Persamaan & Fungsi logaritma

Tim Dosen Matematika FTP

Penyelesaian Persamaan dengan Logaritma

• Logaritma dapat digunakan untuk mencari bilangan yang belum diketahui (bilangan x) dalam sebuah persamaan, khususnya persamaan eksponensial dan persamaan logaritmik.

• Persamaan logaritmik ialah persamaanyang bilangannya berupa bilanganlogaritma, sebagai contoh : log (3x +298) = 3

FUNGSI logaJika a bilangan positif dan a ≠ 1, maka

y = loga x = alog xx = ay

Semula bilangan 10 dipakai sebagai bil.pokok logaritma menjadi biasUtk kalkulus (matematika lanjutan) bilangan e sbg bil.pokok logaritma

fungsi loge sbg f(x) = ex, adl lambang lain lnlogex = ln x

Apabila y = alog x x = ay, shg ln x = y ln a

alog x = ln x/ ln a

Pengertian Logaritma

alog x = y artinya x = ay

Keterangan:

a disebut bilangan pokok / basis

x disebut bilangan logaritma atau numerus dengan a > 0

y disebut hasil logaritma atau eksponen dari basis

Basis Logaritma

• Biasanya berupa bilangan positif dan tidak sama dengan satu.

• Basis logaritma yang paling lazim dipakai adalah 10 (common logarithm)/(logaritma briggs)

• Logaritma berbasis bilangan e (2,72) disebut bilangan logaritma alam (natural logarithm)

atau logaritma Napier

• ln x berarti elog x

Logaritma dengan basis 10

• Pada bentuk alog x = y, maka: 10log x = y cukup ditulis log x = y.

• Basis 10 pada logaritma tidak perludituliskan.

• Contoh:10log 3 dituliskan log 310log 5 dituliskan log 5

Logaritma

Bentuk pangkat Bentuk akar Bentuk Logaritma

yy aa x x a log x y

Logaritma pada hakekatnya merupakan kebalikan dari proses pemangkatan dan/atau pengakaran.

Suku-suku pada ruas kanan menunjukkan bilangan yang dicari atau hendak dihitung pada masing-masing bentuk

Kaidah-kaidah Logaritma

a

a

a

a x

a m a

a

1. loga 1

2. log1 0

3. loga x

4. log x m log x

5. log x x

7.

8.

9.

10.

a a a

a a a

a m

a m n

mna m a an

6. logm.n logm logn

mlog logm logn

n

logm loga 1

logm logn loga 1

mlog x log(x) log x

n

ax

x

a

log

1log.11

Contoh Soal

1. Jika 2log x = 4

Tentukan nilai x = ….

Jawab:2log x = 4 x = 24

x = 16

Contoh Soal

Jawab:3log 27 = x 3x = 27

3x = 33

x = 3.

2. Jika 3log 27 = x

Tentukan nilai x = ….

Contoh Soal

Jawab:

= 2log 32 + 3log 81

= 2log 25 + 3log 34

= 5 + 4

= 9

3. Nilai dari 2log 32 + 3log 81 = ….

Contoh Soal

4. Nilai dari 2log (8 x 16) = ….

Jawab:

= 2log 8 + 2log 16

= 2log 23 + 2log 24

= 3 + 4

= 7

Contoh Soal

5. Nilai dari 3log (81 : 27) = ….

Jawab:

= 3log 81 - 3log 27

= 3log 34 - 3log 33

= 4 - 3

= 1

Contoh Soal

6. Nilai dari 2log 165 = ….

Jawab:

= 2log 165

= 5 x 2log 24

= 5 x 4

= 20

Contoh Soal

7. Nilai dari 2log 84 = ….

24 2log 8=

Jawab:

= 2log 84

= 2 x 2log 23

= 2 x 3

= 6

Contoh Soal

Jawab:

log 1000 = x 10x = 1000

10x = 103

x = 3

8. Jika log 1000 = x

Tentukan nilai x = ….

Soal

log 3 = 0,477 dan log 2 = 0,301

Berapa nilai log 18 ?

log 18 = log 9 x 2

= log 9 + log 2

= log 32 + log 2

= 2 (0,477) + 0,301

= 0,954 + 0,301

= 1,255

Soal

log 2 = 0,301 dan log 5 = 0,699

Berapa nilai log 5 + log 8 + log 25?

= log 5 + log 8 + log 25

= log 5 + log 23 + log 52

= log 5 + 3.log 2 + 2.log 5

= 0,699 + 3(0,301) + 2(0,699)

= 0,699 + 0,903 + 1,398

= 3,0

Soal

log 3 = 0,477 dan log 5 = 0,699.

Berapa nilai log 135?

log 135 = log (27 x 5)

= log 27 + log 5

= log 33 + log 5

= 3(0,477) + 0,699

= 1,431 + 0,699

= 2,130

Bentuk persamaan logaritma

entukan penyelesaian

penyelesaian adalah x = 18

2

2

2 2 4

4

2

T log(x 2) 4

jawab :

log(x 2) 4

log(x 2) log2

x 2 2

x 18

Jadi log(x 2) 4

f( f(

a a

a a

log f(x) logm

jika log f(x) logm, x) 0,maka x) m

1,0,log)(log aadenganmxfBentuk aa

a b f(

a b

a b

log f(x) log f(x)

jika log f(x) log f(x), ,maka x) 1

2

2

entukan penyelesaian l

x -3 =1

x = 4

x = atau x = 2

penyelesaian l

adalah x = atau x = 2

2 4 2

2 4 2

2 4 2

T og(x 3) log(x 3)

jawab :

log(x 3) log(x 3)

2

Jadi og(x 3) log(x 3)

2

Bentuk persamaan logaritma

badanaadenganxfxfBentuk ba ,1,0),(log)(log

Bentuk persamaan logaritma

a>0, a

a a

a a

log f(x) log g(x)

jika log f(x) log g(x), 1, f(x) 0 dan g(x) 0

maka f(x) g(x)

entukan penyelesaian l

l

atau x = 5 uji dengan syarat

penyelesaian l

ada

7 2 7

7 2 7

2

2

7 2 7

T og(x 2x 3) log(4x 2)

jawab :

og(x 2x 3) log(4x 2)

x 2x 3 4x 2

x 6x 5 0

(x 1)(x 5) 0

x 1

Jadi og(x 2x 3) log(4x 2)

lah atau x = 5x 1

Bentuk persamaan logaritma

f(x)>0, g(x)>0, h(x)>0

dan f(x) maka

f(x) f(x)

f(x) f(x)

log g(x) logh(x)

jika log g(x) logh(x),

1, g(x) h(x)

entukan penyelesaian l

l

x + 2 =

atau x = -2 uji dengan syarat

penyelesaian l

x 1 x 1 2

x 1 x 1 2

2

2

x 1 x 1 2

T og(x 2) log(x 3x 2)

jawab :

og(x 2) log(x 3x 2)

x 3x 2

x 2x 0

x(x 2) 0

x 0

Jadi og(x 2) log(x 3x

adalah

2)

Bentuk persamaan logaritma

0loglog2

CxBxABentuk aa

y= Dari pemisalan diperoleh

Ay Nilai y yg diperoleh,

substitusi kembali pada pemisalan

y= sehingga diperoleh nilai x

a

2

a

dimisalkan log x.

By C 0.

log x,

entukan penyelesaian l

l

l

y =

atau y = 2

untuk mendapatkan nilai x, substitusi nilai y ke y=

4 2 4 3

4 2 4 3

4 2 4

4

2

4

4

T og x log x 2 0

jawab :

og x log x 2 0

og x 3 log x 2 0

misal log x,maka:

y 3y 2 0

(y 1)(y 2) 0

y 1

log x

y 1 log x

penyelesaian l

adalah atau x = 16

4

4 2 4 3

1,sehingga x 4

y 2 log x 2,sehingga x 16

Jadi og x log x 2 0

x 4

Contoh soal

• Bilangan pokok beda, pangkat beda diselesaikan dengan logaritma

bxgaxfba xgxf log)(log)()()( x 1 x 1

43

4 3

(x 1)log 4 (x 1)log3

x log 4 log 4 x log3 log3

x log 4 x log3 log3 log 4

x(log 4 log3) log12

4x log log12

3

log12x log12

4log3

Grafik logaritma asli

Fungsi logaritma :Fungsi f yang memetakan x ke a log x atau dapat dituliskan f:x a log x atau f(x)= a log x , dengan a>0, a≠1, dan x>0Grafik fungsi logaritma dibedakan menjadi dua yaitu untuk 0<a<1 dan untuk a > 1.

Hubungan Fungsi Exponensial (y = bx) & Logaritma (y = logbx)

• y = blog x adl inversdari y = bx

• Domain: x > 0

• Range: semua bil real

• x-intercept: (1, 0)

• y-intercept: tidak ada

y = bx

Domain: semua bil

real

Range: y > 0

x-intercept: tidak ada

y-intercept: (0, 1)

Hubungan Fungsi Exponensial (y = bx) & Logaritma (y = logbx)

Grafik y = alog x , untuk 0 < a < 1

Fungsi y =1/2log x memiliki sifat-sifat:

• terdefinisi untuk semua x >0;

• jika x mendekati nol maka y besar sekali dan bertanda positif;

• untuk x = 1, y = 0

• untuk x lebih besar dari 1, y berharga negatif. Jika x semakin besar, maka y semakin kecil;

Grafik y = alog x , untuk 0 < a < 1

Grafik y = alog x, untuk a > 1

Fungsi y = 2log x memiliki sifat-sifat:

• terdefinisi untuk semua x >0;

• jika x mendekati nol maka y kecil sekali dan bertanda negatif;

• untuk x = 1, y = 0

• untuk x lebih besar dari 1, y berharga positif. Jika x semakin besar, maka y semakin besar pula

Grafik y = alog x, untuk a > 1

Latihan

• Gambarkan grafik fungsi berikut ini:

• a) y =1/3log x

• b) y = 3log x