Pengali Lagrange

Tim Kalkulus II

Desember 2011

Teorema

Jika f fungsi dua peubah yang dapat dideferensialkan di , maka turunan parsial pertama dari f ada di p dan

( , )x yp

( ) ( ) ( )f f

fx y

p p i + p j

Jika g fungsi tiga peubah yang dapat dideferensialkan di , maka turunan parsial pertama dari g ada di p dan

( , , )x y zp

( ) ( ) ( ) ( )g g g

gx y z

p p i p j+ p k

Teorema

adalah operator linier, yaitu:

(i)

(ii)

(iii)

( ) ( ) ( ) ( )f g f g p p p p

( ) ( )f f p p

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f g f g g f p p p p p p

Carilah gradien

1.

2.

3.

4.

f2( , ) 3f x y x y xy

( , ) xyf x y xe2 2 2( , , )f x y z x y y z z x 2( , , ) x zf x y z x ye

Teorema

Untuk memaksimumkan atau meminimumkan terhadap kendala , diselesaikan dengan sistem persamaan

dan

Tiap titik p adalah suatu titik kritis untuk masalah nilai ekstrim terkendala

disebut pengali Lagrange pengali Lagrange

( )f p ( ) 0g p

( ) ( )f g p p ( ) 0g p

atau

dan

( , ) ( , )f x y g x y

( , ) 0g x y

Dalam mencari ekstrim suatu fungsi f tiga peubah, terhadap dua kendala

dan

diselesaikan dengan persamaan

dan

dan adalah pengali-pengali Lagrangepengali-pengali Lagrange

( , , ) 0g x y z ( , , ) 0h x y z

( , , ) ( , , ) ( , , )f x y z g x y z h x y z

( , , ) 0g x y z ( , , ) 0h x y z

Contoh

Gunakan metode Lagrange untuk mencari maksimum dan minimum dari pada elips ( , )f x y xy

2 24 4x y

Latihan

1. Carilah volume terbesar suatu balok yang terdapat di dalam elipsoid

2. Carilah titik pada permukaan bola

yang paling dekat dengan titik (2, 3, 4)

3. Suatu balok tanpa tutup mempunyai volume V. Berapakah ukuran balok tersebut agar mempunyai luas permukaan minimum?

2 2 216 4 9 144x y z

2 2 2 9x y z