Payne:En 1971 Payne propuso el primer modelo de flujo vehicular continuo que consista de un sistema de dos ecuaciones diferenciales parciales, que son extensin de una ecuacin diferencial parcial que se describe en la dinmica de la velocidad. Payne identific lostrminos: Conveccin que describe los cambios de la velocidad media de los vehculos que entran y que salen, relajacin que describe la tendencia del flujo del trfico a relajarse a una determinada velocidad y anticipacin que describe la anticipacin de los conductores ante las cambiantes condiciones del trfico a su alrededor.

El modelo de Lighthill y Whitham asume que el flujo de trfico obedece la relacinde equilibrio N 01lo cual es una limitante de este modelo. Por eso Payne sugiere reemplazar la relacin N 01 por una ecuacin dinmica para la velocidad media V (x, t), que deriva a partir del modelo microscpico de Newell [43], por medio de un desarrollo en serie de Taylor. El identifica las velocidades microscpicas y macroscpicas de la siguiente manera:

En 1961 Newell propuso el modelo de velocidad ptima. Expresa la estrategia demanejo de la siguiente manera:

N 02

Donde es la velocidad deseada del conductor n al tiempo t. En los modelos antes tratados, la velocidad deseada del n-simo vehculo es la del vehculo delante de l, en el modelo de Newell los vehculos se adaptan a una velocidad deseada, dependiente de la distancia al vehculo de enfrente es la cual debe reflejar los requerimientos de espacio y es conocida como velocidad ptima. De acuerdo con lo anterior, la ecuacin para el n-simo vehculo es:

N 03

donde es la posicin del vehculo n al tiempo t, es el tiempo de retraso o el inverso de la sensibilidad, = xn+1(t) xn(t) es la distancia del lder al vehculo n al tiempo t.La idea es que el conductor ajusta su velocidad, ya no respecto a la velocidad relativa, sino de acuerdo con la distancia relativa al lder El tiempo de retraso permite ajustar la velocidad del vehculo a la velocidad ptima, cuando el flujo de trfico est variando.

Haciendo un desarrollo en serie de Taylor en la ecuacin N 02 se obtiene la siguiente ecuacin diferencial:

N 04

donde el inverso del tiempo de retraso (1/) = a, es la sensibilidad. La ecuacin diferencial N 04 es anloga a la ecuacin de movimiento de una partcula de masa m en presencia de friccin:

N 05

donde es el coeficiente de friccin y es la fuerza para acelerar o desacelerar. El tiempo de retardo est dado por y la velocidad optima est relacionada con

PAYNEEl identifica las velocidades microscpicas y macroscpicas de la siguiente manera:

y reemplaza el inverso de la distancia al carro de enfrente , por la densidad en el punto, es decir en el medio del vehculo lder y el que lo sigue:

Lo que conduce a:

Y de lo anterior, finalmente obtiene la siguiente ecuacin para la velocidad

Dnde:

Al trmino V , se le llama trmino de conveccin y describe los cambios de la velocidad en la posicin x producidos por el movimiento promedio de los vehculos. El trmino de anticipacin -, toma en cuenta la anticipacin de los vehculos a las condiciones de trfico a su alrededor. Finalmente el trmino de relajacin: delinea una adaptacin exponencial de la velocidad promedio V a la velocidad Ve() con un tiempo de relajacin . El modelo de Payne coincide perfectamente con el modelo de Newell si se Considera . Cuando , Numricamente hablando, el modelo de Payne no es muy robusto y la solucin del mismo requiere modificar el modelo original con un trmino de viscosidad numrica.