i

FUNGSI, PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN DAN LOGARITMA

Kelompok 7

PRAKATA

Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena dengan pertolonganNya kami dapat menyelesaiakan buku bahan ajar ini dengan materi “Fungsi,persamaan dan pertidaksamaan eksponen dan logaritma”. Meskipun banyak rintangan dan hambatan yang kami alami dalam proses pengerjaannya,tapi kami berhasil menyelesaikannya dengan baik. Tak lupa kami mengucapkan terimakasih kepada dosen pembimbing Bapak Dede Trie Kurniawan yang telah membantu kami dalam mengerjakan proyek buku bahan ajar ini. Kami juga mengucapkan terimakasih kepada teman-teman mahasiswa yang juga sudah memberi kontribusi baik langsung maupun tidak langsung dalam pembuatan buku ajar ini.

Akhir kata semoga buku ajar ini bisa bermanfaat bagi pembaca pada umumnya dan penyusun pada khususnya, kami menyadari bahwa dalam pembuatan buku ajar ini masih jauh dari sempurna untuk itu kami menerima saran dan kritik yang bersifat membangun demi perbaikan kearah kesempurnaan. Akhir kata kami sampaikan terimakasih.

Tim Penyusun

i

DAFTAR ISI

PRAKATA ............................................................................................................i

DAFTAR ISI..........................................................................................................ii

Kata-kata motivasi................................................................................................iii

Tujuan pembelajaran............................................................................................iv

Materi

1. Fungsi Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen a. Fungsi Eksponen..............................................................................................1

1.1 Tranformasi pada fungsi eksponen..........................................................21.2 Menentukan persamaan fungsi eksponen...............................................2

b. Persamaan Eksponen......................................................................................3c. Sistem Persamaan Eksponen..........................................................................4d. Pertidaksamaan Eksponen.............................................................................4e. Sistem Pertidaksamaan Eksponen.................................................................5f. Contoh soal.......................................................................................................5

2. Fungsi Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma a. Pengertian Logaritma Suatu Bilangan dan Sifat-sifat Logaritma..............10

1.1 Pengertian Logaritma suatu Bilangan.....................................................10b. Fungsi Logaritma............................................................................................11c. Persamaan Logaritma.....................................................................................13d. Sistem Persamaan Logaritma.........................................................................14e. Pertidaksamaan Logaritma............................................................................14f. Aplikasi Model Matematika Berbentuk Logaritma.....................................14

Aplikasi dalam kehidupan sehari-hari................................................................15

Soal latihan ............................................................................................................16

Biodata kelompok..................................................................................................17

Daftar Pustaka

KATA KATA MOTIVASI

ii

Lelah dalam belajar itu hal yang wajar, tetapi jangan sampai menyerah dalam belajar.

Ilmu yang diperoleh dari sekolah lebih penting dari pada ijazah.Sikap positif adalah aset berharga dalam belajar.Hasil dari sebuah proses belajar bukan hanya pengetahuan,

melainkan juga tindakan.Allah akan meninggikan derajat orang yang beriman dan berilmu.Ilmu tanpa budi adalah kerapuhan jiwa.

TUJUAN PEMBELAJARAN

Matematika diajarkan di sekolah membawa misi yang sangat penting, yaitu mendukung ketercapaian tujuan pendidikan nasional. Secara umum tujuan pendidikan matematika di sekolah dapat digolongkan menjadi :

iii

Lelah dalam belajar itu hal yang wajar, tetapi jangan sampai menyerah dalam belajar.

Ilmu yang diperoleh dari sekolah lebih penting dari pada ijazah.Sikap positif adalah aset berharga dalam belajar.Hasil dari sebuah proses belajar bukan hanya pengetahuan,

melainkan juga tindakan.Allah akan meninggikan derajat orang yang beriman dan berilmu.Ilmu tanpa budi adalah kerapuhan jiwa.

Tujuan pendidikan bukan hanya pengetahuannya, akan tetapi juga tingkah laku dan perbuatannya.

Pedang akan bertakar apabila tidak diasah, manusia yang tidak belajar akan tertinggal.

Ilmu adlah investasi berharga untuk masa depan.Mengoreksi diri sendiri ialah modal dari suatu tindakan.Pertanyaan adalah unsur penting dalam belajar.Ilmu tak akan habis jika dibagi, tidak seperti harta.Dari pada menghias diri dengan intan berlian, lebih baik membekali diri

dengan ilmu pengetahuan.

Ilmu tanpa budi adalah kerapuhan jiwa.Ilmu bagaikan kunci emas kehidupan.Ilmu tanpa agama lumpuh, agama tanpa ilmu buta.Kebiasaan menyontek dapat meningkatkan kemalasan dalam belajar.Belajar bukan hanya sekedar untuk mendapatkan nilai yang baik.Ilmu tak akan didapat hanya dengan bermalas-malasan.Pendidikan memunculkan keinginan guru.Gagasan mampu menggerakan pikiran.Kecerdasan bukanlah ganjaran, tetapi konsekuensi.Belajar bukan hanya sekedar membaca, melainkan juga memahami.Ilmu ringan dibawa, namun besar manfaatnya.

1.      Tujuan yang bersifat formal, menekankan kepada menata penalaran dan membentuk kepribadian siswa

2.      Tujuan yang bersifat material menekankan kepada kemampuan memecahkan masalah dan menerapkan matematika.

Secara lebih terinci, tujuan pembelajaran matematika dipaparkan pada buku standar kompetensi mata pelajaran matematika sebagai berikut:

1.      Melatih cara berpikir dan bernalar dalam menarik kesimpulan, misalnya melalui kegiatan penyelidikan, eksplorasi, eksperimen, menunjukkan kesamaan, perbedaan, konsistensi dan inkonsistensi,

2.      Mengembangkan aktivitas kreatif yang melibatkan imajinasi, intuisi, dan penemuan dengan mengembangkan pemikiran divergen, orisinil, rasa ingin tahu, membuat prediksi dan dugaan, serta mencoba-coba,

3.      Mengembangkan kemampuan memecahkan masalah,4.      Mengembangkan kemampuan menyampaikan informasi atau

mengkomunikasikan gagasan antara lain melalui pembicaraan lisan, grafik, peta, diagram, dalam menjelaskan gagasan

iv

FUNGSI PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN

A. FUNGSI EKSPONEN

Fungsi transenden adalah fungsi yang bukan fungsi aljabar, yaitu fungsi yang tidak dapat diperoleh dari fungsi konstan dan fungsi identitas melalui lima operasi yaitu: penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan penarikan akar.

Fungsi transenden yang telah kita pelajari adalah fungsi trigonometri. Fungsi fungsi transenden yang akan kita pelajari adalah fungsi eksponen.

Dalam pembahasan fungsi eksponen kita akan melibatkan teorema-teorema berikut ini.

Teorema:

1. Jika a, b, m, n dan p masing-masing bilangan real, maka:a. amxan=am+n

b. am: an ¿am−n, a ≠ 0c. (am)❑n=amn

d. ¿) ¿ampbnp

e. ( am

bn )

2. a. Jika a>1dan madalah bilangan real positif, maka am>1b. Jika 0>a<1dan m bilangan real positif, maka am<1

3. a. Jika a>1 dan m n adalah bilangan real, sehingga m<n, maka amxan

b. Jika 0>a<1dan m bilangan real, sehingga m<n , maka am>an

Definisi:

Fungsi eksponen dengan bilangan dasar ( bilangan pokok atau basis ) a , dengana>0 dan a ≠ I mempunyai bentuk umum:

f : x → ax atau y=f ( x )=ax

1

Dengan:

1. adinamakan bilangan dasar (pokok atau basis) dengan ketentuan:a>0 dan a ≠1(a>1atau0<a<1)

Bila a=1 ,fungsi eksponen menjadi ¿1x=1. Karena itu, dalam definisi tersebut disyaratkan a≠ 1

2. x dinamakan variabel (peubah) bebas dan himpunan dari variabel x dinamakan daerah asal ( daerah definisi / domain/ wilayah) fungsi f ,ditulis Df = {x∨x∈R }

3. y dinamakan variabel (peubah) tak bebas dan himpunan dari semua variabel y dinamakan daerah hasil (range daerah nilai/ jelajah), fungsi f ditulis R f ={ y∨ y>0 dan y∈R }

4. f ( x )=axdinamakan aturan atau rumus untuk fungsi eksponen baku (standar).

1. Transformasi pada Fungsi EksponenDiberikan fungsi eksponen y=f ( x )=ax ,maka grafik dari:

1. y=f ( x−k ) , k>0 , menggunakan translasi sepanjang sumbu X sebesar k satuan ke kanan.

2. y=f ( x+k ) , k>0 menggunakan translasi sepanjang sumbu X sebesar k satuan ke kiri.

3. y=f ( x )+k , k>0 menggunakan translasi sepanjang sumbu Y sebesar k satuan ke atas.

4. y=f ( x )−k , k>0 menggunakan translasi sepanjang sumbu Y sebesar k satuan ke bawah.

5. y=k f ( x ) ,∨k∨¿0 menggambarkan perbesaran atau bentangan ( stertching dilation) sebesar faktor k sepanjang sumbu Y

6. y=k f ( x ) , 0<|k|<1 menggambarkan perbesaran penciutan (shrinkking dilation) sebesar faktor k sepanjang sumbu Y

7. y=−f ( x ) ,menggambarkan refleksi terhadap sumbu X8. y=f (−x ) ,menggambarkan refleksi terhadap sumbu Y9. y=f (kx ) ,|k|>1 menggambarkan perbesaran penciutan (shrinking

dilation) sebesar faktor 1k sepanjang sumbu X

10. y=f (kx ) ,0<|k|<1 menggambarkan perbesaran rengangan atau

bentangan (stretching dilation) sebesar faktor 1k sepanjang sumbu X

2. Menentukan Persamaan Fungsi Eksponen

2

Seringkali kita menjumpai grafik fungsi eksponen dengan beberapa keterangan seperti beberapa titik atau titik dan asimtot datar. Untuk menentukan persamaan grafik fungsi eksponen ini. Biasanya melibatkan sistem persamaan yang dipecahkan secara simultan.

B. PERSAMAAN EKSPONENDefinisi:

Persamaan eksponen adalah persamaan yang pangkatnya mengandung variabel dan tidak menutup kemungkinan bilangan dasar juga mengandung variabel.1. Persamaan Eksponen Berbentuk a f (x)=an

Teorema: Jika a f ( x )=an, dengan a>0 dan a≠1 , maka f ( x )=n2. Persamaan Eksponen Berbentuk a f (x)=1Teorema: Jika a f ( x )=1, dengan a>0dan a ≠1 , maka f ( x )=03. Persamaan Eksponen Berbentuk a f (x)=ag (x)

Teorema:Jika a f (x)=ag (x), dengan dengan a>0 dan a ≠1 , maka f ( x )=g(x )4. Persamaan Eksponen Berbentuk a f (x)=b f (x)

Teorema:Jikaa f (x)=b f (x), dengan a>0 dan a≠1 , b>0 ,dan b ≠ 1 , dan a≠ b ,maka f ( x )=0

5. Persamaan Eksponen Berbentuk {h ( x ) }f (x)={h (x ) }g (x)

Teorema:Jika: {h ( x ) }f (x)={h (x ) }g (x), maka kemungkinannya adalah:

1. h ( x )=0 asalkan f ( x ) dan g ( x ) keduanya positif ( f (x )>0 dan g ( x )>0 )2. h ( x )=13. h ( x )=−1, asalkan f ( x ) dan g ( x ) keduanya ganjil atau keduanya genap

((−1)¿¿ f ( x )−g (x )=1)¿4. f ( x ) ¿ g ( x ) asalkan h ( x )≠ 0dan h ( x )≠ 1

6. Persamaan Eksponen Berbentuk {h ( x ) }f ¿¿

Teorema:Jika {h ( x ) }f ¿¿, maka kemungkinannya adalah:

1. f ( x )=0 , h ( x ) ≠02. h ( x )=1

3. h ( x )=1, f ( x )=± pq

Dengan p dan q adalah bilangan asli yang tidak dapat saling membagi ( tidak mempunyai faktor persekutuan), dan p adalah bilangan genap.

7. Persamaan Eksponen Berbentuk a f (x)=bg (x)

Teorema:Jika a f (x)=bg (x), dengan a>0 , a ≠1 , b>0 , b ≠ 1 , maka f ( x ) log a=g ( x ) log b8. Persamaan Eksponen Berbentuk a f (x)=bTeorema:

Jika a f (x)=b, dengan a>0 , b>0 , dana ≠ 1maka f ( x)= logblog a

=alogb

3

9. Persamaan Eksponen Berbentuk A {af ( x )}2+B {af ( x )}+¿C ¿0Untuk menyelesaikan persamaan eksponen berbentuk A {af ( x )}2+B {af ( x )}+¿C ¿0

adalah sebagai berikut:Misalkan a f (x)= y maka persamaan semula ekuivalen dengan persamaan:

Ay2+By+C=0Dengan menyelesaikan persamaan kuadrat dalam y, maka maksimal akan di

dapat dua akar real dan minimalnya tidak satupun akar real. Akar real yang di terima adalah akar real yang positif. Selanjutnya akar-akar itu disubtitusikan ke persamaan a f (x)= y , sehingga kita memperoleh akar-akar persamaan yang diminta.

C. SISTEM PERSAMAAN EKSPONENSekelompok persamaan eksponen yang mempunyai penyelesaian simultan dinamakan sistem persamaan eksponen.

D. PERTIDAKSAMAAN EKSPONENDefinisi:Pertidaksamaan eksponen adalah pertidaksamaan yang eksponennya mengandung

variabel.Teorema:

1. Jika a>1dan a f ( x ) ≥ ag ( x ) , maka f ( x ) ≥ g ( x )2. Jika a>1dan a f ( x ) ≤ ag ( x ) ,maka f ( x ) ≤ g ( x )3. Jika 0<a<1dan af ( x ) ≥ ag ( x ) , maka f ( x )≤ g ( x )4. Jika 0<a<1dan af ( x ) ≤ ag ( x ) , maka f ( x )≥ g ( x )

Pertidaksamaan eksponen berbentuk A {af ( x )}2+B {af ( x )}+¿C ¿0 (tanda ketidaksamaan “<” dapat di ganti dengan”≤ ,> , atau≥ , diselesaikan sebagai berikut:

Misalkan a f (x)= y , maka pertidaksamaan semula ekuivalen dengan pertidaksamaan Ay2+By+C<0

Dengan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dalam y, maka kita akan mendapatkan maksimal dua pertidaksamaan dan minimal tidak ada.

Subtitusikan a f (x)= y ke pertidaksamaan semula, sehingga jika terdapat dua pertidaksamaan maka penyelesaiannya adalah irisan dari penyelesaian setiap pertidaksamaan itu.

E. SISTEM PERTIDAKSAMAAN EKSPONENSekelompok pertidaksamaan eksponen yang mempunyai penyelesaian

simultan(serentak) dinamakan sistem pertidaksamaan eksponen.

4

F. Contoh soal dan pembahasannya

Persamaan eksponen

Persamaan eksponen berbentuk a f ( x )=an

1. Carilah himpunan penyelesaian dari setiap persamaan berikut:a. 102 x−3=100.000Jawab: 102 x−3=100.000

102 x−3=105

2 x−3=5x=4

Jadi himpunan penyelesaian nya adalah{4}

b. 4−x=32√2Jawab: 4−x=32√2

(22¿−x¿=25 1

2

−2 x=5 12

x=−2 34

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah{−2 34

}

c. 3x2−6 x= 1243¿

¿

Jawab: 3x2−6 x= 1

243¿

¿

3x2−6 x=3−5

x2−6 x=¿-5x2−6 x+5=0( x−1 ) ( x−5 )=0x=1 atau x=5

Jadi himpunan penyelesaian nya adalah{1,5}2. Persamaan eksponen berbentuk a f ( x )=1Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persamaan berikut:

a. 375− x=1Jawab: 375− x=1

5−x=0x=5

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah{5}

5

b. 64x2−4 x−12=1Jawab: 64x2−4 x−12=1

x2−4 x−12=0( x+2 ) (x−6 )=0x=−2=atau x=6

Jadi himpunan penyelesaian adalah {-2,6}

c. (1

81¿¿10+3 x−x2

=1

Jawab: (1

81¿¿10+3 x−x2

=1

10+3 x−x2

(5−x ) (2+x )=0

x=5atau x=−2

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah{5,-2}

3. Persamaan eksponen berbentuk a f (x)=ag (x)

Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persamaan berikut ini:a. 5x2+6x−42=312512− x

Jawab: 5x2+6x−42=312512− x

5x2+6x−42=560−5 x

x2+6 x−42=60−5 xx2+11x−102=0( x+17 ) ( x−6 )=0x=−17 atau x=6

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-17,6}

b.1

36x 63 x−4=62 x−3

Jawab: 63 x−4=62 x−3

3 x−6=2x−3x=3

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah:{3}

4. Persamaan eksponen berbentuk a f ( x )=bf (x )

Carilah himpunan penyelesaian dari setiap persamaan berikut ini:a. 52 x−6=32 x−6

Jawab: 52 x−6=32 x−6

2 x−6=0x=3

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {3}

6

b. 64x2−2 x+1=625x2−2 x +1

Jawab: 64x2−2x+1=625x2−2 x +1

x2−2 x+1=0=¿(x−1¿¿2=0

x=1Jadi himpunan penyelesaiannya adalah{1}

c. 5x2 +x−42=4x2+ x−42

Jawab: x2+ x−42=0( x+7 ) ( x−6 )=0x=−7 atau x=6

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-7,6}

5. Persamaan eksponen berbentuk {h(x)}f ( x )={h(x )}g (x)

Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persamaan berikut ini:a. (x−10¿¿x2−9

=¿Jawab: Persamaan (x−10¿¿x2−9

=¿sepadan dengan persamaan eksponen berbentuk{h(x)}f ( x )={h(x )}g (x), maka:

h ( x )=x−10f ( x )=x2−9 , dan

g ( x )=3−xHimpunan penyelesaiannya ditentukan oleh berbagai kemungkinan berikut:

1. h ( x )=0 , x−10=0 , x=10Nilai x=10ini harus disubtitusikan ke f ( x ) dan g (x )

f (10 )=102−9=91>0g (10 )=3−10=−7<0

Karena untuk x=10 , f ( x )>0 dan g ( x )<0 ,maka x=10 bukan penyelesaiannya .2. h ( x )=1 , x−10=1 , x=113. h ( x )=−1 , x−10=−1 , x=9Nilai x=9harus disumtitusikan ke f ( x ) dan g (x )

f ( 9 )=92−9=72 ( genap )g (9 )=3−9=−6 ( genap )

¿

Karena untuk x=9mak f ( x ) dan g (x ) keduanya genapsehingga x=9Adalah penyelesaiannya.4. f (x)=g ( x )

x2−9=3−xx2+ x−12=0

( x+4 ) (x−3 )=0x=−4 atau x=3

7

Nilai-nilai x=−4dan x=3 harus disubtitusikan ke h ( x )h (−4 )=−4−10=−14 ≠ 0≠1

h (3 )=3−10=−7≠ 0≠ 1Karena untuk x=−4 dan x=3 maka h ( x )≠ 0dan h ( x )≠ 1Sehingga x=−4dan x=3 adalah penyelesaiannya.Dari keempat kemungkinan tersebut diperoleh himpunan penyelesaiannya

adalah {-4,3,9,11}

1. Persamaan eksponen berbentuk {h ( x )f ( x )=1a. Carilah himpunan penyelesaian dari (2 x+3¿¿3 x+2=1

Jawab: Persamaan 2 x+3¿¿3 x+2=1 sepadan dengan persamaan eksponen berbentuk h ( x )f ( x )=1 maka diperoleh

h ( x )=2 x+3 dan f ( x )=3 x+2Himpunan penyelesaiannya ditentukan oleh berbagai kemungkinan berikut ini.\1. 3 x+2=0

x=−23

Nilai x ini harus disubtitusikan ke h ( x ) ,h (−23 )=2(−2

3 )+3=53

≠ 0

Karena untuk x=−23 , maka h ( x )≠ 0

makax=−23 adlah penyelesaiannya.

2. 2 x+3=1 , x=−13. 2 x+3=−1 , x=−2

Nilai , x=−2 harus disubtitusikan ke f ( x ) . maka diperoleh f (−2 )=3 (−2 )+2=−4 (bilangan genap )

Karena untuk x=−2 maka f ( x )genap. Sehingga x=−2adalah penyelesaiannya.

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-23 ,

,−1,−2}

2. Persamaan eksponen berbentuk a f ( x )=bf (x )

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut:a. 3x=7x−2

Jawab: 3x=7x−2

log 3x=log 7x−2

3log x=( x−2 )log 7x log7−x log 3=2 log 7x¿

x= 2 log 7log 7− log 3

8

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {x= 2 log 7log7−log3 }

3. Persamaan eksponen berbentuk a f ( x )=bCarilah himpunan penyelesaian dari persamaan berikut ini:

. a. 2x−7=6Jawab: 2x−7=6

log 2x−7=log 6(x−7) log 2=log6

x−7= log 6log 2

x=7+ log6log2

¿7+¿2 log6¿Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {7+¿2 log6 }¿

4. Persamaan eksponen berbentuk A {af ( x )}2+B{a f (x)}+C=0Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persamaan berikut ini:a. 32 x−2. 3x+1−27=0

Jawab: 32 x−2.3x+1−27=0Misalkan 3x= y maka kita memperoleh y2−6 y−27=0(y−9¿( y+3)=0y=9 atau y=−33x=9 atau3x=−3 ( ditolak )3x=32

x=2Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {2}

5. Pertidaksamaan EksponenTentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ini.a. 104 x−3≥ 100.000

Jawab: 104 x−3≥ 100.000104 x−3≥ 105

4 x−3 ≥54 x≥ 8x≥ 2

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {x∨x ≥2 }

9

FUNGSI, PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA

A. PENGERTIAN LOGARITMA SUATU BILANGAN DAN SIFAT-SIFAT LOGARITMA1. Pengertian Logaritma Suatu Bilangan

Logaritma adalah invers dari perpangkatan, yaitu mencari pangkat dari suatu bilangan pokok (basis/dasar), sehingga hasilnya sesuai dengan yang telah di ketahui.

glog a=n Jika dan hanya jika gn=a

Dengan:1. G dinamakan bilangan pokok (basis/dasar) logaritma dengan

0<g<1atau g>1 ( g ≠ 1dan g>0 )a. Jika g ¿10 ,bilangan pokok ini biasanya tidak ditulis. Contoh: 10log a

ditulis log a,10log 3 ,dan sebagainya.b. Jika g ¿e, dengan e ¿2,7128 , elog a ditulis In a( dibaca “logaritma

natural a” atau “lon a”contoh : elog 5 ditulis In 5 dan sebagainya.

Catatan :

Notasi glog a dapat ditulis logg a.jadi, 5log 3 ditulis log5 3 dan sebagainya.

1. adinamakan numerus, yaitu bilangan yang dicari logaritmanya, dengan a >

0.

2. ndinamakan hasil logaritma (merupakan eksponen Dari g yang

menghasilkan a)

3. g log a dibaca logaritma a dengan bilangan pokok g sering kali dibaca “g log

a”

10

Logaritma adengan bilangan pokok g yang memangkatkan g sama dengan a.

g glog a =a

Definisi ini dapat dijelaskan sebagai berikut

Jika n=g log adisubtitusikan ke persamaan gn = amaka diperoleh g glog a= a.

Mudah dipahami bahwa :

1. jika a=gn disubstitusikan ke persamaan n = glog a, maka diperoleh glog gn=n2. jika a=g1 disubstitusikan ke persamaan 1 = glog a, maka diperoleh glog g1 =1 atau

glog g = 13. jika 1 = g0 disubstitusikan ke persamaan 0 = glog 1, maka diperoleh glog g0=0

perluasan :

1. ( gm )g log a=( gg log a )m = am

2. ( gm )gn log a = (gm ) g log an

=( gg log a )mn =a

mn

3. g gn log am= (gglog a )mn =a

mn

Sifat – sifat logaritma1) Jika g > 0, g ≠ 1 dan a,b adalah bilangan real positif maka glog ab = glog a + glog b.

2) Jika g > 0, g ≠ 1 dan ab adalah bilangan real positif maka glog ab=¿glog a – glog b

3) Jika g >0, , g ≠ 1, a bilangan real positif dan n suatu bilangan real maka glog an=nglog a

4) Jika g > 0 , g ≠ 1, a suatu bilangan positif, m suatu bilangan real, n bilangan asli dengan n > 1 maka

1. glog n√am=m

n glog a

2. gnlog am = mn glog a

3. gnlog an= glog a5) jika a > 1, a≠ 1 , b > 0 b ≠ 1 dan b,c bilangan real positif maka alog b X blog c = alog

c

6) jika a > 0, a≠ 1 ,p > 0 p≠1 a, dan b bilangan real positif maka alog b = ❑p log b

p log a

2. Fungsi logaritma Fungsi eksponen adalah fungsi yang berkorespondensi satu-satu, sehingga fungsi

eksponen mempunyai invers. Fungsi invers inilah yang dianamakan logaritma.

11

Fungsi invers dari fungsi eksponen y = ax ekuivalen dengan x = alog y sehingga f−1=a log y

Ganti variabl y dengan x sehingga diperoleh f−1=a log x

Bentuk persamaan terakhir dapat kita tulis :y = alog xjadi fungsi invers dari fungsi eksponen y = ax dengan a>0 dan a≠1 adalah fungsi

logaritma y = alog x

Definisifungsi logaritma dengan bilangan pokok a dimana a>0 dan a≠1 , didefinisikan sebagai

f : x → log x atau y=f ( x )=a log xFungsi logaritma y = f(x) = alog x dengan a > 0 dan a≠ 1dikenal sebagai invers dari

fungsi eksponen y = ax dengan a>0dan a ≠1.Perhatikan fungsi logaritma y = f(x) = alog x

1. F(x) = alog x dinamakan aturan atau rumus untuk fungsi logaritma baku (standar)

2. x dinamakan variabel bebas dan y dinamakan variabel tak bebas.3. aadalah bilangan pokok (basis/dasar) untuk fungsi logaritma f(x) = alog x

dengan ketentuan a>0 dan a≠1. 4. Domain fungsi logaritma y = f(x) = alog x adalah Df ={ x∨x>0 dan x∈R }5. Range fungsi logaritma y = f(x) = alog x adalah Rf = { y∨ y∈R }

1. Grafik Fungsi LogaritmaDitinjau dari bilangan pokoknya grafik fungsi logaritma y = f(x) = alog x dapat

dikelompokan menjadi 2 macam yaitu : grafik fungsi logaritma dengan bilangan pokok a>1dan grafik fungsi logaritma dengan bilangan pokok 0 < a<1

Untuk menggambar grafik atau kurva fungsi logaritma y = f(x) = alog x ditempuh prosedur sebagai berikut:a. Buatlah tabel yang menunjukan relasi antara x dengan y =alog xb. Gambarkan setiap titik (x,y) yang diperoleh pada bidang kartesiusc. Hubungkan setiap titik (x,y) yang diperoleh dari langkah b dengan

kurva.Sehingga diperoleh grafik atau kurfa fungsi logaritma y = f(x) = alog x

Sifat – sifat fungsi logaritma y = f(x) = alog x dengan bilangan pokok a>1

0 < a<1 sebagai berikut

1. Domain fungsi f adalah Df ={ x∨x>0 dan x∈R } atau Df =(0 ,∞ ) 2. Range fungsi f adalah R f = { y∨ y∈R } atau R f = R3. Range f kontinu pada (0 , ∞ )4. Fungsi f monoton naik untuk a>15. Fungsi f monoton turun untuk 0 < a<1

12

6. Jika a>1maka nilai alog x positif untuk a>1 dan negatif untuk 0 < a<17. Jika 0 < a<1 maka nilai alog x positif untuk 0 < x<1dan negatif a>18. Nilai alog x tidak didefinisikan untuk x yang tidak positif9. Fungsi logaritma selalu memotong sumbu x dititik (1,0) dengan kata lain alog x

¿0 ↔x=110. alog x = 1 jika dan hanya jika x=a11. sumbu y asimtot tegak12. f ungsi f merupakan fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu13. grafik fungsi logaritma y = alog xuntuk a>1 dengan fungsi logaritma y = alog x dan

untuk 0 < a<1dengan fungsi logaritmanya log 12

x adalah setangkup simetris

terhadap sumbu x.

Contoh soal :

1. Carilah invers fungsi eksponen f : (−∞ , ∞¿→ Rdengan f ( x ) :32x−1Jawab : y=f ( x )=32x−1Pindahkan x dan y ,maka diperolehx=32 y−132 y=x=13log32 y=¿ 3log ( x+1 )2y = 3log ( x+1 )

y = 12 3log ( x+1 )

Jadi f−1 ( x )=¿ 12 3log ( x+1 )

3. Transformasi Pada Fungsi Logaritma

Diberikan fungsi logaritma y = alog xmaka grafik dari :

a. y=f ( x−k ) , k>0 menggambarkan sebuah translasi ksatuan dalam arah sumbu x ke kanan .

b. y=f ( x+k ) , k>0 menggambarkan sebuah translasi ksatuan dalam arah sumbu x ke kiri .

c. y=f ( x )+k , k>0 menggambarkan sebuah translasi ksatuan dalam arah sumbu x ke atas .d. y=f ( x )−k , k>0 menggambarkan sebuah translasi ksatuan dalam arah sumbu x ke bawah .e. y=kf ( x) ,∨k∨¿1 menggambarkan renggangan denagn faktor kdalam arah sumbu Yf. y=kf ( x) ,0<¿k∨¿1 menggambarkan penciutan denagn faktor kdalam arah sumbu

Y.

13

g. y=−f (x ) menggambarkan refleksi terhadap sumbu Xh. y=f (−x ) menggambarkan refleksi terhadap sumbu Y

i. y=f (kx ) ,|k|<1 menggambarkan penciutan dengan faktor 1k dalam arah sumbu X

j. y=f (kx ) ,0<|k|<1 menggambarkan penciutan dengan faktor 1k dalam arah sumbu X

2. Menentukan persamaan Fungsi Logaritma

Seringkali kita menjumpai grafik fungsi logaritma dengan beberapaketerangan seperti beberapa titik atau tituik dan asimtot tegak. Selain itu kita dapat menentukan persamaan grafik fungsi logaritma dengan melibatkan persamaan-persamaan

3. Persamaan Logaritma

Definisi

1. Persamaan logaritma berbentuk alog cJika alog f ( x )= alog c, dengan f ( x ) > 0 maka f ( x )=c2. Persamaan logaritma berbentuk alog f(x)=blog f ( x )Jika alog f(x)=blog f ( x ), dengan a ≠ b ,maka f ( x )=13. Persamaan logaritma berbentuk alog f(x)=blog g ( x )Jika alog f(x)=blog g ( x )dengan f ( x )>0 dan g ( x )>0 maka f(x)=g(x)4. Persamaan logaritma berbentuk h(x)log g(x ) = h(x)log g(x )Jika h(x)log g ( x ) = h(x)log g ( x )dengan f(x) >0, g(x) >0, h(x)>0dan h ( x )≠ 1maka

f ( x )=g ( x )5. Persamaan logaritma berbentuk A alog2 x + B alog x + C = 0Persamaan A alog2 x + B alog x + C = 0 adalah persamaan kuadrat sehingga

solusinya dapat digunakan metode faktorisasi melengkapi kuadrat sempurna atau rumus kuadrat.

Teorema

Jika x1dan x2adalah akar-akar persamaan A alog2 x + B alog x + C = 0 maka hasil

kali akar-akarnya x1 x2=a−ba

Contoh soal:

14

Pesamaan logaritma adalah persamaan dengan nilai variabel atau peubah tidak diketahui dalam logaritma.

1. Carilah himpunan penyelesaian dari 3log 12

x=¿3log 3

Jawab : 3log 12

x=¿3log 3

12

x=3

x = 6 2. Carilah himpunan penyelesaian dari 5log (16 – 5x) = (16 – 5x)Jawab : 5log (16 – 5x) = (16 – 5x)

16 - 5x = 1 5x = 15 x = 3

3 Tentukan himpunan penyelesaian dari 4log (x + 4) – 2log (x - 2) > 0

x+4>0 ↔ x>−4 ....... (1)

x−2>0↔ x>2 ........ (2)

Ubah ruas kanan menjadi bentuk logaritma

4log (x + 4) – 2log (x - 2) > 0

4log (x + 4) – 2log (x - 2) > 4log 1

4log x+4

( x−2 )2>1

x+4( x−2 )2

-1 > 0

x+4−x2+4 x−4(x−2 )2

>0

−x2+5 x( x−2 )2

> 0

4. Sistem persamaan logaritma

Sekelompok persamaan logaritma yang mempunyai penyelesaian simultan (serentak) dinamakan sistem persamaan logaritma.

5. Pertidaksamaan logaritma

15

Pertidaksamaan logaritma adalah pertidaksamaan dengan nilai variabel atau peubah tidak diketahui dalam logaritma.

Teorema

1. Jika a>1danalog f ( x ) ≥alogg(x), maka f ( x ) ≥ g ( x )>02. Jika a>1danalog f ( x ) ≤alogg(x), maka f ( x ) ≤ g ( x )>03. Jika 0<a<1danalog f ( x ) ≥alogg(x), maka 0< f ( x )≤ g (x )4. Jika 0<a<1danalog f ( x ) ≤alogg(x), maka f ( x ) ≥ g ( x )>0

6. Aplikasi model matematika berbentuk fungsi logaritmaAplikasi model matematika berbentuk fungsi logaritma meliputi pertumbuhan dan

peluruhan yang dikenal sebagai pertumbuhan peluruhan secara logaritmik.

Uji Kompetensi

LATIHAN

1. Carilah himpunan penyelesaian darisetiap persamaan berikut ini 7x2−3 x−10

=49x+2

2. Carilah himpunan penyelesaian darisetiap persamaan berikut ini

( 813

¿¿2 x2+5 x−12=1

3. Carilah himpunan penyelesaian darisetiap persamaan berikut ini 7x2−3 x−10=11x2−3 x−10

4. Carilah himpunan penyelesaian darisetiap persamaan berikut ini 32 x+1−4 (3x+1 )+9=05. Carilah himpunan penyelesaian darisetiap persamaan berikut ini 6√ (125 )2 x2−12 x+8 ¿ 1

6256. Carilah invers fungsi eksponen f : (−∞ , ∞¿→ Rdengan g ( x ): 4 2log (3 – x) + 17. Carilah himpunan penyelesaian dari 8log x2+ x¿=¿ 8log 12

8. Carilah himpunan penyelesaian dari log x−1

3 x+18 = -1

9. Carilah himpunan penyelesaian dari setiap persamaan logaritma berikut 2log ( x2−2 x−23 )=¿ 3log ( x2−2 x−23 )

10. Tentukan himpunan dari pertidaksamaan log( x2+4 x+4 ) ≤ log(5 x+10)

16

KUNCI JAWABAN

1. 7x2−3 x−10

=(72)x+2

a. 7x2−3 x−10

=72 x+4 b. x2−3 x−10=2x+4 c. x2−5 x−14=0 d. ( x−7 ) ( x+2 )=0 e. x=7 x=−2 f. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {7,-2}

2. (8

13¿¿2 x2+5 x−12=1

i. ( 813

¿¿2 x2+5x−12=( 813

0)b. 2 x2+5 x−12=0 c. (2 x−3 ) ( x+4 )=0

d. x=32 x=−4

e. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {x=32 x=−4}

3. 7x2−3 x−10=11x2−3 x−10

a. x2−3 x−10 b. ( x−5 ) ( x+2 )

17

c. x=5 x=−2 d. Jadi himpinan penyelsaiannya adalah {5,-2}

4. 32 x+1−4 (3x+1 )+9=0a. 32 x .31−4 (3x . 31 )+9=0 Misalkan : 3x=Fb. F2.3−4 ( F−3 )+9=0 c. 3 F2−12F+9 (:3)d. F2−4 F+3=0 e. (F−1¿(F−3)=0f. F=1 F=3

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {1,3}

5. 6√(125)2x2−12 x+8 ¿1

625

6√(125)2x2−12 x+8 ¿1

625

6√(53)2x2−12 x+8 ¿154

6√56 x2−36 x +24 ¿ 154

5 6 x2−36 x+246

¿5−4

6 x2−36 x+246

¿−4

x2−6 x+4+4=0

x2−6 x+8=0

( x−4 ) ( x−2 )=0

x=4 x=2

18

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {4,2}

6. (−∞ , ∞¿→ Rdengan g ( x ): 4 2log (3 – x) + 1y =g(x) = 4 2log (3 – x) + 1tukarkan x dan y x = 4 2log (3 – x) + 1x – 1 = 4 2log (3 – x) + 114 ( x−1 ) = 2log (3 – y)

214 ( x−1 )

= 3 – y

y = 3 - 214 ( x−1 )

jadi g−1 ( x )=3−214 (x−1 )

7. 8log (x¿¿2+x)=¿¿ 8log 12x2+ x = 12x2+ x- 12 = 0( x+4 ) ¿−3) =0x=−¿4 atau x = 3

8. log x−1

3x+18 = -1

log x−1

3x+18 = log 110

x−13x+18 =

110

10x -10 = 3x + 187x = 28x = 4

9. 2log ( x2−2 x−23 )=¿ 3log ( x2−2 x−23 )x2−2 x−23=¿ 1

x2−2 x−24=0(x + 4)(x – 6)Jadi hp nya adalah {−4,6 }

10. log( x2+4 x+4 ) ≤ log(5 x+10)log( x2+4 x+4 )>0( x+2 )2>0x∈ R ,x ≠−2

19

5 x+10>0x > -2

log( x2+4 x+4 ) ≤ log(5 x+10)x2+4 x+4 ≤ 5x+10x2−x−6 ≤ 0( x−3 ) ( x+2 )≤ 0−2 ≤ x ≤3jadi hp nya {x∨−2<x≤ 3 }

APLIKASI DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI

Sebelum ada kalkulator elektronik, logaritma digunakan sepanjang waktu

untuk melakukan perhitungan eksponensial. Jadi para ilmuwan dan insinyur dari

semua jenis memanfaatkan sering menggunakan. Misalnya, jika Anda ingin

menemukan 4 pangkat 3.5, Anda akan menggunakan fakta bahwa:

4 ^ (3.5) = 10 Log ^ [4 ^ 3.5] = 10 ^ (3.5 * log (4))

Anda melihat log (4) dalam tabel log Anda, kalikan dengan 3,5, kemudian

gunakan tabel log untuk menemukan antilog pada (10 pangkat jawaban Anda). Hari

20

ini, kita biasanya membiarkan kalkulator melakukan pekerjaan itu, tapi bahkan

kalkulator menggunakan fakta-fakta seperti ini untuk melakukan komputasi.

Saya telah membaca bahwa penggunaan logaritma membuat begitu banyak

hal mungkin bahwa itu adalah salah satu kontribusi utama dari matematika ke dunia

ilmu pengetahuan. Misalnya, sebelum ada logaritma, para astronom merasa

kesulitan dengan penjumlahan ataupun perkalian yang begitu besar.  Dengan

munculnya penggunaan logaritma, perkalian ataupun perpangkatan yang besar

menjadi hal yang sederhana. Dalam kehidupan nyata, logaritma sangat diperlukan

bagi ilmu pengetahuan. Dalam sejarah ilmu pengetahuan, pengembangan tabel

logaritma dan penggunaannya merupakan prestasi yang luar biasa.

Para astronom masih menggunakan skala logaritmik untuk sumbu grafik dan

diagram. Penggunaan logaritma yang paling jelas adalah pada penghitungan skala

Richter untuk gempa bumi dan desibel. Logaritma juga diaplikasikan dalam

penghitungan frekuensi musik.

Penggunaan lain fungsi logaritma adalah dalam bidang biologi, yaitu untuk

mengukur laju pertumbuhan penduduk, antropologi, dan keuangan (untuk

menghitung bunga majemuk).

Nama : Filly Apriyanti

Tempat tanggal lahir: Majalengka,19 April 1995

Alamat: Jl raya parungjaya blok pahing Rt 001

Rw 002 No.

26 Desa parungjaya Kec. Leuwimunding Kab.

Majalengka

Hobby: Belajar Sambil Dengerin Musik

Moto Hidup: Tetap bersyukur dengan apa yang sudah Allah Swt

kasih

21

Nama : Putri Andini

Tempat tanggal lahir: Majalengka, 08 Oktober 1994

Alamat: Jl Binaraga No 29 Rt 001 Rw 001

Desa Bongas Wetan Kec. Sumberjaya Kab. Majalengka

Hobby: Makan,Baca

Moto Hidup: Berusaha yang terbaik dan bersyukur dengan hasilnya

Nama : Ade Riastuti

Tempat tanggal lahir:Majalengka,27 Juni 1995

Alamat: Ds. Cisetu

Kec. Rajagaluh Kab.

Majalengka

Hobby: Belajar Sambil Dengerin Musik

Moto Hidup: Berani Bermimpi Berani Mewujudkan

Semua anggota kelompok ikut mengerjakan dengan kompak dan pembagian tugas

dilakukan secara merata. Penyelesaian buku ini juga dilakukan saat waktu libur dan

saat tidak ada jam kuliah.

Daftar Pustaka

Drs. Husein tampomas.matematika XII.Tanggerang.:Erlangga.2007

22