Kvantna Seminari Ljeto

Seminar iz kvantne fizike

Ljetni semestar

March 8, 2015

Sadrzaj

Sadrzaj 2

1 Aproksimativne metode 3

1.1 Vremenski neovisan racun smetnje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Primjer: harmonicki oscilator u elektricnom polju . . . . . . . . . 3

1.1.2 Primjer: vezani harmonicki oscilatori . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.3 Primjer: slabi periodicki potencijal . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.4 Primjer: niz oscilatorskih jama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Vremenski ovisan racun smetnje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.1 Primjer: Dvorazinski sustav s konstantnom smetnjom . . . . . . 11

1.2.2 Primjer: Dvorazinski sustav s periodickom smetnjom . . . . . . . 15

1.2.3 Tjerani harmonicki oscilator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3 Adijabatska i impulsna aproksimacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3.1 Adijabatska aproksimacija: jama promjenjive sirine . . . . . . . . 21

1.3.2 Impulsna aproksimacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.4 Varijaciona metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.4.1 Primjer: linearni potencijal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.5 WKB aproksimacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.5.1 Energije vezanih stanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.5.2 Tuneliranje kroz barijeru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2 Problem rasprsenja u tri dimenzije 39

2.1 Metoda parcijalnih valova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.1.1 Rasprsenje na neprobojnoj sferi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.1.2 Rasprsenje na mekanoj sferi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.1.3 Rasprsenje na sfernoj jami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.1.4 Numericko rjesenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3

12.2 Bornova aproksimacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3 Atomi i molekule 61

3.1 Atom vodika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.2 Atom helija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4 Kvantna optika 67

4.1 Harmonicki oscilator u drugoj kvantizaciji . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.1.1 Koherentno stanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.1.2 Operatori faze i broja kvanata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.2 Stanja elektromagnetskog polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.2.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.2.2 Operator pomaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.2.3 Operator stiskanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.2.4 Operatori kvadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.2.5 Ocekivane vrijednosti operatora elektricnog polja . . . . . . . . . 81

4.3 Detekcija zracenja referentnim snopom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.4 Distribucije kvazivjerojatnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.4.1 Q-funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

*

1 Aproksimativne metode

1.1 Vremenski neovisan racun smetnje

1.1.1 Primjer: harmonicki oscilator u elektricnom polju

Harmonicki oscilator nalazi se u homogenom jednodimenzionalnom elektricnom polju

H =p2

2m+

1

2m2x2 + qFx. (1.1)

Stacionarna Schrodingerova jednadzba glasi

~2

2m

d2

dx2+

1

2m2x2 + qFx = E. (1.2)

Nadopunimo li izraz do punog kvadrata

~2

2m

d2

dx2+

1

2m2

(x+

qF

m2

)2 q

2F 2

2m2 = E, (1.3)

a zatim napravimo supstituciju

x = x+qF

m2. (1.4)

Time smo se vratili na standardni oblik Schrodingerove jednadzbe za harmonicki oscilator

~2

2m

d2

dx2+

1

2m2x2 =

(E +

q2F 2

2m2

). (1.5)

Energijski nivoi imaju jednaki oblik kao za obican harmonicki oscilator, uz konstantnipomak

En = ~(n+

1

2

) q

2F 2

2m2. (1.6)

Valne funkcije vise nisu simetricne ili antisimetricne, a imaju cvor u minimumu ukupnogpotencijala

n(x) = NnHn(x

b+

qF

m2b

)e(x+

qF

m2)2/2b2 , (1.7)

pri cemu je b oscilatorska duljina, a Nn konstanta normiranja

b =

~m

, Nn = 1pi2nn!

(1.8)

3

Vremenski neovisan racun smetnje 4

Problem mozemo rijesiti koristeci racun smetnje, tako da nesmetani Hamiltonijanodgovara harmonickom oscilatoru, dok elektricno polje tretiramo kao smetnju

H = qFx. (1.9)

Buduci da su valne funkcije nesmetanog oscilatora parne ili neparne, a smetnja je neparna,doprinos prvog reda racuna smetnje iscezava

E(1)n = n|H |n = qF n|x|n = 0. (1.10)U drugom redu racuna smetnje doprinose samo dva matricna elementa

E(2)n =|n+ 1|H |n|2E

(0)n E(0)n+1

+|n 1|H |n|2E

(0)n E(0)n1

, (1.11)

a pritom vrijedi

xn,n+1 =

(n+ 1)~

2m, xn,n1 =

n~

2m. (1.12)

Korekcija u drugom redu racuna smetnje jednaka je egzaktnom rezultatu

E(2)n = q2F 2

2m2. (1.13)

Racunamo korekciju valne funkcije u prvom redu racuna smetnje

(1)n (x) =k 6=n

k|qFx|nE

(0)n E(0)k

(0)k (x). (1.14)

Koristeci matricne elemente (1.12), dolazimo do zakljucka

(1)n (x) =1

~

~

2m

[n

(0)n1(x)

n+ 1

(0)n+1(x)

]. (1.15)

Do istog rezultata bismo dosli razvojem egzaktne valne funkcije u Taylorov red.

1.1.2 Primjer: vezani harmonicki oscilatori

Promatramo izotropni dvodimenzionalni harmonicki oscilator s malom neizotropnomsmetnjom

H =p2x2m

+p2y2m

+1

2m2x2 +

1

2m2y2 + xy. (1.16)

Stacionarna Schrodingerova jednadzba glasi

~2

2m

2

x2 ~

2

2m

2

y2+

1

2m2x2 +

1

2m2y2 + xy = E. (1.17)


Slika 1.1: Prva tri stanja harmonickog oscilatora u elektricnom polju.

Problem mozemo rijesiti egzaktno koristeci normalne koordinate

1 =12

(x y), 2 = 12

(x+ y), (1.18)

cime Schrodingerova jednadzba postaje separabilna

~2

2m

2

21 ~

2

2m

2

22+

1

2m

(2 +

m

)22 +

1

2m

(2

m

)21 = E. (1.19)

Definiramo li frekvencije 1 i 2

21 = 2

m, 22 =

2 +

m, (1.20)

svojstvene energije sustava mozemo napisati u sljedecem obliku

En1n2 = ~1(n1 +

1

2

)+ ~2

(n2 +

1

2

). (1.21)

Problem mozemo rijesiti i koristeci (degenerirani) racun smetnje. Energijski nivoinesmetanog problema glase

Enxny = ~(nx + ny + 1). (1.22)


Najnizih nekoliko nivoa nesmetanog problema

E00 = ~, (1.23)E01 = E10 = 2~, (1.24)

E02 = E20 = E11 = 3~, (1.25)E12 = E21 = E30 = E03 = 4~. (1.26)

Promotrimo kao primjer dvostruko degenerirane nivoe E01 i E10. Bilo koja linearna kom-binacija degeneriranih stanja takoder predstavlja svojstveno stanje nesmetanog Hamil-tonijana

|(0) = dl|l+ dq|q, |l |10, |q |01. (1.27)Prvi red racuna smetnje vodi na sustav jednadzbi[l|H |l E(1)] dl + l|H |qdq = 0, (1.28)

q|H |ldl +[q|H |q E(1)] dq = 0. (1.29)

Dijagonalni matricni elementi smetnje ne daju doprinos jer je smetnja neparna funkcija,dok nedijagonalni elementi daju sljedeci doprinos

l|H |q = q|H |l = ~2m

. (1.30)

Prvi red racuna smetnje uklanja degeneraciju

E(1) = |H ql| =

~2m

. (1.31)

Razvijemo li frekvnecije 1 i 2 iz egzaktnog rjesenja u Taylorov red, dobit cemo istirezultat kao u racunu smetnje.

1.1.3 Primjer: slabi periodicki potencijal

Pretpostavimo da se cestica nalazi u slabom periodickom potencijalu s periodom a.Takav potencijal mozemo razviti u Fourierov red

V (x) =

m=Vme

2mpixi/a, (1.32)

a buduci da je potencijal realan vrijedi Vm = V m. Kada potencijal ne bi bio ukljucensvojstvene funkcije bi odgovarale ravnim valovima

k(x) =1Leiknx, kn =

2npi

L, (1.33)


pri cemu smo na sustav duljine L nametnuli periodicke rubne uvjete (0) = (L).Energija nesmetane cestice odgovara energiji slobodne cestice

E(0) =~2k2

2M. (1.34)

Korekciji energije u prvom redu racuna smetnje doprinosi samo konstantni clan u poten-cijalu, odnosno clan m = 0

E(1)(k) = k|V (x)|k = 1L

m=

Vm

L0

eikxe2mpixi/aeikxdx = V0. (1.35)

Korekcija valne funkcije u prvom redu racuna smetnje glasi

k(x) (0)k (x) +k 6=k

k|V (x)|kE(0)(k) E(0)(k)

(0)k (x), (1.36)

pri cemu treba uzeti u obzir da ovako napisana valna funkcija nije normirana. Korekcijaenergije u drugom redu racuna smetnje glasi

E(2)(k) =k 6=k

|k|V (x)|k|2E(0)(k) E(0)(k) . (1.37)

Racunamo matricni element

k|V (x)|k = 1L

m=

Vm

L0

eikxe2mpixi/aeikxdx, (1.38)

koji doprinosi samo ako je ispunjen uvjet

k k = 2mpia

. (1.39)

Tada vrijedik|V (x)|k = k 2mpi/a = Vm. (1.40)

Energija cestice do drugog reda racuna smetnje iznosi

E(k) ~2k2

2M+ V0 +

M

~2m=1

|Vm|2k2 m2pi2

a2

. (1.41)

Racun smetnje nece funkcionirati na rubovima Brillouinovih zona jer u tockama k =mpi/a doprinos u drugom redu racuna smetnje divergira. U tom slucaju moramo koristitidegenerirani racun smetnje. Promatramo stanja u blizini ruba m-te Brillouinove zone,odnosno stanja za koja vrijedi k = mpi/a. Za svako takvo stanje |k postoji samo jednostanje |k = k 2mpi/a takvo da vrijedi


stanja su prakticki degenerirana,

matricni element k|V (x)|k razlicit je od nule.

Matrica Hamiltonijana u dvodimenzionalnom kvazidegeneriranom potprostoru glasi

Hdeg =

(E(0)(k) V mVm E

(0)(k)

), (1.42)

a njezina dijagonalizacija vodi na cijepanje energijskih nivoa

E =1

2

[E(0)(k) + E(0)(k)

]14

[E(0)(k) + E(0)(k)]2 + |Vm|2. (1.43)

Ukoliko su stanja degenerirana, odnosno vrijedi k = mpi/a i k = mpi/a, smetnjauklanja degeneraciju

E = E(0)(mpi/a) |Vm|. (1.44)Na rubu m-te Brillouinove zone otvara se procijep proporcionalan odgovarajucoj Fourierovojkomponenti potencijala.

1.1.4 Primjer: niz oscilatorskih jama

Promatramo niz oscilatorskih jama frekvencije . Uz pretpostavku da je potencijal do-voljno slab, mozemo ga smatrati smetnjom na slobodni elektron. Prvi red racuna smet-nje daje samo konstantni pomak u energiji koji odgovara nultoj komponenti Fourierovograzvoja potencijala (sl. 1.2, lijevo). Drugi red racuna smetnje uvodi dodatnu korek-ciju koja divergira na rubovima Brilluoinovih zona (sl. 1.2, desno). Upotrijebimo li ublizini tih tocaka degenerirani racun smetnje, doci cemo do ispravnog rezultata (sl. 1.3).Koristeci racun smetnje, mozemo izracunati i valne funkcije. Ogranicimo se, za pocetak,na podrucja daleko od rubova Brilluoinovih zona. Buduci da su koeficijenti u razvojupotencijala realni, izraz za valnu funkciju u prvom redu racuna smetnje mozemo napisatiu sljedecem obliku

k(x) eikx

L

[1 +

Ma

2~2pi

m=1

2Vm

m(k2 m2pi2

a2

) (mpia

cos2mpix

a ik2mpix

a

)]. (1.45)

Usporedba valne funkcije u prvom redu racuna smetnje i numerickog rjesenja nalazise na sl. 1.4. Numericko i perturbativno rjesenje se odlicno slazu, iako potencijal nijezanemariv. Valnu funkciju na rubu Brilluoinove zone mozemo naci koristeci degenerirani


Slika 1.2: Disperzivna relacija za cesticu u periodickom potencijalu niza oscilatorskihjama. Egzaktni rezultat je prikazan punim linijama, isprekidana crna linija odgovaraenergiji slobodne cestice, dok su isprekidane linije u boji rezultati prvog (lijevo) i drugog(desno) reda racuna smetnje.

Slika 1.3: Disperzivna relacija za cesticu u periodickom potencijalu niza oscilatorskihjama. Egzaktni rezultat je prikazan punim linijama, isprekidana crna linija odgovara en-ergiji slobodne cestice, dok su isprekidane linije u boji rezultati prvog drugog reda racunasmetnje. Na rubovima Brilluonovih zona upotrijebljen je degenerirani racun smetnje.


Slika 1.4: Valna funkcija za cesticu u periodickom potencijalu niza oscilatorskih jama.Egzaktni rezultat je prikazan punim linijama, dok isprekidane linije odgovaraju prvomredu racuna smetnje.

racun smetnje, a rjesenja odgovaraju stojnim valovima

+mpi/a(x) =12L

(eimpix/a + sgn(Vm)e

impix/a) , (1.46)mpi/a(x) =

12L

(eimpix/a sgn(Vm)eimpix/a

). (1.47)

Promotrimo detaljnije slucaj m = 1, odnosno k = pi/a. Fourierova komponenta V1periodicnog niza oscilatorskih jama je negativna pa vrijedi

+mpi/a(x) = i

2

Lsin

pix

a, (1.48)

mpi/a(x) =

2

Lcos

pix

a. (1.49)

Valna funkcija stanja nize energije (nalazi se odmah ispod procijepa) je realna i imacvorove u tockama maksimuma potencijala, dok je valna funkcija vise energije (nalazi seodmah iznad procijepa) imaginarna i ima cvorove u tockama minimuma potencijala.

Vremenski ovisan racun smetnje 11

1.2 Vremenski ovisan racun smetnje

1.2.1 Primjer: Dvorazinski sustav s konstantnom smetnjom

Egzaktni racun

Nesmetani sustav opisan je Hamiltonijanom H sa svojstvenim stanjima |1 i |2

H |1 = ~1 |1 , H |2 = ~2 |2 , (1.50)

dok Schrodingerova jednadzba koja opisuje sustav sa smetnjom glasi

i~t(t) = (H +W )(t). (1.51)

Stacionarna stanja cine potpun skup stanja pa valnu funkciju mozemo napisati kaonjihovu linearnu kombinaciju s vremenski ovisnim koeficijentima

(t) = c1(t)ei1t |1+ c2(t)ei2t |2 . (1.52)

Kao konkretan primjer promatramo sustav sa sljedecim pocetnim uvjetima

c1(0) = 1, c2(0) = 0. (1.53)

Uvrstimo pretpostavljeno rjesenje u Schrodingerovu jednadzbu, a zatim jednazbu pomnozimos 1| i 2|

i~c1ei1t = c1ei1t 1|W |1+ c2ei2t 1|W |2 , (1.54)i~c2ei2t = c1ei1t 2|W |1+ c2ei2t 2|W |2 . (1.55)

Uvodimo sljedecu oznaku za matricni element smetnje

|W | W, (1.56)

a kako je operator W hermitski, dijagonalni matricni elementi moraju biti realni, doksu nedijagonalni kompleksno konjugirani W12 = W

21. Definiramo li frekvenciju 0 =

2 1, jednadzbe mozemo napisati u sljedecem obliku

i~c1 = c1W11 + ei0tc2W21, (1.57)i~c2 = c2W22 + ei0tc1W12. (1.58)

Pretpostavimo oscilatorno rjesenje

c1 = Aeit, c2 = Bei(0)t, (1.59)


cime se sustav diferencijalnih jednadzbi svodi na sustav obicnih linearnih jednadzbi zakoeficijente A i B

(W11 ~)A+W21B = 0, (1.60)W12A+ (W22 ~ + ~0)B = 0. (1.61)

Determinanta sustava mora iscezavati

~22 ~(W11 +W22 + ~0) +W11W22 +W11~0 |W12|2 = 0, (1.62)

odakle slijede svojstvene frekvencije

~I,II = W11 +1

2~ ~. (1.63)

Pritom smo uveli oznake

~ = W22 W11 + ~0, ~ =

1

4~22 + |W12|2. (1.64)

Poznavajuci frekvencije mozemo doci do amplituda

BI,II =~I,II W11

W21AI,II . (1.65)

I koeficijenata c1(t) i c2(t)

c1(t) = AIeiI t + AIIeiII t, (1.66)

c2(t) =1

W21ei0t

[(~I W11)AIeiI t + (~II W11)AIIeiII t

]. (1.67)

Pocetni uvjeti omogucuju odredivanje konstanti AI i AII

c1(0) = 1 = AI + AII = 1, (1.68)c2(0) = 0 = (~I W11)AI + (~II W11)AII = 0. (1.69)

Iskoristimo frekvencije ~I i ~II

~(

1

2 +

)AI+~

(1

2

)AII = 0 = ~

2(AI+AII)+~(AIAII) = 0. (1.70)

Pocetnim uvjetima odredili smo sumu i razliku koeficijenata

AI + AII = 1 i AI AII = 2. (1.71)


Iskoristimo izraze za frekvencije

c1(t) = ei(W11~ + 2 )t

[AIe

it + AIIeit], (1.72)

raspisemo eksponencijalne funkcije pomocu trigonometrijskih

c1(t) = ei(W11~ + 2 )t [(AI + AII) cost+ i(AII AI) sint] , (1.73)

a zatim uvrstimo koeficijente AI i AII

c1(t) = ei(W11~ + 2 )t

[cost+ i

2sint

]. (1.74)

Vjerojatnost nalazenja sustava u stanju |1 glasi

P1 = |c1(t)|2 = cos2 t+ 2

42sin2 t. (1.75)

Sada racunamo koeficijent c2(t)

c2(t) =ei0t

W21

[(1

2~ + ~

)AIe

iI t +(

1

2~ ~

)AIIe

iII t]. (1.76)

Iskoristimo li frekvencije I i II

c2(t) =1

W21ei(

W11~ +

20t)

[(1

2~ + ~

)AIe

it +(

1

2~ ~

)AIIe

it

], (1.77)

clanove u uglatoj zagradi mozemo grupirati

realni dio1

2~(AI + AII) cost+ ~(AI AII) cost = 0, (1.78)

imaginarni dio~2(AI + AII) sint ~(AI + AII) sint = ~

4

(2 42) sint. (1.79)

Pritom smo iskoristili

AI + AII = 1 i AI AII = 2. (1.80)

Koeficijent c2(t) glasi

c2(t) =i~

4W21

(2 42) ei(W11~ + 20)t sint. (1.81)


Slika 1.5: Egzaktne vjerojatnosti zaposjednuca u dvorazinskom sustavu. Na lijevoj slicije primjer sustava s parametrom = 0.5, a na desnoj s parametrom = 4.0.

Iskoristimo li definicije parametara i

c2(t) = iW12~ ei(W11~ + 20)t sint, (1.82)

vjerojatnost nalazenja sustava u stanju |2 glasi

P2 = |c2(t)|2 = 4|W12|2

(~)2 + 4|W12|2 sin2 t. (1.83)

Vratimo se vjerojatnosti nalazenja sustava u stanju |1

P1 = 1 42 242

sin2 t = 1 4|W212

(~)2 + 4|W12|2 sin2 t. (1.84)

Naravno, suma vjerojatnosti nalazenja sustava u stanjima |1 i |2 iznosi 1|c1(t)|2 + |c2(t)|2 = 1. (1.85)

Sustav oscilira izmedu stanja |1 i |2 s periodom = pi/, kao sto mozemo vidjetina sl. 1.5. zelenom bojom oznacena je vjerojatnost nalazenja u stanju |1, a crvenomu stanju |2, a vjerojatnosti zaposjednuca bitno ovise o paramteru . Na lijevoj sliciprikazane su vjerojatnosti zaposjednuca sustava s parametrom = 0.5, a na desnoj sparametrom = 4.0.

Prvi red racuna smetnje

Ogranicimo se na prvi red racuna smetnje, a radi jednostavnosti, promatramo sustav sasljedecim tipom smetnje

W11 = W22 = 0. (1.86)


Neka je u pocetnom trenutku sustav u osnovnom stanju tj. c1(0) = 1 i c2(0) = 0.Egzaktan rezultat vjerojatnosti zaposjednuca nivoa |2 glasi

P2(t) =|W12|2(~0

2

)2+ |W12|2

sin2 t, ~ =

(~02

)2+ |W12|2. (1.87)

U prvom redu racuna smetnje na desnoj strani diferencijalne jednadzbe koja odredujekoeficijent c2(t) treba zamijeniti c1(t) s c1(0)

i~c2ei2t = c1(0)ei1tW21 = c2(t) = i~ei0tW21. (1.88)

Integriramo li prethodnu jednadzbu, uz uvjet c2(0) = 0

c2(t) =1

~0(1 ei0t)W21, (1.89)

doci cemo do vjerojatnosti zaposjednuca nivoa 2 u prvom redu racuna smetnje

P2(t) = |c2(t)|2 = 4 |W12|2

~220sin2

0t

2. (1.90)

Koristenje prvog reda racuna smetnje bit ce opravdano ukoliko je smetnja mnogo manjaod razlike nesmetanih nivoa, odnosno vrijedi |W12| ~0 . Na sl. 1.6 prikazane suvjerojatnosti zaposjednuca izracunate u prvom redu racuna smetnje s dvije vrijednostiomjera smetnje i razlike nesmetanih nivoa. Bez obzira na jakost smetnje, nakon dovoljnodugog vremena, prvi red racuna smetnje pocinje bitno odstupati od egzaktnog rezultata.Naravno, sto je smetnja manja, to ce vrijeme primjenjivosti prvog reda racuna smetnjebiti dulje.

1.2.2 Primjer: Dvorazinski sustav s periodickom smetnjom

Numericko rjesenje

Ponovno promatramo dvorazinski sustav, ali je smetnja koja djeluje periodicka

i~t(t) = [H +W cost](t). (1.91)

Valnu funkciju mozemo napisati kao linearnu kombinaciju stacionarnih stanja s vremenskiovisnim koeficijentima

(t) = c1(t)ei1t |1+ c2(t)ei2t |2 . (1.92)


Slika 1.6: Vjerojatnosti zaposjednuca u dvorazinskom sustavu u prvom redu racunasmetnje. Na lijevoj slici je primjer sustava s malom smetnjom (~0 = 8|W12|), a nadesnoj s relativno velikom smetnjom (~0 = 2|W12|).

Neka se u pocetnom trenutku sustav nalazi u stanju |1

(0) = |1 = c1(0) = 1, c2(0) = 0, (1.93)

pri cemu su |1 i |2 rjesenja stacionarnog problema

H |1 = ~1 |1 , H |2 = ~2 |2 . (1.94)

Uvrstimo li valnu funkciju (t) u Schrodingerovu jednadzbu, a zatim istu pomnozimo s1| i 2|, kao rezultat cemo dobiti sustav diferencijalnih jednadzbi koji mozemo rijesitinumericki

i~c1ei1t = cost[1|W |1 c1ei1t + 1|W |2 c2ei2t] , (1.95)

i~c2ei2t = cost[2|W |1 c1ei1t + 2|W |2 c2ei2t] . (1.96)

Ovakvim jednostavnim modelom mozemo opisati pojavu paramagnetske rezonan-cije. Elektron u s-stanju nalazi se u konstantnom magnetskom polju ~H0, usmjerenomduz z-osi sto uzrokuje cijepanje degeneracije spinskih stanja (Zeemanov efekt)

0 =2H0~

. (1.97)

Ukljucimo periodicko magnetsko polje ~H cost koje djeluje kao smetnja

W (t) = (~ ~H

)cost, = e~

2mc. (1.98)


Slika 1.7: Vjerojatnosti zaposjednuca u dvorazinskom sustavu s periodickom smetnjom.Rezultati su dobijeni numerickim rjesavanjem diferencijalnih jednadzbi.

Prijelazi medu stanjima suprotnog spina moguci su ako je dodatno magentsko poljeokomito na polje ~H0, npr. usmjereno duz osi x

W (t) = xH cost. (1.99)Doprinose samo nedijagonalni matricni elementi

2|W (t) |1 = H cost, 1|W (t) |2 = H cost, (1.100)a do rezonancije dolazi ako vrijedi 0 , sto je vidljivo na sl. 1.7.


Promotrimo isti problem koristeci prvi red racuna smetnje. Ogranicimo li se na smetnjukoja ima samo nedijagonalne elemente razlicite od nule, problem se svodi na sljedecudiferencijalnu jednadzbu

c2 = i2~W12c1

[ei(+0)t + ei(0)t

]. (1.101)


Slika 1.8: Vjerojatnosti zaposjednuca u dvorazinskom sustavu s periodickom smetnjom.Rezultati su dobijeni u prvom redu racuna smetnje.

Prvi red racuna smetnje odgovara zamijeni koeficijenta c1(t) s odgovarajucim pocetnimuvjetom c1(0) = 1

c2 = i2~W12

[ei(+0)t + ei(0)t

]. (1.102)

Uz pocetni uvjet c2(0) = 0 rjesenje glasi

c2(t) =W12~

1

20 2[0(1 ei0t cost)+ iei0t sint] . (1.103)

Na sl. 1.8 pratimo vremensku evoluciju sustava na skali do tmax = 20 pri cemu je = 2pi/0. Sa slike je vidljivo kako priblizavanjem rezonanciji racun smetnje prestaje bitiprimjenjiv. Takoder, nakon dovoljno dugog vremena uvijek dolazi do znatnih odstupanjaperturbativnog rjesenja od stvarnog.

1.2.3 Tjerani harmonicki oscilator

Numericko rjesenje

Neka na harmonicki oscilator prirodne frekvencije 0 djeluje vanjska sila

F (t) = m20x0f(t) = ~0m0~

x0f(t) =~0b

x0bf(t), (1.104)

pri cemu x0 mjeri jakost smetnje. Vremenski ovisna Schrodingerova jednadzba glasi

i~t(x, t) = ~2

2m2x(x, t) +

1

2m20x

2(x, t)m20x0xf(t)(x, t). (1.105)


Svojstvene funkcije nesmetanog oscilatora glase

n(x, t) = NnHn(x/b)ex2/2b2eiEnt/~, b =

~

m0, (1.106)

dok su svojstvene energije ekvidistantne

En =

(n+

1

2

)~. (1.107)

Hamiltonijan smetnje

H = ~0x0b

x

bf(t) = ~0f(t), x0

b, x

b. (1.108)

Svojstvena stanja nesmetanog harmonickog oscilatora cine potpuni skup stanja pa proizvoljnuvalnu funkciju mozemo napisati kao njihovu superpoziciju

(x, t) =n=0

cn(t)n(x, t) =n=0

cn(t)n(x)eiEnt/~. (1.109)

Uvrstimo valnu funkciju u Schrodingerovu jednadzbu i iskoristimo ortonormiranost funkcijan(x)

i~cm(t) = ~0f(t)n=0

cn(t)ei(mn)0tm||n. (1.110)

Matricni element smetnje ima samo dva doprinosa

m||n =n+ 1

2m,n+1 +

n

2m,n1. (1.111)

Problem se sveo na beskonacni sustav vezanih diferencijalnih jednadzbi prvog reda

cm(t) = i0f(t)12

[mcm1(t)ei0t +

m+ 1cm+1(t)e

i0t]. (1.112)

Buduci da u praksi mozemo pratiti samo konacni broj koeficijenata, sumu cemo moratiograniciti. Broj koeficijanata koji pratimo ovisi o vremenskoj skali na kojoj rjesavamoproblem tako da dulja vremenska skala zahtjeva veci broj koeficijenata. Kao konkretanprimjer, promotrimo harmonicku silu f(t) = cost. U klasicnoj fizici priblizavanjemprirodnoj frekvenciji oscilatora ulazimo u rezonanciju, a zanemarivanjem trenja i nelin-earnih efekata, amplituda oscilacija bi divergirala. Problem tjeranog harmonickog oscila-tora u kvantnoj mehanici moguce je rijesiti egzaktno. Rezultat je da vrh valnog paketa(stacionarno ili koherentno stanje) slijedi klasicnu putanju oscilatora, dok se sirina paketa


Slika 1.9: Neodredenosti, ocekivane vrijednosti kineticke, potencijalne i ukupne energije,polozaja i impulsa za frekvenciju = 0.850. Ocekivane vrijednosti polozaja i impulsaslazu se s klasicnim rezultatima.

ne mijenja. Zadrzimo se na numerickom rjesenju i pretpostavimo da je u pocetnomtrenutku oscilator u osnovnom stanju

c0(0) = 1, cn(0) = 0, n 6= 0. (1.113)

Promatramo vremensku skalu tmax = 20 pri cemu je = 2pi/0 period slobodnogoscilatora. Ocekivanu vrijednost operatora polozaja usporedujemo s klasicnim rjesenjemtjeranog oscilatora koji u pocetnom trenutku miruje u polozaju ravnoteze

xcl(t) =f0

20 2(cost cos0t) . (1.114)

Za harmonicki oscilator klasicna rjesenja se potpuno slaza s ocekivanim vrijednostimax i p, kao sto vidimo na sl. 1.9. Takoder, sa sl. 1.9 je vidljivo da valni paket nemijenja oblik tijekom vremena, ali i da energija vise nije sacuvana jer je sustav otvoren.

Adijabatska i impulsna aproksimacija 21

Slika 1.10: Realni i imaginarni dio koeficijenta c1(t).


Ponovno rjesavamo problem tjeranog harmonickog oscilatora, ali ovaj put u prvom reduracuna smetnje. Pretpostavimo da se u pocetnom trenutku sustav nalazi u osnovnomstanju

c0(0) = 1, cn(0) = 0, n 6= 0. (1.115)U prvom redu racuna smetnje moguc je samo prijelaz u prvo pobudeno stanje

c1(t) =i0

2costei0t =

i0

2

2

[ei(+0)t + ei(+0)t

]. (1.116)

Integriramo prethodnu jednadzbu

c1(t) =0

2

ei0t [0 cost i sint] 020 2

. (1.117)

Usporedimo li numericko i perturbativno rjesenje, vidjet cemo da racun smetnje nijeprimjenjiv u podrucju rezonancije, bez obzira na amplitudu sile. Takoder, bez obzira naamplitudu sile, nakon dovoljno dugog vremena perturbativno rjesenje ce poceti odstupatiod stvarnog.

1.3 Adijabatska i impulsna aproksimacija

1.3.1 Adijabatska aproksimacija: jama promjenjive sirine

Cestica mase m nalazi se u beskonacno dubokoj potencijalnoj jami promjenjive dimenzije

V (x) =

{0, 0 x L(t), inace . (1.118)


Vremenski ovisna Schrodingerova jednadzba, zajedno s odgovarajucim rubnim uvjetimaglasi

i~

t= ~

2

2m

2

x2, (x = 0) = 0, (x = L(t)) = 0. (1.119)

U svakom vremenskom trenutku mozemo naci potpuni skup ortonormiranih svojstvenihstanja pravokutne jame

un(x, t) =

2

L(t)sin

npix

L(t), En(t) =

~2pi2n2

2mL2(t). (1.120)

Pretpostavimo rjesenje u obliku sljedece superpozicije

(x, t) =n

bn(t)un(x, t)e i~ t0 En()d , (1.121)

a zatim uvrstimo (x, t) u Schrodingerovu jednadzbu

dbkdt

= n

bn(t)e i~ 0 [En()Ek()]d

L(t)0

unt

uk(x, t)dx. (1.122)

Radi jednostavnosti, pretpostavimo da se dimenzija jame mijenja konstantnom brzinom

dL

dt 2~mL0

= konst., L0 L(t = 0), (t) L(t)L0

. (1.123)

Deriviramo li valnu funkciju baze, doci cemo do sljedeceg rezultata

unt

=

2

L(t)

1

L(t)

L

tsin

npix

L(t)

2

L(t)

npix

L2(t)

L

tcos

npix

L(t). (1.124)

Integriramo prvi clan L(t)0

sinnpix

L(t)sin

kpix

L(t)dx =

{0 k 6= n12L(t) k = n,

(1.125)

a zatim i drugi L(t)0

x cosnpix

L(t)sin

kpix

L(t)dx =

{(1)k+n L2(t)

pik

n2k2 k 6= n0 k = n

. (1.126)

Integral u eksponencijalnom clanu s energijama glasi t0

d(L0 +

2~mL0

)2 = mL02~

[1

L0 1L(t)

]. (1.127)


Derivaciju koeficijenta po vremenu pretvorimo u derivaciju po parametru

dbkdt

=dbkd

d

dt=

1

L0

dL

dt

dbkd. (1.128)

Jednadzba za koeficijent svodi se na beskonacni sustav vezanih diferencijalnih jednadzbiprvog reda

dbkd

=1

2bk() +

1

n6=k

bn()2nk(1)n+kn2 k2 e

i(n2k2)pi2(11/)/4, (1.129)

pri cemu pozitivne vrijednosti konstante odgovaraju ekspanziji, a negativne kompresijijame.


Ogranicimo se zasada na prvi red racuna smetnje, odnosno koeficijente na desnoj stranizamijenimo s njihovim vrijednostima u pocetnom trenutku. Pretpostavimo da se upocetnom trenutku sustav nalazi u osnovnom stanju

bn(t = 0) =

{1, n = 10, n 6= 1 . (1.130)

Promotrimo jednadzbu za koeficijent b2()

db2d

=4

3e3pi2

4i(11/). (1.131)

Definiramo pokratu g = 3pi2/4, a zatim integriramo jednadzbu

b2() b2(0) = 43geig

0

g

eig/

d. (1.132)

Napravimo supstituciju = g/

b2() = 43eig

[ g/g/0

cos

d + i

g/g/0

sin

d

], (1.133)

Iskoristimo li pocetni uvjet 0 = 1, doci cemo do rjesenja

b2() = 43

cos g [Ci(g/) Ci(g)] 43

sin g [Si(g/) Si(g)]

+4

3i sin g [Ci(g/) Ci(g)] 4

3i cos g [Si(g/) Si(g)] , (1.134)

pri cemu smo iskoristili definicije sinusa integralnog i kosinusa integralnog

Si(x) =

x0

sin

d , Ci(x) =

x

cos

d . (1.135)


Slika 1.11: Koeficijent b2(t) za nekoliko brzina kompresije jame. Usporedeni su prvi redracuna smetnje i egzaktni rezultat.

Egzaktni racun

Problem beskonacne jame cija sirina se mijenja konstantnom brzinom mozemo rijesiti iegzaktno. Rjesenja odgovarajuce vremenski ovisne Schrodingerove jednadzbe

n(x, t) =

2

L(t)ei(x/L)

2in2pi2(11/)/4 sinnpix

L(t), (1.136)

cine potpuni ortonormirani skup stanja. U granici 0 funkcija n(x, t) svodi se narjesenje obicne beskonacne jame un(x). Proizvoljnu valnu funkciju mozemo napisati kaosuperpoziciju stanja n(x, t)

(x, t) =n

ann(x, t), (1.137)

a buduci da koeficijenti an ne ovise o vremenu, mozemo ih izracunati u pocetnomtrenutku

an =

L00

n(x, 0)(x, 0)dx. (1.138)

Valnu funkciju u svakom trenutku mozemo razviti i po svojstvenim funkcijama beskonacnejame sirine L(t), ali u tom slucju koeficijenti ovise o vremenu

(x, t) =k

Ck(t)uk(x, t). (1.139)


Slika 1.12: Koeficijenti an i bn(t) za dvije brzine kompresije jame.

Koristeci ortonormiranost funkcija uk(x, t), koeficijente Ck(t) mozemo izraziti pomocukoeficijenata an

Ck(t) =n

an

L(t)0

uk(x, t)n(x, t)dx. (1.140)

Pritom su koeficijenti Ck(t) i bk(t) proporcionalni

Ck(t) = bk(t)e i~ t0 Ek()d tj. |Ck(t)|2 = |bk(t)|2. (1.141)

Koristeci koeficijente Ck(t), u svakom trenutku mozemo izracunati ocekivanu vrijednostenergije

E(t) =k

|Ck(t)|2Ek(t). (1.142)

Na sl. 1.12 prikazani su koeficijenti an i bn(t) za dvije brzine kompresije jame. Ako jebrzina kompresije veca, doprinosi veci broj koeficijenata an i bn(t).


1.3.2 Impulsna aproksimacija

Impulsna aproksimacija je suprotan slucaj u odnosu na adijabatsku aproksimaciju. Prom-jena parametra potencijala je toliko brza da se valna funkcija uopce ne stigne prilagoditipromjeni, odnosno u idealiziranom slucaju valna funkcija nakon promjene ima potpunoisti oblik kao i prije promjene. U takvom slucaju je i energija nakon promjene jednaka en-ergiji prije promjene. Naravno, u stvarnosti ovakva situacija nikada nece biti u potpunostiostvarena.

Buduci da pravokutna jama neprakticna za numericko rjesavanje, promatrat cemomalo modificirani slucaj zaobljene jame

U(x) = U0

(xd

)n, n = 2k, (1.143)

gdje parametar k kontrolira zaobljenost jame. k = 1 odgovara potencijalu harmonickogoscilatora, dok k odgovara pravokutnoj jami sirine d. Odaberemo li npr. k =8 i pustimo da se parametar d mijenja, dobit cemo priblizan slucaj pravokutne jamepromjenjive sirine. Period gibanja klasicne cestice u potencijalu (1.13) mozemo izracunatianaliticki

= 4x0

mpi

2E

(

1n

)n(

2+n2n

) . (1.144)x0 je tocka obrata

x0 = d

(E

U0

)1/n. (1.145)

Klasicni period gibanja cestice mozemo koristiti kao mjeru brze promjene. Neka se sirinajame linearno mijenja u vremenu

d(t) = d(0)

(1 +

t

). (1.146)

Na sl. 1.13 prikazana je ovisnost energije o vremenu tijekom sirenja jame (lijevo), kaoi pocetna i konacna gustoca vjerojatnosti (desno). Cak i za vrlo velike brzine sirenja,energija se donekle promijeni1, iako je gustoca vjerojatnosti prakticki jednaka. Kadasirenje jame prestane, cestica se ne nalazi u osnovnom stanju nove jame. Ako je sirenjebilo brzo, njezina valna funkcija odgovara superpoziciji veceg broja svojstvenih funkcijanove jame. To znaci da stanje nije stacionarno, nego se mijenja u vremenu.

1valna funkcija vidi promjene potencijala


Slika 1.13: Lijevo: ovisnost energije o vremenu tijekom sirenja jame. Desno: gustocavjerojatnosti u pocetnom i konacnom trenutku, kao i pocetni i konacni potencijal. Crnomlinijom je prikazana gustoca vjerojatnosti koja odgovara osnovnom stanju konacnog po-tencijala.

Varijaciona metoda 28

1.4 Varijaciona metoda

1.4.1 Primjer: linearni potencijal

Koristeci varijacionu metodu, zelimo odrediti pribliznu energiju osnovnog stanja poten-cijala V (x) = F |x|. Kao prvu probnu funkciju koristit cemo trigonometrijsku funkciju

(x) =

{cos pix

2a|x| < a,

0 inace. (1.147)

Priblizna energija osnovnog stanja odgovara minimalnoj vrijednosti omjera

W =

(x)H(x)dx(x)(x)dx

. (1.148)

Prvo izracunamo normu probne funkcije aa

cos2pix

2adx = a, (1.149)

a nakon toga i ocekivanu vrijednost Hamiltonijana aa

cospix

2a

( ~

2

2m

d2

dx2+ F |x|

)cos

pix

2adx =

~2

2m

pi2

4a+ a2F

(1

2 2pi2

). (1.150)

Da bi minimizirali omjer

W =~2

2m

pi2

4a2+ aF

(1

2 2pi2

), (1.151)

trazimo nultocku derivacije

W

a

a=a0

= ~2

2m

pi2

2a30+ F

(1

2 2pi2

)= 0. (1.152)

Slijedi

a0 =

(~2pi2

4mF

)1/3(1

2 2pi2

)1/3 2.0245

(~2

mF

)1/3. (1.153)

Priblizna vrijednost energije osnovnog stanja iznosi

W (a0) = 0.903

(~2A2

m

)1/3, (1.154)

Varijaciona metoda 29

i dobro se slaze s egzaktnim rezultatom

Eegz = 0.808

(~2A2

m

)1/3. (1.155)

Kao drugu probnu funkciju koristimo Gaussian

(x) = ex2/22 . (1.156)

Izracunamo normu probne funkcije

ex2/2dx =

pi, (1.157)

a zatim i ocekivanu vrijednost Hamiltonijana

ex2/22

( ~

2

2m

d2

dx2+ A|x|

)ex

2/22dx =~2

2m2+ Api. (1.158)

Minimiziramo omjer ocekivane vrijednosti Hamiltonijana i norme probne funkcije

W =~2

2m2+Api, (1.159)

odnosno trazimo nultocku derivacije

W

=0

= 0 = 0 =(~2pi

mA

)1/3. (1.160)

Priblizna vrijednost energije osnovnog stanja

W (0) =3

2pi1/3

(~2A2

m

)1/3 1.024

(~2A2

m

)1/3, (1.161)

i u ovom slucaju se relativno dobro slaze s egzaktnim rezultatom

Eegz = 0.808

(~2A2

m

)1/3. (1.162)

Na sl. 1.14 prikazani su rezultati varijacione metode u usporedbi s egzaktnim racunom.

WKB aproksimacija 30

Slika 1.14: Usporedba rezultata varijacione metode i egzaktnog racuna za probne funkcije(1.147) i (1.156).

1.5 WKB aproksimacija

Princip WKB2 aproksimacije mozemo pokazati na jednodimenzionalnoj stacionarnojSchrodingerovoj jednadzbi

d2

dx2+

2m

~2[E V (x)](x) = 0. (1.163)

Valnu funkciju napisemo kao produkt amplitude ((x)) i faze ((x))

(x) = (x)ei(x)/~. (1.164)

Uvrstavanjem u Schrodingerovu jednadzbu dolazimo do sustava od dvije jednadzbe

2 2m(E V ) = ~2

, (1.165)

2 + = 0. (1.166)

Integracijom jedn. (1.166), dolazimo do relacije

= C ()1/2 , C = konst. (1.167)

Uvrstavanjem u jedn. (1.165), dobit cemo nelinearnu diferencijalnu jednadzbu trecegreda

2 = 2m(E V ) + ~2[

3

4

(

)2 1

2

]. (1.168)

2WentzelKramerBrillouin


Amplituda i faza mogu ovisiti samo o parnim potencijama konstante ~2 pa fazurazvijamo u red

= 0 + ~21 + (1.169)Zadrzimo li se na clanovima nultog reda, doci cemo do jednostavne jednadzbe prvogreda

02

= 2m [E V (x)] . (1.170)Pri integraciji razlikujemo dva slucaja: E > V (x) i E < V (x). U pravom slucajudefiniramo valnu duljinu

(x) =~

2m [E V (x)] , (1.171)

koja je obrnuto proporcionalna klasicnom impulsu cestice. Nakon integracije slijedi

0 = ~dx+ c, 0 = C

~, (1.172)

pa WKB rjesenje u klasicno dozvoljenom podrucju mozemo napisati kao linearnu kom-binaciju oscilatornih funkcija

(x) = cos

(dx

+

), (1.173)

pri cemu su i konstante koje tek treba odrediti. Drugi slucaj odgovara klasicnozabranjenom podrucju pa definiramo na sljedeci nacin

q(x) =~

2m(V (x) E) . (1.174)

Diferencijalna jednadzba za fazu dobit ce dodatni faktor i

0 = i~q. (1.175)

Ocekivano, valna funkcija u klasicno zabranjenom podrucju odgovara linearnoj kombi-naciji eksponencijalnih funkcija

(x) =q

[edxq + e

dxq

]. (1.176)

Kao i u slucaju klasicno dozvoljenog podrucja konstante i tek trebamo odrediti. Obaizraza za valnu duljinu divergiraju u klasicnim tockama obrata.

Promotrimo posebno podrucje u blizini klasicnih tocaka obrata uz pretpostavku dapotencijal oko tocke obrata x = a mozemo razviti u red

V (x) = V (a) + V (a)(x a) = E + V (a)(x a). (1.177)


Vratimo li se pocetnoj Schrodingerovoj jednadzbi

d2

dx2 2m~2V (a)(x a) = 0, (1.178)

uz supstituciju

z =

[2m

~2V (a)

]1/3(x a), (1.179)

doci cemo do Airy jednadzbed2

dz2 z = 0. (1.180)

Airy jednadzba ima dva linearno nezavisna rjesenja: Airy funkciju prve vrste Ai(z) iAiry funkciju druge vrste Bi(z). Za negativne vrijednosti argumenta z obje funkcijesu oscilatorne, dok za velike pozitivne vrijednosti argumenta z funkcija Ai(z) trne, afunkcija Bi(z) divergira. Asimptotski razvoji za velike pozitivne vrijednosti argumentaglase

Ai(z) 12pi1/2z1/4e, (1.181)

Bi(z) pi1/2z1/4e, (1.182)

gdje je = 23|z|3/2. S druge strane, za velike negativne vrijednosti argumenta z vrijede

izrazi

Ai(z) pi1/2|z|1/4 cos ( pi/4), (1.183)Bi(z) pi1/2|z|1/4 sin ( pi/4). (1.184)

Na sl. 1.15 prikazane su Airy funkcije prve i druge vrste u usporedbi s odgovarajucimasimptotskim razvojima. Slaganje je izvrsno, osim u blizini ishodista gdje asimptotskirazvoj divergira. Izrazeno u staroj koordinati x, to podrucje zapravo odgovara tockiobrata.

U sljedecem koraku povezujemo WKB rjesenja s asimptotskim razvojem Airy funkcija.Pretpostavimo da se radi o tocki obrata za koju vrijedi V (a) > 0, odnosno da u klasicnodozvoljenom podrucju vrijedi x < a. WKB rjesenje mozemo napisati u sljedecem obliku

(x) = cos

( ax

dx

(x)+

). (1.185)

Valnu duljinu razvijemo u red oko tocke obrata

(x) ~2mV (a)

1(x a) . (1.186)


Slika 1.15: Airy funkcije prvog (Ai(z)) i drugog (Bi(z)) reda i odgovarajuci asimptotskirazvoji.

Integral u WKB rjesenju glasi2mV (a)~2

ax

(x a)dx = 2

3

2mV (a)~2

(a x)3/2 = 23|z|3/2 = . (1.187)

WKB rjesenje u klasicno dozvoljenom podrucju

(z) =

(2mV (a)~2

)1/4|z|1/4 cos ( + ). (1.188)

Uz odabir = pi/4 + , prethodni izraz mozemo napisati u formi linearne kombinacijeasimptotskih razvoja Airy funkcija

(z) =

(2mV (a)~2

)1/4|z|1/4 1

2

[cos ( pi/4) cos sin ( pi/4) sin

],

(1.189)odnosno

(z) = cos Ai(z) + sin Bi(z), =

pi

2

(2mV (a)~2

)1/4. (1.190)

Ponovimo isti postupak s WKB rjesenjem u klasicno zabranjenom podrucju

(x) =q(x)

[e xa

dxq(x) + e

xa dxq(x)] . (1.191)Integral u WKB rjesenju glasi

2mV (a)~2

xa

(x a)dx = 2

3

2mV (a)~2

(x a)3/2 = 23z3/2 = . (1.192)


WKB rjesenje u klasicno zabranjenom podrucju

(z) =

(2mV (a)~2

)1/4z1/4

(e + 2

1

2e), (1.193)

odnosno(z) = Bi(z) + 2Ai(z). (1.194)

Pritom je

=

(2mV (a)~2

)1/4pi

2, =

(2mV (a)~2

)1/4pi

2. (1.195)

Valne funkcije koje povezujemo u klasicno zabranjenom i klasicno dozvoljenompodrucju 3

1 q(x)e

+ xa

dxq(x) i 1

(x) sin

( ax

dx

(x) pi

4

), (1.196)

2 12

q(x)e

xa dxq(x) i 2 (x) cos( ax

dx

(x) pi

4

)(1.197)

Slicnim zakljucivanjem bi mogli povezati valne funkcije ako bi u klasicnoj tocki obratax = b vrijedilo V (b) < 0, odnosno u klasicno zabranjenom podrucju bi bilo x < b, a uklasicno dozvoljenom x > b:

1 q(x)e

+ bx

dxq(x) i 1

(x) sin

( xb

dx

(x) pi

4

), (1.198)

2 12

q(x)e

bx dxq(x) i 2 (x) cos( xb

dx

(x) pi

4

)(1.199)

1.5.1 Energije vezanih stanja

Promatramo potencijalnu jamu u kojoj bi klasicno dozvoljeno podrucje za cesticu senergijom E obuhvacalo interval b x a. U klasicno zabranjenom podrucju x < bWKB valna funkcija ima oblik

for.2,b =1

2

q(x)e

bx dxq(x) , (1.200)koji mozemo povezati s WKB valnom funkcijom u dozvoljenom podrucju

all.2,b =(x) cos

( xb

dx

(x) pi

4

). (1.201)

3jedna odgovara Airy funkciji Ai(z), a druga Airy funkciji Bi(z)


Iskoristimo li relaciju xb

dx

(x)=

ab

dx

(x) ax

dx

(x), (1.202)

Valnu funkciju u dozvoljenom podrucju dalje mozemo napisati kao

all.2,b =(x) cos

( ab

dx

(x) ax

dx

(x) pi

4

). (1.203)

Da bismo ponistili moguci divergentni doprinos, moramo nametnuti uvjet ab

dx

(x)=

(n+

1

2

)pi, (1.204)

koji daje kvantizaciju energijskih nivoa. Uz tako nametnuti uvjet, vrijedi

all.2,b = (1)n(x) cos

( ax

dx

(x) pi

4

), (1.205)

odnosnoall.2,b = (1)nall.2,a . (1.206)

Uvjet kvantizacije mozemo izraziti i pomocu integrala akcijep(x)dx =

(n+

1

2

)h. (1.207)

Linearni potencijal

Koristeci WKB metodu, zelimo odrediti energijske nivoe u linearnom potencijalu

V (x) = F |x|. (1.208)Klasicne tocke obrata su simetricne

b = EF

i a =E

F. (1.209)

Uvjet kvantizacije energije glasi ab

2m [E F |x|]dx = 2

2m

a0

E Fxdx =

(n+

1

2

)pi~, (1.210)

pri cemu smo iskoristili simetricnost podinteralne funkcije. Rjesavanjem integrala docicemo do energijskih nivoa

En =

[3F~pi4

2m

(n+

1

2

)]2/3. (1.211)


n egzaktno WKB

0 0.342 0.3751 0.787 0.7812 1.092 1.0983 1.375 1.3744 1.621 1.6245 1.856 1.857

Tablica 1.1: Usporedba egzaktnih i WKB nivoa za elektron u potencijalu strmine F =eVnm1.

Egzaktni i WKB nivoi su usporedeni u tablici 1.1.

Valna funkcija u klasicno dozvoljenom podrucju glasi

II(x) =C1p(x)

cos

[1

~

xb

p(x)dx pi4

], (1.212)

pri cemu je b = E/F lijeva tocka obrata. Rijesimo li integral, slijedi

II(x) =C1p(x)

cos

[1

~f(x) pi

4

]. (1.213)

Funkcija f(x) definirana je na sljedeci nacin

f(x) = 2

2m3F

(F |x|+ E)3/2 x < 0f(x) =

2m

3F

[2E3/2 (F |x|+ E)3/2

]x 0. (1.214)

Alternativno, mogli smo koristiti formulu

II(x) =C2p(x)

cos

[1

~

ax

p(x)dx pi4

], (1.215)

pri cemu je a = E/F desna tocka obrata. Rijesimo li integral, slijedi

II(x) =C2p(x)

cos

[1

~g(x) pi

4

]. (1.216)

Funkcija g(x) definirana je na sljedeci nacin

g(x) = 2

2m3F

(F |x|+ E)3/2 x > 0g(x) =

2m

3F

[2E3/2 (F |x|+ E)3/2

]x 0. (1.217)

Dva izraza su ekvivalentna zbog uvjeta kvantizacije energije.


Slika 1.16: Usporedba egzaktnih (zelena linija) i WKB (plava linija) valnih funkcija.

Valna funkcija u lijevom klasicno zabranjenom podrucju

I(x) =C12

~22m

1

2F |x| Eexp

[ E/Fx

F |x| Edx

]. (1.218)

Nakon rjesavanja integrala dobijemo

I(x) =C12

~22m

1

2F |x| Ee

23F

(F |x|E)3/2 . (1.219)

Valna funkcija u desnom klasicno zabranjenom podrucju

III(x) =C22

~22m

1

2Fx Eexp

[ xE/F

Fx Edx

]. (1.220)

Nakon rjesavanja integrala dobijemo

III(x) =C22

~22m

1

2Fx Ee

23F

(FxE)3/2 . (1.221)

U svim slucajevima valna funkcija divergira u blizini tocaka obrata, kao sto se vidi nasl. 1.16.

1.5.2 Tuneliranje kroz barijeru

Koeficijent transmisije za tuneliranje kroz barijeru glasi

T (E) = e2(E), (E) = ab

2m

~2[V (x) E]. (1.222)


Slika 1.17: Usporedba egzaktnih i WKB rezultata koeficijenata transmisije za dvije sirinebarijere.

Trokutasta barijera

Promatramo tuneliranje kroz potencijalnu barijeru trokutastog oblika

V (x) = V0

(1 x

w

). (1.223)

Racunamo funkciju

(E) =

2m

~2

x00

V0 E V0

wxdx. (1.224)

Integral je tablicni

(E) =2w

3V0

2m

~2[V0 E]3/2 , (1.225)

a koeficijent transmisije u ovisnosti o energiji

T (E) = e 4w

3V0

2m~2 [V0E]

3/2

. (1.226)

WKB aproksimacija bolje funkcionira za siroke barijere, kao sto se vidi na sl. 1.17.

2 Problem rasprsenja u tri dimenzije

2.1 Metoda parcijalnih valova

Pretpostavimo da homogeni snop cestica nailazi na potencijal U(r) koji je razlicit odnule unutar radijusa r = a, dok izvan tog radijusa potencijal postaje zanemariv. Stoga jevalna funkcija u podrucju r > a rjesenje Schrodingerove jednadzbe za slobodnu cesticu(4+ k2)(r) = 0, k2 = 2mE

~2. (2.1)

Radi osne simetrije rjesenje ne ovisi o kutu

(r) =1

(2pi)3/2

l=0

[Aljl(kr) +Blnl(kr)]Pl(cos ). (2.2)

Koristit cemo asimptotsko ponasanje sfernih Besselovih i sfernih Neumannovih funkcijana velikim udaljenostima

jl(kr) sin (kr lpi/2)kr

i nl(kr) cos (kr lpi/2)kr

, (2.3)

da bi odredili asimptotski oblik valne funkcije na velikim udaljenostima

(r) =1

(2pi)3/2

l=0

[Al

sin (kr lpi/2)kr

Bl cos (kr lpi/2)kr

]Pl(cos ). (2.4)

Linearnu kombinaciju trigonometrijskih funkcija mozemo izraziti pomocu amplitude Cl ifaznog pomaka l

(r) =1

(2pi)3/2

l=0

Clsin (kr lpi/2 + l)

krPl(cos ), (2.5)

a zatim valnu funkciju mozemo napisati kao linearnu kombinaciju izlaznog i ulaznogsfernog vala

(r) =1

(2pi)3/2

l=0

Clei(krlpi/2+l) ei(krlpi/2+l)

2ikrPl(cos ). (2.6)

Ulazni sferni val potjece od ulaznog ravnog vala kojeg takoder mozemo razviti po mul-tipolima

eikz =l=0

il(2l + 1)jl(kr)Pl(cos ), (2.7)

39

Metoda parcijalnih valova 40

odakle slijedi asimptotsko ponasanje

eikz l=0

il(2l + 1)sin (kr lpi/2)

krPl(cos ). (2.8)

Da bi dobili cisti izlazni sferni val, od valne funkcije moramo oduzeti ravni val

(r) 1(2pi)3/2

eikz =1

(2pi)3/2eikr

rf(). (2.9)

Medutim, da bi prethodna jednadzba bila ispunjena, moramo nametnuti relaciju izmeduamplitude Cl i faznog pomaka l

Cl = ileil(2l + 1). (2.10)

Izraz za amplitudu rasprsenja glasi

f() =1

2ik

l=0

(e2il 1) (2l + 1)Pl(cos ). (2.11)

Ukupnu valnu funkciju mozemo napisati kao linearnu kombinaciju sfernih Hankelovihfunkcija prvog i drugog reda

(r) =1

(2pi)3/2

l=0

1

2il(2l + 1)

[h

(1)l (kr)e

2il + h(2)l (kr)

]Pl(cos ), (2.12)

gdje je

h(1)l (kr) = jl(kr) + inl(kr), (2.13)

h(2)l (kr) = jl(kr) inl(kr). (2.14)

Asimptotsko ponasanje sferne Hankelove funkcije prvog reda odgovara izlaznom, a sferneHankelove funkcije drugog reda ulaznom sfernom valu

h(1)l (kr) (i)l+1

eikr

kr, (2.15)

h(2)l (kr) il+1

eikr

kr. (2.16)

Radijalni dio valne funkcije glasi

Rl(r) =1

2

[h

(1)l (kr)e

2il + h(2)l (kr)

]= eil [jl(kr) cos l nl(kr) sin l] . (2.17)


U praksi, fazni pomak odredujemo koristeci uvjet kontinuiranosti logaritamskederivacije u tocki r = a. Logaritamsku derivaciju na rubu vanjskog (r > a) podrucjamozemo izracunati analiticki

l+ =1

Rl(r)

dRl(r)

dr

r=a

= kcos lj

l(ka) sin lnl(ka)

cos ljl(ka) sin lnl(ka) , (2.18)

a zatim mozemo izraziti fazni pomak

tan l =kjl(ka) l+jl(ka)knl(ka) l+nl(ka)

, (2.19)

gdje je fazni pomak odreden do na aditivnu konstantu npi. Rjesenje u podrucju r < anapisemo u sljedecem obliku

(r) =1

(2pi)3/2

l=0

il(2l + 1)Rl(r)Pl(cos ), (2.20)

a zatim uvedemo supstituciju Rl(r) = ul(r)/r. Radijalni dio Schrodingerove jednadzbeglasi

d2uldr2

+

[k2 2m

~2Ueff (r)

]ul = 0, (2.21)

pri cemu je efektivni potencijal

Ueff (r) = U(r) +~2l(l + 1)

2mr2. (2.22)

Jednadzbu rjesavamo koristeci rubni uvjet u ishodistu ul(0) = 0, a zatim mozemoizracunati logaritamsku derivaciju u tocki r = a

l =1

Rl

dRldr

r=a

. (2.23)

Izjednacimo li logaritamske derivacije l+ i l, doci cemo do izraza za fazni pomak

tan l =kjl(ka) ljl(ka)knl(ka) lnl(ka)

. (2.24)

Diferencijalni udarni presjek odredujemo koristeci formulu

() = |f()|2 = 14k2

l=0

(e2il 1) (2l + 1)Pl(cos )

, (2.25)


koju mozemo napisati u sljedecem obliku

() =

1kl=0

(2l + 1)eil sin lPl(cos )

. (2.26)Do totalnog udarnog presjeka dolazimo integracijom diferencijalnog udarnog presjeka pocijelom prostornom kutu. Ortogonalnost Legendreovih polinoma vodi na sljedeci izraz

tot =

d

d

d=

4pi

k2

l=0

(2l + 1) sin2 l. (2.27)

Promotrimo li formule za amplitudu rasprsenja i totalni udarni presjek, mozemo izvestijednostavnu relaciju

tot =4pi

kImf(0), (2.28)

koju zovemo opticki teorem.

2.1.1 Rasprsenje na neprobojnoj sferi

Snop cestica rasprsuje se na neprobojnoj sferi

U(r) =

{ r a,0 r > a.

(2.29)

Cestica je u vanjskom podrucju slobodna pa je opce rjesenje radijalne jednadzbe linearnakombinacija sfernih Besselovih i sfernih Neumannovih funkcija

Rl(r) = eil [cos ljl(kr) sin lnl(kr)] . (2.30)

Potencijal u tocki r = a postaje beskonacan pa valna funkcija mora iscezavati sto vodina sljedeci uvjet za fazne pomake

tan l(k) =jl(ka)

nl(ka). (2.31)

Slucaj s-vala je najjednostavniji

tan 0 =j0(ka)

n0(ka)=

sin kaka

cos kaka

= tan ka, (2.32)

odnosno 0 = ka. Fazni pomak je negativan jer je potencijal odbojan. Na sl. 2.1prikazani su fazni pomaci za prvih nekoliko parcijalnih valova u ovisnosti o energiji,


Slika 2.1: Fazni pomaci za prvih nekoliko parcijalnih valova za rasprsenje na neprobojnojsferi.

odnosno parametru ka. Primjecujemo da se za vece vrijednosti momenta kolicine gibanjafazni pomaci bitno razlikuju od nule tek na visim energijama.

Cestica sa zakretnim impulsom l osjeca odbojni centrifugalni potencijal

Ucf (r) =~2l(l + 1)

2mr2. (2.33)

Klasicnu tocku obrata bismo izracunali koristeci uvjet E = Ueff (r)

~2k2

2m=~2l(l + 1)

2mr2cl, (2.34)

odnosno rcl =l(l + 1)/k. Buduci da potencijal bitno utjece samo na one cestice

za koje vrijedi rcl < a, procesu rasprsenja ce doprinositi samo parcijalni valovi za kojevrijedi l ka. To ujedno znaci da je za opis procesa rasprsenja na niskim energijamapotrebno ukljuciti manji broj parcijalnih valova, nego za opis na visokim energijamapa mozemo zakljuciti da je metoda parcijalnih varova posebno prikladna za rjesavanjeproblema niskoenergijskih rasprsenja. Na sl. 2.2 prikazani su radijalni dijelovi valnihfunkcija za rasprsenje na neprobojnoj sferi. Vertikalnom isprekidanom linijom oznacenaje klasicna tocka obrata. Buduci da s porastom momenta kolicine gibanja centrifugalnabarijera raste, tocka obrata se udaljava od ishodista. Ako je moment kolicune gibanjadovoljno velik da se tocka obrata nalazi izvan sfere, cestice ce se rasprsiti na centrifugalnojbarijeri umjesto na sferi pa ce njihova valna funkcija biti prakticki jednaka valnoj funkcijislobodne cestice.


Slika 2.2: Radijalni dio valne funkcije za rasprsenje na neprobojnoj sferi. Vertikalnomisprekidanom linijom oznacena je klasicna tocka obrata.


Ukupnu valnu funkciju mozemo napisati kao linearnu kombinaciju sfernih Han-kelovih funkcija prvog i drugog reda

(r) =1

(2pi)3/2

l=0

1

2il(2l + 1)

[h

(1)l (kr)e

2il + h(2)l (kr)

]Pl(cos ). (2.35)

Na sl. 2.3 prikazana je gustoca vjerojatnosti za rasprsenje na neprobojnoj sferi. Za niskeenergije skala mora biti velika da bi uocili efekte ogiba. Na visokim energijama vidljivaje sjena iza sfere, medutim ona se ne proteze u beskonacnost.

Udarni presjek

U izrazu za diferencijalni udarni presjek

() =

1kl=0

(2l + 1)eil sin lPl(cos )

2

, (2.36)

bitno doprinose samo parcijalni valovi za koje vrijedi l ka pa se suma u praksi mozeograniciti na lmax clanova. Na sl. 2.4 prikazan je diferencijalni udarni presjek za rasprsenjena neprobojnoj sferi. Lijeva strana slike odgovara polarnom grafu u ravnini yz, dok sena desnoj strani nalazi ovisnost diferencijalnog udarnog presjeka o kutu . Prisjetimo seformule za totalni udarni presjek

tot =4pi

k2

l=0

(2l + 1) sin2 l. (2.37)

U granici niskih energija mozemo koristiti sljedece izraze

jl(x) xl

(2l + 1)!!, x 1, (2.38)

nl(x) (2l 1)!!xl+1

, x 1. (2.39)

Fazni pomak je u tom slucaju proporcionalan s clanom (ka)2l+1 pa bitan doprinos dajesamo s-val, odnosno 0(k) ka. Diferencijalni udarni presjek je izotropan

() =1

k2sin2 0 = a

2, (2.40)

dok je totalni udarni presjek cetiri puta veci od geometrijskog udarnog presjeka

tot = 4pia2. (2.41)


Slika 2.3: Gustoca vjerojatnosti za rasprsenje snopa cestica na neprobojnoj sferi za trivrijednosti energije.


Slika 2.4: . Lijevo: polarni graf diferencijalnog udarnog presjeka u ravnini yz. Desno:ovisnost diferencijalnog udarnog presjeka o kutu .

U granici visokih energija totalnom udarnom presjeku ce doprinositi velik broj parcijalnihvalova

tot =4pi

k2

lmaxl=0

(2l + 1) sin2 l, (2.42)

a u tom slucaju sin2 l mozemo zamijeniti s prosjecnom vrijednosti 1/2

tot =kal=0

2pi

k2(2l + 1) 2pia2. (2.43)

U granici visokih energija totalni udarni presjek je dvostruko veci od geometrijskogudarnog presjeka jer se sjena neprobojne sfere ne proteze u beskonacnost. Moze sepokazati da u granici visokih energija vrijedi priblizna formula

() =a2

4

[1 + cot2

2J21 (ka sin )

], (2.44)

gdje je J1(x) Besselova funkcija. Na sl. 2.6 nalazi se usporedba egzaktnog rezul-tata za diferencijalni udarni presjek i jedn. 2.44 za umjereno visoku energiju cesticeka = 10. Iz jedn. 2.44 slijedi da je na visokim enegijama diferencijalni udarni presjeksuma klasicnog doprinosa a2/4 i doprinosa difrakcije koji uzrokuje visoku vrijednost difer-encijalnog udarnog presjeka na malim kutevima (Arago spot, Poisson spot, Fresnel brightspot) 1. U totalnom udarnom presjeku tot = 2pia

2 pola vrijednosti odgovara klasicnomrezultatu, dok druga polovica odgovara difrakciji, tj. doprinosu na malim kutevima kojije tesko opaziti eksperimentalno.

1Promatranjem analogne pojave pokazano je da svjetlost ima i valnu prirodu


Slika 2.5: . Lijevo: ovisnost totalnog udarnog presjeka o gornjoj granici sumacije. Desno:ovisnost totalnog udarnog presjeka o energiji snopa.

Slika 2.6: Usporedba egzaktnog rezultata za diferencijalni udarni presjek i jedn. 2.44 zaumjereno visoku energiju cestice ka = 10.

2.1.2 Rasprsenje na mekanoj sferi

Cestica se rasprsuje na potencijalu

U(r) =

{V0 r a,0 r > a.

(2.45)


Radijalni dio Schrodingerove jednadzbe rjesavamo u dva odvojena podrucja

d2Rldr2

+2

r

dRldr l(l + 1)

r2Rl +K

2Rl = 0, r a, (2.46)d2Rldr2

+2

r

dRldr l(l + 1)

r2Rl + k

2Rl = 0, r > a, (2.47)

pri cemu smo definirali konstante

K2 =2m

~2(V0 + E), k2 = 2mE~2 , K

20 =

2mV0~2

. (2.48)

Opce rjesenje je linearna kombinacija sfernih Besselovih i sfernih Neumannovih funkcija.Buduci da sferne Neumannove funkcije divergiraju u ishodistu, u podrucju r a trebamozadrzati samo sferne Besselove funkcije

Rl(r) =

{Aljl(Kr) r a,eil cos ljl(kr) eil sin lnl(kr) r > a. (2.49)

Logaritamska derivacija u tocki r = a mora biti neprekinuta, odakle slijedi jednadzbakoja definira fazne pomake

Kjl(Ka)jl(Ka)

= kcos lj

l(ka) sin lnl(ka)

cos ljl(ka) sin lnl(ka) . (2.50)

Ako bi energija cestice bila niza od barijere, parametar K bi bio imaginaran, odnosnomogli bi ga napisati u obliku K = iK. U tom slucaju mozemo iskoristiti relaciju izmedumodificiranih sfernih Besselovih funkcija prvog reda i sfernih Besselovih funkcija

il(x) = iljl(ix). (2.51)

Fazni pomaci odredeni su relacijama, do na aditivnu konstantu npi:

energija cestice je veca od barijere

tan l =Kjl(Ka)jl(ka) kjl(Ka)jl(ka)Kjl(Ka)nl(ka) kjl(Ka)nl(ka)

, (2.52)

energija cestice je manja od barijere

tan l =Kil(Ka)jl(ka) kil(Ka)jl(ka)Kil(Ka)nl(ka) kil(Ka)nl(ka)

. (2.53)


Rjesenje Schrodingerove jednadzbe u podrucju izvan barijere mozemo napisati pomocusfernih Hankelovih funkcija prvog i drugog reda

Rl(r) =1

2

[e2ilh

(1)l (kr) + h

(2)l (kr)

], (2.54)

pri cemu eventualna aditivna konstanta npi ne utjece na valnu funkciju. Konstantu Almozemo odrediti iz uvjeta kontinuiranosti valne funkcije u tocki r = a:

energija cestice je veca od barijere

Al =e2ilh

(1)l (ka) + h

(2)l (ka)

2jl(Ka), (2.55)

energija cestice je manja od barijere

Al =e2ilh

(1)l (ka) + h

(2)l (ka)

2jl(Ka). (2.56)

Na niskim energijama totalnom udarnom presjeku doprinosi samo s-val

tot 4pik2

sin2 0, (2.57)

a konacni rezultat je manji u odnosu na neprobojnu sferu

tot = 4pia2

(1 tanhK0a

K0a

)2. (2.58)

Na sl. 2.7 nalaze se fazni pomaci, doprinosi totalnom udarnom presjeku od pojedinihparcijalnih valova, kao i totalni udarni presjeci za dvije vrijednosti visine sferne barijere.Fazni pomaci imaju maksimum na energiji koja odgovara visini barijere, a za vise barijeredoprinos visih parcijalnih valova postaje nezanemariv. Horizontalna isprekidana linija natotalnom udarnom presjeku odgovara granici niskih energija. Na sl. 2.8 prikazane suradijalne valne funkcije s-vala za rasprsenje na mekanoj sferi za tri vrijednosti energijecestice.


Slika 2.7: Fazni pomaci, parcijalni i totalni udarni presjeci za rasprsenje na mekanoj sferi.Usporedene su dvije vrijednosti visine sferne barijere. Horizontalna isprekidana linija natotalnom udarnom presjeku odgovara granici niskih energija.


Slika 2.8: Radijalne valne funkcije s-vala za rasprsenje na mekanoj sferi. Usporedene sutri vrijednosti energije cestice.


2.1.3 Rasprsenje na sfernoj jami

Cestica se rasprsuje na sfernoj potencijalnoj jami dubine V0

U(r) =

{ V0 r < a0 r > a

. (2.59)

Radijalni dio Schrodingerove jednadzbe rjesavamo u dva odvojena podrucja

d2Rldr2

+2

r

dRldr l(l + 1)

r2Rl +K

2Rl = 0, r < a, (2.60)

d2Rldr2

+2

r

dRldr l(l + 1)

r2Rl + k

2Rl = 0, r > a. (2.61)

Pritom smo definirali sljedece konstante

K2 =2m

~2(V0 + E), K

20 =

2m

~2V0 i k

2 =2m

~2E. (2.62)

Dva linearno nezavisna rjesenja jedn. (2.60) i (2.61) odgovaraju sfernim Besselovim isfernim Neumannovim funkcijama. Podrucje r < a obuhvaca ishodiste pa u tom slucajusfernu Neumannovu funkciju moramo eliminirati iz rjesenja, dok linearna kombinacijau podrucju r > a ima asimptotsko ponasanje izlaznog vala. Konacan oblik rjesenja upojedinim podrucjima glasi

Rl(r) =

{Aljl(Kr) r < a,12

(e2il 1) [jl(kr) tan lnl(kr)] r > a . (2.63)

Logaritamska derivacija u tocki r = a mora biti neprekinuta

tan l =Kjl(Ka)jl(ka) kjl(ka)jl(Ka)Kjl(Ka)nl(ka) knl(ka)jl(Ka)

. (2.64)

Nacrtamo li fazni pomak kao funkciju energije (sl. 2.9), odnosno parametra ka, uocitcemo diskontinuitete koji potjecu od vezanih stanja u jami. Broj diskontinuiteta odgovarabroju vezanih stanja jame pa produbljivanjem jame broj diskontinuiteta raste. Polaznatocka k daje fazni pomak l 0 jer na vrlo visokim energijama cestice neceosjecati utjecaj potencijala. Kod prvog diskontinuiteta dodamo konstantu pi, kod drugog2pi,. . . pa kao rezultat dobijemo glatku ovisnost faznih pomaka o energiji. Za razliku odrasprsenja na sfernoj barijeri, ovdje su fazni pomaci pozitivni jer je potencijal privlacan.Takvim postupkom za k 0 kao fazni pomak dobijemo npi, gdje je n broj vezanihstanja u jami. Pritom je bitno uociti da dodavanje konstante npi faznom pomaku nemanikakvog utjecaja na udarni presjek.


Slika 2.9: Fazni pomaci za rasprsenje na sfernoj jami. Diskontinuiteti (plava linija)odgovaraju vezanim stanjima jame, a dodavanjem visekratnika broja pi kod svakog skoka,dolazimo do kontinuiranih faznih pomaka (crvena linija).

U granici visokih energija koristimo asimptotske formule za sferne Besselove i sferneNeumannove funkcije

jl(x) 1x

sin

(x lpi

2

), nl(x) 1

xcos

(x lpi

2

). (2.65)

Moze se pokazati da u granici visokih energija fazni pomak ne ovisi o zakretnom impulsu

tan l 12

k20ka. (2.66)

Doprinos rasprsenju na niskim energijama daje samo s-val. Totalni udarni presjek ugranici niskih energija glasi

tot 4pia2(

1 tanK0aK0a

)2, (2.67)

pri cemu smo pretpostavili sljedece

K0 6= (2n+ 1) pi2a. (2.68)


Slika 2.10: Fazni pomaci za rasprsenje na sfernoj jami za nekoliko vrijednosti momentakolicine gibanja (lijeva slika). Odgovarajuci parcijalni udarni presjeci nalaze se na desnojslici. Isprekidana horizontalna linija odgovara niskoenergijskoj granici rasprsenja.

Slika 2.11: Totalni udarni presjek za rasprsenje na sfernoj jami. Isprekidana horizontalnalinija odgovara niskoenergijskoj granici rasprsenja. Skokovi u udarnom presjeku potjecuod maksimuma pojedinih parcijalnih doprinosa.


Slika 2.12: Fazni pomaci i udarni presjeci za rezonantno rasprsenje na sfernoj jami.

Rezonantno rasprsenje

Promatramo slucaj s-vala

tan 0 = K cosKa sin ka k cos ka sinKaK cosKa cos ka+ k sin ka sinKa

, (2.69)

a pritom se ogranicimo na niskoenergijsko rasprsenje

tan 0 ka(1 + tanK0a

K0a

). (2.70)

Udarni presjek u niskoenergijskoj granici glasi

limk0

tot = limk0

4pia2

(ka)2sin2 0 = 4pia

2

(1 tanK0a

K0a

)2. (2.71)

Pretpostavimo da jama ima vezano stanje na energiji E = 0, odnosno da je ispunjenuvjet

K0a =

(n+

1

2

)pi, n = 0, 1, 2 . . . (2.72)

Udarni presjek u tom slucaju divergira, dok je za malo dublji ili malo plici potencijal,udarni presjek konacan, ali mnogo veci od geometrijskog udarnog presjeka. Ako jedubina potencijala takva da zadnje vezano stanje ima energiju E = 0, fazni pomak zak = 0 iznosi pi/2. U slucaju pliceg potencijala, fazni pomak za k = 0 iznosi p, a uslucaju malo dubljeg potencijala fazni pomak za k = 0 iznosi pi (sl. 2.12).

Bornova aproksimacija 57

2.1.4 Numericko rjesenje

Za vecinu potencijala nije moguce naci analiticko rjesenje Schrodingerove jednadzbe pamoramo traziti numericko. Prvo razvijemo valnu funkciju po parcijalnim valovima

(r) =l=0

(2l + 1)ileilul(r)

krPl(cos ), (2.73)

a zatim napisemo radijalni dio Schrodingerove jednadzbe[ ~

2

2m

d2

dr2+ V (r) +

l(l + 1)~2

2mr2 E

]ul(r) = 0. (2.74)

Rubni uvjet u ishodistu glasi ul(0) = 0, dok je izvan dosega potencijala (ali ne u asimp-totskom podrucju)

ul(r) = kr [cos ljl(kr) sin lnl(kr)] . (2.75)Numericku integraciju pocinjemo iz ishodista, a kao derivaciju funkcije ul(0) mozemoizabrati bilo koji mali broj. Integriramo Schrodingerovu jednadzbu do tocke r1, a zatimi do tocke r2. Pritom se obje tocke r1 i r2 nalaze izvan dosega potencijala pa vrijedi

ul(r1) = kr1 [cos ljl(kr1) sin lnl(kr1)] , (2.76)ul(r2) = kr2 [cos ljl(kr2) sin lnl(kr2)] . (2.77)

Koristeci prethodne dvije jednadzbe mozemo izvesti formulu za fazni pomak

tan l =Gjl(kr1) jl(kr2)Gnl(kr1) nl(kr2) , G =

r1r2

ul(r2)

ul(r1). (2.78)

2.2 Bornova aproksimacija

Schrodingerovu jednadzbu

(4+ k2)(r) = 2m~2V (r)(r), k2 =

2mE

~2, (2.79)

mozemo rjesavati koristeci Greenovu funkciju koja je, po definiciji, rjesenje Schrodingerovejednadzbe s tockastim izvorom (izlazni val)

(4+ k2)(r) = (r r) = G(r, r) = 14pi

eik|rr|

|r r| . (2.80)


Rjesenje Schrodingerove jednadzbe je suma rjesenja homogene jednadzbe (upadni val) ibilo kojeg partikularnog rjesenja

(r) = eikr +m

2pi~2

eik|rr

|

|r r|V (r)(r)d3r. (2.81)

Pretpostavimo da je potencijal kratkodosezan, odnosno u integralu mozemo napravitiaproksimaciju r r

|r r| =r2 2rr + r2 r 1

rrr. (2.82)

Izraz za valnu funkciju predstavlja samo formalno rjesenje jer se valna funkcija nalazi ipod integralom na desnoj strani

(r) = eikir eikr

r

m

2pi~2

eikfr

V (r)(r)dr, kf kr/r. (2.83)

Prva Bornova aproksimacija podrazumjeva da valnu funkciju pod integralom mozemozamijeniti ulaznim valom

(r) = eikir eikr

r

m

2pi~2

eikfr

V (r)eikir

dr. (2.84)

Amplituda rasprsenja glasi

f() = m2pi~2

eikfr

V (r)eikir

dr (2.85)

Pretpostavimo nadalje da je potencijal sferno-simetrican, pa zatim integriramo po pros-tornom kutu

f() = m2pi~2

ei(kfki)r

V (r)r2dr sin dd. (2.86)

Definiramo razliku valnih vektora upadnih i rasprsenih cestica

kf ki = q. (2.87)Uvijek mozemo napraviti prikladnu orjentaciju koordinatnog sustava

q = qz = qr = qr cos . (2.88)Ogranicili smo se na elasticno rasprsenje

kf = ki = k = q = 2k sin 2, (2.89)


pa izraz za amplitudu rasprsenja glasi

f() =

~2

0

pi0

eiqr cos d cos V (r)r2dr. (2.90)

Kutni dio integral mozemo rijesiti analiticki

f() = 2m~2

0

sin qr

qrV (r)r2dr. (2.91)

Razvijemo amplitudu rasprsenja po parcijalnim valovima

f() =1

2ik

l=0

(2l + 1)(e2il 1)Pl(cos ), (2.92)

a zatim iskoristimo ortogonalnost Legendreovih polinoma 11Pl(x)Pn(x)dx =

2

2l + 1ln. (2.93)

Formula koja odreduje fazni pomak glasi

1

2i

(e2il 1) = k

2

0pi

Pl(cos )f()d [cos ]. (2.94)

U prvoj Bornovoj aproksimaciji mozemo se zadrzati na najnizem doprinosu razvoja ek-sponencijalne funkcije u red

l k2

0pi

Pl(cos )f()d [cos ]. (2.95)

Iskoristimo li relaciju

sin qr

qr=l=0

(2l + 1)jl(kr)Pl(cos ), (2.96)

doci cemo do izraza za fazni pomak

l = 2mk~2

0

[jl(kr)]2 V (r)r2dr. (2.97)

Kao primjer, promotrimo rasprsenje na mekanoj sferi. Fazne pomake mozemoizracunati analiticki

l = 2mkV0~2 a

0

[jl(kr)]2 r2dr. (2.98)


Slika 2.13: Fazni pomak za l = 0 kanal za rasprsenje na mekanoj sferi. Na visokimenergijama je slaganje Bornove aproksimacije i egzaktnog rjesenja izvrsno, dok je naniskim energijama lose.

Promotrimo najnizi fazni pomak

0 = 2mkV0~2 a

0

sin2 kr

k2r2r2dr = 2mV0

k~2

a0

sin2 krdr. (2.99)

Integral je tablicni

0 = 2mV0k~2

[1

2a 1

4ksin 2ka

]. (2.100)

Upotrijebimo li oznaku 2mV0/~2 K20 , doci cemo do rezultata

0 = 14

K20k2

[2ka sin 2ka] . (2.101)

Usporedba egzaktnog rjesenja i Bornove aproksimacije nalazi se na sl. 2.13.

3 Atomi i molekule

3.1 Atom vodika

Atom vodika sastoji se od protona naboja +e i elektrona naboja e koji medudjelujuCoulombovom silom

V (r1, r2) = e2

4pi0|r1 r2| . (3.1)

Problem dva tijela uvijek mozemo svesti na problem jednog tijela s reduciranom masom

=mempme +mp

, (3.2)

a buduci da je omjer mase elektrona i protona 1 : 1836, vrijedi me. U vrlo dobrojaproksimaciji elektron se nalazi u Coulombovom potencijalu jezgre koja je smjestena uishodistu koordinatnog sustava

~2

2me4(r) e

2

4pi0r(r) = E(r). (3.3)

Potencijal je sferno-simetrican pa mozemo separirati radijalni i kutni dio valne funkcije

(r, , ) = Rnl(r)Ylm(, ). (3.4)

Preostaje nam radijalni dio Schrodingerove jednadzbe

~2

2me

(d2

dr2+

2

r

d

dr l(l + 1)

r2

)Rnl(r)

(e2

4pi0r+ E

)Rnl = 0. (3.5)

Definiramo Bohrov radijus

a0 =4pi0~2

mee2= 5.3 1011 m, (3.6)

a koristit cemo i konstantu

E0 = mee4

2(4pi0)2~2= e

2

8pi0a0= 13.6 eV. (3.7)

Jednadzbu svodimo na bezdimenzionalni oblik supstitucijom r = az =E0/Ea0z(

d2

dz2+

2

z

d

dz l(l + 1)

z2+

z 1)Rnl = 0, (3.8)

61

Atom vodika 62

pri cemu je konstanta definirana na sljedeci nacin

=2meae

2

4pi0~2= 2

E0E. (3.9)

U podrucju z jednadzba se svodi nadRnldz2

= Rnl = Rnl(z) = ez. (3.10)

Rubni uvjet ugradimo u rjesenje

Rnl(z) =F (z)

zez, F (0) = 0. (3.11)

Preostala je jednadzba za funkciju F (z)(d2

dz2 2 d

dz l(l + 1)

z2+

z

)F (z) = 0. (3.12)

Funkcija F (z) mora biti kvadratno-integrabilna na intervalu [0,. Razvijemo funkcijuF (z) u red

F (z) =k>0

ckzk, (3.13)

pri cemu indeks sumacije k mora biti pozitivan zbog uvjeta F (0) = 0. Uvrstavanjerjesenaj u jedn. (3.12) vodi na rekurzivnu relaciju

ck [k(k 1) l(l + 1)] = ck1 [2(k 1) ] . (3.14)Da bi k ostao pozitivan, mora vrijediti

kmin(kmin 1) l(l + 1) = 0 = ckmin1 = 0. (3.15)Dva su moguca rjesenja: kmin = l + 1 i kmin = l, s time da negativno odbacujemoradi uvjeta F (0) = 0, odnosno kmin = l + 1 . Promotrimo li asimptotsko ponasanje zavelike vrijednosti argumenta z, primjetit cemo da doprinose samo veliki k-ovi

ckck1

2k

= F (z) =

kkmin

(2z)k

k!. e2z (3.16)

Ako bi sumacija bila neogranicena funkcija F (z) bi rasla kao e2z, odnosno ukupno rjesenjebi divergiralo. Da bi prekinuli sumu, moramo nametnuti uvjet = 2(k 1) = 2n

= 2

E0En

= 2n = En = E0n2

= e2

8n2pi0a0, (3.17)

Atom helija 63

cime smo dobili uvjet kvantizacije energije. Degeneracija rjesenja je dvostruka jer nemaovisnosti o kvantnom broju m (zbog rotacione simetrije), niti l (zbog oblika potencijala).Zanimljivo je primjetiti kako kvantni broj n ulazi i u skaliranje koordinate, odnosnoa = na0 .

Valnu funkciju vodikovog atoma mozemo zapisati i pomocu Laguerrovih polinoma.Naime, pretpostavimo li rjesenje oblika F (z) = zl+1G(z)

zG(z) + [2(l + 1) 2z]G(z) + (2n 2l 2)G(z) = 0, (3.18)

te uz dodatnu supstituciju z = 2z dolazimo do sljedece jednadzbe

zd2G

dz2+ [2(l + 1) z] dG

dz+ 2(n l 1)G = 0. (3.19)

Rjesenje ove jednadzbe su modificirani Laguerrovi polinomi

Gnl L2l+1nl1(z). (3.20)

Normirana ukupna radijalna valna funkcija vodikovog atoma glasi

Rnl(r) =

(2

na0

)3(n l 1)!2n[(n+ l)!]3

er/na0(

2r

na0

)lL2l+1nl1

(2r

na0

), (3.21)

pri cemu je n > l. Na sl. 3.1 nalaze se radijalne valne funkcije vodikovog atoma zanekoliko kombinacija kvantnih brojeva.

3.2 Atom helija

Atom helija sastoji se od jezgre naboja +2e i dva elektrona pa Hamiltonijan sustava glasi

H = ~2

2me(41 +42) e

2

4pi0

(2

r1+

2

r2 1|r1 r2|

). (3.22)

Zanemarimo li medudjelovanje elektrona, Hamiltonijan postaje separabilan

H = H1 +H2 = ~2

2me41 2e

2

4pi0r1 ~

2

2me42 2e

2

4pi0r2, (3.23)

a valna funkcija u tom slucaju odgovara produktu valnih funkcija vodikovog atoma snabojem jezgre +2e.

(r1, r2) = (r1)2(r2) (3.24)

Atom helija 64

Slika 3.1: Radijalni dijelovi valne funkcije vodikovog atoma za nekoliko kombinacijakvantnih brojeva.

Trazimo energiju osnovnog stanja atoma helija varijacionim postupkom. Kao probnufunkciju pretpostavimo produkt valnih funkcija osnovnog stanja za elektron koji se nalaziu polju naboja Ze

0(r) =Z3/22pia30

eZr/a0 . (3.25)

Efektivni naboj Ze smo uveli jer ockujemo da elektroni zasjene naboj jezgre. Normiranaukupna valna funkcija odgovara produktu

(r1, r2) = 0(r1)0(r2) =Z3

2pia30eZ(r1+r2)/a0 . (3.26)

Racunamo ocekivanu vrijednost

H = 2Z2E0 +

e2

4pi0|r1 r2|

+e2(Z 2)

4pi0

(1

r1

+

1

r2

)(3.27)

H = 2Z2E0 + e2

4pi0

|(r1, r2)|2|r2 r1| d

3r1d3r2 +

4e2Z(Z 2)4pi0a0

(3.28)

H = 2Z(4 Z)E0 + e2

4pi0

|(r1, r2)|2|r2 r1| d

3r1d3r2. (3.29)

Atom helija 65

Nadalje, uvodimo bezdimenzionalne varijable: x1 = Zr1/a0, x2 = Zr2/a0

Vee = 2ZE04pi2

e(2x1+2x2)

|x1 x2| d3x1d

3x2. (3.30)

Neka je kut izmedu vektora r1 i r2

Vee = ZE02pi2

e(2x1+2x2)

x21 + x22 2x1x2 cos

d3x1d3x2. (3.31)

Prvo integriramo po x1, a zatim po x2

Vee = ZE02pi2

e2x2I(x2)d3x2. (3.32)

Racunamo integral I(x2)

I(x2) =

0

pi0

2pi0

e2x1x21 + x

22 2x1x2 cos 1

x21dx1 sin 1d1d1. (3.33)

Integral po kutu 1 je trivijalan

I(x2) = 2pi

0

pi0

e2x1x21 + x

22 2x1x2 cos 1

x21dx1 sin 1d1. (3.34)

Napravimo supstituciju z = sin 1 pi0

sin 1d1x21 + x

22 2x1x2 cos 1

=

11

dzx21 + x

22 2x1x2z

. (3.35)

Rjesenje integrala glasi

x1 + x2 |x1 x2|x1x2

=

{2/x1 x1 > x22/x2 x1 < x2

. (3.36)

Uvrstimo prethodni rezultat u integral I(x2)

I(x2) = 4pi

(1

x2

x20

e2x1x21dx1 + x2

e2x1x1dx1

). (3.37)

Konacno, izracunamo integrale

I(x2) =pi

x2

[1 e2x2(x2 + 1)

]. (3.38)

Atom helija 66

Na sl. 3.2 nalazi se ovisnost ocekivane vrijednosti energije o parametru Z.

Slika 3.2: Ovisnost ocekivane vrijednosti energije o parametru Z.

Vratimo se energiji medudjelovanja

Vee = ZE02pi2

4pi2

0

x2e2x2 [1 e2x2(x2 + 1)] dx2 = 5

4ZE0. (3.39)

Ocekivana vrijednost Hamiltonijana glasi

H(Z) =(2Z2 + 27

4Z

)E0. (3.40)

Trazimo minimum

dHdZ

=

(4Z + 27

4

)E0 = 0 = Z = 27

16= 1.69. (3.41)

Minimalna ocekivana vrijednost energije

H(1.69) = 12

(3

2

)6E0 = 77.5 eV, (3.42)

nalazi se vrlo blizu tocnom rezultatu: 78.98 eV .

4 Kvantna optika

4.1 Harmonicki oscilator u drugoj kvantizaciji

Operatori stvaranja i ponistenja definirani su na sljedeci nacin

a =

m

2~(x i

mp), a =

m

2~(x+

i

mp), (4.1)

a na svojstvena stanja harmonickog oscilatora djeluju kao

a|n = n+ 1|n+ 1, a|n = n|n 1. (4.2)

Koristeci komutacijska pravila za operatore polozaja i impulsa

[x, p] = i~, (4.3)

mozemo izvesti komutacijska pravila za operatore stvaranja i ponistenja

[a, a] = 1. (4.4)

Operator N aa predstavlja operator broja kvanata harmonickog oscilatora

N |n = aa|n = na|n 1 = n|n. (4.5)

Koristeci komutacijske relacije operatora a i a lako se mogu izvesti i komutacijske relacije

[N, a] = a, [N, a] = a. (4.6)

Hamiltonijan harmonickog oscilatora takoder mozemo napisati pomocu operatora a i a,odnosno pomocu operatora N

H =

(N +

1

2

)~. (4.7)

Polazci od osnovnog stanja |0, mozemo konstruirati proizvoljno svojstveno stanje har-monickog oscilatora

|n = (a)nn!|0. (4.8)

67

Harmonicki oscilator u drugoj kvantizaciji 68

4.1.1 Koherentno stanje

Zelimo naci svojstvena stanja operatora ponistenja

a| = |. (4.9)Buduci da svojstvena stanja harmonickog oscilatora cine potpun skup stanja, stanje |mozemo napisati kao njihovu superpoziciju

| =n=0

cn|n. (4.10)

Djelujemo li s operatorom ponistenja na stanje |

an=0

cn|n =n=1

cnn|n 1 =

n=0

cn+1n+ 1|n. (4.11)

S druge strane, pretpostavili smo da vrijedi

an=0

cn|n = n=0

cn|n. (4.12)

Izjednacavanjem dolazimo do rekurzivne relacije

cn =ncn1, (4.13)

a odatle dolazimo do izraza za koeficijent cn

cn =nn!c0. (4.14)

Koeficijent c0 mozemo odrediti iz uvjeta normiranosti

n=0

|cn|2 = 1 = |c0|2n=0

||2nn!

= 1. (4.15)

Prepoznamo li Taylorov red za eksponencijalnu funkciju

|c0|2e||2 = 1 = c0 = e||2/2. (4.16)Fazu koeficijenta c0 smo odabrali proizvoljno jer je valna funkcija definirana do na fazu.

Vremenska ovisnost koeficijenata, a time i vremenska evolucija pocetnog koher-entnog stanja, odredena je Schrodingerovom jednadzbom

cn(t) = cn(0)ei(n+1/2)t. (4.17)


Ocekivana vrijednost operatora a u koherentnom stanju

|a| = eitn=0

n+ 1cn+1(0)cn(0). (4.18)

Koristeci rekurzivnu relaciju (4.13) dolazimo do rezultata

|a| = eit. (4.19)Na jednaki nacin zakljucili bismo

|a| = eit. (4.20)Slijedi ocekivana vrijednost operatora polozaja

x = |(a+ a)/

2| = (eit + eit)/

2. (4.21)

Neka je svojstvena vrijednost realna

x =

2 cost. (4.22)

Jednakim postupkom dosli bismo do ocekivane vrijednosti operatora impulsa. Zanimljivoje izracunati i ocekivanu vrijednost operatora broja kvanata

N = |aa| = | = ||2. (4.23)Koeficijente u razvoju koherentnog stanja mozemo napisati pomocu ocekivane vrijednostioperatora broja kvanata n N

P (n) = |cn(0)|2 = en nn

n!, (4.24)

sto odgovara Poissonovoj distribuciji prikazanoj na sl. 4.1. Mozemo izracunati i ocekivanuvrijednost kvadrata operatora broja kvanata

N2 = |aaaa| = ||2|aa| = ||2|1 + aa| = ||2 + ||4. (4.25)Neodredenost operatora broja kvanata

(N)2 = N2 N2 = ||2. (4.26)

Valnu funkciju mozemo napisati u koordinatnoj reprezentaciji

(x, t) =n=0

cn(t)n(x)

= eit/2e||2/2(m~pi

)1/4e

2/2

n=0

nn!eint

1

2nn!Hn(). (4.27)


Slika 4.1: Raspodjela stanja u koherentnom stanju s n = 25.

Koristit cemo definiciju funkcije izvodnice za Hermiteove polinome

es2+2s =

n=0

1

n!Hn()s

n. (4.28)

U nasem slucaju vrijedi

s =12eit, (4.29)

pa valnu funkciju mozemo napisati u sljedecem obliku

(x, t) =(m~pi

)1/4eit/2e

12(

2|| cost)2e

12i||2 sin 2te

2i|| sint. (4.30)

Gustoca vjerojatnosti odgovara Gaussianu koji ne mijenja oblik

|(x, t)| =(m~pi

)1/2e(

2|| cost)2 . (4.31)

Konstanta

2|| odgovara pocetnom pomaku valnog paketa.

4.1.2 Operatori faze i broja kvanata

Operatore faze definiramo na sljedeci nacin

ei =(N + 1

)1/2a i e/i = a

(N + 1

)1/2. (4.32)


Djelujemo li operatorima faze na stanje |n, doci cemo do sljedecih relacija

ei|n = a(N + 1

)1/2|n = (n+ 1)1/2a|n = |n+ 1, (4.33)

ei|n =(N + 1

)1/2a|n =

(N + 1

)1/2n|n 1 = |n 1. (4.34)

Mozemo izracunati i matricne elemente produkata operatora faze

n|eiei|m = n|ei|m+ 1 = n|m = mn, (4.35)n|eiei|m = n|ei|m 1 = n|m m0n0 = mn m0n0, (4.36)

pri cemu je bitno uociti da operatori faze ne komutiraju. Korisno je izracunati komutatoreoperatora faze i operatora broja kvanata

[N , ei] = ei, (4.37)

[N , ei] = ei. (4.38)Operatori faze nisu hermitski, ali mozemo definirati hermitske linearne kombinacije

cos =1

2

(ei + ei

), (4.39)

sin =1

2i

(ei ei

), (4.40)

a zatim i izracunati njihove komutatore s operatorom broja kvanata

[N , sin] = icos, (4.41)

[N , cos] = isin. (4.42)Koristeci posljednja dva komutatora mozemo napisati i relacije neodredenosti

(N)2(sin)2 14cos2, (4.43)

(N)2(cos)2 14sin2. (4.44)

Neodredenost operatora sin u koherentnom stanju

Prvo zelimo izracunati ocekivanu vrijednost operatora sin2

u koherentnom stanju

|sin2| = 14|eiei|+ 1

4|eiei| (4.45)

+1

4|eiei| 1

4|eiei|. (4.46)


Napisemo li koherentno stanje kao superpoziciju Fockovih stanja

|eiei| = e||2

m,n=0

()nmn!m!

n|eiei|m = eNn=0

Nn()2

n!

(n+ 1)(n+ 2),

(4.47)

|eiei| = e||2

m,n=0

()nmn!m!

n|eiei|m = eNn=0

Nn2

n!

(n+ 1)(n+ 2).

(4.48)

Osim toga, vrijedi

|eiei| = 1 eN , (4.49)|eiei| = 1. (4.50)

Uzimajuci u obzir ||2 = N , slijedi

|sin2| = 12 1

4eN 1

2eNN(1 2)

n=0

Nn

n!

(n+ 1)(n+ 2), (4.51)

pri cemu je (Im)2/||2. Sada racunamo ocekivanu vrijednost operatora sin

|sin| = 12i

(|ei| |ei|

). (4.52)

Racunamo pojedine doprinose

|ei| = e||2

m,n=0

()nmn!m!

n|ei|m = eNn=0

Nn

n!n+ 1

, (4.53)

|ei| = e||2

m,n=0

()nmn!m!

n|ei|m = eNn=0

Nn

n!n+ 1

, (4.54)

odakle slijedi

|sin| = eNImn=0

Nn

n!n+ 1

. (4.55)

Ogranicimo li se na velike vrijednosti broja kvanata, odnosno N 1, mozemo iskoristitiasimptotske izraze

n=0

Nn

n!

(n+ 1)(n+ 2) e

N

N

[1 1

2N 3

8N2+

], (4.56)

n=0

Nn

n!n+ 1

eN

N

[1 1

8N+

]. (4.57)


Asimptotski izrazi za ocekivane vrijednosti glase

|sin2| 12 1

4eN 1

2(1 2)

(1 1

2N

), (4.58)

|sin| ImN

(1 1

8N

), (4.59)

dok je asimptotski izraz za neodredenost(sin

)2 1

4N 1

4eN . (4.60)

Zanemarimo li i eksponenacijalni clan, dolazimo do izraza(sin

)2 1

4N (Re)

2

4N2. (4.61)

Produkt neodredenosti operatora broja kvanata i operatora faze za velike vrijednostibroja kvanata

(N)(sin) Re2N. (4.62)

Upotrijebimo li notaciju = ||ei,

(N)(sin) 12

cos . (4.63)

Neodredenost operatora cos u koherentnom stanju

U sljedecem koraku racunamo ocekivanu vrijednost operatora cos2

u koherentnomstanju

|cos2| = 14|eiei|+ 1

4|eiei| (4.64)

+1

4|eiei|+ 1

4|eiei|. (4.65)

Koristeci rezultate iz prethodnog odjeljka dolazimo do zakljucka

|cos2| = 12 1

4eN +

1

2eNN(1 2)

n=0

Nn

n!

(n+ 1)(n+ 2), (4.66)

kao i

|cos| = eNRen=0

Nn

n!n+ 1

. (4.67)

Stanja elektromagnetskog polja 74

Asimptotski izrazi za ocekivane vrijednosti glase

|cos2| 12

+1

2(1 2)

(1 1

2N

), (4.68)

|cos| ReN

(1 1

8N

), (4.69)

pri cemu smo zanemarili eksponencijalni clan. Neodredenost operatora cos glasi(cos

)2=

4N=

(Im)2

4N2. (4.70)

Produkt neodredenosti operatora broja kvanata i operatora faze za velike vrijednostibroja kvanata

(N)(cos) Im2N. (4.71)

Upotrijebimo li notaciju = ||ei,

(N)(cos) 12

sin . (4.72)

4.2 Stanja elektromagnetskog polja

4.2.1 Uvod

U sljedecim odjeljcima, koristit cemo Baker-Cambel-Hausdorff (BCH) teorem i Hadamar-dovu lemu.

Baker-Cambel-Hausdorff teorem

Neka su A i B operatori za koje vrijede sljedece komutacijske relacije

[A, [A,B]] = [B, [A,B]] = 0. (4.73)

Tada vrijedieA+B = e

12

[A,B]eAeB = e12

[A,B]eBeA. (4.74)

Hadamardova lema

Neka su A i B operatori. Tada vrijedi

eABeA = B +1

1![A,B] +

1

2![A, [A,B]] +

1

3![A, [A, [A,B]]] + (4.75)

Stanja elektromagnetskog polja 75

4.2.2 Operator pomaka

Koherentno stanje generiramo djelovanjem operatora pomaka1 na vakuum

D()|0 = eaa|0. (4.76)

U istinitost prethodne tvrdnje mozemo se uvjeriti koristeci BCH formulu uz identifikacijuoperatora

A = a, B = a. (4.77)Komutator operatora A i B glasi

[A,B] = ||2[a, a] = ||2, (4.78)

a kako se radi o obicnom broju, mozemo primijeniti BCH teorem

eaa = e||

2/2

Kvantna Seminari Ljeto

Documents

Transcript of Kvantna Seminari Ljeto