PENGENDALIAN OPTIMAL PADA KEMOPROFILAKSIS DAN … filekontrol pada kambuhnya penyakit TB. •...
Transcript of PENGENDALIAN OPTIMAL PADA KEMOPROFILAKSIS DAN … filekontrol pada kambuhnya penyakit TB. •...
PENGENDALIAN OPTIMAL
PADA MODEL
KEMOPROFILAKSIS DAN
PENANGANAN TUBERKULOSIS
Oleh:
Citra Dewi Kusuma P.
1206 100 007
Dosen pembimbing:
DR. Subiono, MSc.
PENDAHULUAN
Latar Belakang
• Penyakit Tuberkulosis (TB) adalah penyakit menular
yang disebabkan oleh bakteri Mycobacterium
Tuberkulosis (Mtb).
• Dalam penanganan pasien penderita TB, perawatan
tidak lengkap dapat menyebabkan penyakit tersebut
kambuh, tetapi kambuh dapat juga terjadi pada
pasien yang mengambil pengobatan penuh dan
dinyatakan sembuh
• Dalam tugas akhir ini, dibahas tentang
analisis ketunggalan dan penyelesaian
kontrol optimal dari kemoprofilaksis,
kontrol penanganan penderita TB, dan
kontrol penanganan pada penderita TB
yang kambuh untuk mengurangi jumlah
individu yang terinfeksi TB laten dan aktif.
– Rumusan Masalah
• Permasalahan yang dibahas dalam tugas akhir ini
dengan adalah:
• Bagaimana menentukan optimal kontrol dari
kemoprofilaksis, kontrol penanganan TB, dan
kontrol pada kambuhnya penyakit TB.
• Bagaimana hasil simulasi numeriknya dengan
menggunakan software MATLAB.
– Batasan Masalah
• Kontrol yang dapat diterima disimbolkan dengan u
dalam keadaan terbatas dan kontinu pada
• Sistem dalam keadaan terkontrol dan lama
perawatan pada interval waktu tertentu.
• State dalam keadaan kontinu.
– Tujuan
• Tujuan yang dicapai dalam tugas akhir ini antara
lain:
• Mendapatkan kontrol optimal dari kemoprofilaksis,
kontrol penanganan TB, dan kontrol pada
kambuhnya penyakit TB sehingga dapat
mengurangi jumlah individu yang terinfeksi TB
laten dan aktif.
• Mengetahui hasil simulasi numerik dari model TB
yang diberikan dengan menggunakan software
MATLAB.
– Manfaat
• Manfaat dari penelitian ini adalah agar pihak/badan
kesehatan dapat mengetahui penanganan TB dan
kemoprofilaksis secara optimal.
TINJAUAN PUSTAKA
Model Optimal Kontrol kemoprofilaksis dan
Penanganan Tuberkulosis
Meminimalkan performance
index berikut:
Dengan:
individu yang rentan tertular TB
:infeksi laten
:gejala TB
:penyembuhan dari penyakit
:laju rekrutmen
:tingkat individu aktif yang tertular
:tingkat kematian alami
:probabilitas infeksi akan memasuki
tingkat laten
: : :::
f:
:modifikasi parameter
:tingkat kemajuan alami TB aktif
:penanganan untuk infeksi laten
:modifikasi parameter
:tingkat penyembuhan alami
:penanganan terhadap infeksi
:tingkat TB penyebab kematian
:laju penyakit yang kambuh
:kontrol kemoprofilaksis
:kontrol penanganan
:kontrol penyakit yang kambuh
:waktu akhir
:penyeimbang faktor biaya
k:
p:
d:
q:
:
Fungsi Lipschitz
Definisi 3.1 [2]
Misalkan dan jika terdapat
bilangan positif sedemikian hingga
(6)
untuk setiap , maka dikatakan
fungsi Lipschitz (memenuhi kondisi
Lipschitz) pada .
A Af :
uxLufxf )()(
L
Aux , f
A
Masalah Optimal Kontrol
Pada prinsipnya, tujuan dari optimal kontrol adalah menentukan
signal yang akan diproses dalam plant dan memenuhi
konstrain fisik. Kemudian, pada waktu yang sama dapat
ditentukan ekstrim (maksimum/minimum) yang sesuai dengan
kreteria performance index.
Gambar 4.1 Skema Kontrol
• Pada gambar tersebut masalah kontrol optimal adalah
mendapatkan kontrol optimal ( ), tanda * menyatakan
kondisi optimal yang akan mendorong dan mengatur
plant C dari keadaan awal sampai keadaan akhir dengan
beberapa konstrain pada kontrol dengan keadaan dan
waktu yang sama dapat ditentukan ekstrim berdasarkan
performance index yang diberikan.
• Berarti secara umum, formulasi yang dapat
diberikan pada permasalahan optimal kontrol [5]:
– Mendiskripsikan secara matematik artinya diperoleh
metode matematika dari proses terjadinya
pengendalian (secara umum dalam bentuk variabel
keadaan).
– Spesifikasi dari performance index.
– Menentukan kondisi batas dan konstrain fisik pada
keadaan (state) dan atau kontrol.
• Prinsip Maksimum Pontryagins dengan Kontrol
Terbatas
• Prinsip maximum merupakan suatu kondisi sehingga
dapat diperoleh penyelesaian kontrol optimal yang
sesuai dengan tujuan (memaksimalkan performance
index). Hal ini, telah dikembangkan pada tahun 1950
oleh L. S. Pontryagin dan rekan kerjanya, yang
diaplikasikan untuk semua masalah kalkulus variasi [6].
• Diberikan permasalahan dengan suatu kontrol yang
terbatas sebagai berikut [4]:
dengan kendala
Hamiltonian adalah
Supaya optimal jika memenuhi persamaan
jika
1
0
),,(max
t
t
dttuxf
),,( tuxgx 00 )( xtx bua
),,(),,( tuxgtuxfH
0
u
Hbua
dengan Persamaan keadaan (State dan Co-
State)
Metode beda hingga
Jika maka turunan pertama dari u
terhadap x didefinisikan
Hx
x
H
)(xuu
Kemudian diekspansikan menurut
deret Taylor
1.
Persamaan (9) disebut persamaan beda
hingga maju.
2.
Persamaan (11) disebut persamaan beda
hingga mundur.
)(xuu
...)(!2!1
)()(2
22
xudx
dhxu
dx
dhxuhxu
)()()()( hoxudx
dhxuhxu
dx
du
h
xuhxu
)()(
...)(!2!1
)()(2
22
xudx
dhxu
dx
dhxuhxu
)()()()( hoxudx
dhhxuxu
dx
du
h
hxuxu
)()(
3. Jika persamaan (8) dikurangi dengan
persamaan (10), maka
Persamaan (13) disebut persamaan beda
hingga tengah.
4. Jika persamaan (8) ditambahkan dengan
persamaan (10), maka
...2)()( dx
duhhxuhxu
)(2)()( 2hodx
duhhxuhxu
dx
du
h
hxuhxu
2
)()(
...)(2)()(2
22
dx
udhxuhxuhxu
)()()(2)( 2
2
22 ho
dx
udhhxuxuhxu
2
2
2
)()(2)(
dx
ud
h
hxuxuhxu
• Beda hingga memiliki tiga tipe syarat
batas:
– Syarat batas Dirihclet, adalah syarat batas
pada kondisi awal dan kondisi akhir.
• contoh : dan
– Syarat batas Neumann, adalah syarat batas
untuk kondisi akhir dari turunan pertamanya.
• contoh : dan
– Syarat batas Robbins, adalah syarat batas
untuk kondisi awal atau akhir dan pada turunan
pertamanya .
• contoh : atau
100)0( u 1001 u
0)0( dx
du0)1(
dx
du
3)0()0( dx
duu 3)1()1(
dx
duu
• Pembahasan dan Hasil
Penyelesaian Kontrol Optimal
• Untuk mendapatkan penyelesaian kontrol
optimal dari persamaan (1), (2), (3), dan
(4) digunakan Prinsip Maksimum
Pontryagin. Metode ini merupakan
pengembangan dari masalah kalkulus
variasi.
• Hamiltonian yang terbentuk adalah:
Persamaan co-state dapat diperoleh dari
Sehingga
Variabel co-state
Berdasarkan prinsip optimum didapatkan
dan
Sehingga diperoleh
Analisis ketunggalan solusi sistem
persamaan diferensial
• Andaikan dan
adalah dua solusi
yang berbeda dari sistem persamaan
diferensial.
• Dengan
dan
,,,
,
,
,
,
,,
,
,
Untuk m>0, berarti dapat diperoleh bentuk
kontrol optimal
dan
Dengan menggunakan teorema Lipschitz
sedemikian hingga dapat diperoleh:
dan
Untuk
Sehingga dapat diperoleh
• Dilakukan cara yang sama pada state dan
costate lainnya dan juga pada solusi yang
kedua.
• Kemudian dilakukan pengurangan pada
persamaan tersebut dan kemudian
diintegralkan menjadi
Mengingat lama perawatan dibatasi pada
selang waktu tertentu maka solusi yang
dihasilkan pada sistem Hamiltonian adalah
terbatas, berarti terdapat suatu konstanta
positif sehingga diperoleh
Demikian juga pada pengurangan yang
lain dilakukan hal yang sama.
Kemudian jumlahkan delapan
penyelesaian tersebut sehingga diperoleh
Maka
Berarti jika dipilih dan
Maka haruslah
sehingga menjadi
jadi penyelesaian dari sistem adalah tunggal.
• Simulasi Numerik
• Persamaan state diselesaikan dengan
menggunakan metode beda hingga maju
Persamaan co-state diselesaikan dengan
menggunakan metode beda hingga
mundur
0 5 10 15 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Waktu (tahun)
kontr
ol u1
Gambar 7.1 simulasi kontrol kemoprofilaksis (u1)
0 5 10 15 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Waktu (tahun)
kontr
ol u2
Gambar 7.2 simulasi kontrol penanganan TB (u2)
0 5 10 15 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Waktu (tahun)
kontr
ol u3
Gambar 7.3 simulasi kontrol penanganan TB yang kambuh (u3)
0 5 10 15 20 250
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
Waktu (tahun)
jum
lah indiv
idu y
ang t
erinfe
ksi T
B late
n d
an a
ktif
dengan kontrol
tanpa kontrol
Gambar 7.4 perbandingan jumlah individu yang terinfeksi TB laten dan aktif antara
pemberian kontrol pada sistem dengan tanpa kontrol
Pada gambar 7.4 menunjukkan bahwa
sistem yang diberi kontrol u1, u2 , dan u3
memberikan perbedaan yang signifikan
pada waktu setelah 5 tahun dengan sistem
yang tanpa kontrol. Jumlah individu yang
terinfeksi laten dan aktif pada sistem tanpa
kontrol adalah 593 orang sedangkan pada
sistem dengan kontrol adalah 19 orang.
Hal ini berarti bahwa kontrol
kemoprofilaksis (u1), kontrol penanganan
penderita TB (u2), dan kontrol penanganan
pada penderita TB yang kambuh (u3)
dapat mengurangi jumlah individu yang
terinfeksi laten dan aktif.
• Kesimpulan dan Saran
Kesimpulan
• Dari analisis yang dilakukan pada
model tuberkulosis, maka dapat diperoleh
sebagai berikut :
• Pada analisis kontrol optimal dapat
diketahui bahwa bentuk kontrol optimal
yang diperoleh dari model tuberkulosis
adalah
dengan:
: kontrol kemoprofilaksis
: kontrol penanganan TB
: kontrol penanganan TB yang
kambuh
: penanganan untuk infeksi laten
: penanganan terhadap infeksi
: laju penyakit yang kambuh
q : individu yang terinfeksi TB laten
: individu yang terinfeksi TB aktif
: individu yang sembuh dari TB
: faktor penyeimbang biaya
• Hasil simulasi numerik menunjukkan
bahwa kontrol kemoprofilaksis (u1), kontrol
penanganan TB (u2), dan kontrol pada TB
yang kambuh (u3) dapat mengurangi
jumlah individu yang terinfeksi TB laten
dan aktif.
Saran
• Saran dari Tugas Akhir ini adalah dapat
dicari kontrol untuk penyakit yang lain,
sehingga dapat meminimalkan atau
mengurangi jumlah penderita penyakit
tersebut.
DAFTAR PUSTAKA
[1]AgustoF.B.OptimalChemopropylaxis And Treatment
Control Strategies Of A Tuberkulosis Transmission
Model. World Journal Of Modelling And Simulation,
2009, 5(3): 163-173.
[2]Bartle, R.G., dan Sherbert, D.R., 1994. Introduction to
Real Analysis. Singapore: John Willy & Sons.
[3]Gerald, C.F.1994.Apllied Numerical
Analysis.Polytechnic State Univercity, California.
[4]Kamien, M. I dan Schwarz, N. L .1991. Dynamic
Optimization: the calculus of variations and
optimal control in economics and management.
North-Holland. Amsterdam.
[5]Naidu, D. S., 2002. Optimal Control Systems. USA:
CRC Presses LCC.
[6]Pontryagin, L.S , Boltyanskii, V. G, Gamkrelidze, R. V ,
and Mishchenko, E.F. 1962. The Mathematical Theory
Of Optimal Processe. Wiley, New York.