Zoran Markovi}1, Zoran Bojani}2, Predrag Stefanovi}1,Dejan Cvetinovi}1, Nikola @ivkovi}1,Rastko Jovanovi}1, Zoran Pavlovi}1

1 Laboratorija za termotehniku i energetiku, Institut za nuklearne nauke „Vin~a”, Beograd, Srbija2 Ma{inski fakultet, Univerzitet u Beogradu, Beograd, Srbija

Parametarska bifurkaciona analiza aksijalnopritisnutih slobodno oslowenih cilindri~nih quskikori{}ewem metode kona~nih elemenata

Originalni nau~ni radUDC: 539.3/.4:517.96

U radu su predstavqeni rezultati parametarske numeri~ke bi-furkacione analize aksijalno pritisnutih, elasti~nih, slobodno oslowenih cilindara, razli~itih geometrijskih karakteristi-ka. Kori{}ewem metode kona~nih elemenata i programskog paketaAnsys, prora~unate su vrednosti aksijalnog pritiska pri kojimadolazi do gubitka stabilnosti i odre|eni pripadaju}i sopstvenivektori (najni`i modovi) za analizirane modele cilindara. Dobi-jeni rezultati ukazuju na to da nosivost aksijalnog optere}ewaslobodno oslowenog cilindra zna~ajno opada sa porastom odnosapolupre~nika i debqine zida cilindra. S druge strane, krutostcilindra na aksijalno optere}ewe lagano opada sa porastom od-nosa du`ine i polupre~nika cilindra u posmatranoj oblasti geo-metrijskih karakteristika.

Kqu~ne re~i: nosivost cilindri~nih quski, kona~ni elementi,bifurkaciona analiza

Uvod

Poznato je da tankozidne cilindri~ne quske imaju veoma dobru nosivost s

obzirom na wihovu ukupnu te`inu. Stoga su ~esto kori{}en konstruktivni el e ment

u in`ewerskim konstrukcijama. Me|utim, wihova nosivost se zna~ajno smawuje pri

pojavi gubitka stabilnosti [1]. Projektne jedna~ine za odre|ivawe vrednosti kri-

ti~nog optere}ewa pri kojem dolazi do gubitka stabilnosti strukture sa tanko-

zidnim quskama definisane su samo za jednostavnije in`ewerske konstrukcije [2].

Za slo`enije strukture, koje trpe kompleksna optere}ewa (gravitaciono + uticaj

vetra, na primer), postoje}e projektne jedna~ine nisu primewive. Prob lem se

Z. Markovi} i dr.: Parametarska bifurkaciona analiza aksijalno pritisnutih ...TERMOTEHNIKA, 2009, XXXV, 3-4, 263–282

263

dodatno uslo`wava ~iwenicom da su ove konstrukcije veoma osetqive na uvek

prisutne nesavr{enosti u geometriji i materijalu quske, koje im zna~ajno smawuju

nosivost [3, 4]. S obzirom da nesavr{enosti nastaju tokom proizvodnog procesa, nije

mogu}e unapred predvideti wihov oblik niti vrednosti odstupawa idealne od

realne geometrije konstrukcije cilindra. Da bi aproksimativno izra~unali vred-

nosti kriti~nog optere}ewa pri kojem realna konstrukcija postaje nestabilna, te

informacije je neophodno poznavati. Statisti~ki modeli kojima se defini{u

geometrijske nesavr{enosti [5, 6] odnose se na cilindre dobijene konkretnim pro-

izvodnim procesom i zahtevaju veliki broj slo`enih merewa na realnim konstruk-

cijama. Stoga je oblast wihove primewivosti za sada jo{ uvek veoma ograni~ena [7].

Drugi pristup re{avawu problema procene nosivosti realne konstrukcije

je da se nesavr{enost geometrije pretpostavi u obliku odgovaraju}e kombinacije os-

novnih bifurkacionih modova konstrukcije, unapred definisanog intenziteta [8,

9]. Ovakav pristup je preuzet i daqe preporu~en u novom Evropskom stan dardu za

prora~un ~eli~nih konstrukcija quski [10]. Stoga je, bez obzira na ~iwenicu da su

vrednosti kriti~nog optere}ewa pri bifurkaciji idealne konstrukcije zna~ajno

vi{e od kriti~nih vrednosti pri kojima realna konstrukcija postaje nestabilna,

veoma bitno da se precizno odrede vrednosti optere}ewa pri pojavi bifurkacije i

oblici bifurkacionih modova idealne konstrukcije koji }e biti kori{}eni za

numeri~ku simulaciju pona{awa realne konstrukcije.

Proces projektovawa nose}ih konstrukcija sa tankozidnim quskama ~esto

se oslawa na numeri~ku simulaciju, izme|u ostalih i analizu metodom kona~nih

elemenata [11]. Diskretizaciona metoda kona~nih elemenata, zasnovana na metodi

pomerawa, omogu}ava odre|ivawe vrednosti kriti~nog optere}ewa pri kojoj }e do}i

do gubitka stabilnosti aksijalno pritisnute cilindri~ne quske, kao i definisawe

moda (oblika) koji }e se pri tome formirati [12].

U radu su predstavqeni rezultati parametarske numeri~ke bifurkacione

analize aksijalno pritisnutih, elasti~nih, idealnih cilindara, razli~itih geome-

trijskih karakteristika. Kori{}ewem programskog paketa Ansys [13], zasnovanog na

metodi kona~nih elemenata, prora~unate su vrednosti kriti~nih optere}ewa (naj-

ni`e sopstvene vrednosti) i odre|eni su pripadaju}i sopstveni vektori (najni`i

modovi) modeliranih cilindara pri bifurkaciji. U skladu sa rezultatima analize

[14], kona~nim elementima je modelirana kompletna konstrukcija cilindara. Prin-

cip formirawa modela kona~nih elemenata aksijalno pritisnutog slobodno oslo-

wenog cilindra detaqno je obja{wen u radu [15].

Analiziran je uticaj geometrijskih karakteristika idealnog cilindra,

faktora gustine numeri~ke mre`e i tipa kona~nih elemenata, kori{}enih za

formirawe modela kona~nih elemenata, na prora~unate vrednosti kriti~nog

optere}ewa pri kojem }e do}i do gubitka stabilnosti. Tako|e, razmatran je uticaj

navedenih parametara na oblike najni`ih bifurkacionih modova izdvojenih

numeri~kom simulacijom.

Dobijeni rezultati upore|eni su sa rezultatima klasi~ne teorije stabil-

nosti [1], aproksimativnim analiti~kim rezultatima [16, 17], kao i rezultatima nu-

Z. Markovi} i dr.: Parametarska bifurkaciona analiza aksijalno pritisnutih ...TERMOTEHNIKA, 2009, XXXV, 3-4, 263–282

264

meri~ke analize [12] sprovedene kori{}ewem programskog paketa Abaqus, za oblast

istovetnih geometrijskih karakteristika cilindara.

Geometrijski idealan cilindar

Za aksijalno pritisnut cilindar (sl. 1), Donelove (Donnell) jedna~ine uslo-

va ravnote`e i kompatibilnosti deformacija quske [1] imaju oblik:

D

tu L uÑ = + Ñ4 2( , )F Fk (1)

1 1

2

4 2

EFÑ = - -ÑL u u uk( , ) (2)

U prirodnom sistemu koordinata, pri-

kazanom na sl. 1, promenqiva u predstavqa

radijalnu komponentu pomerawa ta~aka

sredwe povr{i quske koja je pozitivna u

smeru spoqa{we strane cilindra, n ‡ pome-

rawe u obimnom pravcu, w ‡ pomerawe u

pravcu ose cilindra. Klasi~na teorija sta-

bilnosti tankozidnih quski predvi|a da }e

aksijalno pritisnuti cilindar, dovoqne du-

`ine (L/R > 1), izgubiti stabilnost kada

aksijalni pritisni napon scr dostigne vred-

nost:

sn

cr =-

æ

èç

ö

ø÷ »

æ

èç

ö

ø÷

E t

RE

t

R3 10 6

2( ). (3)

Ovo je ujedno najmawa vrednost scr za koje postoji netrivijalno re{ewe

sistema diferencijalnih jedna~ina (1) i (2) i ne zavisi eksplicitno od du`ine ci-

lindra. Re{ewe (3) defini{e osnosimetri~nu formu pri pojavi gubitka stabil-

nosti idealnog cilindra. Pretpostavqaju}i pomerawa ta~aka sredwe povr{i

aksijalno pritisnutog cilindra u obliku:

u Am z

L

ny

R= sin cos

p(4)

v Bm z

L

ny

R= cos sin

p(4a)

w Cm z

L

ny

R= cos cos

p(4b)

Z. Markovi} i dr.: Parametarska bifurkaciona analiza aksijalno pritisnutih ...TERMOTEHNIKA, 2009, XXXV, 3-4, 263–282

265

Slika 1. Osnovne geometrijskekarakteristike cilindri~nog modela

za uslov slobodnog oslawawa:

z z L uu

z= = = =0 0 0

2

2i ; ,

¶

¶(5)

aproksimativni izraz za vrednost optere}ewa sArb pri kojem dolazi do gubitka

stabilnosti [5] dat je izrazom:

sArb = kD

tLz

p2

2(6)

U prethodnoj jedna~ini koeficijent kz je, za m formiranih polutalasa u

aksijalnom i n talasa u obimnom pravcu, definisan sa:

k mZ

mz = + +

+

2 2 22

2 21

12

1( )

( )b

b(6a)

Pretpostavqaju}i da su pomerawa u, v i w ta~aka sredwe povr{i cilindra

male veli~ine u odnosu na spoqne dimenzije pritisnutog cilindra, Timo{enko je za

cilindre sa L > 2R usvojio re{ewa jedna~ina (1) i (2) u op{tem obliku [5]:

u Am z

L

ny

R= sin sin

p(7)

v Bm z

L

ny

R= sin cos

p(7a)

w Cm z

L

ny

R= cos sin

p(7b)

Me|utim, na osnovu wih je dobijen izraz za vrednost aksijalnog pritisnog

napona slobodno oslowenog cilindra pri pojavi nestabilnosti:

s nTim ( )1 2-=

Et

R

S(8)

gde je:

R n n

n

= - + + - + - +

+ -

4 2 4 2 4 6 4

4 2

1 1 2 3

2 1

( ) ( ) ( )( )

( )

n J e J n n J

n

[n8

J n J n J4 6 4 4 2 4 67 3 2- + + + + -n n n n( ) ( ) ] (8a)

S n nn

v

vn= + +

-+

-æ

èç

ö

ø÷

ìíî

+ +2 2 4 2 22

2 4 212

1

1

21 1J J J e J( ) ( )[ 2

2 2 2 42 22

1

2

1

1

21 1

]

[ ]

-

--

+-

+-æ

èç

ö

ø÷ + -

üýþ

n nn J

n

e

nJ

nn J( ) (8b)

Z. Markovi} i dr.: Parametarska bifurkaciona analiza aksijalno pritisnutih ...TERMOTEHNIKA, 2009, XXXV, 3-4, 263–282

266

Teorijski, postoji beskona~no mnogo re{ewa za vrednosti napona sArb i sTim

u jedn. (6) i (8), koja odgovaraju razli~itim vrednostima brojeva m i n. Najmawe od tih

vrednosti predstavqaju napone pri pojavi nestabilnosti. Pote{ko}a u kori{}ewu

jedn. (6) ili (8) je u tome da vrednosti za m i n nisu unapred poznate. Prakti~no, treba

sprovesti veliki broj prora~una za razli~ite kombinacije m i n i potra`iti najma-

wu vrednost iz skupa dobijenih napona.

Model kona~nih elemenata

Model kona~nih elemenata definisan je u cilindri~nom koordinatnom

sistemu, sa koordinatnim po~etkom sme{tenim kao na sl. 1. Osna i ravanska

simetrija cilindri~ne geometrije u op{tem slu~aju omogu}avaju da se za numeri~ku

simulaciju mogu koristiti modeli adekvatno izabranog dela cilindra (1/2 struktu-

re, sektorski ise~ak od 90 ili 180° i sl.). Ovo omogu}ava kori{}ewe maweg broja

kona~nih elemenata za formirawe modela, {to daqe dovodi do skra}ewa vremena

procesirawa i uti~e na zahteve za potrebnim hardverskim resursima. S druge strane,

za idealne cilindre je karakteristi~na pojava periodi~no simetri~nih modova pri

bifurkaciji, {to tako|e omogu}ava smawewe dimenzija modelovane strukture.

Me|utim, na osnovu rezultata analize uticaja izbora na~ina modelirawa strukture

cilindra kona~nim elementima na dobijenu vrednost bifurkacionog optere}ewa i

formirani najni`i mod [14], u ovom radu je ipak izabran pristup modelirawa

kompletne strukture cilindra. Shodno rezultatima analize [15], usvojena je mre`a

kona~nih elemenata sa 80 elemenata u obimnom pravcu, dok je broj elemenata u

aksijalnom pravcu odre|en potprogramski, uz uslov da svaki el e ment u mre`i

kona~nih elemenata ima odnos bo~nih stranica blizak 1.

Na osnovu rezultata iz [18 i 19] gde je izvr{ena detaqnija analiza primewi-

vosti razli~itih tipova kona~nih elemenata quske, koje podr`ava programski

paket Ansys, u re{avawu kompleksnih nelinearnih problema sa prenosom toplote,

izabrano je da se za formirawe modela

kona~nih elemenata cilindra usvoje

slede}a dva strukturalna kona~na ele-

menta quske:

(a) ^etvorougaoni izoparametarski

el e ment drugog reda ~ija je geomet-

rija prikazana na sl. 2. Ovaj kona~-

ni el e ment ima {est stepeni

slobode u svakom od osam ~vorova

(translacije u x, y i z pravcu lokal-

nog pravouglog koordinatnog siste-

ma ~vora i rotacije oko tih osa).

Interpolacione funkcije po pome-

rawima za ovaj kona~ni element

imaju slede}i oblik [11, 13]:

Z. Markovi} i dr.: Parametarska bifurkaciona analiza aksijalno pritisnutih ...TERMOTEHNIKA, 2009, XXXV, 3-4, 263–282

267

Slika 2. Geometrijske karakteristikekvadratnog elementa ‡ tip (a)

u

w

P

u

w

Prt

a

ii

Ni

i

i

ii

Nin n

ì

íï

îï

ü

ýï

þï

=

ì

íï

îï

ü

ýï

þï

+= =å å

1 1 2

1

2

3

1

2

3

,

,

,

,

,

,

,

,

i

i

i

i

i

i

x i

y i

a

a

b

b

b

é

ë

êêê

ù

û

úúú

üýþ

q

q(9)

pri ~emu je N = 8, a funkcije oblika Pi date su kao [13]:

P s t s t P s t

P s

1 52

2

1

41 1 1

1

41 1

1

41

= - - - - - = + -

= +

( )( )( ), ( )( ),

( )( )( ), ( )( ),

( )( )(

1 11

41 1

1

41 1

62

3

- - - = + -

= + + +

t s t P s t

P s t s t - = - +

= - + - + - =

11

41 1

1

41 1 1

1

4

72

4 8

), ( )( ),

( )( )( ),

P s t

P s t s t P ( )( ).1 1 2- -s t

(10)

Pomerawa u globalnim ~vorovima modela kona~nih elemenata su definisa- na u

pravcima osa globalnog pravouglog koordinatnog sistema, dok su rotacije u

~vorovima definisane oko osa lokalnog s–t koordinatnog sistema sredwe povr{i

elementa.

(b) ^etvorougaoni linearni izoparametarski el e ment quske bez dodatnih funkcija

oblika. Sadr`i ~etiri temena ~vora sa po {est (spomenutih) stepeni slobode.

Geometrijske karakteristike ovog elementa prikazane su na sl. 3. Interpola-

ciona funkcija pomerawa za ovaj el e ment

data je jedn. (9), pri ~emu je N = 4, a funkci-

je oblika Pi date kao [13]:

P s t

P s t

P s t

P

1

2

3

4

1

41 1

1

41 1

1

41 1

= - -

= + -

= + +

( )( ),

( )( ),

( )( ),

= - +1

41 1( )( ).s t

(11)

Z. Markovi} i dr.: Parametarska bifurkaciona analiza aksijalno pritisnutih ...TERMOTEHNIKA, 2009, XXXV, 3-4, 263–282

268

Slika 3. Geometrijske karakteristikelinearnog elementa ‡ tip (b)

I u slu~aju ovog elementa, ~vorna pomerawa u globalnim ~vorovima modela

kona~nih elemenata definisana su u odnosu na globalni pravougli koordinatni

sistem, dok su rotacije u ~vorovima definisane oko osa lokalnog s–t koordinatnog

sistema sredwe povr{i elementa.

Na osnovu rezultata analize uticaja tipa modela oslonaca na vrednosti

kriti~nog optere}ewa pri gubitku stabilnosti cilindra [15], usvojen je slede}i

model oslawawa: spre~ena su pomerawa u radijalnom (x) i obimnom (y) pravcu, kao i

rotacije oko pravaca x i z ~vorovima koji se nalaze u ravnima z = 0 i z = L; tako|e, za

dva ~vora koji se nalaze u ravni z = L/2, sa y = 0° i y = 180°, spre~eno je pomerawe u

aksijalnom (z) pravcu, a za dva ~vora koji se nalaze u ravni z = L/2, sa y = 90° i y = -90°

spre~eno je pomerawe u obimnom (y) pravcu.

Spoqa{we optere}ewe je uneto kao jedini~na pritisna sila FZ u ~vorovima

koji se nalaze u ravnima z = 0 i z = L. U na{em slu~aju (za odabrani faktor gustine

mre`e 2 [15]), model sadr`i ukupno 80 kona~nih elemenata po obimu. U zavisnosti od,

numeri~kom simulacijom dobijene, vrednosti faktora proporcionalosti l, geomet-

rije analiziranog cilindra (pre~nika R i debqine t), kao i tipa kori{}enog kona~-

nog elementa (linearni ili kvadratni), prora~unate su vrednosti za sA kao povr-

{inskog optere}ewa, svedeno na bo~nu povr{inu kona~nog elementa na koju deluje

spoqa{we optere}ewe nedeformisanog kona~nog elementa.

Ovako uneto optere}ewe zadr`ava isti pravac dejstva pri deformisawu

cilindra (pravac z-ose), ~ime je obezbe|ena konzervativnost problema s obzirom na

unos spoqa{weg optere}ewa.

Faktor odnosa polupre~nika i debqine modela kona~nih elemenata cilin-

dra kretao se u opsegu 400 £ R/t £ 2000, a faktor odnosa du`ine i polupre~nika u

opsegu 0,5 £ L/R £ 4, kako je prikazano u tabl. 1. Debqina zida svakog od cilindara je

Z. Markovi} i dr.: Parametarska bifurkaciona analiza aksijalno pritisnutih ...TERMOTEHNIKA, 2009, XXXV, 3-4, 263–282

269

Tablica 1. Osnovne karakteristike modela kona~nih elemenata koji su kori{}eniza bifurkacionu analizu stabilnosti aksijalno pritisnutog cilindra

Oznakamodela

L[m]

R[m]

L/R[–]

R/t[–]

Tip. kon.ele-

menta

Oznakamodela

L[m]

R[m]

L/R[–]

R/t[–]

Tip kon.ele-

menta

K400_05 0,4 0,8 0,5 400 (b) K1200_2 4,8 2,4 2 1200 (a), (b)

K400_1 0,8 0,8 1 400 (a) K1200_4 9,6 2,4 4 1200 (b)

K400_2 1,6 0,8 2 400 (a) K1600_05 1,6 3,2 0,5 1600 (a), (b)

K400_4 3,2 0,8 4 400 (a) K1600_1 3,2 3,2 1 1600 (a), (b)

K800_05 0,8 1,6 0,5 800 (a) K1600_2 6,4 3,2 2 1600 (a), (b)

K800_1 1,6 1,6 1 800 (a), (b) K1600_4 12,8 3,2 4 1600 (b)

K800_2 3,2 1,6 2 800 (a) K2000_05 2 4 0,5 2000 (a), (b)

K800_4 6,4 1,6 4 800 (b) K2000_1 4 4 1 2000 (a), (b)

K1200_05 1,2 2,4 0,5 1200 (a), (b) K2000_2 8 4 2 2000 (a), (b)

K1200_1 2,4 2,4 1 1200 (a), (b) K2000_4 16 4 4 2000 (a), (b)

bila fiksna veli~ina u ovim prora~unima i iznosi t = 0,002 m. Za sve modele usvojene

su slede}e vrednosti: moduo elasti~nosti E = 2×1011 N/m2, napon pri pojavi te~ewa

sy = 3,2×108 N/m2. Geometrijske karakteristike procesiranih modela cilindara,

wihove oznake i tip kori{}enog kona~nog elementa, date su u tabl. 1.

Osnovi linearne bifurkacione analize

Bifurkaciona analiza je iznala`ewe vrednosti pritisnog optere}ewa pri

kojem idealni sistem postaje nestabilan i svodi se na re{avawe klasi~nog problema

svojstvenih vrednosti. Najni`i koren (svojstvena vrednost) problema odre|uje nivo

do kojeg je sistem stabilan, a odgovaraju}i svojstveni vektor novu ravnote`nu formu

sistema. Energija deformacije kona~nog elementa se u matri~nom obliku mo`e

prikazati [11, 13]:

U q k k qTg= +

1

20( ) (12)

Potencijalna energija sistema kona~nih elemenata modela cilindra je:

E q K K q q QTg

T* * * * * *( )= + -1

20 (13)

Primenom stava o stacionarnosti (dE* = 0) se dobija:

( )* * * *K K q Qg0 + = (14)

U sistemu jedn. (14) geometrijska matrica krutosti sistema K g* je nepoznata,

po{to zavisi od napona koji su tako|e nepoznati. Pod pretpostavkom da je raspodela

napona u telu nezavisna od intenziteta optere}ewa, tj. kvalitativno uvek ista,

mogu}e je odrediti geometrijsku matricu krutosti sistema kona~nih elemenata bez

prethodnog odre|ivawa poqa pomerawa i poqa napona. Pod pretpostavkom da su

naponi proporcionalni optere}ewu, sa faktorom proporcionalnosti l, dvostru-

kom varijacijom izraza (14) se dobija:

( )K K g0 0* *+ =l y (15)

Kao spoqa{we optere}ewe kori{}ena je jedini~na sila (F = 1) u ~vorovima

elementa, pa faktor proporcionalnosti predstavqa nivo optere}ewa pri pojavi

prate}eg moda definisanog vektorom y. Za izdvajawe vektora y kori{}ena su dva

metoda: metod potprostora i blok Lanczos metod [13].

Rezultati numeri~ke analize

Rezultati numeri~ke simulacije dati su u tabl. 2‡4 i prikazani dijagramima

na sl. 4‡16. Dijagrami dati na sl. 4‡7 prikazuju zavisnosti prora~unatih vrednosti

Z. Markovi} i dr.: Parametarska bifurkaciona analiza aksijalno pritisnutih ...TERMOTEHNIKA, 2009, XXXV, 3-4, 263–282

270

kriti~nog optere}ewa od faktora debqine R/t za razli~ite vitkosti cilindra L/R,

dok su dijagramima prikazanim na sl. 8‡12 date zavisnosti prora~unatih vrednosti

kriti~nog optere}ewa od vitkosti cilindra L/R za razli~ite faktore debine R/t.

Zbirni prikaz zavisnosti prora~unatih vrednosti kriti~nog optere}ewa

od faktora debqine R/t i vitkosti cilindra L/R dat je dijagramima sa sl. 13 i 14,

respektivno. Zavisnost koeficijenta kZ od geometrijskih karakteristika modela

cilindara Z prikazan je dijagramom na sl. 15.

Z. Markovi} i dr.: Parametarska bifurkaciona analiza aksijalno pritisnutih ...TERMOTEHNIKA, 2009, XXXV, 3-4, 263–282

271

Tablica 2. Rezultati linearne analize

R/t 400 800 1200 1600 2000

scr [Nm–2] ‡ re{ewe jedn. (3)

L/R

0,5 0,303×109 0,151×109 0,101×109 0,756×108 0,605×108

1,0 0,303×109 0,151×109 0,101×109 0,756×108 0,605×108

2,0 0,303×109 0,151×109 0,101×109 0,756×108 0,605×108

4,0 0,303×109 0,151×109 0,101×109 0,756×109 0,605×108

sArb [Nm–2] ‡ re{ewe jedn. (6)

L/R

0,5 0,303×109 0,151×109 0,101×109 0,759×108 0,612×108

1,0 0,315×109 0,168×109 0,101×109 0,816×108 0,659×108

2,0 0,309×109 0,152×109 ‡ 0,843×108 ‡

4,0 0,310×109 0,154×109 0,101×109 0,787×108 0,605×108

sTim [Nm–2] ‡ re{ewe jedn. (8)

L/R

0,5 0,298×109 0,149×109 0,100×109 0,757×108 0,611×108

1,0 0,312×109 0,167×109 0,101×109 0,814×108 0,657×108

2,0 0,289×109 0,145×109 ‡ 0,831×108 ‡

4,0 0,273×109 0,141×109 0,940×108 0,737×108 0,573×108

sA [Nm–2] ‡ rezultat numeri~ke simulacije

L/R

0,5 0,330×109 0,154×109 0,103×109 0,766×108 0,611×108

1,0 0,303×109 0,152×109 0,101×109 0,753×108 0,600×108

2,0 0,300×109 0,149×109 0,991×108 0,748×108 0,587×108

4,0 0,289×109 0,155×109 0,104×109 0,815×108 0,644×108

Formirani mod (m, n)

L/R

0,5 (1, 14) (1, 17) (10, 0) (12, 0) (12, 0)

1,0 (1, 10) (13, 0) (19, 0) (19, 0) (21, 0)

2,0 (1, 7) (1, 9) ‡ (38, 0) ‡

4,0 (1, 5) (1, 6) (1, 7) (1, 7) (1, 8)

Z. Markovi} i dr.: Parametarska bifurkaciona analiza aksijalno pritisnutih ...TERMOTEHNIKA, 2009, XXXV, 3-4, 263–282

272

Tablica 3. Rezultati linearne analize za modele istih geometrijskihkarakteristika formiranih od razli~itih tipova kona~ih elemenata

ModelsA [Nm–2]

element (a)(m, n)

xgr1

[%]xgr2

[%]sA [Nm–2]

element (b)(m, n)

xgr1

[%]xgr2

[%]

K800_1 0,1517×109 (13, 0) 9,5075 8,9936 0,1604×109 (1, 12) 11,5250 –8,0564

K1200_1 0,1007×109 (19, 0) 0,7239 0,3859 0,1150×109 (1, 13) –11,6943 –13,9349

K1200_2 0,9913×108 (19, 0) 57,9726 57,6323 0,1065×109 (1, 10) –5,2979 –9,1285

K1600_1 0,7529×108 (19, 0) 7,7549 7,5002 0,8783×108 (1, 14) –13,6224 –15,5781

K1600_2 0,7480×108 (38, 0) 8,3635 8,1105 0,8153×108 (1, 10) –5,2753 –8,7963

K2000_05 0,6108×108 (12, 0) 0,2142 0,0089 0,7259×108 (1, 21) –19,0381 –19,9791

K2000_1 0,6004×108 (21, 0) 8,8623 8,6591 0,6657×108 (1, 15) –8,7594 –10,4048

K2000_2 0,5870×108 (17, 0) 79,3111 79,1092 0,6489×108 (1, 12) –3,3002 –6,0405

Slika 4. Vrednosti kriti~nog optere}ewaza L/R = 0,5

Slika 5. Vrednosti kriti~nog optere}ewa za L/R = 1,0

Slika 6. Vrednosti kriti~nog optere}ewaza L/R = 2,0

Slika 7. Vrednosti kriti~nog optere}ewa za L/R = 4,0

Rezultati analize [12] ukazuju da je razlika izme|u numeri~ki prora~unatog

bifurkacionog optere}ewa kori{}ewem kona~nog elementa sa osam ~vorova i {est

stepeni slobode u odnosu na vrednost dobijenu jedn. (8) oko 1,5%, dok se vrednosti bi-

furkacionog optere}ewa dobijene numeri~kom simulacijom kori{}ewem elemena-

ta sa ~etiri ~vora (bez obzira da li je el e ment sa 5 ili 6 stepeni slobode) razlikuje

od teorijske vrednosti i do 15%, ~ak i za velike gustine mre`e kona~nih elemenata.

Z. Markovi} i dr.: Parametarska bifurkaciona analiza aksijalno pritisnutih ...TERMOTEHNIKA, 2009, XXXV, 3-4, 263–282

273

Slika 8. Vrednosti kriti~nog optere}ewaza R/t = 400

Slika 9. Vrednosti kriti~nog optere}ewaza R/t = 800

Tablica 4. Sopstvene vrednosti l za model K800_1, 0 £ n £ 20, 1 £ m £ 20

n0 1 2 ¼ 10 11 12 13 14 ¼

m

1 133,92992 110,42121 67,82136 ¼ 1,31205 1,08992 1,00472 1,02087 1,11999 ¼

2 33,48948 31,85598 27,61379 ¼ 2,77556 2,14965 1,71138 1,40885 1,20674 ¼

3 14,89770 14,56859 13,64440 ¼ 3,36889 2,76056 2,28138 1,90782 1,62002 ¼

4 8,40037 8,29573 7,99343 ¼ 3,21759 2,77636 2,39912 2,08110 1,81648 ¼

M M M M ¼ M M M M M ¼

10 1,52595 1,52362 1,51667 ¼ 1,33060 1,29797 1,26506 1,23237 1,20042 ¼

11 1,33271 1,33124 1,32685 ¼ 1,20769 1,18651 1,16508 1,14374 1,12284 ¼

12 1,19886 1,19793 1,9516 ¼ 1,11976 1,10636 1,09283 1,07941 1,06633 ¼

13 1,10794 1,10737 1,10567 ¼ 1,05979 1,05180 1,04381 1,03600 1,2854 ¼

14 1,04917 1,04885 1,04787 ¼ 1,02246 1,01829 1,01427 1,01051 1,00713 ¼

15 1,01524 1,01508 1,01461 ¼ 1,00372 1,00233 1,0119 1,00038 1,00001 ¼

16 1,00102 1,00099 1,00089 ¼ 1,00052 1,00117 1,00215 1,00355 1,00543 ¼

17 1,00289 1,00294 1,00310 ¼ 1,01052 1,01268 1,01526 1,01832 1,02190 ¼

M M M M ¼ M M M M M

Na osnovu toga je zakqu~eno da je kona~ni el e ment sa 8 ~vorova i {est stepeni

slobode adekvatniji za simulaciju gubitka stabilnosti idealnog, slobodno oslowe-

nog cilindra.

U ovom radu prikazani su rezultati numeri~kih simulacija gubitaka

stabilnosti modela aksijalno pritisnutih cilindara, formiranih od dva tipa

kona~nih elemenata sa po 6 stepeni slobode: izoparametarski kvadratni ‡ tip (a) sa

osam ~vorova i linearni ‡ tip (b) sa ~etiri ~vora. Za neke od cilindara formirana

su po dva modela: jedan kori{}ewem lin earnog, a drugi kori{}ewem kvadratnog

kona~nog elementa (tabl. 1). Izvr{ena je bifurkaciona analiza oba modela i

dobijeni rezultati su upore|eni. Shodno ovome, dijagrami na sl. 4‡15 prikazuju

rezultate za modele kojima su numeri~kim prora~unom dobijene ni`e vrednosti

kriti~nog optere}ewa.

Tako|e, kao najni`i su za neke od modela cilindara izdvojeni osnosi-

metri~ni modovi. Ti slu~ajevi su u tabl. 2 osen~eni.U nekoliko slu~ajeva, prora~un

Z. Markovi} i dr.: Parametarska bifurkaciona analiza aksijalno pritisnutih ...TERMOTEHNIKA, 2009, XXXV, 3-4, 263–282

274

Slika 10. Vrednosti kriti~nog optere}ewaza R/t = 1200

Slika 11. Vrednosti kriti~nog optere}ewaza R/t = 1600

Slika 12. Vrednosti kriti~nog optere}ewa za R/t = 2000

Slika 13. Vrednosti kriti~nogoptere}ewa za razli~ite vrednosti

L/R i R/t dobijene numeri~ki

za cilindar ~iji je model formiran od razli~itog tipa kona~nih elemenata dao je

razli~ite rezultate za vrednosti kriti~nog optere}ewa, kao i druga~ije oblike

formiranih modova. Ti slu~ajevi i numeri~kom simulacijom dobijeni rezultati

prikazani su u tabl. 3. U toj tablici su osen~eni slu~ajevi osnosimetri~nih modova

cilindra za koje nije bilo mogu}e sa precizno{}u utvrditi broj polutalasa u

aksijalnom pravcu.

Upore|ivawem sa teorijskim re{ewima (6) i (8), kao i sagledavawem mape

sopstvenih vrednosti posmatranog modela cilindra, uo~eno je da se ne mo`e unapred

dati prednost ni jednom od ova dva tipa kona~nih elemenata. Na primer, vrednosti

kriti~nih optere}ewa dobijenih za osnosimetri~ne modove nekih od modela formi-

ranih kvadratnim kona~nim elementom, ni`e su od vrednosti optere}ewa pri kojima

su kao najni`i izdvojeni asimetri~ni modovi koji su, za iste geometrijske konfigu-

racije, dobijeni za modele formirane kori{}ewem linearnog kona~nog elementa,

kako se vidi iz tabl. 3. Iz mape sopstvenih vrednosti modela cilindra K800_1

vidimo da je sopstvena vrednost asimetri~nog moda (1,12) sa jednim polutalasom u

aksijalnom i 12 talasa u obimnom pravcu, mawa od sopstvene vrednosti osnosi-

metri~nog moda (13,0) sa 13 polutalasa u aksijalnom pravcu: lm1 12, = 1,00472 < 1,10794 =

= lm13 0, . Pri istom faktoru gustine mre`e, vrednost optere}ewa za model formiran

od kvadratnog kona~nog elementa, pri kojem je izdvojen mod (13, 0) je sA = 0,153799×109

N/m2, dok je optere}ewe pri kojem je izdvojen mod (1,12) za model formiran od

linearnog kona~nog elementa, sA = 0,160365×109 N/m2. Iz tabl. 4. se vidi da postoji

serija (oblast) modova, simetri~nih (m > 16) i asimetri~nih (0 £ n £ 20), sa l » 1.

Za svaki od modela iz posmatranog seta geometrijskih karakteristika

mo`emo re}i da spada u relativno duga~ke cilindre, tako da, prema [1 i 16], treba

o~ekivati da }e se formirati modovi sa jednim polutalasom u aksijalnom pravcu i

vi{e obimnih talasa. Iz tabl. 3 vidimo da numeri~ki prora~un predvi|a da }e se

neki modeli cilindara (R/t ³ 1200 i L/R £ 1) izvijati u osnosimetri~ne forme sa

Z. Markovi} i dr.: Parametarska bifurkaciona analiza aksijalno pritisnutih ...TERMOTEHNIKA, 2009, XXXV, 3-4, 263–282

275

Slika 14. Vrednosti kriti~nogoptere}ewa za razli~ite vrednosti

R/t i L/R dobijene numeri~ki

Slika 15. Zavisnost koeficijenta kz

od geometrijskih karakteristikacilindra Z i zadate odnose R/t

ve}im brojem polutalasa u aksijalnom pravcu m. Oblici tih osnosimetri~nih for-

mi dati su u tabl. 3 i na sl. 16 (a‡`), respektivno.

Tako|e, uo~avamo da su numeri~ki dobijene vrednosti bifurkacionih

optere}ewa kao i izdvojeni najni`i modovi za modele formirane kona~nim

elementom sa 8 ~vorova ‡ tip (a), veoma sli~ne vrednostima re{ewa jedn. (3) i

o~ekivanim vrednostima iz wihovih mapa sopstvenih vrednosti. Ovo je posledica

geometrijske formulacije izoparametarskog kona~nog elementa (a), koji se time

pokazuje kao prikladniji za modelirawe cilindara kod kojih se o~ekuje da }e pri

gubitku stabilnosti zauzeti osnosimetri~ne modove.

Za modele koji nisu navedeni u tabl. 3 dobijeni su veoma sli~ni rezultati

bilo da su formirani od linearnog ili kvadratnog elementa, kako po prora~unatoj

vrednosti bifurkacionog optere}ewa, tako i po obliku izdvojenih najni`ih modo-

va. Me|utim, po{to kvadratni el e ment sadr`i duplo vi{e ~vorova i znatno

kompleksniju formulaciju od linearnog, to je vreme prora~unavawa za isti geomet-

Z. Markovi} i dr.: Parametarska bifurkaciona analiza aksijalno pritisnutih ...TERMOTEHNIKA, 2009, XXXV, 3-4, 263–282

276

Slika 16 (a)‡(g). Osnosimetri~ni modovi izdvojeni kao najni`i, za modele razli~itihgeometrijskih karakteristika

(v) Model K1600_1 (g) Model K2000_1

(a) Model K800-1 (b) Model K1200_1

rijski model cilindra, formiran od linearnog kona~nog elementa, bilo zna~ajno

kra}e nego vreme procesirawa istog modela formiranog od kvadratnog elementa.

Pri tome, sam prora~un je bio stabilniji, dok su prora~uni modela formiranih od

kvadratnog elementa pokazali sklonost ka pojavi numeri~ke nestabilnosti, pogoto-

vu za modele sa ve}im faktorom gustine mre`e kona~nih elemenata.

Iz svega ovoga sledi da bi numeri~ku simulaciju gubitka stabilnosti slo-

bodno oslowenog cilindra trebalo uraditi za modele sa~iwene od svakog spome-

nutog kona~nog elementa ponaosob, dobijene rezultate analizirati, uporediti ih sa

re{ewima jedn. (6) i (8) i vrednostima iz mape sopstvenih vrednosti posmatranog

cilindra.

Rezultati numeri~ke analize prikazani dijagramima na sl. 4‡7, kao i sl. 14,

ukazuju na to da dolazi do zna~ajnog pada vrednosti kriti~nog optere}ewa sa

porastom R/t. S druge strane, dijagrami na sl. 8‡11, kao i na sl. 13, ukazuju na to da

porast vitkosti L/R nema tako zna~ajan uticaj na promenu vrednosti kriti~nog opte-

re}ewa. Osetniji pad je primetan samo za set cilindara sa R/t = 400.

Z. Markovi} i dr.: Parametarska bifurkaciona analiza aksijalno pritisnutih ...TERMOTEHNIKA, 2009, XXXV, 3-4, 263–282

277

(d) Model K2000-05 (|) Model K1200_2

(e) Model K1600_2 (`) Model K2000_2

Slika 16 (d)‡(`). Osnosimetri~ni modovi izdvojeni kao najni`i, za modele razli~itihgeometrijskih karakteristika

Na osnovu rezultata analize uticaja broja kona~nih elemenata (gustine

mre`e) numeri~kog modela na prora~unatu vrednost kriti~nog optere}ewa [15],

vidimo da pove}awe gustine mre`e dovodi do smawewa apsolutnih vrednosti rela-

tivnih odstupawa numeri~ki dobijenog kriti~nog optere}ewa u odnosu na teorijske

vrednosti date jedn. (6) i (8). Tako|e, pove}awe broja kona~nih elemenata u obimnom

pravcu osetnije uti~e na smawewe ovog relativnog odstupawa nego pove}awe broja

kona~nih elemenata u aksijalnom pravcu.Relativno odstupawe prora~unatih vrednosti kriti~nog optere}ewa prvog

moda od teorijskih vrednosti (6) i (8), za modele cilindara sa R/t = 400 i 800 i L/R = 1 i2, bilo je mawe od 0,4%, dok su se relativne gre{ke u odnosu na teorijska re{ewa zaostale modele kretale u granicama ‡9,0004 do 9,5075% i ‡12,4659 do 8,9936%,respektivno. Vrednosti relativnih gre{aka su varirale od modela do modela i pri-me}eno je da su ve}e apsolutne vrednosti ovih gre{aka karakteristi~ne za ekstrem-no duga~ke (L/R = 4) i ekstremno debele (R/t = 400) cilindre iz posmatranog opsegageometrijskih karakteristika.

U slu~aju kratkih cilindara, o~ito je da je bio potreban ve}i broj elemenata u obimnom pravcu, a za kra}e a debqe cilindre i dodatno modelovawe uvo|ewem vi{eelemenata po debqini zida cilindra. Ovo je pogotovu primetno u slu~aju modelaformiranih sa linearnim kona~nim elementom. Sli~na situacija je i u slu~ajuekstremno duga~kih modela cilindara. Zbog postavqenog uslova da formiranielementi mre`e imaju pribli`no jednake du`ine bo~nih strana, broj elemenata uaksijalnom pravcu bio je definisan brojem elemenata u radijalnom pravcu.

Za dve geometrijske konfiguracije, K1200_2 i K2000_2, relativne gre{keiznosile su i preko 50%. Uzrok tome je neta~no odre|en broj polutalasa formiranih u aksijalnom pravcu, sa kojim se prora~unava vrednost sArb i sTim, pa se tako dobijajui visoke vrednosti relativne gre{ke. Da bi se ova gre{ka smawila, tj. da bi seta~nije odredio broj formiranih polutalasa, neophodno je pove}ati gustinu mre`e u zoni formirawa ve}eg broja polutalasa.

Dijagrami na sl. 15 prikazuju uticaj geometrijskih karakteristika modelacilindra (koeficijenta zakrivqenosti izotropnog cilindra Z) na vrednost kri-ti~nog optere}ewa (koeficijent izvijawa aksijalno pritisnutog cilindra kz).Vidimo da, za svako R/t, koeficijent kz raste sa porastom koeficijenta zakrivqe-nosti.

Iz tabl. 2 vidimo da }e se tawi cilindri (R/t ³ 1200) izvijati u osno-simetri~ne forme sa ve}im brojem polutalasa u aksijalnom pravcu m. Oblici tihosnosimetri~nih formi dati su u tabl. 3 i na sl. 16 (a)‡(`). Kra}i cilindri (L/R) == 0,5 i 1) zauzimaju forme koje ~ine dve grupe polutalasa sa svake strane ravnisimetrije z = L/2, dok se du`i cilindri (L/R = 2) izvijaju u forme koje imaju poluta-lase grupisane oko ravni simetrije z = L/2.

Cilindri ostalih geometrijskih konfiguracija („debqi” cilindri, sa R/t =

= 400 i 800) su te`ili da zauzmu asimetri~an oblik prvog bifurkacionog moda (tabl.

2). U slu~ajevima „kra}ih” cilindara (L/R = 0,5 i 1) iz ovog seta, izdvojene su asimet-

ri~ne forme sa ve}im brojem talasa u obimnom pravcu. Vrednosti kriti~nih

optere}ewa modela cilindara sa L/R = 4 prora~unate su kori{}ewem kona~nog ele-

menta tip (b).

Z. Markovi} i dr.: Parametarska bifurkaciona analiza aksijalno pritisnutih ...TERMOTEHNIKA, 2009, XXXV, 3-4, 263–282

278

Ovo je ura|eno sa ciqem da se skrati vreme prora~una za te modele. Ako

pogledamo odgovaraju}e tablice sopstvenih vrednosti za ove modele vidimo da je to

bilo opravdano, s obzirom da, osim dobijenih modova datih u tabl. 2, ne postoje

modovi za vrednosti lmnm jednakim ili bliskim jedinici.

Za modele cilindara sa R/t = 400, 800 i 1200, svih vitkosti sem L/R = 1,0, kao iza cilindre sa R/t = 1600 i 2000 vitkosti L/R = 4,0 najmawu vrednost kriti~nogoptere}ewa pri pojavi bifurkacije daje re{ewe jedn. (8). Za cilindre vitkosti 1,bez obzira na vrednost faktora debqine, vrednost bifurkacionog optere}ewa jejednaka ili vrlo bliska vrednosti re{ewa linearnog problema datog jedn. (3).

Vrednosti bufurkacionog optere}ewa dobijene numeri~kim putem sA, zacilindre najmawe vitkosti, L/R = 0,5, svih debqina, su najve}e od svih prora~una-vanih vrednosti, {to va`i i za duga~ke i tanke cilindre vitkosti 4,0 i faktoradebqine R/t = 1200, 1600 i 2000. Numeri~ki dobijene vrednosti su bile najni`e odsvih prora~unatih i za tanke cilindre sredwih du`ina, sa R/t = 1600 i 2000 sa L/R == 1,0 i 2,0.

Na kraju, rezultati numeri~ke analize, prikazani u ovom radu, su upore|enisa rezultatima numeri~ke analize [12] sprovedene kori{}ewem programskog paketaAbaqus za seriju cilindara sa 2R/t = 800¸2000 i L/2R = 0.5¸3. Uo~eno je da su upore|enirezultati veoma pribli`ni, a oblici izdvojenih modova veoma sli~ni za sve modelecilindara u oblasti istovetnih geometrijskih karakteristika. U spomenutom radusu za numeri~ku simulaciju kori{}eni modeli kona~nih elemenata koji predstav-qaju 1/2 strukture cilindra, jer softverski paket Abaqus nije bio u stawu da preciz-no odredi kriti~nu vrednost optere}ewa na gubitak stabilnosti i pripadaju}i modza modele kompletne strukture cilindra du`ine L. U ravni simetrije (presek x = L/2) kori{}en je grani~ni uslov simetrije po pomerawima i rotacijama, a na slobodnojivici cilindra (presek x = 0) uslov slobodnog oslawawa (w = 0, dw2/d2x = 0).

Zakqu~ak

Rezultati numeri~ke analize pokazuju da krutost modela cilindra nagubitak stabilnosti pada sa porastom faktora debqine cilindra R/t. Tako|e,rezultati pokazuju da dolazi do pada krutosti sa porastom vitkosti. Me|utim,uo~eno je da uticaj faktora vitkosti L/R na vrednost kriti~nog optere}ewa pripojavi izvijawa nije tako intenzivan kao {to je to uticaj promene faktora debqinei da slabi sa porastom R/t, tj. da je taj uticaj slabiji za tawe cilindre.

Numeri~ki prora~un predvi|a da }e se neki modeli cilindara izvijati uosnosimetri~ne forme sa ve}im brojem polutalasa u aksijalnom pravcu m. Uo~eno jeda kra}i cilindri (L/R £ 1) zauzimaju forme koje ~ine dve grupe polutalasa sa svakestrane ravni simetrije z = L/2, dok se du`i cilindri izvijaju u forme koje imajupolutalase grupisane oko ravni simetrije z = L/2.

U ve}em broju slu~ajeva, linearni kona~ni el e ment, za razliku od kvadrat-nog izoparametarskog, nije bio u stawu da omogu}i izdvajawe ovih osnosimetri~nihmodova. Potvr|ena je potreba numeri~ke simulacije modela cilindra formiranog iod linearnog i od kvadratnog kona~nog elementa, detaqna analiza tako dobijenihrezultata i upore|ivawe sa teorijskim re{ewima.

Z. Markovi} i dr.: Parametarska bifurkaciona analiza aksijalno pritisnutih ...TERMOTEHNIKA, 2009, XXXV, 3-4, 263–282

279

Rezultati rada potvr|uju primewivost metode kona~nih elemenata, soft-verskog paketa Ansys i izabranih kona~nih elemenata quske u re{avawu problemaodre|ivawa bifurkacionog optere}ewa idealnog, aksijalno pritisnutog, slobodnooslowenog cilindra.

Oznake

{a} ‡ jedini~ni vektor u s pravcu, [–]{b} ‡ jedini~ni vektor u sredwoj povr{i elementa normalno na {a}, [–]D ‡ krutost quske na savijawe [= Et3/12(1–v2)], [Nm–1]E ‡ Jungov modul elasti~nosti, [Nm–2]E* ‡ potencijalna energija sistema kona~nih elemenata, [J]k0 ‡ matrica krutosti kona~nog elementa, [–]kg ‡ geometrijska matrica krutosti (matrica inicijalnih napona), [–]L(u, F)‡ op er a tor [= (¶2u/¶x2)(¶2F/¶y2) + (¶2u/¶y2)(¶2F/¶x2) ‡ 2 (¶2u/¶x¶y)(¶2F/¶x¶y)], [–]m ‡ broj formiranih polutalasa u aksijalnom pravcu, [–]n ‡ broj formiranih talasa u obimnom pravcu, [–]q ‡ vektor pomerawa u ~vorovima elementa, [–]R ‡ polupre~nik cilindra, [m]r ‡ koordinata debqine kona~nog elementa, [m]s, t ‡ ose lokalnog pravouglog koordinatnog sistema sredwe povr{i kona~nog elementa, [–]t ‡ debqina zida cilindra, [m]ti ‡ debqina zida cilindra u ~voru i, [m]U ‡ energija deformacije kona~nog elementa, [J]u ‡ radijalno pomerawe ta~aka sredwe povr{i quske (pravac x-ose), [m]ui, vi, wi ‡ pomerawa u ~voru i u pravcu osa globalnog pravougaonog koordinatnog sistema, [m]v ‡ pomerawe ta~aka sredwe povr{i quske u obimnom pravcu (pravac y-ose), [m]w ‡ pomerawe ta~aka sredwe povr{i quske u pravcu ose cilindra (pravac z-ose), [m]x ‡ radijalna osa (koordinata) cilindri~nog koordinatnog sistema, [–]y ‡ obimna osa (koordinata) cilindri~nog koordinatnog sistema, [–]Z ‡ koeficijent zakrivqenosti izotropnog cilindra [= (L2/Rt)(1 ‡ n2)1/2], [–]z ‡ aksijalna osa (koordinata) cilindri~nog koordinatnog sistema, [–]

Gr~ki simboli

b ‡ bezdimenzioni koeficijent (= nL/pRm), [–]e ‡ bezdimenzioni koeficijent (= t2/12R2), [–]qx, i ‡ rotacija u ~voru i oko vektora {a}, [rad]qy, i ‡ rotacija u ~voru i oko vektora {b}, [rad]l ‡ faktor proporcionalnosti, [–]lmmn ‡ sopstvena vrednost (linearno re{ewe)n ‡ Poasonov koeficijent za izotropni materijal, [–]F ‡ funkcija naprezawa, (= j/t), [Nm–2]j ‡ funkcija sila, [Nm–1]J ‡ bezdimenzioni koeficijent, (= pmR/nL)xgr1 ‡ relativno odstupawe numeri~ki dobijene vrednosti u odnosu na re{ewe jedn. (6), [ =

100 (sArb - sA)/sArb], [%]xgr2 ‡ relativno odstupawe numeri~ki dobijene vrednosti u odnosu na re{ewe jedn. (8), [=

100 (sTim - sA)/sTim], [%]sArb ‡ re{ewe jedn. (6), [Nm–2]ser ‡ vrednost aksijalnog pritisnog napona pri gubitku stabilnosti, re{ewe jedn. (3),

[Nm–2]

Z. Markovi} i dr.: Parametarska bifurkaciona analiza aksijalno pritisnutih ...TERMOTEHNIKA, 2009, XXXV, 3-4, 263–282

280

sTim ‡ re{ewe jedn. (8), [Nm–2]y ‡ vektor sopstvenih vrednosti, [–]

Literatura

[1] Volümir, A. S., Ustoy~ivostü uprugih sistem, Gosudarstvennoe izdatelüstvofiziko-matemati~eskoy literaturû, Mokva, 1963

[2] Weingarten, V. I., Seide, P., Pe ter son, J. P., Buck ling of Thin-Walled Circural Cyl in ders, NASASP 8007, NASA Space Ve hi cle De sign Cri te ria (Struc tures), 1968

[3] Donell, L. H, Wan, C. C., Ef fect of Im per fec tion on Buck ling of Thin Cyl in ders and Col umnsun der Ax ial Com pres sion, Jour nal of Ap plied Me chan ics, 17 (1950), March, 73-83

[4] Bab cock, C. D., Jr, The Buck ling of Cy lin dri cal Shells with an Ini tial Im per fec tion un der Ax ial Com pres sion Load ing, The sis, Cal i for nia In sti tute of Tech nol ogy, Pas a dena, Cal., USA, 1962

[5] Arbocz, J., Fu ture Di rec tions and Chal lenges in Shell Sta bil ity Anal y sis, Pro ceed ings, 38th

AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Struc tures, Struc tural Dy nam ics and Ma te rial Con fer ence,Or lando, Fla., USA, 1997, Part 3, 1949-1962

[6] Chryssanthopoulos, M. K., Baker, M. J., Dowling, P. J., Sta tis ti cal Anal y sis of Im per fec tions in Stiff ened Cyl in ders, ASCE Jour nal of Struc tural En gi neer ing, 117 (1991), 7, 1979-1997

[7] Chryssanthopoulos, M. K., Poggi, C., Stohastic Im per fec tion Mod el ling in Shell Buck lingStud ies, Thin-Walled Struc tures, 23 (1995), 1-4, 179-200

[8] Teng, J. G., Buck ling of Thin Shells: Re cent Ad vances and Trends, Ap plied Me chan ics Re -views, ASME 49 (1996), 4, 263-274

[9] Rot ter, J. M., Shell Struc tures: The New Eu ro pean Stan dard and Cur rent Re search Needs,Thin-Walled Struc tures, 31 (1998), 1-3, 3-23

[10] ***, ENV 1993-1-6 Eurocode 3, De sign of Steel Struc tures, Part 1.6, Gen eral Rules – Sup ple -men tary Rules for the Strength and Sta bil ity of Shell Struc tures, Draft Stan dard, CEN,Brussels, 1999

[11] Sekulovi}, M., Metod kona~nih elemenata, Gra|evinska kwiga, Beograd, 1988[12] Seung, E. K., Chang, S. K., Buck ling Strength of the Cy lin dri cal Shell and Tank Sub jected to

Ax i ally Com pres sive Loads, Pro ceed ings, In ter na tional Con fer ence Thin-Walled Struc tures40, Elsevier Pub lish ing Co., 2001, 329-353

[13] ***, ANSYS Us ers Guide, ANSYS Inc, Canonsburg, Pen., USA, 2000[14] Teng, J. G., Song, C. Y. Nu mer i cal Mod els for Non lin ear Anal y sis of Elas tic Shells with

Eigenmode-Af fine Im per fec tions, In ter na tional Jour nal of Sol ids and Struc tures, 38 (2001), 18, 3263-3280

[15] Krivo{i}, I., Markovi}, Z., Analiza stabilnosti slobodno oslowene cilindri~nequske, Tehnika, 55 (2006), 2, 11‡21

[16] Arbocz, J., Ferry, M., Singer, J., Tvergaraad, V., Buck ling and Post-Buck ling Be hav ior ofStruc tures, Springer Verlag Berlin-Hei del berg-New York, ISBN 3-540-18312-4, 1988

[17] Timoshenko, S. P. The ory of Elas tic Sta bil ity, McGraw-Hill Book Com pany Inc., New York,USA, 1961

[18] Markovi}, Z., Stefanovi}, P., Cvetinovi}, D., Fluid-Struc ture In ter ac tion Plasma Coal Gasi fi -ca tion Chan nel Com pu ta tional Anal y sis, Sum ma ries 3 – Hy dro dy namic Pro cesses, Pro ceed -ings on CD-ROM (ISBN 80-86059-45-6), 17th In ter na tional Con gress of Chem i cal and Pro cess En gi neer ing CHISA 2006, Au gust 27-31, Prague, Czech Re pub lic, p1.049, pp. 840-841

[19] Markovi}, Z., Stefanovi}, P., Cvetinovi}, D., Com pu ta tional Anal y sis of Ther mally LoadedAir-Coal Mix ture Chan nel Us ing Fluid-Struc ture In ter ac tion Ap proach, Sum ma ries 3 – Hy -dro dy namic Pro cesses, Pro ceed ings on CD-ROM (ISBN 80-86059-45-6) 17th In ter na tionalCon gress of Chem i cal and Pro cess En gi neer ing CHISA 2006, Au gust 27-31, Prague, CzechRe pub lic, p1.048, pp. 838-839

Z. Markovi} i dr.: Parametarska bifurkaciona analiza aksijalno pritisnutih ...TERMOTEHNIKA, 2009, XXXV, 3-4, 263–282

281

Ab stract

Para met ric Buck ling Anal y sis of Ax i allyCom pressed Sim ply Sup ported Cy lin dri cal Shell Us ing Fi nite El e ments Method

by

Zoran MARKOVI]1, Zoran BOJANI]2, Predrag STEFANOVI]1

Dejan CVETINOVI]1, Nikola @IVKOVI]1,Rastko JOVANOVI]1, and Zoran PAVLOVI]1

1 Lab o ra tory for Ther mal En gi neer ing and En ergy, Vin~a In sti tute of Nu clear Sci ences, Bel grade, Ser bia2 Fac ulty of Me chan i cal En gi neer ing, Uni ver sity of Bel grade, Bel grade, Ser bia

Thin cy lin dri cal shells are very ef fi cient struc tural el e ments, widely used in theen gi neer ing con struc tion. It is well known that load car ry ing ca pa bil ity of ax i ally com -pressed sim ply sup ported shell sig nif i cantly re duce due to buck ling. Buck ling also in -duces sud den and sig nif i cant changes of shell ge om e try, so re li able de ter mi na tion ofbuck ling load be comes a very im por tant task for the struc tural en gi neers. Nu mer i calanal y sis us ing fi nite el e ments method is used to eval u ate buck ling strength. Ac cord ing tothe re sults of the para met ric study of the per fect shell, the buck ling strength de creasessig nif i cantly as the di am e ter to-thick ness ra tio in creases, while it slightly de creases withthe height-to-di am e ter ra tio in crease.

Key words: buck ling strength, cy lin dri cal shell, fi nite el e ment, elas tic, bi fur ca tion

Odgovorni autor / Cor re spond ing au thor (Z. Markovi})E-mail: zoda_mark@vinca.rs

Z. Markovi} i dr.: Parametarska bifurkaciona analiza aksijalno pritisnutih ...TERMOTEHNIKA, 2009, XXXV, 3-4, 263–282

282