PDE_C3

8/17/2019 PDE_C3

http://slidepdf.com/reader/full/pdec3 1/28

Prelucrarea Datelor

Experimentale

2015-2016

Felicia Stan Departamentul IF

[email protected] Facultatea de Inginerie

8/17/2019 PDE_C3


3. ELEMENTE DE STATISTICA MATEMATICA

3.1. Variabile aleatoare

3.2. Functia de repartitie3.3. Repartitia unei variabile aleatoare discrete

3.4. Densitatea de repartitie

3.5. Proprietatile densitatii de repartitie3.6. Valori tipice ale variabilei aleatoare

#2

8/17/2019 PDE_C3


3.1.Variabile aleatoare

Variabila aleatoare este o marime reala care, in raport curezultatul unui experiment, poate lua orice valoaredintr-o multime bine definita de valori reale (domeniulde definitie al variabilei).

Variabila aleatoare:1. DISCRETA - variabila care ia numai anumite valori.

2. CONTINUA - variabila care poate lua orice valoareintre doua numere.

#3

8/17/2019 PDE_C3


3.2. Functia de repartitie

Functia de repartitie a variabilei aleatoare X se noteaza cu

F(x) si este definita ca probabilitatea evenimentului X

#4

( ) ( )x X P x F ≤= (1)

Din punct de vedere probabilistic, functia de repartitiecaracterizeaza complet o variabila aleatoare, indiferentdaca este vorba de o variabila aleatoare discreta saucontinua.

8/17/2019 PDE_C3


1. Este o functie crescatoare

2. Pentru cea mai mica valoare posibila a variabileialeatoare ( -∞), functia de repartitie este egala cu zero

3. Pentru cea mai mare valoare posibila a variabieialeatoare, functia de repartitie este egala cu 1.

(2)

(3)

(4)

Proprietatile functiei de repartitie

#5

( ) ( ) 1212 x x daca x F x F >≥

( ) 0=∞−F

( ) 1=∞+F

8/17/2019 PDE_C3


4. Functia de repartitie satisface dubla inegalitate

5. Probabilitatea ca variabila aleatoare X sa fie cuprinsa

intre x1 si x2, (x1<x2) este egala cu diferenta dintrevalorile functiei de repartitie la extremitatile intervalului,adica cu cresterea functiei in intervalul considerat

(5)

(6)

Proprietatile functiei de repartitie

#6

( ) 10 ≤≤ x F

( ) ( ) ( )1221 x F x F x X x P −=<<

8/17/2019 PDE_C3


3.3. Repartitia unei variabile aleatoare discrete

Se numeste repartitie a unei variabile aleatoare

discrete legea de probabilitate dupa care ea seproduce.

Repartitia unei variabile aleatoare discrete

#7

(7)n i p

x X sau

p p p

x x x X

i

i

n

n ≤≤

=

1:

21

21

LL

LL

8/17/2019 PDE_C3


#8

a. variabila discreta b. variabila continuaFig. 1. Functia de repartitie

F ( x

)

1

x x x1 2 n x

F ( x

)

x

8/17/2019 PDE_C3



Se numeste densitate de repartitie prima derivata

(daca exista) a functiei de repartitie F(x)

Densitatea de repartitie exista numai pentru o variabilacontinua.

#9

( ) ( ) ( ) ( )

x

x F x x F x F x f

x ∆

∆

∆

−+=′=

→0lim (8)

8/17/2019 PDE_C3



Functia de repartitie se poate experima in raport cudensitatea de repartitie dupa cum urmeaza

Daca x→-∞, tinand seama de proprietatea 3 a functieide repartitie rezulta C=0, si

#10

(9)( ) ( )∫∞−

+=

x

C dx x f x F

( ) ( )dx x f x F x

∫∞−

=

(10)

8/17/2019 PDE_C3



#11

Probabilitatea ca variabila aleatoare continua X sa ia o

valoare in intervalul (a, b) este egala cu integraladensitatii de repartitie pe intervalul (a,b):

( ) ( )∫=<<

b

a

dxxfbXaP (11)

Probability density function (pdf)

8/17/2019 PDE_C3


3.5. Proprietatile densitatii de repartitie

1. Densitatea de repartitie este pozitiva

2. Integrala densitatii de repartitie, in cadrul limitelor devariatie infinite, a variabilei aleatoare continue, esteegala cu unitatea

#12

( ) 1=

∫

∞+

∞− dx x f

(12-2)

0)x(f ≥ (12-1)

8/17/2019 PDE_C3


3.6. Valorile tipice ale variabilei aleatoareMedia variabilei discrete

Valoarea medie (media) a unei variabilei aleatoare

discrete X este egala cu suma produselor dintrevalorile pe care le poate lua X si probabilitatilecorespunzatoare.

Daca notam media lui X cu m=M(X), avem prin definitie

#13

(1)n i p x X i

i ≤≤

= 1

( ) ∑=

=+++==N

i i i n n p x p x p x p x X M m

12211 KK (2)

8/17/2019 PDE_C3


Media unei variabile de tip continuu

Fie X o variabila aleatoare de tip continuu si f(x)

densitatea sa de repartitie. Media unei variabilealeatoare continue X este definita de relatia

Daca variabila aleatoare este definita pe intervalul [a, b],atunci valoarea medie este

#14

(3)

(4)

( ) ( )∫∞+

∞−

= dx x f x X M

( ) ( )∫=

b

a

dx x f x X M

8/17/2019 PDE_C3


Dispersia unei variabile aleatoare discrete X reprezinta

valoarea medie a patratului abaterii, X - M(X). Senoteaza cu D2(X)

adica, diferenta dintre media patratului variabilei aleatoaresi patratul mediei variabilei aleatoare.

#15

(5)

(6)

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] N p X M x p X M x X M X M X D 2

12

122

−++−=−= K

( ) ( )[ ] ( ) ( )X M X M X M X M X D 2222−=−=

Dispersia unei variabile discrete

8/17/2019 PDE_C3


Dispersia unei variabile continue

Dispersia unei variabile aleatoare continue X este media

patratului abaterii lui X

#16

(7)( ) ( )[ ] ( )∫∞+

∞−

−= dx x f X M x X D 22

8/17/2019 PDE_C3


Abaterea medie patratica

Abaterea medie patratica a unei variabile aleatoare X este

radacina patrata a dispersiei variabilei aleatoare.

Se noteaza cu D(X) (sau, dupa caz,μ sau σ)

#17

(8)( ) ( )X D X D 2=

8/17/2019 PDE_C3


Momentul simplu (initial) de ordinul k al unei variabileialeatoare discrete X calculat in raport cu originea

abaterilor care este zero

Momentul simplu (initial) de ordinul 1 reprezinta mediaaritmetica (k=1)

Folosind momentele simple, dispersia se poate exprimadupa cum urmeaza

(10)

Momentul simplu (initial)

#18

(9)k k X M =α

( )X M =1

( ) ( ) 212

222 α α −=−= X M X M X D

8/17/2019 PDE_C3


(13)

Momentul centrat de ordinal k

Momentul centrat de ordinal k, originea abaterilor esteconsiderata media aritmetica a variabilei aleatoare X

Momentul centrat de ordinul 1 (k=1) este nul, datorita

peoprietatii mediei aritmetice conform careia

Momentul centrat de ordinul 2 (k=2) este dispersia

#19

(11)

(12)

( )[ ]k k X M X M −= µ

( )[ ] 01

1 =−= X M X M µ

( )[ ] ( )X D X M X M 222 =−= µ

8/17/2019 PDE_C3


Momentul ordinar

Momentul ordinar de ordinul k, originea abaterilor este

considerata o valoare arbitrara a, este mediavariabilei aleatoare (X-a)k

#20

(14)[ ]k k a X M −=λ

8/17/2019 PDE_C3


Momentul simplu (initial) de ordinul k al unei variabile

aleatoare continue X

In particular, pentru k=1 avem valoarea medie a variabileialeatoare continue X

#21

(15)( )∫=

b

a

k k dx x f x α

( ) ( )∫=

b

a dx x f x X M (16)

Momentul simplu pentru o variabila continua

8/17/2019 PDE_C3


Momentul centrat

Momentul centrat de ordinul k

In particular, pentru k=2 avem dispersia variabileialeatoare continue X:

#22

(17)

(18)

( )[ ] ( )∫ −=

b

a

k k dx x f X M x µ

( ) ( )[ ] ( )

∫ −==

b

a

dx x f X M x X D 22

2

µ

8/17/2019 PDE_C3


Momentul ordinar

Momentul ordinar (conventional) de ordinul k

#23

(19)[ ] ( )dx x f a X M b

a

k k ∫ −=λ

8/17/2019 PDE_C3


Relatii intre momente

Intre momentele initiale si momentele centrate exista

urmatoarea relatie

#24

(20)2122 α α µ −=

312133 23 α α α α µ +−=

41

2121344 364 α α α α α α µ −+−=

(21)

(22)

8/17/2019 PDE_C3


Proprietatile mediei

1. Daca X este o constanta c, atunci

#25

(23)( ) c X M =

2. Daca X este o variabila aleatoare si a si b doua

constante, atunci valoarea medie a variabileialeatoare Y = aX + b este egala cu

( ) ( ) b X aM Y M +=

3. Daca X si Y sunt doua variabile aleatoare independente

cu medii M(X) si respective, M(Y), atunci valoareamedie a variabilei aleatoare X + Y este egala cu

( ) ( ) ( )Y M X M Y X M +=+

(24)

(25)

8/17/2019 PDE_C3


Proprietatile mediei

4. Daca X si Y sunt doua variabile aleatoare independentepentru care exista valorile medii M(X) si respective,

M(Y), atunci valoarea medie a variabilei aleatoareX·Y exista si este egala cu

#26

(26)

5. Daca X este o variabila aleatoare a carei valoare medie

µ = M(X) exista, atunci variabila aleatoare X - µ senumeste abatere de la valoarea medie.

( ) ( ) ( )Y M X M Y X M ⋅=⋅

2

8/17/2019 PDE_C3


Proprietatile dispersiei

1. Fie o variabila aleatoare X cu dispersia D2(X), atunci

oricare ar fi numerele reale a, b, dispersia variabileialeatoare Y=aX+b este

#27

(27)

2. Daca X si Y sunt doua variabile aleatoare independenteavand dispersiile D2(X), respective D2(Y), atuncipentru oricare doua constante a, b, dispersia

variabilei aX+bY este.

( ) ( )X D a Y D 222=

( ) ( ) ( )Y D b X D a bY aX D 22222+=+ (28)

#28

8/17/2019 PDE_C3


Proprietatile dispersiei

#28

(29)

3. Daca X este o variabila aleatoare avand dispersia D2(X)

si a o constanta reala, atunci

egalitatea avand loc doar pentru

( ) ( )X D a X M 22≥−

( )X M a =

PDE_C3

Documents

Transcript of PDE_C3