Pautas de Guías (Introducción a la Microeconomía - UChile)

Universidad de ChileFacultad de Economıa y NegociosDepartamento de Economıa

ECO150: Introduccion a la MicroeconomıaProfesor Christian Belmar C.

Semestre Primavera, 2011

Pauta Guıa N

o

1

Ayudantes: Adolfo Fuentes, Rodrigo Garay, Marıa Jose Perez y Mauricio Vargas

27 de julio de 2011

Problema 1. En el modelo de la telarana siempre se converge a un equilibrio estable. Es mas, cuandoestamos lejos de la cantidad de equilibrio las fuerzas del mercado hacen que rapidamente la cantidad se vayaacercando progresivamente hasta el valor que toma en la interseccion de las curvas de oferta y demanda.

Respuesta. Falso. La convergencia del proceso no tiene que ver con cuan lejos o cerca nos encontremos delpunto de equilibrio, tiene que ver con la elasticidad de las curvas de oferta y demanda.En caso de que la curva de demanda sea mas elastica que la curva de oferta, el proceso sera convergente. Porel contrario, si la curva de oferta es mas elastica que la curva de demanda, el proceso sera divergente. Si lacurva de oferta fuera mas elastica el cambio en los precios serıa explosivo.Por otra parte, podemos senalar que en un proceso convergente los precios del periodo n se basan en losprecios del periodo n� 1.

P (Q)

Q

P (Q)

Q

Proceso convergente Proceso divergente

⇤Problema 2. En un Mercado que se encuentra en Equilibrio, la Oferta y la Demanda vienen dadas por:

4qx

= P � 20 (1)

P = 100� qx

(2)

1. Asumiendo que la cantidad producida por los demandantes en el perıodo cero es igual a q0 = 8. Calculey grafique los equilibrios para el periodo 0, 1 y 2.

Respuesta. En t0 lo que tenemos que hacer es reemplazar la cantidad ofrecida en la demanda:

P0 = 100� 8

) P0 = 92

En t1 tenemos que reemplazar P0 en la oferta para obtener la cantidad:

4q1 = 92� 20

) q1 = 18

1

Ahora que tenemos la cantidad, reemplazamos en la demanda para obtener el precio:

P1 = 100� 18

) P1 = 82

En t2 tenemos que reemplazar P1 en la oferta para obtener la cantidad:

4q2 = 82� 20

) q2 = 15,5

Ahora que tenemos la cantidad, reemplazamos en la demanda para obtener el precio:

P2 = 100� 15,5

) P2 = 84,5

⇤

2. Suponga que se encuentra en el periodo n. ¿Existe equilibrio en este periodo? Si existe, calcule y expliqueel proceso o movimiento (y diga su nombre) de como se dio el equilibrio. Si no existe, explique el proceso(y diga su nombre) que apoya su respuesta.

Respuesta.

Of = Dda

P � 20

4= 100� P

P � 20 = 400� 4P

5P = 420

) P = 84

) q = 16

En tn

el equilibrio es: (qn

, Pn

) = (16; 84) esto se da porque el movimiento que tienen los precioses convergente. Lo que ocurre es lo siguiente: en T0 al ofrecerse 8 unidades, los demandantes estandispuestos a pagar $92 por ellas, como el negocio “esta bueno” para los oferentes, en el proximo periodoofreceran 18 unidades, pero la disposicion a pagar por esa cantidad es de $82 por lo que ahora losoferentes consideran que el negocio “esta malo”, por lo que el siguiente periodo se ofreceran 15,5unidades y ası sucesivamente hasta converger al equilibrio. ⇤

3. De un ejemplo de un mercado que se actue de esta manera y explique por que. ¿Que tendrıa que ocurrirpara el proceso que se describio en la parte (b) sea exactamente el contrario?

Respuesta. El mercado agrıcola tiende a actuar de esta forma, y esto es porque la decision de quecultivar, qe sera la cosecha del proximo periodo, depende del precio actual. Si la curva de oferta sehiciera mas elastica, el movimiento que tendrıan los precios serıa explosivo.

⇤

2




Guıa Para el Control N

o

2

Ayudantes: Adolfo Fuentes, Rodrigo Garay, Alejandra Jauregui, Marıa Jose Perez y Mauricio Vargas

26 de septiembre de 2011

Problema 1. Suponga una economıa en la cual existen solo dos bienes x e y y que el individuo representativoen esta posee la siguiente funcion de utilidad:

u(x, y) = x"�1y, " >> 1 (1)

Por otro lado, se sabe que el precio del bien y es igual a 1 y el precio del bien x es p.

1. Determine las demandas Marshallianas para este individuo si debe gastar todo su presupuesto en elconsumo de estos bienes y este asciende a 100 unidades monetarias.

Respuesta

El individuo debe resolver el siguiente problema:

max u(x, y) = x"�1y

s.a. 1 · y + p · x = 100

La condicion de equilibrio para resolver este problema es igualar la tasa marginal de sustitucion con la relacionde precios, es decir

("� 1)

1

y

x=

p

1

Relacion de la cual se obtiene que

y =p

("� 1)x

Reemplazando este ultimo resultado en la recta presupuestaria se tiene que:

1 ·✓

p

("� 1)x

◆+ p · x = 100

Por lo que al despejar el valor x, se obtiene el consumo optimo del bien X, es decir,

x⇤ =100("� 1)

"p

Por lo tanto, para el bien Y se tiene que:

y⇤ =p

("� 1)x⇤ =

100

"

2. Suponga ahora que " = p = 2. En base a esto, determine el efecto sustitucion y el efecto ingreso si elprecio del bien disminuye en una unidad monetaria y grafıquelo.

1

Respuesta

Con estos valores se tiene que las demandas optimas corresponden a x⇤ = 25 y y⇤ = 50, por lo que, lautilidad maxima corresponde a u⇤ = 1250.

Para obtener la nueva canasta con la baja en el precio del bien y, basta con reemplazar en la solucionencontrada en la parte anterior, pero con " = 2 y p = 1, es decir, xN = 50 y yN = 50.

Ahora, para separar el efecto sustitucion e ingreso, es necesario imponer la nueva relacion de precios sobrela misma iso-utilidad (anterior al cambio de precio), en base a lo cual se obtendra el aumento por efectosustitucion y por efecto ingreso (en este caso se debera a que se trata de un bien normal), es decir,

Nueva relacion de precios =px

py

= 1

Por lo tanto, la condicion de equilibrio se reduce a y = x, que en la iso-utilidad de 1250, se tiene

u(x, y) = xy = 1250

x · x = x2 = 1250

xs = ys = 35,35

Por lo tanto, los efectos son:

Efecto Sustitucion = xs � x⇤ = 35,35� 25 = 10,35

= ys � y⇤ = 35,35� 50 = �14,65

Efecto Ingreso = xN � xs = 50� 35,35 = 14,65

= yN � ys = 50� 35,35 = 14,65

Este aumento en el consumo se puede observar en la figura, la cual muestra el efecto sustitucion cuandopasamos del punto A al punto B y el efecto ingreso cuando pasamos del punto B al punto C (segun Hicks).

ES

ES EI

EI35, 4

50

25 35, 4 50

y

x

A

B

C

u1 = 1250

u2 = 2500

3. Utilizando los resultados de la parte (2), grafique la demanda ordinaria y compensada del bien, ydetermine si este es un bien normal o inferior.

Respuesta

Frente a una disminucion en el precio para un bien normal, la curva de demanda ordinaria debe quedar porsobre la curva de demanda compensada, y tal como se observa en la figura, la demanda ordinaria es mayor,por lo tanto, el bien x en este problema es un bien normal.

2

Demanda compensada

Demanda ordinaria

px

2

1

25 35, 4 50x

A

B C

3

Problema 2. Grafique las demandas compensadas que se obtienen utilizando los metodos de Hicks y Slutskyy la demanda Marshalliana cuando aumenta el precio del bien x y los bienes x e y son normales.

Respuesta

E1

EHES TEI

y

x

px

x

pix

pfx

xm

xh xs

E0

4




Guıa Para el Control 3

Ayudantes: Adolfo Fuentes, Alejandra Jauregui, Rodrigo Garay, Marıa Jose Perez y Mauricio Vargas

9 de octubre de 2011

1. Preguntas con Respuesta

Tecnologıa y funciones de produccion

1. De los siguientes graficos todos corresponden a funciones de produccion excepto (e). Comente.

f(x)

x

(a)

f(x)

x

(c)

f(x)

x

(b)

f(x)

x

(d)

f(x)

x

(f)

f(x)

x

(e)

RespuestaRecordar las tres propiedades de las funciones de produccion:

“De la nada, nada sale”, es decir que f(0) = 0. Si no existe ningun input es imposible producir algo.Por lo tanto se descarta (a) y (e).

Las funciones de produccion son crecientes en el uso de cada uno de los factores. Esto es, siemprePMg � 0. Por mas que aumentemos la cantidad de input la produccion total siempre debe aumentaren una cantidad mayor o igual a 0, jamas disminuir. Por lo tanto se descarta que (b) sea una funcionde produccion pues posee un tramo decreciente.

La funcion de produccion es concava, sin embargo esto es un supuesto para justificar que los retornossean decrecientes . No obstante esta caracterıstica es solo para poder encontrar un optimo a travesde la minimizacion de costos, pueden existir funciones como (d) que presenten retornos crecientes aescala.

En resumen solo (c), (d) y (f) corresponden a funciones de produccion, no obstante tambien se puededescartar (d) si nos restringimos a funciones de produccion con retornos decrecientes.

2. Suponga que dos firmas distintas tienen funciones de produccion f1(x1, x2) y f2(x1, x2) respectivamente.Si para todo (x1, x2) se tiene que

f1(x1, x2) f2(x1, x2)

1

entonces la firma 2 es mas eficiente que la firma 1.

RespuestaFalso. Se pueden producir dos productos distintos en, por ejemplo, calidad. Podemos estar hablando defirmas completamente diferentes.

3. El Chef de Avenida Portugal produce 6 litros de mote con huesillos con 2 unidades de mote y 4 dehuesillos o 4 unidades de mote y 2 de huesillos. Entonces con 3 unidades de mote y 3 de huesillos puedeproducir 8 litros de mote con huesillos.

RespuestaIncierto. Sabemos que se produce mas, pero no necesariamente 8 litros.

4. Si nos encontramos en el corto plazo, la cantidad utilizada del factor fijo sera la optima desde laperspectiva del largo plazo, si y solo la empresa tiene rendimientos constante a la escala.

RespuestaCuando existen rendimientos constantes a la escala, ocurre que la cantidad optima de largo plazo es igual ala cantidad optima de corto plazo, es decir

CTMeCP

CTMeLP

Q⇤ = QLP

Q

⇡

Entonces, dado que Q⇤ = QCP , tiene que ocurrir que el capital (fijo) de corto plazo debe ser igual al capitalde largo plazo, ası se cumple que la cantidad optima de largo plazo es igual a la cantidad optima de cortoplazo.

K⇤ = K

K

LL⇤ = LCP

Q⇤ = QCP

K

5. En un proceso productivo, es posible tener un producto marginal decreciente en un factor y, aun ası,rendimientos crecientes de escala.

RespuestaVerdadero, puesto que se trata de distintos analisis. Recordar que productividad marginal considera todo losdemas factores constantes, mientras que en los rendimientos a escala todos varıan.

2

Un ejemplo de esto serıa:

f(x, y) = x1/2y3/2

f(�x,�y) = �2x1/2y3/2 ! Rendimientos crecientes a escala

@f(x, y)

@x=

1

2x�1/2y3/2

@2f(x, y)

@x2= �1

4x�3/2y3/2 0 ! Productividad Marginal Decreciente

6. Si se sabe que el producto marginal del trabajo es mayor que el producto medio, dado un nivel deempleo. Entonces, el producto medio debe ser creciente. Comente.

RespuestaLa condicion se describe como PMg(L0) > PMe(L0). Si el producto marginal es mayor que el productomedio del trabajo, entonces la incorporacion de un trabajador mas a las faenas, hace que en promedio todosproduzcan mas, por lo tanto, el producto medio del trabajo debe ser creciente en este nivel de trabajo.

Q

LL0

PMg

PMe

PMg(L0) > PMe(L0)

7. La tecnologıa Leontief (o de proporciones fijas) no tiene utilidad marginal.

RespuestaFalso. La funcion Leontief corresponde a lo siguiente

U(x1, x2) = mın{↵x1,�x2} =

(↵x1 si ↵x1 �x2

�x2 si ↵x1 > �x2

Su grafico corresponde a lo siguiente

x1

x2

�x2 > ↵x1

�x2 < ↵x1

m = �

↵

3

Esta funcion no es diferenciable en todas partes y sus derivadas parciales no son continuas. Veamos lasderivadas parciales:

@

@x1f(x1, x2) =

(↵ si x1 x2

0 si x1 > x2

@

@x2f(x1, x2) =

(� si x2 x1

0 si x2 > x1

Entonces cuando aumenta la intensidad de uso de un factor que de antemano se utiliza en cantidades mayoresque la del otro factor se concluye que la productividad marginal es cero. En el otro caso la productividadmarginal es igual a ↵ o � dependiendo de la combinacion de factores.

Cuando tenga sentido, cuando cambia la intensidad de uso de un factor, digamos del factor x1, la produccionno necesariamente aumenta (cuando este cambio no alcanza para aumentar el nivel de produccion), y en talcaso

Pmg(x1) =@

@x1f(x1, x2) = 0

Para el caso del factor x2 es analogo. En general, por este hecho la TMSTx2,x1 es infinita (luego no esta bien

definida para cualquier valor de (x1, x2)).

8. Si aumenta el precio del factor trabajo, las empresas representativas sustituiran hasta que para la ultimaunidad del factor las productividades relativas sean similares al precio relativo del factor. Comente.

RespuestaBajo el supuesto de que el nivel de produccion es constante (Q) y que los factores productivos son flexibles,entonces la firma para conservar su condicion de la funcion de costo, sustituira hasta que se cumpla lacondicion de equilibrio TMST = w

r

, en la cual se minimiza el costo de largo plazo. En consecuencia sicambia el precio de los factores (aumento) se pasa del costo C1 al costo C2 ya que se debe cumpir lacondicion de equilibrio del paarrafo anterior, de esta manera se sustituye pasando del punto A al punto B,tal y como se observa en el grafico de la derecha de la figura.

K

L

K

L

B

A

Q1

C2

Q2

Q1

B A

C1C1 C2

Sin embargo, si suponemos que el nivel de produccion se puede ajusta hasta el punto de mantener el mismonivel costo mınimo, exitira efecto sustitucion y efecto escala, por lo que la firma pasara del punto D al Edel grafico de la izquierda de la figura.

4

Costos y Oferta de la Firma

1. Cuando aumenta el precio de venta de un producto aumenta entonces la demanda de todos los factoresde la firma tambien aumenta.

RespuestaIncierto. Si aumenta el precio, aumenta la oferta y por lo tanto aumenta el uso de factores pero no ne-cesariamente de todos los factores productivos. Se podrıa argumentar que la TMST deberıa ser cero ypor lo tanto el producto marginal de ese factor serıa cero, lo cual no es posible. Sin embargo la condicionTMST

x1,x2 = w

r

provee una condicion necesaria y no suficiente para la optimalidad tecnica, dependiendode la tecnologıa se puede aplicar esta condicion.

Por ejemplo, con una tecnologıa lineal no es posible aplicar TMSTx1,x2 = w

r

para encontrar el optimo. Enel caso de solucion unica y segun la relacion de precios tendremos que las soluciones posibles son de esquina,ante lo cual se utiliza solamente un factor y si aumenta el precio de venta, siendo todo lo demas constante,solo aumenta la demanda de dicho factor.

2. Aperezco D-C Ltda. lanza un nuevo producto al mercado, las frutillas amarillas. Como buen adminis-trador no se preocupa de minimizar costos ya que cree que las frutillas amarillas le entregan tanto valoral consumidor que la maximizacion de beneficio es lo que prima en este caso.

RespuestaLas firmas competitivas deben preocuparse de la minimizacion de costos. En el caso de firmas competitivasminimizar costos es equivalente a maximizar beneficios ya que la firma competitiva no tiene poder sobre losprecios y su objetivo persigue las utilidades economicas (beneficio monetario). En general todas las firmas,tengan o no fines de lucro, deberıan velar por la minimizacion de costos ya que no es lo mismo desde unpunto de vista tecnico realizar la misma actividad con mas o menos recursos o utilizando los recursos demanera eficiente. A modo de ejemplo el Hogar de Cristo, los Bomberos o un Techo Para Chile no se interesanen la maximizacion de beneficios como un objetivo de la organizacion pero si les conviene minimizar suscostos.

3. Un cambio similar en todos los precios de los insumos, traera como resultado el desplazamiento de lascurvas de costo de corto y largo plazo de una empresa individual.

RespuestaSi ocurriera un desplazamiento de las curvas de costo, pero estas tendran un comportamiento diferente enel corto y en el largo plazo. En el corto plazo, como uno de los factores es fijo, la curva de costo total, sedesplaza pero tambien cambia de pendiente, lo mismo ocurre con las curvas de costo total medio y costomarginal.

En el largo plazo, dado que ambos factores son fijos ocurre que la curva de costo total se desplaza concambio de pendiente, pero la curva de costo medios y de costo marginal se desplazan paralelamente, estoocurre porque en el largo plazo la cantidad optima de uso de cada factor sera la misma (si los dos factoresaumentan en la misma proporcion).

Veamos un ejemplo: Imaginemos que estamos en el largo plazo, y sea:

Q = L↵K� , ↵+ � = 1

Luego, la condicion de optimo esPMg(x1)

PMg(x2)=

w

r

5

Entonces

w

r=

↵

�

K

L

Lc = Q

✓↵

�

r

w

◆�

Kc = Q

✓�

↵

w

r

◆↵

CT (Q) = w↵r�q

✓↵

�+

�

↵

◆

CTMe(Q) = w↵r�✓↵

�+

�

↵

◆

CMg(Q) = w↵r�✓↵

�+

�

↵

◆

Supongamos que el precio de los factores aumenta a w0 y r0 donde w0 = "w y r0 = "r, entonces tenemos

w0

r0=

w

r=

↵

�

K

L

(Lc)0 = Lc = Q

✓↵

�

r

w

◆�

(Kc)0 = Kc = Q

✓�

↵

w

r

◆↵

CT (Q)0 = "w↵r�q

✓↵

�+

�

↵

◆= "CT (Q)

CTMe(Q)0 = "w↵r�✓↵

�+

�

↵

◆= "CTMe(Q)

CMg(Q)0 = "w↵r�✓↵

�+

�

↵

◆= "CMg(Q)

Graficamente:

CT (Q⇤)

⇡

Q

CT (Q)

CTMe(Q⇤) = CMg(Q⇤)

CTMe(Q) = CMg(Q)

6

Si consideramos lo mismo pero para el corto plazo tendremos

Q = L↵K�

Lc =q

K�

CT (Q) = wq1/↵✓

1

K

◆�/↵

+ rK

CTMe(Q) = wq(1/↵)�1

✓1

K

◆�/↵

+rK

Q

CMg(Q) =1

↵wq(1/↵)�1

✓1

K

◆�/↵

Supongamos que el precio de los factores aumenta a w0 y r0 donde w0 = "w y r0 = "r, entonces tenemos

(Lc)0 = Lc =q

K�

CT (Q)0 = "wq1/↵✓

1

K

◆�/↵

+ "rK = "CT (Q)

CTMe(Q)0 = "wq(1/↵)�1

✓1

K

◆�/↵

+"rK

q= "CTMe(Q)

CMg(Q)0 ="

↵wq(1/↵)�1

✓1

K

◆�/↵

= "CMg(Q)

Graficamente:

Q

⇡CT (Q)0 CT (Q)

CTMe(Q)0CMg(Q)0

CMg(Q)

CTMe(Q)

4. Si una empresa tiene una funcion con retornos constantes a la escala entonces la curva de costos mediosde largo plazo sera constante, y el costo marginal sera igual al costo medio. Comente.

RespuestaVerdadero. Para fijar ideas supongamos que la funcion de produccion es una Cobb-Douglas, entonces si susretornos son constantes se cumplira que

↵+ � = 1

7

La condicion de optimo esw

r=

K

L

Ahora obtendremos las demandas condicionadas de factores:

Q = L↵K�

Q = L↵

✓wL

r

◆�

Q = L⇣wr

⌘�

LC = Q⇣ r

w

⌘�

Analogamente: KC = q⇣wr

⌘↵

Con esto obtenemos la funcion de costos:

C = wLC + rKC

C = wQ⇣ r

w

⌘�

+ rQ⇣wr

⌘↵

C = 2Q(w)↵(r)�

) C

Q= CMe =

2q(w)↵(r)�

Q= 2(w)↵(r)�

) @C

@Q= CMg = 2(w)↵(r)�

Como se puede ver en este procedimiento, cuando existen retornos constantes a escala, el costo medio esconstante (no depende de la cantidad) y es igual al costo marginal.

Esto se puede ver graficamente de la siguiente forma:

C

Q1 Q2

Q

Entre Q1 y Q2 existen retornos constantes a escala, en este tramo, los costos medios son constantes, esdecir al aumentar el tamano de la escala (cantidad) no aumentan los costos.

5. La oferta de la industria bajo competencia perfecta, es completamente inelastica, aun cuando el preciode los insumos utilizados en la industria puedan variar debido a una expansion de la produccion causadopor un incremento en la demanda del bien.

8

RespuestaFalso, porque la demanda de la industria en el largo plazo es infinitamente elastica, y esto ocurre aun cuandoel precio de los insumos varıe por la expansion en la demanda del bien.

Si lo vemos paso a paso, ocurre lo siguiente: Si el aumento de la demanda no incrementa los precios de losinsumos tenemos que este aumento en la demanda hace subir los precios, y por esta razon crea utilidadesen las empresas, por lo que otras empresas deciden entrar al mercado, por lo que aumenta la oferta llegandohasta el punto de beneficio cero, por lo tanto en el mercado se tranza una mayor cantidad pero al mismoprecio.

Y Y

B

E A

KX H

C G

I

J

D F

6. Si el costo medio variable es decreciente se debe a que en promedio producir unidades de un bien implicauna menor utilizacion del factor trabajo. Comente.

RespuestaComo el costo medio variable es inversamente porporcional a la productividad media, es decir,

CVMe =CV

Q=

wL

Q=

w

PMe

Entonces, si el costo medio variable es decreciente la productividad media es creciente, lo que nos indicaque se utiliza, en promedio, mejor el factor trabajo.

9

Q

L

PMg

PMe

CMgCMe

C

L

7. Si una empresa debe pagar una franquicia (impuesto anual), que es una cantidad fija e independientede lo que se produzca, entonces la relacion entre costo total medio y costo marginal se vera afectado,desplazando su interseccion hacıa la derecha. Comente.

RespuestaSabemos que en el corto plazo existira un costo fijo, el cual no dependen de las unidades del bien que seproduzcan, de manera que se debe cumplir que CT (q) = CF +CV (q), por lo que el costo total medio debecumplir con CTMe = CFMe + CVMe. De esta manera si los costos fijos aumentan en una cuantıa fija(digamos �), entonces el costo medio fijo aumenta proporcionalmente a las unidades que se producen, demanera que el nuevo costo tal medio serıa

CTMe = CFMe+�

Q+ CVMe

con lo cual la interaccion se mueve del punto A al punto B, con lo cual podemos concluir que a menos queel costo sea completamente inelastico, existe un desplazamiento a la derecha y hacia arriba.

C

Q

A

B

CMg

CTMe

CTMe+ �

Q

10

8. La maximizacion de beneficios en el corto plazo garantiza que la produccion siempre sera al menorcosto posible. Comente.

RespuestaNo necesariamente, ya que la maximizacion en el corto plazo se da cuando CMg = IMgP , lo cual puedeentregar beneficios posisitivos, tal y como se observa en la figura.

C

Q

B

A

CMgCTMe

P = IMg

Esta condicion de equilibrio se da en el punto A de la figura, donde el costo medio es mayor que al encontrarseen el punto B. Por lo que, no se asegura produccion a costo mınimo, a menos que

CVMe = CMg = IMg = P

en tal caso la firma obtendrıa beneficios nulos y posiblemente se encuentre en el mercado, bajo condicionesde largo plazo. Sin embargo, desde el punto de vista del largo plazo si se garantiza la minimizacion de loscostos, ya que la funcion de costo en largo plazo se define como la minimizacion en la combinacion linealen el pago de los factores a un nivel de produccion determinado.

9. La forma de las curvas de costos medio de largo plazo se debe a la existencia a que la tecnologıa presentarendimientos crecientes, constantes y decrecientes a la escala. Comente.

RespuestaLos tipos de rendimiento de escala pueden explicar la forma de la curva de costo y en base a esto determinarla curva de costo medio, sin embargo, no son las unicas causas que pueden determinar dicha curvatura,como por ejemplo, los cambios tecnologicos, cambios en las preferencias, etc.Por esta razon cuando se buscauna relacion entre costo y produccion hablamos de economıas y deseconomıas en la produccion.

C

Q

11

2. Preguntas Propuestas

1. En un proceso productivo, es posible tener un producto marginal decreciente en un factor y, aun ası,tener rendimientos crecientes crecientes de escala.

2. Una empresa siempre producira donde la productividad marginal este creciendo, dado que de esta formase asegurara de estar maximizando beneficios.

3. Una empresa cerrara, en el corto plazo, en el caso en el cual el precio de mercado de su producto seamenor que el costo fijo por unidad de producto, ya que en este caso esta sufriendo perdidas, mientrasque en el largo plazo lo harıa si el precio es menor al costo medio mınimo.

4. Como en el largo plazo las empresas en competencia perfecta tienen beneficios iguales a cero, entoncesestan indiferentes entre tener la empresa o no, ya que la finalidad de los hombres de negocios es ganardinero.

5. La funcion de costo me indica cuanto es el monto en dinero que me cuesta producir una cantidad dadacualquier combinacion de insumos.

6. La firma contratara un factor hasta el punto donde el valor producto marginal de contratar la ultimaunidad de ese factor sea igual al salario de mercado que le debe pagar a este.

7. Un economista es consultado acerca de la posible imposicion de un impuesto a las firmas productorasde autos. Este dice que lo mas conveniente es poner un impuesto a las utilidades pues de esta formano variara la produccion y no habra costos en terminos de eficiencia. Otro economista comenta que lomejor es un impuesto al precio de venta pues de esta forma no variara la contratacion de los factores.Comente. ¿Que podra fallar en la proposicion del primer economista?

8. La oferta de la firma sera la curva de costo marginal, ya que en este punto hace maximo su beneficio.

12

3. Ejercicios con respuesta

Problema 1. El rey del mote con huesillos utiliza mote (x1) y huesillos (x2) en su produccion. Se sabe quela funcion de produccion esta dada por

f(x1, x2) =px1 +

px2

el precio de x1 es w1, el de x2 es w2 y el producto que elabora se transa a un precio p.

1. Plantee y resuelva el problema de maximizacion de beneficios que resuelve la firma, si su variable dedecision es la cantidad de insumos a utilizar. Obtenga las demandas para cada factor.

RespuestaEl problema que enfrenta la firma, corresponde a la maximizacion de beneficios (la diferencia entre losingresos y costos totales percibidos por la firma):

maxx1,x2

⇡ = p · f(x1, x2)� w1x1 � w2x2

Las condiciones de primer orden corresponden a:

p · @f

@x1= w1

p · @f

@x2= w2

y sabemos que

@f

@x1=

1

2px1

@f

@x2=

1

2px2

Luego, resolviendo se obtiene que

p · 1

2px1

= x2

con lo cual las demandas de factores son:

x⇤1 =

✓p

2w1

◆2

x⇤2 =

✓p

2w2

◆2

2. Obtenga la funcion de oferta de la firma.

RespuestaLa funcion de oferta de la firma corresponde a la funcion de produccion, en donde se ha reemplazado lademanda por factores productivos. Esto es:

f(x⇤1, x

⇤2) =

p

2w1+

p

2w2

13

3. Determine la funcion de beneficios de la empresa.

RespuestaLa funcion de beneficios de una firma se obtiene sustituyendo la oferta de la firma y la demanda por factoresproductivos en la expresion para los beneficios:

⇡ = p ·✓

p

2w1+

p

2w2

◆� w1 ·

✓p

2w1

◆2

� w2 ·✓

p

2w2

◆2

=3(w1 + w2)p

2

8w1w2

4. A partir de la funcion de produccion, calcule la elasticidad de sustitucion.

RespuestaUna forma de calcular la elasticidad de sustitucion es mediante la igualdad

� = �d ln

⇣x2x1

⌘

d ln(TMSTx1,x2)

Entonces

� =d ln

⇣x2x1

⌘

d ln⇣p

x2px1

⌘ =d ln

⇣x2x1

⌘

d

✓ln⇣

x2x1

⌘0,5◆ =

d ln⇣

x2x1

⌘

d⇣

12 ln

⇣x2x1

⌘⌘ =1

2

d ln⇣

x2x1

⌘

d ln⇣

x2x1

⌘ = 2

5. Explique el resultado de la parte 4.

RespuestaComo � > 1 se tiene una gran facilidad de sustitucion entre factores. Esto es coherente con la forma funcionalde la tecnologıa, la cual se asemeja a la de perfectos sustitutos (de hecho es una funcion cuasilineal).

6. Determine los retornos a escala de la tecnologıa.

RespuestaUna forma es determinar el grado de homogeneidad de la funcion siempre y cuando la funcion sea homogenea.Es decir,

f(�x1,�x2) =p�x1) +

p�x2)

=p�(px1) +

px2))

=p�f(x1, x2)

entonces la tecnologıa es homogenea de grado menor a uno y en consecuencia presenta retornos decrecientesa escala.

7. Explique los resultados de la parte 6.

RespuestaSi los retornos son decrecientes a escala quiere decir que no es conveniente aumentar la intensidad deuso de todos los factores. En otras palabras, lo mas conveniente es determinar un plan de produccion quecontemple una escala pequena de produccion pues mientras mayor sea el nivel de produccion tenemos quelos rendimientos de los factores son crecientes a tasa decreciente.

14

Problema 2. Suponga que la tecnologıa accesible de la empresa RG y Asociados para producir el bien y

esta representada por la funcion de produccion y = 2x1/21 x

1/42 donde x1 y x2 indican, respectivamente, las

cantidades del factor 1 y factor 2 utilizadas en la produccion del bien x. Si en este mercado opera una empresacompetitiva:

1. Obtenga y represente graficamente la senda de expansion de la produccion de la empresa RG y Aso-ciados.

RespuestaDebemos plantear y resolver el problema de minimizacion de costos que corresponde a lo siguiente:

mınx1,x2

C = w1x1 + w2x2

s.a y = 2x1/21 x

1/42

Isocostos: C = w1x1 + w2x2

Pendiente de Isocostos:dx2

dx1

��C

= �w1

w2

TMST2,1 =dx2

dx1

��y

= �@y/@x1

@y/@x2= �PMg1

PMg2= � x

1/42 x

�1/21

12x

1/21 x

�3/42

TMST2,1 = �2x2

x1! Pendiente de la Isocuanta

|TMST2,1|@x1

< 0

Si igualamos las pendientes:

dx2

dx1

��C

=dx2

dx1

��y

) �w1

w2= �2x2

x1

) x2 =w1x1

2w2

Entonces la pendiente esdx2

dx1=

w1

2w2

x1

x2

x2 = w1x12w2

15

2. Determine las funciones de demanda condicionada de factores y la funcion de costes a lo largo plazode RG y Asociados. ¿Cual es la expresion de dicha funcion de costes si los precios de los factores son,respectivamente, w1 = 2 y w2 = 1?

RespuestaDel optimo calculado en (a) sabemos que:

w1

w2=

2x2

x1) x2 =

x1w1

2w2, x1 =

2x2w2

w1

Reemplazando en la restriccion (uno a la vez):

y = 2x1/21

✓x1w1

2w2

◆1/4

y

2= x

3/41

✓w1

2w2

◆1/4

xc

1 =

✓y

2

◆4/3 ✓2w2

w1

◆1/3

y = 2

✓2x2w2

w1

◆1/2

x1/42

y

2=

✓2w2

w1

◆1/2

x3/42

xc

2 =

✓y

2

◆4/3 ✓w1

2w2

◆2/3

Ahora si reemplazamos xc

1 y xc

2 en la funcion de costos:

C = w1x1 + w2x2

C = w1

✓y

2

◆4/3 ✓2w2

w1

◆1/3

+ w2

✓y

2

◆4/3 ✓w1

2w2

◆2/3

C =

✓y

2

◆4/3"(2w2)

1/3(w1)2/3 + (w1)

2/3

✓1

2

◆2/3

(w2)1/3

#

CLP =

✓y

2

◆4/3

(w1)2/3(w2)

1/3

"(2)1/3 +

✓1

2

◆2/3#

CLP =

✓y

2

◆4/3

(w1)2/3(w2)

1/3

"(2)1/3

(2)2/3

(2)2/3+

✓1

2

◆2/3#

CLP =

✓y

2

◆4/3

(w1)2/3(w2)

1/3

✓3

(2)2/3

◆

Como w1 = 2 y w2 = 1, entonces:

CLP (w1, w2, x) = cLP (x) = 3

✓x

2

◆4/3

Suponga que en el corto plazo RG y Asociados posee el factor x2 fijo en 16.

16

3. Determine las funciones de demanda condicionada de factores y la funcion de costes a corto plazo. ¿Cuales la expresion de dicha funcion de costes si los precios de los factores son, respectivamente, w1 = 2 yw2 = 1?

Respuesta

mınx1

C = w1x1 + 16w2

s.a y = 2x1/21 (16)1/4 = 4x

1/21

) y = 4x1/21

) xc

1 =

✓y

4

◆2

Entonces:

CCP (w1, w2, x) = w1xc

1 + 16w2

CCP (w1, w2, x) = w1

✓y

4

◆2

+ 16w2

Como w1 = 2 y w2 = 1, entonces:

CCP (w1, w2, x) =y2

8+ 16

Problema 3. Suponga que la empresa Aperezco D-C Ltda. produce frutillitas y opera en un mercadocompetitivo. Sus costes de produccion de corto plazo estan dados por la funcion C(y) = y3 � 6y2 +20y+50,siendo y su nivel de produccion.

1. Obtenga la curva de oferta a corto plazo de Aperezco.

Respuesta

maxy

B(y) = I(y)� C(y) = py � C(y)

Se calcula el costo marginal:

CMg =@C(y)

@y= 3y2 � 12y + 20

Se calcula el costo variable medio:

CVMe =y3 � 6y2 + 20y

y= y2 � 6y + 20

La produccion que minimiza el costo variable medio se obtiene:

@CVMe

@y= 0 ) @(y2 � 6y + 20)

@y= 2y � 6 = 0 ) y = 3

17

Por lo tanto el minimo de los costos variables medios es:

CVMemın = CVMe(y = 3) = 3 · 3� 6 · 3 + 20 = 11

Ademas la curva del coste marginal corta a la curva del coste medio variable en su mınimo:

CMg(y = 3) = 3 · 3 · 3� 12 · 3 + 20 = 11

Igualando el precio al coste marginal, se obtiene la cuerva inversa de oferta, que expresa el precio en funcionde la produccion:

p = 3y2 � 12y + 20 con y � 3

Despejamos la produccion en funcion del precio, obtenemos la oferta de la empresa, si:

ys(p) =

8<

:

0 si p < 11

12 +p144� 12(20� p)

6si p � 11

Luego obtenemos el costo medio de la empresa:

CMe =y3 � 6y2 + 20y + 50

y= y2 � 6y + 20 +

50

y

El nivel de produccion que minimiza el coste medio se obtiene, de la siguiente manera:

@CMe

@y= 2y � 6� 50

y2= 0 ) y = 4,33

Para el nivel de produccion y = 4,33 el coste medio mınimo y coincide con el coste marginal:

CMemın = CMe(y = 4,33) = 24,3 = CMg(y = 4,33)

Graficamente, la curva de oferta de la empresa coincide con el tramo de la curva de coste marginal quequeda por encima de la curva de coste variable medio.

P

Q

Oferta

3 4,33

CMg

CTMe

CVMe

24,3

11

18

2. Suponga que el precio del producto es P = 20. Calcule la produccion y el beneficio de equilibrio deAperezco.

RespuestaPara un p = 20, la cantidad ofrecida por la empresa competitiva sera:

ys(p = 20) =12 +

p144� 12(20� 20)

6= 4

El beneficio sera de:

B(y) = py � C(y) = 20(4)� (43 � 6(42) + 20(4) + 50) = �18

Como se pueden dar cuenta la empresa obtiene perdidas en el corto plazo porque los ingresos que obtieneno le permiten cubrir los costes totales. Sin embargo, la empresa no cerrara porque los ingresos obtenidossuperan a los costes variables. Los beneficios que obtiene produciendo cuatro unidades son superiores a losde no producir, ya que en este caso obtendrıa una perdida de cincuenta unidades.

Oferta

Perdida

P

Q

CMg

CTMe

CVMe

Problema 4. La recoleccion artesanal de almejas en la playa de Chigualoco solo requiere factor trabajo. Elnumero de almejas extraıdas por hora (Q) viene dada por:

Q = 100pL

Donde L corresponde al factor trabajo por hora.

1. Dibuje en un grafico la relacion entre Q y L.

Respuesta

Q = 100pL

Q

L

PMe = 100pL

Q

L

19

2. ¿Cual es la produccion media del trabajo en la playa de Chigualoco? Dibuje esta relacion y demuestreque la productividad marginal del trabajo disminuye cuando aumenta la utilizacion del factor trabajo.

RespuestaEl producto medio, correponde a la pendiente de la lınea trasada desde el origen a cualquier punto sobre lafuncion de produccion, lo cual correspnde a:

PMe =Q

L=

100pL

L=

100pL

De manera que el producto medio se representa como el grafico de la izquierda de la figura anterior.

3. Demuestre que la productividad marginal del trabajo en esta playa esta dado por:

PMgL =50pL

Dibuje esta relacion y demuestre que Productividad Marginal del Trabajo es menor que la ProductividadMedia del Trabajo, para todos los valores de L. Explique por que es ası.

RespuestaPara determinar el producto marginal con respecto al trabajo tenemos que:

PMgL =�Q

�L

=Q1 �Q0

L1 � L0

=100

pL1 � 100

pL0

(pL1 �

pL0)� (

pL1 +

pL0)

=100p

L1 +pL0

=100

2pL

=50pL

Es claro que la productividad marginal es menor que la productividad media, entonces dado que

PMg =50pL

<100pL

= PMeL

para todo L, entonces agregar un trabajador mas, en promedio se obtiene mayor produccion. Este fenomenopuede explicarse por la extension de la playa, ya que debido a esto la incorporacion de un trabajador mastiene un costo marginal muy bajos y no altera significativamente la productividad media de los demas.

Problema 5. Suponga que en un mercado competitivo la empresa Don Pacha produce un bien que tieneuna funcion costo total definida por C(Q) = 100 +Q2, donde Q es el nivel de produccion. El coste marginalde produccion es 2Q y el costo fijo es de $100. Por otro lado, se sabe que el precio del bien es de $60.

1. ¿Cuantas unidades debera producir esta empresa de manera tal que sus beneficios sean maximos?

RespuestaLa condicion de equilibrio para la maximizacion de los beneficios es costo marginal igual ingreso marginal.Sin embargo, como es una sola firma, el ingreso marginal debe ser igual al precio de mercado, por lo tanto,se debe cumplir que

CMg = IMg = P = 60

2Q = 60

Q⇤ = 30

20

2. Determine el nivel maximo de beneficio para esta empresa y represente graficamente el area comprendidapor este beneficio.

RespuestaSe sabe que el ingreso es P ·Q, mientras que la funcion de costo corresponde a C(Q) = 100+Q2. De estamanera el beneficio de la firma corresponde a

⇡(Q) = P ·Q� 100�Q2

De esta manera el beneficio maximo corresponde a piM

(Q = 30) = 800, el cual se encuentra en el areapintada de la figura.

⇡

Q

CMg

P = IMg = 60

CTMe

CVMe

P

33, 3

20

10 30

800

3. Determine el rango de precios para los cuales la empresa producira una cantidad positiva y ademasrepresente graficamente esta condicion.

RespuestaSuponiendo que esta firma considera estar en el mercado si sus beneficios resultan positivos, entonces, elrango de precios ira desde su beneficio igual a cero (es decir, CTMe = CMg = P ), a cualquier precio quele genere beneficio positivo. Por lo tanto, el rango de precios correspondera a P � 20.

Ahora, si suponemos que la firma producira hasta el punto en que puede cubrir sus costos fijos, con laesperanza de revertir esta condicion en el futuro, entonces el rango de precios sera P � 0.

4. Ejercicios Propuestos

1. Suponga una empresa que posee la siguiente funcion de produccion:

Y (L,K) = K1/3L2/3

Resuelva lo siguiente considerando como cierto: w = 25, r = 400 y la produccion deseada es de Y = 650.

a) Encuentre las funciones de demanda condicionada de factores; la funcion de costos en el largoplazo y la funcion de costo marginal.

b) Calcule y grafique el equilibrio.

Ahora asuma que se encuentra en el corto plazo, y que solo dispone de una cantidad fija de capitaligual a K = 250.

21

c) Encuentre la funcion de costos y la funcion de demanda condicionada de trabajo.

d) Calcule y grafique el equilibrio de corto plazo.

2. Considere una funcion de produccion de la forma:

Y (L,K) = mın

⇢K

↵;L

�

�

a) Encuentre, grafique y explique las funciones de productividad media y marginal, para uno de losfactores (el otro es analogo).

b) Encuentre las funciones de demandas condicionadas de factores.

c) Encuentre la funciones de costo; de costos medios y de costos marginales.

3. Suponga que la empresa Intro a Micro S.A tiene la siguiene funcion de produccion:

Y = K1/2L1/2

Donde Y es el producto, K el stock de capital y L la mano de obra. Suponga que el trabajo recibe unsalario w y el capital un salario r.

a) Calcule las demandas condicionadas.

b) Obtenga la funcion de costos.

c) Obtenga de la funcion de costos anterior, las demandas condicionadas para esta firma.

d) Obtenga la funcion de produccion dadas las demandas encontradas en el punto anterior.

e) Obtenga las curvas de costo marginal y medio. ¿Que caracterısticas poseen estas?

4. Suponga que la empresa de calcetines PT posee la siguiente funcion de produccion:

Y = K1/4L1/4

El salario del trabajo (L), viene dado por w y el del capital (K) viene dado por r.

a) Plantee el problema de optimizacion al que se ve enfrentada la firma.

b) Obtenga las demandas derivadas por los factores trabajo y capital.

c) Muestre que ante un aumento tanto de los salarios como del precio al que se vende el productoestas demandas no variaran.

5. Suponga la siguiente funcion de costos para la empresa Fideos Biancini:

CT = 150 + 8x+ 3x2

a) ¿A que nivel de produccion el costo medio variable es igual al costo marginal?

b) Si el precio de mercado es 10, ¿Cuanto produce?, ¿Por que no produce al costo medio mınimo?

22

6. Suponga que la empresa Fumarola S.A posee la siguiente funcion de produccion:

y = mın{↵L;�K} (1)

Donde L es el trabajo y K el capital y los precios de los factores son w y r respectivamente.

a) Grafique la funcion de produccion.

b) Encuentre las demandas condicionadas por cada factor.

c) Encuentre la funcion de costos.

d) Para fijar ideas suponga que ↵ = 20 y � = 1. En base a estos parametros explique cual es laproporcion optima de factores y porque las funciones de mınimos se conocen como tecnologıas deproporciones fijas.

7. Considere la siguiente funcion de produccion:

y = ↵L+ �K

a) Grafique la funcion de produccion.

b) Encuentre las demandas condicionadas por cada factor.

c) Encuentre la funcion de costos.

23




Guıa Para el Control 4

Ayudantes: Adolfo Fuentes, Alejandra Jauregui, Rodrigo Garay, Marıa Jose Perez y Mauricio Vargas

4 de noviembre de 2011

1. Preguntas con Respuesta

(a) Si la produccion de un bien tiene una externalidad negativa, entonces la existencia de un monopolio nospermite llegar a una solucion mas parecida al optimo social, que cuando la comparamos con la solucionde competencia perfecta. Comente.

Respuesta

Verdadero, porque cuando existe una externalidad negativa a la produccion, el optimo social sera con una

menor cantidad a ala que determinarıa el mercado de manera competitiva. Y si comparamos la solucion del

monopolio (solo en terminaos de cantidad) con la del mercado competitivo, vemos que el primero produce

una menor cantidad.

Q

⇤Q

EQ

Q

P

P

Q

M

Q

EQ

Q

(b) El monopolio ofrecera una menor cantidad que una empresa en competencia perfecta, siempre y cuandoel numero de empresas que funcionen en esta industria sea grande, pero si el numero de empresas es

1

pequeno, el monopolio podrıa ser ofrecer una mayor cantidad que esta empresa en competencia perfecta.Comente.

Respuesta

Falso, porque aunque el numero de empresas sea pequeno, tenemos que tener en cuenta que por supuesto de

competencia perfecta las empresas producen lo mismo (es decir, son iguales), entonces como el monopolio

produce donde costo marginal es igual al costo marginal, la cantidad monopolica sera mayor a lo que producirıa

la competencia perfecta.

P

Q

M

Q

EQ

Q

En el grafico la cantidad de mercado es la cantidad que produce todo el mercado, entonces para poder calcular

cuanto produce cada empresa, tenemos que dividir esta cantidad por la cantidad de empresas.

Cantidad que produce una empresa =q

eq

n

Este numero sera a lo sumo igual a q

M

(en el caso de que el mercado se componga de dos empresas que se

comporten como competencia perfecta y tengan demanda lineal), en otro caso siempre sera menor.

(c) Es facil ver que en el corto plazo la oferta agregada de una industria competitiva es la suma horizontalde los costos marginales individuales de cada firma, mientras que en el monopolio corresponde a la unicacurva de costo marginal existente. Comente.

Respuesta

Verdadero. Cuando la industria cuenta con mas de una firma y estas actuan competitivamente la curva de

oferta sera la suma horizontal de los costos marginales en el corto plazo, tal y como se muestra en la figura.

Cmg1

Cmg2

PCmg

P

Q1

P

P

Q2 Q

2

Sin embargo, en el caso de que exista una unica firma no se puede definir una oferta agregada, solo se pueden

establecer las coordenadas en funcion de aquellas que resultan de la interseccion entre ingreso y costo marginal,

tal y como se observa en la figura 1b, aunque cuando se compara la condicion de monopolio con competencia

se utiliza como referencia la curva de costo marginal unica del monopolio.

P

Q

P

M

P

C

Cmg

(d) Suponiendo que todas las empresas de una industria competitiva tienen niveles de produccion en los queel precio es igual al costo marginal a largo plazo, entonces esta industria se encuentra necesariamente enequilibrio. Comente.

Respuesta

Incierto. Depende de si el punto de interseccion entre costo e ingreso marginal coincide con el de costo

medio menor, de lo contrario la firma presentarıa beneficios economicos positivos, tal y como se observa en la

figura, lo cual provocara que ingresen nuevas firmas y posiblemente en el largo plazo este beneficio economico

sera igual a cero.

C

Q

Cmg CTme

A

B

P = Img

(e) En el largo plazo la pendiente de la oferta agregada de una industria puede tener pendiente negativa,lo cual se conoce o denomina economıa pecuniaria (tambien es posible definirla como una externalidadpositiva en el mercado de los factores). Comente.

3

Respuesta

Verdadero. En aquellas economıas pecuniarias o que presentan economıas de escala (curvas de costo decrecien-

te), el aumento de la demanda hace que la produccion de la industria aumente, y en la medida que aumente la

industria, esta puede aprovechar su tamano para conseguir algunos factores a un precio mas bajo (externalidad

positiva en el mercado de los factores), razon por la cual sus costos medios y marginales disminuiran, ası que

en el largo plazo se producira mas a un precio menor.

(f) El monopolio discriminador perfecto le quita todo el excedente al consumidor, pero aun ası es eficientedesde el punto de vista de la asignacion de los recursos de la sociedad. Comente.

Respuesta

La curva de ingreso marginal de un monopolio perfectamente discriminador es exactamente igual a la curva de

demanda ya que puede discriminar perfectamente por lo que el precio y el ingreso marginal son exactamente

iguales, tal como ocurre en el caso de la competencia perfecta (ver figura), Lo mejor que pude hacer la

empresa es producir Q

⇤unidades y vender cada una al maximo precio que este dispuesto a pagar cada uno

de los compradores.

Q

⇤

Ime = Dda

CTMe

Cmg

⇡

P

Q

(g) Los monopolios ademas de cobrar mas caro y producir menos, contratan menos factores productivos, porejemplo, trabajadores. Comente.

Respuesta

No necesariamente se cumple esta condicion, en la mayorıa de los casos los monopolios presentan perdida

de eficiencia (ver figura), sin embargo, existen algunos casos particulares como los monopolios naturales, los

cuales poseen en su mayorıa una estructura de costo decreciente, tal y como se puede ver en la figura, bajo

la cual una sola empresa produce mas a un costo menor, ya que, si entrara una nueva firma y compitieran los

costo medios aumentarıan.

Q

M

Q

P P

Img

Ime

P

M

Cmg

Cmg

Cme

Q0Q0

2

Cme(Q0)

Cme

⇣Q0

2

⌘

4

2. Preguntas Propuestas

(a) El proceso de optimizacion del monopolio es exactamente el mismo que el de la firma de competenciaperfecta, la unica diferencia radica en que el primero posee control sobre el precio.

(b) Un monopolio es discriminador perfecto es eficiente. Comente.

(c) Un monopolio no es deseable en la economıa porque este le quita todo el excedente al consumidor.Comente.

(d) En un monopolio multiplanta (una empresa que posee mas de una fabrica para producir) siempre lesera mas conveniente producir toda la produccion deseada en la planta con menores costos, y no utilizarlas otras. Comente.

(e) Un monopolio nunca le sera conveniente producir la cantidad que se produce en competencia perfecta,pues si lo hace no estarıa maximizando sus beneficios. Comente.

(f) Un monopolio discriminador (no perfecto) pierde todo su poder monopolico si existe la posibilidad dearbitraje entre mercados. Comente.

5

3. Ejercicios con respuesta

(a) Imagine que existe una empresa monopolica que tiene la siguiente funcion de produccion:

q(L,K) = 8L1/6K

1/6 (1)

Ademas se conoce la funcion de demanda del mercado y la funcion de ingreso marginal.

Demanda: q =3000000

q

(2)

Ingreso Marginal: =1000000

q

(3)

a) Encuentre las demandas condicionadas de factores y grafique el equilibrio considerando que w = 25y r = 16.

Respuesta

L = wL+ rK + �

hq � 8L1/6

K

1/6i

) @L@L

= 0 , w � �

8

6L

�5/6K

1/6 = 0

) @L@K

= 0 , r � �

8

6L

1/6K

�5/6 = 0

) @L@�

= 0 , q � 8L1/6K

1/6 = 0

Condicion de optimo :w

r

=K

L

Ahora obtendremos las demandas condicionadas de factores:

q = 8L1/6K

1/6

q = L

1/6

✓wL

r

◆1/6

q = L

1/3⇣w

r

⌘1/6

L

1/3 = q

⇣r

w

⌘1/6

L

C =⇣q

8

⌘3 ⇣r

w

⌘1/2

Analogamente: K

C =⇣q

8

⌘3 ⇣w

r

⌘1/2

L

⇤ =⇣q

8

⌘3✓16

25

◆1/2

= 1,25⇣q

8

⌘3

K

⇤ =⇣q

8

⌘3✓25

16

◆1/2

= 0,8⇣q

8

⌘3

6

Q

L

⇤L

K

K

⇤

b) Encuentre la funcion de costos de esta empresa.

Respuesta

C = wL

C + rK

C

C = w

⇣q

8

⌘3 ⇣r

w

⌘1/2+ r

⇣q

8

⌘3 ⇣w

r

⌘1/2

C = 2⇣q

8

⌘3(wr)1/2

c) Encuentre la funcion de costo marginal de la empresa.

Respuesta

C = 2⇣q

8

⌘3(wr)1/2

�@

@q

CMg = 3 · 2✓1

8

◆3

q

2(wr)1/2

CMg = 6

✓1

8

◆3

q

2(wr)1/2

d) Encuentre y grafique el equilibrio monopolico.

Respuesta

La cantidad monopolica se encuentra cuando el ingreso marginal es igual al costo marginal.

IMg = CMg

1000000

q

= 6

✓1

8

◆3

q

2(wr)1/2

) q

3 =1000000

6(wr)1/283

) q = 3

s1000000

6(wr)1/283

7

Reemplazando los valores de r y w

) q = 162,19

Para saber cuanto es el precio debemos reemplazar esta cantidad en la demanda:

P =3000000

162,19

) P = 18496,6

Img

Dda

Q

P

Cmg

e) Calcule y grafique la utilidad del monopolio.

Respuesta

Para poder calcular la utilidad necesitamos la curva de costos medios, esta la podemos obtener dividiendo

la funcion de costos por la cantidad.

C = 2⇣q

8

⌘3(wr)1/2

�1

q

CMe = 2

✓1

8

◆3

q

2(wr)1/2

Img

Dda

Q

P

Cmg

Cme

⇡

8

Para encontrar el punto en el grafico, evaluamos la cantidad en el costo medio.

⇡ = (18496,6� 2055,17) · 162,19⇡ = 2666666.6

f ) Calcule y grafique la perdida social (para facilitar el calculo considere las curvas de demanda y decosto marginal como lıneas rectas).

Respuesta

El triangulo indicado en el grafico es la perdida social que produce el monopolio, esta ocurre porque existen

transacciones que no se realizan cuyo costo es menor al beneficio que producen en los consumidores.

Para calcularla, necesitamos saber cuanto es la cantidad que se producirıa en competencia perfecta, para

esto debemos igualar la curva de demanda con la de costo marginal que funciona como oferta, entonces

Dda = CMg

3000000

q

= 6

✓1

8

◆3

q

2(wr)1/2

) q

3 =3000000

6(wr)1/283

) q = 3

s3000000

6(wr)1/283

) q

⇤ = 233,92

Entonces la perdida social es:

PS =(18496,6� 6165,53) · (233,92� 162,19)

2PS = 442229,57

Img

Dda

Q

P

Cmg

Cme

⇡

PS

(b) Supongamos que la curva de demanda de algun bien es lineal (a y b son constantes positivas)

Q = a� bP (4)

9

a) Describa como depende el precio de la cantidad producida.

Respuesta

Si despejamos el precio en funcion de la cantidad obtenemos:

P =1

b

a� 1

b

Q

Dado que a y b son valores positivos, se puede deducir que el precio depende negativamente de la

cantidad producida.

b) ¿Cual es la relacion entre el ingreso y la cantidad producida?

Respuesta

La relacion viene dada por:

Ingreso(Q) = P ·Q

Ingreso(Q) =

✓1

b

a� 1

b

Q

◆Q

Ingreso(Q) =1

b

aQ� 1

b

Q

2

c) Supongamos que la produccion aumenta ligeramente desde Q hasta (Q + DQ), donde DQ es unnumero infinitesimalmente pequeno. ¿Que le ocurre al ingreso?

Respuesta

@Ingreso(Q)

@Q

=1

b

a� 2

b

Q

El ingreso disminuye en

2b

por cada unidad adicional.

d) Muestre que la expresion del ingreso marginal puede expresarse como: IMg = 2P � a

b

.

Respuesta

Reemplazando Q = a� bP en la ecuacion de ingreso marginal.

IMg =@Ingreso

@Q

IMg =1

b

a� 2

b

(a� bp)

IMg =1

b

a� 2

b

a+2

b

bP

IMg = 2P � a

b

e) Supongamos que b = 1 y a = 100. Trace las curvas de demanda y de ingreso marginal.

Respuesta

Dda : = 100�Q

IMg = 100� 2Q

Graficamente:

10

50

Q

P

100

100

Img Dda

f ) Si el costo marginal es 10 pesos, ¿cual es el precio competitivo de equilibrio y el precio de monopolio?

Respuesta

En competencia: P = CMg, tomando en cuenta los datos entregados en (e)

P = 100�Q = 10

Q

⇤ = 90

P

⇤ = 100� 90 = 10

Mientras que en el monopolio: IMg = CMg

IMg = 100� 2Q = 10

Q

⇤ = 45

P

⇤ = 100� 45 = 55

g) Si se exige al productor el pago de un impuesto de 10 pesos por unidad de producto producida,¿que le sucede al precio en el caso de un monopolio? ¿Y en competencia perfecta?

Respuesta

El calculo de los nuevos precios y cantidades de equilibrio es analogo a un aumento de 10 pesos en el

costo marginal. Por lo tanto en competencia:

Q

P

Dda

Cmg

P

N

= P

P

P

B

= P

C

11

P = CMg

P = 100�Q = 20

Q

⇤ = 80

P

prod

= 10

P

cons

= 100� 80 = 20

Como se puede observar al ser la oferta completamente elastica toda la carga del impuesto recae sobre

el consumidor.

En el caso del monopolio analizaremos desde la perspectiva de un desplazamiento hacia adentro en 10,

tanto de la demanda como del ingreso marginal.

Q

P

Dda

Cmg

P

N

= P

P

P

B

= P

C

Img

IMg = 100� 2Q� 10 = 10

Q

⇤ = 40

P

prod

= 100� 40� 10 = 50

P

cons

= 100� 40 = 60

Como se puede observar en este ultimo caso, aun siendo la oferta completamente elastica, el costo del

impuesto recae tanto para el consumidor como para el productor.

(c) Suponga que se encuentra en un pueblo donde existe una unica panaderıa, esta firma enfrenta unademanda definida por la curva P = Q�100. Si la funcion de costo de esta panaderıa es CT (Q) = Q

2+16.

a) Encuentre la funcion de costo e ingreso marginal de este monopolista y representelas en un grafico.

Respuesta

Las funciones de ingreso y costo marginal, corresponden a:

IMg = 100� 2Q

CMg = 2Q

12

Las cuales se representan graficamente como:

Q

P

Cmg = 2Q

CTme

100� 2Q

P = 100�Q

b) Encuentre la cantidad de pan que producira esta panaderıa monopolica y el precio al que lo vendera.

Respuesta

Si igualamos el costo marginal y el ingreso marginal se obtiene la cantidad que producira el monopolio.

IMg = CMg

100� 2Q = 2Q

Q

M

= 25

Por lo tanto, el precio que cobrara el monopolista corresponde a esta cantidad que producira en la curva

de demanda, es decir,

P (QM

) = 100�Q

M

P

M

= 75

c) Encuentre el beneficio maximo que obtendrıa este monopolio y representelo graficamente.

Respuesta

El beneficio maximo que obtendra este monopolista corresponde a:

⇡

M

= P

M

·QM

� CT (QM

) = 1234

Monto que se puede ver representado por el rectangulo pintado de la figura

13

Q

P

Cmg

Cmg = 2Q

CTme

Img Ime

25

25, 64

75

(d) Suponga que un monopolio posee dos plantas, la primera planta cuenta con una funcion de costo iguala CT (q1) = q

21 + 2q1, mientras que la segunda planta tiene una funcion de costo de la forma CT (q2) =

q

22 + 6q2. Si este monopolio enfrenta una demanda definida por P = 34�Q.

a) Determine la cantidad que producira este monopolio de manera que maximice su beneficio y comodistribuira esta produccion entre ambas plantas. Ademas represente graficamente esta situacion.

Respuesta

Condicion de equilibrio para un monopolio que posee dos plantas es CMg1 = CMg2 = IMg, lo cual se

representa por medio del siguiente sistema de ecuaciones.

2q1 + 2 = 34� 2(q1 + q2)

2q2 + 6 = 34� 2(q1 + q2)

Del cual se obtiene que q1 = 6, q2 = 4 y Q = 10, lo cual se representa en la figura.

Cmg1 Cmg2

PCmg

P

Q16

2

24

Q2 Q4

Img

P P

6

b) Determine el beneficio maximo que obtiene este monopolista en cada planta y representelo grafica-mente.

Respuesta

El beneficio que obtiene este monopolista en cada planta corresponde a:

⇡

M

1 = P

M

q

M

1 � CT (qM1 ) = (PM

� CTMe(qM1 )) · qM1 = (24� 8) · 6 = 96

⇡

M

2 = P

M

q

M

2 � CT (qM2 ) = (PM

� CTMe(qM2 )) · qM2 = (24� 10) · 4 = 56

14

Estos beneficios se puede apreciar en la figura.

P

Cmg1

Cme1

24

6 Q1

P

Cmg2

Cme2

4 Q2

8

6

10

6

15

4. Ejercicios Propuestos

(a) Considere una empresa monopolica que enfrenta la siguiente demanda y tiene una estructura de costoscomo sigue:

Demanda : P = 100� q (5)

CT (q) = 20q +q

2

2(6)

a) Encuentre y grafique: el equilibrio monopolico, los beneficios y la perdida social que produce.

Ahora imagine que este monopolio posee otra planta para producir (ademas de la que ya tiene),cuya estructura de costos es:

CT2(q) = 30q +q

2

2(7)

b) Encuentre el equilibrio del (ahora) monopolio multiplanta.

(b) Imagine que existe un monopolio que es capaz de discriminar entre mercados, si la estructura de costosy las demandas de los mercados son:

Demanda 1 : P1 = 120� 2q1 (8)

Demanda 2 : P2 = 100� 3q2 (9)

CT (q) = 200 + 50q (10)

a) Encuentre el equilibrio del monopolio discriminador.

(c) Suponga una empresa que actua como monopolio pero se enfrenta a un precio fijo del unico factor quecontrata, que es trabajo.

a) Plantee el problema de optimizacion de la empresa.

b) Obtenga una condicion que determine implıcitamente la demanda por trabajo.

c) En que caso esta condicion es igual a la situacion en que la empresa actua bajo competencia perfecta.¿Como interpretarıa esta condicion? Grafique.

(d) Suponga ahora que la misma empresa anterior se enfrenta a que la contratacion de empleados modificael salario de mercado de estos.

a) Plantee el problema de optimizacion de la empresa.

b) Obtenga una condicion que determine implıcitamente la demanda por trabajo.

c) En que caso esta condicion es igual a la situacion en que la empresa y el mercado laboral actuanbajo competencia perfecta. ¿Como interpretarıa esta condicion? Grafique.

16

Pautas de Guías (Introducción a la Microeconomía - UChile)

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