Pautas de Controles (Introducción a la Microeconomía - UChile)

Universidad de Chile

Facultad de Economıa y Negocios ¡folio¿

Introduccion a la Microeconomıa

Profesor: Christian Belmar

Ayudantes: Adolfo Fuentes, Rodrigo Garay, Alejandra Jauregui, Marıa Jose Perez y Mauricio Vargas

Control 1

Primavera 2011

Preguntas Cortas (50 puntos)

1. (10 puntos) Suponga que en Chile la inflacion es de un 3% anual y los salarios aumentan en un 2% por

ano. Entonces, los habitantes de Chile enfrentan un cambio en los precios relativos y sus posibilidades

de consumo se mantienen. Comente.

Respuesta

Verdadero. Efectivamente los habitantes enfrentan un cambio en los precios debido a la inflacion. los preciosrelativos, digamos de los bienes x e y, no cambian porque ambos aumentan en la misma proporcion. La rectapresupuestaria aumenta en menor proporcion. Luego, las posibilidades de consumo disminuyen.

2. (10 puntos) En el modelo de la telarana siempre se converge a un equilibrio estable. Es mas, cuando

estamos lejos de la cantidad de equilibrio las fuerzas del mercado hacen que rapidamente la cantidad

se vaya acercando progresivamente hasta el valor que toma en la interseccion de las curvas de oferta y

demanda.

Respuesta

Falso. La convergencia del proceso no tiene que ver con cuan lejos o cerca nos encontremos del punto deequilibrio, tiene que ver con la elasticidad de las curvas de oferta y demanda.En caso de que la curva de demanda sea mas elastica que la curva de oferta, el proceso sera convergente.Por el contrario, si la curva de oferta es mas elastica que la curva de demanda, el proceso sera divergente. Sila curva de oferta fuera mas elastica el cambio en los precios serıa explosivo.Por otra parte, podemos senalar que en un proceso convergente los precios del periodo n se basan en losprecios del periodo n� 1.

P (Q)

Q

P (Q)

Q

Proceso convergente Proceso divergente

3. (10 puntos) El famoso ıdolo y periodista estrella Juan Carlos Bodoque afirmo recientemente en 31

Minutos: “La industria de la celulosa ha contribuido a la deforestacion. No debemos pensar que aplicar un

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impuesto a estas empresas sera lo mas eficiente, pues todo depende de lo que entendamos por eficiencia”.

Comente

Respuesta

Depende de lo que entendamos por eficiencia. Desde un punto de vista ecologico claramente aplicar el impuestoes lo mejor que se puede hacer si no fuera posible cambiar la tecnologıa de la industria. Desde un punto devista economico tenemos dos criterios: Privado y Social. El criterio privado concluye que el impuesto generauna perdida de eficiencia economica porque se dejan de producir unidades que son valoradas en el mercado.El criterio social nos dice que la situacion eficiente conduce a Cma(S) = Cma(P ) y esto se logra aplicandoel impuesto.

4. (10 puntos) “El interes del productor debe ser atendido solo tanto como sea necesario para promover el

del consumidor.” Adam Smith, 1774

Explique porque el autor estarıa considerando o dejando de lado el concepto de externalidad. ¿Se de-

be aceptar cualquier proceso productivo por el hecho de que satisface la demanda? ¿Los deseos del

consumidor se deben cumplir siempre?.

Respuesta

No necesariamente. La frase alude al hecho de que, segun la teorıa clasica, los mercados funcionan perfec-tamente. En la practica sabemos que eso no es ası y que el consumo de determinados productos generaexternalidades (por ejemplo: comida chatarra, drogas, alcohol en exceso, etc). Pese a que un grupo de con-sumidores demande ciertas cosas, muchas veces estas preferencias afectan a los demas y un ejemplo claro escuando alguien fuma en un lugar cerrado y molesta a los demas. Tambien existe una fuerte componente eticadetras de la pregunta ¿que producir? y muchas veces limitarnos a un enfoque de mercado supone ignorargrandes problemas respecto de los efectos perjudiciales de ciertas cosas que afectan a los demas y a los propiosconsumidores. De todas formas, la respuesta a esta pregunta es bastante abierta pero la externalidad es elconcepto que la relaciona con lo visto en clases.

5. (10 puntos) La asignacion resultante producto de participar en un mercado, trae como resultado la mejor

distribucion de los excedentes tanto de los consumidores como productores.

Respuesta

Incierto. El mercado es eficiente para asignar recursos pero esta eficiencia no siempre conduce a la mejorasignacion posible. En caso de que existan externalidades aparece una falla de mercado asociada a efectosanexos ligados al consumo o a la produccion y en tales casos el mercado es ineficiente.

6. (10 puntos) Un subsidio a la produccion de un bien exportable garantiza un mayor nivel de bienestar

para los productores.

Respuesta

Verdadero. Al subsidiar las exportaciones se tendra que el excedente del productor aumenta pues la medidatiene un efecto similar al de que pudieran reducir sus costos. El excedente del consumidor al menos se mantieneigual porque para las exportaciones existe un precio internacional que no se ve afectado.

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Aplicacion de los contenidos (10 puntos)

La siguiente noticia aparecio en el sitio web de radio Bıo-Bıo:

Sony realiza fuerte baja de precios a su consola PS3 en Chile

Jueves 18 agosto 2011 — 14:26

Una fuerte baja en los precios de su consola PlayStation 3 anuncio Sony en todo el mundo, los que cobraran

vigencia desde este 18 de agosto.

La apuesta de Sony se hace frente a la Wii de Nintendo y el Kinect de Microsoft.

De hecho, Sony sigue los movimientos de Nintendo, que la semana pasada rebajo drasticamente el precio de

su consola portatil 3DS, luego de varios meses con ventas muy por debajo de lo esperado.

Los precios en el mercado nacional descenderan de la siguiente forma:

PS3 160GB: baja de $249.990 a $199.990

PS3 320GB: baja de $289.990 a $239.990

PS3 320GB + Accesorios: baja de $299.990 a $249.990

En base a la noticia, conteste lo siguiente:

1. (5 puntos) ¿Se puede afirmar que la baja de precio se debe a que Sony habıa determinado un precio por

sobre el precio de equilibrio?. En el caso que esto no fuera cierto y que estuvieramos en una situacion de

equilibrio antes de cambiar los precios ¿Podrıa haber un eventual exceso de demanda tal que los precios

volveran a subir?.

Respuesta

No necesariamente. Sin embargo, perfectamente puede darse el caso de que el precio de equilibrio este pordebajo del precio que habıan fijado anteriormente. En este caso la empresa Sony es la unica que ofrece losPlay Station 3 por lo que tiene poder sobre los precios y de esta forma puede fijar precios mas altos que losde equilibrio. Por otra parte, si han bajado sus precios puede ser que busquen competir con Nintendo ya queambas apuntan al mercado de los videojuegos.Si antes de cambiar los precios estabamos en una situacion de equilibrio, efectivamente es de esperarse queaumente la cantidad demandada tras bajar los precios y esto supone un exceso de demanda.Tenemos que la funcion de exceso de demanda corresponde a:

g(Q) = D(Q)� S(Q)

y la funcion de exceso de oferta quedarıa de la forma:

h(Q) = S(Q)�D(Q)

de esta forma un exceso de oferta positivo es lo mismo que un exceso de demanda negativo.La funcion de exceso de demanda resultarıa en el siguiente grafico:

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P

Q

QS

P

QD

Q0 ED > 0ED < 0

g(Q)

y la funcion de exceso de oferta resultarıa en el siguiente grafico:

P

Q

QS

P

QD

Q0 EO > 0EO < 0

h(Q)

En caso de que no haya exceso de demanda tampoco habra exceso de oferta lo cual serıa el caso en que elprecio antes del ajuste fuera de equilibrio. En caso de que el precio antes del ajuste estuviera por sobre elprecio de equilibrio tendrıamos que EO > 0 y ED < 0.

2. (5 puntos) Suponga que los llamados “piratas” logran descifrar todos los secretos de la Play Station 3

y deciden fabricar versiones piratas de la consola pero que funcionan igual de bien que las originales.

¿Esperarıa que los precios bajaran? ¿Que podrıa decir respecto de la entrada de nuevas firmas que venden

Play Station 3? ¿Bajo que condiciones esto podrıa llevarnos a un escenario similar a la competencia

perfecta?.

Respuesta

En caso de que entraran nuevas firmas es de esperarse que los precios bajen ya que de esta forma habrıa mascompetencia salvo en casos como el de colusion. Si entraran muchas firmas a la industria de los Play Station3 tendrıamos que efectivamente habra mas competencia y los precios serıan mas bajos porque ante la entradade muchas firmas es mas difıcil que estas se pongan de acuerdo para fijar precios y se coludan.En caso de que los piratas dejaran a disposicion del publico los secretos de la Play Station 3 serıa mas facil laentrada de nuevas firmas. Para que esta industria funcione de manera similar a un escenario de competenciaperfecta no deben haber barreras para la entrada o salida de nuevas firmas, ninguna firma debe tener incidenciao poder sobre los precios y el numero de firmas en esta industria debe ser muy grande o tendiendo a infinito.

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Matematico 1 (20 puntos)

En la ciudad de Concepcion la curva de oferta de Acero Inoxidable es

QS=

3P

4

(1)

Se sabe ademas que la curva de demanda por Acero Inoxidable es

QD= 35� P (2)

En base a estos datos:

(a.) (5 puntos) Determine la disposicion a pagar por 10 unidades de Acero Inoxidable por parte de los con-

sumidores y, aparte de lo anterior, determine la cantidad que estan dispuestos a ofrecer los productores

si el precio de mercado es $15.

Respuesta

Disposicion a pagar por 10 unidades:

QD= 35� P

10 = 35� P ) P = 25

Cantidad demandada cuando el precio es $15:

P =

4Q

3

) Q =

15 · 34

= 11, 25

(b.) (5 puntos) Determine el equilibrio de mercado. Grafique las curvas de oferta y demanda indicando los

valores de los ejes en los interceptos y en el punto de equilibrio.

Respuesta

Tomamos QS= QD, luego

3P

4

= 35� P

3P = 140� 4P

7P = 140

P = 20 ) Q = 35� P = 15

Grafico del equilibrio

P (Q)

Q

P =

4Q3

35

35

P = 35�Q

15

20

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(c.) (5 puntos) Calcule la elasticidad precio en el punto de equilibrio de las curvas de oferta y demanda

respectivamente. Explique: ¿Las elasticidades son constantes? ¿De que dependen?

Respuesta

La elasticidad corresponde a lo siguiente:

" =�Q

�P· PQ

Elasticidad precio de la oferta:

" =Q

2

�Q1

P2

� P1

· 2015

=

30� 0

40� 0

· 2015

= 1

Elasticidad precio de la demanda:

" =Q

2

�Q1

P2

� P1

· 2015

=

35� 0

0� 35

· 2015

= �1, ¯3

Las elasticidades no son constantes para el caso del ejercicio, dependen del punto en que se evalue, proejemplo en la demanda existe un parte con " ! 1 y otra con " ! 0 y otra con " = 1. Graficamente

P (Q)

Q

" = 1

" ! 1

" ! 0

Las elasticidades serian constantes en el caso de una funcion totalmente elastica o totalmente inelastica.

Finalmente, la elasticidad depende de la pendiente de la funcion. Elasticidad y pendiente no son lo mismo.

(d.) (5 puntos) Calcule el excedente del productor y del consumidor respectivamente.

Respuesta

Excedente del consumidor

EC =

(35� 20) · 152

= 112, 5

Excedente del productor

EP =

20 · 152

= 150

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Matematico 2 (20 puntos)

Considere que en la ciudad de Buenos Aires la curva de demanda por CD’s de Tango esta dada por

QD= 1000� 3P (3)

Se sabe ademas que la curva de oferta por CD’s de Tango esta dada por

QS=

P � 50

3

(4)

En base a estos datos:

(a.) (5 puntos) Determine el equilibrio de mercado. Grafique las curvas de oferta y demanda indicando los

valores de los ejes en los interceptos y en el punto de equilibrio.

Respuesta

Aplicamos la condicion QS= QD, luego

1000� 3P =

P � 50

3

3000� 9P = P � 50

3050 = 10P

P = 305 ) Q = 85

Para graficar debemos obtener los valores extremos de las funciones de oferta y demanda.Para la funcion de demanda:

Q = 0 ) P = 333, ¯3 Q = 1000 ) P = 0

Para la funcion de oferta:Q = 0 ) P = 0 Q = 150 ) P = 500

P (Q)

Q

P = 3Q+ 50

333, 3

P (Q) =

1000�Q3

85

305

1000

(b.) (5 puntos) El gobierno de la Senora K decide aplicar un subsidio a los CD’s de tango para promover la

cultura y se acuerda que el subsidio sera de S = 50 a los consumidores. Calcule: El equilibrio despues

de aplicar el subsidio, excedente del productor, excedente del consumidor, desembolso fiscal y perdida

de eficiencia. Grafique indicando todas las areas relacionadas a los calculos.

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Respuesta

Las curvas de oferta y demanda quedan de la siguiente forma:

Demanda: P =

1150

3

� Q

3

) Q = 1150� 3P

Oferta: Q =

P � 50

3

Equilibrio:

QS= QD

P � 50

3

= 1150� 3P

P � 50 = 3450� 9P

10P = 3500

P = 350 ) Q = 100

Graficamente se desplaza la curva de demanda

P (Q)

Q

P = 3Q+ 50

P (Q) =

1150�Q3

100

350

383, 3

Los calculos restantes son los siguientes:

Excedente del consumidor:

EC =

(383, ¯3� 350) · 1002

= 1666, 65

Excedente del productor:

EP =

305 · 852

= 12962, 5

Desembolso fiscal:DF = (350� 305) · 100 = 4500

Perdida de eficiencia:

PE =

(350� 305) · (100� 85)

2

= 337, 5

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(c.) (5 puntos) ¿A quien afecta o beneficia mas este subisidio?. Explique.

Respuesta

El subsidio beneficia mas a los consumidores. Para verificar esto debemos comparar los excedentes:

ECi= 1204, 1525 ECf

= 1666, 65

EP i= 12962, 5 EP f

= 12962, 5

luego, el excedente del consumidor varıa positivamente. Tambien lo podıamos verificar con las elasticidades,determinando cual funcion es mas inelastica, es decir, cual es mas o menos sensible a los cambios en precios.

(d.) (5 puntos) Un grupo de investigadores descubre que hay una externalidad en la produccion. El costo

social esta dado por

P = 100 + 2Q (5)

Encuentre el optimo social. Grafique y explique su resultado.

Respuesta

El optimo social se obtiene igualando el costo marginal social a la demanda, es decir, corresponde a lainterseccion de las curvas de beneficio marginal social y costo marginal social.

Q = 1000� 3 · (100 + 2Q)

Q = 1000� 300� 6Q

7Q = 700

Q = 100 ) P = 300

Graficamente tenemos lo siguiente:

P (Q)

Q

CmgS

DDA

100

300

CmgP

Finalmente la externalidad que se presenta corresponde a una externalidad positiva en la produccion.

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Facultad de Economıa y Negocios




Control 2

Primavera 2011

Preguntas Cortas (50 puntos)

1. (10 puntos) Para que una funcion de utilidad represente una relacion de preferencia, las relaciones deben

ser completas, transitivas y continuas.

RespuestaVerdadero. Los supuestos para que las preferencias puedan ser representadas por funciones “amigables”, son

que estas son completas, transitivas y continuas.

2. (10 puntos) La senora Juanita hace sus compras en el supermercado Chanta Isabel y como es cliente

frecuente recibe un descuento del a% por la compra de tomates. Grafique la recta presupuestaria de la

senora juanita cuando compra tomates y lechugas, ademas explique claramente cada detalle del grafico.

RespuestaLo que hace el descuento de un a% es hacer que el precio de los tomates bajen desde P

T

a P

T

�1� a

100

�,lo

que provoca que cambie la pendiente de la restriccion presupuestaria. Matematicamente si antes teniamos un

grafico lechuga/tomates con una restriccion presupuestaria de pendiente ↵ =

PLPT

, ahora tenemos una restric-

cion presupuestaria de con pendiente � =

PL

PT (1� a100 )

. Teniendo esto en cuenta, graficamente obtenemos:

Lechugas

Tomates

↵ �

3. (10 puntos) La solucion esquina es un caso particular de optimizacion propio de los bienes sustitutos

donde la tasa marginal de sustitucion (TMS) es mayor que la Tasa marginal de Intercambio de mercado

(TMIM).Comente.

RespuestaFalso. La solucion esquina es un procedimiento donde se gasta todo el presupuesto en un bien, siendo aplicable

a varios casos, como por ejemplo el caso de bienes normales. Cabe recordar que en caso de Bienes sustitutos

tambien existe el caso de infinitas soluciones. Por otro lado no necesariamente se debe cumplir que la tasa

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marginal de sustitucion supere a la tasa marginal de intercambio de mercado, de hecho se puede dar el caso

inverso y encontrarse tambien en una solucion esquina.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

x

y

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

x

y

Del grafico del lado izquierdo se concluye que la solucion optima se logra consumiendo solo el bien x (se

tiene que TMS

y,x

< TMIM

y,x

) y del grafico del lado derecho se concluye que la solucion optima se logra

consumiendo solo el bien y (se tiene que TMS

y,x

> TMIM

y,x

).

4. Un dıa caminando por el casino usted escucha la siguiente frase: “Siempre, pero realmente siempre,

sabemos que el efecto sustitucion de un bien ante un alta de su precio sera negativo, siempre, pero

siempre”. Comente

RespuestaVerdadero. El efecto sustitucion siempre tiene el mismo sentido: una baja del precio provoca un aumento en

el consumo de un bien. El efecto ingreso puede alterar la demanda positiva o negativamente, dependiendo de

que el bien sea superior, normal o inferior.

5. (10 puntos) Cuando cambia la tasa de interes el individuo no enfrenta cambios en la restriccion presu-

puestaria.

RespuestaFalso. Al cambiar la tasa de interes afecta la decision de consumo entre periodos. Por ejemplo, ante un alza de

interes es conveniente ahorrar pues dicho ahorro generara mayores ingresos (y por ende mejores posibilidades

de consumo) a futuro respecto de una situacion inicial con una tasa de interes mas baja.

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Aplicacion de los contenidos (30 puntos)

Analice los supuestos de la teorıa del consumidor (completitud, transitividad, monotonıa y convexidad) en

los siguientes casos:

1. (10 puntos) Felix prefiere estudiar anticipadamente en comparacion a estudiar un dıa antes de su prueba

o no estudiar. Estudiar un dıa antes de su prueba lo estresa y se confunde con los conceptos, por lo que

prefiere no estudiar. Sin embargo, siempre termina estudiando el dıa antes de su prueba.

¿Son transitivas las preferencias? ¿Se cumple la racionalidad en la eleccion?

RespuestaSean:

x: Estudiar anticipadamente

y: No estudiar

z: Estudiar el dıa antes de la prueba

Las preferencias son completas, pues se distinguen las posibilidades de eleccion. Se declara que es preferible

estudiar anticipadamente sobre no estudiar o estudiar el dıa antes y establece que prefiere no estudiar sobre

estudiar el dıa antes. Entonces se tiene que x � y, x � z e y � z. Si las preferencias fueran racionales por

transitividad se tendrıa que x � z. Pero se declara que siempre termina estudiado el dıa antes de su prueba

lo cual supone z � x y esto transgrede el supuesto de transitividad de las preferencias. Se concluye que la

eleccion no es racional.

2. (10 puntos) Camila Vallejos prefiere no escuchar una cancion de The Cranberries en comparacion a

escuchar la misma cancion. Tambien prefiere no escuchar una cancion en comparacion a escuchar mas de

una cancion. Sin embargo, cada vez que escucha una cancion prefiere escuchar completamente cualquiera

de los discos de The Cranberries en su iPod.

¿Son transitivas las preferencias? ¿Se cumple la racionalidad en la eleccion?

RespuestaSean:

x: No escuchar musica

y: Escuchar una cancion

z: Escuchar mas de una cancion

Luego, segun las preferencias de Camila se tiene que x � y e y � z lo cual implica x � z. Por lo tanto las

preferencias son completas y transitivas. Sin embargo estas preferencias no son monotonas (no se prefiere

escuchar mas canciones en cualquier caso) ni convexas (no son preferidas las combinaciones intermedias entre

canciones y otros bienes). Se concluye que la eleccion es racional.

3. (10 puntos) El famoso ıdolo y periodista estrella Juan Carlos Bodoque expreso en la revista Time: “Debo

decir que estoy indiferente entre consumir dos unidades de Cerveza Du↵ (x) y tres unidades de Apuestas

de Caballos (y) en comparacion a tres unidades de Cerveza Du↵ y dos unidades de Apuestas de Caballos.

Sin embargo, prefiero dos unidades de Cerveza Du↵ (x) y dos unidades de Apuestas de Caballos (y)”.

¿Son convexas las preferencias?

RespuestaSean: a = (2, 3), b = (3, 2) y c = (2, 2)

Tenemos que las canastas a y b son tales que a ⇠ b por lo que son igualmente preferidas. Si se declara

indiferente entre dos canastas, entonces se distinguen las posibilidades de eleccion. Luego, a � c y b � c

implica que la canasta c es preferida a todas las demas. Dado que c es una combinacion intermedia de a y b

ya que

2(a+ b)

5

= (2, 2) = c

se concluye que las preferencias son convexas pues se prefiere una canasta mas balanceada en su composicion.

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1. Matematico (70 puntos)

1. (10 puntos) Encuentre la decision de consumo optima (las demandas marshallianas) del consumidor si

el individuo tiene una funcion de utilidad Cobb-Douglas de la forma:

u(x, y) = x

↵

y

�

RespuestaPara maximizar este tipo de funciones debemos utilizar la condicion de optimo del consumir, es decir:

TMS

x,y

= TMIM

x,y

UMg

x

UMg

y

=

P

x

P

y

↵x

↵�1

y

�

�x

↵

y

��1

=

P

x

P

y

↵y

�x

=

P

x

P

y

De lo que se concluye que la proporcion optima esta dado por:

y

⇤=

�P

x

· x↵P

y

Si reemplazamos esta proporcicion en la restriccion presupuestaria obtenemos:

I = xP

x

+ yP

y

I = xP

x

+

�P

x

· x↵P

y

�P

y

Donde si despejamos x obtenemos el consumo optimo de este bien:

x

⇤=

↵I

(↵+ �)P

x

Por simetrıa podemos determinar que:

y

⇤=

�I

(↵+ �)P

y

Notar que las demandas dependen de la importancia relativa de los bienes, mostrando una cierta dependencia

del consumo de ambos.

2. (10 puntos) Encuentre la decision de consumo optima del consumidor si el individuo tiene una funcion

de utilidad de Sustitutos Perfectos de la forma:

u(x, y) = ↵x+ �y

RespuestaPara esta funcion debemos analizar dos casos:

Si la pendiente de la curva de indiferencia es mayor que la restriccion presupuestaria.

TMS

x,y

> TMIM

x,y

Si la pendiente de la curva de indiferencia es menor que la restriccion presupuestaria.

TMS

x,y

< TMIM

x,y

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Si se cumple el primer caso (TMgSC

x,y

> TMgIM

x,y

) entonces consumiremos solo x, entonces reempla-

zamos en la restriccion presupuestaria la condicion de y = 0, obteniendo:

x

⇤=

I

P

x

y

⇤= 0

Si se cumple el caso contrario (TMgSC

x,y

< TMgIM

x,y

) entonces solo consumiremos y, entonces reem-

pazamos en la restriccion presupuestaria la condicion de x = 0, obteniendo:

x

⇤= 0

y

⇤=

I

P

y

Notar que en ambos casos las demandas de los bienes solo dependen de sus precios, dando la representacion

matematica a la perfecta sustitucion

3. (10 puntos) Encuentre la decision de consumo optima del consumidor si el individuo tiene una funcion

de utilidad Leontief de la forma:

u(x, y) = mın{↵x;�y}

RespuestaEn este caso, sabemos que el optimo estara dado por la proporcion ↵x = �y, por lo tanto, lo unico que

tenemos que hacer es reemplazar esto en la restriccion presupuestaria. Entonces:

I = xP

x

+ yP

y

I = xP

x

+

↵x

�

P

y

I = x

P

x

+

↵P

y

�

�

I = x

�P

x

+ ↵P

y

�

�

x

⇤=

�I

�P

x

+ ↵P

y

Por simetrıa obtenemos:

y

⇤=

↵I

�P

x

+ ↵P

y

4. (20 puntos) ¿Es posible que tres individuos, uno con cada una de las funciones anteriores, lleguen a la

misma canasta optima tras la maximizacion de utilidad?. Argumente intuitiva y graficamente.

RespuestaEs posible. Esto se desprende de saber que, por un lado, las funciones Cobb-Douglas y Leontief siempre

tendran soluciones interiores, y por lo tanto, pueden dar la misma solucion sin problemas. Por el otro lado,

sabemos que las funciones de sustitutos perfectos tienen “3” posibles soluciones, dos soluciones esquina, o

infinitas soluciones interiores.

Por lo tanto, si para la funcion de sustitutos perfectos se obtiene que TMgSC

x,y

= TMgIM

x,y

, la funcion

tendra una posible solucion interior, y por lo tanto, tres individuos con cada una de estas funciones tendran

la misma solucion optima.

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TMS

y,x

y

x

=TMIM

y,x

5. (20 puntos) El individuo representativo de Titirilquen tiene una utilidad por el consumo de los n bienes

representable por medio de la funcion

u(x) = mın

⇢x

1

↵

1

, . . . ,

x

n

↵

n

�

Con ↵

i

> 0 8i = {1, . . . , n}.

Plantee y resuelva el problema del consumidor y explique por que la solucion es interior y unica.

RespuestaEl problema a resolver es el siguiente:

max

x

mın

⇢x

1

↵

1

, . . . ,

x

n

↵

n

�

sujeto a

nX

i=1

p

i

x

i

= I

No es muy difıcil notar que el vector x de demandas optimas es tal que

x

1

↵

1

= . . . =

x

n

↵

n

en general, cada uno de los argumentos es igual a un valor constante x

i

/↵

i

= k. Luego, se tiene que

p

j

x

j

=

x

i

↵

i

↵

j

p

j

aplicando la sumatoria

Pn

j=1

(·) se llega a

I =

x

i

↵

i

nX

j=1

↵

j

p

j

) x

i

=

I · ↵iP

n

j=1

↵

j

p

j

Para una solucion interior bastara con el hecho que k 6= 0, que es lo mismo a decir x

i

/↵

i

6= 0 8i. En caso

de que k = 0 se tendrıa que u(x) = 0 si para algun i se tiene que ↵

i

x

i

= 0 y de esta forma el vector de

demandas optimas se anularıa en todas sus componentes, pero este caso se darıa si I = 0. Para cualquier caso

la solucion es unica ya que todos los bienes se consumen en proporciones fijas lo cual no deja posibilidades

de que algun x

i

tome mas de un valor.

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Control 3

Primavera 2011

1. Preguntas Cortas (30 puntos)

1. (10 puntos) El jugador Ronaldinho del equipo Flamengo gana mucho mas que el delantero Eduardo Vargas

del grandioso equipo magico Universidad de Chile. ¿Como se podrıa explicar lo anterior si en el

ultimo ano Vargas ha hecho mas goles que Ronaldinho? ¿Se cumple que el valor del producto marginal

de Vargas es mayor que el de Ronaldinho?

Respuesta

El valor del producto marginal de la mano de obra se define

V PMg(L) = P · PMg(L)

Luego, este valor depende del precio de venta de lo que se produce y de la productividad marginal del factor.

Hay que tener claro que se entiende por productividad. Si no son solo los goles una explicacion es queel producto de cada jugador tambien considera otras variables con las que aporta (marketing, auspiciadores,publicidad, etc). Otra razon es que lo contrataron por las expectativas de goles, y como el salario se determinade antemano, su salario queda fijado sin conocer el rendimiento efectivo que tendra en el futuro.

Una explicacion mas relacionada con teorıa de la produccion es que el precio del producto que vende Flamengo

es mayor que el de Universidad de Chile y por lo tanto aunque la productividad de Vargas sea mayorque la de Ronaldinho, la diferencia de precios genera que este ultimo tenga un mayor salario pese a su menorproductividad. Finalmente, la diferencia de precios hace que el valor del producto marginal de Ronaldinho seamayor que el de Vargas pero no es atribuible a mayor rendimiento.

2. (10 puntos) Un ayudante de otra seccion asegura que la elasticidad de sustitucion, por tratarse de una

medicion de variacion porcentual, toma distintos valores dependiendo de la cantidad absoluta de factores,

del punto en que se evalue y ademas de la funcion de produccion que se analice.

Respuesta

Falso. La elasticidad de sustitucion define como un cambio porcentual en la razon (o proporcion) de usode factores ante un cambio porcentual es la razon de productos marginales de dichos factores por lo queimportan las proporciones de uso y no las cantidades de uso. Por otra parte, la funcion de produccion CESes de elasticidad de sustitucion constante por lo que su elasticidad de sustitucion es la misma en cualquierpunto de la isocuanta y se da el caso de funciones como la Cobb-Douglas cuya elasticidad de sustitucion esconstante e igual a uno.

3. (10 puntos) Muestre que para una funcion de produccion de dos factores cualquiera, que si el producto

medio de un factor es creciente, el producto marginal del factor es mayor al producto medio del factor.

Explique por que la productividad media y marginal tienen tal comportamiento.

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Respuesta

Si PMe(x

1

) es creciente, entonces @PMe(x

1

)

@x

1

> 0 y se tiene que

f(x

1

, x

2

) = Q · x1

x

1

f(x

1

, x

2

) = PMe(x

1

) · x1

/

@

@x

1

Pmg(x

1

) =

@PMe(x

1

)

@x

1

· x1

+ PMe(x

1

)

Pmg(x

1

)� PMe(x

1

) =

@PMe(x

1

)

@x

1

· x1

notemos que el lado derecho es positivo pues partimos de la base que la productividad media es creciente,entonces

Pmg(x

1

)� PMe(x

1

) > 0 , Pmg(x

1

) > PMe(x

1

)

Q

L

L

0

PMg

PMe

PMg(L

0

) > PMe(L

0

)

La explicacion es la siguiente: Como se ve en el grafico, en el tramo creciente de la productividad media,el producto marginal es mayor al producto medio y esto es porque en este tramo la productividad promediode incorporar un trabajador adicional es menor que la productividad marginal de incorporar un trabajadoradicional a la produccion.

4. (10 puntos) El famoso ıdolo y periodista estrella Juan Carlos Bodoque acaba de publicar un articulo en

Econometrica que senala: “Los costos fijos tienen que ver con el corto plazo pero que estos sean cero no

quiere decir que nos encontremos en una situacion de largo plazo”. ¿Se cumple lo senalado?

Respuesta

Sı, se cumple lo que senala el comente. Tenemos lo siguiente:

Costos fijos > 0 ) Corto plazo

Costos fijos = 0 ; Corto plazo

Puede ocurrir que pese a haber factores fijos estos no alteren la optimalidad, por ejemplo si f(x1

, x

2

) =

↵x

1

+ �x

2

es la funcion de produccion de corto plazo y si w1

< w

2

tenemos que x

⇤2

= 0 que puede coincidircon que a corto plazo x

2

= 0 y entonces el costo fijo es cero.

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2. Aplicacion de los contenidos (30 puntos)

Jorge Amaya:

“En el futuro, probablemente habran pocas minas grandes a cielo abierto”

(Fragmento)

El investigador del Centro de Modelamiento Matematico (CMM) de la Universidad de Chile, Jorge Ama-

ya, ha trabajado en una serie de estudios relacionados a la minerıa subterranea y de cielo abierto.

¿Como se aplica el modelamiento matematico en minerıa a cielo abierto?

El principal potencial del modelamiento matematico es que permite expresar de manera objetiva los re-

querimientos y criterios de decision en la industria en general. No se debe extraer de cualquier manera, en

cualquier orden, existen una serie de condiciones que tienen que ver con la seguridad, la factibilidad y el

valor.

¿Cuales son las principales aristas de esta objetivizacion?

Tiene que ver con fijar los criterios de optimizacion: la funcion objetivo (que queremos optimizar) y las

restricciones (que cosas deberıamos cumplir como requerimientos). En el caso del negocio minero es habitual

usar el Valor Actual Neto (VAN).

¿Que aspectos han evolucionado en la forma de implementar el modelamiento matematico?

En los procesos tecnologicos como la explotacion minera, aparecen desafıos cientıfico-matematicos que indu-

cen la investigacion. Al mismo tiempo la investigacion genera productos aplicables a la industria, entonces;

hay una retroalimentacion entre ambos.

En los ultimos 20 anos se ha producido una interaccion creciente entre la matematica y la minerıa, y la razon

fundamental es la aparicion de computadores de alta velocidad, que permiten hacer lo que antes no se podıa.

La explotacion de una mina no es una sola decision, sino una secuencia de decisiones, son millones.

¿Que mejoras ha producido el modelamiento matematico en el metodo de optimizacion y

planificacion de procesos de la minerıa a cielo abierto?

El beneficio es que estos metodos permiten generar planes de extraccion de alto valor, es decir, aumentar el

valor de un yacimiento desde el punto de vista estrategico. Al entregar la secuencia de explotacion, se sabe

cuanto ingreso se obtiene en un tiempo determinado, es decir, hay diferentes escenarios que el dueno del

negocio puede evaluar, en ese sentido nuestro gran aporte es generar muchos planes en poco tiempo.

El valor del negocio minero esta en la planificacion estrategica, no tanto en la operacion. Se puede ganar

mucho en la operacion mediante la optimizacion de diversas etapas del proceso productivo (transporte en

camiones, parte metalurgica, etc) sin embargo el mayor valor esta en tomar una buena decision de como

explotar una mina en el largo plazo.

¿Como ve el futuro de la minerıa a cielo abierto?

En la medida que los recursos superficiales se van agotando la minerıa tiende a convertirse en subterranea,

especialmente la gran minerıa. El rajo no puede ser de tamano muy grande, los costos son muy altos. En el

futuro (30 o 40 anos mas), probablemente, habra muy pocas minas grandes de cielo abierto.

Autor : Andres Santelices, Revista AreaMinera

Fecha : 14-10-2011

Enlace: http://www.aminera.com/pdfrevistas/am059.pdf

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En base a la entrevista responda lo siguiente:

1. (10 puntos) ¿Cual es la importancia del estado de las artes en materia minera? Explique detalladamente

por que los avances en materia computacional afectan a la minerıa y en particular a la toma de decisiones

(no olvide que el contexto es teoria de la produccion y costos)

Respuesta

Si el estado de las artes (conocimientos cientıficos) mejora (cambio tecnologico), con la misma dotacion defactores es posible producir un mayor nivel de producto. En la entrevista se menciona que el avance de lacomputacion permite realizar calculos complejos mas rapido que hace unos anos atras, permitiendo determinarmultiples escenarios y decisiones posibles. Este avance afecta porque la toma de decisiones tiene que ver conlas decisiones de produccion, con la contratacion de factores y con las decisiones de inversion a futuro. Comose indica en la entrevista, la minerıa consiste en una serie de procesos complejos que se pueden determinarmejor si se cuenta con datos que ayuden a determinar las mejores opciones dentro de multiples planes deproduccion.

2. (10 puntos) ¿Por que es importante la sensibilidad a los costos y precio y como se relaciona con la

decision de inversion?. Explique en base a las consecuencias que tendrıa un alza y una baja de los costos

y de los precios, ambas por separado para no complicar el analisis. Finalmente, en base a su analisis,

de una explicacion de como la variacion en el precio del cobre motiva la eficiencia tecnica.

Respuesta

En relacion con la teorıa de la produccion tenemos las siguientes variables:

Costos de produccion: Se menciona que los costos en el futuro tenderan a aumentar debido al agota-miento de los yacimientos cuyo costo de explotacion es menor. Esto significa que en la actualidad se hacepresente la necesidad de buscar las mejores combinaciones de factores posibles y de desarrollar formasde explotacion tan eficientes como sea posible. Si la minerıa es muy sensible a los costos de produccionentonces estos pueden afectar de manera muy negativa las utilidades futuras.

Precio del cobre: No podemos asumir que el precio del cobre sera estable a futuro. Ante un escenario debaja del precio del cobre es necesario suponer que los beneficios de la industria no podran mantenersecomo en la actualidad lo que significa que las firmas mas eficientes seran las menos afectadas. Si laminerıa es muy sensible a un aumento del precio del cobre, los diferentes escenarios de utilidades puedenser muy sensibles por lo que un criterio muy optimista puede llevar a malas decisiones de inversion.

Finalmente ambas variables mencionadas estan interrelacionadas. El precio del cobre motiva que se busquecomo minimizar los costos para obtener el maximo beneficio cuando los precios son altos o anteponerse a unaposible baja del precio del cobre y pensar en como mantenerse en el mercado mejorando la eficiencia de losprocesos.

3. (10 puntos) ¿Por que el entrevistado senala que les interesa maximizar el VAN y ademas minimizar los

costos de operacion?. Explique (no es necesaria la formula) que representa el VAN y como la busqueda

de la eficiencia economica en los costos afecta la rentabilidad de un proyecto minero.

Respuesta

Porque, segun lo indicado en la entrevista, se trata de analisis distintos y complementarios. Es importanteminimizar los costos de produccion porque la funcion de costos da cuenta de las combinaciones eficientestecnica o economicamente y es deseable lograr ambos criterios de eficiencia. Por otra parte, el VAN da cuentade cuanto vale un proyecto en la actualidad y para que sea razonable invertir este valor debe ser positivo y esdeseable maximizar este valor.

La minerıa tiene costos fijos muy altos. Existen costos de exploracion, excavacion y de construccion de plantasque resultan en una inversion inicial muy costosa independientemente de las decisiones de produccion queademas suponen costos variables. En el sentido economico, un plan o secuencia optimizada de extraccion(considerando minimizacion de costos) permite a una mina proyectar cual es su valor residual a futuro, esdecir, los costos de operacion afectan el VAN del proyecto.

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4. (10 puntos) ¿Como se relaciona la investigacion con los costos fijos? ¿Por que si la investigacion genera

costos fijos muy elevados las mineras siguen interesadas en investigar sus procesos y como mejorarlos?

Respuesta

En la actualidad una razon por la que hay costos fijos se atribuye a los costos de investigacion que sonindependientes de las decisiones de produccion. Se incurre en gastos de investigacion cuando se evaluanplanes de explotacion y esto puede suponer un gasto elevado segun lo que se describe, pues se necesitancomputadores especializados y software complejo. Esto ultimo tiene poca relacion con el nivel de produccionaunque es muy importante para las decisiones de produccion a futuro.

Al sector minero le interesa este tipo de investigacion porque el gasto en el que incurren les permite generarimportantes ahorros a futuro y, por otra parte, no solo les permite disminuir costos sino que tambien mejorarla eficiencia de la produccion. Es importante senalar que si este tipo de investigacion generara mayores costosque beneficios, simplemente no se harıa.

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3. Ejercicios (30 puntos)

Ejercicio 1. La empresa CB y Asociados es una empresa sin fines de lucro que se dedica a la ensenanza (en

adelante el bien y) y se sabe que la funcion de produccion de la ensenanza es:

y = 2x

1/2

1

x

1/4

2

donde x

1

y x

2

indican, respectivamente, las cantidades de capital humano y computadores utilizadas en la

produccion del bien y. Ademas, la empresa opera en competencia perfecta y compite con las demas secciones

de Introduccion a Microeconomıa en una pequena y tranquila economıa llamada FEN.

1. (5 puntos) Determine la funcion de costos de largo plazo de CB y Asociados. ¿Cual es la expresion de

dicha funcion de costes si los precios de los factores son, respectivamente, w

1

= 2 y w

2

= 1?

Respuesta

Debemos plantear y resolver el problema de minimizacion de costos que corresponde a lo siguiente:

mın

x

1

,x

2

C = w

1

x

1

+ w

2

x

2

s.a y = 2x

1/2

1

x

1/4

2

Isocostos: C = w

1

x

1

+ w

2

x

2

Pendiente de Isocostos: dx

2

dx

1

��C

= �w

1

w

2

TMST

2,1

=

dx

2

dx

1

��y

= �@y/@x

1

@y/@x

2

= �PMg

1

PMg

2

= � x

1/4

2

x

�1/2

1

1

2

x

1/2

1

x

�3/4

2

TMST

2,1

= �2x

2

x

1

! Pendiente de la Isocuanta

|TMST

2,1

|@x

1

< 0

Si igualamos las pendientes:

dx

2

dx

1

��C

=

dx

2

dx

1

��y

) �w

1

w

2

= �2x

2

x

1

Luego, la condicion de optimo se traduce en:

w

1

w

2

=

2x

2

x

1

) x

2

=

x

1

w

1

2w

2

, x

1

=

2x

2

w

2

w

1

Reemplazando en la restriccion (se reemplaza una variable a la vez):

y = 2x

1/2

1

✓x

1

w

1

2w

2

◆1/4

y

2

= x

3/4

1

✓w

1

2w

2

◆1/4

x

c

1

=

✓y

2

◆4/3

✓2w

2

w

1

◆1/3

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y = 2

✓2x

2

w

2

w

1

◆1/2

x

1/4

2

y

2

=

✓2w

2

w

1

◆1/2

x

3/4

2

x

c

2

=

✓y

2

◆4/3

✓w

1

2w

2

◆2/3

Ahora si reemplazamos xc

1

y x

c

2

en la funcion de costos:

C

LP

= w

1

x

1

+ w

2

x

2

C

LP

= w

1

✓y

2

◆4/3

✓2w

2

w

1

◆1/3

+ w

2

✓y

2

◆4/3

✓w

1

2w

2

◆2/3

C

LP

=

✓y

2

◆4/3

"(2w

2

)

1/3

(w

1

)

2/3

+ (w

1

)

2/3

✓1

2

◆2/3

(w

2

)

1/3

#

C

LP

=

✓y

2

◆4/3

(w

1

)

2/3

(w

2

)

1/3

"(2)

1/3

+

✓1

2

◆2/3

#

C

LP

=

✓y

2

◆4/3

(w

1

)

2/3

(w

2

)

1/3

"(2)

1/3

(2)

2/3

(2)

2/3

+

✓1

2

◆2/3

#

C

LP

=

✓y

2

◆4/3

(w

1

)

2/3

(w

2

)

1/3

✓3

(2)

2/3

◆

Como w

1

= 2 y w

2

= 1, entonces:

C

LP

(w

1

, w

2

, y) = C

LP

(y) = 3

✓y

2

◆4/3

2. (5 puntos) Suponga que en el corto plazo CB y Asociados posee el factor x

2

fijo en 16. Determine la

funcion de costos a corto plazo. ¿Cual es la expresion de dicha funcion de costos si los precios de los

factores son, respectivamente, w

1

= 2 y w

2

= 1?

Respuesta

mın

x

1

C = w

1

x

1

+ 16w

2

s.a y = 2x

1/2

1

(16)

1/4

= 4x

1/2

1

) y = 4x

1/2

1

) x

c

1

=

✓y

4

◆2

Entonces:

C

CP

(w

1

, w

2

, y) = w

1

x

c

1

+ 16w

2

C

CP

(w

1

, w

2

, y) = w

1

✓y

4

◆2

+ 16w

2

Pagina 7 de 9



Como w

1

= 2 y w

2

= 1, entonces:

C

CP

(w

1

, w

2

, y) =

y

2

8

+ 16

Ejercicio 2. La vina Don Pacha se dedica unica y exclusivamente a la produccion de Carmenere y tiene

una tecnologıa representable por medio de la funcion

f(~x) = mın

⇢x

1

↵

1

,

x

2

↵

2

,

x

3

↵

3

,

x

4

↵

4

�

donde x

1

representa los trabajadores, x

2

la maquinaria agrıcola, x

3

las vides listas para la cosecha y x

4

el

uso de suelo.

1. (5 puntos) ¿La funcion que nos dan es efectivamente una funcion de produccion?

Respuesta

Es funcion de produccion ya que cumple las dos propiedades necesarias: f(~0) = 0 y la productividad marginales no decreciente en el uso de los factores.

Si el vector de insumos es ~0 entonces f(~0) = 0 y se cumple la primera propiedad. Por tratarse de una funcionde mınimos no se puede derivar, pero si aumenta el uso de un factor la produccion no disminuye habiendovarios escenarios posibles pero sabemos que la produccion al menos se mantiene igual. Si aumenta el uso detodos los factores entonces la produccion aumenta.

2. (5 puntos) Considere que cada maquina puede ser operada por un trabajador y que semanalmente

se deben enviar las maquinas a una mantencion que dura un dia completo. ¿Es de esperarse que los

parametros ↵

i

sean constantes en la escala de produccion?

Respuesta

No necesariamente. Si aumenta la escala de produccion aumenta la contratacion de factores pero las pro-porciones de uso de los factores pueden cambiar. De acuerdo con lo indicado, la relacion 1 trabajador / 1maquina no tiene porque mantenerse ya que una consecuencia del mantenimiento es que puedo disponer demenos trabajadores que maquinas en la medida que algunas maquinas no estaran disponibles.

Ejercicio 3. Nos dan la siguiente funcion:

f(x

1

, x

2

) = x

3

1

� 3x

2

1

x

2

+ 3x

1

x

2

2

(10 puntos) Determine si es efectivamente es funcion de produccion y si acaso esta funcion es homogenea.

Respuesta

No es funcion de produccion pues no es una funcion no decreciente en el uso de los factores. Se tiene que:

@

@x

1

f(x

1

, x

2

) = 3x

2

1

� 6x

1

x

2

+ 3x

2

2

= 3(x

1

� x

2

)

2

> 0

@

@x

2

f(x

1

, x

2

) = �3x

2

1

+ 6x

1

x

2

entonces que la productividad marginal de x

2

sea mayor o igual a cero depende de los valores que tome (x

1

, x

2

).

La funcion es homogenea de grado 3 pues

f(�x

1

,�x

2

) = (�x

1

)

3 � 3(�x

1

)

2

(�x

2

) + 3(�x

1

)(�x

2

)

2

= �

3

(x

3

1

� 3x

2

1

x

2

+ 3x

1

x

2

2

)

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Ejercicio 4. Nos dan la siguiente funcion de produccion:

f(x

1

, x

2

) = mın

⇢ln(x

1

)

↵

,

x

2

2

�

�

(10 puntos) Determine si la funcion presenta rendimientos decrecientes a la escala.

Respuesta

Dicha funcion no es homogenea de ningun tipo ya que no puede expresarse de la forma:

mın

⇢ln(�x

1

)

↵

,

(�x

2

)

2

�

�= �

n

mın

⇢ln(x

1

)

↵

,

x

2

2

�

�

donde n mide el grado de homogeneidad. Por lo tanto, en estricto rigor, la funcion no presenta retornos a la escalade ningun tipo.

Sin embargo, debe considerarse que al aumentar ambos factores a una cierta tasa, sera el factor 1 el que hara elpapel de “frenar” la expansion del producto, haciendo que este crezca a tasa decreciente.

Si ln(x

1

)

↵

<

x

2

2

�

, entonces

Q =

ln(x

1

)

↵

) @Q

@x

1

=

1

↵x

1

> 0 ) @

2

Q

@x

2

1

= � 1

↵x

2

1

< 0

Si ln(�x

1

)

↵

>

(�x

2

)

2

�

, entonces

Q =

x

2

2

�

) @Q

@x

2

=

2x

2

�

> 0 ) @

2

Q

@x

2

2

=

2

�

> 0

Lo anterior implica que el factor 1 conduce a un aumento a tasa decreciente del producto, no ası el factor 2 quede no ser por el efecto del factor 1 conducirıa a un aumento a tasa creciente del producto.

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Control 4

Primavera 2011

1. Preguntas Cortas (40 puntos)

1. (10 puntos) Un dıa escucha en la calle un comentario que le quito el sueno por varias semanas y lleno sucabeza de dudas. El comentario fue “Un monopolio nunca cobrara un precio menor que el de competenciaperfecta”. Comente.

RespuestaVerdadero. Esto se debe a que sabemos que en competencia perfecta la condicion de optimo esta dada por:

P = IMg = CMg

Mientras que en monopolio el equilibrio esta dado por:

IMg = P

✓1 +

1

|"p,q|

◆

Por lo tanto, dado que trabajamos la elasticidad en valor absoluto, obtenemos que el precio de monopolio alo menos sera igual al precio de competencia perfecta.

2. (10 puntos) Las empresas no deberıan aceptar perdidas, aunque sea en el corto plazo, dado que siemprepueden cerrar y ahorrarse cualquier costo. Esto es, en definitiva, lo que provoca que la oferta de laindustria sea elastica en el corto plazo.

RespuestaFalso. En el corto plazo las empresas aceptaran perdidas relacionadas con los costos fijos (dado que semantendran mientras que el precio cumpla con P � CMeVmin, por lo tanto, puede darse que hayan empresasen el corto plazo con perdidas. Sin embargo, esta situacion crea una oferta de la industria con pendientepositiva dado que no hay firmas que entren o salgan para mantener un equilibrio determinado.

3. (10 puntos) Un mercado se encuentra en competencia perfecta cuando las utilidades de las empresas soniguales a cero, esto dado a que las empresas no deben ni nagar ni perder dinero. Comente

RespuestaFalso. En competencia perfecta lo que ocurre es que los beneficios de las empresas son iguales a cero. Ladiferencia radica en que las utilidades son una unidad contable, mientras que los beneficios se refieren a lasutilidades contables menos los costos de oportunidad de la accion a la que nos estamos dedicando. De estaforna, una empresa se puede encontrar perfectamente con utilidades en competencia perfecta.

4. (10 puntos) El famoso ıdolo y periodista estrella Juan Carlos Bodoque recientemente llego a la siguienteconclusion en un estudio acerca de oferta de las empresas: “El monopolio no ofrecera una menor cantidadque una empresa en competencia perfecta, siempre y cuando el numero de empresas que funcionen enesta industria sea grande, pero si el numero de empresas es pequeno, el monopolio podrıa ser ofrecer unamayor cantidad que esta empresa en competencia perfecta”. Comente.

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RespuestaVerdadero, porque aunque el numero de empresas sea pequeno, tenemos que tener en cuenta que por supuestode competencia perfecta las empresas producen lo mismo (es decir, son iguales), entonces como el monopolioproduce donde costo marginal es igual al costo marginal, la cantidad monopolica sera mayor a lo que producirıala competencia perfecta.

P

QM QEQ

Q

En el grafico la cantidad de mercado es la cantidad que produce todo el mercado, entonces para poder calcularcuanto produce cada empresa, tenemos que dividir esta cantidad por la cantidad de empresas.

Cantidad que produce una empresa =qeq

n

Este numero sera a lo sumo igual a qM (en el caso de que el mercado se componga de dos empresas que secomporten como competencia perfecta y tengan demanda lineal), en otro caso siempre sera menor.

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2. Competencia perfecta y subsidio (15 puntos)

Ejercicio 1. Alejandra es una sensacional escritora y ademas se dedica a la venta de de tartas de frutillas concerezas. Se sabe que se encuentra en un contexto competitivo con libre entrada de empresas. Adicionalmentesabe que su funcion de costos es de la forma:

f(Q) = 2Q2 + 20Q+ 128

Adicionalmente se sabe que en el mercado actual, las tartas de frutillas con cerezas se transan a un preciode $52.

1. (8 puntos) Plantee el problema de maximizacion de beneficios y obtenga: La cantidad producida por laempresa de Alejandra, el precio al que produce y los beneficios adquiridos. Adicionalmente, ¿Puede decirque se esta en presencia de competencia perfecta?

RespuestaComo estamos en competencia perfecta sabemos que la condicion de optimo esta dada por:

IMg = CMg

P = 4Q+ 20

52 = 4Q+ 20

32 = 4Q

8 = Q

Por lo tanto Alejandra vende 8 tartas a un precio de $52. Esto implica que sus beneficios estan dados por:

⇡ = 52 · 8� 2(8)2 � 20 · 8� 128

⇡ = 416� 128� 160� 128

⇡ = 416� 416

⇡ = 0

Entonces, dado que los beneficios son 0, podemos decir que estamso en un mercado en competencia perfecta.

2. (8 puntos) Suponga ahora que el gobierno da un subsidio de suma fija de $28 a la empresa de Alejandra(el subisidio no varıa con la cantidad produccida). Con esta nueva informacion se le pide encontrar: Lacantidad producida por la empresa, el precio al que produce y los beneficios adquiridos. Adicionalmente,¿Puede decir que se esta en presencia de competencia perfecta ahora?

RespuestaComo estamos en competencia perfecta sabemos que la condicion de optimo esta dada por:

IMg = CMg

P = 4Q+ 20

52 = 4Q+ 20

32 = 4Q

8 = Q

Por lo tanto Alejandra vende 8 tartas a un precio de $52. Esto implica que sus beneficios estan dados por:

⇡ = 52 · 8� 2(8)2 � 20 · 8� 100

⇡ = 416� 128� 160� 100

⇡ = 416� 388

⇡ = 28

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Entonces, dado que los beneficios son mayores que cero, podemos decir que estamos en un mercado dondeno hay competencia perfecta.

3. (4 puntos) Explique el efecto del subsidio de suma fija sobre la producion de la empresa de Alejandra encompetencia perfecta. ¿Afecta el subsidio a la cantidad produccida? ¿Porque?

RespuestaEl subsidio no cambia las decisiones de la empresa de Alejandra dado que las empresas piensan en terminosmarginalistas, de forma, que solo un subisidio al costo marginal es capaz de cambiar la condicion de optimode la empresa. Otra forma de verlo es que la empresa no tiene ningun incentivo a vender mayores cantidadesal mercado

3. Cantidad de firmas en largo plazo (10 puntos)

Ejercicio 2. En Utopıa existe un mercado perfectamente competitivo en el cual hay dos tipos de firmas:Las ↵ y las �, con la siguiente estructura de costos:

C↵(y) = 2y3 � 8y2 + 10y

C�(y) = y3 � 4y2 + 5y

Los precios de los insumos son constantes y la demanda de mercado es Q = 104� 2p.

1. (5 puntos) Determine el precio de equilibrio de largo plazo. ¿Cual tipo de firmas operara en el largoplazo?

RespuestaEn el largo plazo solo sobreviven aquellas firmas mas eficientes, lo cual se refleja en el menor costo medio deproduccion. Ası, el costo medio mınimo de cada una de las firmas es:

CMe↵(y) = 2y2 � 8y + 10

dCMe(y)

dy= 4y � 8 = 0 ) y⇤↵ = 2

) CMemın

↵ = 2 · 22 � 8 · 2 + 10 = 2

CMe↵(y) = y2 � 4y + 5

dCMe(y)

dy= 2y � 4 = 0 ) y⇤↵ = 2

) CMemın

↵ = 22 � 4 · 2 + 5 = 1

En el largo plazo los beneficios economicos de las firmas competitivas son cero. Por consiguiente, el preciocobrado sera igual al CMemın de las firmas tipo � que son las mas eficientes. Es decir, p = CMemın

� y estose traduce en una oferta de mercado completamente elastica tal que

p = CMemın

� = 1

2. (5 puntos) Determine la cantidad de equilibrio de largo plazo de la economıa.

RespuestaReemplazando el precio de equilibrio de largo plazo de la parte anterior, determinado por la oferta totalmenteelastica de largo plazo, en la demanda; se obtiene la cantidad de equilibrio de largo plazo:

Q = 102� 2p = 104� 2 = 102

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3. (5 puntos) Determine el numero de firmas que componen la industria en el largo plazo.

RespuestaComo cada una de las firmas tipo � que operan en el largo plazo producen y⇤� = 2 y la cantidad total deproduccion es Q = 102, entonces hay 51 firmas en total.

4. Competencia monopolica y cambios en la Demanda (15 puntos)

Ejercicio 3. Usted es dueno de un monopolio que vende un bien de primera necesidad, donde su estructurade costos es de la forma:

f(Q) = Q2 + 20Q

Adicionalmente se sabe que en el mercado actual, la demanda de su bien esta dada por:

Q = 100� 2P

Con esta informacion se le pide:

1. (8 puntos) Encuentre la cantidad y precio optimo del monopolio. Adicionalmente calcule los beneficiosde este.RespuestaSabemos que en el optimo IMg = CMg. Por su parte el IMg esta determinado por:

IT =

✓50� Q

2

◆Q

IT =

✓50Q� Q2

2

◆

IMg = (50�Q)

Por lo tanto, la cantidad esta determinado por:

IMg = CMg

50�Q = 2Q+ 20

30 = 3Q

10 = QM

Y el precio corresponde a:

10 = 100� 2P

PM = 45

Entonces los beneficios del monopolio son:

⇡ = 45 · 10� (10)2 � 2(10)

⇡ = 450� 100� 20

⇡ = 330

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2. (12 puntos) Suponga ahora que debido a la importancia del bien en cuestion se realiza una polıtica quecambia la demanda del bien, siendo esta ahora:

Q = 160� 2P

Encuentre el nuevo equilibrio del mercado monopolico y comente el efecto del subsidio, ¿Opina que elsociedad en su conjunto esta mejor o peor?. Argumente su respuesta.RespuestaSabemos que en el optimo IMg = CMg. Por su parte el IMg esta ahora determinado por:

IT =

✓80� Q

2

◆Q

IT =

✓80Q� Q2

2

◆

IMg = (80�Q)

Por lo tanto, la cantidad esta determinado por:

IMg = CMg

80�Q = 2Q+ 20

60 = 3Q

20 = QM

Y el precio corresponde a:

20 = 160� 2P

PM = 70

Entonces los beneficios del monopolio son:

⇡ = 70 · 20� (20)2 � 2(20)

⇡ = 1400� 400� 40

⇡ = 960

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Pautas de Controles (Introducción a la Microeconomía - UChile)

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