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LOCALIZACIÓN ÓPTIMA DE INFRAESTRUCTURA SOCIAL

DOCUMENTO DE TRABAJO DW-DT-036

Ing. Gina Beltrán Sanchez

Ing. Jesús Velásquez Bermúdez

DecisionWare International Corp.

http://www.decisionware.net

Bogotá, Febrero 2005

(Revisión Julio 2012)

OPCHAIN-RPO

OPTIMIZING THE VALUE CHAIN

REGIONAL PLANNING OPTIMIZATION

http://www.decisionware.net/

LOCALIZACIÓN INFRAESTRUCTURA SOCIAL

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OPCHAIN-RPO


LOCALIZACIÓN ÓPTIMA DE INFRAESTRUCTURA SOCIAL

Ing. Gina Beltrán Sanchez Ing. Jesús Velásquez Bermúdez

DecisionWare International Corp.

RESUMEN

Este documento contiene los lineamientos generales de las metodologías y las tecnologías utilizadas por DecisionWare International Corp. (DW), implementadas en el sistema de soporte

de decisiones OPCHAIN-RPO para llevar a cabo proyectos tendientes a la localización óptima

de infraestructura social como: instituciones educativas, equipamientos para seguridad,

hospitales y centros médicos, bibliotecas y otros. Las metodologías utilizadas son propias de la programación matemática. Se analiza la formulación coherente de planes estratégicos (de largo

plazo) y de planes tácticos (de corto plazo) generados de manera tal que la cadena de planes tácticos genera el plan estratégico, utilizando concepto de optimización multicriterio para

determinar la priorización en la ejecución del plan estratégico. Se incluye un caso prototipo

construido a partir de datos “realistas” obtenidos a partir de un proyecto realizado por DW, cuyos datos originales han sido alterados para guardar la confidencialidad del proyecto adelantado.

1. MARCO DE REFERENCIA CONCEPTUAL

Los estudios de ubicación de infraestructura social, se llevan a cabo regularmente en muchos

países tanto en las áreas urbanas como para las rurales. En países en vías de desarrollo, con altas tasas de nacimientos, alta movilidad de la población y poca infraestructura social el problema se

concentra en la determinación de la “mejor” red de instalaciones de infraestructura social que se puede tener para mejorar la calidad de los servicios ofrecida por el sistema, a la vez que se

reducen los costos de las inversiones y se respetan las restricciones de presupuesto.

Alternativamente, para los países desarrollados, que enfrentan la reducción fuerte en la tasa de nacimientos y disponen amplia infraestructura social, el problema puede llegar a ser la escogencia

de la infraestructura que debe ser cerrada.

De acuerdo con estudios realizados (Cohen et al. 2003), en el funcionamiento de una ciudad se

presenta una iteración entre varios sistemas, que reflejan los distintos intereses, necesidades y actividades de sus habitantes. La forma en que éstos interactúan, la normativa, criterios y

procedimientos que se utilizan para administrarlos, así como los recursos que se le asignan a cada uno, definen una particular forma de funcionamiento, con resultados y costos específicos.

Algunos de los sistemas que operan en la ciudad son: educación, salud, producción, transporte y

uso del suelo. En cada uno de ellos, existen actores que viven y realizan sus actividades en lugares específicos. La localización de dichos espacios está definida por una serie de requerimientos

individuales y colectivos y por condiciones del entorno, de manera que la satisfacción de dichos requerimientos produce beneficios a las personas; sin embargo, también implica costos. La oferta

no necesariamente está donde se encuentra la demanda y ésta se satisface a través del flujo diario de la población, ya sea en forma autónoma o a través de los servicios que entrega el mismo

sistema, pero permite que exista capacidad ociosa en un sector y déficit en otro. Así, configurar

la estructura de la oferta de servicios se convierte en un proceso largo, con alta probabilidad de tener problemas de confiabilidad, por lo que es necesario confeccionar una base de datos

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relacional de las distintas áreas del sistema, que incluya a todos los establecimientos públicos y privados, que tenga capacidad de consulta desde una perspectiva de gestión y de infraestructura

e incluya datos sobre la población y sus características. Se requiere convertir los datos en información útil para la toma de decisiones, no sólo referida a una instalación en particular sino

a ciudades o áreas dentro de éstas, en la situación presente y en la futura.

La definición de la ubicación óptima de obras de infraestructura social implica la consideración

simultánea de múltiples factores: geográficos, demográficos, económicos, culturales, ambientales, legales y políticos. Dichos factores pueden considerarse simultáneamente en

modelos de optimización orientados a maximizar una determinada medida de rendimiento (función de utilidad social). La competencia entre los factores de referencia, conlleva la necesidad

de utilizar tecnologías orientadas a la optimización multicriterio (Multicriteria Decision Making,

MCDM) de forma tal de obtener las “mejores” decisiones socialmente sostenibles.

La Investigación de Operaciones (IO) desempeña un papel determinante, en el problema de localización de infraestructura social, ya que en ambientes urbanos grandes el problema de

localización de equipamientos pertenece a una clase de problemas de optimización combinatorios.

Los desafíos del problema de localización son asumidos por la mayoría, si no todos los países en vías de desarrollo, quienes, a lo largo de la última mitad del siglo, tienen independencia política,

crecimiento de la población, reducción del analfabetismo, urbanización, sentido social, respecto a los derechos humanos. Como consecuencia natural, los servicios públicos diseñados para

proporcionar servicios a una minoría se han ampliado para servir a la sociedad entera. Sin embargo, el presupuesto escaso para satisfacer todas las demandas crea una escasez relativa de

los servicios. Por lo tanto, cada tipo de servicio público funciona bajo tensión y está lejos de las

expectativas de la sociedad.

La IO proporciona un instrumento de apoyo para la toma de decisiones. Sin embargo, el último nivel de decisión es político, pero las decisiones sociales basadas sobre razones puramente

políticas pueden ser pobres. Por esto, es deseable el uso de un marco racional de análisis como

el que ofrece la IO. Las decisiones que afectan a la sociedad entera requieren un diálogo entre el establecimiento político y las evaluaciones técnicas, que demandan desarrollar modelos

analíticos independientes, pero con capacidad de manejar políticas de desarrollo social. De esta manera, los políticos y los especialistas pueden converger para tomar mejores decisiones.

Cualquier decisión tomada sin soporte analítico es ciertamente miope en el sentido de mirar piezas, pero no el cuadro entero.

La noción del compromiso que cada generación tiene con sus sucesores está en el corazón del concepto de desarrollo sostenible, el cual fue plasmado por la World Commission on Environment

and Development (Brundtland Comisión, WCED 1987) en su informe “Our Common Future” en el que define desarrollo sostenible como “el desarrollo que satisface las necesidades de la presente

generación sin comprometer las posibilidades de las futuras generaciones para satisfacer sus

propias necesidades”.

Con el objetivo de especificar más técnicamente la noción de sostenibilidad, se han dado muchas otras definiciones; por ejemplo, Daly (1991) define el desarrollo sostenible como uno que

satisface tres condiciones básicas: i) la rata de uso de recursos renovables no excede la rata de

regeneración del recurso; ii) la rata de uso de recursos no-renovables no excede la rata de desarrollo de recursos renovables sustitutos; y iii) la rata de contaminación del medioambiente

no excede la rata de asimilación de dicha contaminación. Otras definiciones de sostenibilidad son más amplias y buscan extender la definición más allá de las consideraciones medioambientales e

incluye consideraciones sobra la equidad y la justicia social, limitando el peso que se da a menudo a la importancia del crecimiento económico. Por ejemplo, la “Charter of European Cities and

Towns Towards Sustainability”, del International Council for Local Environmental Initiatives

(ICLEI), establece que la base del desarrollo sostenible es "lograr justicia social, economías sostenibles, y sostenibilidad medioambiental. Desde este punto de vista, la justicia social


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necesariamente tendrá que basarse en economías sostenibles y justas las que requieren de la sostenibilidad medioambiental" (Aalborg Charter 1994).

Bajo las anteriores consideraciones, la implementación de un Sistema de Soporte de Decisiones

de Localización de Infraestructura Social (SSD/LOCSOC) implica la formulación y la implementación de un conjunto de modelos matemáticos de optimización que representen de

manera agregada la lógica del proceso de inversiones de largo plazo, necesarias para atender la

oferta de servicios sociales que debe planificar una ciudad, asociándolos con modelos que describen la demanda que, en términos de valores esperados y de posibles escenarios, reflejan

hipótesis de comportamiento social para acceder a dichos servicios.

SSD/LOCSOC cumple con los conceptos de “Robust Optimization” bajo los cuales la planificación

inteligente debe ser: eficaz, segura, rápida y flexible. Bajo esta perspectiva las decisiones surgen de la ponderación de los objetivos que se esperan conseguir bajo cuatro diferentes medidas de

rendimiento que están en competencia: Optimalidad: maximización de una medida de rendimiento;

Seguridad: capacidad para predecir, evitar, controlar y reducir los daños que pueden ocurrir

bajo condiciones adversas; Flexibilidad: capacidad para identificar, predecir y aprovechar cualquier oportunidad

favorable; y Adaptabilidad: capacidad para ajustarse a los cambios de los sistemas dinámicos.

Con respecto a la planificación estratégica, SSD/LOCSOC coordinará las decisiones de largo

plazo asociadas a la expansión, la desinstalación y/o la modernización de instalaciones civiles

orientadas a prestar servicios sociales (infraestructura social). En el modelaje de proyectos de inversión se pueden considerar los siguientes tipos:

Instalación de capacidad adicional: relativos a la posibilidad de realizar ampliaciones en

la capacidad instalada o de crear capacidad por medio de nuevas instalaciones. Para los casos

de instalaciones existentes, se asume que las expansiones realizadas preservan la tecnología disponible al comienzo del período de planificación, y por lo tanto no hay cambio en los

coeficientes insumo-producto de los diferentes procesos;

Desinstalación de infraestructura social: relativos a la posibilidad de desincorporar instalaciones que en la actualidad estén operando. Para estos casos se considera que una

instalación una vez desincorporada, nunca volverá a entrar en operación, recuperándose un

valor de salvamento e incurriéndose en los costos asociados al cierre de dicha instalación;

Modernización de infraestructura social: relativos a la reconversión tecnológica de instalaciones antiguas. Estos proyectos implican:

montos predefinidos en inversiones para la realización de proyectos;

aumento en la capacidad instalada para prestación de servicios; cambio en los costos operacionales y en los coeficientes tecnológicos que definen la

relación insumo-producto.

Desde el punto de vista del manejo de la incertidumbre, los modelos desarrollados pueden ser

de dos tipos: Optimización determinística: cuándo solo se considera un escenario de referencia y se

determina el plan “óptimo” para dicho escenario Optimización estocástica no-anticipativa: cuándo se consideran múltiples escenarios de

referencia, asociados a cada uno de ellos a una probabilidad de ocurrencia, y el modelo determina la “mejor” decisión tomada antes de la ocurrencia de cualquier escenario. Esta

alternativa requiere de un proceso exógeno al modelo para generar los escenarios aleatorios

del entorno de decisiones.


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El objetivo del modelaje será determinar la ubicación de instalaciones de infraestructura social que maximizan una función de utilidad (o minimizan una función de costo social) que es reflejo

de los factores de referencia y que resume una ponderación de los costos de inversión y de los beneficios-costos sociales esperados en el futuro como consecuencia de la operación de dicha

infraestructura o equipamiento.

El resultado final son dos planes “óptimos”:

Plan Estratégico que define el “mejor” estado al que puede llegar la sociedad con respecto a la localización de equipamiento que satisfaga el ciento por ciento de la demanda bajo

determinadas condiciones de calidad del servicio definidas en términos de tiempo medio de acceso y tiempo máximo de acceso; y

Plan Táctico que corresponde a una ejecución parcial del plan estratégico, la cual se obtiene

respetando las limitaciones de presupuestos y las metas de corto plazo y priorizando la selección de obras de acuerdo con principios de política social los cuales se sintetizan de

manera cuantitativa, de forma tal que representen las el conocimiento y las expectativas de los expertos.

1.1 PROBLEMAS MATEMÁTICOS

El proceso de localización de obras de infraestructura social implica definir simultáneamente: i)

la ubicación de las instalaciones y ii) el área de influencia que se espera será atendida por dicha instalación.

Los modelos que a continuación se mencionan son la base para el desarrollo y el análisis del proceso de localización de infraestructura social. La secuencia de modelos representa el proceso

de generación de conocimiento que se debe seguir para conseguir una comprensión de la problemática de localización de infraestructura social. En cualquiera de los modelos descritos es

posible incluir restricciones adicionales que representen condiciones de equidad y de beneficio

social de acuerdo con la zona de asignación, lo que es una forma de reflejar en el modelo los principios políticos de los tomadores de decisión.

Los modelos presentados son estáticos de tipo determinístico, pero se den notar que en la

actualidad, los modelos de localización óptima de facilidades incluyen los conceptos de optimización estocástica no-anticipativa (Alonso-Ayuso et. al. 2003, Snyder 2004) para el manejo

de escenarios de demanda asociados a su probabilidad de ocurrencia. También se puede

incorporar al modelaje características dinámicas del proceso de tal manera que permita realizar la localización de infraestructura no solo en el espacio, sino también a lo largo del tiempo.

P-MEDIA PROBLEM (P-MP)

Una de las formulaciones básicas para enfrentar el problema matemático de localización de instalaciones y asignación de demanda se conoce como P-Mediam Problem (P-MP:, Pizzolato

et. al. 2002), que corresponde a la selección óptima de P árboles que conectan P nodos de oferta de servicios con los N nodos de demanda de dichos servicios. P-MP: corresponde al siguiente

modelo de programación binaria:

P-MP: = {

Min iOFE jDEM hj di,j xi,j

sujeto a:

i=1,P xi,j = 1 jDEM

iOFE yi = P

xi,j{0,1} iOFE , jDEM

yi{0,1} iOFE


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}

donde:

i Índice asociado al nodo de oferta j Índice asociado al nodo de demanda

OFE Nodos de potenciales donde es posible ubicar infraestructura social

DEM Nodos donde existe demanda de servicios sociales que debe atender la infraestructura social

hj Peso del nodo de demanda j (normalmente la población demandante del servicio) di,j Costo social unitario para acceder al servicio en el nodo i por parte de los habitantes

del nodo demandante j

yi Variable binaria que determina si en el nodo de oferta i se desarrolla infraestructura social

xi,j Variable binaria que determina si el nodo de oferta i atiende a los habitantes del nodo j

P Nodos de oferta ya construidos

El problema P-MP: es apropiado para determinar la demanda ideal que atenderían P nodos de

oferta, ya que no tiene en cuenta la inversión necesaria para desarrollar la infraestructura social en los nodos de oferta ni la capacidad instalada en infraestructura social.

CAPACITED P-MEDIAM PROBLEM (CP-MP)

Existen variaciones al anterior problema para hacerlo más “realista”. Una versión que considera las restricciones capacidad es el denominado Capacited P-Mediam Problem (CP-MP:,

Pizzolato et. al. 2002) que se formula como:

CP-MP: = {

Min iOFE jDEM hj di,j xi,j

sujeto a:

i=1,P xi,j = 1 jDEM

iOFE yi = P

jDEM hj xi,j CQi yi iOFE


yi{0,1} iOFE

}

donde:

CQi Capacidad de servicio instalada en el nodo i

La solución a CP-MP: determina la asignación oferta-demanda que es viable atender, la cual

puede ser diferente de la demanda natural (la que desea la sociedad) que se generaría si se dispusiese de capacidad infinita, como lo asume implícitamente el problema P-MP. Ejecutar en

la realidad la solución CP-MP puede implicar implementar normas legales para garantizar la

viabilidad del sistema (zonas demanda asignadas a nodos de oferta).

Existen variaciones al modelo CP-MP, el cual no indica la capacidad ociosa o el déficit por zona de demanda. El modelo CP-MP-D establece la asignación oferta-demanda que es viable atender

e indica el déficit, la población que deja de ser atendida, en cada zona de demanda. La formulación es la siguiente:

CP-MP-D: = { Min iOFE jDEM hj di,j xi,j +jDEM M wj hj


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sujeto a:

i=1,P xi,j + wj = 1 jDEM

iOFE yi = P



yi{0,1} iOFE

wj{0,1} jDEM }

donde:

wj Variable binaria que indica el déficit en el nodo j. M Costo asociado a la demanda no atendida.

Otra variación, el modelo CP-MP-D-F permite fraccionar la demanda para ser atendida por más de un nodo de oferta. La formulación es:

CP-MP-D-F: = { Min iOFE jDEM hj di,j xi,j + jDEM M wj hj

sujeto a:

i=1,P xi,j + wj = 1 jDEM

iOFE yi = P


0 xi,j 1 iOFE , jDEM

0 wj 1 jDEM

yi{0,1} iOFE

}

donde:

xi,j Variable que determina la fracción de habitantes del nodo j que es atendida por el nodo

de oferta i.

Con relación al anterior modelo, la diferencia fundamental es la relajación de las restricciones impuestas por el carácter binario de las variables xi,j y wj que implica que se asigna la totalidad

de la demanda o no se asigna. La relajación que puede ser aplicada a cualquiera de los modelos descritos en este numeral.

CAPACITATED FACILITY LOCATION PROBLEM (CFLP)

Para considerar el proceso de inversión, una versión más general del problema de localización se denomina Capacitated Facility Location Problem (CFLP:, Magnanti y Wong 1986) el cual se

formula como:

CFLP: = {

Min iOFE [ ifi yi + ivi qi ] + iOFE jDEM hj di,j xi,j

sujeto a:

i=1,P xi,j = 1 jDEM

qi MaxQi yi iOFE

jDEM hj xi,j qi iOFE


yi{0,1} iOFE

}

donde: ifi Inversión fija para desarrollar infraestructura social en el nodo i


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ivi Inversión unitaria variable requerida para desarrollar capacidad de servicio en el nodo i MaxQi Máxima capacidad de servicio que se puede desarrollar en el nodo i

qi Variable continua que determina la capacidad de prestación del servicio desarrollada en el nodo i

El problema CFLP: corresponde a una versión estática del proceso de atención de servicios

sociales, que representa de manera bastante realista el proceso de inversión en infraestructura,

y se constituye en el referente básico para diseñar un modelo que proporcione soluciones que son posibles de implementar en la realidad. Como se puede notar CFLP incluye el problema CP-

MP y este a su vez al problema P-MP.

CAPACITATED MULTIFACILITY LOCATION PROBLEM (C-MF-LP)

En los sistemas reales generalmente interactúan los diferentes tipos de infraestructura social y

por lo tanto es necesario ubicar simultáneamente múltiples tipos de equipamientos. Si se considera modelos independientes para cada tipo de instalación la localización de la oferta de

servicios sociales puede concentrarse en las zonas con mayor peso de demanda dejando apartada

y disminuyendo el nivel de satisfacción en las restantes zonas. El modelo CMFLP: es una variación del modelo CFLP: y permite controlar la dispersión de la red de servicios sociales al considerar

la distribución del sistema en zonas, restringiendo la cantidad de infraestructura instalada por zona. El modelo se formula como:

C-MF-LP: = {

Min sSSO { iOFE [ ifi,s yi,s + ivi,s qi,s ] + iOFE jDEM hj,s di,j,s xi,j,s }

sujeto a:

i=1,P xi,j,s = 1 jDEM sSSO

qi,s MaxQi,s yi,s iOFE sSSO

jDEM hj,s xi,j,s qi,s iOFE sSSO

izz = sZON(z) iOFE yi,s z ZON

MinIz izz MaxIz z ZON

xi,j,s{0,1} iOFE , jDEM sSSO

yi,s{0,1} iOFE sSSO

}

donde:

s Índice asociado al tipo de servicio Social z Índice asociado a las zonas

SSO Tipos de servicios sociales ZON(z) Conjunto de equipamientos en la zona z

hj,s Población demandante del servicio tipo s en el nodo de demanda j

di,j,s Costo social unitario para acceder al servicio tipo s en el nodo i por parte de los habitantes demandantes del nodo j

yi,s Variable binaria que determina si en el nodo de oferta i se desarrolla infraestructura social tipo s

xi,j,s Variable binaria que determina si el nodo de oferta i atiende servicios tipo s a los

habitantes del nodo j ifi,s Inversión fija para desarrollar infraestructura social en el nodo i

ivi,s Inversión unitaria variable requerida para desarrollar capacidad de servicio tipo s en el nodo i

MaxQi,s Máxima capacidad de servicio tipo s que se puede desarrollar en el nodo i qi,s Variable continua que determina la capacidad de prestación del servicio tipo s

desarrollada en el nodo i

izz Número de instalaciones en la zona z MinIz Número mínimo de instalaciones que se desean instalar en la zona z


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MaxIz Número máximo de instalaciones permitido en la zona z

CAPACITATED MULTIFACILITY MULTILEVEL LOCATION PROBLEM (C-MF-ML-LP)

En muchos casos (por ejemplo, los servicios educativos, los hospitalarios y los culturales) el servicio social se implica diferentes niveles, o clases, de servicios los cuales se imparten

simultáneamente a partir de una misma planta física que debe compartir recursos asignados a

las diferentes clases del servicio. En este caso, la localización no se limita a la ubicación en el espacio de las coordenadas del punto de oferta del servicio, sino que implica la asignación óptima

del uso de los recursos disponibles en el punto de oferta (espacio, energía, presupuesto, …). El problema en este caso se formula como:

C-MF-ML-LP: = {

Min sSSO { iOFE [ ifi,s yi,s + nCLA(s) ivi,s,n qi,s,n ] + nCLA(s) iOFE jDEM hj,s,n di,j,s

xi,j,s }

sujeto a:

i=1,P xi,j,s,n = 1 jDEM sSSO nCLA(s)

qi,s,n MaxQi,s,n yi,s iOFE nCLA(s)

jDEM hj,s,n xi,j,s qi,s,n iOFE sSSO nCLA(s)

sSSO nCLA(s) crs,n,r qi,s,n MaxRi,r iOFE rREC

izz = sZON(z) iOFE yi,s z ZON

MinIz izz MaxIz z ZON

xi,j,s,n{0,1} iOFE , jDEM sSSO nCLA(s)

yi,s{0,1} iOFE sSSO

}

donde:

n Índice asociado a la clase de servicio social (dependiente del tipo de servicio) CLA(s) Clases (niveles) de servicio que se prestan dentro del tipo de servicio s

r Índice asociado al tipos de recurso REC Tipos de recursos

hj,s,n Población demandante del nivel n del servicio tipo s en el nodo de demanda j di,j,s Costo social unitario para acceder al servicio tipo s en el nodo i por parte de los

habitantes demandantes del nodo j

yi,s Variable binaria que determina si en el nodo de oferta i se desarrolla infraestructura social tipo s

xi,j,s,n Variable binaria que determina si el nodo de oferta i atiende el nivel n de los servicios tipo s a los habitantes del nodo j

ifi,s Inversión fija para desarrollar infraestructura social en el nodo i

ivi,s,n Inversión unitaria variable requerida para desarrollar capacidad de servicio en el nivel n del tipo de servicio s en el nodo i

MaxQi,s,n Máxima capacidad de servicio en el nivel n del tipo de servicio s que se puede desarrollar en el nodo i

qi,s Variable continua que determina la capacidad de prestación de servicio en el nivel n del tipo de servicio s desarrollada en el nodo i

crs,n,r Consumo de recurso tipo r que se requiere para prestar servicio en el nivel n del tipo

de servicio s MaxRi,r Disponibilidad de recurso tipo r en el nodo de oferta i

El modelo C-MF-ML-LP: será el que se tome como referencia para desarrollar variaciones de

acuerdo con las especificidades que se deben respetar de acuerdo con cada tipo de equipamiento.

1.2 TOMA DE DECISIONES MULTI-CRITERIO


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Generalmente, en procesos de toma de decisiones en los que se involucran costos sociales, económicos y ambientales es necesario considerar múltiples objetivos o criterios de elección.

Estos criterios no son reducibles a unidades comunes, al contrario de lo que ocurre por ejemplo con el análisis beneficio-costo, por lo que requieren procedimientos diferentes a los utilizados en

el análisis tradicional. Además, ellos pueden ser complementarios o conflictivos entre sí, por ejemplo, los proyectos más económicos pueden ser los más contaminantes o los de menor

impacto social. Debido a esto, no es posible encontrar una alternativa que optimice

simultáneamente todos los criterios. Se debe tomar una decisión en la que, integrando todas las expectativas, se obtenga una alternativa de compromiso entre todos ellos. Esta tarea no es fácil,

más aun si los criterios considerados y las opciones disponibles son numerosas. El “análisis multicriterio de decisiones” (Multicriterio Decisión Making, MCDM) es la herramienta

metodológica que permite afrontar este tipo de problemas; en general, MCDM requiere

identificar inicialmente los criterios relevantes, usar luego funciones o indicadores independientes que permitan evaluar las posibles alternativas respecto a cada uno de los criterios, para

integrarlos en una única función o indicador multicriterio con el fin de seleccionar la mejor alternativa de compromiso. De manera general el problema multicriterio se representa como:

Maximizar ))(),...,(),(()( 21 xxxx pZZZZ

sujeto a: 0)( xkg , k = 1, ..., m

0j

x , j = 1,..., n

donde Z es el conjunto de p criterios, x es el conjunto de variables de decisión, las funciones gk

son m restricciones que definen las posibilidades de acción, impuestas generalmente por factores como el medio ambiente, la cantidad de recursos económicos y materiales, etc. Generalmente no

existe una solución x que maximice simultáneamente todos los criterios y cumpla todas las restricciones. Una salida viable al problema es transformar la búsqueda de la solución “óptima”

en la búsqueda de una solución “satisfactoria“. Esta solución debe ser eficiente aprovechando al

máximo los recursos, es decir, si se desea mejorar en algún criterio, esto solo podría hacerse a expensas de otro. Existe un conjunto extenso (a veces infinito) de soluciones eficientes (o no

dominadas o óptimos de Pareto) y es mediante el juicio del decisor que puede escogerse una de ellas como solución al problema. Por ejemplo, la siguiente gráfica representa el espacio factible

(limitado por las restricciones) en el caso de que sean dos los criterios considerados. El segmento

de curva AB, denominado frontera de Pareto, integra todas las soluciones eficientes y el análisis multicriterio permite, a partir de la integración de valoraciones objetivas y las preferencias del

decisor, escoger de ese conjunto la solución a ser implementada.

Goicoechea y otros (1982), Smith y otros (2000), y Bogardi y Nachtnebel (1994) han recopilado

y clasificado los métodos de análisis multicriterio más importantes hasta ahora desarrollados. Los

métodos pueden clasificarse en tres grupos: métodos que generan un conjunto de alternativas no dominadas (sin involucrar las preferencias del decisor), métodos que articulan las preferencias

del decisor a priori y métodos que articulan progresivamente las preferencias del decisor. El primer grupo obtiene mecánicamente un conjunto de alternativas no dominadas para que el

SZ2(x)

Z1(x)

A

B

Zmax

Zmin

Ob

jeti

vo 1

Objetivo 2


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decisor seleccione luego por otros métodos externos una de ellas. Por ejemplo, el método de las restricciones (Haimes y otros, 1971) genera un conjunto de alternativas no dominadas obteniendo

el valor máximo que puede alcanzar un objetivo variando paramétricamente los logros posibles en los otros criterios. Estos métodos son poco eficientes porque muchas de las exploraciones que

hacen son infructuosas, en el sentido de que cubrirán espacios de decisión que definitivamente no son de interés para el decisor. En el segundo grupo se destacan los métodos de la

programación de compromiso (Zeleny, 1973), la programación por metas (Charnes y Cooper,

1963) y la función de utilidad multicriterio (basado en los conceptos evaluados por von Neumann y Morgenstern, 1947; ampliados por Savage, 1954, y Luce y Raiffa, 1957). La programación de

compromiso minimiza la suma de las distancias independientes de los criterios a sus óptimos independientes, ponderada por factores que dependen de las preferencias del decisor. La

programación por metas es semejante al anterior método, pero considera, en vez del punto ideal,

una meta particular del decisor, la cual puede ser excedida o no. El método de la función de utilidad multicriterio requiere que el decisor identifique una función de utilidad para cada criterio

y el problema se reduce luego a maximizar el vector de las utilidades integrando en una función todas las funciones de utilidad independientes, afectada por parámetros que dependen de las

preferencias del decisor. Un caso especial de este último es el método de los promedios

ponderados (Zadeh, 1963) que considera funciones de utilidad lineales y optimiza la suma ponderada de las utilidades considerando factores o pesos de importancia relativa.

El tercer grupo de métodos obtiene la “mejor solución” articulando progresivamente información

de los decisores durante el proceso. Se destaca el método de la valoración sobre las tasas de intercambio (Haimes y Hall, 1974) que analiza los criterios por pares, proponiendo para ellos

intercambios eficientes, matemáticamente posibles, obtenidos mecánicamente y evaluando que

tan satisfactorios son para el decisor mediante una función de valoración. Busca así los intercambios entre criterios más satisfactorios para el decisor y halla la solución que los cumple

simultáneamente. Este último grupo de métodos es muy efectivo pero tiene alto costo operacional debido a la extensa interacción entre decisores y analistas.

NORMALIZACIÓN DE LAS FUNCIONES OBJETIVO.

Cada uno de las funciones objetivo debe reescalarse a valores dentro del rango 0-1, con el fin de llevar todas las valoraciones a una escala común. Para cada criterio i debe definirse, entonces,

una función de reescalamiento o función de utilidad, que debe cumplir las siguientes condiciones (considerando criterios que se desean maximizar; si se desea minimizar se hace lo contrario):

Debe asignar a la mayor valoración del criterio el valor de 1 y a la menor valoración del

criterio el valor 0. Valoraciones que estén por debajo de un límite de admisibilidad L1i fijado por los decisores,

deben tomar el valor de 0. Este límite indicará qué alternativas con valoraciones menores a él son inadmisibles para la comunidad. Valoraciones que superen un valor L2i, fijado por los

decisores, debe tomar el valor de 1. Este límite indicará qué alternativas con valoraciones

mayores a L2i cumplen las metas fijadas por la comunidad (considerando únicamente el criterio en cuestión). A las valoraciones intermedias entre L1i y L2i asignar valores entre 0 a

1. La función de reescalamiento puede ser cóncava, convexa o lineal. Este reescalamiento indicará qué tan importante es o no la diferencia entre valoraciones específicas del criterio,

ya que la pendiente puede cambiar a lo largo del rango L1i - L2i (siguiente figura).


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FUNCIÓN DE UTILIDAD DE UN CRITERIO

0

1

Zij

L1i L2i

Vij

La forma más simple de la función de utilidad es la lineal, en la que L1i es el valor mínimo

posible y L2i el mayor valor posible del criterio en cuestión.


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2. IMPLEMENTACIÓN DEL SISTEMA DE SOPORTE DE DECISIONES DE LOCALIZACIÓN DE INFRAESTRUCTURA SOCIAL

2.1 PROCESO DE LOCALIZACIÓN ÓPTIMA DE INFRAESTRUCTURA SOCIAL

La localización óptima de infraestructura social no consiste en una sola corrida de un modelo

matemático que de manera automática proporcione las decisiones óptimas que se deben tomar. Corresponde a un proceso de generación de conocimiento que se realiza con la ayuda de los

modelos matemáticos que son parte de las herramientas necesarias para producir este conocimiento.

El proceso se desarrolla en tres fases: Conocimiento de la cadena de abastecimiento de servicios sociales

Plan Estratégico de Referencia Plan Táctico de Corto/Mediano Plazo

Las anteriores fases se desarrollan de manera secuencial, sin que ello implique que en un

momento no se puedan realizar retroalimentaciones a fases previamente estudiadas.

A continuación de describe, de manera genérica, el proceso a seguir para cada una de las fases:

FASE I CONOCIMIENTO DE LA CADENA DE ABASTECIMIENTO DE SERVICIOS SOCIALES.

Esta fase tiene como objetivo conocer las características del entorno de decisiones con la finalidad de parametrizarlo de manera cuantitativa, para incorporarlos en los modelos matemáticos de

optimización que simulan el comportamiento de la cadena de abastecimiento de servicios sociales. Implica la generación de conocimiento con respecto a:

Territorio: definición del espacio de cubrimiento. Implica determinar:

División del territorio y cuantificación de sus características socio-económicas Redes de transporte disponibles para acceder a los servicios, cuantificando explícitamente

distancias, tiempos de viaje y costos de acceso. Mercado: definición de las características del mercado de servicios sociales que se debe

atender. Implica determinar: Niveles y tipos de servicios que se prestan en el mercado

Equipamientos disponibles para prestar los servicios

Racionalidad del usuario para acceder a los servicios Normatividad asociada a la prestación de servicios

Índices de calidad, o de resultados, de la prestación del servicio Demanda: definición cuantitativa la demanda actual y futura de servicios que se debe

atender. Implica determinar:

Distribución espacio-temporal, por edades, de la población que requiere el servicio; y Forma matemática explícita utilizada para establecer una medida de la demanda de

servicios en términos de la población atendida, que implícitamente contiene los coeficientes técnico-económicos del consumo de servicios por parte de la población.

Oferta: orientado a determinar de manera cuantitativa las características de los costos y de

las relaciones insumo-producto asociadas al servicio social que se desea prestar. Implica determinar:

Infraestructura existente Proyectos de infraestructura potencial

Coeficientes insumo-producto (consumo de recursos) asociados a la prestación del servicio

Costos de inversión y de operación de la infraestructura

Caracterización de proyectos genéricos para estudios de cubrimiento ideal


14

OPCHAIN-RPO


Criterios de Decisión: orientado a determinar de manera cuantitativa los criterios técnicos, sociales y económicos que se han de tener en cuenta en el proceso de toma de decisiones.

FASE II PLAN ESTRATÉGICO DE REFERENCIA

Esta fase tiene como objetivo conocer las posibilidades con respecto a las decisiones que se

pueden tomar con la finalidad de estructurar un plan de acción de largo plazo que tenga como

referencia la localización ideal de infraestructura social de manera tal que se satisfaga la demanda de servicios sociales de manera “optima”, entendida como aquella hace un uso eficiente de los

recursos disponibles y tiene en cuenta criterios de planificación que garantiza un desarrollo social equitativo y justo.

El proceso implica la generación de conocimiento con respecto a: Soluciones de mínimo costo de inversión (MCI): determina un plan de ubicación de

infraestructura social que satisface las restricciones técnicas del mercado y garantiza la atención de la demanda al menor costo posible. Esta solución minimiza los costos para la

sociedad desde el punto de vista del gasto que ha de realizar el poder ejecutivo.

Soluciones de mínimo “costo de acceso” (MCA): ignorando las capacidades fijadas para un plan de ubicación de instalaciones pre-establecido, como pudiese ser el de mínimo costo,

determina la demanda ideal (la que desea el usuario) que tendrán los equipamientos que se desarrollen, la cual al ser comparada con las capacidades instaladas determinar los puntos

de sobre y sub equipamiento que están implícitos en el plan de referencia. Esta solución minimiza los costos para la sociedad desde el punto de vista de los gastos directos que han

de realizar los usuarios.

Es claro que es la sociedad quien debe pagar por el equipamiento que se desarrolla. Este gasto

social se realiza vía el poder ejecutivo, o por medio del gasto directo que realizan los usuarios accediendo a los equipamientos. A mayor inversión por parte del ejecutivo, menor gasto directo

realizado por los usuarios. Por lo anterior se puede afirmar que se cumple:

Gasto Social = Gasto vía Ejecutivo + Gasto directo del Usuario

El punto de equilibrio es el resultado de las políticas que implemente quien representa a la

sociedad ejerciendo el poder ejecutivo.

Las dos anteriores soluciones definen los puntos extremos de una curva de eficiencia que

relaciona costos de inversión realizados por el ejecutivo con costos de acceso pagados directamente por los usuarios, ya que no es posible obtener una solución de menor costo de

inversión que la de mínimo costo, ni una de menor costo de acceso que la de mínimo costo de acceso; cualquier decisión que se tome debe estar cerca de esta frontera eficiente, de no ser así

existiría ineficiencia en el uso de los recursos. El conocimiento se concentra en determinar dicha

Frontera Pareto Eficiente.

En esta fase también se determina los costos implícitos en determinadas restricciones no técnicas que se imponen por normatividad o por estándares pre-establecidos con respecto a lo que debe

ser la solución. Al comparar los costos de esta solución con las soluciones eficientes se tiene una

medida de la bondad técnica de la normatividad o de los estándares.

Con base en el análisis de la información obtenida, el resultado final de esta fase en un Plan

Estratégico de Referencia cuya implementación garantiza la eficiencia en el uso de los recursos.


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OPCHAIN-RPO


FRONTERA EFICIENTEFRONTERA EFICIENTE

COSTO INVERSICOSTO INVERSIÓÓN N VERSUS VERSUS COSTO DE ACCESOCOSTO DE ACCESO

PRESUPUESTO

MINIMO

(MCI)

COSTO ACCESO

MÁXIMO

PRESUPUESTO

MÁXIMO

COSTO

INVERSIÓN

COSTO

DE ACCESO

COSTO ACCESO

MÍNIMO (MCA)

+

SOLUCIÓN

INEFICIENTE

FRONTERA EFICIENTE

FASE III PLAN TÁCTICO DE CORTO/MEDIANO PLAZO

A partir Plan Estratégico de Referencia se debe determinar las decisiones que se pueden

implementar en el corto/mediano plazo, las cuales deben ser tomadas teniendo en cuenta las limitaciones reales del entorno de corto plazo y la priorización de inversiones que de desea

implantar teniendo en cuenta los criterios socio-políticos de los decisores.

Lo anterior implica realizar nuevas corridas del modelo matemático incluyendo las restricciones

del entorno de corto/mediano plazo y tomando como objetivo la maximización de una medida de cubrimiento ponderado que tenga en cuenta los criterios de priorización.

Las restricciones del entorno se reflejan en:

Presupuestos disponibles

Puntos específicos con costos asociados específicos, que se asume están relacionados con puntos genéricos del Plan Estratégico de Referencia.

La medida de cubrimiento ponderado debe ser el resultado de la común unión de las percepciones

de los expertos con relación a los diferentes criterios que se deben tener en cuenta en la

implementación del plan de referencia. Se debe notar que la priorización no altera el Plan Estratégico de Referencia, sino que define su ejecución priorizada de acuerdo con los criterios del

ente ejecutor, de esta forma se esta garantizando la coordinación de las decisiones estratégicas (Plan Estratégico de Referencia) y las decisiones tácticas (Plan de Corto/Mediano Plazo).

De esta forma la estrategia se convierte en una suma de decisiones tácticas que en su conjunto

garantizan que se cumple las metas de largo plazo, por medio de decisiones sincronizadas de

corto/mediano plazo, esto es

Estrategia = Tácticas

La siguiente gráfica resume el procedimiento propuesto para la localización “óptima” de

infraestructura social.


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OPCHAIN-RPO


IDT 02/96

FASE IIFASE II

PLAN PLAN

ESTRATEGICOESTRATEGICO

•• SoluciSolucióón Mn Míínimo Costo Inversinimo Costo Inversióónn

•• SoluciSolucióón Mn Míínimo Costo de Accesonimo Costo de Acceso

•• Frontera EficienteFrontera Eficiente

•• Costo normatividad/estCosto normatividad/estáándaresndares

PLAN ESTRATPLAN ESTRATÉÉGICOGICO

DE REFERENCIADE REFERENCIA

PROCESO DE LOCALIZACIPROCESO DE LOCALIZACIÓÓN N ÓÓPTIMA DE INFRAESTRUCTURA SOCIALPTIMA DE INFRAESTRUCTURA SOCIAL

FASE IIIFASE III

PLAN TPLAN TÁÁCTICOCTICO

CORTO/MEDIANO PLAZOCORTO/MEDIANO PLAZO

•• Presupuesto inversiPresupuesto inversióónn

•• Puntos especPuntos especííficos equipamientoficos equipamiento

•• Medida Medida priorizacipriorizacióónn

FASE IFASE I

CONOCIMIENTOCONOCIMIENTO

CADENA ABASTECIMIENTOCADENA ABASTECIMIENTO

•• TerritorioTerritorio

•• MercadoMercado

•• Demanda Demanda -- OfertaOferta

•• Criterios de Criterios de PriorizaciPriorizacióónn

CONOCIMIENTOCONOCIMIENTO

PARAMETRIZADOPARAMETRIZADO

INFORMACIINFORMACIÓÓNN

BBÁÁSICASICA

PLAN TPLAN TÁÁCTICO DECTICO DE

CORTO/MEDIANO PLAZOCORTO/MEDIANO PLAZO

2.2 UBICACIÓN ESPACIAL

Para propósito de modelaje es necesario ubicar en el espacio geográfico todos los elementos que

hacen parte del problema. En general se consideran dos tipos de elementos: los asociados a la demanda y los asociados a la oferta.

La demanda se asocia con la población, la cual normalmente esta esparcida en el espacio de acuerdo con los lugares donde habita, trabaja o simplemente se encuentra. Para propósitos de

su ubicación espacial la demanda se asocia a un espacio (área) en el cual se encuentra la población demandante. Dicho espacio se debe asociar a una posición puntual en la geografía la

cual normalmente coincide con el centroide, o centro de gravedad, de dicho espacio. El centroide

puede ser calculado teniendo en cuenta la distribución espacial de la población en el área (lo deseable) o simplemente considerando la forma del espacio.

La oferta se asocia con espacios pequeños, no comparables en tamaño con los espacios en donde

se encuentra esparcida la demanda. Los puntos de oferta se asocian a un punto en el espacio de

forma tal que el problema se reduce a establecer un árbol de conectividad entre los puntos de oferta de servicios y los centroides de las zonas de demanda.

Las ciudades están divididas básicamente de la siguiente forma:

Área Urbana Zona

Barrio

Área Rural: Vereda

La siguiente gráfica resume los conceptos planteados.


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OPCHAIN-RPO


i1i1j1j1

j2j2

j3j3

j4j4 j5j5j6j6

j7j7

j10j10

j9j9

j8j8

i2i2

i4i4

i5i5

i3i3 i6i6

i7i7

Nodos de Servicio Nodos de demanda (Centroide)

Modelaje de la Ubicación Espacial de la Oferta y Demanda de Servicios

2.3 TIEMPO/COSTO DE ACCESO

Una medida de fundamental importancia en la ubicación de infraestructura social es el costo

social de acceso desde las zonas de demanda a los puntos de oferta del servicio. La medida no

es única y puede estar asociada a diferentes variables relacionadas con la distancia, el tiempo de viaje y/o el costo de viaje, necesarios para acceder al punto de oferta. La racionalidad de dicha

importancia se sustenta en el criterio que la población escoge, en igualdad de condiciones de calidad del servicio, el servicio cuyo “costo social de acceso” es menor, el cual se considera es

proporcional a las variables anteriormente mencionadas.

El cálculo de estas variables es determinante de las soluciones que propongan los modelos al

problema de localización de infraestructura, por ello su importancia. En principio se asumen dos formas de acceso de la población a los puntos de oferta de servicios sociales: i) terrestre:

caminando a través de las vías peatonales; y ii) transporte público: caminando, hacia y desde, las estaciones de acceso a la red de transporte público y a través de la red.

A pesar de lo sencillo del concepto distancia, su cálculo generalizado para los diferentes puntos del espacio de una ciudad o de una región rural no es sencillo, principalmente cuando se desea

conocer la distancia que recorre un peatón o un vehículo que utilizan los senderos y vías vehiculares que ofrece la infraestructura pública.

La distancia entre dos puntos se calcula con base en la formula de distancia la cual asocia a una norma y se expresa como:

di,j = ( d=1,n xid – xj

d p) 1/p

donde n representa el número de dimensiones del espacio en que se ubica los puntos, d el índice

de la dimensión, p la métrica de la medida y di,j la distancia entre el punto xi con coordenadas xi

d y el punto xj con coordenadas xjd.


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OPCHAIN-RPO


Las métricas más utilizadas son la 1 y la 2. La norma igual 1 implica, para el caso de dos dimensiones, calcular la distancia entre dos puntos con base en la suma de las longitudes de los

catetos (a,b) de un triángulo rectángulo que une los dos puntos y cuyos catetos son paralelos al eje referencia del espacio. Esta medida, de común aplicación para el desplazamiento entre dos

puntos en una ciudad, con estructura vial cuadriculada, tiene el inconveniente que es función de la orientación de los ejes de referencia del espacio; si los ejes cambian, cambia la medida.

ORIENTACIÓN - DISTANCIA NORMA 1

La norma igual a 2 corresponde a la distancia euclidiana entre dos puntos, distancia mínima, y es

la apropiada para calcular distancia entre puntos que en un espacio que no tiene límites que impidan el movimiento en línea recta. Corresponde a la hipotenusa del triángulo rectángulo que

une los dos puntos (c).

El caso de tiempos de viaje utilizando la red de transporte público es mucho más complejo ya

que implica resolver el problema de cual será la ruta que tomará quien desea desplazarse entre dos puntos en la ciudad, la que en muchos casos tiene más de una alternativa y corresponde a

un problema matemático que se conoce como de “Ruta Mínima” (Minimun Path).

Existe un procedimiento heurístico basado en la composición de tres tiempos de viaje: desde el

sitio de origen a la red de transporte, entre estaciones de la red de transporte y desde la estación de la red de transporte al sitio de destino. La selección de la red y de las estaciones de entrada

y de salida se realizará con base en la siguiente heurística: se selecciona la red de transporte con base en el criterio de mínimo tiempo a viajar por parte del usuario que se calcula como la suma

del tiempo caminando la desde el punto de origen hasta la estación más cercana de la red (estación de entrada) más el tiempo de la estación más cercana de la red (estación de salida) al

punto de destino más el tiempo viajando en la red de transporte público. Para todo ello se asume

una velocidad de desplazamiento en cada red.

Con base en la anterior información, se construyen dos matrices de tiempo de viaje, una vía peatonal y otra vía red de transporte público. El proceso de localización de cada tipo de

equipamiento se selecciona de manera exógena el tipo de transporte al que accederá los

demandantes para tener acceso a los puntos de oferta de servicios.

xi

a

b

c

xj

xi

a

b

c

xj


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OPCHAIN-RPO


PEATONAL

RED 1

PEATONAL

RED 2

RED 4

RED 3

RED 5

RED 6

DESTINOORIGEN

RED DE TRANSPORTE PÚBLICO

2.4 PROYECTOS DE INVERSIÓN

Dado el crecimiento acelerado de la población en los países en vía de desarrollo, la inversión en

actual y en nueva infraestructura es fundamental para fortalecer el conjunto de equipamientos

que se ofrecen a una comunidad. Los proyectos de expansión de infraestructura brindan la posibilidad de aumentar capacidad en infraestructura ya instalada (por medio de ampliaciones o

de modernizaciones de la infraestructura actual) o de crear nueva capacidad por medio de nuevas instalaciones. La ubicación “óptima” de la infraestructura y la asignación de recursos estará

relacionada con decisiones orientadas a minimizar costos y a maximizar beneficios, con el objetivo

global de maximizar la utilidad social por cada peso invertido.

En el SSD/LOCSOC el modelaje de proyectos de inversión considerará los siguientes tipos, descritos en el numeral 1:

Instalación de capacidad adicional

Desinstalación de infraestructura social

Modernización de infraestructura social

En cualquiera de los anteriores casos inciden en dos tipos de costos de inversión: fijos y variables. Los costos fijos, CIF, están asociados a la decisión de realizar la inversión mínima requerida para

llevar a cabo un proyecto, es decir desarrollar en un punto específico la oferta de servicios

sociales; los costos variables, CIV, se causan como consecuencia de instalar una unidad de capacidad q para prestación de servicio(s) asociado(s) a dicho proyecto. La decisión de realizar

o no el proyecto se realiza por medio de la variable binaria y, que toma valor de uno (1) si se lleva a cabo el desarrollo del proyecto y de cero (0) en caso contrario. El costo total del proyecto,

CI, será igual a

CI = y * CIF + q * CIV

La capacidad a instalar estará acotada por la máxima capacidad, CQ, que se puede desarrollar

en la localidad asociada al proyecto. Para proyectos con capacidad fija, el modelaje se puede


20

OPCHAIN-RPO


realizar asociando un costo de inversión variable igual a cero (0). Para la representación matemática apropiada se deben incluir las siguientes restricciones

0 q CQ * y

y{0,1}

La siguiente figura presenta el comportamiento de los costos de inversión: a medida que aumenta

la capacidad de prestar servicio los costos se incrementan a partir de un valor fijo mínimo de inversión.

2.5 COSTOS DE OPERACIÓN

La operación de infraestructura social, construida o por construir, implica costos asociados fijos y variables.

Los costos variables COV se causan cuando el servicio se está prestando, ya que tienen una

relación directa con el funcionamiento del establecimiento; el crecimiento de los costos variables

es proporcional al nivel de actividad, x, de la instalación o equipamiento. Los costos fijos de operación, COF, se causan independientemente de la actividad y permanecen constantes como

lo presenta la figura a lo largo de la operación.

CIF

CIV(q)

CapacidadInstalada

(q)

Inversión($)

MáximaCapacidad

MODELAJE COSTOSINVERSIÓN


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OPCHAIN-RPO


COF

COV(x)

Nivel deActividad

(x)

CostoOperación

($)

CapacidadInstalada

(q)

MODELAJE COSTOSOPERACIÓN

El costo total de operación de la infraestructura, CO, será igual a

CO = y * COF + x * COV

El nivel de actividad del servicio prestado está acotado por la capacidad instalada, actual o futura, Para la representación matemática apropiada se deben incluir la siguiente restricción

0 x q

Los proyectos de modernización pueden conllevar cambios en los costos de operación de la

infraestructura.

2.6 PRESUPUESTO

Los proyectos de localización encuentran enmarcados dentro de la ejecución presupuestal del

plan de desarrollo, el cual convencionalmente se encuentra organizado por partidas. Para el presente proyecto se considerarán dos tipos de restricciones con respecto al manejo

presupuestal: presupuesto de inversión y presupuesto de operación. Las restricciones a considerar limitarán los gastos para respetar el presupuesto estableido en el plan de desarrollo.

2.7 INDICADORES DE POLÍTICA SECTORIAL

TEORÍA GENERAL DE INDICADORES

Con el fin de considerar múltiples criterios en la elección de localización de equipamientos, debe elegirse la forma de integrarlos en una única medida de idoneidad o indicador multicriterio que

se denominará “indicador de política sectorial”.

La idoneidad de la localización de un equipamiento i que atenderá a la demanda del sector j debe

evaluarse desde tres puntos de vista: i) la importancia de la localización en i, ii) la importancia de atender la demanda j y iii) la idoneidad de atender la demanda j específicamente desde i.

Cada uno de los puntos de vista considera para el análisis diferentes criterios. Por ejemplo, desde el punto de vista de localización, un criterio importante será el costo fijo, desde el punto de vista

de la demanda un criterio importante es el nivel de desempleo de los habitantes, y desde el tercer

punto de vista un criterio es la distancia espacial entre la localización i y la demanda j.


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OPCHAIN-RPO


Criterio 1 (i) ... Criterio m(i)

Localización i

Criterio 1(j) ... Criterio m(j)

Demanda j

Criterio 1(ij) ... Criterio m(ij)

Localización i atendiendo demanda j

Indicador de Calidad

Para cada posible localización, para cada posible demanda y para cada posible atención de la

demanda j desde i, se desarrollará un indicador Ii, Ij, Iij, respectivamente, que, dependiendo del modelo y servicio s en consideración, se integrarán en un único indicador de política.

Una de las formas más sencillas de desarrollar indicadores que consideren múltiples criterios, es

la agregación tipo sumatoria. Este procedimiento se conoce con el nombre de Método de los

Promedios Ponderados y es probablemente la metodología más sencilla y más ampliamente conocida entre los métodos de análisis multicriterio. Se desarrollará un indicador multicriterio I

siguiendo la metodología que se detalla a continuación.

El primer paso será definir, para cada servicio, o localización o demanda, los m criterios más

importantes para valorar su importancia o prioridad. La lista de criterios debe ser definida por los planificadores. Estos criterios deben tener las siguientes características:

Operacionales: es decir pueden ser valorados cuantitativamente Descomposición: los criterios pueden ser valorados independientemente unos de otros

No redundantes: no duplican información

El siguiente paso es crear una matriz en la que se valore cada uno de las posibles alternativas

(equipamiento, demanda, etc) respecto a cada uno de los criterios que serán considerados. A esta matriz la denominaremos matriz de valoraciones.

Alternativas\criterios Z1 Z2 ... Zm

A1 U11 U12 ... U1m

A2 U21 U22 ... U2m

... ... ... ... ...

An Un1 Un2 ... Unm

Debido a que los diferentes criterios pueden estar valorados en escalas y unidades diferentes

(habitantes, índices de violencia, estrato predominante, etc.) un siguiente paso es transformar

esa matriz de valoraciones en una matriz normalizada que homogenice las unidades de evaluación de los criterios a una unidad común, de 0 a 100 por ejemplo. Esta normalización debe hacerse

para cada posible alternativa respecto a cada criterio j, de la siguiente manera:

Si el indicador usado para el criterio j establece que entre mayor valor, más importante o

prioritaria es la alternativa, por ejemplo, mayor número de delitos por habitante, el valor normalizado se estima de la siguiente manera:

100minmax

min

UU

UUV

ij

ij

en donde Vij será el valor normalizado de la alternativa i respecto al criterio j, Uij el es valor de la alternativa i respecto al criterio j usando el indicador original, Umax y Umin son el máximo y el

mínimo valor posible del indicador original del criterio j, respectivamente.

Por el contrario, si el indicador usado para el criterio j establece que entre menor valor, más

interés e importancia tiene la alternativa i, por ejemplo estrato predominante en el barrio, se estima de la siguiente manera:


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OPCHAIN-RPO


100minmax

max

UU

UUV

ij

ij

donde todos los términos se definen igual que para la anterior formulación.

Así, según el nuevo indicador normalizado, entre mayor valor Vij, más importancia o prioridad tiene la alternativa i respecto al criterio j. Una vez se realiza esta normalización se tendrá una

matriz normalizada de valoraciones de todos las posibles alternativas i respecto a todos los

criterios j considerados.

Se deben asignar luego, de acuerdo con las preferencias del planificador(es), pesos de

importancia relativa a los criterios (cuya asignación se explicará más adelante) y el indicador multicriterio se definirá de la siguiente manera:

ijj

m

1j=

i V w =I

en donde Ii es el indicador multicriterio de calidad de la posible alternativa i, m es el número de

criterios considerados, wj es el peso de importancia asignado por el planificador (es) al criterio j y Vij es el valor normalizado del posible proyecto i respecto al criterio j. Los valores asignados a

los pesos wj deben cumplir la condición de que su suma sea igual a uno:

11

m

j

jw

A continuación se presenta un ejemplo de la aplicación de los conceptos descritos previamente.

Supóngase que se desea asignar un criterio multicriterio a la importancia que tiene atender la demanda j, considerando 3 criterios: nivel de desempleo, estrato socioeconómico y población, y

se tiene la siguiente matriz de valoraciones.

C1 C2 C3

Indicador Nivel de

desempleo Estrato Población

objetivo Maximizar Minimizar Maximizar

Peso 0.59 0.28 0.13

U max 100 6 4000

U min 0 1 2000

Alternativas

Barrio 1 12 6 4000

Barrio 2 34 4 3500

Barrio 3 45 1 2000

La matriz normalizada de las alternativas de demanda será:

Alternativas C1 C2 C3

Barrio 1 12 0 100

Barrio 2 34 40 75

Barrio 3 45 100 0

Y el valor del indicador multicriterio para cada barrio se obtendrá de la suma ponderada de los

valores normalizados:


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OPCHAIN-RPO


Alternativas I

Barrio 1 19.99

Barrio 2 0.93

Barrio 3 54.43

DETERMINACIÓN DE LOS PESOS DE IMPORTANCIA RELATIVA

Los pesos de importancia relativa wj indican la importancia que el criterio j tiene para la decisión,

en comparación con el grupo de criterios considerado. En general, si wk es el peso asignado por el decisor al criterio k y wm el correspondiente al criterio m, podría decirse que el criterio k es

wk/wm veces más importante que el criterio m .

El proceso de asignación de valores a los pesos puede hacerse de diferentes maneras, dos de las

cuales se describen a continuación:

Método Directo:

Cada posible decisor define en una escala de 0 a 10 la calificación cj que le da al criterio j. Se busca luego el promedio de todas las opiniones respecto a cada criterio. Con el fin de

cumplir la condición de que la suma de los pesos sume la unidad, los pesos se obtienen de la siguiente manera:

m

j

j

j

j

c

cw

1

Método AHP (Analytic Hierarchy Process, Saaty, 1977, 1980):

Este método busca un conjunto de pesos de importancia, extrayendo del decisor(es) información sobre sus preferencias mediante comparaciones por pares de criterios. El

método consiste en que cada decisor desarrolle una matriz cuadrada de orden m (número de criterios) donde todos los términos de la matriz representan la importancia del criterio de la

fila respecto al criterio de la columna. Los valores se obtienen a partir de la siguiente tabla:

Nivel de Importancia del criterio de la fila respecto al de la columna

Importancia Relativa

Igualmente importante 1

Apenas más importante 3

Bastante más importante 5

Mucho más importante 7

Absolutamente importante 9

Juicios de importancias intermedios 2,4,6,8

Obviamente, si por ejemplo, un criterio es 3 veces más importante que otro, este último será

1/3 veces más importante que el primero, por lo que la matriz tiene la siguiente forma:

C1 C2 ... Cm

C1 1 a12 ... a1m

C2 1/a12 1 ... a2m

... ... ... … ...

Cm 1/a1m 1/a2m … 1

Por lo anterior, no es necesario valorar toda la matriz por parte del decisor, porque a partir

de unas cuantas valoraciones pueden calcularse otras.

A partir de esta matriz puede obtenerse el conjunto de pesos de importancia de los criterios,

determinando el vector principal de la matriz de pesos relativos de la siguiente manera:


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OPCHAIN-RPO


Normalizar cada columna: los términos de cada columna se dividen por la suma de todos los términos de esa columna.

Vector principal: se halla un vector donde cada término es el promedio geométrico (o aritmético) de los términos de cada fila. Este vector determina los pesos wj de los

criterios.

A continuación se presenta un ejemplo de la aplicación de los conceptos descritos previamente.

Supóngase que se tienen los 3 criterios del ejemplo anterior par definir la importancia de atender

la demanda j, C1, C2 y C3 y que la siguiente tabla se presenta las valoraciones de importancia por pares expresadas por el decisor.

C1 C2 C3

C1 Igualmente importante Entre igualmente importante y

apenas más importante Mucho más importante

C2 Igualmente importante

C3 Igualmente importante

Por lo que la matriz numérica será:

C1 C2 C3

C1 1 2 7

C2 1/2 1 9

C3 1/7 1/9 1

En la diagonal siempre va a haber un número 1 ya que un criterio siempre es igualmente

importante que el mismo. Normalizando por columnas y obteniendo luego el promedio aritmético por filas, se tiene:

C1 C2 C3

C1 1/(1+½+1/7) 2/(2+1+1/9) 7/(7+9+1)

C2 ½/(1+½+1/7) 1/(2+1+1/9) 9/(7+9+1)

C3 1/7/(1+½+1/7) 1/9/(2+1+1/9) 1/(7+9+1)

C1 C2 C3 Pesos

C1 0.59 0.57 0.63 0.59

C2 0.29 0.29 0.25 0.28

C3 0.12 0.14 0.13 0.13

Como cada decisor define un conjunto diferente de pesos wj, el peso definitivo de cada criterio será el promedio (aritmético o geométrico) de los pesos asignados por los diferentes decisores.

GRADO DE INCONSISTENCIA DE LA MATRIZ DE COMPARACIÓN POR PARES

La congruencia o consistencia de los juicios realizados por el decisor se relaciona con la transitividad de la preferencia en la matriz de comparación. Por ejemplo, en caso en que para el

decisor el criterio A es el doble de importante que B y este es el doble de importante que el C,

se requiere entonces una consistencia cardinal perfecta de que el criterio A se juzgue 4 veces más importante que C. En realidad ningún decisor es perfectamente consistente a la hora de

hacer valoraciones, por lo que Saaty inventó la Razón de Consistencia CR, un parámetro que mide la magnitud de la diferencia entre la consistencia de los juicios ingresados en una matriz

con una consistencia perfecta.


26

OPCHAIN-RPO


CR es función de un “autovalor máximo” y el tamaño de la matriz (Índice de Consistencia IC) que se compara con valoraciones similares si las comparaciones pareadas hubieran sido

simplemente aleatorias (índice aleatorio IA), de la forma:

IA

ICCR

Si CR 0.10, se considera que hay una inconsistencia aceptable, de lo contrario debe reevaluarse

la matriz de comparaciones en cuestión.

Para el cálculo completo de CR se realizan los siguientes pasos: 1. Multiplicar cada matriz de comparaciones [A] por el vector principal de pesos hallado [B]

para obtener un nuevo vector [C] 2. Dividir cada elemento de [C] por su correspondiente elemento en [B] Lo que dael vector

[D] 3. Calcular max , el Promedio de los elementos de [D] (autovalor máximo).

4. Cálcular IC, como:

1

max

m

mIC

5. Cálcular IA. Saaty ha aproximado índices aleatorios IA para diversos valores de m con

base en números grandes de ejecuciones de simulación, así:

M 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ...

IA 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 ...

6. Calcular

IA

ICCR

si CR 0.10, se considera que hay una inconsistencia aceptable, de lo contrario debe

reevaluarse la matriz de comparaciones en cuestión.

INDICADOR DE CALIDAD PARA CADA SERVICIO s

El indicador de calidad usado en cada uno de los modelos de localización de equipamientos para

el servicio s, dependerá del caso especifico. En general puede definirse como:

Is = Ii + Ij + Iij

Es posible también ponderar cada uno de los términos de la sumatoria por factores obtenidos

siguiendo la misma metodología detallada anteriormente, para la valoración de los pesos de

importancia relativa.

2.8 INDICADORES, RECURSOS E INVERSIÓN

Con el ánimo de determinar la relación existente entre inversión y calidad de los servicios, para introducirla en los modelos de optimización, es necesario realizar un análisis de eficiencia de los

equipamientos. En general se considera que un equipamiento consume un conjunto de recursos

(inputs) y produce un conjunto de servicios o productos (outputs). Uno de los outputs está relacionado con la calidad del servicio prestado, que convencionalmente debe medirse por medio


27

OPCHAIN-RPO


de un indicador de calidad que mide los resultados y que por lo tanto se convierte en uno de los outputs del sistema productivo asociado a la infraestructura social.

A continuación se analiza la problemática relacionada con la medición y modelaje de los sistema

productivos, la cual ha sido tomada básicamente del documento “EFICIENCIA: DEFINICIÓN

Y MEDICIÓN” (Velásquez y Saldaña 2003).

En el ámbito de la Economía, la eficiencia hace referencia a un juicio acerca de la relación entre los medios empleados y los fines obtenidos (Bosch, Pedraja y Suárez, 1998). Una técnica, un

procedimiento, una institución, un equipamiento, una persona o un sistema de producción será eficiente si, dada una determinada disponibilidad de inputs, es capaz de producir la máxima

cantidad de output posible o, alternativamente, si para alcanzar determinado nivel de output

utiliza la menor cantidad de inputs. La unidad organizativa, en adelante DMUs (Decision Making Unit), para las cual se desea medir su eficiencia puede ser de variados tipos: unidades

productivas dentro de una organización, firmas o empresas dentro de un sector, personas dentro de una organización, infraestructura social dentro de un sistema urbano ....

La primera aproximación cuantitativa al concepto de eficiencia se debe a Farrell (1957), quien propone un esquema conceptual de eficiencia que distingue entre eficiencia técnica y eficiencia

asignativa como componentes de la eficiencia global. Dado un proceso de producción que utiliza un número determinado de inputs para producir un único output, se habla de eficiencia técnica

o productiva, cuando a partir de una determinada tecnología de producción fija se consigue

alcanzar el máximo nivel de output posible. Por otro lado, la eficiencia asignativa se define para aquella situación en que, conocidos los precios relativos de los diferentes inputs utilizados

en el proceso productivo y partiendo del supuesto de que la tecnología de producción puede cambiar, se emplea la mejor combinación de inputs que permite alcanzar un determinado nivel

de output con el menor costo. En definitiva, la eficiencia global viene referida al producto de la eficiencia técnica y de la asignativa.

A partir del trabajo seminal de Farrell, otros autores han propuesto conceptos alternativos. Forsund y Hjalmarsson (1974) y Forsund et al. (1980) descomponen la eficiencia en técnica,

asignativa y de escala. La eficiencia de escala es relevante cuando la tecnología de producción presenta rendimientos de escala variables. A la medida de la eficiencia técnica a la cual se le han

descontado las ineficiencias de escala se la denomina eficiencia técnica pura (Forsund et al.,

1980).

En cuanto a su medición, cabe señalar que la eficiencia es un concepto relativo (Forsund y Hjalmarsson, 1974), de forma que el resultado de una unidad económica debe ser comparado

con un estándar. En este sentido, la medición de la eficiencia requiere de dos etapas. En primer lugar la determinación de una función de referencia estándar que indique, dada una tecnología

de producción fija, el máximo nivel de output alcanzable a partir de diferentes combinaciones de

inputs. La función de referencia o “función frontera” puede ser tanto una función de producción como una función de costos, o incluso de beneficios. La segunda etapa consiste en comparar los

resultados obtenidos por cada unidad de producción con la frontera estándar, de forma que las desviaciones existentes quedarán caracterizadas como comportamientos ineficientes.

Para la estimación de las funciones frontera se han propuesto dos tipos básicos de modelos: paramétricos y no paramétricos. La diferencia entre ambos es que los primeros especifican una

relación funcional entre los inputs y los outputs, en tanto que los segundos no imponen ninguna relación.

La ventaja de los paramétricos es que, si la frontera está correctamente definida, existen mayores garantías de que lo que se está identificando como ineficiencia realmente lo sea. Como

inconveniente presentan la necesidad de especificar una determinada tecnología de producción


28

OPCHAIN-RPO


que, a priori, puede ser desconocida. Adicionalmente, no permite analizar de forma sencilla procesos de producción con más de un output. El más conocido es el denominado Stochastic

Frontier Analysis (SFA). Por su parte, la principal ventaja de los modelos no paramétricos es que no requieren de la especificación de una tecnología de producción, ya que la frontera eficiente

es construida a partir de las observaciones existentes en la realidad. El más conocido de los métodos no-parámetricos es el denominado Data Envelopment Analysis (DEA).

En el presente estudio se utilizará metodología SFA, la cual se explica a continuación.

Los modelos paramétricos de medición de la eficiencia consideran la frontera como una función paramétrica basada en las características tecnológicas del proceso productivo. Se trata de estimar

la función de producción y sus parámetros a partir de las observaciones existentes en la realidad.

Normalmente la forma funcional se basa en funciones de producción tipo Cobb-Douglas, translog, CES, etc.

Tanto los modelos paramétricos como los no-paramétricos, pueden ser determinísticos o

estocásticos. Los determinísticos atribuyen a la ineficiencia cualquier desviación de la frontera

eficiente, en tanto que los estocásticos tratan de distinguir en la desviación de la frontera, la parte que se debe a la ineficiencia propiamente dicha de aquélla que obedece a los efectos de

perturbaciones aleatorias. La ventaja de los modelos determinísticos es que todas las empresas se sitúan por debajo o sobre la frontera de producción, lo que permite asimilar las medidas de

ineficiencia a las propuestas por Farrell (1957). Su principal inconveniente viene dado porque las perturbaciones aleatorias pueden afectar a la medida de ineficiencia obtenida. Por su parte, los

modelos estocásticos presentan como ventaja que, si la forma funcional está correctamente

especificada, existen mayores garantías de que lo que identificamos como ineficiencia realmente lo sea, y no se deba a desviaciones producidas por causas aleatorias, es decir, permite aislar la

(in)eficiencia de la influencia de perturbaciones aleatorias.

Los métodos paramétricos, o enfoque econométrico, requieren de la selección de una relación

matemática funcional preestablecida entre inputs y outputs. Por lo tanto la descripción que a continuación se realiza toma como referencia una forma preestablecida para realizar el análisis.

Se debe tener claro que la relación representa una de las muchas que se pueden establecer y por lo tanto los conceptos que se presentan son aplicables a cualquier relación matemática.

Tal y como se ha señalado anteriormente, los modelos estocásticos consideran la existencia de

determinados factores aleatorios fuera de control de las DMUs (perturbaciones aleatorias, errores

de medida, etc.), que tienen un efecto sobre los resultados obtenidos por cada DMU. Así, el objetivo consiste en dividir la desviación de la frontera eficiente en dos componentes: un primer

componente que capta la ineficiencia relativa de las observaciones respecto de la frontera eficiente, y un segundo componente que refleja las desviaciones de la frontera producidas por

los efectos externos aleatorios fuera de control de cada DMU o por los errores de medida en las

observaciones.

Para ello, se toma como punto de partida la siguiente aproximación propuesta por Aigner et al. (1977) y Meeusen y Van den Broeck (1977)

yi = f (xi , ) + i = f(xi , ) + i - i

donde xi representa el vector de inputs, yi el output de la DMU i, el vector de parámetros y

f(xi,) la frontera eficiente para la trasformación de inputs en outputs. i representa las

desviaciones de la frontera que están compuestas por i, término de desviación positivo (i 0)

que captura la ineficiencia en el procesamiento de los inputs y i error aleatorio

Si se dispone de una muestra de inputs y de outpus de varias DMUs, es posible determinar una

frontera eficiente por medio de un enfoque de regresión basadso en Mínimos Cuadrados


29

OPCHAIN-RPO


Ordinarios (Ordinary Least Squares, OLS) lo que implica obtener la función de producción promedio que mejor ajusta todos los datos observados resolviendo el siguiente problema

{ Min z = i i2 i = yi - f (xi , ) }

Con base en los resultados obtenidos es posible determinar los errores de predicción definidos

como

i = yi - f (xi , )

donde representa los parámetros estimados y i los errores de predicción para la muestra i.

Para describir gráficamente el anterior caso consideremos un sistema productivo donde y

representa la producción y existe un solo input, xi, que representa el costo y que la forma funcional asumida para modelo es lineal, esto es

y = 0 + 1 x + i

En la siguiente gráfica la recta OLS representa el función ajustada con base en Mínimos

Cuadrados Ordinarios. A partir de dicha función es posible determinar la DMU más eficiente como la que en términos de costo unitario establece el menor costo para producir una unidad de y, la

cual correspondería al punto A en la gráfica; de manera general la DMU más eficiente (A) se determina como aquella que tenga el máximo error en el sentido de la eficiencia, en este caso el

máximo error negativo. A partir de la anterior información es posible obtener una frontera límite

eficiente que pase por el punto (yA,xA) y tenga la misma forma funcional. Esto implica resolver el siguiente problema

{ Min z = i i2 i = yi - f (xi , ) ; yA = f (xA , ) }

Este método se denomina como Mínimos Cuadrados Corregidos (Corrected Least Squares, COLS)

y produce la recta identificada como COLS.

OLS

SFA

COLS

y

Costox

A

Error Datos

Error Datos

Ineficiencia

B

El mayor inconveniente es que las desviaciones de la frontera eficiente todas son atribuidas a

ineficiencias, pero algunas diferencias pueden deberse a los datos y a errores de la medida. Así,

esta frontera determinítica es muy sensible a observaciones “especiales” que tienen un efecto desproporcionado determinando el valor de los parámetros estimados.

Tal y como se ha señalado anteriormente, los modelos estocásticos consideran la existencia de

determinados factores aleatorios fuera de control de las DMUs (perturbaciones aleatorias, errores


30

OPCHAIN-RPO


de medida, etc.), que tienen un efecto sobre los resultados obtenidos por cada DMU. Así, el objetivo consiste en dividir la desviación de la frontera eficiente en dos componentes: un primer

componente que capta la ineficiencia relativa de las observaciones respecto de la frontera eficiente, y un segundo componente que refleja las desviaciones de la frontera producidas por

los efectos externos aleatorios fuera de control de cada DMU o por los errores de medida en las observaciones. Una metodología para lograr lo anterior es la denominada Analisis de Frontera

Estocástica (Stochastic Frontier Analysis, SFA)

Estadísticamente SFA asume que:

la función de distribución de probabilidad (fdp) de i es normal con media cero y desvío

estándar

la fdp de i puede ser media normal ó semi-normal (Aigner, Lowell y Schmidt, 1977),

exponencial (Meeusen y Van Der Broeck, 1977), normal truncada (Stevenson, 1980) y

Gamma (Greene, 1990) con desvío estándar

i y i son variables aleatorias independientemente distribuidas.

La estimación de los parámetros de la frontera eficiente estocástica puede realizarse por medio del método de máxima verosimilitud (Maximun Likelihood, ML) que produce estimadores

asintóticamente eficientes (Coelli et al., 1998). Para el caso de semi-normalidad el logaritmo de

la función de verosimilitud es

ln(L()) = N [ln (2/)/2 – ln(] + i ln[(i/)] – 1/22i i2

donde y están definidos como

2 = 2 +

2

= /

N representa el número de DMUs (tamaño de la muestra) y () la función de distribución de

probabilidad normal estándar. La maximización de la anterior expresión proporcionará estimadores de máxima verosimilitud para todos los parámetros de la función L().

Para la selección de la forma funcional de la función de producción se propone una del tipo Cobb-

Douglas, una de las más utilizadas, que se formula como

yi = e0( j xji i) ei - i)

que tiene un equivalente lineal igual a

ln(yi) = 0 + j i ln(xji) + i - i

donde j corresponde al índice asociado a los inputs.

Finalmente, el examen de los coeficientes estimados para los inputs permitirá identificar la

naturaleza de los rendimientos de escala existentes. Así, para el caso de dos parámetros, si

1+2=1, ello indica la presencia de rendimientos constantes independientes de la escala; si

1+2<1 predominan los rendimientos decrecientes de escala; mientras que si 1+2>1 cabe

admitir rendimientos crecientes de escala. La siguiente gráfica presenta los efectos descritos.


31

OPCHAIN-RPO


Recursox

Produccióny

> 1

FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN COBB-DOUGLAS

< 1

= 1

En resumen, para introducir los indicadores de calidad sectorial en los modelos de optimización,

con la finalidad de relacionarlos con la inversión realizada, se realizan dos pasos: Relacionar el valor actual de los indicadores (outputs) con el consumo de recursos actual

(inputs) por medio de un modelo estadístico del tipo SFA; e Incluir la ecuación ajustada, incluyendo cotas en el consumo de recursos, en los modelos de

optimización, ya sea como parte de la función objetivo o como parte de las restricciones del problema. Dado el carácter no lineal de la función

El modelo estadístico propuesto tiene una ecuación genérica de la siguiente forma:

Indicador = Función (Consumo Recursos) + Error

Se propone ajustar la siguiente forma funcional

ln(Is) = 0 + j j ln(CRj) +

donde Is representa el indicador sectorial, ln() la función logaritmo natural, j parámetros del

modelo, CRj el consumo de recurso tipo j y el término de error.

Teniendo en cuenta que el consumo de recursos ilimitado no implica un aumento ilimitado en el indicador se debe incluir cotas en el máximo de recursos a utilizar.


32

OPCHAIN-RPO


3. CASO ESTUDIO: INSTITUCIONES EDUCATIVAS

En el siguiente caso de aplicación corresponde al plan estratégico de referencia para infraestructura social de servicios educativos en una ciudad colombiana.

3.1 GENERALIDADES

SERVICIOS EDUCATIVOS

La educación se define como: “un proceso de formación permanente, personal, cultural y social que se fundamenta en una concepción integral de la persona humana, de su dignidad, de sus

derechos y sus deberes”. Artículo primero Ley 115 de 1994.

El estado tiene la responsabilidad de ofrecer servicios educativos de excelente calidad, además

debe ofrecer una infraestructura adecuada para asegurar que toda la población tenga acceso a estos servicios. Por lo tanto debe aprovisionar a la ciudad con instalaciones de forma tal que se

minimicen los costos sociales adquiridos por el usuario y de inversión adquiridos por el estado o

por el inversionista. Dado que estos costos no se pueden minimizar paralelamente, ya que generalmente a menor inversión mayor costo social y viceversa, se deben utilizar herramientas

que garanticen una solución óptima, dadas unas condiciones del mercado, de demanda y de oferta. El proceso de localización de obras de infraestructura social implica definir

simultáneamente: i) la ubicación de las instalaciones y ii) el área de influencia que se espera será atendida por dicha instalación.

El siguiente ejemplo de aplicación describe un caso típico de servicios educativos, que soluciona el problema de localización de infraestructura social, para este caso se supone que todas las

instalaciones ofrecen igual calidad de servicio.

Este caso ha sido construido a partir del estudio de localización de infraestructura social de

Medellín llevado a cabo por DW. Se debe aclarar que los datos han sido modificados y que de este, solo se ha tomado la metodología utilizada y los puntos de georeferenciación para una zona

de la ciudad.

Los servicios educativos se entienden como la educación formal que se imparte en establecimientos educativos aprobados, en una secuencia regular de ciclos lectivos, con sujeción

a pautas curriculares progresivas, o conducentes a grados y a títulos.

Se organizan en cuatro niveles:

Preescolar Educación básica primaria

Educación Básica secundaria

Educación media

DEMANDA

La demanda se servicios educativos se asocia ubicada en centroides de demanda. Para el caso,

los centroides de demanda corresponden a los barrios de la ciudad, para mayor precisión este nivel de detalle podría ser reemplazado por otro de menor tamaño. La demanda esta diferenciada

de acuerdo con los niveles de servicio de la siguiente forma:

Preescolar (6 años) Educación Básica Primaria (7-11 años)

Educación Básica Secundaria (12-15 años)

Educación Media (16-17 años)


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OPCHAIN-RPO


La siguiente gráfica muestra los centroides de demanda de servicios educativos, a cada centroide se le asocia una demanda por nivel de educación:

El cuadro siguiente presenta la demanda asociada a cada nodo:

Población Demandante de Servicios Educativos (habitantes)

Nodos de Demanda

Pre-Escolar Primaria Secundaria Media Total

(6 años) (7-11) (12-15) (16-17)

ND1 210 1355 2237 746 4548 ND2 169 560 531 213 1473 ND3 747 2234 1377 468 4826 ND4 121 1127 712 213 2173 ND5 423 1305 828 249 2805 ND6 366 1297 823 248 2734 ND7 134 1238 784 236 2392 ND8 14 298 161 37 510 ND9 36 152 108 21 317 ND10 103 284 296 59 742 ND11 93 325 211 52 681 ND12 116 327 321 67 831 ND13 203 683 846 203 1935 ND14 179 612 755 177 1723 ND15 70 355 278 77 780 ND16 102 471 373 109 1055 ND17 233 1249 479 230 2191 ND18 170 933 366 168 1637 ND19 297 902 1175 321 2695

835534.16

835534.16

653.84838

653.84838958.0

01

18

6

958.0

01

18

6

11

89

756.2

5

11

89

756.2

5

ND14

ND16

ND13ND15

ND3ND17

ND1

ND2

ND18

ND20

ND11ND19

ND22

ND4

ND21

ND23ND10

ND12

ND5

ND7ND6

ND8 ND9

Scale 1:17857

0 2km


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OPCHAIN-RPO


ND20 113 518 406 121 1158 ND21 218 724 898 215 2055 ND22 198 1070 420 196 1884 ND23 122 560 437 164 1283

Total 4437 18579 14822 4590 42428

OFERTA

Los servicios educativos se imparten en establecimientos educativos, en cada establecimiento

educativo se pueden prestar de uno hasta los cuatro niveles de educación. La infraestructura se asocia a puntos en el espacio, donde se puede expandir con ampliación de instalaciones

existentes o con la construcción de nuevas.

La siguiente grafica muestra la oferta de servicios educativos de las instalaciones existentes que

se pueden expandir y de los nodos potenciales donde se pueden construir nuevas instalaciones:

La siguiente tabla presenta los nodos de oferta de la cuidad:

Oferta de Servicios Educativos

Infraestructura Existente Nodos potenciales

NO1 NO7 NO13 NO19 NO25 NO31

835513.19

835513.19

674.81838

674.81838

922.0

01

18

6

922.0

01

18

6

11

89

756.2

5

11

89

756.2

5

NO1

NO2

NO3

NO4

NO5

NO6

NO7

NO8NO9

NO10

NO11

NO12

NO13

NO14

NO15

NO16

NO17

NO18 NO19NO20 NO21

NO22

NO23

NO24

NO25

NO26

NO27

NO28

NO29

NO30

NO31

NO32

NO33

NO34

NO35

Scale 1:18087

0 2km


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OPCHAIN-RPO


NO2 NO8 NO14 NO20 NO26 NO32 NO3 NO9 NO15 NO21 NO27 NO33 NO4 NO10 NO16 NO22 NO28 NO34 NO5 NO11 NO17 NO23 NO29 NO35 NO6 NO12 NO18 NO24 NO30

La siguiente tabla presenta la capacidad actual de las instalaciones:

Capacidad Inicial de los Nodos de Oferta (Estudiantes)

Nodos de Oferta Pre-Escolar Primaria Secundaria Media Total

NO1 836 836 NO2 63 63 NO3 73 685 476 104 1338 NO4 418 418 NO5 130 130 NO6 70 70 NO7 616 402 131 1149 NO8 393 393 NO9 51 51 NO10 55 55 NO11 765 244 1009 NO12 67 427 494

Total 509 3375 1643 479 6006

Se supone que todas las instalaciones construidas se pueden ampliar.

COSTOS

Se asume que todos los equipamientos educativos tienen las mismas características con respecto

a costos y a calidad de servicio. Para este caso los costos corresponden a los de inversión por expansión. Se estima una función de costos de inversión con componente fija y variable. La

función es:

Para las instalaciones existentes:

Inversión por Expansión = 310 (M$) + 1.87 (M$/cupo) Cupos Adicionales

Para las nuevas instalaciones:

Inversión por nueva instalación = 1900(M$) + 1.87 (M$/cupo) Cupos Nuevos

TIEMPO/COSTO DE ACCESO

El costo social esta relacionado con diferentes variables tales como la distancia, el tiempo de viaje y/o el costo de viaje necesarios para acceder desde las zonas de demanda a los puntos de oferta

del servicio.

Se asume como forma de acceso de la población a los puntos de oferta de servicios sociales; la

red peatonal con velocidad promedio de 3,6 Kmts/hora.

Límites de cubrimiento:

De acuerdo con el nivel de servicio se presentan diferentes límites de cubrimiento. El limite de

cubrimiento indica la distancia/tiempo máxima deseable para acceder al servicio, en el siguiente cuadro se presentan los límites de cubrimiento, para este caso los limites están en función del

nivel educativo por ejemplo en preescolar es deseable que los niños no se desplacen más de 0.9 kilómetros y no demoren más de 30 minutos en llegar a la institución educativa.


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OPCHAIN-RPO


LIMITES CUBRIMIENTO SERVICIOS EDUCATIVOS

Nivel Servicio MÁXIMO TIEMPO (min) MÁXIMA DISTANCIA

Preescolar 15 0.9

Básica Primaria 30 1.8

Básica Secundaria 30 1.8

Media 45 2.7

El objetivo es determinar un plan estratégico para la localización óptima de todos los servicios educativos necesarios para atender la demanda existente. Desde el punto de vista del

inversionista (costo de inversión) y de los usuarios (costo social, tiempo de acceso). Sujeto a las restricciones que representan la forma comos e atiende el mercado de servicios educativos.

3.1.1 MODELO DE LOCALIZACIÓN ÓPTIMA

Para realizar la localización óptima es necesario, a partir de las formulaciones fundamentales, diseñar e implementar modelos de optimización que reflejen todas las peculiaridades que se dan

en la prestación de los servicios educativos. A continuación se presentan los elementos de los modelos especializados para la localización de infraestructura educativa:

3.2.1 MODELAJE

ÍNDICES

Los índices representan las entidades incluidas en el modelo.

ÍNDICES

Índice Entidad Asociada

i Nodos de oferta de infraestructura social. Instituciones Educativas.

j Nodos de demanda de servicios educativos, Barrios.

s Tipo de servicio (equipamiento) “Educación”.

z Zonas

n Clase/Nivel de servicio (dependiente del tipo de servicio)

t Tipo de red de transporte. Peatonal

e Edad simple

CONJUNTOS

Los conjuntos determinan la existencia de variables y de restricciones.

CONJUNTOS

Conjunto Descripción

OFE(s) Nodos de oferta donde existe o es posible ubicar infraestructura social para prestar servicios tipo s

OEX(s) Nodos potenciales donde existe o es posible desarrollar (expandir o crear) infraestructura social para prestar servicios tipo s

OAC(s) Nodos donde existe infraestructura social tipo s

OAE(s) Nodos donde existe infraestructura social tipo s y es posible realizar expansión en la capacidad de prestación de servicios

DEM Nodos donde existe demanda de servicios sociales (barrios o veredas) ZON Zonas del sistema

ZND(z) Nodos de demanda ubicados en la zona z

ZNO(z) Nodos de oferta ubicados en la zona z

SSO Tipos de servicios sociales (equipamientos)

CLA(s) Clases de servicios del tipo s


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OPCHAIN-RPO


CONJUNTOS

Conjunto Descripción

RAC(s,n) Red de acceso a servicio utilizada por los demandantes del nivel n del servicio s

NVO(j,s,n)

Nodos de oferta a los cuales pueden acceder a tomar servicio nivel n tipo s los demandantes ubicados en el nodo j. Se calcula con base en la distancia/tiempo máxima que se permite para acceder al nivel n del tipo de servicios s. Matemáticamente se define como

NVO(j,s,n) = { i TieAi,j,RAC(s,n) MaxTs,n DisAi,j,RAC(s,n) MaxDs,n }

NVD(i,s,n)

Nodos de demanda que pueden ser atendidos para tomar servicio nivel n tipo s en el nodo de oferta i. Se calcula con base en la distancia/tiempo máxima que se permite para acceder al nivel n del tipo de servicios s. Matemáticamente se define como

NVD(i,s,n) = { j TieAi,j,RAC(s,n) MaxTs,n DisAi,j,RAC(s,n) MaxDs,n }

REC(s) Tipo de recurso utilizado para el equipamiento s.

CES Clases estratificación socio-económica

PARÁMETROS

Los parámetros indican los valores de entrada del modelo.

PARÁMETROS

Parámetro Descripción Unidades

DemPj,n Demanda de servicios nivel n tipo s en el nodo j

unidad (según servicio)

Personas, Delitos,

Microempresas

TieAi,j,t Tiempo requerido para acceder al nodo i utilizando la red de transporte tipo t por parte de los habitantes del nodo demandante j

horas

MaxTs,n Máximo tiempo que se permite para acceder al servicio nivel n tipo s

horas

DisAi,j,t Distancia que se debe recorrer acceder al nodo i utilizando la red de transporte tipo t por parte de los habitantes del nodo demandante j

metros

MaxDs,n Máxima distancia que se permite recorrer para acceder al servicio nivel n tipo s

horas

MinSs Mínimo número de instalaciones que se desea expandir para prestar servicios tipo s

instalaciones

CapIi,s,n Capacidad existente en el nodo i para prestar servicios nivel n tipo s


CosDs,n Costo del déficit (población no atendida) para la demanda de servicios nivel n tipo s

$/ unidad

MaxQi,s,n Máxima capacidad de servicio nivel n tipo s que se puede desarrollar en el nodo i


CinFi,s,n Inversión fija para desarrollar infraestructura social nivel n tipo s en el nodo i

$

CinVi,s,n Inversión unitaria variable requerida para desarrollar capacidad de servicio nivel n tipo s en el nodo i

$/ unidad

BLOj Posición georeferenciada del nodo de demanda j. Longitud metros

BLAj Posición georeferenciada del nodo de demanda j. Latitud Metros

BILOi Posición georeferenciada del nodo de oferta i. Longitud metros

BILAi Posición georeferenciada del nodo de oferta i. Latitud metros

VARIABLES


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OPCHAIN-RPO


Las variables representan las decisiones que se obtienen como resultado del proceso de

optimización.

VARIABLES

Variable Descripción Unidades

FDA

i,j,s,n

Fracción que el nodo de oferta i atiende de la demanda del nivel de servicios n del tipo s de los habitantes del nodo j. Cuando se restringe a ser binaria, implica que toda la demanda de un nodo i se atiende en un nodo de oferta j.

Fracción

DEFj,s,n Variable que indica el déficit en la atención de la demanda del nivel de servicios n del tipo s de los habitantes del nodo j. Cuando se restringe a ser binaria, implica que no se atiende toda la demanda de un nodo i.

Fracción

OTS i,s

Variable binaria que determina si en el nodo de oferta i se desarrolla

(expande o construye) infraestructura social para prestar servicios tipo s. Será 1 si se desarrolla el proyecto asociado, 0 en caso contrario.

CSIi,s,n Capacidad adicional instalada como consecuencia de un proyecto de inversión para la prestación del servicio nivel n tipo s en el nodo i.

unidad (según

servicio)

CDS Cubrimiento de la demanda simple, sin ponderación Estudiantes

TIE Tiempo medio desde el nodo de demanda j hasta el nodo de oferta i. Horas

COS Costo total M$

RESTRICCIONES

El modelo LIS: considera las siguientes restricciones:

DefDj,s,n

Asignación de fracciones de la demanda a los nodos de oferta, la demanda no atendida genera déficit

DEFj,s,n + i=1,NVO(j,s,n) FDAi,j,s,n = 1

jDEM sSSO nCLA(s)

MaxQi,s,n

Capacidad instalada menor que la capacidad existente inicialmente más la máxima capacidad que es posible instalar, siempre y cuando se desarrolle capacidad (en el nodo de oferta lo

que ocurre si OTSi,s es igual a 1). Ecuación válida para los nodos en los que se puede ampliar capacidad.

CSIi,s,n MaxQi,s,n OTSi,s + CapIi,s,n

i OEX(s) sSSO nCLA(s)

CasIi,s,n

Demanda atendida en el nodo de oferta i, en que es posible realizar expansión, menor o igual

que la capacidad instalada para el nivel n del tipo de servicio s. Válida para potenciales nodos en los que es posible realizar proyectos de expansión OFE(s).

jNVO(i,s,n) DemSj,s,n FDAi,j,s,n CSIi,s,n

i OEX(s) sSSO nCLA(s)

CapIi,s,n

Demanda atendida en el nodo de oferta existente i menor o igual que la capacidad existente para el nivel n del tipo de servicio s.

jNVO(i,s,n) DemSj,s,n FDAi,j,s,n CapIi,s,n + CSIi,s,n


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OPCHAIN-RPO


iOAC(s) sSSO nCLA(s)

MaxQEi,s

Capacidad instalada menor que la capacidad máxima que es posible instalar, siempre y cuando se desarrolle capacidad (en el nodo de oferta lo que ocurre si OTSi,s es igual a 1).

Ecuación válida para los nodos en los que se puede ampliar capacidad. En los casos donde

no se puede ampliar la capacidad la MaxQi,s,n = 0.

nCLA(s)CSIi,s,n MaxQi,s,n OTSi,s + CapIi,s,n

i OAC(s) sSSO nCLA(s)

Espacios factibles para las variables

0 DEFj,s,n 1

jDEM sSSO nCLA(s)

0 FDAi,j,s,n 1

iOFE jDEM sSSO nCLA(s)

yi,s{0,1}

iOFE sSSO

FUNCIÓN OBJETIVO

Se consideran las siguientes funciones objetivo:

COS

Costo Total. Minimización del costo total.

COS = iOEX(s) sSSO nCLA(s) CinFj,s,n OTSi,s +

iOAC(s) jDEM(s)sSSO nCLA(s) CinFj,s,n OTSi,s -

sSSO nCLA(s) CosDs,n * DEFj,s,n

TIE Tiempo promedio. Minimización del tiempo promedio de acceso.

TIE = iOFE(s) jDEM(s) sSSO nCLA(s) DemTj,s,n TieA,i,j,t FDAi,j,,s,n /

jDEM(s) sSSO nCLA(s) DemTj,s,n

3.3. PROCESO DE OPTIMIZACIÓN

La elaboración del plan estratégico de referencia implica la realización de los siguientes casos de estudio

CASOS LOCALIZACIÓN SERVICIOS EDUCATIVOS

Caso Objetivo Función Objetivo

Restricciones

FASE II – PLAN DE REFERENCIA ESTRATÉGICO

ESTUDIO MÍNIMO COSTO

IDEAL-04

Localización óptima de todas los servicios educativos necesarios en la ciudad para atender la demanda de la población existente en el año 2004

Minimización Costo Inversión

Cubrimiento del 100% de la demanda


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OPCHAIN-RPO


CASOS LOCALIZACIÓN SERVICIOS EDUCATIVOS

Caso Objetivo Función Objetivo

Restricciones

IDEAL-04-

Localización óptima de todos los servicios educativos necesarios en la ciudad para atender la demanda de la población existente en el año 2004. Ajustando la localización para organizar la demanda de acuerdo con el tiempo de acceso.

Minimización Tiempo Acceso


Costo Mínimo IDEAL-04 +

D-IDEAL-04-

Determinación de la demanda ideal para la localización IDEAL-04- Se determina

balance oferta ideal ofrecida versus demanda ideal



Localización óptima IDEAL-04

ESTUDIO EFICIENCIA COSTO vs TIEMPO ACCESO

FE-CO-TI- Determinar la curva de eficiencia costos de inversión versus tiempo de acceso.



(1+Costo Mínimo IDEAL-04

ESTUDIO EFICIENCIA COSTO vs LÍMITE CUBRIMIENTO

FE-CO-LC- Determinar la curva de eficiencia costos de inversión versus cobertura límite.

Minimización Costo Inversión


Ampliación de la cobertura en %.

FASE III – PLAN TÁCTICO DE CORTO/MEDIANO PLAZO

TA-ID-04-$ Priorización de la construcción de servicios educativos de acuerdo con un presupuesto de inversión de $ millones de pesos

Maximización Demanda Ponderada

Localización óptima IDEAL-04-5%

TA-RE-04-$

Priorización de la construcción de servicios educativos de acuerdo con un presupuesto de inversión de $ millones de pesos y de los puntos de oferta especificados por DAP-AM

Maximización Demanda Ponderada

Presupuesto Inversión Localización óptima

IDEAL-04-5% Puntos de oferta DAP-AM

El siguiente diagrama muestra el proceso a seguir para determinar los planes estratégicos y de corto/mediano plazo.

IDT 02/96

PROCESO DE LOCALIZACIPROCESO DE LOCALIZACIÓÓN N ÓÓPTIMA DE SERVICIOS EDUCATIVOSPTIMA DE SERVICIOS EDUCATIVOS

ELABORACIELABORACIÓÓNNPLAN ESTRATEGICO PLAN ESTRATEGICO

DEDE

REFERENCIA REFERENCIA

MMíínimo Costonimo Costo

IDEALIDEAL--0404MMíínimo Costonimo Costo

s.a.:s.a.:

100% Demanda100% Demanda

DD--IDEALIDEAL--0404--MMíínimo Tiemponimo Tiempo

s.a.:s.a.:100% Demanda100% Demanda

Capacidad IlimitadaCapacidad Ilimitada

FEFE--COCO--TITI--MMíínimo Tiemponimo Tiempo


CostoCosto(1+) Costo MCosto Míínimonimo

Cubrimiento IdealCubrimiento Ideal

FEFE--COCO--LCLC--MMíínimo Costonimo Costo

s.a.:s.a.:

100% Demanda100% Demanda(1+) Cubrimiento IdealCubrimiento Ideal

IDEALIDEAL--0404--MMíínimo Tiemponimo Tiempo


CostoCosto(1+) Costo MCosto Míínimonimo

LocalizaciLocalizacióónn

MMíínimo Costonimo Costo

Frontera EficienteFrontera EficienteCosto Costo vsvs TiempoTiempo Demanda Demanda

IdealIdeal

Frontera EficienteFrontera Eficiente

Costo Costo vsvs LLíímite Cubrimientomite Cubrimiento

TATA--0404--%%MMááxima Demanda xima Demanda

PonderadaPonderada

s.a.:s.a.:LocalizaciLocalizacióón Estratn EstratéégicagicaInversiInversióón n PresupuestoPresupuesto

LocalizaciLocalizacióónn

Plan EstratPlan Estratéégicogico

PriorizaciPriorizacióónnLocalizaciLocalizacióónn

Plan TPlan Tááctico ctico

3.4. RESULTADOS

3.4.1. PLAN ESTRATÉGICO DE REFERENCIA


41

OPCHAIN-RPO


Para estructurar un plan estratégico de referencia se analizaron los siguientes casos:

SOLUCIÓN CASOS SERVICIOS EDUCATIVOS

Caso

Costo

Inversión (M$)

Plantas Tiempo Medio Acceso

(minutos)

Demanda Atendida por la expnsión

(estudiantes) GAP (%)

Exp. Nue. Pre Pri Sec Med Medio Pre Pri Sec Med Total

IDEAL-04 86709.1 8 7 7.2 20.2 19.9 23.8 17.8 3928 15204 13179 4111 36422 5.38 IDEAL-04-5% 91044.6 7 11 2.8 14.4 14.0 15.1 11.5 3928 15533 13179 4111 36751 4.51

FE-CO-TI-33% 115323.2 8 23 0.02 14.1 9.7 14.8 9.7 4367 16195 16248 4303 41113 0 FE-CO-TI-66% 126400.5 8 23 0.02 13.1 11.0 14.8 9.7 4367 16442 21925 4303 47037 0 FE-CO-TI-100% 126209.8 8 23 0.02 13.0 11.3 14.6 9.7 4367 19724 18540 4303 46935 0

FE-CO-LC-(+20%) 82989.1 9 3 10.3 21.9 21.5 34.5 22.0 3928 15204 13179 4111 36422 5.06 FE-CO-LC- (-20%) 97869.1 6 18 6.7 15.6 16.3 19.8 14.6 3928 15204 13179 4111 36422 1.95

La columna Exp corresponde a las plantas fisícas expandidas y la columna Nue a las nuevas. La demanda corresponde a la atendida por la expansión de las instalaciones.

3.4.1.1. ESTUDIO: LOCALIZACIÓN DE MÍNIMO COSTO

OBJETIVO:

Localización óptima de todos los servicios educativos necesarios en la ciudad para atender la demanda de la población existente, tomando como referencia las plantas físicas existentes y los

límites de cobertura establecidos para acceder al servicio.

CASOS:

Para realizar el análisis se requieren los siguientes casos:

IDEAL-04 IDEAL-04-5%

El caso IDEAL-04-5% tiene como objetivo ajustar la localización para organizar la demanda de acuerdo con el tiempo de acceso. Para ello se incluye como restricción el costo mínimo obtenido

en el caso IDEAL-04 más una tolerancia de 5% para posibilidades de re-optimización alrededor de la solución de costo mínimo. Los resultados del caso IDEAL-04-5% se consideran como la

solución ideal de costo mínimo.

CASO 1: IDEAL-04. MINIMO COSTO

RESULTADO:

El resultado del modelo de mínimo costo ajustado y cobertura total de la demanda indica que se deben expandir las siguientes sedes educativas:

Nodos que se deben expandir

Actuales Nuevas

NO2 NO15 NO3 NO18 NO4 NO26 NO5 NO30 NO6 NO32 NO8 NO34 NO9 NO35 NO10

CASO 2: IDEAL-04-5%. MINIMO TIEMPO AJUSTADO CON COSTO

RESULTADO: El resultado del modelo de mínimo costo ajustado y cobertura total de la demanda indica que se

deben expandir las siguientes plantas físicas:


42

OPCHAIN-RPO


Nodos que se deben expandir

Actuales Nuevas

NO1 NO15 NO2 NO17 NO3 NO18 NO5 NO25 NO6 NO26 NO7 NO27 NO11 NO28

NO31 NO32 NO34 NO35

La demanda atendida por cada nodo de oferta es la siguiente:

Demanda Atendida por Expansión (habitantes)

Nodos de Oferta Pre-Escolar Primaria Básica Media Total

NO1 1785 1743 636 4164 NO2 2949 1255 733 4937 NO3 1152 1818 692 3662 NO5 1808 2438 624 4870 NO6 2 2977 1349 602 4930 NO7 195 1000 2041 615 3851 NO11 156 1982 1461 209 3809 NO15 980 60 1040 NO17 557 87 644 NO18 366 236 602 NO25 203 270 473 NO26 179 411 590 NO27 70 355 27 452 NO28 102 399 501 NO31 685 22 25 732 NO32 113 277 390 NO34 198 334 532 NO35 122 451 573

Total 3928 15533 13179 4111 36751

El cubrimiento de la demanda es el siguiente:

Fracción de la Demanda que atiende el Nodo de Oferta

Demanda Oferta Pre-Escolar Primaria Básica Media

ND1 NO3 0.1 NO7 0.9 1 1 1

ND2 NO9 0.3 NO10 0.3 NO11 0.4 1 1 1

ND3

NO1 0.5 1 1 NO7 0.1 NO8 0.2 NO11 0.2 NO15 1

ND4 NO2 0.5 NO3 0.5 NO5 1 1 1

ND5 NO5 0.2 1 NO6 0.8 1 NO17 1

ND6 NO2 0.5 1 1 NO12 0.3 NO18 1 0.2

ND7 NO6 1 1 1 NO17 1


43

OPCHAIN-RPO



Demanda Oferta Pre-Escolar Primaria Básica Media

ND8 NO5 1 NO6 1 1 1

ND9 NO5 1 NO6 1 1 1

ND10 NO5 0.8 NO6 0.2 1 1 1

ND11 NO11 1 1 1 1

ND12 NO6 0.4 NO11 1 1 1 NO12 0.6

ND13 NO3 0.6 1 1 NO25 1 0.4

ND14 NO3 1 0.5 1 NO26 1 0.5

ND15 NO3 0.9 1 NO27 1 1 0.1

ND16 NO3 0.2 1 1 NO28 1 0.8

ND17 NO1 0.4 NO3 0.6 1 1 NO15 1

ND18 NO1 1 1 1 NO31 1

ND19 NO2 1 1 NO11 1 NO31 1

ND20

NO4 0.8 NO7 0.2 0.5 NO11 1 NO32 1 0.5

ND21 NO2 0.5 NO5 0.5 1 1 NO31 1

ND22 NO2 1 1 NO5 1 NO34 1

ND23

NO2 1 NO17 0.2 NO32 0.2 NO34 0.8 NO35 1 0.8

El estudio de localización de mínimo costo muestra que la infraestructura ubicada en esta ciudad

no satisface la demanda total, por lo que es necesario expandir las instalaciones existentes y

construir nuevas. La combinación de instalaciones que actualmente tiene la ciudad no es la mejor, como los presentan los casos anteriores, de las 12 instalaciones ya construidas se seleccionan 8

y 7 para realizar expansión.


44

OPCHAIN-RPO


Cobertura Preescolar

Cobertura Primaria

Cobertura Secundaria

Cobertura Media

3.4.1.2. ESTUDIO: EFICIENCIA COSTO vs TIEMPO ACCESO

OBJETIVO:

Determinar la curva pareto de eficiencia costos de inversión versus tiempo de acceso la cual da información de la relación existente entre la calidad del servicio (basado en su tiempo de acceso)

y el costo requerido para dar dicha calidad bajo condiciones de optimalidad en la toma de

decisiones. La información obtenida proporciona soporte para determinar la zona de la curva en la que se desea operar repartiendo los costos entre costo social directo (costo de acceso)

aportado por la sociedad y el costo de inversión asumido por el ejecutivo.

CASOS: Para realizar el análisis se requieren los siguientes casos:

IDEAL-04

IDEAL-04-5%

FE-CO-TI-para variando en 33%, 66% y el 100%

RESULTADO: Los resultados obtenidos se presentan en el siguiente cuadro y gráfica:


835513.19

835513.19

674.81838

674.81838

922.0

01

18

6

922.0

01

18

6

11

89

756.2

5

11

89

756.2

5

NO26

NO28

NO25NO27

NO15NO15

NO7

NO11

NO31

NO32

NO11NO31

NO34

NO2

NO31

NO35NO5

NO12

NO17

NO17NO18

NO5 NO5

Scale 1:18087

0 2km

835513.19

835513.19

674.81838

674.81838

922.0

01

18

6

922.0

01

18

6

11

89

756.2

5

11

89

756.2

5

NO3

NO28

NO3NO27

NO1NO3

NO7

NO11

NO1

NO4

NO11NO2

NO2

NO5

NO2

NO35NO6

NO11

NO6

NO6NO2

NO6 NO6

Scale 1:18087

0 2km

835513.19

835513.19

674.81838

674.81838

922.0

01

18

6

922.0

01

18

6

11

89

756.2

5

11

89

756.2

5

NO3

NO3

NO3NO3

NO1NO3

NO7

NO11

NO1

NO7

NO11NO11

NO2

NO5

NO5

NO34NO6

NO11

NO5

NO6NO2

NO6 NO6

Scale 1:18087

0 2km

835513.19

835513.19

674.81838

674.81838

922.0

01

18

6

922.0

01

18

6

11

89

756.2

5

11

89

756.2

5

NO3

NO3

NO3NO3

NO1NO3

NO7

NO11

NO1

NO11

NO11NO2

NO5

NO5

NO5

NO2NO6

NO11

NO6

NO6NO2

NO6 NO6

Scale 1:18087

0 2km


45

OPCHAIN-RPO


Caso Costo

Inversión

(M$)


(minutos) Demanda Atendida por la expnsión

(estudiantes) GAP (%)

Exp. Nue. Pre Pri Sec Med Medio Pre Pri Sec Med Total

IDEAL-04 86709.1 8 7 7.2 20.2 19.9 23.8 17.8 3928 15204 13179 4111 36422 5.38

IDEAL-04-5% 91044,6 7 11 2.8 14.4 14.0 15.1 11.5 3928 15533 13179 4111 36751 4.51 FE-CO-TI-33% 115323,2 8 23 0.02 14.1 9.7 14.8 9.7 4367 16195 16248 4303 41113 0

FE-CO-TI-66% 126400,5 8 23 0.02 13.1 11.0 14.8 9.7 4367 16442 21925 4303 47037 0 FE-CO-TI-100% 126209,8 8 23 0.02 13.0 11.3 14.6 9.7 4367 19724 18540 4303 46935 0

Los resultados indican que la solución óptima es la expansión de 31 instalaciones, de las cuales

8 son para ampliar y 23 para construir. El aumento en el costo no presenta cambio en el tiempo de acceso ya que el aumento en el costo de inversión no lo afecta.

3.4.1.3. ESTUDIO: EFICIENCIA COSTO vs LÍMITE CUBRIMIENTO

OBJETIVO:

Determinar la curva pareto de eficiencia costos de inversión versus límite de cubrimiento la cual da información de la relación existente entre la calidad del servicio (basado en área de

cubrimiento y máximo tiempo de acceso) y el costo requerido para dar dicha calidad bajo condiciones de optimalidad en la toma de decisiones. La información obtenida proporciona

soporte para determinar la zona de la curva en la que se desea operar repartiendo los costos

entre costo social directo (costo derivado del límite de cubrimiento) aportado por la sociedad y el costo de inversión asumido por el ejecutivo.

La solución de este estudio se presenta en el siguiente cuadro:

Caso Costo

Inversión (M$)


(minutos) GAP (%)

Exp. Nue. Pre Pri Sec Med Medio

IDEAL-04 86709.1 8 7 7.2 20.2 19.9 23.8 17.8 5.38

FE-CO-LC-(+20%) 82989.1 9 3 10.3 21.9 21.5 34.5 22.0 5.06 FE-CO-LC- (-20%) 97869.1 6 18 6.7 15.6 16.3 19.8 14.6 1.95

Curva de Eficiencia Costo vs Tiempo

9

10

11

12

85000 90000 95000 100000 105000 110000 115000 120000 125000

Costo (M$)

Tiempo(min)

Curva de Eficiencia Costo vs Tiempo

9,5

10,5

11,5

86000 91000 96000 101000 106000 111000 116000 121000 126000

Costo (M$)

Tiempo(min)


46

OPCHAIN-RPO


El estudio de eficiencia, costo vs límite cubrimiento indica que es más sensible la reducción del

área de cubrimiento. El aumento en área de cubrimiento ocasiona la reducción en el costo de inversión en: 3720 M$ (4%), mientras que la reducción del área de cubrimiento aumenta el costo

de inversión en: 11160 M$ (13%).

3.4.2. PLAN TÁCTICO

En el plan táctico se determinan las decisiones que se deben tomar en el corto y mediano plazo,

teniendo como referencia el plan estratégico presentado en el numeral anterior. Adicionalmente se considera la priorización de inversiones teniendo en cuenta criterios económicos y políticos de

los decidores.

OBJETIVO:

Determinar el orden de prioridad de intervención según el presupuesto disponible en el corto y

mediano plazo. Tomando como referencia el Plan Estratégico IDEAL-04-5% Mínimo Tiempo

Ajustado con Costo y con una medida de cubrimiento ponderado que prioriza dos criterios socioeconómicos.

El plan estratégico establece la meta del plan táctico (corto plazo). Asumamos que existen dos

posibilidades para establecer el presupuesto disponible en el corto plazo: la primera igual al 33% del costo del plan estratégico de referencia y la segunda igual al 66%. Previo a determinar el

plan de desea analizar que infraestructura construir en cada caso.

Presupuesto (M$)

33% 30044.7 66% 60089.4

Para determinar las obras a realizar se utiliza como medida de priorización una medida de cubrimiento ponderado que es resultado de la común unión de las percepciones de los expertos

con relación a los diferentes criterios que se deben tener en cuenta en la implementación del plan de referencia. Se debe notar que la priorización no altera el Plan Estratégico de Referencia, sino

que define su ejecución priorizada de acuerdo con los criterios del ente ejecutor, de esta forma

se esta garantizando la coordinación de las decisiones estratégicas (Plan Estratégico de Referencia) con las decisiones tácticas (Plan de Corto/Mediano Plazo).

Para el caso se utilizan dos criterios; el estrato socioeconómico y el nivel de vida. En el siguiente

cuadro se presentan los pesos que se le han dado:

Peso de los Criterios

Estrato 0.4

Nivel de vida 0.6

El peso indica la importancia que el criterio tiene para la decisión.

A continuación se presenta el resultado del plan táctico:


Caso

Costo

Inversión (M$)


(minutos) Demanda

Ponderada GAP (%)

Exp. Nue. Pre Pri Sec Med Medio

IDEAL-04-5% 91044.6 7 11 2.8 14.4 14.0 15.1 11.5 4.51

TAC-04-33% 30044.7 3 2 5.8 10.9 16.1 24.6 14.3 46487.3 0.16 TAC- 04-66% 60089.4 3 9 7,5 15,5 18,1 24,4 16,4 54107.4 0.36


47

OPCHAIN-RPO


El plan táctico ha sido desarrollado en tres fases, en la primera el presupuesto corresponde al 33% del costo del plan estratégico de referencia, en la segunda fase al 66% y en la tercera al

costo restante para cumplir con el plan estratégico.

La siguiente tabla presentan la prioridad de los nodos de oferta que se deben expandir en cada fase del plan táctico de corto y mediano plazo, con el propósito de cumplir la meta del plan

estratégico de referencia en el largo plazo de acuerdo a los dos criterios sociales; estrato y nivel

de vida.

PLAN TÁCTICO

FASE 1 FASE 2 FASE 3

Expansión Nuevos Expansión Nuevos Expansión Nuevos

NO1 NO15 NO3 NO17 NO2

NO5 NO35 NO7 NO18

NO6 NO11 NO25

NO26

NO27

NO28

NO31

NO32

NO34

El cubrimiento de la demanda en la fase 1 es la siguiente:


Oferta Oferta Pre-Escolar Primaria Secundaria Media

NO1 ND2 0.9 NO1 ND3 0.2 NO1 ND11 0.1 1 NO1 ND15 1 1 NO1 ND17 1 NO1 ND18 1 NO1 ND20 0.3 1 NO1 ND8 1 NO1 ND9 1 NO1 ND10 1 1 NO1 ND12 1 NO2 ND3 1 NO2 ND5 1 NO2 ND7 1 1 NO2 ND22 1 NO2 ND13 1 NO2 ND19 1 0.1 NO2 ND4 0.3 1 NO3 ND2 0.4 NO3 ND14 1 0.1 0.3 NO3 ND16 0.2 1 NO3 ND17 0.0 NO3 ND8 1 NO5 ND1 1 NO5 ND2 0.1 NO5 ND3 0.1 NO5 ND6 1 NO5 ND11 1 0.9 NO5 ND21 1 NO5 ND19 1 0.1 NO5 ND4 0.7 NO5 ND8 1 NO5 ND9 1 1 NO5 ND10 1 NO5 ND12 1


48

OPCHAIN-RPO



Oferta Oferta Pre-Escolar Primaria Secundaria Media NO6 ND1 1 NO6 ND2 0.3 NO6 ND3 0.9 NO6 ND5 0.3 NO6 ND21 1 NO6 ND17 0.5 NO6 ND12 1 NO7 ND3 0.3 NO7 ND13 0.9 NO7 ND17 0.5 NO7 ND9 1 NO11 ND3 0.6 NO11 ND7 0.3 NO11 ND23 1 NO15 ND13 1 NO15 ND17 0.2 NO35 ND23 1 NO35 ND20 0.2 NO4 ND13 0.1 NO4 ND20 0.7 NO8 ND2 0.7 NO9 ND1 1 NO9 ND2 0.3 1 NO9 ND3 1 NO9 ND5 1 NO9 ND6 1 NO9 ND7 0.7 NO9 ND11 1 NO9 ND21 1 NO9 ND22 1 NO9 ND13 1 NO9 ND14 0.7 NO9 ND15 1 NO9 ND16 1 NO9 ND18 1 NO9 ND19 0.8 1 NO9 ND20 1 NO9 ND4 1 NO9 ND10 1 NO9 ND12 1 NO10 ND2 0.3 NO10 ND3 0.0

El déficit o demanda no atendida se presenta a continuación:

Fracción de la Demanda no Atendida –Déficit

Demanda Pre-Escolar Primaria Secundaria

ND1 1 ND5 1 0.66 ND6 1 1 ND7 1 ND21 1 ND22 1 1 ND23 1 1 ND14 1 0.9 ND15 1 ND16 1 0.8 ND17 0.8 1 ND18 1 1 ND20 0.8 ND4 1 ND8 1


49

OPCHAIN-RPO


Las siguientes graficas presentan la cobertura de los nodos de oferta para cada nivel de educación, en cada fase del plan táctico:

FASE 1. PLAN TÁCTICO

Cobertura Pre-Escolar Cobertura Primaria

Cobertura Secundaria Cobertura Media

FASE 2 PLAN TÁCTICO

Cobertura Pre-Escolar Cobertura Primaria

0 660 1'320 1'980330

Metros

NO6

NO5

NO1

NO35

NO15

Convenciones

PRE-TA1NO1

NO15

NO2

NO3

NO35

NO5

NO6

centroides_existentes

ta1

±0 660 1'320 1'980330

Metros

NO6

NO5

NO1

NO35

NO15

Convenciones

EBP-TA1NO1

NO15

NO2

NO3

NO35

NO4

NO5

NO6

NO7

NO8


ta1

±

0 660 1'320 1'980330

Metros

NO6

NO5

NO1

NO35

NO15

Convenciones

EBS-TA2NO1

NO11

NO2

NO3

NO35

NO5

NO6

NO9


ta1

±0 660 1'320 1'980330

Metros

NO6

NO5

NO1

NO35

NO15

Convenciones

EME-TA2NO11

NO3

NO6

NO7

NO9


ta1

±

0 660 1'320 1'980330

Metros

NO7

NO3

NO34

NO32

NO31

NO28

NO27

NO26

NO25

NO18

NO17

NO11 Convenciones

PRE-TA2

NO1

NO15

NO18

NO2

NO26

NO27

NO28

NO3

NO31

NO34

NO35

NO5

NO6


ta2

±0 660 1'320 1'980330

Metros

NO7

NO3

NO34

NO32

NO31

NO28

NO27

NO26

NO25

NO18

NO17

NO11

Convenciones

EBP-TA2NO11

NO15

NO3

NO31

NO34

NO4

NO5

NO6

NO7

NO8


ta2

±


50

OPCHAIN-RPO


Cobertura Secundaria Cobertura Media

REFERENCIAS

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Metros

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Convenciones

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ta2

±0 660 1'320 1'980330

Metros

NO7

NO3

NO34

NO32

NO31

NO28

NO27

NO26

NO25

NO18

NO17

NO11

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