Optimering i samband med produktions- planering av, och materialförsörjning vid, underhåll av flygmotorer Niclas Andréasson1 och Torgny Almgren2

1. Matematik Chalmers tekniska högskola 412 96 Göteborg 031-772 53 78 niclasa@math.chalmers.se 2. Volvo Aero 461 81 Trollhättan 0520-944 32 torgny.almgren@volvo.com SAMMANFATTNING

Det finns två huvudsakliga anledningar till att en flygmotor kommer in för underhåll. Den ena är att någon eller några av motorns delar (komponenter) uppnått sin maximala livslängd, d.v.s. att antalet registrerade ”förbrukningscykler” börjar närma sig det maximalt tillåtna. Den andra är att någonting indikerar att motorn inte uppför sig riktigt som den ska. Vid själva underhållet byts eller repareras ett stort antal ingående delar. Dessa kan delas in i två huvudtyper; de livslängdsbegränsade (LLB) samt övriga delar där slumpen är med och styr livslängden (”on condition”, OC). Delarna är i regel mycket dyrbara, samtidigt som underhållstillfället i sig är förknippat med stora fasta kostnader för att ta in en motor till verkstaden, t.ex. för transporter, administration, inspektion, reservmotorer och driftstopp. Det är därför viktigt att man vid varje underhållstillfälle inte bara beaktar möjligheten att byta ut de delar som uppnått sin maximala livslängd, utan även fattar beslut om LLB-delar som inte riktigt har nått sin livslängd och om OC-delar som ännu inte är sönder, men där risken för felutfall bedöms som tillräckligt betydande (denna typ av underhåll brukar kallas ”opportunistiskt”). Att vid varje specifikt underhållstillfälle finna utbytesscheman som minimerar den totala förväntade underhållskostnaden är emellertid ett mycket komplext optimeringsproblem, särskilt när även valet av tillgängliga delar ur lager beaktas.

I denna studie, som bedrivits på Volvo Aero och flygmotorn RM12 (som sitter i JAS 39 Gripen), beskrivs den på företaget befintliga metoden, en ålderspolicy och en matematisk optimeringsmodell (linjär heltalsmodell) för att fatta opportunistiska underhållsbeslut. Metoderna bygger på att de stokastiska delarna betraktas som deterministiska genom att man tilldelar dem livslängder, t.ex. väntevärden. Den befintliga metoden och ålderspolicyn är heuristiker till det modifierade deterministiska problemet, medan den linjära heltalsmodellen löser det modifierade problemet till optimum. Metoderna jämförs via genomförande av stokastiska simuleringar och slutsatser dras avseende potentialen i att nyttja metoderna vid fattande av underhållsbeslut.

1. BAKGRUND OCH INTRODUKTION

1.1. Volvo Aero och flygmotorunderhåll Volvo Aero (VAC) är ett företag inom Volvogruppen som bl.a. sysslar med underhåll av flygmotorer. Underhållet och övriga eftermarknadssektorn omsatte drygt 3 miljarder kronor under 2004, och är en viktig del av den totala verksamheten. Underhållskunderna, främst flygoperatörerna, är ekonomiskt pressade då de utsätts för en allt hårdare konkurrens, samtidigt som bränslepriserna stiger. Det blir därför allt viktigare att VAC höjer sin konkurrenskraft genom att tydligt kunna påvisa att kundernas totalkostnad sjunker om VAC väljs som leverantör. För att åstadkomma detta krävs att underhållet stör kundernas flygverksamhet så lite som möjligt, samtidigt som kostnaderna associerade med underhållet minimeras. I praktiken innebär detta en minimering av såväl antalet underhållstillfällen som reservmaterielförbrukningen. Eftersom det finns en tydlig koppling mellan dessa faktorer innebär det i själva verket att det är den optimala balansen mellan dessa två kostnadsposter som eftersträvas, eller att varje underhållstillfälle måste utnyttjas maximalt – d.v.s. underhållet måste genomföras opportunistiskt!

1.2. Varje underhållstillfälle är dyrt! Underhållet av flygmotorer är en mycket tidskrävande åtgärd; tiden att utföra underhåll på en större jetmotor är ofta längre än 50 dagar. En flygmaskin är samtidigt en mycket kostsam investering, som flygbolagen därför vill belägga i så stor utsträckning som möjligt. Av denna anledning nyttjas normalt reservmotorer, inte heller dessa är billiga, för att ersätta de motorer som underhålls. Utöver kostnaderna för reservmotorerna, som ofta hyrs in, vet man erfarenhetsmässigt att varje underhållstillfälle i sig genererar en mängd

kostnader beroende på en mängd faktorer: underhållstillfället medför en hel del administration; delar som i sig inte är underhållsdrivande kommer oundvikligen att bytas när motorn är inne; motorn måste provköras innan leverans; etc. Sammantaget leder detta till att varje underhållstillfälle i sig medför en stor fast kostnad - som logiskt kan liknas vid en ordersärkostnad. För att förstå vilka möjligheter det finns att påverka antalet underhållstillfällen krävs en viss förståelse för den allmänna logiken kring flygmotorunderhållet.

1.3. Flygmotorunderhållets grundläggande logik Grundläggande är att komponenterna i en flygmotor kan delas in i två huvudtyper; de livslängdsbegränsade (LLB), samt övriga delar där slumpen är med och styr livslängden (”on condition”, OC). För LLB-delarna föreligger lagkrav på att antalet registrerade ”förbrukningscykler” ej får överskrida gränsen för vad som är maximalt tillåtet. Denna typ av komponenter styr i stor utsträckning när en motor tas in för underhåll. En annan orsak till att ta in en motor för underhåll är att något indikerar att motorn inte uppför sig riktigt som den ska, vilket kan vara en indikation på att någon av OC-delarna behöver åtgärdas. När motorn väl kommer in för underhåll demonteras den i varierande grad. I samband med detta ges möjlighet att kontrollera ingående delar, och se om dessa behöver repareras eller bytas ut. Demonteringsgraden styrs av kvarvarande gångtid på LLB-delarna, modifieringsbehov, värden på olika driftsparametrar, m.m. Efter demonteringen görs en noggrann kontroll av de ”blottlagda” komponenterna varvid ytterligare utbytesbehov identifieras. Det bör också nämnas att de olika komponenterna, precis som begagnade delar i lager, betingar olika restvärden beroende på kvarvarande antalet cykler, förslitningsgrad och naturligtvis även marknadspriser på ny och begagnad reservmateriel. Dessa restvärden utgör en del av beslutsunderlaget i planeringsprocessen. Vid den slutgiltiga åtgärdsbestämningen, och produktionsplaneringen, finns stora möjligheter att påverka hur lång tid motorn kan nyttjas innan den åter behöver underhållas. I denna fas fattas nämligen en mängd beslut rörande vilka åtgärder som ska genomföras, och vilka komponenter som ska ersättas. Frågeställningar som rör hur olika detaljer (LLB-delar och andra) ska kombineras, samt valet av ny kontra begagnad reservdelsmateriel i motorerna är kritiska för hur länge motorn kommer att kunna flyga tills nästa underhållstillfälle, och i slutändan för att uppnå kostnadseffektivitet.

1.4. Besparingspotential En dyr reservdel till en jetmotor kan kosta i storleksordningen 2 Mkr, och den totala kostnaden för att underhålla en stor jetmotor ligger normalt i intervallet 15-30 Mkr. Att hyra en reservmotor kan kosta upp till omkring 15000 kr/dygn. Den ekonomiska potentialen i att effektivisera underhållsverksamheten är således betydande, samtidigt som problemets stora komplexitet gör det lämpligt för beslutsstöd via viss automation. Av denna anledning initierade logistikfunktionen på VAC ett forskningsprojekt, delfinansierat av NFFP (Nationellt Flygtekniskt ForskningsProgram), med avsikt att söka skapa beslutsstöd för opportunistiskt underhåll, d.v.s. för att optimera balansen mellan ”ordersärkostnaden” för att ta in motorer för underhåll kontra reservmaterielkostnaden. Denna rapport presenterar en fallstudie i vilken VAC:s befintliga metod jämförs med två metoder framtagna i detta forskningsprojekt. Som testproblem används en lågtrycksturbin i den militära flygmotorn RM12 (som sitter i JAS 39 Gripen). Metoderna jämförs med stokastiska simuleringar och slutsatser dras avseende den ekonomiska potentialen i att utnyttja dem, samt om deras användbarhet i en praktisk underhållssituation.

2. TESTPROBLEMET I simuleringarna kommer en lågtrycksturbin i RM12-motorn att användas som testproblem, se tabell 1. Den fasta kostnaden är baserad på en uppskattning av den verkliga kostnaden för transport, inspektion, administration o.s.v., som förknippas med varje underhållstillfälle oavsett vilka delar som byts. Tidshorisonten har satts till den som vanligtvis används på VAC vid beräkning av underhållsprognoser. Tiden delas in i tidssteg om 50 flygtimmar. På grund av sekretess ges inte kostnader och livslängder explicit. Varje LLB-del har en given livslängd. Livslängderna för OC-delarna antas vara Weibullfördelade, d.v.s. de är fördelade enligt

))/(exp(1)( βθttF −−= , där θ och β är parametrar som bestämmer väntevärdet av livslängden samt hur stor stokastisk spridning den har. OC-delarna har tilldelats uppskattningar av förväntade livslängder, men på grund av att antalet felutfall hittills är för få kan inte parametrarna i Weibullfördelningarna skattas med någon större noggrannhet. I de stokastiska simuleringarna varieras därför β -värdena och θ -värdena så att väntevärdena överensstämmer med de givna uppskattningarna. På så vis fås en förståelse för hur den stokastiska spridningen påverkar lösningarna från de modeller, för opportunistiskt underhåll, som skall utvärderas.

Tabell 1: Testproblemet; en lågtrycksturbin i RM12-motorn.

I den kommande framställningen kommer vi på flera ställen att referera till det ”deterministiska problemet” och menar då alltid underhållsproblemet som fås då OC-delarna betraktas som LLB-delar genom att de tilldelas livslängder i enlighet med uppskattningarna av väntevärdena.

3. MODELLERNA Vi kommer att undersöka tre olika modeller som kan styra det opportunistiska underhållet, nämligen:

���� Den befintliga metoden ���� En ålderspolicy ���� En linjär heltalsmodell

Den linjära heltalsmodellen är en matematisk optimeringsmodell som löser det deterministiska problemet till optimum, men kräver avancerad programvara för att kunna lösas. Den befintliga metoden och ålderspolicyn finner endast approximativa lösningar (d.v.s. är inte garanterat optimala) till det deterministiska problemet, men är å andra sidan enkla att lösa. Vi ger här korta beskrivningar av de olika modellerna, men går inte in på några detaljer. Utförliga beskrivningar ges i bilaga 1.

3.1. Den befintliga metoden Den befintliga metoden är en kombination av en värderingspolicy och manuellt arbete. Först tas ett grundutbytesschema fram med hjälp av en värderingspolicy. Denna går ut på att man vid varje underhållstillfälle jämför delarnas återstående värde med den fasta kostnaden. Om det återstående värdet för en viss del är lägre än den fasta kostnaden byts delen. Det återstående värdet för varje del uppskattas med en linjär avskrivning av nypriset. Ett problem med denna metod uppstår för

Del Benämning LLB/OC 1 HTT tätsegment OC 2 LT turbinskiva LLB 3 Lufttätring LLB 4 LTT tätsegment OC 5 LTT munstyckshus OC 6 Ledskenesegment OC 7 LT turbinnav LLB 8 LT turbinskovel LLB 9 HT turbintäthus OC

10 LT turbinhus OC

delar vars nypris är lägre än den fasta kostnaden. Policyn indikerar nämligen att sådana delar skall bytas oavsett den kvarvarande livslängden, vilket innebär att nästan nya delar byts. För att undvika detta införs för dessa delar en livslängdsgräns, och om den kvarvarande livslängden är större än denna byts inte delen. Livslängdsgränsen baseras på kundens krav för hur många flygtimmar motorn minst måste ha efter varje underhållstillfälle. Grundschemat från värderingspolicyn illustreras grafiskt i ett Excel-blad och användaren gör sedan manuellt justeringar i syfte att finna ett billigare utbytesschema för det deterministiska problemet. Detta innebär att den befintliga metoden som bäst klarar att finna ett optimum till det deterministiska problemet. Det krävs dock stor skicklighet, tålmodighet och tur om användaren alltid skall finna detta optimum. Den befintliga metoden illustreras i figur 1.

Figur 1: Den befintliga metoden.

3.2. Ålderspolicyn En populär metod, både i den vetenskapliga litteraturen och i praktiken, för att fatta opportunistiska underhållsbeslut är att använda en så kallad ålderspolicy. Vid en sådan policy ges varje del i motorn en åldersgräns. Om vid ett specifikt underhållstillfälle tiden i drift (åldern) överstiger åldersgränsen byts delen. Att hitta optimala värden på åldersgränserna är generellt sett ett komplext problem. Vi använder oss här av en metod som approximativt hittar åldersgränserna. Ålderspolicyn illustreras i figur 2.

Figur 2: Illustration av ålderspolicyn.

Är delens ålder större än åldersgränsen?

Ja Nej

Byt delen Byt inte delen

Värderingspolicy

Illustration i Excel-blad

Manuell förbättring

Slutligt utbytesschema

3.3. Den linjära heltalsmodellen En vanlig metod inom matematisk optimering för att lösa beslutsproblem är att använda så kallade binära variabler, d.v.s. variabler som endast kan anta värdena 0 eller 1. Figur 3 visar ett exempel på hur en binär variabel kan användas i en beslutssituation.

Figur 3: Exempel på hur en binär variabel kan kopplas till ett beslutsproblem. Figuren visar att vi har ett beslutsproblem som kan formuleras som en fråga vilken kan besvaras med ja eller nej. Den binära variabeln x införs och kopplas till frågan så att 1=x betyder ja och 0=x betyder nej. I fallet med underhåll av flygmotorer är det lämpligt att dela in tiden i tidssteg enligt Tt ,...,1,0= och sedan införa en binär variabel för varje komponent och varje tidpunkt. Om tx är en binär variabel för en del i motorn vid tiden t gäller att 1=tx om delen skall bytas vid t och 0=tx om delen inte skall bytas. Detta beslutsproblem illustreras i figur 4.

Figur 4: Beslutsproblemet som uppkommer vid underhåll av flygmotorer. Med hjälp av denna typ av binära variabler kan man konstruera bivillkor och målfunktion och till slut få en linjär heltalsmodell som till det deterministiska problemet hittar ett utbytesschema som minimerar den totala kostnaden för att ha en fungerande motor mellan tiden 0=t och Tt = .

Underhållsbeslut

Skall delen bytas?

1=x 0=x

Nej Ja

Beslutsproblem

Fråga

1=x 0=x

Nej Ja

4. UNDERSÖKNING AV MODELLERNA VIA SIMULERINGAR

Vi skall nu med hjälp av simuleringar jämföra de olika metoderna och speciellt påvisa nyttan med att använda matematisk optimering i form av den linjära heltalsmodellen. För att få en uppfattning om värdet av att överhuvudtaget utföra opportunistiskt underhåll jämförs metoderna med ”metoden” att aldrig byta ut en LLB-del som inte har nått sin livslängd eller en OC-del som inte är sönder (d.v.s. inget opportunistiskt underhåll utförs). Om ingen diskretisering av tiden görs är denna metod i praktiken fullkomligt orimlig, då den kan leda till att delar vars återstående livslängd endast är bråkdelar av en flygtimme inte byts ut, vilket innebär att motorn måste tas till verkstaden igen om den i princip bara startas. I nedanstående simuleringar används dock en diskretisering av tiden i tidssteg om 50 flygtimmar, vilket innebär att delar vars livslängd är mindre än 25 flygtimmar vid ett specifikt underhållstillfälle betraktas som förbrukade och byts ut.

4.1. Det deterministiska problemet Vi börjar med att betrakta alla delar som LLB-delar genom att tilldela OC-delarna livslängder med väntevärden. På detta sätt fås det deterministiska problem för vilket den linjära heltalsmodellen finner en optimal lösning. Lösningarna från de olika metoderna visas i tabell 2 och figur 5. Här betyder ”Befintlig” att värderingspolicyn i den befintliga metoden har använts, ”Ålder” att ålderspolicyn har använts, ”Heltal” att den linjära heltalsmodellen har använts och ”Ingen” att metoden att aldrig byta ut en LLB-del som inte har nått sin livslängd, eller en OC-del som inte är sönder, har använts. De olika kolumnerna i tabellen utgörs av ”# UH” vilket står för antal underhållstillfällen (d.v.s. antalet gånger som modulen har tagits till VAC), ”Kostn.” är den totala underhållskostnaden (samtliga kostnader har dividerats med kostnaden för den befintliga metoden) och övriga kolumner visar hur många gånger respektive del har bytts ut. I den övre delen av figuren visas totalkostnaden och antalet underhållstillfällen för de olika metoderna. Staplarna för den befintliga metoden är tonade, vilket skall indikera att det inte är känt hur stor den manuella förbättringen blir. I den nedre delen av figuren visas antalet utbyten av delar genom att varje del har tilldelats fyra staplar. Den första stapeln anger hur många utbyten som görs om den befintliga metoden används, den andra hur många utbyten som görs om ålderpolicyn används, den tredje hur många utbyten som görs om den linjära heltalsmodellen används och den fjärde anger antalet utbyten om inget

opportunistiskt underhåll görs. Observera att en nedre gräns för antalet utbyten av delar fås om inget opportunistiskt underhåll utförs. Tabell 2: Resultat för det deterministiska problemet.

Total kostnad

00,20,40,60,8

1

Befintlig Ålder Heltal Ingen

Antal underhållstillfällen

0

5

10

15

Befintlig Ålder Heltal Ingen

Antal utbyten av delar

02468

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Befintlig

Ålder

Heltal

Ingen

Figur 5: Resultat för det deterministiska problemet. Vi ser att om inget opportunistiskt underhåll utförs tas modulen in för underhåll 14 gånger. För samtliga av de opportunistiska metoderna reduceras detta antal avsevärt. Den befintliga metoden reducerar antalet underhållstillfällen till 9. Strategin som används för att uppnå denna reduktion är att ofta byta ut delarna 6, 7, 8 och 9. Vinsten av reduktionen på 5 underhållstillfällen är dock inte i nivå med kostnaden för det stora antalet utbyten av delarna, vilket leder till en mycket högre kostnad än för samtliga av de övriga metoderna. Det är därför inte lämpligt att använda den befintliga metoden på det givna testproblemet, vilket även nedanstående stokastiska simuleringar kommer att visa. Ålderspolicyn reducerar antalet underhållstillfällen till 3 och uppnår detta genom att byta ut delarna 1, 9 och 10 en gång mer än nödvändigt. Vinsten av den kraftiga reduktionen i antalet underhållstillfällen överstiger med bred

Metod # UH Kostn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Befintlig 9 1.00 2 1 1 2 1 9 4 4 5 2 Ålder 3 0.49 3 1 1 2 1 3 1 2 3 3 Heltal 4 0.46 2 1 1 2 1 3 1 2 2 2 Ingen 14 0.69 2 1 1 2 1 3 1 2 2 2

marginal kostnaden för de extra utbytena, vilket leder till att den totala underhållskostnaden blir 49 % av kostnaden för den befintliga metoden. Heltalsmodellen finner den optimala lösningen, vilken visar sig ha en totalkostnad som är 46 % av kostnaden för den befintliga metoden. Heltalsmodellen reducerar antalet underhållstillfällen till 4. Vi ser att antalet utbyten för samtliga delar är lika med den nedre gränsen som fås om inget opportunistiskt underhåll utförs. Heltalsmodellen finner alltså ett utbytesschema som minimerar den totala underhållskostnaden endast genom att gruppera utbytena på ett smart sätt!

4.2. Stokastiska simuleringar Vi skall nu undersöka hur de olika metoderna fungerar i stokastiska situationer. För detta ändamål skapas 200 scenarier som representerar modulens verkliga uppträdande (se bilaga 2 för en beskrivning av hur scenarierna skapas) och sedan körs de olika metoderna för varje scenario varpå medelvärden för totalkostnad och totalt antal underhållstillfällen beräknas. Simuleringsprocessen illustreras i figur 6.

Figur 6: Illustration av simuleringsprocessen. För att få en uppfattning om hur den stokastiska spridningen påverkar det opportunistiska underhållet kommer vi att variera β -värdena i Weibullfördelningarna för OC-delarna. Ett högt β -värde innebär liten stokastisk spridning och ett lågt β -värde innebär stor stokastisk spridning. Erfarenhetsmässigt vet man att det vanligtvis gäller att 62 ≤≤ β för flygmotorkomponenter och därför varieras β -värdena i detta intervall.

Notera att om 1=β fås en exponentialfördelning, vilket innebär att delarna inte åldras. En del som inte åldras skall så klart aldrig bytas ut om den inte går sönder, vilket medför att det är optimalt att inte utföra något opportunistiskt underhåll. För t.ex. 2=β är situationen inte lika extrem, men det är viktigt att förstå att nyttan med att utföra opportunistiskt underhåll generellt sett är mindre vid låga β -värden än vid höga. Vi genomför fyra stokastiska simuleringar enligt: Simulering 1: Samtliga OC-delar har 6=β . Simulering 2: Samtliga OC-delar har 4=β . Simulering 3: Samtliga OC-delar har 2=β . Simulering 4: Delarna 1 och 4 har 2=β , delarna 5 och 6 har 4=β

och delarna 9 och 10 har 6=β . Totalkostnaderna från de olika simuleringarna sammanfattas i figur 7. (Samtliga kostnader har dividerats med kostnaden för den befintliga metoden för det deterministiska problemet.) Det framgår att den befintliga metoden i samtliga fall är dyrare än de övriga metoderna. Vidare ser vi att kostnaderna för ålderpolicyn och heltalsmodellen ökar med ökat stokastiskt inslag (d.v.s. minskande β -värden). Vid 2=β ser vi att ålderspolicyn t.o.m. blir dyrare än om inget opportunistiskt underhåll utförs. Heltalsmodellen ger i samtliga testkörningar den lägsta totalkostnaden och är ungefär 35 % billigare än den befintliga metoden och 10 % billigare än ålderspolicyn.

Total kostnad

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

Determ. � = 6 � = 4 � = 2 Blandat

BefintligÅlderHeltalIngen

Figur 7: Sammanställning av de totala underhållskostnaderna.

Antalet underhållstillfällen för de olika metoderna sammanfattas i figur 8. Vi ser att alla de opportunistiska metoderna minskar antalet underhållstillfällen jämfört med om inget opportunistiskt underhåll utförs. Vidare framgår att antalet underhållstillfällen ökar med ökat stokastiskt inslag, vilket är ett resultat av att det blir svårare att planera underhållet. Ålderspolicyn ger i samtliga testkörningar det lägsta antalet underhållstillfällen.

Antal underhållstillfällen

02468

1012141618

Determ. � = 6 � = 4 � = 2 Blandat

BefintligÅlderHeltalIngen

Figur 8: Sammanställning av antalet underhållstillfällen.

4.3. Ålderspolicyn kontra den linjära heltalsmodellen Ovanstående simuleringar visar att ålderspolicyn i många fall ger goda underhållsbeslut. Dessutom kan ålderspolicyn, utan några beräkningstekniska problem, appliceras på i princip hur stora system som helst. Betyder detta att ålderspolicyn kan ersätta den jämförelsevis komplexa linjära heltalsmodellen? Svaret på denna fråga är tyvärr negativt. Ålderspolicyn är nämligen en heuristisk metod och det finns inte någon garanti för att den fungerar väl för alla problem. Man kan ganska enkelt konstruera problem för vilka ålderspolicyn är 50 % dyrare än heltalsmodellen. En stor nackdel med ålderspolicyn är alltså att dess användbarhet är problemberoende; ibland fungerar den bra, men ibland fungerar den dåligt. Det är vidare svårt att avgöra exakt när det är lämpligt att använda den. Detta innebär att användaren måste ha goda kunskaper om policyns matematiska egenskaper och vara försiktig vid användning av den. Den linjära heltalsmodellen, å andra sidan, är inte problemberoende; den finner alltid en optimal lösning till det deterministiska problemet. Priset man får betala för denna trygghet är att modellen är förhållandevis komplex och svår att lösa.

Har man väl implementerat den, och funnit en effektiv algoritm för att lösa den, krävs emellertid ingen specialistkunskap hos användaren; lösningen som erhålls är alltid en optimal lösning till det deterministiska problemet. Ålderspolicyn är dessutom svår att expandera om så skulle erfordras; en sådan expansion är att inkludera ett lager med begagnade reservdelar.

5. DEN LINJÄRA HELTALSMODELLEN MED LAGER I det verkliga livet finns normalt ett lager med begagnade reservdelar som det är viktigt att kunna nyttja på ett bra sätt då dessa delar är billigare än nya, särskilt som en del delar som tidigare bytts ut - i andra motorer - fortfarande kan ha en hel del liv kvar. Vi antar därför att vi har ett lager med begagnade delar som kan utnyttjas vid underhållet. Varken den befintliga metoden eller ålderspolicyn kan på ett naturligt sätt utvidgas till att ta hänsyn till denna situation. Detta är dock möjligt för den linjära heltalsmodellen genom att man inför en binär variabel för varje del i lagret. Den linjära heltalsmodellen med lager illustreras i figur 9. En detaljerad beskrivning av lagermodellen ges i bilaga 3.

Figur 9: Illustration av lagermodellen. För att undersöka hur lagermodellen fungerar betraktas delarna 1, 4 och 5 som OC-delar och övriga som LLB-delar. Vidare antas att del 1 har 2=β , att del 4 har 4=β och att del 5 har 6=β . För varje LLB-del införs två begagnade exemplar enligt: Begagnat exemplar 1: Livslängd: 2/3 Nylivslängd Pris: 1/2 Nypris Begagnat exemplar 2: Livslängd: 1/3 Nylivslängd Pris: 1/8 Nypris Resultaten ges i tabell 3 och figur 10. Här innebär ”Heltal” att den linjära heltalsmodellen utan lager har använts och ”Lager” att den linjära

Underhållsbeslut med hänsyn till lager

Skall delen ur lagret användas?

1=x 0=x

Nej Ja

heltalsmodellen med lager har använts. Vidare anger i tabellen ”2/3” antalet exemplar från lagret med 2/3 kvar av nylivslängden och ”1/3” antalet exemplar från lagret med 1/3 kvar av nylivslängden som används i underhållet. Den nedre delen av figuren ger antalet utbyten av delar. Varje del kan ha 4 staplar, där den första anger hur många gånger delen byts med heltalsmodellen utan lager, den andra anger hur många nya delar som används i lagermodellen, den tredje hur många 2/3-exemplar som används i lagermodellen och den fjärde hur många 1/3-exemplar som används i lagermodellen. Tabell 3: Resultat med lager då OC-delarna har blandade β -värden.

Total kostnad

0

0,1

0,20,3

0,4

0,5

0,6

0,70,8

0,9

1

Heltal Lager

Antal underhållstillfällen

01234567

Heltal Lager

Antal utbyten av delar

0

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Heltal

Lager

2/3

1/3

Figur 10: Resultat med lager då OC-delarna har blandade β -värden. Vi ser att lagermodellen genom att använda 2/3-exemplar av delarna 6, 8, 9 och 10 i ganska stor utsträckning och 1/3-exemplar av delarna 2, 3, 8 och 9 i mindre utsträckning minskar antalet underhållstillfällen och sänker den totala underhållskostnaden med 6 %. Observera att de delar för vilka begagnade

Metod #UH Kostn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Heltal 6.16 1.00 3.2 1.0 1.0 2.3 1.3 3.0 1.0 2.0 2.0 2.0 Lager 5.64 0.94 3.4 1.0 1.0 2.4 1.3 2.2 1.0 1.1 1.9 1.5 2/3 0 0 0 0 0 0.96 0 0.94 0.70 0.47 1/3 0 0.01 0.01 0 0 0 0 0.12 0.03 0

exemplar finns är 2, 3, 6, 7, 8, 9 och 10, och för samtliga av dessa delar utom del 7 utnyttjar lagermodellen begagnade exemplar i varierande utsträckning.

6. SAMMANFATTNING OCH DISKUSSION För samtliga av ovanstående simuleringar ger den linjära heltalsmodellen den lägsta totalkostnaden av de undersökta metoderna. De största skillnaderna fås om den stokastiska spridningen är liten. Det är också i detta fall det generellt sett finns störst ekonomisk potential i att utföra opportunistiskt underhåll. Den genomförda studien indikerar en besparingspotential - jämfört med den befintliga metoden - på, i storleksordningen, 10-30 %. Ålderspolicyn fungerar också bra, men vid stor stokastisk spridning blir kostnaden lika hög som då inget opportunistiskt underhåll utförs. Det är dock viktigt att notera att ålderspolicyn minskar antalet underhållstillfällen avsevärt i samtliga fall. Den befintliga metoden reducerar antalet underhållstillfällen, men inte lika mycket som heltalsmodellen eller ålderspolicyn. Dessutom sker detta på bekostnad av att vissa delar byts för ofta, vilket i samtliga tester leder till att totalkostnaden är mycket högre än för de övriga metoderna. Den ekonomiska nyttan med att utföra opportunistiskt underhåll ökar med ökad fast kostnad. Testproblemet i denna rapport är hämtat från det militära underhållet av RM12-motorn. Vid militärt underhåll är den fasta kostnaden i regel lägre än vid civilt underhåll, vilket beror på att tillgänglighet inte värderas lika högt i det militära fallet. I det civila fallet kostar det mycket om planet står stilla då detta innebär produktionsbortfall och därför tas ofta leasingmotorer in när de ordinarie motorerna är på verkstaden, vilket är förknippat med stora kostnader. Den fasta kostnaden som har använts här är alltså förmodligen för låg för den civila situationen och den ekonomiska nyttan med det opportunistiska underhållet skulle därmed ha blivit ännu större om det civila fallet beaktats. En av de stora fördelarna med den linjära heltalsmodellen är att den förhållandevis enkelt kan utvidgas på olika sätt. I den här rapporten visades hur den kan utvidgas för att ta hänsyn till lager, men också andra utvidgningar, som t.ex. kundkrav, motorstruktur, arbetskostnader och diskonterade kostnader, är möjliga. Det bör dock noteras att komplexiteten hos modellen snabbt ökar vid utvidgningar, vilket gör att den blir svårare att lösa. I de stokastiska simuleringarna med lager visade det sig att lagermodellen kan utnyttja ett lager och på så vis sänka den totala underhållskostnaden.

6.1. För- och nackdelar med de olika metoderna De olika metodernas för- och nackdelar sammanfattas enligt följande:

Den befintliga metoden + Reducerar antalet underhållstillfällen jämfört med om inget

opportunistiskt underhåll utförs. + Är mycket enkel att implementera och VAC:s befintliga programvara är

tillräcklig. - Om den fasta kostnaden är hög byts vissa delar ut för ofta, vilket medför

att totalkostnaden blir avsevärt högre än för de andra metoderna. - Ej automatisk och det manuella arbetet är svårt (och tråkigt) att utföra. - Underhållsbeslutens kvalitet är starkt beroende av vem som utför det

manuella arbetet. - Svår att utvidga med t.ex. lager.

Ålderspolicyn + Reducerar antalet underhållstillfällen och totalkostnad jämfört med om

den befintliga metoden används, eller om inget opportunistiskt underhåll utförs.

+ Är mycket enkel att implementera och VAC:s befintliga programvara är tillräcklig.

- Är en heuristisk metod, vilket innebär att lösningarna för vissa problem kan bli mycket kostsamma. Vidare är det svårt att avgöra exakt när ålderspolicyn fungerar bra eller dåligt.

- Svår att utvidga med t.ex. lager.

Den linjära heltalsmodellen + Ger den lägsta totalkostnaden av samtliga metoder. + Reducerar antalet underhållstillfällen jämfört med om den befintliga

metoden används eller om inget opportunistiskt underhåll utförs. + Hittar garanterat en optimal lösning till det deterministiska problemet,

vilket ger en form av kvalitetssäkring av underhållsbesluten. + Medger stor flexibilitet och kan utvidgas till att ta hänsyn till lager,

motorstruktur, arbetskostnader, kundkrav, m.m. - Kräver avancerade matematiska metoder för att kunna lösas. - Den befintliga programvaran på VAC räcker inte för att lösa den linjära

heltalsmodellen.

6.2. Slutrekommendation Studien visar att den linjära heltalsmodellen ger de bästa opportunistiska underhållsbesluten av de undersökta metoderna. Problemet är att denna modell i nuläget endast kan lösas för enskilda moduler, d.v.s. för system med högst 10-15 delar. Forskning inom NFFP syftar dock till att finna effektiva lösningsmetoder

för större system. Vidare kräver den linjära heltalsmodellen optimeringsprogramvara för att kunna lösas. En möjlighet är att implementera heltalsmodellen med hjälp av tilläggsprogramvara till Excel, vilket skulle vara lämpligt då Excel är det verktyg som idag används på VAC för hantering av underhållsdata. Det krävs således en del arbete innan den linjära heltalsmodellen kan börja användas i den dagliga verksamheten på VAC. Både ålderspolicyn och den befintliga metoden kan användas i nuläget. Den befintliga metoden ger alldeles för dyra underhållsbeslut för att vara lämplig, men ålderspolicyn ger i många fall goda underhållsbeslut. Slutrekommendationen blir därför att inledningsvis använda ålderspolicyn för att fatta opportunistiska underhållsbeslut, men att på sikt införskaffa nödvändig programvara och implementera den linjära heltalsmodellen, lämpligen även med hänsynstagande till lager.

6.3. Framtidsvision Ett framtida underhållssystem visas i figur 11. Tanken är att systemet ska utgöra ett beslutsstöd för åtgärdsbestämmaren och produktionsplaneraren, och vara centrerat runt Excel. När motorn kommer in till verkstaden överförs data om delarnas åldrar till ett Excel-blad, liksom data om delarna i lagret. Med tilläggsprogramvara till Excel (t.ex. optimeringsprogramvaran Xpress) kan sedan den linjära heltalsmodellen implementeras och lösas. Efter en knapptryckning av användaren löser datorn modellen och ut kommer ett utbytesschema!

Figur 11: Ett framtida underhållssystem.

REFERENSER Dickman, B., Epstein, S. och Wilamowsky, Y. (1991) A mixed integer linear programming formulation for multi-component deterministic opportunistic replacement. The Journal of the Operational Research Society of India, 28, 165-175.

BILAGA 1: Beskrivningar av modellerna Nedan presenteras de tre modellerna för opportunistiskt underhåll. I samtliga fall betraktas en motor/modul som består av N stycken LLB-delar och för att förenkla notationen införs mängden { }N,...,1=ℵ . Vidare antas att tidshorisonten är T och att motorn då tas ur bruk. Livslängden för en ny del av typ ℵ∈i ges av

iT och kostar ic . Utöver delarnas kostnad är varje underhållstillfälle förknippat med en fast kostnad d oberoende av hur många delar som byts. Metoderna utvecklas först för LLB-delar och sedan beskrivs hur även OC-delar kan inkluderas.

Värderingspolicyn i den befintliga metoden Introducera för varje del ℵ∈i kostnaden per tidsenhet, ic∆ , enligt följande:

iii Tcc /=∆ , ℵ∈i . Om iτ är den kvarvarande livslängden för del ℵ∈i kan värdet, iv , av denna del uppskattas med iii cv ∆= τ . Värderingspolicyn går ut på att man vid varje underhållstillfälle jämför delarnas värde med den fasta kostnaden d , och byten sker av alla delar ℵ∈i sådana att dvi ≤ . Ett problem med denna policy uppstår för delar ℵ∈i för vilka dci ≤ . Policyn indikerar nämligen att sådana delar alltid skall bytas oavsett deras kvarvarande livslängd, vilket innebär att i det närmaste nya delar byts ut. För att förhindra detta införs en gräns minT , och om den kvarvarande livslängden för en del sådan att dci ≤ är större än minT byts inte delen. Parametern minT väljs baserat på kundens krav för hur många flygtimmar motorn minst måste ha efter varje underhållstillfälle. För militärt underhåll är 150min =T flygtimmar en vedertagen gräns. Värderingspolicyn är utvecklad för LLB-delar. För att inkludera en OC-del kan

iT för denna sättas till väntevärdet av livslängden för en ny del och den kvarvarande livslängden iτ vid varje specifikt underhållstillfälle kan sättas till det betingade väntevärdet.

Ålderspolicyn Vid en ålderspolicy tilldelas varje del ℵ∈i en åldersgräns ia , och om vid ett specifikt underhållstillfälle tiden i drift (åldern) iT∆ för del ℵ∈i överstiger ia byts delen. Att hitta optimala värden på åldersgränserna ia , ℵ∈i , är generellt sett ett svårt problem. Ålderspolicyn som beskrivs här bygger på en heuristisk metod för att finna ia , ℵ∈i . Låt 0≥δ vara en parameter som styr åldersgränserna enligt följande samband: (1) ,δ−= ii Ta ℵ∈i . Problemet att finna de N parametrarna ia , ℵ∈i , överförs på detta sätt till att endast finna en parameter δ . Det optimala värdet på δ kan hittas numeriskt genom att för varje T,...,1,0=δ beräkna den totala underhållskostnaden vid användande av ålderspolicyn enligt (1) och sedan välja det δ som ger minst kostnad. Denna metod kan användas för system bestående av LLB-delar. I en praktisk underhållssituation måste hänsyn även tas till OC-delar. Man kan då först betrakta OC-delarna som LLB-delar genom att tilldela dem livslängder i enlighet med deras förväntade livslängder. För det nya system som erhålls kan sedan ett optimalt värde på δ beräknas. Vid varje specifikt underhållstillfälle byts sedan de LLB-delar för vilka δ−=≥∆ iii TaT , och för varje OC-del beräknas först den förväntade återstående livslängden och om denna är mindre än δ byts delen.

Den linjära heltalsmodellen Modellen som presenteras är en utvidgning och modifikation av den linjära heltalsmodellen i Dickman et al. (1991). Dela in tiden i tidsstegen Tt ,...,1,0= . (Ett tidssteg kan vara en eller flera flygtimmar; i simuleringarna används tidssteg om 50 flygtimmar.) Vid tiden 0=t antas att del ℵ∈i har livslängden

ii T≤τ . Om alla delarna är nya vid 0=t gäller att ii T=τ , ℵ∈i . Vidare antas att motorn vid tiden 0=t befinner sig på verkstaden, vilket innebär att detta underhållstillfälle inte är förknippat med den fasta kostnaden. För att formulera en linjär heltalsmodell införs för ℵ∈i och Tt ,...,1,0= de binära variablerna itx sådana att

1=itx om del i byts vid tiden t , 0=itx om del i inte byts vid tiden t ,

och de binära variablerna tz sådana att 1=tz om någon av delarna byts vid tiden t , 0=tz om ingen del byts vid tiden t .

Den linjära heltalsmodellen som minimerar kostnaden för att ha en fungerande motor mellan 0=t och Tt = ges av:

Minimera � ��= ℵ∈ℵ∈

���

��� ++

T

t ititi

iii dzxcxc

10

då ,10

≥�=

i

titx

τ

,ℵ∈i

,11

≥�−+

=

�

�

iT

titx ,,...,1 iTT −=� ,ℵ∈i

,tit zx ≤ ,,...,1 Tt = ,ℵ∈i { },1,0, ∈tit zx ,,...,0 Tt = .ℵ∈i I en praktisk underhållssituation tas motorn in till verkstaden om en LLB-del når sin livslängd eller om en OC-del går sönder. I den linjära heltalsmodellen antas att detta har skett vid 0=t . Låt iT∆ , ℵ∈i , vara antalet flygtimmar som del

ℵ∈i varit i drift vid tiden 0=t . För varje LLB-del sätts iii TT ∆−=τ , och för varje OC-del sätts iτ till det betingade väntevärdet av återstående livslängd, d.v.s. väntevärdet givet att delen inte är sönder efter att ha varit i drift iT∆ flygtimmar. Härefter löses den linjära heltalsmodellen och ett utbytesschema väljs enligt de optimala värdena på 0ix variablerna.

BILAGA 2: Definition av scenarier Ett scenario, sw , för en OC-del definieras som (2) ),...,,( 10 R

ssss TTTw = , där 0

sT är (den verkliga) livslängden för exemplaret som sitter i modulen vid 0=t , 1

sT livslängden för exemplaret som sätts i modulen vid det första bytet, 2

sT livslängden för exemplaret som sätts i modulen vid det andra bytet, o.s.v. Antalet livslängder, R , skall väljas så stort att antalet utbyten aldrig kan överskrida det. (Eftersom tiden diskretiseras kan detta alltid erhållas genom att sätta TR = .) Ett scenario för ett system av flera OC-delar definieras som en sammanställning av scenarier enligt (2) för respektive del. I simuleringarna skapas först 200 scenarier genom att livslängderna för OC-delarna dras slumpmässigt baserat på respektive fördelningsfunktion.

BILAGA 3: Den linjära heltalsmodellen med lager Antag att det vid 0=t för varje del ℵ∈i finns iN begagnade exemplar och att

jiT respektive j

ic är livslängden respektive kostnaden för den j :te begagnade delen av typ ℵ∈i .

Introducera för ℵ∈i och iNj ,...,1= variablerna

1=jix om den j :te begagnade delen av typ ℵ∈i används vid 0=t ,

0=jix annars.

Den linjära heltalsmodellen med lager blir enligt följande:

Minimera � �� �= ℵ∈ℵ∈ =

���

��� ++�

�

���

� +T

t ititi

i

N

j

ji

jiii dzxcxcxc

i

110

då ,10 1

≥+� �= =

i i

t

N

j

jiit xx

τ

,ℵ∈i

,00

≥−�=

jiT

t

jiit xx iNj ,...,1= , ,ℵ∈i

,11

≥�−+

=

�

�

iT

titx ,,...,1 iTT −=� ,ℵ∈i

,tit zx ≤ ,,...,1 Tt = ,ℵ∈i

{ },1,0,, ∈tj

iit zxx ,,...,0 Tt = ,ℵ∈i iNj ,...,1= . För att ta hänsyn till begagnade exemplar av OC-delar kan ovanstående modell användas genom att j

iT sätts till det betingade väntevärdet av den kvarvarande livslängden för exemplar j av typ ℵ∈i .