PAT1 ความถนดทางคณตศาสตร เทคนค พชตคณต • สตรลด • พน ฐานแนน • แทนคา ตด choice • ใช sense • เดาอยางมหลกการ

เทคนค พชตคณต

สตรลด

Operation

แผนภาพvein

ขอสอบ Pat 1ลาสด

U={-2,-1,0,1,2,3,4}

A={-1,0,1,2,3}

B={0,1,3}

โจทยตวอยาง

1.พจรณาขอความตอไปน

(ก) ,( ) ( )-

(ข) , ( )- ,( ) -

2.ก าหนดให A และ B เปนเซตจ ากด โดยทจ านวนสมาชกของ P(A) เปนสองเทาของจ านวนสมาชกของ

P(B) จ านวนสมาชกของ ( ) และจ านวนสมาชกของ ( )

จงหาจ านวนสมาชกของ ( )

1. 2 2. 4 3. 8 4. 16

3.ให * * + * * +++ และ ( ) เปนเพาเวอรเซตของเซต A

ขอใดตอไปนถกตอง (PAT1 ก.ค.53)

1.จ านวนสมาชกของ ( ) เทากบ 16

2.จ านวนสมาชกของ ( ) * * ++ เทากบ 7

3.2 { * +}3 ( ) * * ++

4.* * + {* +}+ ( )

4.ก าหนดให ( ) ( ) ( ) ,( ) -

, ( ) - และ ( )

จงหา ,( ) -

5. ในการสอบวชาภาษาไทย วชาภาษาองกฤษและวชาคณตศาสตร ของโรงเรยนแหงหนง มนกเรยนเขาสอบทง หมด 66 คน ปรากฏวามนกเรยนทสอบตกทง สามวชาจ านวน 13 คน นกเรยนทสอบไดทง สามวชา มจ านวน 17 คน นกเรยนทสอบไดวชาภาษาไทยและวชาภาษาองกฤษแตสอบตกวชาคณตศาสตร ม จ านวน 10 คน นกเรยนทสอบไดวชาภาษาไทยและวชาคณตศาสตรแตสอบตกวชาภาษาองกฤษ มจ านวน 11 คน นกเรยนทสอบไดเพยงวชาเดยว มจ านวน 6 คน จ านวนนกเรยนทสอบไดวชาภาษาองกฤษและวชาคณตศาสตรเทากบเทาใด

6. โรงเรยนแหงหนงมนกเรยนจานวน 750 คน พบวามนกเรยนจานวน 30 คน ไมเลนกฬาเลย นอกนน เลนกฬาอยางนอยหนงประเภทคอ ปงปอง แบดมนตน เทนนส จากการส ารวจเฉพาะกลมนกเรยนทเลนกฬา พบวามนกเรยนจ านวน 630 คน เลนกฬาเพยงประเภทเดยวเทานน มนกเรยน 30 คน เลนเทนนสและ ปงปองมนกเรยน 50 คน เลนปงปองและแบดมนตน มนกเรยน 40 คน เลนเทนนสและแบดมนตน มนกเรยนไมเลนเทนนสจานวน 250 คน จงหาวามนกเรยนก คนทเลนเทนนสเพยงอยางเดยว (PAT1 มนาคม 54)

ขอสอบ pat ลาสด ตรรกศาสตร

1.ก าหนดให P แทนประพจน “ถา แลว เมอ A, B และ C เปนเซตใดๆ” และใหQ

แทนประพจน “ถา แลว และ เมอ A, B และ C เปนเซตใดๆ”

พจรณาขอความตอไปน

(ก) ประพจน ,( ) - มคาความจรงเปน จรง

(ข) ประพจน ( ) ( ) มคาความจรงเปน เทจ

2.ก าหนดให p,q,r เปนประพจน พจรณาขอความตอไปน

ก.ถา มคาความเปนจรงเปนจรงแลว p และ ,( ) - มคาความจรงเหมอนกน

ข.ถา p มคาความจรงเปนเทจแลว r และ ( ) มคาความจรงเหมอนกน

ขอใดตอไปนเปนจรง (PAT1 ต.ค. 52)

3.ก าหนดให p,q และ r เปนประพจนใดๆ โดยท ~p q มคาความจรงเปนเทจ พจารณาขอความ

ตอไปน

ก. ( ) ,( ) - มคาความจรงเปนเทจ

ข. ( ) ( ) มคาความจรงเปนจรง

สจนรนดร

1.ก าหนดให p และ q เปนประพจนใดๆ ขอใดตอไปนมคาความจรงเปนประพจนใดๆ ขอใดตอไปนมคา

ความจรงเปนเทจ (PAT มนาฯ 53)

1. ( )

2.( )

3.,( ) -

4.( ) ( )

2.ก าหนดให p และ q เปนประพจน ประพจนในขอใดตอไปนเปนสจนรนดร

1.( ) ( )

2.( ⋁ ) ( )

3.,( ) - ( )

4.,( ) - ( )

3.ก าหนดเอกภพสมพทธคอ {-1,0,1} ขอใดตอไปนถกตอง (PAT ก.ค. 53)

1. , - มคาความจรงเปนจรง

2. , - มคาความจรงเปนเทจ

3. , - มคาความจรงเปนเทจ

4. , - มคาความจรงเปนเทจ

ตรโกณ

1.ถา

แลว x มคาเทาใด (PAT1 ต.ค.52)

2.ถา sin และ cos เปนค าตอบของสมาการ x2 + ax +b = 0 แลวคาของ a4 – b มคาเทากบขอ

ใดตอไปน

3.ถา x – 1 + i เปนตวประกอบของพหนาม P(x) = x3 + ax2 + 4x + b เมอ a และ b เปนจ านวนจรง แลว

คาของ a2 + b2 เทากบขอใดตอไปน

4.ถา a, b และ c เปนรากของสมการ x3 + kx2 – 18x + 2 = 0 แลวจงหา log27.

/ เมอ k เปน

จ านวนจรง (PAT1 ต.ค.53)

1.

2.

3.

4. 1

A+B+C=180

6.ให ABC เปนรปสามเหลยม โดยท sinA =

และ cosB =

คาของ cos C เทากบขอใดตอไปน

(PAT1 มนาคม 54)

มม2เทา

1.ถา ( )

เมอ

แลว arccos( ) มคาเทาใด

(PAT1 ก.ค. 52) จงหาวา

มคาเทาใด

ถารท าเลยไมรวาดรป

2.ก าหนดให x เปนจ านวนจรง ถา arcsinx =

แลวคาของ sin(

( )) อยในชวงใด

3.ถาให arcsin(5x) + arcsin(x) =

แลวคาของ tan(arcsin x ) เทากบขอใดตอไปน (PAT1 ก.ค.52)

4. ถา x เปนจ านวนจรงทมากทสด โดยท 0 < x < 1 และสอดคลองกบ

Arctan(1 - x) + arccot.

/ = 2 arcsec √ ( ) แลวคาของ cos ตรงกบขอใดตอไปน

1. -1 2. 0 3.

4. √

5.ก าหนดให

โดยท .

√

√ / (√ ) เมอ 0 < x < 1 คาของ

เทากบเทาใด

เทคนค limit

สตรอนกรม Polynomial

1.* + เปนล าดบของจ านวนจรงท

ส าหรบทกจ านวนเตมบวก n แลว

มคาเทากบขอใด

2. .

/ มคาเทาใด

3.คาของ (√ ( ) ) เทากบขอใดตอไปน

1. 0 2.

3. 1 4.

4.ส าหรบ n = 2, 3, 4, … ให

คาของ

( )( )( ) ( ) เทากบเทาใด

ล าดบเลขคณต (arithmetic sequences)

โจทย

1.ถา a1 , a2 , a3 , ... เปนล าดบเลขคณตซง a30 – a10 = 30 แลวผลตางรวมของล าดบเลขคณตนมคาเทากบขอใดตอไปน

2. ก าหนดให และ เปนล าดบเลขคณตของจ านวนจรงบวก โดย

ท และ ถา ( ) ( )

เมอ ห.ร.ม. ของ x กบ y เทากบ 1

แลว เทากบเทาใด

3.ถา an เปนล าดบเลขคณตซง (

) แลว √

มคาเทาใด(PAT1 ต.ค.52)

ล าดบเรขาคณต

1.ก าหนดให x, y, z เปนล าดบเลขคณต มอตราสวนรวมเทากบ r และ ถา x, 2y, 3z เปนล าดบ

เลขคณตแลว คา r เทากบขอใดตอไปน

แลว คา r เทากบขอใดตอไปน

อนกรมเรขาคณต

1.ให k เปนคาคงท และถา ( )

( )

.

/

แลว k มคาเทากบเทาใด

2.จงหาผลบวกของอนกรม

(PAT1 ม.ค. 53)

1.

2.

3.

4.

Function การหาคา function

(PAT1 ม.ค.56)

1. ก าหนดให f(x) = {

| |

| |

คาของ 4 ( .

/)5 ตรงกบขอใดตอไปน

1. -6 2. 6 3. -3 4. 3

2.ก าหนดให .

/

เมอ และ ถา

แลว ( ) เทากบขอใด

ตอไปน (PAT1 ม.ค.53)

1. sin2 2. Cos2 3. Tan2 4. cot2

อนเวอรส

1.ถา f(x) = √ และ g(x) =

แลว ( )( ) มคาเทาใด (PAT1 ต.ค.52)

Composite function

1.ก าหนดให R แทนเซตของจ านวนจรง ถา f :R→R เปนฟงกชน โดยท f(x) = ax + b เมอ a, b เปน

จ านวนจรง ถา f เปนฟงกชนลด f(f(f(f(x)))) = 16x + 45 แลวคาของ a + b เทากบขอใดตอไปน

2.f(x) =

และ g(x) = 2f(x) แลว ( ) ( ) มคาเทาใด (PAT1 ต.ค.52)

Function เอกลกษณ

1.ให f และ g เปนฟงกชน ซงมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของเซตของจ านวนจรงโดยท

( )

และ ( )( )

ถา g(a) = 2 แลว a อยในชวงใดตอไปน (PAT1

ก.ค.53)

ให R แทนเซตของจ านวนจรง

ให f = *( ) | +

g = *( ) | +

ถา และ ( )( ) แลว( )( ) เทากบเทาใด (PAT1 ต.ค.53)

ตอบ.........................................

จ านวนจรง

1.(PAT1 มนาคม 52) ก าหนดให S เปนเซตค าตอบของสมาการ ผลบวกของ

สมาชกทงหมดของ S เทากบขอใดตอไปน

1. 2.1 2. 2.2 3 3.3 4. 3.5

2.ก าหนดให

A เปนเซตค าตอบของสมาการ

B เปนเซตค าตอบของสมาการ ( √ ) ( √ )

แลว เปนสบเซตของชวงในขอใดตอไปน

3.(PAT1 ก.ค.52) ให X คอ เซตค าตอบของอสมาการ ( )( )

Y คอเซตค าตอบของอสมาการ คาของ 6a – b มคาเทาใด เมอ | )

1. 4 2. 6 3. 8 4. 10

4.ก าหนดให 2 |

3ชวงในขอใดตอไปนเปนสบเซตของ S (PAT1 ต.ค.52)

คาสมบรณ

5.ก าหนดให { |√ } เมอ R แทนเซตของจ านวนจรง ขอใดตอไปน

ถกตอง (PAT1 มนาคม 53)

1. * || | +

2. ( )

3. * | +

4. * || | +

6.ให R แทนเซตของจ านวนจรง ถา A = 2 || |

| | 3 แลว , ) เทากบขอ

ใดตอไปน

7. ก าหนดให R แทนเซตของจ านวนจรง (PAT1 มนาคม 56)

ให A = * || | | | +

และ B = * | | |+

พจารณาขอความตอไปน

ก. * | +

ข. เปนเซตจ ากด (finite set)

สถต 1.จากการส ารวจน าหนกของนกเรยนกลมหนงจ านวน 4 คน ม 2 คน น าหนกเทากน และหนกนอยกวา อก

2 คนทเหลอ ถาฐานนยม มธยฐาน และ พสยของน าหนกของนกเรยน 4 คนน คอ 45, 46 และ 6 กโลกรม

ตามละดบ แลวความแปรปรวนของน าหนกของนกเรยน 4 คนนเทากบเทาใด

2.ก าหนดใหขอมลชดหนงมดงน 2, 4, 3, 5, 12, 5, 18, 6, 4, 2, 9, 4, ขอใตอไปนถกตอง

1.มธยฐานนอยกวาฐานนยม

2.คาเฉลยเลขคณตมากกวามธยฐาน

3.คาเฉลยเลขคณตเทากบมธยฐาน

4.ฐานนยมมากกวาคาเฉลยเลขคณต

การแจกแจงปกต

Note การแจกแจงไมปกต

ความสมพนธระหวางคากลางกบกบการกระจายของขอมล

3. นกเรยนหองหนงสอบวชาคณตศาสตรไดคะแนนเฉลยเลขคณตเทากบ 40คะแนน ถานกเรยนชายสอบ

ไดคะแนนแฉลยเลขคณต 35 คะแนน และนกเรยนหญง สอบไดคะแนนเฉลยเลขคณต 50 คะแนน

อตราสวนของนกเรยนชายตอนกเรยนหญงตรงกบขอใดตอไปน

X < Med < Mo

รปแบบโคงเบทางซาย

Mo < Med <X

รปแบบโคงเบทางขวา

X = Med = Mo

4.ครอบครวหนงมสมาชก 6 คน มอายเฉลย 34 ป สวนเบยงเบนมาตรฐานของอายเทากบ 8 ป อก 6 ป

ตอมามญาตสองคนมาขออาศยอยดวย โดยทญาตทงสองคนนมอายเทากน เทากบอายดฉลยของทง 6 คน

ในครอบครวนพอด สมประสทธการแปรผนของอายของคนทง 8 คนนเทากบขอใดตอไปน

1.√

2.

√ 3. √

4.

√

การหาต าแหนง

1. ขอมลชดหนงม 5 จ านวนและมคาเฉลยเลขคณตเทากบ 12 ถาควอไทลท 1 และ 3ของขอมลชดนมคาเทากบ 5 และ 20 ตามล าดบ แลวเดไซลท 5 ของขอมล ชดนมคาเทาใด

คามาตรฐาน

1. ถาคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 30 คน มคะแนนเฉลยเลขคณตเทากบ 60 คะแนน และมสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 10 ถาผลรวมของคามาตรฐานของคะแนนของนกเรยนกลมนเพยง 29 คน เทากบ 2.5 แลวนกเรยนอก1 คนทเหลอสอบไดคะแนนเทากบขอใดตอไป

2. ในการสอบคดเลอกเขาศกษาตอของโรงเรยนแหงหนง ถาสอบไดคะแนน 700 คะแนน แปลงคะแนนเปนคามาตรฐานได 4 แตถาสอบได400 คะแนน แปลงเปนคามาตรฐานได -2 แลวสมประสทธการแปรผนเทากบรอยละเทาใด

3. ก าหนดใหความสงของคนกลมหนงมการแจกแจงแบบปกต ถามคนสงกวา 145เซนตเมตรและ 165 เซนตเมตรอย 84.13% และ 15.87% ตามล าดบ แลวสมประสทธของความแปรผนของความสงของคนกลมนเทากบขอใดตอไปน

4.ในการสอบของนกเรยนหองหนงมการแจกแจงแบบโคงปกต พบวา มนกเรยนทไดคะแนนมากกวานาย ก

คดเปนรอยละ 9.48 และมนกเรยนทไดคะแนนนอยกวานาย ข คดเปนรอยละ 10.64 ถาหากนาย ข ได

คะแนนนอยกวานาย ก อย 38.25 คะแนน จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐานขอคะแนนนกเรยนหองน (แนว

PAT 1 มนานคม 56)

z 0.24 0.27 1.24 1.31

พนท 0.0948 0.1064 0.3936 0.4052

z 1.00 1.12 1.14 1.16 พนทใตเสนโคงปกตมาตรฐานจาก 0 ถง z 0.3413 0.3686 0.3729 0.3770

เลขยกก าลง

1.รากทมคานอยทสดของสมการ ( ) ( ) มคาเทาใด

2.ถา x > 0 และ 8x + 8 = 4x + 2x+3 แลวคาของ x อยในชวงใดตอไปน (PAT 1 ต.ค. 52)

1. [0,1) 2. [1,2) 3. [2,3) 4. [3,4)

3.ก าหนดให A แทนเซตค าตอบของสมาการ ( √ ) (

√ )

ผลบวกของสมาชกในเซต A ทงหมดเทากบเทาใด

4.ถา A เปนเซตค าตอบของสมาการ ( ) และ B เปนเซตค าตอบของสมาการ * ) ( )

แลวผลบวกของสมาชกทงหมดในเซต เทากบขอใดตอไปน (PAT1 ก.ค. 53)

5.ก าหนดให x เปนจ านวนจรงบวก จาก และ

( )( )( )

( )( )( )

คาของ xy เทากบขอใด

เมตรกซ

1. ให x, y, z และ w สอดคลองกบสมาการ (PAT1 มนาคม 53)

0

1 [

] 0

1 0

1

คาของ 4w – 3z + 2y – x เทากบเทาใด

ตอบ...........................................

โจทยเมทรกซ

1. แนวหา อนเวอรส ของ 2 x 2

(PAT 1 ก.ค. 52) ก าหนดให A และ B เปนเมทรกซทสอดคลองกบ 2A – B = 0

1 และ A + 2B =

0

1 จงหาวา (AB)-1คอเมทรกซในขอใดตอไปน

1. 6

7 2. 6

7 3. 6

7 4. 6

7

3. ถา det( [

]

)

แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน(PAT1 ต.ค.52)

1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

4.ก าหนดให A = [

] โดยท x และ y เปนจ านวนจรง ถา C11(A) = 13 และ C21(A) = 9 แลว

det(A) มคาเทากบขอใดตอไปน (PAT1 ม.ค.52)