Algebra Linear - Ciencias da Computacao

Prof a Evelize Ferracini

Lista de Exercıcios 01

Questao 1 Verifique se em cada um dos itens abaixo o conjunto V com asoperacoes indicadas e um espaco vetorial sobre R.

(a) V = R3 = {(x1, y1, z1);x1, y1, z1 ∈ R}, com as operacoes usuais de R2, ouseja, (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) e α · (x1, y1, z1) =(α · x1, α · y1, α · z1).

(b) V =

{(a −bb a

); a, b ∈ R

}, com as operacoes usuais das matrizes, ou

seja,

(x1 y1z1 w1

)+

(x2 y2z2 w2

)=

(x1 + x2 y1 + y2z1 + z2 w1 + w2

)e α·

(x1 y1z1 w1

)=(

α · x1 α · y1α · z1 α · w1

).

(c) V = {(x, y) ∈ R2; 3x− 2y = 0}, com as operacoes usuais de R2.

(d) V = R2 com as seguintes operacoes (x1, y1) + (x2, y2) = (2x1−2y1, y1−x1)e α · (x1, y1) = (3α · x1,−α · y1).

(e) V = R2 com as seguintes operacoes (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)e α · (x1, y1) = (α · x1, 0).

(f) V ={

(x, y, z, w) ∈ R4; y = x, z = w2}

, com as operacoes usuais de R4, ouseja, (x1, y1, z1, w1) + (x2, y2, z2, w2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2, w1 + w2) eα · (x1, y1, z1, w1) = (α · x1, α · y1, α · z1, α · w1).

(g) V = R × R∗, com as operacoes usuais de R4, ou seja, (x1, y1, z1, w1) +(x2, y2, z2, w2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2, w1 + w2) e α · (x1, y1, z1, w1) =(α · x1, α · y1, α · z1, α · w1), onde R∗ = R {0}.

(h) V = R2, com as seguintes operacoes (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, 0) eα · (x1, y1) = (α · x1, α · y1).

Questao 2 Seja V o conjunto dos pares ordenados de numeros reais. V nao eum espaco vetorial em relacao a nemhum dos dois seguintes pares de operacoessobre V :

(a) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) e a(x1, y1) = (ax1, y1).

(b) (x1, y1) + (x2, y2) = (x2, y2) e a(x1, y1) = (ax1, ay1).

Diga em cada caso quais dos oito axiomas nao se verifica.

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