Opgaven en oplossingen

Opgave 1.1

Het volgende stukje is de inleiding van het artikel ’Wat beweegt de atmosfeer?’ van PeterSiegmund (TU Eindhoven), NTvN 73, no. 7 (2007) 240:De intensiteit van de inkomende zonnestraling aan de top van de atmosfeer bedraagtgemiddeld 350 W/m2. [. . . ] De zon verliest door kernfusie per seconde een massa vantwee kilo om het vermogen aan zonne-energie te maken dat door de Aarde wordt onder-schept. Dit is zo’n tienduizend keer zoveel als de huidige wereldwijde energieconsumptie,die gemiddeld per persoon neerkomt op 2500 W – een flinke waterkoker. Wolken weer-kaatsen 30% van de inkomende zonnestraling en de atmosfeer absorbeert 20% . De Aardeabsorbeert de rest. Die energie raakt de Aarde weer kwijt door verdamping (24%), di-recte warmteafgifte aan de atmosfeer (6%) en door het uitzenden van infrarode straling(20%). Deze infrarode straling wordt grotendeels (14%) geabsorbeerd door de atmos-feer, vooral door waterdamp en kooldioxide (het ’broeikase↵ect’). De verdampingsenergiekomt in de atmosfeer vrij in de vorm van warmte als de waterdamp condenseert. Vande inkomende zonnestraling wordt dus uiteindelijk (20+24+6+14=)64% opgenomen doorde atmosfeer. De atmosfeer verliest deze energie weer door het uitzenden van infrarodestraling. Wereldwijd gemiddeld heerst aan de top van de atmosfeer stralingsevenwicht:de netto ingaande zonnestraling (100-30=70%) is even groot als de uitgaande infrarodestraling (20-14+64=70%).

(a) De energiestroom van de Zon is I0

= 1400 W/m2. Hoe correspondeert dat metbovenstaande gemiddelde intensiteit?

(oplossing)De dwarsdoorsnede van de Aarde gezien vanaf de zon is R2. Dit komt terecht ophet hele aardoppervlakte, dus op 4R2.

(b) Controleer de getallen in het stukje over het massaverlies van de zon.

(oplossing)Met R = 6 000 km, vinden we voor het vermogen dat de Aarde opvangt R2 I

0

1, 6 1017 W. Dit geeft het aantal Joules per seconde. Een evengrote hoeveelheidenergie mc2 krijg je uit een massa m 1, 8 kg.

(c) Probeer deze inleiding te illustreren met een diagram.

(oplossing)

15

100 = 350 W/m2

RuimteZon

Aarde

6

Atmosfeer

Zonnestraling VerdampingGeleiding

201430

64303070

100 100

50 30 20

50

Warmte

Opgave 1.2

(a) Wat zijn de kracht, massa en de versnelling die we in F = ma moeten gebruikenom de in hoofdstuk 1 genoemde relatie tussen afstanden van planeten tot de Zon(R) en hun omloopstijd om de Zon (T ) te bepalen.

(b) Wat is de constante R3/T 2 in AE3/jr2 en wat in mks eenheden. Wat kunnen wehieruit afleiden?

(oplossing)Als we de gravitatieconstante G kennen, kunnen we hier de massa van de zon uitbepalen.

(c) Hoe kunnen we de massa van de Aarde bepalen?

(oplossing)Dat kan bijvoorbeeld door gebruik te maken van de afstand Aarde-Maan (ca. 384 000km) en de omloopstijd van de Maan (ca. 27,3 dagen).

(d) Bereken de som van kinetische en potentiele energie voor een planeet die op afstandR om de Zon beweegt.

(oplossing)De energie is de som van kinetische en potentiele energie,

E = 1

2

mv2 GMm

R,

Uit de gelijkstelling van gravitatiekracht aan centripetale kracht volgt

mv2

R=

GMm

R2

) 1

2

mv2 =1

2

GMm

R.

Dus we vinden

E = 1

2

GMm

R.

De energie is negatief wat aangeeft dat het systeem ’gebonden’ is.

16

Opgave 2.1

De mogelijke waarden van het baanimpulsmoment om een bepaalde as zijn gequantiseerdin veelvouden van h. Wanner L h dan lijkt het of het impulsmoment L = mvr bijeen rotatie alle mogelijke waarden kan hebben (een continuum), de klassieke situatie vaneen tol of een aan een touw rondslingerende massa. Voor een in een atoom ronddraaiendelektron werkt dat niet meer. Afhankelijk van de baan heeft het elektron een bepaaldimpulsmoment ` en de orientatie van de baan is zodanig dat bezien langs de z-as hetimpulsmoment alleen veelvouden van h aanneemt, bijvoorbeeld voor ` = 1 hebben we`z = m`h met m` = 1, 0 of -1, corresponderend met drie mogelijke quantumtoestanden.Het elektron heeft daarnaast nog een intrinsiek impulsmoment, spin genoemd, dat dewaarde s = 1/2 heeft en dat twee mogelijke projecties langs de z-as toelaat (twee quantum-toestanden), sz = msh met ms = 1/2 of -1/2.

(a) Geef het aantal quantumtoestanden bij een gegeven impulsmoment ` (of s) doorte kijken hoeveel `z-waarden mogelijk zijn als de maximale en minimale waardenm` = `z/h = ±` (of ms = sz/h = ±s) zijn en alleen stapjes ter grootte van hmogelijk zijn.

(oplossing)Er zijn dan in het algemeen 2` + 1 impulsmomenttoestanden, bv. bij ` = 1 metwaarden m` = `z/h = 1, 0 en 1. Idem voor spin hebben we in het algemeen 2s+1toestanden, bv. voor s = 1/2 met ms = sz/h = 1/2 en 1/2. Dit is geıllustreerd inde linker twee figuren in het volgende schema,

lz

1

0

−1

z

1

0

−1

z

1

0

−1

s j

l = 1 s = 1/2 j = 1/2 of 3/2

(b) Om het baanimpulsmoment van een elektron te combineren met de spin, tellen wede impulsmomenten op. Omdat voor zowel baanimpulsmoment als spin de waarden`z en sz gequantiseerd zijn, vinden we voor jz = `z + sz ook discrete mogelijkheden.Welke en hoeveel? Laat zien dat de mogelijke waarden voor mj = jz/h juist degenezijn die horen bij j = 3/2 en j = 1/2, zodat we de ’optelling’

1 1/2 = 3/2 1/2

hebben. Dit is een symbolische schrijfwijze.

(oplossing)

17

De volgende waarden zijn mogelijk:m` = `z/h ms = sz/h mj = jz/h

1 1/2 3/21 -1/2 1/20 1/2 1/20 -1/2 -1/2-1 1/2 -1/2-1 -1/2 -3/2

We zien 6 mogelijke toestanden, met alshoogste waarde mj = jz/h = 3/2. Samenmet toestanden mj = 1/2, 1/2 en 3/2vormen dat de vier toestanden met j =3/2. Blijven over twee toestanden met mj

= 1/2 en 1/2, die bij j = 1/2 horen (zierechterfiguur hierboven).

(c) Combineer op eenzelfde manier de spin van twee elektronen tot een totale spin,Sz = s

1z + s2z. Laat zien dat we (symbolisch) krijgen:

1/2 1/2 = 0 1.

(oplossing)De mogelijke toestanden zijn:m` = `z/h ms = sz/h mj = jz/h

1/2 1/2 11/2 -1/2 0-1/2 1/2 0-1/2 -1/2 -1

We zien 4 mogelijke toestanden, met alshoogste waarde mS = Sz/h = 1. Samenmet toestanden mS = 0 en 1 vormen datde drie toestanden met S = 1. Blijft overeen toestand met mS = 0.

18

Opgave 3.1

(a) Bereken de pakkingsgraad van de drie roosterstructuren in figuur 5

(oplossing)Stel de ribbe heeft lengte a. Dan zien we eenvoudig dat voor de roosters:sc: r

atom

= 1

2

a

bcc: ratom

= 1

4

ap3

fcc: ratoom

= 1

4

ap2

Het aantal atomen in de roosters in een kubus is:sc: n = 8 1

8

= 1bcc: n = 1 + 8 1

8

= 2fcc: n = 6 1

2

+ 8 1

8

= 4Dus de pakkingsgraad is p = n 4

3

r3atoom

/a3,sc: p = 1

6

0.524

bcc: p = 1

8

p3 0.680

fcc: p = 1

6

p2 0.740

(b) Bereken voor een sc en fcc rooster de maximale straal van een atoom dat nog in hetrooster past, d.w.z. bereken de straal van de holtes (uitgedrukt in de ribbe a van dekubus of liever nog in de straal van de atoom r

atoom

van het originele rooster).

(oplossing)sc: een inpassend atoom zal uit symmetrieoverwegingen in het midden zitten. Be-kijk de rechthoek van 2 schuin tegenover elkaar liggende ribben (zijden dus a enap2). De diagonaal heeft lengte a

p3. Daarop passen 2 r

atoom

+ 2 rholte

, dussc: r

holte

= 1

2

a(p3 1) = r

atoom

(p3 1) 0.732 r

atoom

fcc: Dit rooster is opgebouwd uit gelijkzijdige vierhoeken waarin de afstanden tus-sen atomen op de hoekpunten 2 r

atoom

= 1

2

ap2 is. Inpassende atomen liggen dus in

het midden (zwaartepunt/hoogtepunt) van zo’n gelijkzijdige vierhoeken. Alle zijdenhiervan vormen gelijkzijdige driehoeken (met zijden met lengte 2 r

atoom

. Hoogtelij-nen in deze driehoeken hebben lengte r

atoom

p3 met hoogtepunt op 2/3 van hoek-

punt, d.w.z. op afstand 2

3

ratoom

p3. De hoogtelijn in de vierhoek loopt van een

hoekpunt naar het hoogtepunt in de tegenoverliggende driehoek. De lengte hiervanis 2

3

ratoom

p6 en het hoogtepunt van de vierhoek ligt op 3/4 van het hoekpunt, d.w.z.

op afstand 1

2

ratoom

p6. Deze afstand is ook gelijk aan r

holte

+ ratoom

, dus

fcc: rholte

= ratoom

(12

p6 1) 0.225 r

atoom

.

(c) Uit het voorgaande blijkt dat voor zwaardere (grotere) atomen die bijvoorbeeld ineen sc rooster gerangschikt zijn, er gemakkelijk voldoende ruimte is om een water-stofatoom (r 0.05 nm) in de roosterholte op te slaan. Stel je voor dat je hetmateriaal dan verzadigt met waterstof, wat is dan de dichtheid van waterstof in datmateriaal en vergelijk die met waterstof in de gastoestand.

(oplossing)Als er ruimte is in een sc rooster zouden er net zo veel H-atomen zijn als zwaardereatomen. Voor een typisch metaal met atoomgewicht van zeg 60 en soortelijk gewichtvan 6 kg/l, betekent dit 100 N

av

atomen/l en dus plaats voor evenveel waterstof-atomen, corresponderend met 0,1 kg waterstof per liter. Dat is veel meer waterstof

19

dan in gasvorm. Voor waterstofgas hebben we onder standaard omstandigheden (1atm, 273 K) N

av

moleculen per 22,4 liter, dus 2 gram per 22,4 l oftewel een dichtheidvan 0,001/22,4 kg/l = 8, 9 105 kg/l.

Opgave 3.2

In het waterstofatoom wordt de potentiele energie van het elektron in het elektrische veldgegeven door

U(r) = e2

40

r.

(a) Laat zien dat de kracht werkend op het elektron gelijk is aan

F (r) = e2

40

r2.

(oplossing)De kracht wordt gevonden als F = rU , in dit geval is alleen de radiele richtingbelangrijk en hebben we F (r) = dU/dr.

(b) Wat is de (mks) eenheid van e2/40

en gebruik die grootheid in combinatie met men h om een grootheid met dimensie van lengte te vinden. De notatie voor ’eenheidvan m is kg’ is ’[m] = kg’.

(oplossing)We vinden

e2

40

r

= J =

kgm2

s2, dus

e2

40

= Jm =

kgm3

s2.

Met een beetje puzzelen en [m] = kg en [h] = J s = kgm2/s, vinden we

4

0

h2

me2

= m.

Deze grootheid staat bekend als de Bohrstraal a0

0.05 nm.

(c) De kracht op het elektron levert de centripetale kracht om het elektron te binden.Combineer dat met mvr = n h om uitdrukkingen te vinden voor straal rn en energieEn.

(oplossing)We combineren

mv2

rn=

e2

40

rn) mv2n =

e2

40

rnmvnrn = n h,

en vinden

rn = n2

40

h2

me2= n2 a

0

.

20

De energie van het elektron is

En = 1

2

mv2n e2

40

rn= 1

2

e2

40

rn=

1

n2

me4

32 220

h2

.

(d) Wat is de snelheid van het elektron in baan n. Druk deze uit in de lichtsnelheid.Merk op dat we hierbij de dimensieloze grootheid ↵ = e2/4

0

hc 1/137 tegenko-men.

(oplossing)Uit de quantisatie voorwaarde vinden we

vn =n h

m rn=

1

n

e2

40

h

en dusvnc

=1

n↵.

De snelheid van het elektron in het atoom is dus niet-relativistisch.

Opgave 3.3

Voor de veelvoorkomende harmonische oscillator wordt de potentiele energie voor eensysteem gegeven door

U(r) = 1

2

kr2

(bij een veer is k de veerconstante).

(a) Laat zien dat de kracht werkend op het systeem gegeven wordt door

F (r) = k r.

(oplossing)De kracht wordt gevonden als F = rU , in dit geval is alleen de radiele richtingbelangrijk en hebben we F (r) = dU/dr.

(b) Construeer grootheden met dimensie van energie en lengte uit k, m en h. We merkenop dat de grootheid ! =

pk/m nuttig kan blijken.

(oplossing)We vinden

[k] =N

m=

kg

s2. en [!] =

"rk

m

#= s1.

Dat is een (hoek)frequentie. Vermenigvuldigen met h (J s) zien we dat

[h!] = J =kgm2

s2en

"rh

m!

#= m

21

(c) De centraal gerichte kracht levert de centripetale kracht om het systeem te binden.Combineer dat met mvr = n h om uitdrukkingen te vinden voor straal rn en energieEn.

(oplossing)We combineren

mv2

rn= k rn ) v2n = !2 r2n ) vn = ! rn,

mvnrn = n h,

en vinden

rn =

rn

h

m!en vn =

rnh!

m.

Daaruit volgt voor de energieniveau’s

En = 1

2

mv2n +1

2

kr2n = n h!.

We merken op dat de volledige quantummechanische aanpak uiteindelijk een soort-gelijk resultaat oplevert, maar met n = 2nr + `+ 3

2

.

(d) Wat is de snelheid van het systeem in baan n. Vergelijk deze met de lichtsnelheid.

(oplossing)We vinden

vnc

=

rn

h!

mc2

Dus het ligt aan de verhouding van de karakteristieke energie h! en de rust-energiemc2 wanneer het systeem relativistisch wordt. Wanneer vn/c ! 1 is bovenstaandeafleiding niet meer goed. We moeten dan de ’relativistisch’ correcte uitdrukkingvoor energieen gebruiken.

Opgave 3.4

Voor een lineaire potentiaal wordt de potentiele energie voor een systeem gegeven door

U(r) = T0

r.

De grootheid T0

(eenheid N) wordt wel de spankracht genoemd.

(a) Laat zien dat de kracht werkend op het systeem gegeven wordt door

F (r) = T0

(oplossing)De kracht wordt gevonden als F = rU , in dit geval is alleen de radiele richtingbelangrijk en hebben we F (r) = dU/dr.

22

(b) Construeer grootheden met dimensie van energie en lengte uit T0

, m en h.

(oplossing)We vinden

[T0

] = N =J

m=

kgm

s2.

Een beetje puzzelen geeft

"h2

mT0

1/3

#= m en

"h2 T 2

0

m

1/3

#= J

(c) De centraal gerichte kracht levert de centripetale kracht om het systeem te binden.Combineer dat met mvr = n h om uitdrukkingen te vinden voor straal rn en energieEn.

(oplossing)We combineren

mv2

rn= T

0

) mv2n = T0

rn,

mvnrn = n h,

en vinden

rn =

n2

h2

mT0

1/3

en vn =

nh T

0

m2

1/3

.

Daaruit volgt voor de energieniveau’s

En = 1

2

mv2n + T0

rn = 3

2

T0

rn = 3

2

n2

h2 T 2

0

m

1/3

.

We merken op dat voor de volledige quantummechanische aanpak geen algebraischeuitdrukking bestaat, maar een goede benadering is n = 1.8nr + `+ 1.376.

(d) Wat is de snelheid van het systeem in baan n. Vergelijk deze met de lichtsnelheiden bekijk de toepasbaarheid voor quarks met mc2 = 10 MeV en T

0

= 1 GeV/fm.

(oplossing)We vinden

vnc

=

nhc T

0

m2c4

1/3

.

De bepalende factor is de vergelijking van hc T0

(mc2)2. Voor quarks in een nucleonis de spankracht T

0

1 GeV/fm. Vermenigvuldigd met hc 0.2 GeV fm zien wedat hc T

0

0.2 GeV2, terwijl mc2 10 MeV en dus (mc2)2 0.000 1 GeV2. Wezien we dat quarks al in de grondtoestand ultra-relativistisch zijn (hc T

0

/(mc2)2 2 000). De (correcte) relativistische behandeling wordt in hoofdstuk 3 besproken.

23

Opgave 3.5

1p 1/21p 3/2

1p

2s1d 2s 1/2

1d 5/2

1d 3/2

2p

2p 3/21f

1s1s 1/2

1f 5/2

1f 7/2

2p 1/21g 9/2

1g

1h

3s3s 1/22d 3/2

2d2d 5/21h11/2

1g 7/2

E magic #

nl nl j

126

?

?

?

?

?

?

Bij atoomkernen hebben we ook eenspectrum van mogelijke energietoestanden,maar hier blijkt het quantumgetal voor hettotale impulsmoment een belangrijke rol tespelen, dus E = E(n, `, j). [Dit is een ge-volg van spin-baan wisselwerkingen.] Hetspectrum van n`j-toestanden (voor proto-nen en neutronen) wordt gegeven door Be-paal de magische getallen voor de Z- en N -waarden van atoomkernen uit de ontaardingvan de verschillende niveau’s.

(oplossing)De oplossing van onder af zijn de getallen: 2, 8, 20, 28, 50, 82.

Opgave 3.6

Baryonen zijn opgebouwd uit drie quarks. We gaan de mogelijkheden bekijken voor dedrie lichtste smaken (u, d en s) geıllustreerd in onderstaande figuren. Net zoals we eerdertwee spin-toestanden gezien hebben, kunnen we de smaak ook zien als drie specifiekeeigenschappen van quarks en antiquarks en daar quantumgetallen aan toekennen. In ditgeval worden daarvoor isospin Iz en hyperlading Y gebruikt, zo gekozen dat ze voor hetgemiddelde van de multipletten (die aangegeven worden als 3 en 3), netjes gemiddeld opnul uitkomen.

Y

anti−quarks

Y

quarks

Iz

−1

1/2

u

−1/2

d

s

Iz−1/2 1/2

d u

−1s

24

Voor twee-quark toestanden (qq) kunnen de negen (drie maal drie) toestanden opgesplitstworden in twee multipletten (een 3 triplet van antisymmetrische toestanden) en een 6sextet van symmetrische toestanden. Wat spin betreft kunnen de toestanden in het tripletalleen spin s = 0 hebben en de toestanden in het sextet alleen spin s = 1.

Y Y

Iz Iz

(dd) (ud) (uu)[ud]

(ds) (us)[us][ds]

(ss)

Gecombineerd met een derde quark krijgen we 27 toestanden, waarvan er 10 volledigsymmetrisch zijn. Dat blijken ook symmetrische spin toestanden te zijn (spin 3/2). HetPauli principe laat naast de tien toestanden met spin 3/2, slechts 8 toestanden (octet 8)met spin 1/2 toe.

baryon

decuplet(s = 3/2)octet baryons (s = 1/2)

Y Yudd uud uuu

uds

uss

sss

ddd

Σ Σ

Ξ Ξ

∆ ∆ ∆ ∆n p

Ω

−Σ∗ Σ∗ Σ∗

Ξ∗Ξ∗

0 ++

0 0−

−

− 0 + ++

−

−

uusdds

dss

dds uus

dss uss

uds0

Λ0

Σ

uududd

IzIz

Mesonen bestaan uit quark en antiquark combinaties. Er zijn geen beperkingen omdathet geen identieke deeltjes zijn. We krijgen twee nonetten, een met spin 0 en een met spin1.

q q (3x)q q (3x)

K

Y

− +

u s

u dd u

s u s d

0

d s

ρ ρ ω φ

Y

− +

u s

u dd u

s u s dπ η η0π

d s

K K

K

π

0

K* K*

K* K*+0

0−− 0

+

ρ

pseudoscalar nonet (s = 0) vector meson nonet (s = 1)

IzIz

Deeltjes en hun eigenschappen, zoals massa en spin kunnen gevonden worden op de websitevan de ’particle data group’, http://pdg.lbl.gov.

(a) Aan de quarks en antiquarks kunnen we baryongetal B = +1/3 en B = 1/3toekennen, met als logische consequentie B = 1 voor baryonen en B = 0 voor

25

mesonen. Ga in het triplet na dat voor de (anti)-quarks het aantal vreemde (anti-)quarks gegeven wordt door

Ns = B Y

Ns = B + Y

Voor de ’vreemdheid’ S Ns Ns krijgen we de relatie

S = Y B,

een relatie die niet alleen voor quarks, maar ook voor de mesonen en baryonen geldt.Overtuig jezelf er van dat dit niet alleen werkt voor de basistripletten, maar ook voorde hieruit opgebouwde baryonen en mesonen. We merken op dat positief/negatiefvoor ’vreemdheid’ puur een kwestie van afspraak is. Geef ook een uitdrukking voorde lading Q.

(oplossing)Voor de lading (in veelvouden van e) vinden we Q = 1

2

Y + Iz.

(b) Zoek de massa’s van de decuplet baryonen met spin J = 3/2 op? (op de pdg-webpagina’s wordt de spin van een deeltje met J aangegeven omdat voor een uitquarks samengesteld deeltje de spin van het deeltje in het algemeen het resultaat vanquark spins en baanimpulsmoment is). Wat valt je op. Kun je de massaverschillenqualitatief verklaren?

(oplossing)Voor de verschillende baryonen, door de ’particle data group’ gerangschikt naarhun ’vreemheid’ of ’hyperlading’ vinden we als laagste spin J = 3/2 toestanden dedeeltjes (1232), (1385), (1530) en (1672). Tussen haakjes staat de massa inMeV/c2. De stappen zijn respectievelijk 153, 145 en 142 MeV, terwijl de baryoneniedere keer een vreemde quark meer hebben. Blijkbaar is in een baryon de energie-bijdrage van een vreemde quark zo’n 150 MeV meer dan de energiebijdrage vaneen niet-vreemde (u of d) quark. Dit wordt toegeschreven aan het feit dat vreemdequarks een grotere massa hebben dan lichte quarks. Meer gedetailleerde analyseswijzen op massa’s van zo’n 10 MeV voor up en down quarks en zo’n 180 MeV voorvreemde quarks.

(c) Doordat quarks en antiquarks in mesonen behalve spin ook nog eens een baan-impulsmoment kunnen hebben zien we -deeltjes met hogere spins. Afhankelijkvan het feit of het baanimpulsmoment even of oneven is worden deze deeltjes a- of-mesonen genoemd. We hebben bijvoorbeeld

J = 1 J = 2 J = 3 J = 4(770) a

2

(1320) 3

(1690) a4

(2000)

Bestudeer het verband tussen massa en spin. Vergelijk dit met de theoretischebeschouwing in het dictaat (kader p. 20).

(oplossing)We krijgen voor de gekwadrateerde massa’s:

26

J = 1 J = 2 J = 3 J = 40.59 1.74 2.85 4.0

waaruit voor deze mesonen een helling volgt van 1/↵0 1, 15 GeV2.

Opgave 3.7

Bij botsingen tussen deeltjes kunnen quarks en antiquarks elkaar annihileren of ze kunnenin paren gecreeerd worden. Het onderstaande quarklijn-diagram laat schematisch zien water gebeurt, inclusief het veranderen van de smaak van een quark door creatie van een zwakkrachtdeeltje.

d dπ

∆

p

u

duuu

ud

u+

++p

π+

Kijk op deze manier ook eens naar p-verstrooiing en Kp-verstrooiing en teken hetquarklijnen-diagram. Met voldoende energie kunnen er ook ’vreemde’ deeltjes (met eenof zelfs meer s-quarks erin) gemaakt worden. Geef hiervan voorbeelden.

Opgave 3.8

(a) Teken voor D-mesonen (quark-inhoud cq) Y Iz diagrammen. Wat zijn de ’spins’van de mesonen waarin het baanimpulsmoment nul is.

(oplossing)

c s

c u c d

c s

c dc u

D

D DD D

Y Y

∗D

∗∗

++s s

+ +00

s = 0 s = 1

Iz Iz

(b) Teken voor baryonen met een c-quark de Y Iz diagrammen. Kun je de bijbeho-rende baryonen vinden op de pdg-webpagina’s. Kijk eens naar de mogelijke spinsen probeer die te begrijpen.

(oplossing)

27

Ξ∗c

0Ξ∗ +

c

Ωc0

Ω∗c

0

Ξ+c

Σ c0

Σ c∗Σ c

∗Σ c∗++

s = 3/2

Y Y

s = 1/2

udc uucuucudcddc ddc

sscssc

dsc usc dsc usc

Σ c Σ c+

Λ c+ 0 + ++

Ξ0c

Iz Iz

(c) Teken voor baryonen met twee c-quarks de Y Iz diagrammen. Kun je de bijbeho-rende baryonen vinden op de pdg-webpagina’s. Kijk eens naar de mogelijke spinsen probeer die te begrijpen.

(oplossing)

Ξ cc+

Ωcc+

Ωcc∗+

Ξ∗+cc

Y

s = 3/2

Y

s = 1/2

dcc ucc dcc ucc

scc scc

+Ξ cc

∗++Ξ cc

++

IzIz

28

Opgave 4.1

(a) Bereken de omwentelingstijd voor een satelliet dicht bij het aardoppervlak. Drukhet resultaat uit in de versnelling van de zwaartekracht (g 9, 8 m/s2).

(oplossing)We kunnen het resultaat uit 1.5 gebruiken en daarnaast g = GM

aarde

/R2, dus

T =

s42 R3

GMaarde

= 2

sR

g.

Met R = 6000 km, vinden we ongeveer 84 minuten.

(b) Bereken de tijd nodig om ’door de aarde te vallen’ zoals beschreven in 3.1 gebruik-makend van de eigenschap dat de kracht op afstand r van het aardmiddelpunt wordtbepaald door de massa binnen een bolschil met straal r.

(oplossing)De kracht binnen de Aarde wordt gegeven door

F (r) = GMaarde

m

r2r3

R3

=GM

aarde

m

R3

r =mg

Rr

en is naar het middelpunt gericht. De beweging is dus net als die van een veer metde kracht evenredig met de afstand tot het middelpunt. De bewegingsvergelijkingwordt

r = g

Rr,

wat aanleiding geeft tot oscillaties met hoekfrequentie ! =p

g/R. De trillingstijdhiervoor is

T =2

!= 2

sR

g,

identiek aan de omlooptijd van een satelliet dicht bij aardoppervlak. De tijd van deene naar de andere kant van de aarde is de helft, 42 minuten.

Opgave 4.2

Beredeneer wat er gebeurt met het spiegelbeeld van een magneet?

(oplossing)De richting van het magneetveld draait om, dus noord- en zuidpool verwisselen van rol.Dit is het eenvoudigste te zien bij een magneet gevormd door een spoel waar een stroomdoorheen loopt.

Opgave 4.3

Construeer uit de grootheden h (de gereduceerde Planck constante), c (de lichtsnelheid)en G (de gravitatieconstante van Newton) een grootheid met dimensie van energie en eengrootheid met dimensie van lengte.

(oplossing)De grootheden genoemd aan het einde van 3.5 zijn het resultaat. Deze zijn met de gegevengrootheden als startpunt uniek (op constantes na).

29

Opgave 6.1

(a) Leidt de uitdrukking voor E(, T ) af uit die voor E(f, T ) gebruikmakend van

E(, T ) d = E(f, T ) df.

(oplossing)Gebruik df = d(c/) = (c2) d.

(b) Gebruik bijvoorbeeld Mathematica om de Planck curve als functie van y = kT/hcte plotten.

(oplossing)Als functie van deze variable krijgen we E(y, T ) dy = E(, T ) d met

E(y, T ) = 8 (kT )4

(hc)31

y51

(e1/y 1),

(c) Bepaal de waarde ymax

van het maximum en leidt de uitdrukking voor de max

T af.Check de numerieke waarde in mks eenheden.

(oplossing)Het maximum ligt bij dE/dy = 0,

5

y6

e1/y 1

1

y5

e1/y

1

y2

= 0,

y =e1/y

5 (e1/y 1)=

1

5 (1 e1/y).

Dit ligt niet zo ver van y = 0, 2. Door nu 0,2 in de rechteruitdrukking te substituerenkrijgen we een betere schatting van y,

y =0, 2

(1 e5)= 0, 2014,

Desgewenst kan het nog een keer geıtereerd worden, maar dat levert bij boven-staande nauwkeurigheid (4 decimalen) niets nieuws meer op. De Convergentie gaatheel snel, omdat e5 al een erg klein getal is. We vinden dus

max

T = 0, 2014hc

k= 2, 9 103mK.

Opgave 6.2

(a) Gebruik1X

n=0

xn =1

1 x

om te laten zien dat1X

n=0

nxn =x

(1 x)2.

30

en leidt hiermee de gemiddelde energie voor fotonen met een bepaalde frequentie af.

(oplossing)Di↵erentieer de beginuitdrukking en vermenigvuldig met x. Zie verder kader intekst.

(b) Beredeneer dat het uitgezonden vermogen per m2 van een zwarte straler gelijk isaan c E .

(c) Gebruik Z 1

0

dxx3

ex 1=

4

15

om te laten zien dat de Stefan-Boltzmann constante gelijk is aan

=8 5 k4

15h3c2.

(oplossing)Dit betekent niets anders dan overal f vervangen door x = hf/kT , d.w.z. f =x kT/h. Als check is eenvoudig na te gaan dat inderdaad [] = Wm2K4.

(d) Gebruik Z 1

0

dxx2

ex 1= 2 (3) 2, 404

om een uitdrukking voor de dichtheid van fotonen in een zwarte straler af te leiden.

(oplossing)De dichtheid van fotonen per frequentie-interval en per volume is gelijk aanN (f, T ) =E(f, T )/hf , dus

N (f, T ) =8 f 2

c31

ehf/kT 1.

Hieruit vinden we na integratie over frequentie de dichtheid

N (T ) = T 3 met = 16 (3)

k

hc

3

60, 4

k

hc

3

.

Het numerieke resultaat is 2, 03107 m3. Voor het heelal met een temperatuurvan 2,725 K vinden we ongeveer 410 fotonen/cm3.

Opgave 6.3

(a) Beschouw een mens als een volume met constante temperatuur. Bereken de uitge-zonden energie per seconde en per oppervlakte van een mens bij lichaamstempara-tuur.

(oplossing)Het vermogen per oppervlakte is bij T = 309 K (36 graden Celsius)

I = T 4 520 W/m2.

31

(b) Als de lichaamstemperatuur gelijk zou zijn aan de omgevingstemperatuur, dan zouer geen energietransport zijn. Gebruik dit om de opgenomen energie uit de omgevingte schatten bij 20 graden Celsius.

(oplossing)De opgenomen energie per seconde per oppervlakte is bij T = 293 K gelijk aanI 420 W/m2.

(c) Bereken uit het verschil het vermogen van een mens. Klopt dit een beetje?

(oplossing)Beschouwen we de mens als een tonnetje met volume 75 liter, dan is dus V = r2 h= 75 dm3. Nemen we een straal van r = 0, 12 m, dan krijgen we h = 1, 66 m. Hetoppervlak is dan O = 2 r h + 2 r2 = 1,3 m2. Het verschil tussen (a) en (b) is ca.100 W/m2. Dus het vermogen is zo’n 130 W, exact de goede orde van grootte. Deruststofwisseling is ca. 75 W, een vermogen van 130 W correspondeert met lichtearbeid. Boven 200 W betekent grote inspanning, waarbij warmteafvoer inderdaadeen belangrijk issue is.

Opgave 6.4

Schat de (constante) dichtheid van materie (in kg/m3 en in aantal protonen per cm3)zoals die uit de rotatiekromme van M33 volgt.

(oplossing)We kunnen bijvoorbeeld de massa binnen een straal van R = 10 kpc 3 1020 mberekenen. Die is gelijk aan M = v2(R)R/G (met G 6, 7 1011 m3 kg1s2). Voor delichtgevende massa vinden we uit v(R) 45103 m/s als resultaat M

lichtgevend

11040

kg en voor het totaal met v(R) 120 103 m/s vinden we Mtotaal

7 1040 kg.Dus voor de donkere materie vinden we M

DM

6 1040 kg. Delen door het volume,(4/3)R3 1, 1 1062 m3 geeft een dichtheid

DM

5 1022 kg/m3

of met mp 1, 6 1027 kg, een dichtheid DM

0, 3 protonen/cm3. Merk overigens opdat de donkere materie zeker niet uit protonen bestaat, maar op deze manier is het eenbeetje te vergelijken met de dichtheid van de interstellaire materie, die bijvoorbeeld in deschijf van het melkwegstelsel van de orde van 5 protonen/cm3 is.

32