PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris...
Transcript of PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS ...repository.usd.ac.id/30986/2/143114003_full.pdfnumeris...
PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS
MENGGUNAKAN BEBERAPA METODE VOLUME HINGGA
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Oleh :
Birgitta Lucy Christabella
NIM: 143114003
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2018
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
i
PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN BURGERS
MENGGUNAKAN BEBERAPA METODE VOLUME HINGGA
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Oleh :
Birgitta Lucy Christabella
NIM: 143114003
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2018
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
NUMERICAL SOLUTION TO THE BURGERS EQUATION
USING SOME FINITE VOLUME METHODS
THESIS
Presented as Partial Fulfillment of the
Reguirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains
Mathematics Study Program
Written By:
Birgitta Lucy Christabella
Student ID: 143114003
MATHEMATICS STUDY PROGRAM
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2018
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
“Semua akan indah pada waktunya.”
“Kamu bisa!! Jangan pernah meragukan dirimu sendiri!!!”
“Karena masa depan sungguh ada, dan harapanmu tidak akan hilang.
Amsal 28:13”
Karya ini kupersembahkan untuk:
Tuhan Yesus Kristus yang senantiasa memberikan berkat-Nya disetiap langkah
saya dan kedua orang tua tercinta, Widodo dan Mimin Sumiati, yang selalu
mendoakan saya serta memberikan yang terbaik untuk saya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
ABSTRAK
Persamaan Burgers merupakan persamaan diferensial parsial hiperbolik
nonlinear. Persamaan Burgers muncul sebagai penyederhanaan yang rumit yaitu
dari sistem persamaan Navier-Stokes. Persamaan Burgers terbagi menjadi dua
yaitu persamaan Burgers inviscid dan persamaan Burgers viscid. Persamaan
Burgers mempunyai solusi eksak yang sulit ditemukan secara analitis. Oleh
karena itu, skripsi ini membahas mengenai penyelesaian numeris persamaan
Burgers.
Metode numeris yang akan digunakan adalah metode volume hingga.
Metode volume hingga untuk persamaan Burgers inviscid adalah metode up-wind
non-konservatif, up-wind konservatif, Lax-Friedrichs, Lax-Wendroff,
MacCormack, Godunov. Metode untuk persamaan Burgers viscid adalah metode
volume hingga parabolik. Metode tersebut digunakan untuk mencari solusi akhir
persamaan Burgers. Lebih lanjut, galat dan waktu komputasi di setiap simulasi
untuk uji metode juga didokumentasikan.
Analisis hasilnya dengan melihat simulasi yang dihasilkan dari ketujuh
metode tersebut. Selain itu, juga dibandingkan setiap nilai galat absolut dan waktu
komputasi dari solusi persamaan Burgers inviscid. Metode dikatakan baik secara
numeris untuk hasil simulasi, jika metode mampu menyelesaikan masalah kontinu
dan diskontinu dengan tidak menunjukkan adanya osilasi semu (artifisial), nilai
galat absolutnya kecil, serta waktu penjalanan simulasi yang singkat. Dengan
demikian, dari hasil yang diperoleh dalam skripsi ini dapat ditemukan suatu
metode numeris yang cepat dan akurat untuk menyelesaikan persamaan Burgers.
Kata kunci: persamaan Burgers, metode volume hingga, Burgers inviscid,
Burgers viscid.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
ABSTRACT
Burgers equation is a nonlinear hyperbolic partial differential equation.
Burgers equation appears as a simplified version of the complex Navier-Stokes
equation system. Burgers equation is categorized into two types, namely, inviscid
Burgers and viscid Burgers. The solution of the Burgers equation is hard to find
analytically. Therefore, this thesis discusses the numerical solution of Burgers
equation.
The finite volume methods to inviscid Burgers equations is the up-wind
non-conservative, up-wind conservative, Lax-Friedrichs, Lax-Wendroff,
MacCormack, and Godunov methods. The method for the viscid Burgers equation
is the parabolic finite volume method. Those methods will be used to find the
final solution of Burgers equation. Furthermore, errors and running times of
simulations to solve the Burgers equation will be explained in every simulation of
the method.
Results were analyzed by looking at the simulations produced by the seven
methods. In addition, we compare each of the absolute errors and computation
(running) times of the inviscid Burgers equation solution. The method can be said
good numerically for the simulation results, if the method is able to solve
continuous and discontinuous problems and does not indicate the existence of
artificial oscillations, the absolute error is small, and the running time is short.
Therefore, from the results in this thesis we obtain a fast and accurate numerical
method for solving the Burgers equation.
Keyword: Burgers equation, finite volume method, inviscid Burgers, viscid
Burgers.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus atas berkat,
rahmat serta Roh Kudus yang telah dicurahkan kepada penulis sehingga penulis
dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik dan lancar. Skripsi ini merupakan
salah satu syarat yang harus dipenuhi penulis untuk memperoleh gelar Sarjana
Sains (S.Si), terkhusus pada Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan
Teknologi, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Banyak sekali tantangan serta kesulitan yang penulis alami dalam
penulisan skripsi ini. Berkat penyertaan Tuhan, serta rasa keyakinan yang kuat,
dan dukungan dari berbagai pihak, penulis mampu melewati semuanya. Dengan
demikian penulis ingin mengucapkan terima kepada:
1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku Dekan Fakultas Sains
dan Teknologi sekaligus dosen pembimbing skripsi.
2. Bapak Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Program Studi Matematika.
3. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ., selaku Dosen Pembimbing Akademik.
4. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan,
S.Si., M.Si., dan Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku dosen Program
Studi Matematika yang telah memberikan ilmu yang sangat bermanfaat semasa
penulis menimba ilmu di Program Studi Matematika, Universitas Sanata
Dharma.
5. Bapak/ibu dosen dan karyawan Fakultas Sains dan Teknologi yang telah
membantu penulis melengkapi keperluan yang penulis butuhkan semasa
perkuliahan, serta berdinamika bersama dan memberikan semangat kepada
penulis.
6. Kedua orang tua dan adik yang selalu menemani, dan tanpa lelah memberikan
semangat serta doa dalam setiap langkah penulis.
7. Aditya Bayu Kristanto yang selalu sabar, mau menjadi pendengar setiap cerita
penulis, memberikan motivasi, dan nasehat yang luar biasa.
8. Dera, Gladys, Jiska, Kresna, Joni, Gesa, Thesa, Sinta, Maulani, Anna, Ervan,
Etri, Monic, Eka, Bowo, Nando, dan Efrem yang telah menjadi teman serta
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL .......................................................................................... i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ....................................... ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ................................................ iii
HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................ iv
HALAMAN PERSEMBAHAN ........................................................................ v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ............................................................ vi
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ............................. vii
ABSTRAK ......................................................................................................... viii
ABSTRACT ....................................................................................................... ix
KATA PENGANTAR ....................................................................................... x
DAFTAR ISI ...................................................................................................... xii
BAB I PENDAHULUAN .................................................................................. 1
A. Latar Belakang .................................................................................... 1
B. Rumusan Masalah ............................................................................... 3
C. Batasan Masalah ................................................................................. 3
D. Tujuan Masalah .................................................................................. 3
E. Manfaat Masalah ................................................................................ 3
F. Metode Penulisan ............................................................................... 4
G. Sistematika Penulisan ......................................................................... 4
BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN HAL-HAL TERKAIT ............. 6
A. Turunan ............................................................................................... 6
B. Integral ................................................................................................ 9
C. Pengertian Diferensial ........................................................................ 13
D. Hukum Konservasi ............................................................................. 16
E. Persamaan Burgers ............................................................................. 17
F. Persamaan Euler ................................................................................. 18
G. Turunan Numerik ............................................................................... 19
H. Menentukan Orde Galat ...................................................................... 25
I. Metode Volume Hingga ..................................................................... 26
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
BAB III METODE NUMERIS UNTUK PERSAMAAN BURGERS .............. 29
A. Penurunan Persamaan Navier Stokes Menjadi Persamaan Burgers
Satu Dimensi ..................................................................................... 29
B. Metode Volume Hingga untuk Penyelesaian Persamaan Burgers
Inviscid ................................................................................................ 34
C. Metode Volume Hingga untuk Penyelesaian Persamaan Burgers
Viscid ................................................................................................... 38
BAB IV DISKUSI HASIL PENYELESAIAN .................................................. 41
A. Diskusi Hasil Penyelesaian ................................................................. 41
B. Pengamatan Galat ............................................................................... 46
BAB V PENUTUP ............................................................................................. 55
A. Kesimpulan ......................................................................................... 55
B. Saran ................................................................................................... 56
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 57
LAMPIRAN ....................................................................................................... 58
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang menyatakan hubungan
suatu fungsi dengan turunan-turunannya. Berdasarkan banyaknya variabel bebas
yang terlibat, persamaan diferensial terbagi menjadi dua, yaitu persamaan
diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Persamaan diferensial biasa
adalah persamaan diferensial yang hanya memuat satu variabel bebas. Jika dalam
persamaan diferensial memuat lebih dari satu variabel bebas, persamaan tersebut
merupakan persamaan diferensial parsial. Salah satu bentuk persamaan diferensial
parsial adalah persamaan Burgers.
Persamaan Burgers muncul sebagai penyederhanaan model yang rumit,
yaitu sistem persamaan Navier-Stokes. Sistem persamaan Navier-Stokes
merupakan suatu model matematika untuk aliran gelombang fluida yang bersifat
nonlinear. Menurut Landajuela (2011), sistem persamaan Navier-Stokes
berbentuk
0 v (1.1a)
0)()( 2 vpvvv t (1.1b)
dengan adalah fungsi skalar massa jenis fluida, adalah fungsi skalar
kekentalan (viscosity) fluida, p adalah fungsi skalar tekanan yang bergantung
pada variabel x , y , dan ,z dan v adalah vektor kecepatan dalam arah sumbu ,x
y , dan z . Sistem persamaan tersebut bisa disederhanakan menjadi satu
persamaan Burgers. Akan tetapi, satu persamaan tersebut masih bersifat nonlinear.
Jadi, sifat dasar dari sistem persamaan Navier-Stokes itu masih terkandung dalam
persamaan Burgers. Artinya, persamaan Burgers merupakan persamaan
gelombang sederhana yang memuat sifat nonlinear dari pergerakan gelombang
tersebut. Dalam fenomena alam, persamaan Burgers dapat digunakan pada
masalah mekanika fluida, khususnya sebagai model persamaan untuk kecepatan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
aliran fluida dan gerak gelombang. Selain digunakan pada masalah mekanika
fluida, persamaan Burgers juga muncul pada masalah arus lalu lintas, seperti arus
gelombang kendaraan.
Dalam skripsi ini penulis akan membahas mengenai penyelesaian numeris
persamaan Burgers secara cepat dan akurat. Cepat berarti waktu komputasinya
singkat dan akurat artinya nilai kesalahannya kecil. Persamaan Burgers terbagi
menjadi dua yaitu persamaan Burgers viscid dan persamaan Burgers inviscid.
Menurut Landajuela (2011), persamaan Burgers viscid berbentuk
xxxt uuuu (1.2)
dengan 0 adalah konstanta viskositas, t adalah variabel waktu, x adalah var-
iabel ruang dan u adalah variabel terikat yang bergantung pada x dan t . Persa-
maan Burgers inviscid berbentuk
0 xt uuu (1.3)
dengan .0t Persamaan (1.3) dapat ditulis menjadi persamaan hukum kekekalan
berbentuk
0)]([ xt ufu (1.4)
dengan 2
)(2u
uf . Jadi, persamaan (1.3) dapat ditulis ulang menjadi
.02
2
x
t
uu (1.5)
Persamaan Burgers mempunyai solusi eksak yang sulit dicari secara anali-
tis, sehingga diperlukan cara lain yaitu dengan menggunakan metode numeris.
Metode numeris yang akan digunakan adalah metode volume hingga, Persamaan
Burgers inviscid menggunakan metode numeris volume hingga up-wind non-
konservatif, up-wind konservatif, Lax-Friedrichs, Lax-Wendroff, MacCormack,
Godunov dan untuk persamaan Burgers viscid menggunakan metode volume
hingga parabolik. Jika metode tersebut berhasil menyelesaikan persamaan Burgers
dengan baik diharapkan metode tersebut dapat menyelesaikan masalah-masalah
yang lebih rumit. Metode tersebut bisa diterapkan untuk menyelesaikan persa-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
maan yang lebih rumit seperti sistem persamaan Navier-Stokes, sistem persamaan
gelombang air dangkal dan model arus lalu lintas.
B. Rumusan Masalah
Perumusan masalah yang akan dibicarakan pada skripsi ini adalah sebagai
berikut:
1. Bagaimana menyederhanakan sistem persamaan Navier-Stokes menjadi
persamaan Burgers?
2. Bagaimana mencari penyelesaian numeris persamaan Burgers menggunakan
metode volume hingga up-wind non-konservatif, up-wind konservatif, Lax-
Friedrichs, Lax-Wendroff, MacCormack, Godunov dan volume hingga
parabolik?
C. Batasan Masalah
Pembahasan skripsi ini dibatasi pada masalah satu dimensi dan mencari
penyelesaian numeris persamaan Burgers dengan metode volume hingga up-wind
non-konservatif, up-wind konservatif, Lax-Friedrichs, Lax-Wendroff,
MacCormack, Godunov dan volume hingga parabolik.
D. Tujuan Penulisan
Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan dari penulisan skripsi ini
adalah sebagai berikut:
1. Mendapatkan persamaan Burgers dari hasil penyederhanaan sistem persa-
maan Navier-Stokes.
2. Menyelesaikan secara numeris persamaan Burgers menggunakan metode vol-
ume hingga.
E. Manfaat penulisan
Manfaat yang dapat diperoleh dari penulisan skripsi ini adalah penulis
akan memperoleh metode penyelesaian persamaan Burgers secara cepat dan aku-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
rat. Metode tersebut diharapkan dapat menyelesaikan masalah-masalah yang lebih
rumit, seperti sistem persamaan Navier-Stokes, persamaan gelombang air dangkal
dan model arus lalu lintas.
F. Metode Penulisan
Metode yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah metode studi
pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari buku-buku dan jurnal-jurnal
yang berkaitan dengan penyelesaian numeris persamaan Burgers menggunakan
metode volume hingga, serta praktik simulasi dengan program komputer
menggunakan bahasa pemograman MATLAB. Beberapa acuan yang akan dipakai
penulis, misalnya Debnath (2012) dan LeVeque (1992).
G. Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut:
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
B. Rumusan Masalah
C. Batasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Manfaat Penulisan
F. Metode Penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN HAL-HAL TERKAIT
A. Turunan
B. Integral
C. Pengertian Diferensial
D. Hukum Konservasi
E. Persamaan Burgers
F. Persamaan Euler
G. Turunan Numerik
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
H. Menentukan Orde Galat
I. Metode Volume Hingga
BAB III METODE NUMERIS UNTUK PENYELESAIAN PERSAMAAN
BURGERS
A. Penurunan Persamaan Navier-Stokes Menjadi Persamaan Burgers Satu
Dimensi
B. Metode Volume Hingga untuk Persamaan Burgers Inviscid
C. Metode Volume Hingga untuk Persamaan Burgers Viscid
BAB IV DISKUSI HASIL PENYELESAIAN
A. Diskusi Hasil Penyelesaian
B. Pengamatan Galat
BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
BAB II
PERSAMAAN DIFERENSIAL
Dalam bab ini akan dibahas mengenai landasan teori dari skripsi ini.
Landasan teori yang digunakan dalam skripsi ini adalah turunan, integral,
persamaan diferensial, hukum konservasi, persamaan Burgers, persamaan Euler,
turunan numeris, dan metode volume hingga.
A. Turunan
Dalam subbab ini akan dibahas mengenai turunan dengan menggunakan
referensi dari Purcell dan Varberg (1987).
Definisi 2.1
Turunan fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca “ f aksen”) yang nilainya
pada titik c didefinisikan
h
cfhcfcf
h
)()(lim)('
0
asalkan limit ini ada dan bukan atau (Purcell dan Varberg, 1987).
Contoh 2.1
Contoh ini diambil dari buku Purcell dan Varberg (1987):
Andaikan .613)( xxf Cari ).4(f
Penyelesaian:
h
fhff
h
)4()4(lim)4('
0
13
13lim
13lim
]6)4(13[]6)4(13[lim
0
0
0
h
h
h
h
h
h
h
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
Definisi 2.2
Definisi turunan (derivatif) di atas dapat ditulis ulang sebagai berikut
(Purcell dan Varberg, 1987):
Diberikan fungsi fDf : maka turunan (derivatif) dari fungsi f pada
titik c adalah
h
cfhcfcf
h
)()(lim)('
0
atau misalkan hcx , sehingga cx menggantikan h . Jadi,
cx
cfxfcf
cx
)()(lim)('
dengan syarat nilai limit ini ada.
Contoh 2.2
Contoh ini diambil dari buku Purcell dan Varberg (1987):
Gunakan definisi terakhir untuk mencari )(' cg jika .)3(
2)(
xxg
Penyelesaian:
cx
cx
cx
cgxgcg
cxcx
3
2
3
2
lim)()(
lim)('
cxcx
xc
cx
1.
)3)(3(
)3(2)3(2lim
cxcx
cx
cx
1.
)3)(3(
)(2lim
)3)(3(
2lim
cxcx
2)3(
2
c
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
Teorema 2.1
Jika )(' cf ada, maka f kontinu di c (Purcell dan Varberg, 1987). Bukti
dapat dilihat pada buku karangan Purcell dan Varberg (1987) yang berjudul
Kalkulus dan Geometri Analitis edisi kelima (jilid 1).
Teorema 2.2
Misalkan )(ufy dan )(xgu . Jika g terdiferensiasikan di x dan f
terdiferensiasikan di )(xgu , maka fungsi komposit gf , yang didefinisikan
oleh )),(())(( xgfxgf adalah terdiferensiasikan di x dan
)())(()()( xgxgfxgf
yaitu
)())(()))((( xgxgfxgfDx
atau
dx
du
du
dy
dx
dy
(Purcell dan Varberg, 1987).
Contoh 2.3
Contoh ini diambil dari buku Purcell dan Varberg(1987):
Jika 602 )142( xxy , carilah yDx.
Penyelesaian:
Kita misalkan y sebagai pangkat ke-60 suatu fungsi x , yaitu
60uy dan 142 2 xxu
Fungsi sebelah luar adalah 60)( uuf dan fungsi bagian dalam adalah
142)( 2 xxxgu . Jadi,
))(( xgfDyD xx
)()( xguf
)44)(60( 59 xu
)44()142(60 592 xxx
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
B. Integral
Dalam subbab ini akan dijelaskan definisi serta contoh tentang integral
yang menggunakan referensi Purcell dan Varberg (1987), Verberg dkk (2006) dan
Thomas (2010).
Definisi 2.3
Jika diberikan suatu fungsi )(xf pada suatu interval I dan berlaku
)()( xfxF untuk suatu )(xF , maka )(xF adalah suatu anti turunan dari fungsi
)(xf .
Contoh 2.4
Contoh ini diambil dari buku Varberg dkk (2006).
Carilah suaatu anti-turunan fungsi 34)( xxf pada ),( .
Penyelesaian:
Fungsi 6)( 4 xxF memenuhi 34)(' xxF , ini juga adalah suatu anti-turunan
dari 34)( xxf . Pada kenyataannya, CxxF 4)( , dengan C konstanta
sebarang, adalah suatu anti-turunan dari 34x pada ),( .
Contoh 2.5
Carilah anti-turunan umum dari 2)( xxf pada ),( .
Penyelesaian:
Fungsi 3)( xxF bukan anti-turunannya, karena turunannya adalah 23x . Tetapi
ini menyarankan 3
3
1)( xxF , memenuhi
233
1)( xxF . Oleh karena itu, anti-
turunan umumnya adalah .3
1 3 Cx
Teorema 2.3
Jika r adalah sebarang bilangan rasional kecil 1 , maka
Cr
xdxx
rr
1
1
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
Bukti dapat dilihat di buku Varberg dkk (2006) yang berjudul Calculus.
Teorema 2.4
Andaikan f dan g mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan
andaikan k suatu konstanta. Maka
(i). )(xkf )(xfkdx dx ;
(ii). )()( xgxf )(xfdx )(xgdx dx ;
(iii). )()( xgxf )(xfdx )(xgdx dx .
Bukti dapat dilihat pada buku Varberg dkk (2006) yang berjudul Calculus.
Pengantar untuk Persamaan Diferensial
Sebelumnya kita telah mengintegralkan (anti penurunan) suatu fungsi f
untuk memperoleh suatu fungsi baru F . Kita tuliskan
)(xf CxFdx )(
Dan ini adalah benar, asalkan )()( xfxF . Dalam bahasa diferensial,
)()( xfxF detara dengan )()( xfxdF dx . Sehingga kita dapat memandang
rumus )(xf CxFdx )( sebagai
)(xdF CxF )(
Dari tinjauan ini, kita mengintegralkan diferensial suatu fungsi untuk memperoleh
fungsi tersebut (tambah suatu konstanta) (Purcell dan Varberg, 1987).
Contoh 2.6
Contoh ini diambil dari buku Purcell dan Varberg (1987):
Carilah suatu fungsi bagi kurva yang melalui )2,1( dan yang
kemiringannya pada setiap titik kurva sama dengan dua kali absis (koordinat x )
titik itu.
Penyelesaian:
Kondisi yang harus berlaku di setiap titik ),( yx pada kurva adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
xdx
dy2
kita mencari suatu fungsi )(xfy yang memenuhi persamaan ini dan kondisi
tambahan bahwa 2y bilamana 1x . Kita sarankan dua cara memperhatikan
masalah ini.
Metode 1:
Persamaan bentuk )(/ xgdxdy , kita amati bahwa y harus berupa suatu
anti turunan dari )(xg , yakni
)(xgy dx
dalam kasus kita
xy 2 Cxdx 2
Metode 2:
Pikirkan dxdy / sebagai suatu hasil bagi dua diferensial. Bilamana kedua
ruas dari xdxdy 2/ dikali dengan dx , diperoleh
xdy 2 dx
Selanjutnya kedua ruas diintegralkan dan disederhanakan,
xdy 2 dx
2
2
1 CxCy
12
2 CCxy
Cxy 2
Seperti yang kita peroleh, metode yang kedua berhasil dalam aneka rupa masalah.
Definisi 2.4 (Integral tentu, Purcell dan Varberg (1987))
Andaikan f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup ],[ ba .
Jika
i
n
i
iP
xxf
1
0)(lim
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
ada, kita katakan f adalah terintegralkan pada ],[ ba . Lebih lanjut b
adxxf )(
disebut intergal tentu (atau intergal riemann) f dari a ke b , diberikan oleh
b
ai
n
i
iP
xxfdxxf1
0)(lim)( .
Keterangan lebih jauh dapat dibaca pada buku Purcell (1987) yang berjudul
Kalkulus dan Geometri Analitis edisi kelima.
Teorema 2.5
Andaikan f kontinu (karenanya terintegralkan) pada ],[ ba dan andaikan F
searang anti turunan dari f di sana. Maka,
b
aaFbFdxxf ).()()(
Bukti dapat dilihat pada buku Purcell dan Varberg (1987).
Contoh 2.7
Contoh ini diambil dari buku Purcell dan Varberg(1987):
Tentukan integral fungsi 264)( xxxf pada interval tertutup ]2,1[ .
Penyelesaian:
Integral tak tentunya adalah
.2264)( 322 CxxdxxxxF
dengan C sebarang konstan.
Dapat diperiksa )()( xfxF , sebagai berikut:
).(64)3.2(2.2)22(
)( 2232
xfxxxxdx
xxd
dx
dFxF
Karena f kontinu pada interval ]2,1[ dan )()( xfxF , maka
.12)1.(2)1.(22.22.2)1()2()64(2
1
32322 FFdxxx
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
C. Pengertian Diferensial
Dalam subbab ini akan dibahas tentang persamaan diferensial yang
menggunakan referensi dari Bedient dan Rainville (1969) dan Ross (1989).
Persamaan diferensial yang akan dibahas meliputi definisi dan contoh persamaan
diferensial, persamaan diferensial biasa, persamaan diferensial parsial, tingkatan
persamaan diferensial, dan persamaan diferensial linear/tak linear.
Definisi 2.5 (Persamaan Diferensial)
Persamaan diferensial adalah sebuah persamaan yang melibatkan turunan
dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap variabel-variabel bebas (Ross,
1989).
Contoh 2.8
Persamaan di bawah ini adalah beberapa contoh dari persamaan diferensial
(Ross, 1989):
,0
2
2
2
dx
dyxy
dx
yd
(2.1)
,sin352
2
4
4
txdt
xd
dt
xd
(2.2)
,ut
u
s
u
(2.3)
.02
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
(2.4)
Definisi 2.6
Persamaan diferensial biasa adalah suatu persamaan diferensial yang
melibatkan turunan biasa dari satu variabel tak bebas atau variabel terikat yang
bergantung pada satu variabel bebas (Ross, 1989).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
Contoh 2.9
Contoh dari persamaan diferensial biasa ditunjukkan oleh persamaan (2.1)
dan (2.2). Persamaan (2.1) adalah persamaan diferensial biasa dengan variabel x
adalah suatu variabel bebas, dan y adalah variabel tak bebas. Pada persamaan
(2.2) adalah persamaan diferensial biasa dengan t adalah variabel bebas,
sedangkan x adalah variabel tak bebas.
Definisi 2.7
Persamaan diferensial parsial adalah sebuah persamaan diferensial yang
melibatkan turunan parsial dari satu atau lebih variabel tak bebas atau variabel
terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas (Ross, 1989).
Contoh 2.10
Persamaan (2.3) dan (2.4) adalah contoh dari persamaan diferensial
parsial. Pada persamaan (2.3) variabel s dan t merupakan variabel bebas dan
variabel u merupakan variabel tak bebas. Pada persamaan (2.4) terdapat variabel
bebas x dan t , sedangkan variabel tak bebasnya adalah variabel u .
Definisi 2.8
Orde persamaan diferensial adalah tingkat tertinggi dari turunan yang
muncul dalam persamaan diferensial tersebut. Persamaan umum dari orde
persamaan diferensial berbentuk
0),...,,,( )( nyyyxF (2.5)
disebut persamaan diferensial biasa order ke- n (Ross, 1989).
Contoh 2.11
Persamaan (2.1) adalah contoh persamaan diferensial biasa orde dua dan
persamaan (2.2) adalah contoh persamaan diferensial biasa orde empat.
Persamaan (2.3) adalah contoh persamaan diferensial parsial order satu dan
persamaan (2.4) adalah contoh persamaan diferensial parsial orde dua.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
Definisi 2.9
Sebuah persamaan (2.5) disebut linear jika fungsi F adalah fungsi linear
dari variabel )(,...,, nyyy . Persamaan diferensial biasa linear dari orde n , dapat
dinyatakan dalam bentuk
)()()(...)()( 11
1
10 xbyxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa nnn
n
n
n
(2.6)
dimana 0a tidak sama dengan nol (Ross, 1989).
Contoh 2.12
Contoh ini diperoleh dari buku Bedient dan Rainville (1963)
,062
2
ydx
dy
dx
yd
(2.7)
023 yyy (2.8)
Persamaan (2.7) dan (2.8) adalah persamaan diferensial biasa linear orde
dua. Dalam persamaan (2.7) dan (2.8) variabel y adalah variabel tak bebas.
Perhatikan y dan turunan-turunannya terjadi hanya dengan pangkat satu saja dan
tidak ada perkalian dari y atau turunan dari y .
Definisi 2.10
Suatu persamaan diferensial biasa yang tidak memiliki bentuk (2.6)
dinamakan persamaan diferensial biasa tak linear (Ross, 1989).
Contoh 2.12
Contoh persamaan diferensial biasa tak linear (Ross, 1989):
,065
3
2
2
y
dx
dy
dx
yd
(2.9)
,065 2
2
2
ydx
dy
dx
yd
(2.10)
.0652
2
ydx
dyy
dx
yd
(2.11)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Persaman (2.9) bukan persamaan diferensial biasa linear karena terdapat
bentuk
3
dx
dy yang melibatkan pangkat tiga dari turunan pertama. Persamaan
(2.10) adalah persamaan diferensial biasa tak linear karena variabel tak bebas atau
variabel terikat y terdapat pangkat kedua dalam bentuk 26y . Persamaan (2.11)
adalah persamaan diferensial biasa tak linear karena terdapat bentuk dx
dyy yang
melibatkan perkalian terhadap variabel tak bebas dengan turunannya.
D. Hukum Konservasi
Pada subbab ini akan dibahas mengenai hukum konservasi menurut
LeVeque (2014):
Hukum konservasi satu dimensi adalah persamaan diferensial parsial yang
berbentuk
( ) ( ( ))
(2.12)
dengan ( ) adalah fungsi fluks. Persamaan (2.12) dapat ditulis juga dalam
bentuk
( ) ( )
Definisi 2.11
Bentuk integral dari hukum konservasi dengan interval yaitu
∫ ( ) ( ( )) ( ( ))
(2.13)
Persamaan (2.13) merupakan bentuk integral dasar dari hukum konservasi dan
mengukur kerapatan dari suatu kuantitas kekal. Persamaan (2.3) dapat ditulis
∫ ( ) ( ( ))
|
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
Persamaan untuk dapat diselesaikan apabila fungsi ( ) ditentukan dan
persamaan ini harus memenuhi interval [ ] untuk sebarang nilai dan .
Persamaan ini sulit jika diselesaikan secara langsung, dengan demikian terlebih
dahulu akan diubah ke dalam bentuk persamaan diferensial. Diasumsikan bahwa
( ) dan adalah fungsi mulus, sehingga
∫ ( )
∫
( ( ))
(2.14)
atau
∫ [
( )
( ( ))]
(2.16)
Dikarenakan persamaan (2.16) harus sama dengan nol untuk semua nilai dan
, maka integral dari persamaan tersebut harus sama dengan nol. Sehingga,
diperoleh persamaan diferensial sebagai berikut
( )
( ( ))
(2.17)
Dengan demikian persamaan (2.17) dapat ditulis kembali menjadi
( ) ( ( ))
E. Persamaan Burgers
Pada subbab ini akan dibahas mengenai persamaan Burgers menurut
LeVeque (1992).
Perhatikan persamaan skalar nonlinear (1.4):
0)]([ xt ufu Ref. (1.4)
dimana )(uf adalah fungsi tak linear dari .u Asumsikan bahwa )(uf adalah
fungsi cembung, 0)( uf untuk semua u (atau, sama baiknya, f adalah fungsi
cekung dengan 0)( uf untuk semua ).u
Sejauh ini masalah model yang paling terkenal di bidang ini adalah
persamaan Burgers, dimana )(uf menjadi persamaan (1.3):
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
0 xt uuu Ref. (1.3)
Persamaan tersebut disebut “persamaan Buergers inviscid”, karena persamaan
yang dipelajari oleh Burgers juga mencakup istilah viscous:
xxxt uuuu Ref. (1.2)
Ini adalah model paling sederhana yang mencakup sifat nonlinear dan
viscous dari dinamika fluida.
F. Persamaan Euler
Diingat bahwa adalah densitas, v kecepatan, E energi total, dan p
tekanan gas. Persamaan kontinuitas adalah
.0)( tt v (2.18)
Debit aliran massa (fluks massa) diberikan oleh v . Secara umum, untuk setiap
jumlah z yang digerakkan dengan arus akan ada konstribusi terhadap aliran untuk
z dari bentuk zv . Dengan demikian, persamaan momentum memiliki konstribusi
bentuk 2)( vvv dan persamaan energi memiliki konstribusi fluks Ev .
Selain adveksi, ada kekuatan pada cairan yang menyebabkan percepatan
yang disebabkan oleh hukum Newton, oleh karena itu ada perubahan dalam
momentum. xp merupakan gradien tekanan. Diberikan persamaan momentum
dari penggabungan xp dengan fluks advektif, yaitu
.0)()( 2 xt pvv (2.19)
Energi total E sering didekomposisi sebagai
,2
1 2 evE (2.20)
e adalah energi internal. Variabel e yang merupakan energi bagian dalam
(internal) persatuan massa, disebut sebagai energi internal spesifik. Energi internal
mencakup energi rotasi dan vibrasi dan kemungkinan bentuk energi lainnya dalam
situasi yang lebih rumit. Dalam persamaan Euler diasumsikan bahwa gas berada
dalam kesetimbangan kimia dan termodinamika dan bahwa energi internal adalah
fungsi tekanan dalam kerapatan yang diketahui:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
).,( pee (2.21)
Ini adalah “persamaan keadaan” untuk gas, yang bergantung pada gas
yang sedang dipelajari. Dengan tidak adanya kekuatan dari luar, pekerjaan
dilakukan hanya oleh kekuatan tekanan dan sebanding dengan gradien vp .
Hukum konservasi untuk energi total dalam satu dimensi berbentuk sebagai
berikut
.0)]([ xt pEvE (2.22)
Menempatkan persamaan ini bersama memberikan sistem persamaan Euler
.0
)(
2
xtpEv
pv
v
E
v
(2.23)
Dalam ruang dua dimensi, persamaan Euler berbentuk
0
)()(
2
2
yxtpEv
pv
uv
v
pEv
uv
pv
v
E
v
u
(2.24)
dimana ),( vu adalah kecepatan fluida dua dimensi.
G. Turunan Numerik
Pada subbab ini akan dibahas mengenai penurunan numeris beserta contoh
dan penjelasannya mengenai tiga hampiran dalam menghitung turunan numerik
yaitu hampiran beda maju, hampiran beda mundur dan hampiran beda pusat
menggunakan referensi dari Munir (2015).
Definisi 2.10
Suatu turunan fungsi didefinisikan dengan
h
xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
Seringkali fungsi )(xf tidak diketahui secara eksplisit, tetapi hanya memiliki
beberapa titik data saja. Pada kasus seperti ini tidak dapat ditentukan nilai turunan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
fungsi secara analitis. Sebaliknya, pada kasus lain, meskipun )(xf diketahui
secara eksplisit tetapi bentuknya rumit sehingga menentukan fungsi turunannya
merupakan pekerjaan yang sulit dan tidak praktis, misalnya pada fungsi-fungsi
berikut ini:
a. ,
)cos(
2)sin(
)3tan()2cos()(
2
x
xex
xxxxf
x
b. )4ln()( 2)22( xxexf x .
Untuk kedua kasus di atas, perhitungan nilai turunan dapat dikerjakan
secara numeris (numerical differentiation atau numerical derivative). Nilai
turunan yang diperoleh merupakan nilai hampiran.
Tiga Hampiran dalam Menghitung Turunan Numerik
Pengertian turunan adalah limit dari hasil bagi selisih, yaitu pengurangan
dua buah nilai yang benar )()( xfhxf dan membaginya dengan bilangan
yang kecil )(h . Misal diberikan nilai-nilai x di hx 0,
0x , dan hx 0, serta
nilai fungsi untuk nilai-nilai x tersebut. Titik-titik yang diperoleh adalah
),( 11 fx , ),( 00 fx , dan ),( 11 fx , yang dalam hal ini hxx 01 dan hxx 01
.
Terdapat tiga pendekatan dalam menghitung nilai )( 0xf :
1. Hampiran Beda Maju
Diketahui fungsi )( 0xfy . Selanjutnya akan ditunjukkan )( 0xf .
Dengan menggunakan hampiran beda maju
h
xfhxfxf
h
)()(lim)( 00
00
h
xfhxf )()( 00
h
ff 01
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
2. Hampiran Beda Mundur
Diketahui fungsi )( 0xfy . Selanjutnya akan ditunjukkan )( 0xf .
Dengan menggunakan hampiran beda mundur
h
hxfxfxf
h
)()(lim)( 00
00
h
hxfxf )()( 00
h
ff 10
3. Hampiran Beda Pusat
Diketahui fungsi )( 0xfy . Selanjutnya akan ditunjukkan )( 0xf .
Dengan menggunakan hampiran beda pusat
h
hxfhxfxf
h 2
)()(lim)( 00
00
h
hxfhxf
2
)()( 00
h
ff
2
11
Rumusan Turunan dengan Deret Taylor
Dalam bagian ini akan dibahas mengenai rumusan turunan deret Taylor,
mengambil referensi dari Munir (2015).
Misalkan diberikan ),( ii fx , ni ,...,2,1,0 , yang dalam hal ini
ihxxi 0
dan
)( ii xff
dimana shxxi 0, untuk s R dengan ketiga pendekatan yang disebutkan di
atas yaitu beda maju, beda mundur, dan beda pusat.
1. Hampiran Beda Maju
Uraikan )( 1ixf di sekitar ix :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
)( 1ixf ...)(!2
)()(
!1
)()(
2
11
i
ii
i
ii
i xfxx
xfxx
xf
Subsitusikan ( ) dan penulisan ( ) dapat ditulis
diperoleh
...2
2
1 iii fh
fhff
(2.25)
atau ditulis
...2
2
1 iiii fh
fffh
kedua ruas dibagi dengan , diperoleh
...2
1
i
ii
i fh
h
fff
(2.26)
Karena ...2
fh
adalah bilangan yang sangat kecil dan diasumsikan tidak
berpengaruh di nilai if sehingga persamaan (2.26) dapat ditulis sebagai berikut
)(1 hOh
fff ii
i
(2.27)
yang dimana hal ini, )(2
)( tfh
hO , untuk suatu t di dalam interval 1 ii xtx
Untuk nilai-nilai f di 0x dan 1x persamaan rumusnya menjadi:
)(01
0 hOh
fff
Dimana, dalam hal ini )(2
)( tfh
hO , dengan interval 10 xtx menyatakan
bahwa turunan numeris dengan hampiran beda maju dan mempunyai keakuratan
tingkat satu atau ditulis )(hO .
2. Hampiran Beda Mundur
Uraikan )( 1ixf di sekitar ix :
)( 1ixf ...)(!2
)()(
!1
)()(
2
11
i
ii
i
ii
i xfxx
xfxx
xf
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Subsitusikan ( ) dan penulisan ( ) dapat ditulis
diperoleh
...2
2
1 iiii fh
fhff (2.28)
atau
...2
2
11 iiii fh
fffh
kedua ruas dibagi dengan , diperoleh
...2
1
i
ii
i fh
h
fff
(2.29)
Karena ...2
fh
adalah bilangan yang sangat kecil dan diasumsikan tidak
berpengaruh di nilai if sehingga persamaan (2.29) dapat ditulis sebagai berikut
)(1 hOh
fff ii
i
(2.30)
yang dimana hal ini, )(2
)( tfh
hO , untuk suatu t di dalam interval
.1 ii xtx
Nilai-nilai f di 0x dan 1x persamaan rumusnya menjadi:
)(10
0 hOh
fff
dimana, dalam hal ini )(2
)( tfh
hO , dengan interval 01 xtx menyatakan
bahwa turunan numeris dengan hampiran beda mundur dan mempunyai
keakuratan tingkat satu atau ditulis )(hO .
3. Hampiran Beda Pusat
Kurangkan persamaan (2.31) dengan persamaan (2.34):
...
2...
2
22
11 iiiiiiii fh
fhffh
fhfff
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
dengan menggunakan operasi penjumlahan dan pengurangan kita peroleh
....3
23
11 iiii fh
fhff
atau
....3
23
11 iiii fh
fffh
...62
211
i
ii
i fh
h
fff (2.31)
Karena ...6
2
ifh
adalah bilangan yang sangat kecil dan tidak berpengaruh di
nilai if sehingga persamaan (2.31) dapat ditulis sebagai berikut
)(2
211 hOh
fff ii
i
(2.32)
yang dimana hal ini, )(6
)(2
tfh
hO , untuk suatu t di dalam interval
11 ii xtx
Untuk nilai-nilai f di 1x dan 1x persamaan rumusnya menjadi:
)(2
211
0 hOh
fff
Dimana, dalam hal ini, )(6
)(2
tfh
hO dengan interval 11 xtx menyatakan
bahwa turunan numeris dengan hampiran beda pusat dan mempunyai keakuratan
tingkat dua atau ditulis )( 2hO .
Berikut ini akan ditunjukan tafsiran geometri dari ketiga pendekatan di
atas, yang akan diperlihatkan pada gambar 2.1, sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
(a) (b)
(c)
Gambar 2.1 Tiga pendekatan dalam perhitungan numeris yaitu (a) Hampiran beda
maju, (b) Hampiran beda mundur, dan (c) Hampiran beda pusat.
H. Menentukan Orde Galat
Pada penurunan rumus turunan numeris dengan deret Taylor, kita dapat
langsung memperoleh rumus galat tersebut. Tetapi denga polinom interpolasi kita
harus mencari rumus galat tersebut dengan bantuan deret Taylor (Munir, 2015).
Contoh 2.11
Eh
ffxf
2)( 11
0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
Nyatakan E (galat) sebagai ruas kiri persamaan, lalu ekspansi ruas kanan dengan
deret Taylor di sekitar 0x :
h
ffxfE
2
)()( 11
0
...
62...
622
10
3
0
2
000
3
0
2
000 fh
fh
fhffh
fh
fhfh
f
...
62
2
10
3
00 fh
fhh
f
...6
0
2
00 fh
ff
...6
0
2
fh
)(6
2
tfh
, dengan interval 11 xtx
).( 2hO
Jadi, hampiran beda pusat memiliki galat )(6
2
tfh
E , 11 xtx , dengan
orde )( 2hO
I. Metode Volume Hingga
Pada subbab ini akan dibahas mengenai metode volume hingga
menggunakan referensi LeVeque (2014):
Dipandang persamaan diferensial parsial hukum kekekalan dengan bentuk
( )
Di dalam ruang satu dimensi, metode volume hingga didasarkan pada
pengelompokan domain ruang menjadi interval-interval (grid sel), seperti tampak
pada gambar 2.2.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
Gambar 2.2. Ilustrasi grid sel domain ruang.
Di sini
atau . Domain waktu didiskritkan
menjadi
dengan . Misalkan sel ke dinotasikan sebagai berikut
(
),
Nilai merupakan pendekatan rata-rata dari kuantitas ( ) pada domain
waktu dan interval ruang ke :
∫ ( )
∫ ( )
⁄ ⁄
.
Skema integral dari hukum kekekalan diberikan oleh
∫ ( ) ( ( ⁄ )) ( ( ⁄ ))
.
Dengan mengintegralkan persamaan di atas terhadap waktu dari ke ,
diperoleh
∫ ( ) ⁄
⁄
∫ ( ) ⁄
⁄
∫ ( ( ⁄ ))
∫ ( ( ⁄ ))
𝑥𝑖 3
𝑥𝑖
𝑥𝑖
𝑥𝑖
𝑥𝑖
𝑥𝑖
𝑥𝑖 3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
Persamaan tersebut dibagi dengan diperoleh
∫ ( ) ⁄
⁄
∫ ( ) ⁄
⁄
[∫ ( ( ⁄ )) ∫ ( ( ⁄ ))
]
Hal ini menunjukkan bahwa nilai rata-rata dalam sel diperbaharui dalam
satu satuan waktu. Secara umum, kita tidak dapat menentukan integral waktu dari
sisi kanan persamaan di atas, dikarenakan ( ⁄ ) bervariasi dengan waktu
sepanjang setiap tepi sel, dan tidak memiliki solusi eksaknya. Akan tetapi, hal ini
menunjukkan untuk mempelajari metode numerik seperti berikut
(
),
di sini
adalah pendekatan dari fungsi fluks ( ( )) dalam selang waktu
[ ] pada titik ⁄ , diperoleh
⁄
∫ ( ( ⁄
))
Persamaan di atas merupaka skema volume hingga untuk persamaan diferensial
parsial hukum kekekalan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
BAB III
METODE NUMERIS UNTUK PERSAMAAN BURGERS
Dalam bab ini akan dijelaskan mengenai metode volume hingga. Metode
tersebut digunakan untuk menyelesaikan persamaan Burgers.
A. Penurunan Persamaan Navier Stokes Menjadi Persamaan Burgers Satu
Dimensi
Persamaan Burgers muncul sebagai penyederhanaan model yang rumit.
Salah satu contohnya adalah sistem persamaan Navier-Stokes. Sistem persamaan
Navier-Stokes adalah serangkaian persamaan yang menjelaskan pergerakan dari
suatu fluida seperti cairan dan gas. Persamaan Navier-Stokes memiliki bentuk
persamaan diferensial yang menerangkan pergerakan dari suatu fluida. Menurut
Landajuela (2011), sistem persamaan Navier stokes berbentuk
0 v (1.1a) (1.1)
0)()( 2 vpvvv t (1.1b)
dengan
adalah fungsi skalar massa jenis fluida (kerapatan fluida),
adalah fungsi skalar kekentalan (viscosity) fluida,
p adalah fungsi skalar tekanan yang bergantung pada variabel x , y , dan ,z dan
v adalah vektor kecepatan dalam arah sumbu ,x y , dan z .
Pada bagian ini akan dibahas mengenai penurunan sistem persamaan
Navier-Stoke menjadi persamaan Burgers menggunakan referensi dari Schlesser
dan Griffiths (2009). Titik awal untuk analisis ini adalah persamaan konservasi
multidimensi yang ditulis dalam bentuk konservatif sebagai berikut,
0)]([ ufut (3.1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
dimana u adalah vektor kuantitas yang dilestarikan, yang biasanya mencakup
massa, momentum, atau energi. Suku dari persamaan (3.1) adalah tu merupakan
laju perubahan kuantitas terhadap waktu, dan )]([ uf merupakan laju
perubahan fluks (aliran) dari kuantitas yang dikekalkan ke dalam atau luar volume
yang dipandang.
Di dalam kasus model mekanika fluida sederhana, u dalam persamaan
(3.1), diasumsikan bahwa semua fluida mempunyai massa dan momentum,
didefinisikan sebagai
,
vu
vv
vu )(f
Bagian u dan )(uf dari persamaan (3.1) memberikan persamaan Euler
0).( vt Kontinuitas (3.2a)
0).()( pvvv t Momentum (3.2b)
dimana adalah operator diferensial yang diterapkan pada vektor massa v
dalam persamaan kontinuitas, dan pada skalar (tekanan, p ) dan besaran yang
merupakan perluasan dari vektor )( vv dalam persamaan momentum. Diketahui
bahwa adalah operator bebas koordinat, artinya hal tersebut dapat dinyatakan
dalam sistem koordinat ortogonal 3D. Misalnya, dalam koordinat Cartesian,
(nabla) adalah
.,,
zyxzyxkji
Karena kerapatan fluida adalah skalar, dan dengan
),,(z zyxyx vvvvvvv kji , maka
)()( zyx vvvzyx
v kjikji
.)()()(
z
v
y
v
x
v zyx
Dengan demikian, persamaan kontinuitas dalam bentuk skalar, yang berasal dari
persamaan (3.2a) menjadi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
0)()()(
z
v
y
v
x
v
t
zyx
(3.3)
Perhatikan bahwa untuk kepadatan konstan (incompressible) fluida,
0
t
sehingga persamaan (3.2a)
0)()()(
zv
yv
xv
z
v
y
v
x
v
z
v
y
v
x
vzyx
zyxzyx
atau (turunan dari nol)
0
z
v
y
v
x
v zyx
0 v (1.1a)
Sekarang perhatikan kesetimbangan momentum persamaan (3.2b), akan
dimulai dengan suku
).( vv
Hasil dari vv adalah besaran yang merupakan perluasan dari vektor orde dua (ada
sembilan komponen), sehingga
xz
xy
xx
vv
vv
vv
vv
ik
jj
ii
yz
yy
yx
vv
vv
vv
jk
jj
ji
zz
zy
zx
vv
vv
vv
jk
jj
ji
dan menerapkan , sehingga
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
vvz
vvy
vvx
vvz
vvy
vvx
vvz
vvy
vvx
vv
k
j
i
)(
Kemudian, menggunakan hasil vektor di atas pada persamaan momentum
0)()( pvvv t
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
dan menyamakan komponen yang sesuai,
0
x
pvv
zvv
yvv
xv
tzxyxxxx
(i komponen) (3.4a)
y
pvv
zvv
yvv
xv
tzyyyxyy
(j komponen) (3.4b)
z
pvv
zvv
yvv
xv
tzzyzxzz
(k komponen) (3.4c)
Persamaan (3.4a) sampai (3.4c) dapat disederhanakan melalui persamaan
kontinuitas (3.3), misal untuk contoh adalah persamaan (3.4a), dapat ditulis
sebagai
)()()()()()( xxxzxyxxxx v
xvv
tv
zvv
yvv
xv
tv
0)()(
x
pv
zvv
yv xzxy
atau
x
vv
t
v
z
v
y
v
x
v
tv x
xxzyx
x )()()(
0
x
p
z
vv
y
vv x
zx
y
dan 0)()()(
z
v
y
v
x
v
tv zyx
x
melalui persamaan kontinuitas
(3.3). Hasil ini dapat digeneralisasikan ke
.0. pvvt (3.5)
Dengan demikian ,0.).()( pvvpvvv tt sehingga
persamaan (1.1b) dapat ditulis sebagai berikut
0. 2 vpvvt
dan ketahui bahwa .2
2
2
2
2
22
zyx
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
Perhatikan bahwa adalah skalar, dan dapat diterapkan ke vektor, seperti
pada persamaan (3.5), atau dapat diterapkan ke skalar. Dengan penyederhanaan
komponen dari persamaan (3.5) dengan dikombinasikan dengan memberikan
bentuk
02
2
2
2
2
2
y
v
y
v
x
v
x
p
z
vv
y
vv
x
vv
t
v xxxxz
xy
xx
x
Jika kita mempertimbangkan masalah satu dimensi tanpa gradien tekanan,
sehingga diasumsikan tekanan bernilai nol (0), persamaan di atas diperoleh
02
2
x
v
x
vv
t
v xxx
x
persamaan di atas dapat dibagi dengan , sehingga diperolah
02
2
x
v
x
vv
t
v xxx
x
atau
02
2
x
u
x
uu
t
u , dengan
dan xvu
(3.6)
atau
2
2
x
u
x
uu
t
u
atau
.xxxt uuuu
Ref. (1.2)
dengan viscositas menuju 0, nilai 0
sehingga persamaan di atas
menjadi
0
x
uu
t
u
atau .0 xt uuu Ref.(1.3)
Persamaan (1.2) merupakan persamaan Burgers viscid dan persamaan
(1.3) merupakan persaaan Burgers inviscid.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
B. Metode Volume Hingga untuk Penyelesaian Persamaan Burgers Inviscid
Pada subbab ini dibahas mengenai metode volume hingga untuk
penyelesaian persamaan Burgers inviscid. Metode volume hingga yang digunakan
yaitu up-wind non-konservatif, up-wind konservatif, Lax-Friedrichs, Lax-
Wendroff, MacCormack, dan Godunov, menggunakan referensi dari Caughey
(2002), Debnath (2012), Landajuela (2011), LeVeque(1992), dan Whitham
(1974).
1. Up-wind Non-konservatif
Diberikan persamaan Burgers inviscid (1.3) sebagai berikut (LeVeque
(1992):
0 xt uuu Ref. (1.3)
Metode upwind untuk 0 xt uuu (dengan asumsi 0n
ju untuk semua nj, )
adalah
n
j
n
j
n
j
n
j
n
j UUUh
kUU 1
1
(3.7)
dengan mengambil nilai awal sebarang, misalnya 2))1(2(
0 )( xexu dan adalah
delta ( ), adalah delta )( x .
2. Up-wind Konservatif
Persyaratan bahwa suatu metode berada dalam bentuk konservasi, yang
berarti memiliki bentuk sebagai berikut (LeVeque, 1992):
)],...,,()([ 11,...,1,
1 n
qj
n
pj
n
pj
n
qj
n
pj
n
pj
n
j
n
j UuUFuuUFh
kUU
(3.8)
dengan adalah delta ( ), adalah delta )( x .
Untuk beberapa fungsi F dari sebanyak 1 qp data . F disebut
fungsi fluks numeris. Dalam kasus yang paling sederhana, 0p dan 1q
sehingga persamaan (3.8) menjadi
)].,(),([ 11
1 n
j
n
j
n
j
n
j
n
j
n
j UUfuUfh
kUU
(3.9)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
Jika mempertimbangkan hukum konservasi untuk persamaan Burgers, yaitu
0)]([ xt ufu
Diperoleh metode konservasi yang disebut skema up-win konservatif:
.1
1 n
j
n
j
n
j
n
j UfUfh
kUU
(3.10)
dengan .2
1)( 2uuf
3. Lax-Friedrichs
Metode Lax-Friedrichs nonlinear mengambil bentuk
n
j
n
j
n
j
n
j
n
j UfUfh
kUUU 1111
1
22
1
.
Metode ini dapat ditulis dalam bentuk konservasi (3.9) dengan cara mengambil
111
2
1
2, jjjjjj UfUfUU
k
hUUF .
Sehingga untuk persamaan Burgers dengan 2
2
1)( uuf yang dimiliki menjadi
.2
1
2
1
22
1 2
1
2
111
1
n
j
n
j
n
j
n
j
n
j UUh
kUUU (3.11)
4. Lax-Wendroff
Metode Lax-Wendroff untuk persamaan 0 xt uuu mempunyai
bentuk
),2(2
)(2
11
2
2
2
11
1 n
j
n
j
n
j
n
j
n
j
n
j
n
j UUUAh
kUUA
h
kUU
dengan )()( ufuA .
Karena ),()( ufuA maka bentuk konservatif dari Lax-Wendroff adalah
n
j
n
jj
n
j
n
jj
n
j
n
j
n
j
n
j UfUfAUfUfAh
kUfUf
h
kUU 1
2
11
2
12
2
11
1
22
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
dimana 2
1j
A adalah matriks yang dinilai pada 12
1 j
n
j UU . Sahingga untuk
persamaan Burgers yang kita punya uuf )( menjadi
2
1
2
1
22
112
22
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
22
1
2
1
2
u
j
n
j
n
j
n
j
n
j
n
j
n
j
n
j
n
j
n
j
n
j
n
j UUUUUUUUh
kUU
h
kUU
5. MacCormack
Metode lain dari tipe yang sama dikenal sebagai metode MacCormack.
Metode MacCormack adalah variasi dari skema dua langkah Lax-Wendroff yang
bentuknya lebih sederhana:
n
j
n
j
n
jj UfUfh
kUU 1
*
*
1
**1
22
1
jjj
n
j
n
j UfUfh
kUUU
Sehingga untuk persamaan Burgers inviscid dengan 2
2
1)( uuf yang dimiliki
menjadi
22
1
*1
2
1
2
1 n
j
n
j
n
jj
n
j UUh
kUUU
(3.12)
2*
1
2**1 )(2
1)(
2
1
2)(
2
1jjj
n
j
n
j UUh
kUUU (3.13)
dengan
2
1
2
1
*
12
1
2
1 n
j
n
j
n
jj UUh
kUU .
6. Godunov
Misalkan n
jU adalah solusi numerik pada langkah waktu (iterasi) ke- n .
Kemudian didefinisikan sebuah fungsi ),(ˆ txu n untuk 1 nn ttt . Pada
ntt ,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
,),(ˆ n
j
n Utxu ,22
hxx
hx jj .1,....,2 nj
Solusi numerik pada iterasi berikut, didefinisikan perkiraan 1n
ju oleh rata-rata
1,ˆntxu pada interval
22
hj
hj
xxx
,
1
1 ,ˆ1
2
2
n
nx
x
n
j txuh
uhj
hj
dx . (3.12)
Persamaan (3.9) dapat dengan mudah dihitung menggunakan bentuk integral dari
hukum konservasi. Karena nu diasumsikan sebagai solusi eksak, sehingga
diperoleh
1,ˆ2
2
n
nx
xtxu
hj
hj
dx n
nx
xtxu
hj
hj
,ˆ2
2
dx
dttxufdttxuf hj
nt
thj
nt
t
n
n
n
n
,ˆ,ˆ22
11
Persamaan di atas dibagi dengan , menjadi
1,ˆ1
2
2
n
nx
xtxu
h
hj
hj
dx n
nx
xtxu
h
hj
hj
,ˆ1
2
2
dx
dttxufdttxufh
hj
nt
thj
nt
t
n
n
n
n
,ˆ,ˆ1
22
11
Diketahui bahwa n
jn
n Utxu ,ˆ dimana
txu hj
n ,ˆ2
dan
txu hj
n ,ˆ2
konstan
selama interval 1, nn tt yang didapat sebagai berikut
n
j
n
j
n
j
n
j
n
j
n
j UUFUUFh
kUU ,, 11
1
dimana fluks numerik F didefinisikan oleh ( ) ( )
dimana
didefinisikan sebagai berikut
Jika VU maka
*u {
jika
𝑈 𝑉
>
Dalam kasus lain
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
Jika VU maka
*u
{
>
C. Metode Volume Hingga untuk Penyelesaian Persamaan Burgers Viscid
Pada subbab ini dibahas mengenai metode volume hingga untuk
penyelesaian persamaan Burgers viscid menggunakan referensi dari Landajuela
(2011):
Persamaan Burgers viscid
xxxt uuuu (1.2)
yang juga dapat ditulis sebagai berikut
xxxt uufu )]([ (1.4)
dengan 2
)(2u
uf .
Selanjutnya, kita mengintegrasikan persamaan (1.4) dari 2
1j
x ke 2
1j
x dan
menulis kembali persamaan (1.4), sehingga kita memperoleh
t
x
xu
j
j
21
21
21
21
21
21
)(
j
j
j
j
x
x
x
xx ufudx (3.13)
Sekarang kita akan mencari perkiraan dari masing-masing suku pada persamaan
(3.10). Kita mempunyai bahwa
tu
21j
21-j
x
x ,, htx
dt
dudx j
h
txutxu
h
txutxutxutxuu
jjjj
jxjx
x
xx
j
j
,,,,,,
11
21
21
21
21
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
h
txutxutxu jjj ,,2, 11
dan
txuftxufufjj
x
x
j
j
,,)(2
12
12
1
21
Setelah kita mempunyai perkiraan dari masing-masing suku dipersamaan
(3.13), kemudian kita akan subsitusikan perkiraan tersebut ke dalam persamaan
(3.13), sehingga
htxdt
duj ),(
h
txutxutxu jjj ,,2, 11 =
txuftxuf
jj,,
21
21
dari persamaan di atas kita bagi dengan h dan mengambil )(tu j menjadi fungsi
),( txu j , kita akan mendapatkan sistem persamaan diferensial biasa, yaitu
.2
2
1
2
1
2
11
h
UfUf
h
UUU
dt
dU jjn
j
n
jjj
atau
,2
2
1
2
1
2
111
h
UfUf
h
UUUkUU
n
j
n
jn
j
n
j
n
jn
j
n
j
dimana kita ambil
n
jUf
2
1 untuk rata-rata dari n
jUf dan n
jUf 1 , serta nilai
dari adalah 0.01. Sehingga untuk persamaan Burgers (1.3) kita mempunyai
.222
11
2
111
h
UfUfUfUf
h
UUUkUU
n
j
n
j
n
j
n
j
n
j
n
j
n
jn
j
n
j
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
Di sini untuk persamaan Burgers:
( ) (
) ,
( ) (
) ,
( ) (
) .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
BAB IV
DISKUSI HASIL PENYELESAIAN
Dalam bab ini akan dijelaskan hasil dari penyelesaian dan hasil galat dari
persamaan Burgers secara numeris menggunakan metode volume hingga.
A. Diskusi Hasil Penyelesaian
Pada bab sebelumnya telah ditunjukkan hasil penurunan sistem persamaan
Navier-Stokes menjadi persamaan Burgers satu dimensi dan metode untuk
penyelesaiannya. Hasil dari penurunan sistem persamaan Navier-Stokes tersebut,
kita mendapatkan bentuk yang sederhana yaitu persamaan Burgers. Persamaan
Burgers terbagi menjadi dua yaitu inviscid (persamaan 1.3) dan viscid (persamaan
1.2). Persamaan Burgers inviscid adalah kasus khusus persamaan gelombang
nonlinear terutama dalam mekanika fluida. Persamaan Burgers inviscid dapat
diselesaikan menggunakan metode volume yaitu up-wind non-konservatif, up-
wind konservatif, Lax-Friedrichs, Lax-Wendroff, MacCormack, dan Godunov.
Sedangkan persamaan Burgers viscid merupakan persamaan sederhana
yang mengcakup sifat nonlinear dan viscous dari dinamika fluida dengan nilai
0 . Persamaan Burgers viscid dapat diselesaikan menggunakan metode
volume hingga parabolik. Berikut ini akan menjelaskan mengenai hasil simulasi
dari metode yang digunakan dalam skripsi ini yaitu untuk penyelesaian persamaan
Burgers dengan metode volume hingga. Dengan nilai awal 2))1(2(
0 )( xexu ,
domain ruang 1010 x , dihitung saat ,,.......,1 tNn iterasi akan berakhir
saat , dimana
, 01,0x dan xt 5,0 . Kondisi batas
ini adalah ( ) ( ) dan ( ) ( ) .
Kondisi awal persamaan Burgers sebelum menggunakan metode volume
hingga ditunjukkan pada gambar 4.1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
Gambar 4.1. Kondisi nilai awal persamaan Burgers.
Selanjutnya akan ditunjukkan gambar grafik dari hasil simulasi terakhir
persamaan Burgers menggunakan metode volume hingga, sebagai berikut:
Gambar 4.2. Solusi numeris persamaan Burgers inviscid menggunakan skema
up-wind non-konservatif.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
Gambar 4.3. Hasil simulasi penyelesaian persamaan Burgers inviscid
menggunakan skema up-wind konservatif.
Gambar 4.4. Hasil simulasi penyelesaian persamaan Burgers inviscid
menggunakan skema Lax-Friedrichs.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
Gambar 4.5. Hasil simulasi penyelesaian persamaan Burgers inviscid
menggunakan skema Lax-Wendroff.
Gambar 4.6. Hasil simulasi penyelesaian persamaan Burgers inviscid
menggunakan skema MacCormack.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
Gambar 4.7. Hasil simulasi penyelesaian persamaan Burgers inviscid
menggunakan skema Godunov.
Gambar 4.8. Hasil simulasi penyelesaian persamaan Burgers viscid.
Perhatikan gambar 4.2 sampai 4.8. Terlihat bahwa semakin bertambahnya
waktu, solusi akhir menggunakan metode volume hingga up-wind non-
konservatif, up-wind konservatif, Lax-Friedrichs, Lax-Wendroff, MacCormack,
Godunov untuk persamaan Burgers inviscid dan volume hingga parabolik untuk
persamaan Burgers viscid, hasil simulasinya akan berjalan ke arah kanan atau
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
condong ke depan. Dilihat gambar 4.2 menjelaskan bahwa hasil simulasi
diskontinu dan tidak berosilasi, sedangkan gambar 4.3 terlihat hasil simulasinya
bersifat diskontinu dan tidak ada osilasi. Sehingga gambar 4.3 terlihat sempurna.
Pada gambar 4.4, 4.7, dan 4.8 terlihat bahwa hasil simulasinya tidak terdapat
osilasi, tetapi bersifat kontinu. Sedangkan jika kita lihat pada gambar 4.5 dan 4.6,
menunjukkan hasil simulasi terdapat osilasi dan diskontinu. Selanjutnya akan
dibahas mengenai hasil galat dan waktu komputasi yang akan ditunjukan pada
subbab pengamatan galat.
B. Pengamatan Galat
Pada subbab ini akan dibahas mengenai hasil galat dan waktu komputasi
dari setiap metode yang digunakan pada skripsi penulis. Dipilih nilai awal untuk
solusi numeris dan . Masalah nilai awal untuk persamaan
Burgers dengan kondisi awal dari
( ) { >
dengan solusi masalah nilai awal ini adalah
( ) {
>
Kondisi batas ini adalah ( ) ( ) dan ( ) ( ) . Di
sini diambil domain ruang 20 x dan domain waktu 20 t . Simulasi ini
menggunakan nilai 1,.......,2 xNj dihitung saat tNn ,.......,1 , iterasi akan
berakhir saat . Dimana adalah banyaknya titik ruang, adalah
banyaknya titik waktu
, 01,0x dan xt 5,0 .
Dalam perhitungan galat penulis menggunakan galat rata-rata yang
diperoleh dari rata-rata jumlahan semua nilai galat absolut di semua titik dari
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
solusi numeris. Pengamatan galat dapat dilihat pada gambar 4.9 sampai 4.15 dan
tabel 4.1 sampai 4.7, sebagai berikut:
Pengamatan Galat Burgers Inviscid
Pada bagian ini akan dibahas mengenai hasil simulasi dan galat untuk
persamaan Burgers inviscid, diantaranya sebagai berikut:
1. Up-wind Non-konservatif
Gambar 4.9. Grafik masalah nilai awal skema up-wind non-konservatif
Gambar 4.9 memperlihatkan bahwa penyelesaian metode up-wind non-
konservatif memiliki selisih numeris dan eksak yang cukup besar. Dengan kata
lain, solusi numerisnya cukup jauh dari solusi eksaknya. Ini terjadi karena metode
up-wind non-konservatif tidak bisa dijalankan. Artinya metode up-wind non-
konservatif gagal menyelesaikan persamaan Burgers.
Tabel 4.1. Galat dan waktu
skema up-wind non-konservatif
Galat Waktu (Satuan Detik)
0.4975 6.818089
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
Dari tabel 4.1 tampah bahwa penyelesaian numeris menggunakan metode up-wind
non-konservatif memiliki galat yang cukup besar hampir mendekati 0.5, dengan
waktu 6.818089 detik.
2. Up-wind Konservatif
Gambar 4.10. Grafik masalah nilai awal skema up-wind konservatif
Terlihat pada gambar 4.10 bahwa solusi numeris dengan metode up-wind
konservatif hampir sempurna mendekati solusi eksaknya. Hasil tersebut juga
ditunjukkan pada tabel 4.2, yang membuktikan bahwa nilai galatnya kecil.
Tabel 4.2. Galat dan waktu
skema up-wind konservatif
Galat Waktu (Satuan Detik)
0.0024 6.696206
Dari tabel 4.2 terlihat bahwa penyelesaian numeris dengan metode up-
wind konservatif memiliki galat yang kecil yaitu 0.0024 dengan waktu 6.696206
detik.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
3. Lax-Friedrichs
Gambar 4.11. Grafik masalah nilai awal skema Lax-Friedrichs
Gambar 4.11 memperlihatkan bahwa sebagian solusi numeris melewati
solusi eksaknya. Dengan kata lain, hasil simulasi solusi numeris berpotongan
dengan solusi eksaknya. Galat dan waktu komputasi dapat dilihat pada table 4.3.
Tabel 4.3. Galat dan waktu
skema Lax-Friedrichs
Galat Waktu (Satuan Detik)
0.0133 6.854580
Table 4.3 menunjukan besarnya galat cukup besar dengan waktu cukup besar juga
yaitu 6.854580 detik.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
4. Lax-Wendroff
Gambar 4.12. Grafik masalah nilai awal skema Lax-Wendroff
Jika kita lihat gambar 4.12, terlihat bahwa hasil simulasi numeris metode
Lax-Wendroff terdapat osilasi. Pada gambar terlihat selisih solusi numeris dan
eksaknya sangat kecil. Dengan kata lain, solusi numeris berosilasi mendekati
solusi eksaknya.
Tabel 4.4. Galat dan waktu
skema Lax-Wendroff
Galat Waktu (Satuan Detik)
0.0046 10.080987
Terlihat pada table 4.4, galat dari metode Lax-Wendroff cukup kecil yaitu 0.0046
dengan waktu 10.080987 detik.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
5. MacCormack
Gambar 4.13. Grafik masalah nilai awal skema MacCormack
Gambar 4.13 sekilas terlihat hampir mirip dengan gambar 4.12.
Perbedaanya terlihat dari besarnya osilasi yang ada pada hasil simulasi solusi
numerisnya. Gambar 4.13 terdapat osilasi yang lebih kecil atau amplitudo osilasi
lebih pendek dari pada gambar 4.12. Dengan kata lain, solusi numeris mendekati
solusi eksaknya dengan adanya pergerakan osilasi yang kecil atau pendek.
Tabel 4.5. Galat dan waktu
skema MacCormack
Galat Waktu (Satuan Detik)
0.0029 8.638803
Terlihat pada table 4.5 metode MacCormack memiliki galat yang lebih
kecil dari pada menggunakan metode Lax-Wendroff yang terdapat osilasi yang
lebih panjang atau lebih besar, dengan nilai galat 0.0029 dengan waktu sebesar
8.638803 detik. Dengan kata lain, semakin kecil osilasi yang ada pada solusi
numeris dan semakin mendekati solusi eksaknya metode tersebut memiliki
memiliki nilai galat yang semakin kecil.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
6. Godunov
Gambar 4.14. Grafik masalah nilai awal skema godunov
Perhatikan Gambar 4.14, gambar tersebut terlihat mirip dengan gambar
4.10. Terlihat sama juga bahwa selisih solusi numeris dan eksaknya kecil. Dengan
kata lain, solusi numeris dengan metode Godunov hampir sempurna mendekati
solusi eksaknya seperti metode up-wind konservatif.
Tabel 4.6. Galat dan waktu
skema Godunov
Galat Waktu (Satuan Detik)
0.0024 9.752869
Terlihat pada table 4.6 metode ini memiliki galat yang sama dengan galat
dari metode up-wind konservatif yaitu 0.0024. Bedanya adalah waktu
komputasinya. Metode Godunov memiliki waktu komputasi yang lebih lama jika
dibandingkan dengan metode up-wind konservatif yaitu 9.752869.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
Pengamatan Galat Burgers Viscid
Pada bagian ini akan dibahas mengenai Pengamatan galat dari persamaan
Burgers viscid. Hasil dari simulasi dan perhitungan menggunakan program
MATLAB diperoleh.
Gambar 4.15. Grafik masalah nilai awal persamaan Burgers viscid.
Jika kita lihat gambar 4.15 di atas, terlihat bahwa hasil simulasi bergerak
ke arah kanan. Memperlihatkan bahwa sebagian simulasi solusi numeris melewati
solusi eksaknya. Dengan kata lain, hasil simulasi solusi numeris berpotongan
dengan solusi eksak dengan galat cukup besar. Dapat dilihat menggunakan tabel
4.7.
Tabel 4.7. Galat dan waktu
persamaan Burgers viscid
Galat Waktu (Satuan Detik)
0.0133 138.646412
Terlihat bahwa metode parabolik dalam penyelesaian persamaan Burgers viscid
dengan memiliki galat sebesar 0.0133 dengan waktu 138.646412 detik.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
Jika dikumpulkan dan ditulis ulang menjadi satu, diperoleh data nilai galat
dan waktu dari tujuh metode sesuai hasil yang diperoleh di atas, yaitu pada tabel
4.8.
Tabel 4.8. Galat dan waktu komputasi persamaan Burgers menggunakan
metode volume hingga.
Metode Numeris
Volume Hingga
Rata-rata Galat Waktu (detik)
Skema up-wind non-
konsercatif 0.4975 6.818089
Skema up-wind
konservatif 0.0024 6.696206
Skema Lax-Friedrichs 0.0133 6.854580
Skema Lax-Wendroff 0.0046 10.080987
Skema MacCormack 0.0029 8.638803
Skema Godunov 0.0024 9.752869
Parabolik 0.0133 138.646412
Dari data di atas, bahwa untuk persamaan Burgers inviscid, metode
volume hingga up-wind konservatif dan Godunov memiliki rata-rata galat yang
paling kecil dibandingkan kelima metode lainnya. Tetapi, dari kedua metode yang
memiliki galat terkecil tersebut, metode volume hingga up-wind konservatif yang
lebih unggul karena perhitungan waktunya lebih singkat dibandingkan dengan
metode volume hingga Godunov dan metode lainnya. Sehingga, metode volume
hingga up-wind konservatif adalah metode terbaik dengan perhitungan cepat dan
akurat untuk penyelesaian persamaan Burgers inviscid, apabila dibandingkan
dengan metode-metode lainnya dalam skripsi ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
BAB V
PENUTUP
Dalam bab ini akan disajikan kesimpulan atas pembahasan dari bab-bab
sebelumnya serta saran yang akan ditujukan untuk peneliti selanjutnya.
A. Kesimpulan
Dalam skripsi ini penulis telah berhasil menyederhanakan sistem
persamaan Navier-Stokes menjadi persamaan Burgers satu dimensi. Diketahui
bahwa persamaan Burgers terbagi menjadi dua yaitu inviscid dan viscid. Dilihat
pada bab-bab sebelumnya penulis telah menyelesaikan persamaan Burgers
menggunakan beberapa metode numeris sesuai dengan masalah yang ada yaitu
metode volume hingga up-wind non-konservatif, up-wind konservatif, Lax-
Friedrichs, Lax-Wendroff, MacCormack, Godunov yang diaplikasikan untuk
persamaan Burgers bersifat inviscid dan metode volume hingga parabolik yang
diaplikasikan untuk persamaan Burgers viscid.
Seiring berjalanannya waktu solusi numeris dari ke-tujuh metode di atas
akan berjalan dari kiri ke kanan. Dalam skripsi ini metode up-wind konservatif
merupakan metode terbaik untuk penyelesaian numeris persamaan Burgers
inviscid. Metode tersebut memiliki sifat simulasi diskontinu dan tidak ada osilasi,
serta nilai galatnya sangat kecil dengan waktu komputasi yang singkat. Dari hasil
yang diperoleh untuk penyelesaian persamaan Burgers viscid dengan ,
metode volume hingga parabolik yang digunakan pada skripsi ini kurang baik,
dikarenakan metode tersebut memiliki galat yang cukup besar, apabila dipakai
sebagai pendekatan solusi persamaan Burgers inviscid.
Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa untuk menyelesaikan
persamaan Burgers dari penyederhanaan sistem persamaan Navier-Stokes, metode
volume hingga up-wind konservatif cukup akurat dan cepat untuk persamaan
Burgers inviscid dan metode volume hingga parabolik untuk persamaan Burgers
viscid dengan nilai ( ) merupakan metode yang kurang akurat.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
B. Saran
Penulis sadar bahwa dalam penulisan skripsi ini masih banyak sekali
kekurangan. Oleh sebab itu, penulis mengharapkan kelak akan ada yang
melanjutkan penelitian ini. Skripsi ini hanya membahas mengenai penyelesaian
persamaan Burgers satu dimensi. Penulis berharap kelak akan ada yang
melanjutkan penelitian ini di ruang dimensi yang lebih tinggi, dan dapat
menggunakan metode lainnya untuk penyelesaian persamaan Burgers inviscid dan
menggunakan metode lain yang lebih akurat untuk persamaan Burgers viscid.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
DAFTAR PUSTAKA
Bedient, P. E., dan Rainville, E. D. (1969). A Short Course in Differential
Equations. New York: The Macmillan.
Caughey, A. D., dan Hafes, M. M. (2002). Frontiers of Computational Fluid
Dynamics. New Jersey: World Scientific.
Debnath, L. (2012). Nonlinear Partial Differential Equations for Scientists and
Engineers. 3rd
Edition. New York: Springer.
Landajuela, M. (2011). Burgers Equation. Paris: Basque Center for Applied
Mathematics.
LeVeque, R. J. (1992). Numerical Methods for Conservations Laws. Second
Edition. Basel: Birkhauser.
LeVeque, R. J. (2014). Finite Volume Method for Hyperbolic Problems.
Cambridge: Cambridge University Press.
Munir, R. (2015). Metode Numerik. Bandung: Informatika Bandung.
Purcell, E. J. dan Verberg, D. (1987). Kalkulus dan Geometri Analitis edisi
kelima. Jakarta: Erlangga.
Ross, S. L. (1989). Introduction to Ordinary Differential Equations. Fourth
Edition. New York: Wiley.
Schiesser, W. E., dan Griffiths, G. W. (2009). A Compendium of Partial
Differential Equation Models Method of Lines Analysis with Matlab. New
York: Cambridge University Press.
Thomas, G. B. (2010). Thomas’ Calculus Early Transcendentals. Boston: Pearson
Education.
Varberg, D., Purcell, E. J., dan Rigdon, S.E. (2006). Calculus. New York:
Pearson.
Whitham, G. B. (1974). Linear and Nonlinear Waves. Canada: John Wiley &
Sons.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
LAMPIRAN
Berikut ini adalah code pada program MATLAB untuk solusi numeris
menggunakan metode volume hingga.
A. SOLUSI NUMERIS METODE VOLUME HINGGA
Code MATLAB Kondisi Nilai awal Persamaan Burgers
%Kondisi Awal Persamaan Burgers
clear
clear all
dx=0.01;
x = -10:dx:10
u = exp(-(2*(x-1)).^2)
plot(x,u)
xlabel('x')
ylabel(‘u(x,0)’)
ylim([0 1])
title('Kondisi Nilai Awal')
1. Mencari Solusi Numeris Persamaan Burgers Menggunakan Metode
Volume Hingga Up-wind Non-konservatif.
%penyelesaian persamaan Burgers menggunakan metode volume
hingga
% "Skema Up-wind non-konservatif"
% by Sudi Mungkasi & Birgitta Lucy Christabella
clear
close all
dx = 0.01; %delta x(ruang)
dt = 0.5*dx; %delta t (waktu)
x = -10:dx:10; % domain ruang
u = exp(-(2*(x-1)).^2); % nilai awal
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
plot(x, u) % gambar nilai awal
pause(0.0000000001)
tFinal = 5; % t akhir perhitungan
Nt = tFinal/dt; % banyaknya titik waktu
Nx = length(x); % banyaknya titik ruang
waktu=0;
for n = 1:Nt
u0 = u;
for j = 2:Nx-1
% RUMUS ITERASI (skema Up-win non-konservatif)
u(j) =(u0(j)) - (dt/(dx))*(u0(j))*(u0(j) - u0(j-1));
end
% syarat batas (boundary condition)
u(1) = 0;
u(Nx) = 0;
%mengeplot gambar (memunculkan gambar)
plot(x,u)
xlabel('x')
ylabel('u(x,t)')
ylim([0 1])
title('Solusi Numeris dengan Skema Up-win non-
konservatif')
pause (0.00000001)
waktu = waktu + dt
end
2. Mencari Solusi Numeris Persamaan Burgers Menggunakan Metode
Volume Hingga Up-wind Konservatif.
%penyelesaian persamaan Burgers menggunakan metode Volume
hingga
% "Skema Up-wind non-konservatif"
% by Sudi Mungkasi & Birgitta Lucy Christabella
clear
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
close all
dx = 0.01; %delta x(ruang)
dt = 0.5*dx; %delta t (waktu)
x = -10:dx:10; % domain ruang
u = exp(-(2*(x-1)).^2); % nilai awal
plot(x, u) % gambar nilai awal
pause(0.0000000001)
tFinal = 5; % t akhir perhitungan
Nt = tFinal/dt; % banyaknya titik waktu
Nx = length(x); % banyaknya titik ruang
waktu=0;
for n = 1:Nt
u0 = u;
for j = 2:Nx-1
% RUMUS ITERASI (skema Up-win konservatif)
u(j) =(u0(j)) - dt/(dx)*(0.5*u0(j)^2 -0.5*u0(j-
1)^2);
end
u(1) = 0; u(Nx) = 0;% syarat batas (boundary condition)
plot(x,u)
xlabel('x')
ylabel('u(x,t)')
ylim([0 1])
title('Solusi Numeris dengan Skema Up-win konservatif')
pause (0.00000001)
waktu = waktu + dt
end
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
3. Mencari Solusi Numeris Persamaan Burgers Menggunakan Metode
Volume Hingga Lax-Friedrichs.
%penyelesaian persamaan Burgers menggunakan metode volume
hingga
% "Skema Lax-Friedrichs"
% by Sudi Mungkasi & Birgitta Lucy Christabella
clear
close all
dx = 0.01; %delta x(ruang)
dt = 0.5*dx; %delta t (waktu)
x = -10:dx:10; % domain ruang
u = exp(-(2*(x-1)).^2); % nilai awal
plot(x, u) % gambar nilai awal
pause(0.0000000001)
tFinal = 5; % t akhir perhitungan
Nt = tFinal/dt; % banyaknya titik waktu
Nx = length(x); % banyaknya titik ruang
waktu=0;
for n = 1:Nt
u0 = u;
for j = 2:Nx-1
% RUMUS ITERASI (skema Lax-Friedrichs)
u(j)=0.5*(u0(j-1)+u0(j+1)) -
dt/(2*dx)*(0.5*u0(j+1)^2 - 0.5*u0(j-1)^2);
end
u(1) = 0; u(Nx) = 0; % syarat batas (boundary condition)
plot(x,u)
xlabel('x')
ylabel('u(x,t)')
ylim([0 1])
title('Solusi Numeris dengan Skema Lax-Friedrichs')
pause (0.00000001)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
waktu = waktu + dt
end
4. Mencari Solusi Numeris Persamaan Burgers Menggunakan Metode
Volume Hingga Lax-Wendroff.
%penyelesaian persamaan Burgers menggunakan metode volume
hingga
% "Skema Lax-Wendroff"
% by Sudi Mungkasi & Birgitta Lucy Christabella
clear
close all
dx = 0.01; %delta x(ruang)
dt = 0.5*dx; %delta t (waktu)
x = -10:dx:10; % domain ruang
u = exp(-1*(2*(x-1)).^2); % nilai awal
plot(x, u) % gambar nilai awal
pause(0.000001)
tFinal = 5; % t akhir perhitungan
Nt = tFinal/dt; % banyaknya titik waktu
Nx = length(x); % banyaknya titik ruang
waktu=0;
for n = 1:Nt
u0 = u;
for j = 2:Nx-1
% RUMUS ITERASI (skema Lax-Wendroff)
a=dt/(2*dx)*(0.5*u0(j+1)^2-0.5*u0(j-1)^2);
b=((1/2)*(u0(j)+u0(j+1))*(0.5*u0(j+1)^2-
0.5*u0(j)^2));
c=((1/2)*(u0(j)+u0(j-1))*(0.5*u0(j)^2-0.5*u0(j-
1)^2));
u(j)=u0(j)-(a)+((dt^2)/(2*(dx^2)))*(b-(c));
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
end
u(1) = 0; u(Nx) = 0; % syarat batas (boundary condition)
plot(x,u)
xlabel('x')
ylabel('u(x,t)')
ylim([0 1])
title('Solusi Numeris dengan Skema Lax-Wendroff')
pause (0.00000001)
pause (0.000001)
waktu= waktu + dt
end
5. Mencari Solusi Numeris Persamaan Burgers Menggunakan Metode
Volume Hingga MacCormack.
%penyelesaian persamaan Burgers menggunakan metode volume
hingga
% "Skema MacCormack"
% by Sudi Mungkasi & Birgitta Lucy Christabella
clear
close all
dx = 0.01; %delta x(ruang)
dt = 0.5*dx; %delta t (waktu)
x = -10:dx:10; % domain ruang
u = exp(-(2*(x-1)).^2); % nilai awal
plot(x, u) % gambar nilai awal
pause(1)
tFinal = 5; % t akhir perhitungan
Nt = tFinal/dt; % banyaknya titik waktu
Nx = length(x); % banyaknya titik ruang
for n = 1:Nt
u0 = u;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
for j = 2:Nx-1
% RUMUS ITERASI (Skema MacCormack)
us=u0(j)-((dt/dx)*(0.5*u0(j+1)^2-0.5*u0(j)^2));
ub=u0(j-1)-((dt/dx)*(0.5*u0(j)^2-0.5*u0(j-1)^2));
u(j) =0.5*(u0(j)+us)-((dt/(2*dx))*(0.5*us^2-
0.5*ub^2));
end
u(1) = 0; u(Nx) = 0; % syarat batas (boundary condition)
plot(x,u)
xlabel('x')
ylabel('u(x,t)')
ylim([0 1])
title('Solusi Numeris dengan Skema MacCormack')
pause (0.00000001)
end
6. Mencari Solusi Numeris Persamaan Burgers Menggunakan Metode
Volume Hingga Godunov.
%penyelesaian persamaan Burgers menggunakan metode volume
hingga
% "Skema Godunov"
% by Sudi Mungkasi & Birgitta Lucy Christabella
clear
close all
dx = 0.1; %delta x(ruang)
dt = 0.05*dx; %delta t (waktu)
x = -10:dx:10; % domain ruang
u = exp(-(2*(x-1)).^2); % nilai awal
plot(x, u) % gambar nilai awal
pause(0.0001)
tFinal = 5; % t akhir perhitungan
Nt = tFinal/dt; % banyaknya titik waktu
Nx = length(x); % banyaknya titik ruang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
waktu = 0;
for n = 1:Nt
u0 = u;
for j = 2:Nx-1 %untuk iterasi rumus
% untuk menentukan ub sehingga fka dapat dihitung
if u0(j)>= u0(j+1)
if ((u0(j)+u0(j+1))/2)>0
ub=u0(j);
else
ub=u0(j+1);
end
else
if u0(j)>0
ub=u0(j);
elseif u0(j+1)<0
ub=u0(j+1);
else
if u0(j)<=0<=u0(j+1)
ub=0;
end
end
end
fka=((ub)^2)/2;
% untuk menentukan ub sehingga fki dapat dihitung
if u0(j-1)>=u0(j)
if ((u0(j-1)+u0(j))/2)>0
ub=u0(j-1);
else
ub=u0(j);
end
else
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
if u0(j-1)>0
ub=u0(j-1);
elseif u0(j)<0
ub=u0(j);
else
if u0(j-1)<=0<=u0(j)
ub=0;
end
end
end
fki=((ub)^2)/2;
%for j = 2:Nx-1
% RUMUS ITERASI (Skema Godunov)
u(j)=u0(j)-(dt/dx)*(fka-fki);
end
% syarat batas (boundary condition)
u(1) = 0;
u(Nx) = 0;
% diplot gambarnya untuk waktu t=n*dt
plot(x,u)
xlabel('x')
ylabel('u(x,t)')
ylim([0 1])
title('Solusi Numeris dengan Skema Godunov')
pause(0.001)
waktu = waktu + dt
end
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
7. Mencari Solusi Numeris Persamaan Burgers Menggunakan Metode
Volume Hingga untuk PDP Parabolik.
%penyelesaian persamaan Burgers menggunakan metode Volume
Hingga
% by Sudi Mungkasi & Birgitta Lucy Christabella
clear
close all
dx = 0.01;%delta x(ruang)
dt = 0.5*dx; %delta t (waktu)
x = -10:dx:10; % domain ruang
u = exp(-(2*(x-1)).^2); % nilai awal
plot(x, u) % gambar nilai awal
pause(0.0000000001)
tFinal = 5; % t akhir perhitungan
Nt = tFinal/dt; % banyaknya titik waktu
Nx = length(x); % banyaknya titik ruang
D=0.01; %nilai epsilon
waktu=0;
for n = 1:Nt
u0 = u;
for j = 2:Nx-1
% RUMUS ITERASI (Skema Parabolik)
u(j) = u0(j)+ dt*((D*((u0(j+1)-(2*u0(j))+u0(j-
1))/(dx^2)))+(((0.5*(u0(j)^2+u0(j-1)^2))-
(0.5*(u0(j)^2+u0(j+1)^2)))/dx)); % RUMUS ITERASI
end
u(1) = 0; u(Nx) = 0;% syarat batas (boundary condition)
plot(x,u)
xlabel('x')
ylabel('u(x,t)')
ylim([0 1])
title('Solusi Numeris Persamaan Burgers Viscid')
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
pause (0.00000001)
waktu = waktu + dt
end
B. CODE MATLAB MASALAH NILAI AWAL (RIEMAN PROBLEM),
MANCARI GALAT DAN WAKTU
1. Up-wind Non-konservatif
%penyelesaian Riemman Problem, perhitungan galat dan waktu
persamaan Burgers menggunakan metode Volume Hingga
% "Skema Up-wind Non-konservatif"
% by Sudi Mungkasi & Birgitta Lucy Christabella
clear
close all
tic
dx = 0.01;%delta x(ruang)
dt = 0.5*dx;%delta t (waktu)
x = 0:dx:2; % domain ruang
tFinal = 2; % t akhir perhitungan
t=0:dt:tFinal; %domain waktu
Nt = tFinal/dt; % banyaknya titik waktu
Nx = length(x); % banyaknya titik ruang
waktu=0;
%riemman problem (masalah nilai awal) dengan syarat nilai
ukiri dan ukanan
ukiri=1;
ukanan=0;
% Menggambar fungsi nilai awal
u = 0*x;
for i=1:Nx;
if x(i)<=0
u(i)=ukiri;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
else
u(i)=ukanan;
end
end
plot(x,u,'p-')
for n = 1:Nt
u0 =u;
%syarat solusi riemman problem (masalah nilai awal)
for i=2:Nx-1
if x(i)<= (t/2)
u(i)=1;
elseif x(i)> (t/2)
u(i)=0;
end
%iterasi rumus
for j = 2:Nx-1
%skema Up-win non-konservatit
u(j) =(u0(j)) - dt/(dx)*(u0(j))*(u0(j) - u0(j-
1));
end
end
u(1) = 1; u(Nx) = 0; % syarat batas (boundary condition)
plot(x,u)
ylim([0 1.5])
pause (0.00001)
waktu = waktu + dt
end
%solusi eksak saat t=2
% Menggambar fungsi nilai awal solusi eksak
uex = 0*x;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
for i=1:Nx;
if x(i)<=1
uex(i)=ukiri;
else
uex(i)=ukanan;
end
end
plot(x,u,'b.-', x,uex,'k')
ylim([0 1.25])
legend('Solusi numeris', 'Solusi eksak')
xlabel('x')
ylabel('u(x,t)')
title('Solusi numeris dengan skema up-win non-konservatif')
errorratarata = sum(abs(u-uex))/Nx
toc
2. Up-wind Konservatif
%penyelesaian Riemman Problem, perhitungan galat dan waktu
persamaan Burgers menggunakan metode Volume Hingga
% "Skema Up-wind konservatif"
% by Sudi Mungkasi & Birgitta Lucy Christabella
clear
close all
tic
dx = 0.01;%delta x(ruang)
dt = 0.5*dx;%delta t (waktu)
x = 0:dx:2; % domain ruang
tFinal = 2; % t akhir perhitungan
t=0:dt:tFinal; %domain waktu
Nt = tFinal/dt; % banyaknya titik waktu
Nx = length(x); % banyaknya titik ruang
waktu=0;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
%riemman problem (masalah nilai awal) dengan syarat nilai
ukiri dan ukanan
ukiri=1;
ukanan=0;
% Menggambar fungsi nilai awal
u = 0*x;
for i=1:Nx;
if x(i)<=0
u(i)=ukiri;
else
u(i)=ukanan;
end
end
plot(x,u,'p-')
for n = 1:Nt
u0 =u;
%syarat solusi riemman problem (masalah nilai awal)
for i=2:Nx-1
if x(i)<= (t/2)
u(i)=1;
elseif x(i)> (t/2)
u(i)=0;
end
%iterasi rumus
for j = 2:Nx-1
%skema Up-win konservatit
u(j) =(u0(j)) - dt/(dx)*(0.5*u0(j)^2 -0.5*u0(j-
1)^2);
end
end
u(1) = 1; u(Nx) = 0; % syarat batas (boundary condition)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
plot(x,u)
ylim([0 1.5])
pause (0.00001)
waktu = waktu + dt
end
%solusi eksak saat t=2
% Menggambar fungsi nilai awal solusi eksak
uex = 0*x;
for i=1:Nx;
if x(i)<=1
uex(i)=ukiri;
else
uex(i)=ukanan;
end
end
plot(x,u,'b.-', x,uex,'k')
ylim([0 1.25])
legend('Solusi numeris', 'Solusi eksak')
xlabel('x')
ylabel('u(x,t)')
title('Solusi numeris dengan skema up-win konservatif')
errorratarata = sum(abs(u-uex))/Nx
toc
3. Lax-Friedrichs
%penyelesaian Riemman Problem, perhitungan galat dan waktu
persamaan Burgers menggunakan metode Volume Hingga
% "Skema Lax-Friedrichs"
% by Sudi Mungkasi & Birgitta Lucy Christabella
clear
close all
tic
dx = 0.01;%delta x(ruang)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
dt = 0.5*dx;%delta t (waktu)
x = 0:dx:2; % domain ruang
tFinal = 2; % t akhir perhitungan
t=0:dt:tFinal; %domain waktu
Nt = tFinal/dt; % banyaknya titik waktu
Nx = length(x); % banyaknya titik ruang
waktu=0;
%riemman problem (masalah nilai awal) dengan syarat nilai
ukiri dan ukanan
ukiri=1;
ukanan=0;
% Menggambar fungsi nilai awal
u = 0*x;
for i=1:Nx;
if x(i)<=0
u(i)=ukiri;
else
u(i)=ukanan;
end
end
plot(x,u,'p-')
for n = 1:Nt
u0 =u;
%syarat solusi riemman problem (masalah nilai awal)
for i=2:Nx-1
if x(i)<= (t/2)
u(i)=1;
elseif x(i)> (t/2)
u(i)=0;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
end
%iterasi rumus
for j = 2:Nx-1
%skema Lax-Friedrichs
u(j) = 0.5*(u0(j-1)+u0(j+1)) -
dt/(2*dx)*(0.5*u0(j+1)^2 - 0.5*u0(j-1)^2);
end
end
u(1) = 1; u(Nx) = 0; % syarat batas (boundary condition)
plot(x,u)
ylim([0 1.5])
pause (0.00001)
waktu = waktu + dt
end
%solusi eksak saat t=2
% Menggambar fungsi nilai awal solusi eksak
uex = 0*x;
for i=1:Nx;
if x(i)<=1
uex(i)=ukiri;
else
uex(i)=ukanan;
end
end
plot(x,u,'b.-', x,uex,'k')
ylim([0 1.25])
legend('Solusi numeris', 'Solusi eksak')
xlabel('x')
ylabel('u(x,t)')
title('Solusi Numeris dengan Skema Lax-Friedrichs')
errorratarata = sum(abs(u-uex))/Nx
toc
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
4. Lax-Wendroff
%penyelesaian Riemman Problem, perhitungan galat dan waktu
persamaan Burgers menggunakan metode Volume Hingga
% "Skema Lax-Wendroff"
% by Sudi Mungkasi & Birgitta Lucy Christabella
clear
close all
tic
dx = 0.01;%delta x(ruang)
dt = 0.5*dx;%delta t (waktu)
x = 0:dx:2; % domain ruang
tFinal = 2; % t akhir perhitungan
t=0:dt:tFinal; %domain waktu
Nt = tFinal/dt; % banyaknya titik waktu
Nx = length(x); % banyaknya titik ruang
waktu=0;
%riemman problem (masalah nilai awal) dengan syarat nilai
ukiri dan ukanan
ukiri=1;
ukanan=0;
% Menggambar fungsi nilai awal
u = 0*x;
for i=1:Nx;
if x(i)<=0
u(i)=ukiri;
else
u(i)=ukanan;
end
end
plot(x,u,'p-')
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
for n = 1:Nt
u0 =u;
%syarat solusi riemman problem (masalah nilai awal)
for i=2:Nx-1
if x(i)<= (t/2)
u(i)=1;
elseif x(i)> (t/2)
u(i)=0;
end
%iterasi rumus
for j = 2:Nx-1
%skema Lax-Wendroff
a=dt/(2*dx)*(0.5*u0(j+1)^2-0.5*u0(j-1)^2);
b=((1/2)*(u0(j)+u0(j+1))*(0.5*u0(j+1)^2-
0.5*u0(j)^2));
c=((1/2)*(u0(j)+u0(j-1))*(0.5*u0(j)^2-0.5*u0(j-
1)^2));
u(j)=u0(j)-(a)+((dt^2)/(2*(dx^2)))*(b-(c));
end
end
u(1) = 1; u(Nx) = 0; % syarat batas (boundary condition)
plot(x,u)
ylim([0 1.5])
pause (0.00001)
waktu = waktu + dt
end
%solusi eksak saat t=2
% Menggambar fungsi nilai awal solusi eksak
uex = 0*x;
for i=1:Nx;
if x(i)<=1
uex(i)=ukiri;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
else
uex(i)=ukanan;
end
end
plot(x,u,'b.-', x,uex,'k')
ylim([0 1.25])
legend('Solusi numeris', 'Solusi eksak')
xlabel('x')
ylabel('u(x,t)')
title('Solusi numeris dengan skema Lax-Wendroff')
errorratarata = sum(abs(u-uex))/Nx
toc
5. MacCormack
%penyelesaian Riemman Problem, perhitungan galat dan waktu
persamaan Burgers menggunakan metode Volume Hingga
% "Skema MacCormack"
% by Sudi Mungkasi & Birgitta Lucy Christabella
Clear
close all
tic
dx = 0.01;%delta x(ruang)
dt = 0.5*dx;%delta t (waktu)
x = 0:dx:2; % domain ruang
tFinal = 2; % t akhir perhitungan
t=0:dt:tFinal; %domain waktu
Nt = tFinal/dt; % banyaknya titik waktu
Nx = length(x); % banyaknya titik ruang
waktu=0;
%riemman problem (masalah nilai awal) dengan syarat nilai
ukiri dan ukanan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
ukiri=1;
ukanan=0;
% Menggambar fungsi nilai awal
u = 0*x;
for i=1:Nx;
if x(i)<=0
u(i)=ukiri;
else
u(i)=ukanan;
end
end
plot(x,u,'p-')
for n = 1:Nt
u0 =u;
%syarat solusi riemman problem (masalah nilai awal)
for i=2:Nx-1
if x(i)<= (t/2)
u(i)=1;
elseif x(i)> (t/2)
u(i)=0;
end
%iterasi rumus
for j = 2:Nx-1
%skema MacCormack
us=u0(j)-((dt/dx)*(0.5*u0(j+1)^2-0.5*u0(j)^2));
ub=u0(j-1)-((dt/dx)*(0.5*u0(j)^2-0.5*u0(j-
1)^2));
u(j) =0.5*(u0(j)+us)-((dt/(2*dx))*(0.5*us^2-
0.5*ub^2));
end
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
end
u(1) = 1; u(Nx) = 0; % syarat batas (boundary condition)
plot(x,u)
ylim([0 1.5])
pause (0.00001)
waktu = waktu + dt
end
%solusi eksak saat t=2
% Menggambar fungsi nilai awal solusi eksak
uex = 0*x;
for i=1:Nx;
if x(i)<=1
uex(i)=ukiri;
else
uex(i)=ukanan;
end
end
plot(x,u,'b.-', x,uex,'k')
ylim([0 1.25])
legend('Solusi numeris', 'Solusi eksak')
xlabel('x')
ylabel('u(x,t)')
title('Solusi numeris dengan skema MacCormack')
errorratarata = sum(abs(u-uex))/Nx
toc
6. Godunov
%penyelesaian Riemman Problem, perhitungan galat dan waktu
persamaan Burgers menggunakan metode Volume Hingga
% "Skema Godunov"
% by Sudi Mungkasi & Birgitta Lucy Christabella
clear
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
close all
tic
dx = 0.01;%delta x(ruang)
dt = 0.5*dx;%delta t (waktu)
x = 0:dx:2; % domain ruang
tFinal = 2; % t akhir perhitungan
t=0:dt:tFinal; %domain waktu
Nt = tFinal/dt; % banyaknya titik waktu
Nx = length(x); % banyaknya titik ruang
waktu=0;
%riemman problem (masalah nilai awal) dengan syarat nilai
ukiri dan ukanan
ukiri=1;
ukanan=0;
% Menggambar fungsi nilai awal
u = 0*x;
for i=1:Nx;
if x(i)<=0
u(i)=ukiri;
else
u(i)=ukanan;
end
end
plot(x,u,'p-')
for n = 1:Nt
u0 =u;
%syarat solusi riemman problem (masalah nilai awal)
for i=2:Nx-1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
81
if x(i)<= (t/2)
u(i)=1;
elseif x(i)> (t/2)
u(i)=0;
end
%iterasi rumus
%penyelesaian persamaan burgers menggunakan metode
godunov
for j = 2:Nx-1
%syarat dalam metode godunov untuk persamaan
burgers
%(mencari ub untuk menentukan fki dan fka)
if u0(j)>= u0(j+1) % untuk menentukan ub sehingga
fka dapat dihitung
if ((u0(j)+u0(j+1))/2)>0
ub=u0(j);
else
ub=u0(j+1);
end
else
if u0(j)>0
ub=u0(j);
elseif u0(j+1)<0
ub=u0(j+1);
else
if u0(j)<=0<=u0(j+1)
ub=0;
end
end
end
fka=((ub)^2)/2;
% untuk menentukan ub sehingga fki dapat dihitung
if u0(j-1)>=u0(j)
if ((u0(j-1)+u0(j))/2)>0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
82
ub=u0(j-1);
else
ub=u0(j);
end
else
if u0(j-1)>0
ub=u0(j-1);
elseif u0(j)<0
ub=u0(j);
else
if u0(j-1)<=0<=u0(j)
ub=0;
end
end
end
fki=((ub)^2)/2;
%skema godunov
u(j)=u0(j)-(dt/dx)*(fka-fki);
end
end
u(1) = 1; u(Nx) = 0; % syarat batas (boundary condition)
plot(x,u)
ylim([0 1.5])
pause (0.00001)
waktu = waktu + dt
end
%solusi eksak saat t=2
% Menggambar fungsi nilai awal solusi eksak
uex = 0*x;
for i=1:Nx;
if x(i)<=1
uex(i)=ukiri;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
83
else
uex(i)=ukanan;
end
end
plot(x,u,'b.-', x,uex,'k')
ylim([0 1.25])
legend('Solusi numeris', 'Solusi eksak')
xlabel('x')
ylabel('u(x,t)')
title('Solusi Numeris dengan Skema Godunov')
errorratarata = sum(abs(u-uex))/Nx
toc
7. Metode Volume Hingga untuk PDP Parabolik
%penyelesaian Riemman Problem, perhitungan galat dan waktu
persamaan Burgers menggunakan metode Volume Hingga
% by Sudi Mungkasih & Birgitta Lucy Christabella
clear
close all
tic
dx = 0.01;%delta x(ruang)
dt = 0.5*dx;%delta t (waktu)
x = 0:dx:2; % domain ruang
tFinal = 2; % t akhir perhitungan
t=0:dt:tFinal; %domain waktu
Nt = tFinal/dt; % banyaknya titik waktu
Nx = length(x); % banyaknya titik ruang
waktu=0;
%riemman problem (masalah nilai awal) dengan syarat nilai
ukiri dan ukanan
ukiri=1;
ukanan=0;
% Menggambar fungsi nilai awal
u = 0*x;
for i=1:Nx;
if x(i)<=0
u(i)=ukiri;
else
u(i)=ukanan;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
84
end
end
plot(x,u,'p-')
for n = 1:Nt
u0 =u;
%syarat solusi riemman problem (masalah nilai awal)
for i=2:Nx-1
if x(i)<= (t/2)
u(i)=1;
elseif x(i)> (t/2)
u(i)=0;
end
%iterasi rumus
for j = 2:Nx-1
%skema Parabolik
D=0.01; %nilai epsilon
umin=(0.5*(0.5*u0(j)^2+0.5*u0(j-1)^2));
uplus=(0.5*(0.5*u0(j)^2+0.5*u0(j+1)^2));
u(j) = u0(j)+ (dt*((D*((u0(j+1)-(2*u0(j))+u0(j-
1))/(dx^2)))+((umin-uplus)/(dx))));
end
end
u(1) = 1; u(Nx) = 0; % syarat batas (boundary condition)
plot(x,u)
ylim([0 1.5])
pause (0.00001)
waktu = waktu + dt
end
%solusi eksak saat t=2
% Menggambar fungsi nilai awal solusi eksak
uex = 0*x;
for i=1:Nx;
if x(i)<=1
uex(i)=ukiri;
else
uex(i)=ukanan;
end
end
plot(x,u,'b.-', x,uex,'k')
ylim([0 1.5])
legend('Solusi numeris', 'Solusi eksak')
xlabel('x')
ylabel('u(x,t)')
title('Solusi numerik untuk Burgers viscid')
errorratarata = sum(abs(u-uex))/Nx
toc
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI