Índice

La pendiente de una recta..................................................................................2

Función lineal................................................................................................2

Función afín...................................................................................................2

Ecuaciones y gráficas..................................................................................2

La pendiente.................................................................................................2

La perpendicular en las funciones lineales:.............................................3

Cociente incremental...................................................................................4

Interpretación de la pendiente en aplicaciones......................................5

Bibliografía....................................................................................................6

La pendiente de una rectaFunción lineal

Una función lineal es aquella cuya expresión algebraica es del tipo y  = mx, siendo m un número cualquiera distinto de 0.

Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen, (0,0).

El número m se llama pendiente.

La función es creciente si m > 0 y decreciente si m < 0.

Función afín

Una función afín es aquella cuya expresión algebraica es del tipo y = mx + n, siendo m y n números distintos de 0.

Su gráfica es una línea recta.

El número m es la pendiente.

El número n es la ordenada en el origen. La recta corta al eje Y en el punto (0, n).

Ecuaciones y gráficas

Cuando la gráfica de una función es una recta:

Si la recta pasa por el origen de coordenadas, es una función lineal, y  = mx, y su pendiente, m, es la ordenada de x = 1.

Si no pasa por el origen, es una función afín, y  = mx + n, donde n es la ordenada de x = 0 y m es la ordenada de x = 1 menos n.

La pendienteLa pendiente de una recta en un sistema de representación rectangular (de un plano cartesiano), suele estar representada por la letra  , y está definida como la diferencia en el eje Y dividido por la diferencia en el eje X para dos puntos distintos en una recta. En la siguiente ecuación se describe:

 

Esto es,

Dada una recta, gráficamente su pendiente nos da su grado de inclinación.

Pendiente positiva Pendiente negativa Pendiente nula

Cuando la recta es creciente (al aumentar los

valores de x aumentan los de y), su pendiente es positiva, en la expresión

analítica m>0

Cuando la recta es decreciente (al aumentar

los valores de x disminuyen los de y), su

pendiente es negativa, en la expresión analítica m<0

Cuando la recta es constante se dice que tiene pendiente nula,

en la expresión analítica m=0

La perpendicular en las funciones lineales:Si “y” es una función lineal de “x”, entonces el coeficiente de x es la pendiente de la recta. Por lo tanto, si la ecuación está dada de la siguiente manera:

Entonces m es la pendiente. En esta ecuación, el valor de   puede ser interpretado como el punto donde la recta se interseca con el eje Y, es decir, el valor de   cuando . Este valor también es llamado ordenada en el origen.

Si la pendiente   de una recta y el punto   de la recta son conocidos, entonces la ecuación de la recta puede ser encontrada usando:

La pendiente de la recta en la fórmula general:

Está dada por:

Cociente incrementalLa derivada  de una función f(x) en un punto x = a  es el valor del límite , si existe, del cociente incremental  cuando el incremento de la variable tiende a cero .

Si queremos hallar una herramienta de cálculo que nos permita determinar el ritmo de crecimiento de una función en un punto x = a. 

Desde un punto de vista geométrico, nuestro objetivo es averiguar la inclinación de la curva en el punto A(a, f(a)).

Para ello seguiremos los siguientes pasos:

1. A partir del punto x = a nos desplazaremos sobre la curva hasta un punto próximo x.

2. A continuación, para comparar el desplazamiento vertical, esto es, Δy = f(x) — f(a), con el horizontal, Δx = x — a, calcularemos la razón entre ambas cantidades. Este resultado será lo que llamaremos cociente incremental, o tasa de variación. Se suele escribir de diferentes maneras:

Observa en la escena el significado de los elementos del cociente incremental: 

El numerador es la altura de un triángulo rectángulo, y el denominador su base

Por lo tanto, el cociente incremental será la tangente del ángulo ß de inclinación sobre la horizontal de la recta secante a la curva. Es decir, indicará el valor de la pendiente de dicha recta. (Los puntos de la curva A(a, f(a)) y P(x, f(x)) son los vértices que determinan la hipotenusa de dicho triángulo).

El cociente incremental es igual a la pendiente de la recta secante.

Interpretación de la pendiente en aplicaciones

La pendiente de la recta y = mx + b es la razón de cambio de y para cada cambio de x en una unidad. Las unidades de medida de la pendiente son unidades de y por unidad de x

Si y es costo y x es el número de artículos, entonces la pendiente representa costo marginal. Sus unidades son unidades de costo por artículo (por ejemplo, euros por artículo).

Una función costo especifica el costo C como una función de la cantidad de artículos x. En consecuencia, C(x) es el costo de x artículos, y tiene la forma

Costo = Costo variable + Costo fijo

En la que el costo variable es una función de x y el costo fijo es constante. Una función costo de la forma

C(x) = mx + b

Se llama una función costo lineal; el costo variable es mx y el costo fijo es b. La pendiente m, el costo marginal, mide el costo incremental por artículo.

Una función ingreso R específica el ingreso R(x) que resulta de la venta de x artículos.

Una función utilidad P especifica la utilidad (ingreso neto) P(x) que resulta de la venta de x artículos. Las funciones costo, ingreso y utilidad se relacionan con la formula

P(x) = R(x) - C(x).

Equilibrio se ocurre cuando

P(x) = 0

o, equivalentemente, cuando

R(x) = C(x).

Una función (de) demanda expresa la demanda q (el número de artículos solicitados) como una función del precio unidad p (el precio por artículo). Una función de oferta expresa la oferta q (el número de artículos un proveedor está dispuesto a llevar al mercado) como una función del precio unidad p (el precio por artículo). Es normalmente el caso que la demanda disminuye y la oferta sube a medida que el precio sube.

La demanda es en equilibrio cuando son iguales. Los valores correspondientes de p y q se llaman precio de equilibrio y demanda de equilibrio. Para hallar el precio de equilibrio, determine el precio unitario p donde cruzan las curvas de demanda y oferta (a veces podemos determinar este valor analíticamente por igualar las funciones de demanda y oferta y despejar a p). Para hallar la demanda de equilibrio, evalúe la demanda (o oferta) con el precio equilibrio.

Bibliografía

http://www.ematematicas.net/pendienterecta.php?a=3

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/funciones_lineales_y_afines_dhafj/funcion_lineal_y_afin1.html

http://arquimedes.matem.unam.mx/descartes.org.mx/descartes/web/materiales_didacticos/derivada_y_pendiente_recta_tangente/