P-1 Kvantna Uvod

7/30/2019 P-1 Kvantna Uvod

http://slidepdf.com/reader/full/p-1-kvantna-uvod 1/59

Univerzitet u Sarajevu

Elektrotehniči fakultet

ČESTICE I VALOVI

Red.prof.dr Kemo Sokolija, dipl.ing.el



2

Čestice i valovi

Newton je u XVII stoljeću razvio klasičnu fiziku (kinematiku i dinamiku)

Fradayevi eksperimenti i Maxwellova matematika oblikovali su elektromagnetizam u XVIIIstoljeću.

Otkriveno da se EM valovi kreću brzinom svjetlosti, pa je tako i sama svjetlost EM val.

1879. Josef Stefan je proveo jedan veoma vaţan eksperiment, koji se odnosi na zračenje iapsorpciju od strane crnih tijela.



3

Što je to crno tijelo?

Svi objekti kontinuirano zrače i apsorbiraju EM valove.

Kada svjetlost (ili EM val) padne na neprozirno tijelo, dio svjetlosti ce se odbiti, a drugi dio ćebiti apsorbiran.

Tijela svjetle boje će reflektirati većinu upadnog zračenja.

Tijela tamne boje će apsorbirati većinu upadnog zračenja.

Ako se neprozirno tijelo nalazi u termickoj ravnoteţi sa svojim okruţenjem, onda ce stupanjapsorpcije biti jednak stupnju refleksije; u protivnom ne bi bilo u termičkoj ravnoteţi.

Ovo zračenje je poznato kao toplinsko (termičko) zračenje.

Za objekte čije su temperature niţe od ~6000C ovo zračenje ne pada u vidljivi nego u

infracrveni dio EM spektra.

Ljudsko tijelo ima temperaturu ~370C, tako da zraci u infracrvenom podrucju i u mraku nismovidljivi.



4

Na temperaturama izmedu 6000C i 7000C već ima dovoljno energije u vidljivom spektru, takoda tijelo počinje ţariti bez sjaja.

Na mnogo višim temperaturama tijelo postaje blještavo crveno ili uţareno do bjelila.

Tijelo koje apsorbira i emitira kompletnu upadnu EM radijaciju naziva se idealno crno tijelo;ništa od upadne radijacije ne prolazi kroz njega, niti se bilo koji dio te radijacije od njegaodbija.

Ime crno tijelo dolazi zbog pretpostavke da tijelo apsorbira zračenje na svakoj frekvenci, takoda izgleda crno i onda kada se nalazi na niskoj temperaturi.

Crno tijelo je interesantno jer njegova optčka svojstva ne ovise omaterijalu, nego samo o temperaturi.Crno tijelo je komad materije, te je kao i sva materija sastavljeno odatoma. Atome u čvrstom tijelu moţemo promatrati na nacin da su njegoviatomi povezani nevidljivim oprugama.Svaki atom vibrira i oscilira u 3 dimenzije.

Ovo se zove jednostvna harmonijska aproksimacija. Radi se o striktnoj klasicnoj fizici.Vibrirajuci atomi apsorbiraju i emitiraju zracenje, a klasicna fizika

nam kaţe da je zracenje emitirano oscilatorima proporcionalno temperaturi tijela:

∝



5

Ova ovisnost opisana je Rayleigh-Jeansovim zakonom:

=4

2

- valna duljina

k- Boltzmanova konstanta = 1.38x10-23J/K

Na donjoj slici su crnim linijama prikazane ovisnosti intenziteta zracenja za dvije temperaturetemperature 1 i 21 < 2.

Klasicna teorija predvida da I→∞ kad

→0.

Eksperimentalno dobiveni rezultati prikazani su iscrtkanimplavim linijama.

Klasicna teorija je u pravu samo kod velikih valnih duljina(niskih frekvenci), ali pravi neprihvatljiva odstupanja kodkratkih valnih duljina (visokih frekvenci).

Ova je cinjenica ostala poznata pod nazivom ultraljubicasta katastrofa (buduci da je klasicnafizika predvidala najintenzivnija zracenja u podrucju kratkih valnih duljina – u nevidljivomultraljubicastom dijelu spektra).



6

Kao što vidimo intenzitet zračenja idealnog crnog tijelavarira s valnom duljinom.Kod viših temperatura se ima veći intenzitet po jedinicivalne duljine i maksimum se javlja na kraćim valnim

duljinama.Objašnjenje eksperimentalno dobivenih podataka ozračenju crnog tijela dao je 1900. njemački fizičar MaxPlanck.On je otkrio matematički izraz koji se dobro uklopio sraspoloţivim podacima. Kazao je: energija oscilacija atoma je diskretna varijabila,

tj. energija moţe imati samo neke diskretne vrijednosti

= 0, , 2, 3,… ,

Ova diskretna kolčina energije – zamotuljak (paketić) - latinski quantum povezana je svalnom duljinom odnosno frekvencijom (f) zračene svjetlosti na slijedeci nacin:

=

h- Planckova konstanta = 6.6210−34

.Kraće talasne duljine (više frekvence) koštaju više energije.

Kolika god je temperatura, količina energije je ograničena, tako da se proizvodi manje onih svisokom frekvencom.



7

= , = 0,1,2,… Ovo je bila Planckova pretpostavka:

Energiji je dopušteno imati samo neke vrijednosti: ona je kvantizirana.

Kvantizacija energije ima neke radikalne efekte. Uzmimo naprimjer konzervaciju energije.

EM valovi nose energiju, tako da vibrirajući atom koji emitira zračenje mora gubiti energiju.

Zakon o konzervaciji energije nam kaţe da energija koju nosi EM va l mora biti jednakaizgubljenoj energiji.

Neka vibrirajuci atom ima energiju, E=3hf .

Buduci da emitira zračenje, on mora gubiti energiju, a u skladu s Planckovom pretpostavkom,slijedeći niţi energetski nivo je E=2hf .

To znači da EM val mora imati energiju, E=2hf .

Prema tome, energija dolazi u diskretnim paketićima (hf ) koji se nazivaju

KVANTIiliKVANTI ENEGRIJE.

Planckov rad popločao je put razvoju nove fizike ili

KVANTNE MEHANIKE.



8

Planck nije bio zadovoljan sa svojim rezultatima i zaključkom; nije ţelio vidjeti uništenjeklasične fizike.

"Morat cemo, nekako živjeti s kvantnom teorijom" , rekao je konačno, mireći se sa sudbinom.

"A ona će se, vjerujte mi, širiti. Neć e ona ostati samo u optici. Zahvatit ć e sva polja". Kako jebio u pravu!

Značaj Planckovog rada (tek nakon osamnaest godina za ovaj rad dobit će Nobelovunagradu) nije prepoznat do 1905.

U toj će godini mladi Albert Einstein objaviti svoja četiri rada.

Mi ćemo se fokusirati na prvi od tih radova:

"On a Heristic Viewpoint of the Generation and Conversion of Light".



9

Albert Einstein je polazeći od Planckove pretpostavke o kvantizaciji energije ipretpostavljajući da je to univerzalna karakteristika svjetlosti postavio postulat:

Energija svjetlosti nije ravnomjerno distribuirana u prostoru, nego se sastoji od dikretnih

kvanta energije zvanih fotoni.

Energija svjetlosti (ili jednog fotona) iznosi:

=

=

Dakle, ako znamo frekvencu ili valnu duljinu svjetlosti, moţemo izračunati njenu energiju.

Što je veći intenzitet svjetlosti, ona sadrţi više fotona, ali svaki od njih ima energiju, E=hf .

Einstein će ove ideje koristiti za objašnjenje tzv.

FOTOEKEKTRIČNOG EFEKTA.



10

Fotoelektrični efekt

Heinrich Hertz je, da bi potvrdio Maxwellovu teoriju, 1887. proizveo i detektirao EM radiovalove.

On je također otkrio fenomen koji se danas nazivafotoelektrični efekt.

Kada svjetlost obasja metalnu plocu, neki elektroni bivajuizbačeni s njene površine, a zatim ubrzani potencijalnomrazlikom izvora.

Rezultat je tok struje kao što se vidi sa slike.

Vaţne karakteristike fotoelektricnog efekta:

Bez obzira koliki je intenzitet upadne svjetlosti, samo svjetlost cija frekvenca premašuje nekuminimalnu vrijednost, f o, dovest će do izbacivanja elektrona.



11

Fotoelektricni efekt (nastavak)

Opaska: ispod f o nema izbacivanja elektrona iz metala

< nema izbacivanja

≥ , elektroni bivaju izbaceni s površine

se naziva frekvenca praga

Uzmimo sad neku frekvencu

≥ kod koje elektroni

bivaju izbaceni s površine metalne ploce.

Maksimalna kineticka energija (KEmax) izbacenih elektrona ostaje konstantna, čak i kad sepoveća intenzitet svjetlosti.



12

Einsteinovo objašnjenje

Einstein je shvatio da Plankova zamisao da se svjetlost javlja u zamotuljcima – kvantima –

moţe biti ključ za shvatanje ove fotoelektricne tajne.

Energija jednog kvanta svjetlosti (fotona) iznosi = .

Koja vrsta svjetlosti moţe dati elektronu toliku energiju da on iskoči s površine metala?

Kad je frekvencija upadne svjetlosti dovoljno visoka,( ≥ ), elektron ce primiti dovoljnoenergije da se "otrgne" iz metala i poleti kroz zrak.

Ako je frekvencija upadne svjetlosti preniska (niţa od praga praga f o), količina saopćene

energije bit ce premala da bi se elektron mogao "otrgnuti"; uzalud je metal zasipati pravompoplavom impotentnih dugotalasnih paketića svjetlosne energije.

Bitno je koliko energije imaš u svakom zamotuljku, a ne koliko tih zamotuljaka imaš.



13

Elektromegnetni spektar

Najkrać a valna duljina(Fotoni s najveć om energijom)

= =

= 6.610−34 Plankova konstanta:

Najdulja valna duljina

(Foton s najmanjom energijom)



14

Fotoelektricni efekat (nastavak) - Svjet lost

Slobodni elektroni okupiraju kompletan volumen

metala.Elektroni koji se nalaze blizu površine metala(površinski Površinski elektroni) su slabije vezaniza metal od zapreminskih elektronielektrona, takoda su oni ti što bivaju izbačeni tokomMetalfotoelektricnog efekta.Bez obzira na to što su mnogo slabije vezani,

površinski elektroni imaju minimalnu "energiju vezivanja", što ju se mora nadmašiti da bielektron napustio metal.

Ona se naziva radna funkcija (Wo) metala.

U pitanju je energija, koja tipično iznosi nekoliko eV.

Tokom efekta, foton čija je energija hf ( ≥ ) pogađa metal i izbija elektron koji dobivakinetičku energiju −.

Slijedeći princip konzervacije energije imat ćemo da je:

− = −

Što je Einsteinova jednadžba fotoelektričnogefekta



15

Fotoelektrični efekat (nastavak)

Za svoj rad na fotoelektričnom efektu Einstein je 1921. dobio Nobelovu nagradu.

Valni opis zračenja svjetlosti ne uspijeva objasniti fotoelektrični efekt.

Potrebno je koristiti pristup preko čestice (foton)

…No nemojte još napuštati valni opis!

Fotoelektrični efekt bio je jedna od prvih naznaka dvojnosti svjetlosti – čestica/val.

Dakle svjetlost je sastavljena od čestica koje se nazivaju fotoni.

Einstein je pokazao da je ukupna energija jednog objekta:

= 1 1−22

, ako je = 0 ⇒ = 1 = 2

Što je Einstanova čuvena jednadţba.



16

Vratimo se na opću jednadţbu za energiju

=

2

⇒ =

2

⇒ 1

− 2

2=

2

Primijenimo ovo na foton, kod kojega je = .

1

− 2

2=

2

⇒0 =

2

Da bi ova jednadţba bila korektna, m mora biti jednako nuli.

Foton je čestica bez mase koja se kreće brzinom svjetlosti!!!



17

Količina kretanja (engl. momentum)

U fizici postoji još jedna veličina koja je isto toliko "sveta" kao i energija.

Radi se o količini kretanja, kako ju je još nazvao Newton (Quantity of motion) u svojoj knjiziPrincipia (1687.).

Za objekt mase m, koji se krece brzinom , kolicina kretanja se definira kao:

= Za razliku od energije koja je skalarna velicina, kolicina kretanja je vektor čiji je smjer jednaksmjeru vektora brzine.



18

Da li foton nosi količinu kretanja?

Luis de Broglie je 1924., radeći svoju doktorsku disertaciju, na Univerzitetu u Parizu, postaviohipotezu da ako valovi svjetlosti mogu imati svojstva čestice onda i čestice (tj. elektroni)

mogu imati valna svojstva.

To je bila veoma radikalna pretpostavka, buduci da nije imala eksperimentalnu potporu.

Iz Einsteinovih jednadţbi relativiteta slijedi da je količina kretanja fotona jednaka:

= =

, buduci da je =

De Broglia je ovu jednadţbu napisao u formi:

=

Ova jednadţba je poznata kao de Broglieva valna duljina čestice.

To znaci da foton, bez obzira što nema masu, nosi količinu kretanja:

=

gdje je valna duljina svjetlosti čiji je on kvant.



19

deBroglieva relacija

I energija i količina kretanja su obrnutoproporcionalne valnoj duljini!!!

=

=

= Foton nosi količinu kretanja

Foton takodjer nosi energiju



20

Dokaz de Broglieve hipotezeU nastojanju da dokaţe kako svjetlost ima valnu narav, Tomas Young je 1801. izveoeksperiment s monokromatskom svjetlošcu koja odaslana iz jednog izvora udara u barijeruna kojoj se nalaze dva blisko postavljena proreza.

Ako svjetlost ima potpuno korpuskularnu (česticnu) narav na ekranu postavljenom izaprepreke pojavila bi se slika nalik onoj što je imamo na donjoj slici – slike dvaju proreza.

Umjesto takve Young je dobio sliku na kojoj se imajunaizmjenicne tamne i svijetle pruge (Sl.b). Ovaj uzorakpotpuno je odgovarao do tada poznatim uzorcima

ponašanja mehanickih valova tj. fenomenu interferencije – zbrajanja valova iz više izvora.

Tamo gdje imamo tamne pruge dva vala iz dva izvora

(proroza) su se poništila (kestruktivna interferencija); tamogdje su se pojavile svijetle pruge valovi su se superponirali(konstruktivna interferencija).



21

A što je s elektronima?

De Broglieva zamisao nije imala nikakvu eksperimentalnu podršku sve dok 1927. kadadvojica americkih fizičara (C. Davisson i L. Germer, iz laboratorija Bell Telefon), nisu

doznavši za de Broglievu hipotezu podatke koje su dobili bombardirajuci razne metalnepovršine mlazevima elektrona razmotrili iz perspektive valnog ponašanja.

Tako su ustanovljeni obrasci koji se tačno uklapaju u ponašanje koje bi elektroni moraliispoljavati ako jesu valovi i ako je njihova valna duljina povezana s njihovom količinomenergije.

Davisson je za ovo otkrice dobio Nobelovu nagradu 1938.(zajedno s J. Tomsonom sinom slavnog J.J. Tompsonakoji je otkrio elektron kao česticu).



22

A što je s elektronima? (nastavak)

Karakteristicni uzorak interferencije prikazan na sl. A postajeevidentniji nakon što dovaoljan broj elektrona padne na ekran.

The double-slit experiment encapsulates the central mystery of quantum mechanics. It is phenomenomenon which is impossible,absolutely impossible, to explain in any classical way and which hasin the heart of quantum mechanics. In reality, it contains the only mysterty.... the basic peculiarities of all quantum mechanics.

Richar P. Feynman



23

A što je s elektronima? (nastavak)

Kao što vidimo elektroni djeluju kao valovi i interferiraju jedan s drugim proizvodeci klasičniuzorak interferencije.

Naše shvatanje da je elektron sićušna diskretna čestica materije nije razlogom za čnjenicu dase elektron u nekim okolnostima ponaša kao val.

To pokazuje njegovu dualnu narav – nekad se ponaša kao čestica, a nekad kao val.

Isto vrijedi i za svjetlost!



24

De Broglieva valna duljina

Svi objekti imaju de Broglievu valnu duljinu: teniska loptica, automobil, čak i mi svi osobno.

Samo treba znati slijedeće: da bi se osjetili valni efekti (interferencija i difrakcija) valna duljinaobjekta mora biti usporediva sa dimenzijom otvora ili prepreke.

Izračunajmo valnu duljinu osobe teške 60 kg:

=

=

=

6,62610−34( )

60

9(

)

= 110−36

Što znači ovaj broj?

Veličina atoma je grubo uzevši 1x10-10m. To znaci da ova osoba ima valnu duljinu koja je za26 redova veličine manja od veličine atoma! To znaci da se valna svojstva ne mogumanifestirati kod svakodnevnih objekata.

Za opserviranje valnih svojstava potrebno je imati na raspolaganju objekte malih masa koje

se kreću velikim brzinama... subatomske čestice.

Šale radi, razmotrimo što bi se dogodilo kad bi valna duljina neke osobe bi la recimo 1m.

I što bi se dogodilo kad bi se ona našla u borovoj šumi???



25

Interferirala bi sama sa sobom!



26

To su valovi vjerovatnosti!

Svijetle pruge na ekranu u eksperimentu s dva proreza predstavljaju regione u koje ce s

najvećom vjerovatnošcu udarati elektroni.

Pokazuje se da se u tim regionima ima najveca vrijednost 2, tj kvadrata valne funkcije kojom je Erwin Schrödinger opisao, kao je on mislio val materije.

Njemacki fizicar Max Born je nadahnut jednim Einsteinovim radom iz 1911., iste godine(1926.) kada je Schrödinger objavio svoju čuvenu jednadţbu dao tumačenje prema kojemuSchrödingerova jednadţba ne opisuje val materije nego val vjerovatnosti da se ta materijanađe na nekom određenom mjestu.

To međutim ne znači da Schrödingerova valna jednadţba nije tačna, naprotiv.

Kad se riješi ova jednadţba i ustvrdi valna funkcija , moguće je predskazati kako će sepromatrana čestica ponašati u vremenu.



27

Heisenbergov princip neodreĎenosti

Razmotrimo difrakciju na primjenu barijere s jednim prorezom.

Elektroni ulaze u prorez s količinom kretanja .

Kad prođu kroz prorez, neki će od njih dobitikoličinu kretanja u pravcu y osi.

Maksimum koji moţe dobiti bilo koji elektronoznačimo sa Δ .

Δpredstavlja neodredenost u kolicini kretanja u pravcu y osi.

Iz optike je poznato da vrijedi sin = kako specificira poloţaj prve tamne pruge.

Ako je rastojanje do ekrana veliko ⟹ sinΘ = tanΘ = =

Δ .



28

Heisenbergov princip neodredenosti(nastavak)

Tako imamo da vrijedi

Δ = .S druge strane, prema de Brogliu je = , što daje:

Δ =

Što je manja visina proreza W to tačnije znamo vrijednost koordinate y elektrona kad onprolazi kroz prorez.

Ali što je manje W, vecim postaje Δ . Drugim riječima, štotačnije znamo poziciju čestice u prorezu, veća je neodređenostu njezinoj količini kretanja.Dakle, W predstavlja neodredenost u y-poziciji elektrona.

W ≡ Δ Uvrštavajuci to u izraz za imat ćemo:

ΔyΔ ≥; 2

Ovaj izraz poznat je kao Heisenbergov princip neodredenostiza količinu kretanja i poziciju.Nemoguće je istodobno precizno specificirati poziciju i količinukretanja čestice.



29

Heisenbergov princip neodreĎenosti(nastavak)

Drugi način zapisivanja Heisenbergovog principa neodređenosti je slijedeći.

ΔEΔt ≥ 2

To je izraz koji se odnosi na energiju i vrijeme

Nemoguće je tačno poznavati energiju čestice kad se ona nalazi u praktikularnom stanjufizičkog sistema i precizno znati vremenski interval tokom kojega će se čestica zadrţati u tom

stanju.

Drugim riječima, što je kraci ţivotni vijek neke čestice u partikularnom stanju, veća jeneodređenost njene energije.



30

Priroda atoma - Ruthefordovo rasipanje

Kao što znamo, postoje dvije vrste naboja pozitivni i negativni materija je komponirana odobje vrste.

Engleski fizičar J.J. Tompson je 1897. otkrio elektron i izmjerio njegovu masu.

A što je s pozitivnim nabojem?

J. J. Tompson je spekulirao predlaţuci model atoma koji je nazvan «puding od šljiva» (p lum-pudding model:

Negativni elektroni su rasuti kao šljive u pudingu pozitivnog naboja, koji je ravnomjernodistribuiran kroz atom.

Atomsku jezgru otkrio je 1909. NovozelandaninErnest Rutheford, radeci na Univerzitetu uManchesteru, nakon cega se trijumfalno vratio uLaboratorij Cawendish Univerziteta u Cabridgu i

zamijenio J. J. Tompsona.

Prethodno je E. Rutheford radio s Marie i PierreCuriem u Montrealu koji su otkrili radioaktivnost.Oni su otkrili dva tipa radijacije, i zrake.



31

Ruthefordovo rasipanje (nastavak)

Rutheford je uskoro shvatio da su

- zraci ili

- zračenje ništa drugo nego elektroni.

- zraci su bili mnogo teţi i bili su pozitivno nabijeni. (Tosu ustvari jezgre atoma helija, što u to doba niko nijeznao). - cestice prolijecu kroz foliju, ali se mnogo usput sudarajus atomima zlata što ih skreće s puta.

Ustanovljeno je ipak da se jedna od svakih 8000 -čestica vratila skoro tačno natrag.

Kad je to saznao Rathefor je rekao:"Bio je to svakako najnevjerovatniji dog adaj u mom životu.Bilo je to kao da ispališ granatu od 380 mm na listic toalet papira, a granata se odbije i doleti nazad do tebe i tresne te".

Kako se to moglo dogoditi?



32

Ruthefordovo rasipanje (nastavak)Postojalo je samo jedno objašnjenje ove pojave, no Ruthefordu je trebalo 18 mjeseci da serazabere u ovom problemu, koji danas rješavaju studenti fizike već na prvoj godini.Maja 1911. izlazi njegov članak kojim se proglašava da postoji "nuklearni atom".

Tako je nastao model atoma koji je i danas širokorasprostranjen:

Nuklearni model (planetarni model).Sav pozitivni naboj atoma koncentriran je u vrlo malom regionuatomske jezgre.

Pozitivne naboje je Rutheford nazvao protonima.

Jezgra je mnogo manja od atoma, ali je u njoj koncentriranaskoro sva masa atoma.Danas znamo slijedeće:

Model je kvalitativno tačan, mada elektroni ne kruže oko jezgre po stalnim kružnim orbitama.

Oni ustvari postoje kao oblaci vjerovatnosti.

Da bismo stekli utisak kako izgleda Ruthefordov atom, zamislimo da je jezgra velika kao zrnograška.

U tom bi slučaju poluprečnik atoma iznosio 100 metara.

Atom je uglavnom prazan prostor!



33

Problemi s planetarnim modelom

Razmotrimo elektron koji kruţi oko jezgre po orbitiradijusa r.

Elektron ima i kinetičku i potencijalnu energiju.I ... ubrzava se

= 2

Kao što znamo ubrzavajuci naboji proizvodeelektromagnetske valove koji nose energiju.

To znaci da ce jedan dio energije elektrona biti odaslan; elektron ce usporavati svojekretanje, smanjit ce mu se radijus orbite, budući da će ga privlačiti suprotni naboj: one će nakraju spiralno sići u svoju jezgru...

Atom će doživjeti kolaps! Planetarni model nije stabilan na bazi klasične elektrodinamike.

Na ovaj ćemo se problem vratiti kasnije.



34

Spektralne linije

Kao što znamo svi objekti emitiraju EM zračenje. Uţarene niti u sijalici emitiraju kontinuiranrang valnih duljina, od kojih se neke nalaze u vidljivom spektru.

Ovaj rang različitih valnih duljina rezultat je "uzbudenih" elektrona u različitim atomima odkojih je sacinjeno tvrdo tijelo.

Za razliku od toga, pojedinacni atomi emitirajuzračenje na samo nekim valnim daljinama.Tako se ponašaju i gasovi na niskom pritisku.

Moţemo koristiti difrakcionu rešetku i proizvestikarakteristicni linijski spektar za ove atome.

Na slici je prikazan linijski spektar za ţivu.

Vodik u gasovitom stanju, buduci da jenajjednostavniji element, proizvodi takoder

jednostavan spektar.

On formira tri grupe linija: Lymanove, Balmarove i Paschemove.

Samo se Balmarove linije nalaze u vidljivom spektru.



35

Lyman, Balmar i Paschen suotkrili relacije izmedu razlicitihvalnih duljina svjetlosti u linijskomspektru

Balmanove linije za vodik kao gas



36

Lymanov niz:1 = 1

12− 12

, = 2,3,4,…

Balmerov niz:1

= 1

22 −1

2 , = 3,4,5,…

Paschenov niz:1 = 1

32− 12

, = 4,5,6,…

Gdje je R = Rydbergova konstanta = 1.097x107 m-1

Buduci da se samo Balmarov niz nalazi u vidljivom spektru, koja bi bila najdulja, a kojanajkraća valna duljina koju moţemo vidjeti iz emisije vodika.

Najdulja bi se pojavila za n=3, a najkraća za n=8.



37

Za n=3, Balmerov niz glasi:

1

= 1

22− 1

32 ⇒ 1

= 1

4− 1

⇒ = 656 → crveni dio vidljivog spektra

Za n=∞, Balmerov niz glasi:1 = 1

22− 1

∞2 ⇒ 1 = 1

4

⇒ =

4

= 365

→dio vidljivog spektra



38

Bohrov model atomaNiels Bohr (1885.-1962.) dobitnik Nobelove nagrade za fiziku 1922., nakon neslaganja s J. J.Tompsonom odlazi u Manchester pošto što je čuo Ruthefordovo predavanje o novom modeluatoma.

Tu počinje raditi na planetarnom modelu atoma pokušavajuci razumjeti kako materija moţebiti stabilna ako se elektroni ubrzavaju krećući se oko jezgre.

Bohr je započeo s vodikom, budući da je to najjednostavniji element – ima samo jedanelektron i jedan proton.

Kao što je to učinio Einstein kad se radilo ofotoelektričnom efektu, Bohr je adaptirao Plankovuideju o kvantizaciji energetskih nivoa i pretpostavio daatom vodika moţe imati samo neke vrijednostienergije, tj. da su oni kvantizirani.



39



40

Svaki od tih energetskih nivoa odgovara jedinstvenoj orbiti po kojoj se elektron krece okoprotona. Što je veca orbita, veća je energija.

Evo Bohrovih pretpostavki:

Elektroni se kreću po fiksnim orbitama oko protona, a svaka orbita je definirana jedinstvenimradijusom i energijom.

Ove orbite se nazivaju stacionarne orbite ili stanja i dok se nalaze na tim orbitamaelektroni ne emitiraju energiju.

Ne emitiraju energiju?

Zbog ovog bi se Maxwell poceo tumbati u svog grobu.

Prema klasičnoj fizici sva materija apsorbira i emitira zračenje!

Da bi to objasnio Bohr je ovdje inkorporirao Einsteinov model fotona:

Elektron emitira zračenje (fotone) onda i samo onda kad se krece s jedne na drugu orbitu.



41

Bohrov model atoma (nastavak)

Elektron prelazi s višeg na niţi energetski nivo i emitira foton. Prema zakonu o konzervaciji energije, energija fotona jednaka je razlici energija dvaju stanja Ei i Ef

=

− =

Ovu jednadţbu je sada mogao koristiti za izracunavanjevalnih duljina (boja) emitirane svjetlosti od strane atomavodika. Ali je prije toga morao izracunati energije E i i Ef .

Da bi došao do odgovora Bohr je koristio i klasičnu i kvantnu mehaniku – kad mu je štatrebalo.



42

Bohrov model (nastavak)

Ze – broj protona u jezgri

Izmedu jezgre i elektrona postoji privlačnaCoulombova sila Fc; ona je usmjerena premacentru kretanja tako da priozvodi centripetalnusilu.

= + =1

22 + 12

1 = ,2 = − ⇒ = 122 −

2

Budući da je = ⇒ 2

= 2

2



43

Uvrštavajuci ovaj uvjet u jednadţbu za energiju imat cemo:

=

− 2

2

Ovo je klasični rezultat za ukupnu energiju atoma vodika. Ona je negativna, buduci da jeintenzitet negativne PE veći od intenziteta KE.

A što je s radijusom?

Kao što znamo iz klasične fizike, kutna količina kretanja (zamah) se definira kao:

=

Bohr je pretpostavio da je radijus orbite kvantiziran, što znači da i kutna količina kretanjamora biti kvantizirana.



44

Ali kako?

Koje ce to diskretne vrijednosti biti?

Ključ zagonetke se nalazi u jedinici za kutnu količinu kretanja:

2



45

Što to još ima istu jedinicu?

Pogledajmo ℏ.

ℏ = = 22 = 2

Drugim riječima, ℏ je fundamentalna kvantna vrijednost kutne količine kretanja.

To je Bohra dovelo do treće pretpostavke:

=

=

ℏ,

= 1,2,3,

…

U kvantnom svijetu, kutna količina kretanja dolazi u paketicima velicine ℏ.



46

Ako gornju jednadţbu riješimo po v i to uvrstimo u izraz za silu dobit ćemo:

rn = 2

4222Ζ = 5.2910−112Ζ , = 1,2,3,…

To je jednadţba koja daje radijuse razlicitih kvantiziranih orbita.



47

Za atom vodika Z=1, tako da za najniţu kvantiziranu orbitu (n=1) dobivamo:

1 = 5.2910−11

Ovo je prvi Bohrov radijus vodika.

Svakom nivou n odgovara razlicit Bohrov radijus. Ako izraz za r uvrstimo u jednadţbu za energiju, dobit

ćemo:

= 2

2

2

4

2 Ζ2

n2 , n = 1,2,3,…

Ovo su Bohrovi kvantizirani energetski nivoi za atomvodika.

= 2.1810−18 Ζ2

n2Bohrovi energetski nivii u Joulima

= −13.6 Ζ2

n2Bohrovi energetski nivoi u elektron-voltima



48

Ponovno za vodik, Z=1, n=1:

1 = −13.6 Ovo je energija elektrona na prvom Bohrovom nivou – energija osnovnogstanja.

Kao što vidimo, zbog ovisnosti energije o 1/n2, rastojanjeizmedu viših i viših energetskih nivoa se smanjuje.

Dakle, ako elektronu atoma vodika koji se nalazi u osnovnomstanju (n=1) saopcimo 13.6eV, on će imati ukupnu energiju jednaku nuli i neće više biti vezan za proton -> elektron će seodvojiti od atoma.

Ovaj se proces nazivaIONIZACIJA.

Dakle, Bohr je predskazao da je ionizacijska energija vodika13.6eV. To se izvanredno slagalo s eksperimentima.

Jasno je da je Bohr bio na pravom putu, ali što je s valnimduljinama zračenja (spektralne linije).



49

Pođimo od druge Bohrove pretpostavke:

=

− ⇒1

2224

3

Ζ2

1

nf

2

−1

ni

2

, nf , ni = 1,2,3,

…ni > nf

⇒ 1

nf 2 − 1

ni2

Što predstavlja ta konstanta?

22243 = 1.097107−1 =

Zar je to moguće?!

1 = 1

nf 2 − 1

ni2 , ni = 2,3,4,…

Bohrova teorija reproducira eksperimentalno dobivene rezultate!!!!



50

Dakle, Lymanov niz sastoji se iz prijelaza na osnovno stanje (n=1) polaze ći od prvogpobuđenog stanja (n=2):

Balmerov niz sastoji se iz prijelaza na n=2 polazeci od n=3.Valne duljine koje smo opservirali za vodik zovu seemisione linije.

Atom moţe takoder i apsorbirati fotone (apsorpcione linije).

Ako foton upada u atom i ima energiju jednaku razlicienergija izmedu dva energetska nivoa atoma, elektron ćebiti "podignut" na viši energetski nivo zvani pobuđenostanje.

Ţivotna dob elektrona u pobudenom stanju je konačna i

prilicno kratka. On se brzo vraća na niţi nivo i emitira fotončija je energija jednaka razlici energija dva nivoa.



51

De Broglievo objašnjenje Bohrovepretpostavke o kutnoj količini kretanja

Na osnovi Bohrovog rada, de Broglie je nacinio sliku kretanja elektrona oko jezgre kao

čestičnog vala.

Za neke valne duljine, elektron će oko jezgre formirati stojeći val.Stojeći val se javlja kada je put koji val prede cjelobrojni mnoţiteljnjegove valne duljine.

2

=

,

= 1,2,3

…

Kako je po De Brogliu: = =

2 = ⇒ =

2

= ℏ

Što je upravo bila Bohrova pretpostavka o kutnoj količini kretanja!!!

Prema tome, Bohrova pretpostavka o kvantiziranoj kutnoj količini kretanja je posve jednakauvjetu stojećeg vala za valove elektrona oko jezgre.



52

Opis atoma pomoću kvantne mehanike

Imajući u vidu cilj problema, Bohrovo dostignuće s ovako jednostavnim modelom bilo jezaista značajno.

Medutim, iako je model radio veoma dobro za jednostavni vodik – jedan elektron kruţi oko jednog protona – on nije odgovarao slučajevima sloţenijih atoma.

Stanja elektrona u atomu vodika bila su označena jednim jedinim brojem, n.

Kasnije je ustvrdeno da za opisivanje stanja elektrona kod sloţenijih atoma, kvantnamehanika zahtijeva četiri kvantna broja.

Osnovni kvantni broj, n: Slicano Bohrovom modelu. On daje ukupnu energiju atoma.

Orbitalni kvantni broj, l : Ovaj broj odreduje kutnu količinu kretanja orbite. Vrijednost broja lovisi o broju n.

= 0,1,2,… , − 1 Kao što vidimo postoji n vrijednosti broja l.

Vrijednost kutne količine kretanja elektrona dana je kao

= + 1ℏ



53

Magnetski kvantni broj ml: Ovaj broj postaje bitan kada atom postavimo u magnetsko polje.Polje mijenja energetske nivoe elektrona, što je poznato kao Zeemanov efekt.

Ako je B=0, ml ne igra nikakvu ulogu.

Vrijednost ml ovisi o vrijednosti broja l:

= −,− + 1,… ,−1,0,1,…+ Ukupno ih ima (2l+1)

Ako atom postavimo u magnetsko polje koje je usmjereno u pravcu z, komponenta kutnekoličine kretanja koja će se javiti kao posljedica Zeemanovvog efektao i iznosit će:

=

ℏ

Spinski kvantni broj ms: Elektron ima sebi privodeno svojstvo spin. Orbitalno i spinskokretanje elektrona u kombinaciji proizvode magnetizam u materijalima.

Spinski kvantni broj elektrona moţe imati samo dvije vrijednosti.

= ±1

2

+ 1/2 - se često naziva stanje "spin-nagore", a

− 1/2 - stanje "spin-nadolje" ("spin-up" i "spin-down")



54

Primjer: Odrediti stanja u atomu vodika za n=2.

= 2 → = 0,1 = −1, = ±1/2

= 0,

=

±1/2

= −1, = ±1/2

= 0 → = 0, = ±1/2

= 0

→ =

−1,0,1



55

U skladu s Bohrovim modelom, n-ti energetski nivo je definiran orbitom ciji je radijus rn. Svakiput kad mjerimo poziciju elektrona on se uvijek nalazi na kruţnoj orbiti na rastojanju rn od jezgre.

Ova slika nije tačna. Kvantna mehanika kaţe da zbog principa neodredenosti pozicijaelektrona nije tačno odredena.

Ako bi napravili mnogo mjerenja, pozicije elektrona, on binekad bio veoma blizu jezgri, a nekad znatno udaljen od nje.Prema tome, elektron postoji kao česticni val u oblaku

vjerovatnosti oko jezgre.

Ako se elektron nalazi u stanju n=1, onda se nakon mnogomjerenja moţe ustvrditi da je najvjerovatniji razmak nakojemu će se on naći

1 = 5.2910−11.

Različitim kvantnim stanjima odgovaraju različiti oblaci vjerovatnosti.



56

Paulijev princip isključivostiKada atom ima više od jednog elektrona, elektroni djeluju jedan na drugog Coulombovimsilama odbijanja, što rezultira dodatnim članovima u jednadţbi za energiju

Kvantna mehanika korektno opisuje energetske nivoe u višeelektronskom atomu, koristeći

kvantne brojeve:n, l, ml , ms.

Energija elektrona ovisi od n i l i, u općem slučaju raste kako n i l rastu, s tim da postojeizuzeci.

Kako kategorizirati energetske nivoe i višeelektronskom atomu?

Svaka vrijednost n odgovara jednoj "ljusci"; za n=1 to je K-ljuska, za n=2 L-ljuska, za n=3 to je M-ljuska.

Svaka ljuska ima podljuske definirane orbitalnim kvantnimbrojem l.



57

Paulijev princip isključivosti (nastavak)

Naprimjer;

K-ljuska znaci n=1 i ima jednu podljusku, l=0

L-ljuska znaci n=2 i ima dvije podljuske definirane preko l=0,1

Kad su podvrgnuti djelovanju visokih temperatura i jakih elektičnih polja, elektroni teţeprovesti većinu vremena na niskim energetskim nivoima atoma. Najniţe energetsko stanje jeosnovno stanje.

Medutim, kada se jedan multielektronski atom nalazi u osnovnom stanju, ne mogu svielektroni biti na nivou n=1.

Oni se moraju podvrgnuti pravilu zvanom Paulijev princip isključivosti.

Dva elektrona u atomu ne mogu imati isti skup vrijednosti kvantnih brojeva: n, l, ml, ms.Drugim riječima, dva elektrona ne mogu biti u istom kvantnom stanju.

Zbog ovog principa postoji maksimalan broj elektrona koji se nalaze na istom energetskomnivou i u istoj podljusci.



58

Paulijev princip isključivosti (nastavak)Primjer:Uzmimo n=1: onda je l=0, ml=0 i ms =±1/2 Dakle, svaka podljuska l=0 moţe sadrţavati maksimalno dva elektrona, jedan sa spinom

nagore i drugi sa spinom nadolje.Uzmimo n=2

-

Za podljusku l=1 imamo šest stanja

U općem slučaju broj mogućih stanja za svaku danu podljusku L jednak je:

22 + 1

= 2 → = 0,1 =

−1,

=

±1/2

= 0, = ±1/2

= −1, = ±1/2

= 0 → = 0, = ±1/2

= 0 → = −1,0,1

Za podljusku l=0 imamo dva stanja

Za podljusku l=1 imamo dva stanja



Uobičajeno je podljuske obilježavati slovima

L Slovna oznaka

Maksimalni broj

elektrona: + 0 s 2

1 p 6

2 d 10

3 f 14

4 g 18

5 h 22

U općem slučaju, maksimalan broj elektrona u ljusci (n) iznosi

22

K-ljuska , n=1 → 2 elektrona

L-ljuska , n=2 → 8 elektrona

M-ljuska , n=3 → 18 elektrona

P-1 Kvantna Uvod

Documents

Transcript of P-1 Kvantna Uvod