Matriks Dan Transformasi

LinierAmri Sandy Sandy

Aturan Main Aturan Main Penilaian:Penilaian:1. Absensi : 10 %2. Tugas : 20 %3. UTS : 30 %4. UAS : 40 %

Nilai : A, B, C, D, dan E

Buku Rujukan :Buku Rujukan :

1. Anton Howard. 2000, Elementary Linier Algebra, Application Versioan., 8th John Wiley & sons.Inc

2. Marvin Marcus. 1992, Matrices and Matlab., A tutorial., Prentice – Hall., Int. Edition.

Dengan segala hormat semua isi Slide ini diadaptasi langsung dari Karya :

Howard Anton & Chris Rorres.

Elementary Linier Algebra, Application Version., 8th John Wiley & sons.Inc

Sehingga Isi slide dapat, dirujuk, dikritik, disesuaikan dan dipertajam melalui buku tersebut.

Bagian IBagian I

MatriksMatriks

A. MatriksMatriks adalah susunan bilangan yang terdiri atas baris dan kolom membentuk “persegi panjang“ dan mempunyai arti (makna).

Notasi Matriks :

M = =

1. Matriks M terdiri atas m baris dan n kolom2. aij adalah elemen (anggota, komponen) matriks baris

ke-i dan kolom ke-j3. Matriks M dengan m baris dan n kolom dapat ditulis

sebagai Mmxn

4. Notasi (subskrip) mxn disebut ordo matriks.5. Matriks M dengan elemen-elemen aij dapat juga ditulis

sebagai,

M = (aij) =

Contoh :

- A = adalah Matriks 2 x 2

- B = adalah Matriks 2 x 3

- C = adalah Matriks 3 x 1.

Bagaimana dengan Matriks A =

Untuk kasus :

a. A2 x 2,

b. A3 x 3,

c. A1 x 2,

d. A2 x 5. Tunjukkan matriks berikut ini berdasarkan

matriks A sebelumnya :

a. (A)11, dan (A)23

b. (A)i1, dan a2j

B. Jenis – Jenis Matriks

1. Matriks Nol adalah matriks yang elemen - elemennya nol

2. Matriks Persegi (Bujur Sangkar) adalah matriks yang baris dan kolomnya sama (m = n).

3. Matriks Segitiga Atas adalah matriks persegi (aij), dengan aij = 0 untuk i > j

4. Matriks Segitiga Bawah adalah matriks persegi (aij), dengan aij = 0 untuk i < j

5. Matriks Diagonal adalah matriks persegi (aij), dengan aij = 0 untuk i j.

6. Matriks Skalar adalah matriks yang elemen diagonalnya sama.

7. Matriks Identitas adalah matriks skalar yang elemen - elemen diagonalnya sama dengan 1.

8. Matriks Singular adalah matriks persegi yang harga determinannya sama dengan nol, (lawannya = non singulir).

9. Matriks Eselon

Suatu matriks berukuran mxn, jika memenuhi dua sifat berikut disebut Matriks Eselon :

1. Setiap baris dari k, mempunyai unsur tak nol, dengan 1<k<m, dan semua unsur

pada (m – k) baris lainnya nol.

2. Unsur tak nol pertama dari setiap baris tak nol ( yaitu baris – baris di mana tidak

semua unsurnya nol) adalah 1, jika bilangan 1 dari baris ke–i (1 < i < k) terletak pada kolom

ke-ti, maka : t1 < t2 < …< tk.

dengan a, b, c, dan d adalah bilangan sebarang.

dengan a, b, c, dan d adalah bilangan sebarang.

No. 1 adalah matriks eselon, sedangkan No. 2 bukan matriks eselon, dimana pada baris kedua angka 1 terletak di kolom ke–4, sedangkan pada baris ke – 3 angka 1 terletak di kolom ke–4. Jadi, t1=2, t2=4, t3=3 dan t4 = 5, tidak memenuhi t1 < t2 < t3 < t4.

10. Matriks Eselon Terreduksi

Dikatakan matriks eselon terreduksi jika memenuhi, unsur tak nol pertama dalam setiap baris dari baris–baris tak nol (k baris pertama), yaitu angka 1 ( satu), adalah merupakan satu–satunya unsur tak nol yang terdapat di dalam kolomnya.

A=

B =

A matriks eselon tereduksi, A matriks eselon tereduksi, B bukan, tp matriks eselonB bukan, tp matriks eselon

C. Sifat – Sifat Matriks1. Sifat penjumlahan pada matriks :

a. Komutatif : A + B = B + Ab. Assosiatif : A + (B + A) = (A + B ) + Cc. Amxn, matriks Z yang sejenis dengan A, A + Z = A, Z adalah matriks yang semua elemennya 0, disebut matriks

nol, ditulis 0 atau 0mxn

d. A, matriks B yang sejenis, A + B = 0, (dengan matriks 0 sejenis A). Matriks ini, dapat ditulis sebagai B = – A,

dimana matriks B dengan elemen bij = –aij 2. Sifat perkalian pada Matriks dengan Bilangan (konstanta) :

a. (A + B) = A + Bb. ( + )A = A + Bc. (BA) = BAd. IA = Ae. 0A = 0 (matriks 0 sejenis A)f. 0 = 0g. (-1) A = -A

D. Sifat Dua Matriks

1. Dua matriks A dan B disebut sejenis jika kedua matriks sama

2. Dua matriks A = (aij) dan B = (bij) disebut sama jika elemen-elemen yang seletak sama (aij = bij)

A = ,

B = ,

E. Operasi Pada Matriks Operasi Penjumlahan

Syarat, jika A = (aij) dan B = (bij) mempunyai ukuran sama, maka berlaku

(A + B)ij = (A)ij + (B)ij = aij + bij

(A – B)ij = (A)ij – (B)ij = aij – b ij

Contoh :

A = , B =

C = A + B = =

Operasi Perkalian

Syarat, jika jumlah kolom matriks A = (aij) sama dengan jumlah baris matriks B = (bji), maka berlaku, (Aij.Bji) = Cii = aijbi

Contoh :

A = , B = ,

C = A . B = =

F. Matriks TransposeJika baris suatu matriks A dipertukarkan dengan kolomnya, diperoleh matriks baru yang disebut Transpose Matriks A.Notasi :

A At = A* = AContoh :

A = , A =

B = B =

dc

ba

G. Trace Matriks

Jika matriks A bujur sangkar, maka trace dari A, dinotasikan dengan tr(A), didefinisikan

sebagai jumlah elemen diagonal utama dari A.

Trace dari A tidak terdefinisi jika A bukan matriks bujursangkar.

A = , B =

tr(A) = a11 + a22 + a33

tr(B) = -1 + 5 + 7 + 0 = 11

H. Perkalian Matriks dengan Baris dan Kolom

Beberapa cara mencari perkalian matriks AB dari baris atau kolom tanpa menghitung seluruh perkalian matriks.

Misalnya,

Kolom ke–j dari AB = A[Kolom ke–j B].

Baris ke–i dari AB = [Baris ke–i A]B.

Contoh :

=

Kolom ke-2 BKolom ke-2 B

Kolom ke-2 ABKolom ke-2 AB

Hal ini dapat dirumuskan sebagai berikut :

AB = B

I. Matriks Terpartisi

Sebuah matriks dapat dibagi – bagi atau di partisi ke matriks yang lebih kecil, baik secara horizontal maupun vertikal.

A = A =

B = B = , A.B = …?

J. Perkalian Matriks sebagai Kombinasi LinierBaris dan kolom dalam sebuah Matriks, dapat digunakan untuk menunjukkan perkalian suatu matriks.

Contoh :

A = dan x =

Ax = = x1 + x2 + …+ xn

Perkalian Ax dari matriks A dengan matriks kolom x merupakan kombinasi linier dari kolom matriks A dengan koefisien matriks x.

Contoh :

=

Kombinasi liniernya adalah :

2 – 1 + 3 =