe sterrenterechtgekomen in de planeten.

Naast de in sterren geproduceerde neutrinos, zijn er ook neutrino’s overgebleven van deOerknal. Hiervan zijn de aantallen vergelijkbaar met het aantal fotonen, zo’n 200 per cm3.Als die met de lichtsnelheid bewegen, betekent dat dus een flux van ruim 1013 neutrino’s

5.2. NEUTRINO OSCILLATIES. 69

per cm2 per s. Dit zijn neutrinos van alle drie de soorten, νe, νµ en ντ . De energieenvan deze neutrino’s zijn overigens veel lager dan die van zonneneutrino’s, namelijk van deorde van grootte van 10−4 eV. Dit correspondeert met de gemiddelde kinetische energiekT (k ≈ 9 × 10−5 eV/K is de constante van Boltzmann) van deeltjes in het sinds deOerknal afkoelende heelal. De temperatuur van het heelal is nu nog maar zo’n 2,7 K (wekomen hier nog op terug).

Ook op Aarde worden neutrino’s geproduceerd. Dit gebeurt o.a. in de atmosfeerwaar hoog-energetische deeltjes uit de kosmische straling botsen met de atomen. Deprimaire deeltjes kunnen protonen, elektronen, fotonen zijn of zwaardere atoomkernen,met energieen die kunnen oplopen tot zo’n 1020 eV. In de botsingen met de atomen inde atmosfeer kunnen allerlei deeltjes gemaakt worden, maar uiteindelijk komen we uit opprotonen, elektronen en pionen. Neutrino’s ontstaan voornamelijk via het zwakke vervalvan geladen pionen, bijvoorbeeld π+ −→ νµ+µ+ gevolgd door µ+ −→ e++νµ+νe, ruwwegleidend tot een verhouding van 2 : 1 voor N(νµ)/N(νe). Vergeleken bij de eerder genoemdeneutrino’s hebben deze neutrino’s veel hogere energieen. Net als de primaire deeltjes gaathet om neutrino energieen in de orde van honderden MeV’s tot vele GeV’s, energieen dienodig zijn om gemakkelijk pionen (met mπc

2 ≈ 140 MeV) te kunnen produceren.

Het Super-Kamiokande experiment, een groot vat met 50 000 000 liter ultra-zuiverwater ongeveer 1 km onder de berg Ikena in de Japanse Alpen, mat o.a. de atmosferischeneutrinos met energieen in de orde van enkele honderden MeV’s tot GeV’s, die van allekanten de detector binnenkwamen. Per seconde vliegen er ca 100 van die neutrino’sdoor iedere cm3 van de detector en idem door ons lichaam. Vanwege het feit dat dewisselwerking zo zwak is, is er slechts een 10 % kans dat een zo’n neutrino botst meteen atoom in ons lichaam gedurende ons hele leven. Het illustreert, waarom de detectorin het Super-Kamiokande experiment zo groot is. Wanneer daar een neutrino botst meteen atoom wordt er afhankelijk van wat voor soort neutrino het was een muon of eenelektron gevormd. Dit deeltje beweegt sneller dan de lichtsnelheid in water (die kleineris dan de lichtsnelheid in vacuum) en produceert een lichtkegel (Cerenkov licht), geheelanaloog aan de geluidskegel veroorzaakt door een supersonisch vliegtuig. Op deze manierkan experimenteel bepaald worden wat voor neutrino er gevangen is. De opstelling is zodiep ondergronds om te zorgen dat er geen andere deeltjes dan neutrino’s de detectorbereiken.

5.2 Neutrino oscillaties.

Het blijkt nu dat muon-neutrino’s kunnen veranderen in een andere soort. Dit is af-hankelijk van waar de neutrino’s gemaakt zijn in de atmosfeer en dat kan varieren metde zenith hoek (zie figuur 5.2) van enkele kilometers boven de detector tot ruim 12 000km wannneer ze dwars door de Aarde van de andere kant komen. Het experiment zietafhankelijk van de afstand meer of minder muon-neutrino’s en daarmee oscillaties. Hetsluit ook uit dat ze veranderen in elektron-neutrino’s, maar het zouden wel tau-neutrino’skunnen zijn. Voor neutrino’s is de Aarde in essentie transparant en het gaat hier dan ookom vacuumoscillaties. Voor het bestaan van dergelijke vacuumoscillaties is slechts eengoede verklaring beschikbaar, namelijk dat het geproduceerde neutrino een superpositieis van twee massa-eigentoestanden met verschillende massa’s. Hoe dit werkt is uitgelegdin het volgende kader.


Veronderstel voor het gemak dat twee eigentoestanden voor neutrino’s voldoende zijnom de oscillaties van νµ en ντ te beschrijven. We hebben dan golffuncties met 2componenten

|ν1(t)〉 =

(10

)e−i E1t/h, |ν2(t)〉 =

(10

)e−i E2t/h

Het muon-neutrino is een lineaire combinatie van de toestanden 1 en 2, geschreven als

|νµ〉 =

(cos θVsin θV

).

Gegeven dat op tijdstip nul we een muon-neutrino hebben, |ν(0)〉 = |νµ〉, krijgen we

|ν(t)〉 =

(cos θV e

−i E1t/h

sin θV e−i E2t/h

).

Een elementaire berekening laat dan zien dat de waarschijnlijkheid P (L) om na afleggenvan een afstand L, met de snelheid van het licht een tijd t = L/c, weer een muon aante treffen gelijk is aan

P (L) =∣∣〈νµ|ν(t)〉

∣∣2 = 1− sin2 2θV sin2

(E1 − E2

2 ht

)= 1− sin2 2θV sin2

(πL

λV

)met λV = 2π hc/(E1 − E2). Wanneer m1c

2 en m2c2 pc en dus E1 ≈ E2 ≈ Eν ≈ pc,

geldt

E1 =√p2c2 +m2

1c4 ≈ pc+

m21c

4

2pc, en E2 =

√p2c2 +m2

2c4 ≈ pc+

m22c

4

2pc,

zodat E2−E1 ≈ (m22c

4−m21c

4)/2Eν = ∆m2c4/2Eν . De oscillatie golflengte wordt dan

λV = 4πhcEν

(m22 −m2

1)c4.

De golflengte van de oscillaties hangt af van de verschillen in de gekwadrateerde massa’svan de neutrino’s. Gebruikmakend van ’passende’ eenheden krijgen we

λV [km] ≈ 2, 5E[GeV]

∆m2c4[eV2],

waar ∆m2 = m22 −m2

1 het verschil in de gekwadrateerde massa’s is. De resultaten wijzenop een massaverschil van ongeveer (0.05 eV)2, wat voor een 1 GeV neutrino correspondeertmet λV ≈ 1000 km. Merk op dat dit massaverschil enorm klein is, ongeveer 10−7 maal demassa van een elektron. Bovendien vereist de oscillatie hypothese dat een geproduceerdmuon-neutrino een superpositie is van de massa-eigentoestanden met amplitudo’s vanongeveer gelijke grootte (maximale menging met een menghoek θV ≈ 45 graden).

Het probleem van de ontbrekende zonne-neutrino’s – we verwachten voornamelijk

5.3. CONSEQUENTIES VAN MASSIEVE NEUTRINO’S 71

e

µ

τ

τ−µ

e

µ+τ

1

2

3

e

Figuur 5.3: De mixing van de neutrino toestanden. Uit atmospherische menging blijktdat νµ en ντ lineaire combinaties vormen die bij benadering (ντ ± νµ)/

√2 zijn (middelste

plaatje). Een van die combinaties is bij benadering ν3. De andere mengt met het νeneutrino in de massatoestanden ν1 en ν2 (rechterplaatje). In de komende jaren zullendiverse detectoren proberen neutrino’s geproduceerd met versnellers of in kernreactoren temeten en zo het plaatje van de menging en de massa’s van neutrino’s compleet te maken,inclusief meting van CP-schending en dus ook schending van tijdsomkeer.

elektron-neutrino’s met lagere energieen (MeV’s) – is met vacuum oscillaties nog nietopgelost. Maar ook hier zijn quantummechanische oscillaties de meest waarschijnlijkeverklaring. Het gedrag van neutrino’s is in dat opzicht verbazingwekkend:

1. In vacuum bewegen neutrino’s onafhankelijk wanneer we ze beschouwen als massa-eigentoestanden ν1, ν2 en ν3.

2. Productie en detectie van neutrino’s gaat via de zwakke wisselwerkingen. De rele-vante geproduceerde of in een detector gemeten toestanden zijn νe, νµ of ντ .

3. Absorptie in materie (bijvoorbeeld in de Zon) hangt af van hoe de omgeving neu-trino’s kan absorberen. Zo kunnen elektronen alleen elektron-neutrino’s beinvloe-den, terwijl de protonen en neutronen alle neutrino’s even sterk beinvloeden.

Het in het derde punt genoemde gedrag kan bij een bepaalde dichtheid van elektronen de inde Zon geproduceerde elektron-neutrino’s (zie figuur 5.1) een zodanige ’fase-draaiing’ ge-ven (analoog aan de in figuur 5.2 geıllustreerde draaiing bij vacuumoscillaties) dat er neu-trino’s van alle soorten worden geproduceerd, het zogenaamde MSW (Mikheyev-Smirnov-Wolfenstein) effect. Inderdaad is in het SNO (Solar Neutrino Observatory) experiment ineen mijn in Ontario gevonden dat wat we missen aan elektron-neutrino’s van de Zon, alsandere neutrino’s de Aarde bereikt. Uit deze oscillaties kan ook weer een massaverschilworden gehaald. Dit blijkt veel kleiner te zijn, namelijk ∆m2c4 ≈ (0, 01 eV)2, waarbijoverigens niet te bepalen is of het kleinere massaverschil bij de twee ’zwaarste’ of de twee’lichtste’ neutrino’s hoort. De huidig bekende menging van neutrino’s is geillustreerd infiguur 5.3.

5.3 Consequenties van massieve neutrino’s

Consequenties voor de elementaire deeltjesfysica

Neutrino massa’s hebben belangrijke consequenties voor de symmetrie-beschouwingen inhet standaard model. Massaloze neutrino’s pasten in principe prachtig in het hele beeld


P

TC

STERIEL

STERIEL

STERIEL

R L RL

RLRL

R L

RL

ν

ν

ν

ν

ν ν

ν ν ν

ν

ν

ν

P

TC aL

aR

aL

aL

aR

Ra

L

R

R

L

R

Lν

ν

ν ν

νν

Figuur 5.4: De overblijvende mogelijkheden voor massieve neutrinos zijn steriele Dirac-neutrinos (links) of Majorana-neutrinos (rechts)

van de drie families met elk vier deeltjes. Met name wanneer men eigenschappen van dedeeltjes en de corresponderende antideeltjes bekijkt, specifiek de uitsluitend linkshandig-heid van neutrino’s (zie figuur 3.11) en de uitsluitend rechtshandigheid van anti-neutrino’s.Voor een massaloos spin-1/2 deeltje is linkshandigheid hetzelfde als een impulsmoment te-gengesteld aan de bewegingsrichting. Voor een spin-1/2 deeltje met massa moet zowel delinkshandige als de rechtshandige variant bestaan. Een massief deeltje beweegt namelijklangzamer dan de lichtsnelheid en we kunnen het bekijken als waarnemer die sneller be-weegt dan het deeltje. Dan wordt een linkshandig deeltje rechtshandig. Spiegelsymmetrievereist bovendien dezelfde wisselwerkingen voor beide situaties.

Laten we eerst weer even de spiegelsymmetrie, symmetrie onder tijdsomkeer en de la-dingssymmetrie, symmetrie onder verwisseling van deeltje-antideeltje in herinnering roe-pen. Voor quarks en elektronen en voor sterke en elektromagnetische wisselwerkingendeden zulke operaties er niet toe (zie afbeelding op omslag). We bleven dezelfde deeltjeshouden en de krachten waren hetzelfde. De afwezigheid van spiegelsymmetrie voor zwakkewisselwerkingen, laat dan de volgende mogelijkheden toe, geıllustreerd in figuur 5.4:

1. Er is een rechtshandig neutrino (het neutrino is een ’Dirac’ fermion) dat in tegenstel-ling tot zijn linkshandige partner niet kan wisselwerken met de ons bekende materievia uitwisseling van W of Z-bosonen (zie figuren 3.14 en 4.2). In dat geval spreektmen van een steriel neutrino.

2. Een tweede mogelijkheid is dat het deeltje identiek is aan zijn eigen antideeltje (eeneigenschap meestal voorbehouden aan bosonen zoals het foton). In dat geval vormenhet linkshandig neutrino en het rechtshandig antineutrino de gewenste mogelijkevarianten van een massief spin-1/2 deeltje en dat is dan een Majorana deeltje (deeltje= antideeltje).

Beide mogelijkheden impliceren echter een uitbreiding van het standaard model, waar-bij de Majorana variant het minst ingrijpend is, enkel het anti-deeltjes karakter van de

5.3. CONSEQUENTIES VAN MASSIEVE NEUTRINO’S 73

rechtshandige variant wordt weggelaten. Het eenvoudigste (maar eenvoudiger gezegd dangedaan) is deze mogelijkheid te bewijzen door naar het verval van atoomkernen te kij-ken, bijvoorbeeld het verval van 76

32Ge met 32 protonen en 44 neutronen. De ’standaard’reacties,

7632Ge −→ 76

33As + e− + ν,

ν + 7633As −→ 76

34Se + e−,

kunnen voor een Majorana neutrino (ν = ν) namelijk gecombineerd worden tot

7632Ge −→ 76

34Se + e− + e−,

het zogenoemde neutrinoloze dubbel-beta verval. Wanneer dit aangetoond kan worden,maar zoals gezegd dat is niet eenvoudig, weten we zeker dat deeltje en antideeltje hetzelfdezijn.

Astrofysische consequenties.

Hoewel de gevonden massa’s, of eigenlijk massaverschillen bijzonder klein zijn, is hetaantal neutrino’s in het heelal zo groot dat de ontdekking ook een oplossing kan biedenvoor het raadsel van de ’ontbrekende materie’ in het heelal. Astrofysici die het ontstaanen de structuur van melkwegstelsels bestuderen vinden steevast te weinig materie om huntheorieen kloppend te krijgen (zie volgende hoofdstuk). Hiervoor moeten we naast demassaverschillen de waardes van de massa’s weten. Het ene extremum is dat de massa’s0,05 eV en ongeveer nul zijn. In dat geval is de bijdrage van neutrino’s aan de donkerematerie in het heelal te verwaarlozen. Het andere extremum is dat beide neutrino’sbehoorlijk wat zwaarder zijn dan het verschil, zeg in de orde van grootte van eV’s, al lijktdit scenario minder waarschijnlijk te worden omdat uit normale beta vervalsprocessen(zoals het verval van het neutron) steeds betere limieten op de massa’s worden verkregen.Echter, voor het geval dat er rechtshandige steriele neutrino’s bestaan, kunnen die zekerbijdragen aan de ontbrekende massa in het heelal.

Neutrino’s zouden best wel eens de meest waardevolle boodschappers vanuitde kosmos kunnen zijn.

Hoofdstuk 6

De geschiedenis van het heelal

6.1 De oerknal

Een aantal aspecten van de krachten tussen deeltjes en de opbouw van de materie spelenook een rol in de ontstaansgeschiedenis van het heelal. Het meest waarschijnlijke scenariovoor de geschiedenis van het heelal is het oerknalscenario. Een van de belangrijksteaanwijzingen hiervoor is de door Edwin Hubble gevonden roodverschuiving in het lichtvan ververwijderde sterrenstelsels, gevolg van het Doppler-effect. Dit wijst op een metde afstand toenemende verwijderingssnelheid van sterrenstelsels op kosmische schaal watkan worden toegeschreven aan een uitdijend heelal met R/R = H, waarin 1/H = 13, 7miljard jaar. De verwachting dat de gloed van de oerknal nog steeds zichtbaar moestzijn werd bevestigd met de ontdekking van de kosmische achtergrondstraling. Net zoalsvlammen, gloeiende materialen en sterren afhankelijk van de temperatuur een karakte-ristiek spectrum (Planck verdeling, zie kader) van elektromagnetische straling uitzenden,doet het heelal dat ook. Voor de Zon met een oppervlaktetemperatuur van ongeveer 6 000graden ligt het maximum van deze verdeling bij golflengtes tussen 400 en 800 nm, het voorons zichtbare spectrum van licht, evolutionair bezien niet verrassend. De door de COBEsatelliet gemeten achtergrondstraling liet een perfecte Planck curve zien corresponderendmet een temperatuur van 2,725 K voor het op dit moment dus al aardig afgekoelde heelal.Het maximum ligt dan in het gebied van radiogolven.

De homogeniteit in de achtergrondstraling is ongekend, beter dan welke lichtbron in hetlaboratorium. Denkend aan de oerknal als een explosie is dat helemaal niet vanzelfspre-kend. Inhomogeniteiten in de verdeling van energie en impuls zouden zichtbaar moetenzijn. Het ontbreken hiervan wijst op een universumbrede gebeurtenis na de oerknal. Deinflatie-theorie biedt hiervoor een oplossing. In een heel vroeg stadium is er bij het afkoeleneen faseovergang opgetreden, waarbij er een nieuwe beginsituatie is ontstaan. Het wordtwel met een soort ’overkoken’ van het heelal vergeleken waarmee we de homogeniteitkunnen begrijpen in de temperaturen die we zien wanneer we kijken in verschillenderichtingen die vanuit een punt gezien niet causaal kunnen samenhangen. Als we maarnauwkeurig genoeg kijken zijn er wel variaties in de achtergrondstraling, waar we nog opterug komen.

76 HOOFDSTUK 6. DE GESCHIEDENIS VAN HET HEELAL

Planck spectrumDe beschrijving van de spectrale verdeling van elektromagnetische straling bij een be-paalde temperatuur is een van de basis resultaten van de quantummechanica. Statischefysica en thermodynamica leren ons dat we bij een bepaalde temperatuur verwachtendat de kans op bezetting van een toestand met energie E evenredig afvalt met e−E/kT

waar k de Boltzmann constante,

k = 1, 38× 10−23 J/K = 8, 6× 10−5 eV/K,

is. In feite is dit niets anders zeggen dan dat de gemiddelde energie

E(T ) =

∫∞0dE E e−E/kT∫∞

0dE e−E/kT

= kT,

wat uitstekend werkt voor een gas van deeltjes met een continuum van mogelijke (kineti-sche) energieen. Voor fotonen met bij gegeven frequentie f gequantiseerde energieenE = nhf wordt dit echter

E(f, T ) =

∑∞n=0 nhf e

−nhf/kT∑∞n=0 e

−nhf/kT =hf

ehf/KT − 1.

Om de totaal uitgezonden energie te vinden van een foton gas moeten we dit nogvermenigvuldigen met het aantal fotonen bij een bepaalde frequentie. Dat tellen gaatgemakkelijker door naar de impuls van een foton te kijken, dat is een vector met lengtep = hf/c = h/λ. Om te kunnen tellen moeten we nog wel weten waar we mee moetenvergelijken. De laagste frequentie is h/L, waar L de lengte van het systeem is. Datis dan de een en tellen is sommeren over p/(h/L) = pL/h, wat in het continue gevalintegreren wordt, dus tellen wordt

L3

h3

∫d3p . . . =

V

h3

∫4πp2 dp . . . =

V

c34πf 2df . . . .

Rekening houdend met de twee mogelijke polarizaties van een foton vinden we navermenigvuldiging met de gemiddelde energie E(f, T ) een energiedichtheid (ener-gie/volume)

∫df E(f, T ) met

E(f, T ) =8πh f 3

c3

1

ehf/kT − 1,

bekend staand als de Planck verdeling, waarbij het gebruik van de quantum uitdrukkingvoor de gemiddelde energie essentieel was. Als functie van de golflengte vinden we,gebruikmakend van df = d(c/λ) = (c/λ2)dλ, de energiedichtheid

∫dλ E(λ, T ),

E(λ, T ) =8π hc

λ5

1

ehc/λkT − 1.

Het maximum van deze verdeling ligt bij

λmaxT = 2, 9× 10−3 m K.

6.1. DE OERKNAL 77

# deeltjes > # antideeltjes

3 x 105

jr

10−6

s

10−12

s

10−34

s

uud

d du

ppn

n

u

d

e−

ν−

ν−

e−

e−

e− e−

He

e−

e−

gravitatie?

superzwakke kracht

1 s

3 min

?

?

? ? ?

?

p

p

p

u

d

uγ

t

W

Z

µ

ν

νγ

γ

γ

s

cu

d

u

d

γ

He

p

p

n

γ

γ

G

G

G

G

u

d

ν

het heelal

doorzichtig

wordt

p : He = 12 : 1

vorming helium

sterke krachtvorming nucleonen

e.m. krachtvorming atomen

zwakke krachtsterke enzwakke kracht

1 familie blijft overe

Figuur 6.1: Een aantal stadia in het oerknalscenario

Planck spectrum (vervolg)Het totaal uitgezonden vermogen neemt sterk toe met de temperatuur, om precies tezijn het uitgezonden vermogen per m2 over het gehele spectrum is gelijk aan

I(T ) = c E(T ) = σ T 4.

waarbij σ = 5, 7× 10−8 W m−2 K−4.

Waar is de antimaterie gebleven

Van de allereerste stadia van de oerknal weten we weinig. Met een naieve schaling is datook wel logisch. We noemden al de 1 atoom per m3 als gemiddelde in het huidige heelal,d.w.z. een gemiddelde afstand nu van 1 m. Via eenvoudige schaling en vergetend datdeeltjes en antideeltjes gecreeerd en vernietigd kunnen worden correspondeert dat metafstanden van 10−17 m, veel kleiner dan een proton toen het heelal enkele seconden oudwas. De zwakke en sterke wisselwerkingen speelden toen dus een belangrijke rol zoals ook


beschreven in Weinberg’s boek over de eerste 3 minuten van het universum.Maar met onze kennis van de krachten kunnen we nog wat verder teruggaan. Zo zijn

krachten die de deeltje-antideeltje symmetrie (C) schenden van wezenlijk belang om tebegrijpen dat we nu in een heelal leven met alleen deeltjes en geen antideeltjes. In defiguur 6.1 is dit het eerste ’bekende’ stadium dat we onderscheiden. Alhoewel het ophet eerste gezicht misschien vreemd klinkt is de deeltje-antideeltje asymmetrie niet erggroot. Het verschil van deeltjes en antideeltjes gedeeld door de som van alle deeltjes enantideeltjes is in het huidige heelal ongeveer 10−9. Het aantal antiprotonen en positronen isweliswaar niet noemenswaardig, maar als we over deeltjes praten moeten we natuurlijk welalle deeltjes in beschouwing nemen en dan tellen fotonen (die zijn hun eigen antideeltje) enneutrino’s en antineutrinos ook mee. Van al die deeltjes zijn er van de orde van honderdenper cm3, dus 109 meer dan protonen. Overigens is de waargenomen (en ook niet begrepen)CP-schending in het standaard model van de elementaire deeltjes toch nog te klein omdeze asymmetrie te begrijpen, dus hier liggen nog wel de nodige open vragen.

De formatie van hadronen en atoomkernen

In de volgende stadia komen we op bekender terrein. Als het heelal een leeftijd van 1 µsheeft bereikt zijn alle zware quarks (t, b, c en s) vervallen tot lichtere quarks. Dit is eengevolg van de zwakke wisselwerkingen. Maar met toenemende afstanden tussen de quarksbeginnen de overgebleven u en d quarks de constante sterke kleurkracht te voelen. Zecombineren noodgedwongen in tripletten van quarks of quark-antiquark paren, waarbijuiteindelijk alleen protonen en neutronen overblijven. Een pion leeft bijvoorbeeld maarenkele µs. Van de leptonen blijven alleen de elektronen over. Muonen leven ook maarheel kort, ca. 2 µs. Zelfs de neutronen beginnen te vervallen (die leven ca. 15 minuten).Maar hier komen de sterke wisselwerkingen om de hoek kijken en voordat ze allemaalvervallen zijn wordt een deel van de neutronen veilig opgeborgen in Helium atoomkernen(α-deeltjes). Met onze kennis van de sterke wisselwerkingen en de vervaltijd van hetneutron kunnen we precies begrijpen hoe we op een verhouding van He:H van ongeveer1:12 komen (massaverhouding 1:3), de in het heelal waargenomen verhouding, die doorfusieprocessen maar een klein beetje veranderd is.

En toen werd het heelal doorzichtig

In dat heelal waarin nu atoomkernen H en He en via fusie enkele andere lichte atoom-kernen zijn ontstaan, wemelt het verder van de fotonen, elektronen en neutrino’s. Deneutrino’s zijn al ontkoppeld van de andere deeltjes, d.w.z. ze vormen een onafhankelijkgas van deeltjes dat in afgekoelde vorm nog steeds bestaat, naar verwachting overigensafgekoeld tot een iets lagere temperatuur van 1,95 K in vergelijking met de fotonen vande achtergrondstraling. De fotonen, elektronen en protonen botsen nog wel met elkaaren vormen een ’gloeiend’ plasma. Dat verandert wanneer bijna 400 000 jaar na de oer-knal de temperatuur voldoende is afgekoeld en elektronen en protonen combineren totneutrale Waterstof-atomen of paren van elektronen en He-kernen tot neutrale Helium-atomen. Dan botsen de fotonen ook niet meer en vormen een onafhankelijk afkoelend gasvan fotonen. Je zou kunnen zeggen dat het licht uitging en de gloed wegsterft. Dat is denu waargenomen achtergrondstraling van microgolven met zo’n 400 fotonen/cm3 en eentemperatuur van 2,725 K. Met het onstaan van sterren en sterrenstelsels ging het licht

6.2. DE TEMPERATUUR VAN HET HEELAL 79

weer aan. Exploderende sterren, supernovae, produceerden zware elementen.

Figuur 6.2: De temperatuurverdeling vanhet heelal zoals die volgt uit precieze me-tingen van de achtergrondstraling. Deplaatjes zijn gegeven in een hemelprojectiewaarbij de evenaar correspondeert met hetvlak van ons melkwegstelsel met steeds toe-nemende resolutie (3 figuren links) en inde figuur hierboven de overblijvende struc-tuur (zoals gemeten door WMAP) na-dat de Doppler verschuiving en de effec-ten van de Melkweg zijn verwijderd (ziehttp://lambda.gsfc.nasa.gov voor de-tails en achtergronden).

6.2 De temperatuur van het heelal

Het afkoelende heelal is het overblijfsel van de oerknal met een ongekende homogeniteit(zie figuur 6.2). In het eerste plaatje corresponderen schakeringen in kleur met 1 graadKelvin. Dan zijn er geen variaties te zien. Deze homogene achtergrondstraling werd bijtoeval ontdekt door Penzias en Wilson als een (ongewenste) ruis op de antennes waarmeeze naar het heelal luisterden. Met speciaal daarvoor geconstrueerde satellieten is het hetgelukt om zeer nauwkeurig de spectrale verdeling van de achtergrondstraling en dus detemperatuur te bepalen. En daar zitten uiteindelijk toch fluctuaties in. Uit de metingenvan de Cosmic Background Explorer (COBE) satelliet en met nog veel grotere precisie uitdie van de Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) is een gedetailleerd beeldverkregen. Allereerst zien we dat er in het heelal een bijzonder referentiesysteem is,namelijk het rustsysteem van de oerknal. Wij bewegen in dat systeem en wel met een(bescheiden) snelheid van 600 km/s, wat tot gevolg heeft dat we in een bepaalde rich-


ting een roodverschuiving (lagere temperatuur) en in de tegenovergestelde richting eenblauwverschuiving (hogere temperatuur) zien. Dit is zichtbaar in plaatje 2 van figuur 6.2waar de kleurschakeringen corresponderen met een temperatuur-variatie van ongeveer0,004 K ten opzichte van het gemiddelde. Ook valt dan een klein effect op langs deevenaar, die in de gekozen projectie correspondeert met het vlak van het melkwegstelsel.Na correctie voor het dipooleffect, moet de schaal weer behoorlijk aangepast wordenvoordat er weer variaties te zien zijn. Die komen tevoorschijn als de kleurschakeringencorresponderen met variaties van 10 µK. Rond de evenaar zien we de effecten in het vlakvan het melkwegstelsel, daarbuiten komen ze van de rand van het zichtbare heelal. Dezefluctuaties hebben typisch afmetingen van een halve graad, dat is ongeveer de afmetingvan de Maan aan de hemel. Vervolgens is er een (kleinere) concentratie van fluctuatiesbij afmetingen van 0,2 graden. Die fluctuaties horen bij de dynamica van een soep vanprotonen, elektronen en fotonen, het heelal van 300 - 400 000 jaar na de Big Bang, waarinhet aantal fotonen vele ordes groter is dan de protonen. Nu is die verhouding ruwweg109 met gemiddeld in het heelal zo’n 1 proton per m3 en zo’n 109 fotonen. Nog kleinerefluctuaties, die typisch zo’n 0,1 graden bestrijken, zijn de eerste die toegeschreven kunnenworden aan de anisotropie in de verdeling van de materie (waterstof en helium) in hettoenmalige heelal. Vooralsnog zijn daarin geen correlaties gevonden met het huidigeheelal.

De omloopstijd van een massa op afstand Rvan het middelpunt van een sterrenhoop ofmelkwegstelsel is

v(R) =

√GM

R, .

dus verwachten we buiten het stelsel een af-vallende curve zoals in de figuur aangegeven,maar het lijkt er meer op alsof er nog allerleimaterie is. Voor een constante dichtheid ρgroeit de massa als M(R) = 4π ρR3/3, enzouden we inderdaad zo’n verband vinden,

v(R) = R

√4πGρ

3.

Ook de uitdijingssnelheid van het heelal blijkt niet constant te zijn. Door de roodver-schuiving uit te zetten tegen de afstand bepaald uit ’gewone’ afstandsmetingen waarbijgebruik gemaakt wordt van de bekende absolute helderheid van bepaalde types super-novae, lijkt het alsof de uitdijing enigszins toeneemt in de tijd. De resultaten van detemperatuurvariaties gecombineerd met uitdijingssnelheid van het huidige en vroegereheelal lijken een verrassend beeld van het heelal te geven. Het lijkt er op dat ons heelalplat is, d.w.z. de drie-dimensionale ruimte ligt niet op een meerdimensionale bol (zoalshet twee-dimensionale aardoppervlak op de drie-dimensionale aardbol ligt). Vertrekkendin verschillende richtingen, kom je niet meer bij elkaar terug. Maar wat we zien in hetheelal is zeker niet alles. Om het oerknalscenario en de platheid van ons heelal consistent

6.2. DE TEMPERATUUR VAN HET HEELAL 81

Figuur 6.3: Aanwijzingen dat de aard van de extra materie in het heelal anders is dande materie die elementaire deeltjesfysici tot nu toe hebben gevonden komt onder meer uitdeze botsing van twee clusters van sterrenstelsels. Analyse van de beelden verkregen metzichtbaar licht (de als puntjes en vlekjes zichtbare melkwegstelsels, linksboven), die metrontgenstraling (de rode kogelvormige gebieden corresponderend met door elektromagneti-sche krachten afgeremde materie, rechtsboven) en het beeld verkregen uit de lenswerking opverder weg gelegen bronnen (blauwe gebieden, corresponderend met enkel voor gravitatiegevoelige materie, linksonder) geeft gesuperponeerd een verdeling van 4% ’gewone’ materiemet 0,5% daarvan sterren en ruim 20% onbekende materie die wel zwaartekracht voelt.

te maken met Einstein’s algemene relativiteitstheorie waarin de ruimte-tijd structuur ge-koppeld wordt aan de materie- en energie-inhoud van het heelal, is er meer nodig. Wat wezien aan bekende deeltjes blijkt dan maar het topje van de ijsberg te zijn van de massa-en energie-inhoud van het hele heelal, slechts 4% en daarvan maar zo’n 0,5% als sterrenen 3,5% is niet-lichtgevend stof. Vervolgens is er nog zo’n 22% aan donkere materie, nietlichtgevend en niet bestaand uit bekende materie, maar wel gevoelig voor zwaartekracht(zie figuur 6.3). Het bestaan van deze massa werd al langer vermoed omdat die kan ver-klaren waarom de omloopssnelheid in de buitendelen van melkwegstelsels correspondeertmet veel meer massa dan die van de sterren en stofwolken. Tenslotte is er dan nog eenbijdrage van ruim 70% in de vorm van donkere energie, te vergelijken is met de uniformeenergiedichtheid van een gasbel ten opzichte van omringende vloeistof. Het is deze laatstedie nodig is om de waargenomen toename van de uitdijingssnelheid te krijgen. Over deaard en oorsprong daarvan tasten we letterlijk nog in het duister.


6.3 Kosmische straling

Met gemiddeld minder dan 1 atoom per m3 zou je denken dat je het heelal leeg kuntnoemen, zeker als je het vergelijkt met de 1029 atomen per m3 op Aarde. Maar we hebbenook al gezien dat deze aantallen maar betrekkelijk zijn, want het worden al heel wat meerdeeltjes als je fotonen meeneemt, ook al is dat niet allemaal zichtbaar licht, maar zijnhet overwegend laag-energetische microgolven vanwege de kosmische achtergrondstraling.Bovendien is er al de nog onbekende materie.

Figuur 6.4: Behalve lichtkomt er nog heel watmeer op ons af vanuitde kosmos, wat onderandere blijkt uit metin-gen aan kosmische stra-ling. Het energiespec-trum loopt tot ruim 1020

eV per deeltje, ook alzijn dat er bij de hoog-ste energieen nog maarheel weinig. Maar diehebben wel zoveel ener-gie dat ze een regen vansecondaire deeltjes produ-ceren die we met detecto-ren die kilometers uit el-kaar staan kunnen waar-nemen en met elkaarkunnen correleren. Daarkun je zelfs de richtinguit reconstrueren, zoalsgebeurt in HISPARC me-tingen waar diverse mid-delbare scholen in Neder-land aan deelnemen.

(Deze data zijn in een compilatie gebruikt voor het artikel J. Cronin, T.K. Gaisser andS.P. Swordy, Sci. Amer. 276 (1997) 44).

Al in het begin van de vorige eeuw wist men dat de metalen plaatjes van een elek-troscoop, die uit elkaar gaan staan als er lading op wordt aangebracht, konden wordenontladen door een radioactief preparaatje in de buurt te brengen. Ook de Aarde en ma-terialen om ons heen zenden deze straling uit en ontladen na enige tijd een elektroscoop.Theodor Wulf, een jezuiet en natuurkunde-leraar in Valkenburg onderzocht dit effect doorhet apparaat mee te (laten) nemen naar de top van de Eiffeltoren, maar ook daar gingde ontlading vrolijk door en werd zeker niet minder. Victor Hess probeerde het daarnain ballonnen en kwam tot de conclusie dat het effect juist sterker werd op grote hoogte,

6.3. KOSMISCHE STRALING 83

waarmee hij de ontdekker werd van de kosmische straling. Wij worden voortdurend ge-bombarbeerd door deeltjes afkomstig van buiten de Aarde. Deze maken bij botsingen inde atmosfeer weer nieuwe deeltjes, zoals de kortlevende muonen. Dat we deze op de grondnog kunnen detecteren is een gevolg van de tijdsdilatatie die bij hoge snelheden, dichtbij de lichtsnelheid, optreedt. Een stilstaand muon leeft maar 2 µs, met de lichtsnelheidgoed voor 600 m. Bij een voor muonen niet uitzonderlijke snelheid van 99,995% van delichtsnelheid, zien wij hen maar liefst 100 keer langer leven. In die 200 µs kunnen ze zo’n60 km afleggen.

Juist de samenstelling van die kosmische straling (zie figuur 6.4) willen natuurkundigenen astronomen nu wel eens precies achterhalen. Deeltjesfysici hebben nog wel wat deeltjesin de aanbieding, deeltjes waarover ze speculeren als ze willen weten wat er ten grondslagligt aan het standaard model. Misschien duiken er een paar op in de komende rondevan experimenten bij de Large Hadron Collider bij CERN in Geneve. Dit zijn mogelijkekandidaten voor de donkere materie. Onderzoek met satellieten en ballonnen heeft al eentipje van de sluier opgelicht. Binnen grote foutenmarges lijkt de samenstelling van dekosmische straling tot 1017 eV (net voorbij de ’knie’) op wat we kunnen verwachten alsresultaat van de uitstoot van supernova explosies uit ons eigen melkwegstelsel, d.w.z. eensamenstelling ongeveer identiek aan die van de materie in de buurt van de Zon, waaruitde planeten zijn gevormd. De knie in het spectrum wordt dan veroorzaakt doordat hetmechanisme van deeltjesversnelling bij supernovae, het voortstuwen van deeltjes op hetgolffront van de explosie, niet ’langer’ dan zo’n 100 000 jaar duurt.

Zeker ook interessant is het om te weten waar deeltjes met de allerhoogste energieenvandaan komen. Probleem daarbij is dat protonen met energie van meer dan zo’n 1020 eVhun energie verliezen door botsingen met de fotonen van de achtergrondstraling. Maarmisschien zijn er wel neutrino’s met hogere energieen. Neutrino’s worden bovendien nietafgebogen door magnetische velden in de interstellaire ruimte, iets wat wel gebeurd metprotonen en elektronen. Om kosmische straling bij ultra-hoge energieen te meten wordtgezocht naar correlaties tussen secundair geproduceerde deeltjes over oppervlakken vanvele duizenden km2, waaruit de energie en richting van het primaire deeltje bepaald kanworden. Voor het detecteren van de secundaire deeltjes wordt bijvoorbeeld weer gebruikgemaakt van door die deeltjes geproduceerde radiostraling (LOFAR en AUGER). Hetultieme blijft natuurlijk de achtergrondstraling van gravitatiegolven uit de kosmos temeten.

En dat allemaal in ons universum.

Hoofdstuk 7

Samen meer: complexiteit

In het voorgaande is een sterk reductionistische aanpak gebezigd. Maar dat is zeker niethet enige relevante in de natuurkunde. Met name als het aantal vrijheidsgraden toeneemt,bijvoorbeeld doordat we met veel deeltjes te maken hebben of omdat er voor deeltjes veeltoestanden mogelijk zijn, komen er een allerlei andere aspecten aan de orde. Nog steedsblijven basisconcepten van groot belang. Bijvoorbeeld ook in een complex systeem alsonze atmosfeer is het mogelijk de energiebalans op te maken (zie kader).

Energiebalans in atmosfeer

RuimteZon

100 = 350 W/m2 Aarde

Atmosfeer

30

64100%

50 614

630

1420

Van de ca. 1 400 W/m2 bij loodrechte inval (of van de gemiddelde inval van 350 W/m2)komt 50% op Aarde. Ca. 30% wordt direct weerkaatst en 20% wordt geabsorbeerd. DeAarde raakt die warmte weer kwijt door verdamping (24%) en directe warmteafgifte(6%) en door het uitzenden van infrarode straling (20%), die grotendeels eerst weerwordt geabsorbeerd (14%), waarna alle opgenomen warmte in de atmosfeer (64%)uiteindelijk door de atmosfeer wordt uitgestraald als infrarode straling.

86 HOOFDSTUK 7. SAMEN MEER: COMPLEXITEIT

Terwijl voor een deeltje energiebehoud een rechtlijnige beweging met constante snel-heid impliceert, moeten we daar anders mee omgaan bij een ensemble van deeltjes. Zelfsvoor drie deeltjes die elkaar voelen via de zwaartekracht blijkt bijvoorbeeld de regelmaatin de onderlinge beweging te verdwijnen en krijgen we een chaotisch systeem. Dat wilzeggen een systeem waar een miniem verschil in de beginsituatie kan uitgroeien tot volle-dig verschillende eindsituaties. Weer en klimaat zijn hier ook prachtige voorbeelden van.Uit ervaring weten we echter ook wel dat er wel degelijk ook systematiek in complexe sys-temen te zien is. Ons zonnestelsel is bijvoorbeeld redelijk stabiel. Ook in weerpatronenis een heleboel regelmaat te zien. Dus ook in een op het eerste gezicht complex systeem,zoals de atmosfeer, is best orde te brengen in de chaos.

Entropie

Voor systemen met veel deeltjes komen we concepten tegen als temperatuur en entropie.Temperatuur, samenhangend met de gemiddelde kinetische energie per vrijheidsgraad,zijn we al tegengekomen bij de beschrijving van de geschiedenis van het heelal. In dethermodynamica is het aantal mogelijke toestanden waarin het systeem kan zijn een an-dere belangrijke grootheid. Dit bepaalt de entropie van het systeem. Terwijl de energievan een afgesloten systeem niet verandert, kan de entropie juist niet afnemen (dus dieblijft gelijk of neemt toe). Dat gebeurt zelfs als je dat op het eerste gezicht niet zou ver-wachten. In eerste instantie lijkt de biosfeer van de Aarde met daarop het leven een steedsgeordender systeem te worden. Maar de biosfeer vormt zeker geen afgesloten systeem. Erkomt energie binnen, voornamelijk van de Zon in de vorm van straling met golflengtescorresponderend met een Planck verdeling van 6 000 K. Er verdwijnt weer ongeveer even-veel energie, maar dat in de vorm van straling met golflengtes corresponderend met eenPlanck verdeling met veel lagere temperatuur van zo’n 300 K. Dat betekent onder meerveel meer fotonen. Kortom, inderdaad is de entropie van DNA veel lager dan dat van deafzonderlijke atomen waaruit het is opgebouwd. Toch neemt in het volledige systeem vanbiosfeer inclusief binnenkomende en uitgaande fotonen de entropie toe.

Afschattingen

Voor complexe systemen zijn ook vaak afschattingen te maken; wat te verwachten? Zo spe-len in planten, dieren en onze wereld chemische processen een essentiele rol. De energieenop microscopisch niveau van atomen en moleculen zijn van de orde van eV’s. Wanneerwe de elektronvolt met het getal van Avogadro vermenigvuldigen,

Nav × (1 eV) = 100 kJ,

krijgen we de energie die correspondeert met chemische processes in een dergelijke hoe-veelheid moleculen, dat betekent afhankelijk van het molecuulgewicht in hoeveelhedenvan een tiental grammen of zo. Ons energieverbruik per dag voor de stofwisseling, 8 500kJ, correspondeert dan met omzettingen in hoeveelheden van de orde van een kilogram,wat qua orde van grootte wel aardig lijkt te kloppen.

Wanneer we naar atoomkernen gaan, worden de ordes van grootte van de bindings-energie (per nucleon) MeV’s. Eenzelfde afschatting geeft via

Nav × (1 MeV) = 100 GJ,

87

muis kat

men

s

paa

rd

oli

fant

gewicht (kg)

lichaams−

stofwisselingenergieverbruik (W)

hartslag(slagen/min)

10.1 10 10 10 10

1000

100

10

1

0.1

1000

100

10

2 3 4

Figuur 7.1: Het energiever-bruik voor de (rust)stofwisselingbij zoogdieren als functie vanhet lichaamsgewicht (massa) isgegeven in nevenstaande figuur(boven), waarbij logarithmischeschalen zijn gebruikt. Het ver-band laat zien dat het energiever-bruik groeit als M3/4. Het neemtdus toe, maar niet evenredig methet lichaamsgewicht. De hartslagneemt juist af als M−1/4, grafischweergegeven in het onderste deelvan de figuur.

wat dan correspondeert met de energie die per gram materiaal is te winnen via kern-splijting in reactoren. Dit is van de orde van grootte van het jaarverbruik van een persoon,wat met 10 kW verbruik uit zou komen op 300 GJ. Voor veel meer informatie over ’energie’verwijs ik naar het boek van J. Hermans.

Schaalwetten

Ook blijken er tussen complexe systemen vaak verrassend eenvoudige relaties te zijn, diesoms een direct gevolg zijn van ’gezond verstand gebruiken’, maar die soms op onder-liggende principes duiden. Een bekend voorbeeld van gezond verstand gebruiken is derelatie tussen pootdiktes van muizen en olifanten, die allerminst in properties staan totde typische lineire afmetingen (lengte, breedte of hoogte). Maar dat is logisch zal ieder-een zeggen: om niet door de poten te zakken zal het pootoppervlak evenredig met hetgewicht Mg moeten toenemen, en dus de poot-diameter met de wortel van de massa M .De massa zal met het volume toenemen en dat gaat ruwweg als de derde macht van delineaire afmeting L, dus pootdiameter ∼ M1/2 ∼ L3/2. Bijvoorbeeld een olifant is wathoogte/lengte/breedte betreft zo’n 64 maal groter dan een muis, waarbij we de faktor 64= 26 voor het gemak hebben genomen (zeg orde van 5 m tegenover 8 cm). Dat correspon-deert met een volume en massaverhouding van 64× 64× 64 = 218, ruim 16 000 (zeg ordevan 5 000 kg tegenover 30 gram). Volgens bovenstaande schaalwet verwachten we een ver-houding van pootdiameter van 29 ≈ 500 (zeg 0,5 - 1 meter tegen 1 - 2 mm), wat inderdaadredelijker klinkt dan wat je krijgt door een eenvoudig schaling met de lengteverhoudingvan 64, wat voor een tot olifanten-afmetingen ’opgeschaalde’ muis een pootdiameter van6,5 - 13 cm zou opleveren. De opgeschaalde muis zou dan ook door zijn poten zakken.

Maar er zijn ook een heleboel universele schaalwetten voor ’levende wezens’ die nietvanzelfsprekend zijn en die biologen en fysici bezig houden (zie bij literatuur genoemdeartikel van G.B. West). Een voorbeeld is het verband tussen het energieverbruik voor deruststofwisseling en het lichaamsgewicht, geıllustreerd in figuur 7.1. Dit voor zoogdierendoor Max Kleiber al in 1932 beschreven verband kan zelfs worden doorgetrokken naarkoudbloedige dieren en eencellige organismen, al zijn er daar nog wel discussies gaande

88 HOOFDSTUK 7. SAMEN MEER: COMPLEXITEIT

Figuur 7.2: De boomvan Pythagoras laatzien, hoe een eenvou-dig zich zelf herhalendvoorschrift een com-plexe structuur kan op-leveren.

over de precieze relatie. Zonder hier verder in te gaan op dit soort schaalwetten, is hetwel interessant om te kijken naar combinaties van dit soort relaties. Combinatie vande toename van energieverbruik als M3/4 en afname van hartslag als M−1/4 levert deinteressante conclusie op dat de voor de ruststofwisseling benodigde energie per hartslagevenredig met M toeneemt, niet onlogisch toch. Een andere interessante combinatie isde afname van de hartslag met M−1/4, die ongeveer gecompenseerd wordt met eenzelfdetoename van levensduur met M1/4, met als eindresultaat dat het totaal aantal hartslagengedurende een leven gaat als M0 = 1, d.w.z. onafhankelijk is van M , oftewel het totaalaantal hartslagen gedurende het leven is voor alle zoogdieren ruwweg hetzelfde.

Andere prachtige voorbeelden van schaalwetten zijn die tussen spanwijdte van vleugels,snelheden en massa’s van vogels, relaties waar ook vliegtuigen niet onderuitkomen (zieboek van H. Tennekes).

Patronen, topologie, fractale dimensie, zelf-organisatie, . . .

Er zijn nog een heleboel andere aspecten die samenhangen met complexiteit. Bijvoor-beeld, patroonvorming en de daaraan ten grondslag liggende principes. Zo is de boomvan Pythagoras (zie figuur 7.2) een voorbeeld van complexiteit waar een uitermate sim-pel voorschrift aan ten grondslag ligt. Cellulaire automaten, zoals systemen van ’cellen’waarin het ’overleven van cellen’ aan hun omgeving gekoppeld wordt, kunnen prachtigecomplexen opleveren. Anderzijds kunnen ingewikkelde structuren (bijvoorbeeld knopen)in een beperkt aantal klassen worden ingedeeld. Aan zich herhalende en verfijnende struc-turen, zoals kustlijnen of groeiende clusters kunnen fractale dimensies worden toegekend.Het vouwen van DNA, de spiraalstructuur van melkwegstelsels, allemaal voorbeelden vanstructuren waar we zeker nog niet uit zijn.

Fascinerend is dat elementaire principes en natuurwetten bruikbaar en gel-dig zijn van klein tot groot, van atoom tot kosmos, welke kant je ook omgaat.

Referenties

• Wie een overzicht wil van historische ontwikkelingen in de 20e eeuw doet er goed aanhet boek te lezen van A. Pais, Inward Bound; Of Matter and Forces in the PhysicalWorld, Oxford University Press (ISBN 0-19-851997-4).

• Een boek waarin diverse ontwikkelingen in de deeltjesfysica de revue passeren isM. Veltman, Facts and Mysteries in Elementary Particle Physics, World Scientific(ISBN 981-238-149-X); vertaling: Feiten en mysteries in de deeltjesfysica, deel 78van de Wetenschappelijke Bibiliotheek van Natuurwetenschap & Techniek (ISBN978-90-76988-44-7).

• B. Bryson, A Short History of Nearly Everything, Broadway Books, New York (ISBN0767908171); vertaling: Een kleine geschiedenis van bijna alles, Uitgeverij Atlas(ISBN 978-90-450-0970-6).

• Een goede bron, zowel voor inhoudelijke informatie als achtergrond is te vinden opde Nobelprijs-webpagina http://www.nobelprize.org.

• Sander Bais, De natuurwetten; iconen van onze kennis, Amsterdam University PressSalome, 2005 (ISBN 978-90-5356-714-3): een andere kijk op de vergelijkingen diegebruikt worden om natuurwetten op te schrijven.

• J.A. Wheeler, A Journey into Gravity and Spacetime, Scientific American Library(ISBN 0-7167-5016-3); vertaling: Zwaartekracht: het verband tussen massa, ruimteen tijd, deel 26 van de Wetenschappelijke Bibliotheek van Natuur & Techniek (ISBN978-90-73035-09-0).

• Bij ontwikkelingen op het gebied van de natuurkunde in Nederland, speelt de Neder-landse Natuurkundige Vereniging (NNV) een centrale rol (zie http://www.nnv.nl).In het Nederlands Tijdschrift voor Natuurkunde (NTvN) verschijnen artikelen overdeze ontwikkelingen, maar ook overzichtsartikelen, bijv. hoofdstuk 5 is een bewer-king van K.J.F. Gaemers en P.J. Mulders, De zon, het neutrino en zijn massa,NTvN 68 (2002) 374-375.

• Het tijdschrift EPS News van de overkoepelende European Physical Society (EPS)en de tijdschriften van zusterverenigingen van de NNV, zoals Physics Today vande American Physical Society (APS) en Physics World van het Britse Institute ofPhysics (IOP) brengen ook uitstekende overzichtsartikelen.

• Tabellen van elementaire deeltjes en hun eigenschappen zijn te vinden op de websitevan de ’particle data group’ http://pdg.lbl.gov. De websites van versneller-instituten zoals http://www.cern.ch van het CERN in Geneve bieden inzicht in

ontwikkelingen op het gebied van de elementaire deeltjesfysica. CERN geeft via hetIOP bovendien het zeer informatieve blad CERN Courier uit.

• In Nederland zijn de activiteiten op het gebied van de elementaire deeltjesfysica ge-bundeld in het samenwerkingsverband NIKHEF (Nationaal Instituut voor Subato-maire Fysica), waarin een aantal universiteiten en de Stichting voor FundamenteelOnderzoek der Materie (FOM) samenwerken.

• Outreach activiteiten van HISPARC zijn te vinden op http://www.hisparc.nl.

• Ontwikkelingen in Nederland op het gebied van de astrodeeltjesfysica zijn te vindenop http://www.astrodeeltjesfysica.nl.

• Een van de bekendste ’geschiedschrijvingen’ van het heelal is die van S. Weinberg,The First Three Minutes (Bantam books, 1980); vertaling: De eerste drie minuten(Natuur en Techniek, 1983).

• Inzicht in energie en uitzicht voor de toekomst komt aan de orde in het boek vanJ. Hermans, Energie survival gids, BetaText (ISBN 978-9075541113).

• Over schaalwetten in de biologie is veel meer te vinden in het artikel van G.B. Westen J.H. Brown, Life’s Universal Scaling Laws, Physics Today 57-9 (2004) 36-42.

• Over schaalwetten voor vogels en vliegtuigen gaat het boek van H. Tennekes, Dewetten van de vliegkunst, Aramith (ISBN 978-9068340952).

VAN ATOOM TOT KOSMOSWie het kleine niet eert . . .

Piet Mulders

Afdeling Theoretische Natuurkunde,Faculteit der Exacte Wetenschappen,

Vrije Universiteit Amsterdam

[email protected]://www.nat.vu.nl/∼mulders

TC

P

R L

L R

LR

L R

R

LR

L

e e e e

e e

ee

e e e e

1

Opgaven

Opgave 1.1

Het volgende stukje is de inleiding van het artikel ’Wat beweegt de atmosfeer?’ van PeterSiegmund (TU Eindhoven), NTvN 73, no. 7 (2007) 240:De intensiteit van de inkomende zonnestraling aan de top van de atmosfeer bedraagtgemiddeld 350 W/m2. [. . . ] De zon verliest door kernfusie per seconde een massa vantwee kilo om het vermogen aan zonne-energie te maken dat door de Aarde wordt onder-schept. Dit is zo’n tienduizend keer zoveel als de huidige wereldwijde energieconsumptie,die gemiddeld per persoon neerkomt op 2500 W – een flinke waterkoker. Wolken weer-kaatsen 30% van de inkomende zonnestraling en de atmosfeer absorbeert 20% . De Aardeabsorbeert de rest. Die energie raakt de Aarde weer kwijt door verdamping (24%), di-recte warmteafgifte aan de atmosfeer (6%) en door het uitzenden van infrarode straling(20%). Deze infrarode straling wordt grotendeels (14%) geabsorbeerd door de atmos-feer, vooral door waterdamp en kooldioxide (het ’broeikaseffect’). De verdampingsenergiekomt in de atmosfeer vrij in de vorm van warmte als de waterdamp condenseert. Vande inkomende zonnestraling wordt dus uiteindelijk (20+24+6+14=)64% opgenomen doorde atmosfeer. De atmosfeer verliest deze energie weer door het uitzenden van infrarodestraling. Wereldwijd gemiddeld heerst aan de top van de atmosfeer stralingsevenwicht:de netto ingaande zonnestraling (100-30=70%) is even groot als de uitgaande infrarodestraling (20-14+64=70%).

(a) De energiestroom van de Zon is I0 = 1 400 W/m2. Hoe correspondeert dat metbovenstaande gemiddelde intensiteit?

(b) Controleer de getallen in het stukje over het massaverlies van de zon.

(c) Probeer deze inleiding te illustreren met een diagram.

Opgave 1.2

(a) Wat zijn de kracht, massa en de versnelling die we in F = ma moeten gebruikenom de in hoofdstuk 1 genoemde relatie tussen afstanden van planeten tot de Zon(R) en hun omloopstijd om de Zon (T ) te bepalen.

(b) Wat is de constante R3/T 2 in AE3/jr2 en wat in mks eenheden. Wat kunnen wehieruit afleiden?

(c) Hoe kunnen we de massa van de Aarde bepalen?

(d) Bereken de som van kinetische en potentiele energie voor een planeet die op afstandR om de Zon beweegt.

2

Opgave 2.1

De mogelijke waarden van het baanimpulsmoment om een bepaalde as zijn gequantiseerdin veelvouden van h. Wanner L h dan lijkt het of het impulsmoment L = mvr bijeen rotatie alle mogelijke waarden kan hebben (een continuum), de klassieke situatie vaneen tol of een aan een touw rondslingerende massa. Voor een in een atoom ronddraaiendelektron werkt dat niet meer. Afhankelijk van de baan heeft het elektron een bepaaldimpulsmoment ` en de orientatie van de baan is zodanig dat bezien langs de z-as hetimpulsmoment alleen veelvouden van h aanneemt, bijvoorbeeld voor ` = 1 hebben we`z = m`h met m` = 1, 0 of -1, corresponderend met drie mogelijke quantumtoestanden.Het elektron heeft daarnaast nog een intrinsiek impulsmoment, spin genoemd, dat dewaarde s = 1/2 heeft en dat twee mogelijke projecties langs de z-as toelaat (twee quantum-toestanden), sz = msh met ms = 1/2 of -1/2.

(a) Geef het aantal quantumtoestanden bij een gegeven impulsmoment ` (of s) doorte kijken hoeveel `z-waarden mogelijk zijn als de maximale en minimale waardenm` = `z/h = ±` (of ms = sz/h = ±s) zijn en alleen stapjes ter grootte van hmogelijk zijn.

(b) Om het baanimpulsmoment van een elektron te combineren met de spin, tellen wede impulsmomenten op. Omdat voor zowel baanimpulsmoment als spin de waarden`z en sz gequantiseerd zijn, vinden we voor jz = `z + sz ook discrete mogelijkheden.Welke en hoeveel? Laat zien dat de mogelijke waarden voor mj = jz/h juist degenezijn die horen bij j = 3/2 en j = 1/2, zodat we de ’optelling’

1⊗ 1/2 = 3/2⊕ 1/2

hebben. Dit is een symbolische schrijfwijze.

(c) Combineer op eenzelfde manier de spin van twee elektronen tot een totale spin,Sz = s1z + s2z. Laat zien dat we (symbolisch) krijgen:

1/2⊗ 1/2 = 0⊕ 1.

3

Opgave 3.1

(a) Bereken de pakkingsgraad van de drie roosterstructuren in figuur 5

(b) Bereken voor een sc en fcc rooster de maximale straal van een atoom dat nog in hetrooster past, d.w.z. bereken de straal van de holtes (uitgedrukt in de ribbe a van dekubus of liever nog in de straal van de atoom ratoom van het originele rooster).

(c) Uit het voorgaande blijkt dat voor zwaardere (grotere) atomen die bijvoorbeeld ineen sc rooster gerangschikt zijn, er gemakkelijk voldoende ruimte is om een water-stofatoom (r ≈ 0.05 nm) in de roosterholte op te slaan. Stel je voor dat je hetmateriaal dan verzadigt met waterstof, wat is dan de dichtheid van waterstof in datmateriaal en vergelijk die met waterstof in de gastoestand.

Opgave 3.2

In het waterstofatoom wordt de potentiele energie van het elektron in het elektrische veldgegeven door

U(r) = − e2

4πε0 r.

(a) Laat zien dat de kracht werkend op het elektron gelijk is aan

F (r) = − e2

4πε0 r2.

(b) Wat is de (mks) eenheid van e2/4πε0 en gebruik die grootheid in combinatie met men h om een grootheid met dimensie van lengte te vinden. De notatie voor ’eenheidvan m is kg’ is ’[m] = kg’.

(c) De kracht op het elektron levert de centripetale kracht om het elektron te binden.Combineer dat met mvr = n h om uitdrukkingen te vinden voor straal rn en energieEn.

(d) Wat is de snelheid van het elektron in baan n. Druk deze uit in de lichtsnelheid.Merk op dat we hierbij de dimensieloze grootheid α = e2/4πε0hc ≈ 1/137 tegenko-men.

Opgave 3.3

Voor de veelvoorkomende harmonische oscillator wordt de potentiele energie voor eensysteem gegeven door

U(r) = 12kr2

(bij een veer is k de veerconstante).

(a) Laat zien dat de kracht werkend op het systeem gegeven wordt door

F (r) = −k r.

4

(b) Construeer grootheden met dimensie van energie en lengte uit k, m en h. We merkenop dat de grootheid ω =

√k/m nuttig kan blijken.

(c) De centraal gerichte kracht levert de centripetale kracht om het systeem te binden.Combineer dat met mvr = n h om uitdrukkingen te vinden voor straal rn en energieEn.

(d) Wat is de snelheid van het systeem in baan n. Vergelijk deze met de lichtsnelheid.

Opgave 3.4

Voor een lineaire potentiaal wordt de potentiele energie voor een systeem gegeven door

U(r) = T0 r.

De grootheid T0 (eenheid N) wordt wel de spankracht genoemd.

(a) Laat zien dat de kracht werkend op het systeem gegeven wordt door

F (r) = −T0

(b) Construeer grootheden met dimensie van energie en lengte uit T0, m en h.

(c) De centraal gerichte kracht levert de centripetale kracht om het systeem te binden.Combineer dat met mvr = n h om uitdrukkingen te vinden voor straal rn en energieEn.

(d) Wat is de snelheid van het systeem in baan n. Vergelijk deze met de lichtsnelheiden bekijk de toepasbaarheid voor quarks met mc2 = 10 MeV en T0 = 1 GeV/fm.

5

Opgave 3.5

1p 1/21p 3/2

1p

2s1d 2s 1/2

1d 5/2

1d 3/2

2p

2p 3/21f

1s1s 1/2

1f 5/2

1f 7/2

2p 1/21g 9/2

1g

1h

3s3s 1/22d 3/2

2d2d 5/21h11/2

1g 7/2

E magic #

nl nl j

126

?

?

?

?

?

?

Bij atoomkernen hebben we ook eenspectrum van mogelijke energietoestanden,maar hier blijkt het quantumgetal voor hettotale impulsmoment een belangrijke rol tespelen, dus E = E(n, `, j). [Dit is een ge-volg van spin-baan wisselwerkingen.] Hetspectrum van n`j-toestanden (voor proto-nen en neutronen) wordt gegeven door Be-paal de magische getallen voor de Z- en N -waarden van atoomkernen uit de ontaardingvan de verschillende niveau’s.

Opgave 3.6

Baryonen zijn opgebouwd uit drie quarks. We gaan de mogelijkheden bekijken voor dedrie lichtste smaken (u, d en s) geıllustreerd in onderstaande figuren. Net zoals we eerdertwee spin-toestanden gezien hebben, kunnen we de smaak ook zien als drie specifiekeeigenschappen van quarks en antiquarks en daar quantumgetallen aan toekennen. In ditgeval worden daarvoor isospin Iz en hyperlading Y gebruikt, zo gekozen dat ze voor hetgemiddelde van de multipletten (die aangegeven worden als 3 en 3∗), netjes gemiddeld opnul uitkomen.

Y

anti−quarks

Y

quarks

Iz

−1

1/2

u

−1/2

d

s

Iz−1/2 1/2

d u

−1s

Voor twee-quark toestanden (qq) kunnen de negen (drie maal drie) toestanden opgesplitstworden in twee multipletten (een 3∗ triplet van antisymmetrische toestanden) en een 6

6

sextet van symmetrische toestanden. Wat spin betreft kunnen de toestanden in het tripletalleen spin s = 0 hebben en de toestanden in het sextet alleen spin s = 1.

Y Y

Iz Iz

(dd) (ud) (uu)[ud]

(ds) (us)[us][ds]

(ss)

Gecombineerd met een derde quark krijgen we 27 toestanden, waarvan er 10 volledigsymmetrisch zijn. Dat blijken ook symmetrische spin toestanden te zijn (spin 3/2). HetPauli principe laat naast de tien toestanden met spin 3/2, slechts 8 toestanden (octet 8)met spin 1/2 toe.

baryon

decuplet

(s = 3/2)octet baryons (s = 1/2)

Y Yudd uud uuu

uds

uss

sss

ddd

Σ Σ

Ξ Ξ

∆ ∆ ∆ ∆n p

Ω

−Σ∗ Σ∗ Σ∗

Ξ∗Ξ∗

0 ++

0 0−

−

− 0 + ++

−

−

uusdds

dss

dds uus

dss uss

uds0

Λ0

Σ

uududd

IzIz

Mesonen bestaan uit quark en antiquark combinaties. Er zijn geen beperkingen omdathet geen identieke deeltjes zijn. We krijgen twee nonetten, een met spin 0 en een met spin1.

q q (3x)q q (3x)

K

Y

− +

u s

u dd u

s u s d

0

d s

ρ ρ ω φ

Y

− +

u s

u dd u

s u s dπ η η0π

d s

K K

K

π

0

K* K*

K* K*+0

0−− 0

+

ρ

pseudoscalar nonet (s = 0) vector meson nonet (s = 1)

IzIz

Deeltjes en hun eigenschappen, zoals massa en spin kunnen gevonden worden op de websitevan de ’particle data group’, http://pdg.lbl.gov.

(a) Aan de quarks en antiquarks kunnen we baryongetal B = +1/3 en B = −1/3toekennen, met als logische consequentie B = 1 voor baryonen en B = 0 voor

7

mesonen. Ga in het triplet na dat het aantal vreemde quarks minus anti-quarksgegeven wordt door

Ns = B − YNs = −B + Y

Voor de ’vreemdheid’ S ≡ Ns −Ns krijgen we de relatie

S = Y −B,

een relatie die niet alleen voor quarks, maar ook voor de mesonen en baryonen geldt.Overtuig jezelf er van dat dit niet alleen werkt voor de basistripletten, maar ook voorde hieruit opgebouwde baryonen en mesonen. We merken op dat positief/negatiefvoor ’vreemdheid’ puur een kwestie van afspraak is. Geef ook een uitdrukking voorde lading Q.

(b) Zoek de massa’s van de decuplet baryonen met spin J = 3/2 op? (op de pdg-webpagina’s wordt de spin van een deeltje met J aangegeven omdat voor een uitquarks samengesteld deeltje de spin van het deeltje in het algemeen het resultaat vanquark spins en baanimpulsmoment is). Wat valt je op. Kun je de massaverschillenqualitatief verklaren?

(c) Doordat quarks en antiquarks in mesonen behalve spin ook nog eens een baan-impulsmoment kunnen hebben zien we ρ-deeltjes met hogere spins. Afhankelijkvan het feit of het baanimpulsmoment even of oneven is worden deze deeltjes a- ofρ-mesonen genoemd. We hebben bijvoorbeeld

J = 1 J = 2 J = 3 J = 4ρ(770) a2(1320) ρ3(1690) a4(2000)

Bestudeer het verband tussen massa en spin. Vergelijk dit met de theoretischebeschouwing in het dictaat (kader p. 20).

Opgave 3.7

Bij botsingen tussen deeltjes kunnen quarks en antiquarks elkaar annihileren of ze kunnenin paren gecreeerd worden. Het onderstaande quarklijn-diagram laat schematisch zien water gebeurt, inclusief het veranderen van de smaak van een quark door creatie van een zwakkrachtdeeltje.

d dπ

∆

p

u

duuu

ud

u+

++p

π+

Kijk op deze manier ook eens naar π−p-verstrooiing en K−p-verstrooiing en teken hetquarklijnen-diagram. Met voldoende energie kunnen er ook ’vreemde’ deeltjes (met eenof zelfs meer s-quarks erin) gemaakt worden. Geef hiervan voorbeelden.

8

Opgave 3.8

(a) Teken voor D-mesonen (quark-inhoud cq) Y − Iz diagrammen. Wat zijn de ’spins’van de mesonen waarin het baanimpulsmoment nul is.

(b) Teken voor baryonen met een c-quark de Y −Iz diagrammen. Kun je de bijbehorendebaryonen vinden op de pdg-webpagina’s. Kijk eens naar de mogelijke spins enprobeer die te begrijpen.

(c) Teken voor baryonen met twee c-quarks de Y − Iz diagrammen. Kun je de bijbeho-rende baryonen vinden op de pdg-webpagina’s. Kijk eens naar de mogelijke spinsen probeer die te begrijpen.

9

Opgave 4.1

(a) Bereken de omwentelingstijd voor een satelliet dicht bij het aardoppervlak. Drukhet resultaat uit in de versnelling van de zwaartekracht (g ≈ 9, 8 m/s2).

(b) Bereken de tijd nodig om ’door de aarde te vallen’ zoals beschreven in 3.1 gebruik-makend van de eigenschap dat de kracht op afstand r van het aardmiddelpunt wordtbepaald door de massa binnen een bolschil met straal r.

Opgave 4.2

Beredeneer wat er gebeurt met het spiegelbeeld van een magneet?

Opgave 4.3

Construeer uit de grootheden h (de gereduceerde Planck constante), c (de lichtsnelheid)en G (de gravitatieconstante van Newton) een grootheid met dimensie van energie en eengrootheid met dimensie van lengte.

10

Opgave 6.1

(a) Leidt de uitdrukking voor E(λ, T ) af uit die voor E(f, T ) gebruikmakend van

E(λ, T ) dλ = E(f, T ) df.

(b) Gebruik bijvoorbeeld Mathematica om de Planck curve als functie van y = λ kT/hcte plotten.

(c) Bepaal de waarde ymax van het maximum en leidt de uitdrukking voor de λmax T af.Check de numerieke waarde in mks eenheden.

Opgave 6.2

(a) Gebruik∞∑n=0

xn =1

1− x

om te laten zien dat∞∑n=0

nxn =x

(1− x)2.

en leidt hiermee de gemiddelde energie voor fotonen met een bepaalde frequentie af.

(b) Beredeneer dat het uitgezonden vermogen per m2 van een zwarte straler gelijk isaan c E .

(c) Gebruik ∫ ∞0

dxx3

ex − 1=π4

15

om te laten zien dat de Stefan-Boltzmann constante gelijk is aan

σ =8π5 k4

15h3c2.

(d) Gebruik ∫ ∞0

dxx2

ex − 1= 2 ζ(3) ≈ 2, 404

om een uitdrukking voor de dichtheid van fotonen in een zwarte straler af te leiden.

Opgave 6.3

(a) Beschouw een mens als een volume met constante temperatuur. Bereken de uitge-zonden energie per seconde en per oppervlakte van een mens bij lichaamstempara-tuur.

(b) Als de lichaamstemperatuur gelijk zou zijn aan de omgevingstemperatuur, dan zouer geen energietransport zijn. Gebruik dit om de opgenomen energie uit de omgevingte schatten bij 20 graden Celsius.

(c) Bereken uit het verschil het vermogen van een mens. Klopt dit een beetje?

11

Opgave 6.4

Schat de (constante) dichtheid van materie (in kg/m3 en in aantal protonen per cm3)zoals die uit de rotatiekromme van M33 volgt.

12

Piet Mulders - Vrije Universiteit Amsterdammulders/quarks.pdf · sprekende standaard, 1000 m = 103...

Documents

Transcript of Piet Mulders - Vrije Universiteit Amsterdammulders/quarks.pdf · sprekende standaard, 1000 m = 103...