PAALUN ANALYSOINTI KOTIMIKROLLA

Markku Heinisuo

TIIVISTELMA Rakenteiden mekaniikka Vol. 22

No 2 1989, s. 23 - 41

Artikkelissa esitetaan tarkka elementtimenetelrna puristetul­le paalulle, kun Winkler-tyyppisen alustan alustapararnetrit ja norrnaalivoirna ovat elernenteittain vakioita. ~aalun ole­tetaan olevan elementeittain tasajaykka kirnrnoinen Bernoulli­Euler-tyyppinen sauva ja geornetrinen1epalineaarisuus otetaan huornioon. Esirnerkeilla naytetaan millaisia pararnetrisia tar­kasteluja laaditulla ohjelmalla voidaan suorittaa. Joitakin ohjelman laajennusrnahdollisuuksia esitetaan. Teorian perus ­teella on laadittu laskentaohjelrna kotirnikrolle ja ohjelrna on tarkastettu vertaarnalla ohjelrnan antarnia tuloksia kirjalli­suudesta loytyviin vertailuarvoihin.

LAHTOKOHTA

Paalujen ja paaluryhrnien analysointiin loytyy tana paiva­

na kaupallisesti saatavia ohjelrnistopaketteja, jotka so­

veltuvat seka materiaaliltaan etta geometrialtaan epali­

neaaristen statiikan ja dynamiikan tehtavien ratkaisuun.

Toistaiseksi nama paketit vaativat suurehkon tietokoneen

ja lisaksi ne ovat kalliita. Lukumaaraltaan enin osa

maamme insinooritoimistoista on pienia, muutaman hengen

yksikoita, joille isojen pakettien hankinta on mahdoton­

ta. Laajat elementtimenetelmaohjelrnistot ovatkin nykyisin

lahinna tutkimuslaitosten ja suurten firmojen kaytossa.

Sen sijaan mikroluokan tietokoneet (tassa kotimikrolla

tarkoitetaan hintaluokan 5000 - 15000 mk:n konetta) kuu­

luvat tana paivana usean pienenkin toimiston varustuk­

seen. Naiden kaytto on paaasiassa taloudellis-hallinnol­

lisia sovellutuksia, koska naihin loytyy markkinoilta

halpoja sovellutuksia. Vahan jareampiin mikrotietokonei -

23

siin on saatavilla elementtipaketteja hintaan noin $1000 .

Nama ovat usein suljettuja paketteja, jolloin niiden kyt­

kennassa CAD-jarjestelmiin ja t aloudell i s - hallinnollisiin

p~ketteihin joudutaan usein t ekemaan paljon

raatalointityota. Avoimen jarjestelman etuna on se, etta

ohjelmallisesti voidaan j~rjestaa kytkennat eri

tietokantojen valille esimerkiksi maan paalla olevan

rakennuksen ja maan alla olevien perustusten (esim .

paalujen) tietokoneavusteinen rakennesuunnittelu .

Toisaalta avoin jarjestelma mahdollistaa sen, etta ohjel ­

mointitaitoinen insinoori voi muokata ohjelmaa omien tot ­

tumustensa ja mitoitusrutiiniensa mukaiseksi. Erityisen

ilahduttavaa on se, etta joissakin viime aikoina julkais­

tuissa kirjoissa on mukana "lerppu" tai "korppu", jossa

on ohjelmoituna kirjan oleellisimmat tulokset.

Rakenteen suunnittelussa on tarkastettava ainakin kaksi

asiaa: rakenteen kantokyky ja siirtymatila. Paaluille,

kuten muillekin rakenteille voidaan laskea kuvan 1 mukai­

nen voima-siirtyma-kuvaaja, kun kaytossa on materiaalil­

taan ja geometrialtaan epalineaarisen rakenteen analy­

sointiin sopiva ohjelma. Kuvassa 1 P on paalua puristava

staattinen kuormitus ja u on kuormituskohdan painuma. Ko­

ekuormituksessa paadytaan samankaltaiseen kayraan. Suun­

nittelutilanteessa tarvitaan aarimmainen arvo P , josta

tietylla varmuusfilosofialla paatellaan sallittuu kuormi­

tus P . Tata vastaava siir tyma u tar v i taan siirtymatilan

arviointiin. Tana paivana tama ~i ole rakennesuunnitteli­

jan rutiinia, mutta ehka tulevaisuudessa teorian ratkai­

sualgoritmien ja tietokoneiden kehittyessa.

24

P,

p

-- - :;:o-­/

/

/ /

U-4----------------------u u,

Kuva 1. Paalun voima-siirtyma- kuvaaja.

p

Kaytannossa kuormitus P pidetaan usein niin pienena, et-•

ta rakennusmateriaali (tassa paalu + maa) sailyy kimmoi-

sena. Aarimmaista kuormitusta voidaan usein arvioida kon­

servatiivisella Rankine-Merchant-kaavalla, jolla voi yh­

distella erilaisia kriittisia tiloja (Heinisuo, 1983).

Dynamiikan ominaisarvotehtavassa tasta kaytetaan nimea

Dunkerleyn likikaava . Kyseisessa paalutehtavassa yhdiste­

taan usein kimmoinen nurjahduskuormitus P ja jaykka-cr

plastisella materiaalimallilla laskettu myotokuorma P . p

Tuloksena saadaan varmalla puolella oleva arvio aarimmai-

selle kuormitukselle P , josta kaytetaan myos nimitysta

ei-elastinen (tai kimm~-plastinen) nurjahduskuormitus

p p p cr

( 1) p + p cr p

Myotokuorma P lasketaan plastisuusteorian mukaan (usein p

kasin) ja siihen ei tassa puututa (ks. esim. Greimann,

25

Wolde- Tinsae, 1988). Jatkossa keskitytaan kimmoisen taso­

nurjahduskuormituksen P laskentaan seka paalun sii r ty ­

mien maaritykseen.

Maan sisassa olevan paalun nurjahduskuormituksen maari ­

tyksen tekee normaalia pilarin nurjahduskuormituksen las ­

kentaa hankalammaksi paalua ymparoivan maan epamaaraiset

mekaaniset parametrit . Kitka maan ja paalun valilla ai ­

heuttaa sen, etta normaalivoima ei ole vakio paalun mat­

kalla, vaan muuttuu jatkuvasti mentaessa syvemmalle maan

sisaan. Tata ilmiota kuvataan parametrilla k Paalun v

taipuessa maa vastustaa paalun sivusiirtymaa ja tata il -

miota kuvataan parametrilla k . Seuraavassa on esitetty h

siirtymamenetelmaan perustuva tarkka elementtimenetelma,

jossa oletetaan, etta elementin matkalla normaalivoima on

vakio (eli parametri k = 0) ja lisaksi parametria k ar -v h

vioidaan Winklerin mukaan eli se on vakio ja p k v, h

missa p on maan paine paalua vastaan ja v on paalun tai -

puma. Paalun oletetaan olevan Bernoulli-Euler- tyyppinen

sauva. Kohtuullinen geometrinen epalineaarisuus otetaan

huomioon tavalliseen tapaan laskemalla normaalivoiman ai ­

heuttama lisavaakavoima paaluun sen taipuessa. Tehtavaa

on nain menetellen idealisoitu niin paljon, etta suhteel ­

lisen yksinkertainen tarkka analyyttinen ratkaisu voidaan

johtaa, vaikka maan ominaisuudet muuttuisivatkin (paloit ­

tain vakiona) paalun matkalla. Esitetty menetelma sopii

mikrotietokoneymparistoon, koska laskennassa voidaan

kayttaa ns. luonnollisia elementteja, mika pienentaa tar­

peellisten matriisien kokoa.

Menetelman 1aajentamista materiaaliltaan epalineaariseen

tehtavaan tutkitaan parhaillaan (Nieminen, 1989) toisen

sovellutuksen yhteydessa. Menetelmaa voisi myos ajatel -

la laajennettavaksi paaluryhman analysointiin.

Talloin paaluun kohdistuva kuormitus (mm. normaalivoima)

ei ole tunnettu vaan ratkaistava suure. Muissa

sovellutuksissa menetelma on toiminut hyvin dynamiikan

26

tehtavissa (Malmi, 1987, Malmi, 1988). Pienil1a muutok­

silla teoria (ja ohje1ma) on laajennettavissa tukiseinien

1askentaan. Kaantamal1a paalu vaakasuoraan ja vaihtama11a

parametrin k arvoksi k , voidaan menete1maa kayttaa h v

maanvaraisten (tai osittain maanvaraisten) 1attiapalkkien

laskentaan. Toisaalta tuntemalla vallitsevat differenti­

aaliyhtalot ja reunaehdot, voidaan analogiaa hyvaksi

kaytt aen samalla ohjelmal1a analysoida vaannettyja palk­

keja Vlasovin teorialla tai sylinterikuoria pyorahdyssym­

metrisessa kuormituksessa tai painvastoin sylinterikuori­

ohjelmalla (Outinen, 1988) voidaan analysoida paaluja

tarkasti. Jatkossa pitaydytaan kuitenkin edella mainit­

tuun paalutehtavaan eli Bernoulli-Euler-tyyppisen paalun

siirtymien ja nurjahduskuormituksen maaritykseen, kun

paalun normaalivoima ja parametri k ovat paloittain va-h

kioita .

TEHTAVAN RATKAISU

Kyseessa oleva tehtava on ratkaistavissa analyyttisesti,

tarkasti, ratkaisemalla tietyt neljannen kertaluvun dif ­

ferentiaaliyhtalot. Kaytannon ~uunnittelutyossa taman

ratkaisumallin kaytto rajoittuu tapaukseen, jossa maan

ominaisuudet eivat muutu paalun matkalla. Muissa tapauk­

sissa ratkaisuun kuluva aika on liian iso ja lisaksi vir­

hemahdollisuus kaavojen johtamisessa on suuri kaavojen

mutkikkuuden vuoksi.

Tehtava on ratkaistavissa myoskin likimaarin esimerkiksi

elementtimenetelmalla kayttaen kehaohjelmaa ja mallinta­

malla maa kimmoisilla veto - tai puristussauvoilla (jou­

silla) . Jousia on asetettava riittavan tiheaan, jotta

jatkuvan maan diskreetissa mallintamisessa ei tehda tur ­

haa virhetta, mika aiheuttaa hankaluuksia tulosten kayt ­

tokelpoisuutta arvioitaessa. Tassa likimenetelmassa las ­

kentamallin geometrian luominen on melko tyolasta, jos

kaytossa ei ole tehokasta generointiohjelmaa, mika ei

yleensa sisally halpoihin mikrosovellutuksi in. Lisaksi

laskentamallissa tulee voida kasitella melko suuria

27

(mikroymparistossal matriiseja, mika hidastaa laskentaa .

Toisaalta siirtymamenetelmaan perustuva elementtimenetel ­

ma mahdollistaa joustavien, suhteellisen yleisten ohjel ­

mien kirjoittamisen . Mer kittavin hyva puol i kuvat ussa li ­

kimenetelmassa on sen saatavuus : kehaohjelma loytyy kai

jo kaikista toimistoista.

Edella on kuvattu kahta ehka eniten kaytettya menetelmaa

kyseisen tehtavan ratkaisussa. Yhdistamalla menetelmien

hyvat puolet: analyyttisen ratkaisun tarkkuus ja element ­

timenetelman joustavuus, saadaan tarkka elementtimenetel ­

ma . Ideana on talloin se, etta differ entiaaliyhtalo rat ­

kaistaan vain kerran (elaman aikana) ja ratkaisu kirjoi ­

tetaan sopivassa muodossa tietokoneen muistiin uutta

kay~tokertaa varten. Siirtymamenetelmaan perustuva ele­

menttimenetelma on osoittautunut sopivasti proseduuriksi

tallentamista varten . Tarkan elementtimenetelman kiista ­

ton etu verrattuna likimaaraiseen elementtimenetelmaan on

se, etta tarpeellisten matriisien koko pienenee oleelli ­

sesti, mika on taloudellista laskennan kannalta ja eri­

tyisesti silloin, kun on kyse mikrosovellutuksesta. Mat ­

riisien koko pienenee, koska tarkassa elementtimenetel ­

massa kaytetaan luonnollisia elementteja, eli elementteja

on vain epajatkuvuuskohtien valilla (esim . maakerrokset),

kun likimenetelmassa on syyta kayttaa tiheampaa element­

tijakoa . Tasta saavut e t aan myos se hyoty, etta geometria­

ja laskentamallin valilla on helppo kommunikoida .

Seuraavassa on esitetty tarkka elementtimenetelma (tassa

tapauksessa tarkat jaykkyysmatriisit) paalun siirtymasuu­

reiden ja tasonurjahduskuormituksen laskentaa varten .

Kirjallisuudesta loytyy kahden perustapauksen jaykkyys ­

matriisit (paalu ilman alustaa ja "lyhyen" paalun kaa­

vat), kolmas perustapaus ("pitka" paalu) saadaan raja - a r­

vona "lyhyen'' paalun kaavoista. Lopuksi on esitetty nume ­

r oesimerkkeja.

2 8

TARKAT JAYKKYYSMATRIISIT

Tavoitteena on esittaa kuvan 2 palkkielementille tarkka T

kuvaus voimavektorin F = ( F F F F ) j a siirtymavekto-T l 3

rin ~ = (X x X X ) valilla, kun kaytetaan kuvan 2 l 2 3

koordinaatistoa.

~c l"""n"""'u' l 2 f---x El,l,k

Kuva 2. Merkinnat.

Elementin taivutusjaykkyys on EI, pituus L ja alustaluku

k (=k ), kun kaytetaan Winklerin alustamallia. Puristava h

normaalivoima on P ja kaikki em. suureet oletetaan vaki-

oiksi elementin matkalla. Jako elementteihin suoritetaan

siten, etta oletus toteutuu riittavan tarkasti. Etsitty

kuvaus on muotoa

F (2)

missa K on symmetrinen 4x4 jaykkyysmatriisi.

Osa paalusta voi olla ilmassa, vedessa tai niin loysassa

maassa, etta alustan tukevaa vaikutusta ei oteta huomi­

oon. Talloin on voimassa yhtalo k = 0 ja tarkastellaan

aluksi tata tilannetta. Tarkan jaykkyysmatriisin tahan

tapaukseen on johtanut Przemieniecki (Przemieniecki,

1968, ks. myos Allen, Bulson, 1980). Kun kaytetaan apu­

muuttujia

8 71 IP/PE I

01 tan( 6/2) - (6/2) I

( 3)

29

niin tulokseksi saadaan

. 2 _ K = _ K = ~ r- tan( 6/2) -j

23 34 2 ·L o1 2L

K22

= K = EI6 [ 1 - 6/tan6 J 44 2L o

1

(4)

EI6 [ 6/sin6- 1 ~4 = 2L 01

Normaalivoiman ollessa pieni (P < 0.4 P- ), matriisi K E

voidaan jakaa kahteen osaan K = KE + KG kehittamalla tri-

gonometriset funktiot sarjoiksi muuttujan suhteen. Osoit ­

tautuu, etta matriisi KE on taivutustapauksen (paalu il­

man normaalivoimaa) tarkka jaykkyysmatriisi, jolloin paa­

lun taipumaa solmujen valilla kuvaa kolmannen asteen po­

lynomi. Matriisi KG on geometrinen jaykkyysmatriisi, jol

la otetaan likimaaraisesti huomioon normaalivoiman vaiku­

tusta poikittaissiirtymiin. Jatkossa kaytetaan tarkkoja

funktioita (4) ja kun elementin vasemman paan siirtyma ja

voimasuureet on laskettu, niin elementin kohdan x siirty­

ma on

V (X) x sin(-yy:l_ yx-sin(yx) cos(yx)-1 1 + y • X2 + yP . F 1 + --'-""p~"-'--'-

missa on kaytetty merkintaa Y= IP/EI.

Tarkastellaan seuraavaksi tilannetta, jossa maan tukeva

vaikutus paalun poikittaisliikenteeseen otetaan huomioon

eli k > 0. Tarkka jaykkyysmatriisi myos tahan tapaukseen

loytyy kirjallisuudesta (Heinisuo, 1984, ks. myos Yanke ­

levsky) Eisenberger, 1986). Tapausta, jossa paalun' leik-

30

kausmuodonmuutos otetaan huomioon, on tarkasteltu asket ­

tain (Cheng ja muut, 1988) . Kaytannon sovellutuksia ra­

joittamatta voidaan olettaa, etta P < 2 / kEI. Kaytetaan

apumuuttujia

,\ = 4vk/4EI , ·~ { = P/ 4EI , a = /,\ + 6, S

jolloin tulos on

2 K11 = K33

4aB~ EI [asinh( SL)cosh( SL)+Ssin(aL)cos(aL) J , 2

2 K K K K = 2,\ EI [S2sin2 (aL)+a2sinh2 (SLl } 12 = - 43 = 21 - 34 02

2 K23 = K32 =- K14 = - K4l =- . 4ag,\ EI sin(aL)sinh( SL)

2 . 2 c

K13 = K31 - 4ag,\ EI [Ssin(aL)cosh(SL)+ocos(aL)sinh(SLl } 2

K22 = K44 = 2ag~r [asinh( SL)cosh(BL)-Ssin(aL)cos(aL) J ,

- 2ag~r [asinh (BL)cos (aL) -Ssin (aL)cosh (SL) ]

(6)

(7)

31

Interpolaatiokaava elementin matkalla on

2 2 v(x) [cos (ax) cosh ( Sx) - S 2~~ sin (ax) sinh ( Sx) ] ·X1

1 3 2-s2 3S

2-a

2 +

2 2 [ __ a __ sin(ax)cosh( Sx)+ -

6-- cos(ax)sinh(Sxl]·x

2 2 (a +S ) a

+ 1 [ ~ sin (ax) cosh ( Sx) - -61 cos (ax) sinh ( Sx) ] · F 1 2(a2+S2)EI v-

- 2a~EI sin(ax)sinh( Sx) ·F2 (8)

Jos paalu on vedetty, niin termien a j a S paikkaa on

vaihdettava kaavoissa.

Havaitaan, ett~ j~ykkyysmatriisin alkioissa on eksponent­

tifunktioita. N~iden laskenta onnistuu vaivatta tietoko­

neella, mutta tah~n liittyy er~s vaara: tietokone ei anna

mita~n virheilmoitusta, jos se kasittelee niin suuria tai

pienia lukuja, etta laskentatarkkuus katoaa. Ainoastaan

tuloksista voi nahda, etta ne ovat va~rin. Suurten luku­

jen vaara vaanii, jos paalu on "pitka" eli kuten Timos­

henko m~~ritteli~ > 5. Toisaalta hyvin pieni normaali­

voiman arvo voi my6skin kaataa laskennan (Oliveto, Cuomo,

1986). Laskutarkkuuden s~ilyminen tai katoaminen on luon­

nollisesti konekohtainen asia. Kokeilut numeroarvoilla

osoittavat, etta Timoshenkoa mukaillen "pitk~n" paalun

rajaSL > 5 on riitt~v~ ja asymptoottisia matriiseja ta­

paukseen P+O ei tarvita. "Pitk~lle" paalulle elementin

tarkka j~ykkyysmatriisi saadaan rajakaynnill~ edellisis­

t~. Tulos on

K11 = K33 4SI-2Er I

K12 = K21 - K43 = - K34 2t.2Er I (9)

K22 = K44 2SEI I

ja muut ovat nollia. Havaitaan, etta "pitkalla" paalulla

ei ole kytkentaa eri paiden valill~ eli toinen paa ei

32

tieda, mita toisessa tapahtuu. Interpol~atiota paan la­

hella voidaan laskea kaavasta (8) niin pitk!lle kuin ko­

neen tarkkuus riittaa. "Hyvin lyhytta" paalua eli tapaus­

ta, missa paalu voi saada vain j!ykan kappaleen liikkeen,

ei kasitella erikseen. Laskelmat jaavat lukijalle koti­

laskuksi. Tulokset on annettu esimerkin yhteydessa.

LASKENTARUTIINIT

Kuvassa 3 on esitetty laskentaan tarvittavat lahtotiedot.

2n E-lp

.:sz:.. Hn --E 1

0_ 1 ,P

E- -- £n-1

• .. • •

E-- H3 6 -- .:sz:...

3 E12 ,Pz

4 ~ -~2

2 k1 E 11 I P,

2 H,

'SZ:.-

Kuva 3. Lahtotiedot.

33

Kuvaan on merkitty myos globaalikoordinaatisto, johon

kytkematon koko paalun jaykkyysmatriisi voidaan koota si­

joittelusummauksella elementtien jaykkyysmatriiseista nor

maaliin tapaan. Laskentaohjelmassa kaytetaan ns. suoraa

elementtimenetelmaa, jossa e·nsin kootaan em . kokonais­

jaykkyysmatriisi, josta tuetut koordinaatit "pyyhitaan"

yli. Tama menetelma on nyt kayttokelpoinen vaikka se tuh­

laa tietokoneen muistia, koska 2n x 4 matriisi (nauhan

leveys on tassa tapauksessa 4) sijoitetaan keskusmuistiin

kokonaan. Tama menettely on nyt perusteltua, koska ky­

seessa olevassa tehtavassa tuentapistee~ ovat vain paalun

paissa ja joskus ei niissakaan, joten tuhlaus ei ole ko ­

vin vakavaa. Lineaarinen yhtaloryhma voidaan ratkaista

standardimenetelmalla. Laaditussa ohjelmassa kaytetaan

Gaussin ~liminointia perusmuodossaan.

Jos lopullinen jaykkyysmatriisi ei kaanny eli se on sin­

gulaarinen, niin normaalivoima P on nurjahduskuormituksen

arvossa. Yksi tapa etsia nurjahduskuormitus onkin kasvat­

taa normaalivoimaa P ja kun determinantin merkki vaihtuu,

niin nurjahduskuormitus on loytynyt. Laaditulla ohjelmal­

la haetaan nurjahduskuormitus laskemalla paalun vaaka­

siirtymaa ja tarkkailemalla sen muutosta normaalivoiman

muuttuessa. Jos jonkun pisteen siirtyma kasvaa paljon

normaalivoiman kasvaessa vain vahan, niin nurjahduskuor­

mitus on loytynyt. Edella esitetyt kokeilumetodit eivat

sovellu systemaattiseen tietokonelaskentaan, vaikka ne

ovatkin havainnollisia kaytossa (vrt. esimerkit) . Tarkan

elementtimenetelman ominaisarvotehtavaan (lue nurjahdus­

tehtavaan) on kehitetty kayttokelpoinen algoritmi (Willi­

ams, Wittrick, 1974) ja itse asiassa on esitetty, etta

tarkan elementtimenetelman kayton ominaisarvotehtavassa

teki kayttokelpoiseksi vasta kyseisen algoritmin keksimi­

nen (Friberg, 1986).

ESIMERKKEJA

Laaditun ohjelman testaus aloitettiin yksinkertaisilla

tapauksilla, joille loytyi analyyttiset ratkaisut kirjal­

lisuudesta. Kuvassa 5 on piirrettyna voima-siirtymakayria

3 4

kahdelle Eulerin tapaukselle laskettuna kuvan ykkbsar­

voilla. Siirtymat kasvavat voimakkaasti puristavien voi­

mien lahestyessa arvoja n 2 ja n 2 /4. Kuvan ykkbsarvoilla

tehtiin mybs kokeiluja laskutarkkuuden sailymisesta, kun

puristava voima lahenee arvoa 0. Osoittautui, etta

kaytetyt mikrot laskivat luotettavia tuloksia (siirtyma

pieneni voiman pienetessa) viela arvolla P /1000 naissa

tapauksissa.

mikroilla:

Kokeiluja

MIKROMIKKO,

suoritettiin

TANDY JA

cr seuraavilla

HP-VECTRA.

Paaluprobleemaa ajatellen tama raja ei haitanne teorian

soveltamista kaytantoon, koska paalussa on aina tuon

verran kuormitusta. Maksimi poikittaissiirtyman arvo

rajalla ali noin 0.1 % tarkan poikittaissiirtyman

arvosta, joka on laskettu siten, etta normaalivoima on

nella (vrt. kuva 4). Tarkka jaykkyysmatriisi tapaukseen,

jossa normaalivoima on nella, loytyy kaikista alan

oppikirjoista palkille ilman alustaa (ks. esim. Bulson,

Allen, 1980) ja kimmoisella alustalla olevalle · palkille

se on mybs johdettu (esim. Heinisuo, 1984, Eisenberger

et al, 1986). Kokeilut numeroarvoilla toisessa tarkan

elementtimenetelman sovellutuksessa ovat osoittaneet,

etta rajaa on kasvatettava, kun analysoidaan vedettyja

sauvoja (Mottbnen, 1987).

Q,1 Od

~cr Q El'1 I ib_r:_G)~ El, 1 I~

A L/ 1 ~ L,'2 L,1

I r L,1 ;I 1,0 I

0,8 I

0,6

0,4

0,2 I i I

Vmax

0,6 0.8 1,0

1 ' 3 . i

Kuva 4. Eulerin tapauksia .

35

Kuvassa 5 on piirrettyna paalun kiertyman arvoja, kun

alustaparametri muuttuu. Vertailuarvona

kiertyman arvoa paalulle ilman alustaa,

tunnetusta Berryn funktiosta

ML qJo= 3EI f( ', L) ' f(yL)

3 yL

1 yL - tan (yL) )

on kaytetty 0

mika lasketaan

( 10)

Kuvasta 5 nahdaan, etta alustan jaykistyessa paalun paan

kiertyma voidaan laskea suhteellisen tarkasti "pitkan"

paalun kaavoilla, kun AL > 5.

Tarkastellaan seuraavaksi kuvan 6 tapausta, missa paalu

on osittain ilmassa, osittain savessa ja osittain soras ­

sa. Kuvassa 6 on piirrettyna paalun voima-siirtyma-kuvaa­

ja ja nurjahduskuormaksi saadaan 2.27 MN, kun alustaluku

on oletettu paloittain vakioksi kuvan mukaan ja kitkavoi ­

mat on jatetty ottamatta huomioon. Tarkastellaan lahemmin

tilannetta, kun P = 500 kN.

1,0

0,8

0,6

0,4

0, 2

0

1_: k=O

r--.

O,ll

'\

~

~ k

1-ft /. =«J

~

" 100 ,l.l'f

L=1

...........

,I

.......... ~

10000 ?. o":t

k

Kuva 5. Alustaparametrin vaikutus paalunpaan kiertymaan.

36

1,0

0,8

0,6

0,1.

0,2

I I I I i

10

~, = 2, 27 MN

I I I I I I I

i I I I

Y-T-1 ' I ff l I I I I

I

Yl I i I 20 30 1.0

Kuva 6. Paaluesimerkki.

1~ r v

k~O

Paalu .,E

I I i

I I I

I

0 z

1 ::!::: k:1,3 MAl 0 -4 U' 0' N ,..... -'-

. a·

1'- 250 -.i "

K 1.0 E= SOOO fK

! :

I I k:20,2SMFtl

·lmm so

Kuvassa 7 on piirrettyna paalun taipuman ja momentin ku -

vaajat. Maksimi taivutusmomentti on noin 20,4 kNm ja

talla kohdalla paalun terasbetonipoikkileikkaus on koko­

naan puristettu, joten se sailyy halkeamattomana. Paalun

ylapaan vaakasiirtyma on 17,64 mm ja vaakatukivoima ala ­

paassa on 5,49 kN. Jos kitka alapaassa ei riita siirta­

maan (vaadi ttu kitkakerroin 5,49/500~0,011) tata vaaka ­

voimaa, niin alapaahan ei anneta 1ahtotietona tukea. Paa-

1un y1apaan vaakasiirtyma on nain 1askien 17,92 mm ja

alapaa siirtyy 0,23 mm vasempaan. Jos sorakerros jaetaan

10 e1ementtiin ja a1ustaparametria muutetaan lineaarises ­

ti arvosta 18 MPa arvoon 22,5 MPa, niin ylapaan vaaka­

siirtymaksi saadaan 17,64 mm, kun alapaa on oletettu tue­

tuksi vaakasuunnassa . Jos savikerros jaetaan 20 element -

37

tiin ja paalun normaalivoiman oletetaan muuttuvan lineaa ­

risesti arvosta P arvoon P/20 (sorassa), niin ylapaan

vaakasii~tyma arvolla P=500 kN on ~7 ,20 mm. Vaakatukivoi­

ma alapaassa on talloin 5 ,29 kN ja vaadittu kitkakerroin

on 0,21, jotta paalun alapaa pysyisi paikallaan.

SOOkN

10~1 20mm ~ I 20kNm

~

k=O E

-----------....-/

L I

\ \ \ M .L

" k= 1,3 MPa " "-"" "-.. "'-..,

......... .........

"'-.., "'-..,

"'-.., k=20.2SMR:! E

Kuva 7. Paalun taipuma ja momentti.

Lopuksi on vieUi tarkastettu "hyvin lyhyen" paalun tapaus

e l ise, nurjahtaako paalu jaykkana kappaleena (kuva 8).

Laskelmat voidaan suorittaa esimerkiksi potentiaaliener ­

gian minimiperiaatteen mukaan. Tulokset ovat seuraavat:

38

--

~

p cr

p cr

X

n-1 3 3 i~ 1 ki(Hi+1 -Hi)

3H H 1 =0~ (alapaa tuettu) 1

n

-I [ I:ki(Hi+1-Hi) j [i:ki(Hi+~- Hi) J- ,}{L:ki(Hi+~ -Hi)J2 Hrl:ki (Hi+1 Hi)

Kuvan 6 tapauksessa saadaan numeroarvot

L:ki(Hi+ 1-Hi) = 25.450 MN/m 1

1 2 2 2 l:ki(Hi+1 - Hi) = 25.725 MN I

60.483 MNm 1

Per 10.081 MN (tuettu) 1

5 . 747 MN (tukenaton)

x 1.011m.

Kuva 8. Paalun nurjahdus jaykkana kappaleena.

1 (alapaa tukenaton)

(12)

39

LAHDEKIRJALLISUUS

Heinisuo M., Rajakuormitusta koskeva alarajalause ja

sen soveltaminen, Rakenteiden mekaniikka, Vol. 14, No 2,

1981, 17-37.

Greimann L., Wolde-Tinsae A. , Design model for piles in

jointless bridges, Journal of Structural Engineering, Vol.

114, No 6, June, 1988, pp. 1354-1371.

Nieminen A.; Materiaaliltaan epalineaarisen kerrospalkin

analyysi elementtimenetelmal1a, Tampereen teknillinen kor

keakoulu, Rakennustekniikan osasto, Diplomityo, Tampere,

1989, (valmisteilla).

Malmi S. Kaksipaarteisen Sandwich-palkin tarkka dynaami ­

nen analyysi elementtimenetelmalla, Tapereen teknillinen

korkeakoulu, Rakennustekniikan osasto, Diplomityo, Tampe­

re, 1987.

Malmi S., Sandwich-palkin vapaa varahtely, Rakenteiden

mekaniikka, Vol. 21, No 3, 1988, 14 - 36.

Outinen H., Application of exact finite element method

to analysis of statics of thin elastic shells of revolu­

tion with axisymmetric loading, Tampere, 1988.

Przemieniecki J., Theory of Matrix Structural Analysis,

New York, McGraw-Hill Book Company, 1968.

Allen, H.G., Bulson P.S., Background to Buckling. McGraw

Hill Company (UK) Ltd, 1980.

Heinisuo M., Kimmoisella alustalla olevan palkin ratkai­

susta, Tampereen teknillinen korkeakoulu, Rakennussta­

tiikka, Raportti 7, Tampere, 1984.

Yankelesky D., Eisenberger M., Analysis of beam column

on elastic foundation, Computers & Structures 23 (1986) 3

pp. 351-356.

40

Cheng F.,. Pantelides C., Static Timoshenko beam- column

on elastic media, Journal of Structural Engineering, Vol.

114, No5, May, 1988, pp . 1152-1172.

Oliveto G., Cuomo M., The tangent stiffness matrix of

elastic frame members for vanishingly small values of the

axial force, Meccanica 21 (1986), pp. 144- 150 .

Williams F., Wittrick W., An automatic computational

procedure for calculating natural frequencies of skeletal

structures, Int. J. Mech. Sci. 12 (1970), pp. 781 - 791.

Friberg P . , Beam element matrices derived from V1asovs

theory of open thin- walled elastic beams, Int. Journal

for Numerical Methods in Engineering 21 (1985), pp. 1205-

1228.

Eisenberger M., Yankelevsky D., Clastornik J., Stability

of beams on elastic foundation, Computers & Structures 24

(1986) 1, pp. 135-139.

Mottonen A., Kaksipaarteisen Sandwich-palkin tarkka ele­

menttimenetelma taivutuspuristuksessa ja lampokuormituk­

sessa, Tampereen teknillinen korkeakoulu, Rakennusteknii ­

kan osasto, Diplomityo, Tampere, 1987.

Markku Heinisuo, Tekn.tri., Insinooritoimisto KPM - suunnit­

telu Oy, Tampere.

41