Optimalizálási módszerek 1. A lineáris vektortér

Optimalizálási módszerek

Kiegészítő gépész levelező Miskolci Egyetem

1

Optimalizálási módszerek1. A lineáris vektortér

Kiegészítő gépész levelezők 2003/2004-es tanév II. félév



2

Vektorok, a lineáris vektortér - 1Definíció: (vektor)

Vektoron rendezett szám n-est fogunk érteni. (Valós számokkal dolgozunk.)A szám n-esben szereplő számokat koordinátáknak nevezzük. A vektor rövid jelölésére vastagított kisbetűket használunk.Pl: x=(x1,…,xn).

Definíció: (két vektor összeadása)Legyen x=(x1,…,xn), y=(y1,…,yn) két n elemű vektor.

A két vektor összege egy z=(z1,…,zn) harmadik vektor az alábbi szerint:

x+y=(x1+y1,…,xn+yn)=(z1,…,zn)=z

Az összeadás tulajdonságai:

- kommutativitás: x+y=y+x

- asszociativitás: (x+y)+z=x+(y+z)

- invertálhatóság: bármely x,y esetén az x+z=y egyenletnek létezik z megoldása.

Definíció: (Nullvektor, zérusvektor)Olyan 0-val jelzett vektor, amelyre bármely x vektor esetén teljesül az x+0=x összefüggés.0=(0,…,0)



3

Vektorok, a lineáris vektortér - 2

Definíció: (Vektor szorzása számmal)Legyen x=(x1,…,xn) egy vektor és valós szám.

Az x vektor -szorosán azt a z= x vektort értjük, amely képzési szabálya: z= x = (x1,…,xn)

A vektor szorzása számmal művelet tulajdonságai- vektor disztributivitás: (x+y)=x+y- skalár disztributivitás: (+)x=x+x- skalár asszociativitás: ()x=(x)- egységelemmel szorzás: 1x=x

Definíció: (Lineáris vektortér)Vektorok összessége, melyben a fenti két művelet bevezetésre került.



4

Skaláris szorzat

Definíció: (Két vektor skaláris szorzata)Legyen x=(x1,…,xn), y=(y1,…,yn) két n elemű vektor.

Két vektor skaláris szorzatán azt az xy-nal jelzett valós számot értjük, amelynek képzési szabálya:xy= x1y1+…+xnyn

A skaláris szorzat tulajdonságai:- kommutativitás: xy=yx- disztributivitás: (x+y)z=xz+yz- skalár asszociativitás: (x)y=(xy)- pozitivitás: xx 0 egyenlőséggel akkor és csak akkor, ha

x=0.



5

A lineáris kombinációDefiníció: (Vektorok lineáris kombinációja)

Ha a b vektor az a1,a2,…,an vektorok és a 1,…,n valós számok segítségével a b=1a1+

…+nan alakban áll elő, akkor azt mondjuk, hogy b az a1,a2,…,an vektorok lineáris

kombinációja 1,…,n együtthatókkal.

Definíció: (Generáló rendszer)

Egy vektorrendszer részhalmazát a vektorrendszer generáló rendszerének nevezzük, ha a rendszer minden eleme előáll a részhalmaz lineáris kombinációjaként.

Definíció: (Független rendszer)

Egy vektorrendszert lineárisan függetlennek nevezünk, ha egyetlen eleme sem állítható elő a többiek lineáris kombinációjaként.

Egyetlen vektorból álló rendszert lineárisan függetlennek nevezünk, ha az nem a zérusvektor.

Definíció: (Bázisrendszer)

Egy vektorrendszer bázisrendszere (röviden bázisa) az olyan részrendszer, amely lineárisan független és generáló rendszer is egyidejűleg. A bázisrendszer által a rendszer minden eleme egyértelműen fejezhető ki. Az így kapott lineáris kombinációban szereplő együtthatókat a vektor adott bázisbeli koordinátáinak nevezzük.



6

A Steinitz tétel

Tétel: (Steinitz tétel, független és generáló forma)

Egy vektorrendszer bármely lineárisan független részrendszerében a vektorok száma nem lehet több, mint bármely generáló részrendszerében a vektorok száma.

Tétel: (Steinitz tétel, bázisforma)

Egy vektorrendszer bármely bázisa azonos számú vektorból áll.

Definíció: Mesterséges bázise1=(1,0,0,…,0,0)

e2=(0,1,0,…,0,0)

e3=(0,0,1,…,0,0)

…en-1=(0,0,0,…,1,0)

en =(0,0,0,…,0,1)



7

Vektorrendszer rangja

Definíció: (Vektorrendszer rangja (mátrixrang, sorrang, oszlop-rang))

A vektorrendszer egy (bármely) bázisában lévő vektorok számát a vektorrendszer rangjának nevezzük. Jele: rang(a1,a2,…,an)

Definíció: (Lineáris altér és dimenziója (rangja))

Lineáris altérnek nevezzük egy vektorrendszer tagjai által generált összes lehetséges lineáris kombinációinak összességét. Ezen altér rangja megegyezik a vektorrendszer rangjával.



8

Bázistábla és tulajdonságai

Adott bázis esetén egy vektorrendszer tagjait koordinátáikkal egy táblázatba (úgynevezett bázistáblába) foglalhatjuk. A táblázat fejlécében felsoroljuk a rendszer tagjait, a tábla balszélén pedig felsoroljuk a bázisbeli elemeket. Maga a tábla a vektorok koordinátáit tartalmazza az adott bázisban a tábla balszélének megfelelő kiosztásban.

a1 … an

b1 t11 … t1n

… … … …

bm tm1 … tmn



9

Pivotálás

Tétel: Pivotálás=bázisvektorcsere hatása a bázistáblára

Ha a bázistáblában valamely vektornak (legyen az s indexű) valamely koordinátája (legyen az r indexű) nem zérus, akkor a bázisban az r indexű vektort kicserélhetjük a kiszemelt s indexű vektorra. A bázistábla ezáltal a következő módon változik meg:

sorbantöbbiatt

ttt

sorbanindexűrazt

tt

isrs

rjijij

rs

rjrj



10

Ortogonalitási tétel

Tétel: Ortogonalitási tétel

Ugyanazon vektorrendszer két tetszőleges bázistáblája esetén fennáll a ti’tk”=0 összefüggés. Itt ti’ az első tábla i-dik sora, tk” pedig a második tábla k-dik oszlopa kiegészítve olyan vektorrá, amelyben annyi koordináta van, mint a vektorrendszer tagjainak a száma, miközben a kiegészítés zérusokkal történik, kivéve a k-dik koordinátát, ahol a kiegészítő elem –1. A k-dik oszlopban a koordináták olyan indexelés szerint olvasandók, mint az első tábla i-dik sorában.



11

Kompozíciós tételTétel: Kompozíciós tétel

Legyen a bázistábla kezdetben olyan, hogy a bázisban az egységvektorok (mesterséges bázis) találhatók.

Ekkor tetszőleges számú pivotálás után T=YA. Sematikusan

a1 … an e1 … em

e1 a11 … a1n 1 … 0

… … … … … … …

em a1m … amn 0 … 1

a1 … an e1 … em

b1 t11 … t1n y11 … y1m

… … … … … … …

bm t1m … tmn y1m … ymm



12

Mátrix rangja és inverze

Mátrix rangjának meghatározása

Mátrix rangja meghatározható azáltal, hogy oszlopait vektoroknak tekintve hány vektort tudunk a bázisba bevonni az egységvektorok helyére. A rang a bevont oszlopok száma.

Mátrix inverzének meghatározása

Négyzetes mátrix esetén ha a bázisba az összes oszlopot sikerült bevinni, akkor a bázistáblában az Y mátrix helyén keletkezik az eredeti inverze. A bázisban lévő vektorok indexeit a kiolvasásnál figyelembe kell venni.



13

Lineáris egyenletrendszerek és megoldásaik

Lineáris egyenletrendszerek és megoldásaik (általános megoldás)

A lineáris egyenletrendszer Ax=b alakban írható fel. A bázistáblában az A oszlopai és a b oszlop szerepel, a bázisba pedig felvesszük az egységvektorokat. Ezt követően a megoldás, ha van, pivotálások sorozatával kapható meg, mely során az egységvektorokat az A oszlopaira cserélgetjük ki. A megoldás (egy lehetséges), ha van, a b oszlopban keletkezik.

Legyen az induló tábla particionálva az alábbi módon:

A végső tábla:

a1… …an b e1… …em

e1… A11 A12 b1 Ek 0

…em A21 A22 b2 0 Em-k

a1… …an b e1… …em

a1… Ek T12 q1 Y11 0

…em 0 0 q2 Y21 Em-k



14

Lineáris egyenletrendszer általános megoldása

vektorstetszölegetahol,tE

T

0

qx

km

121ált



15

Bázismegoldás

Definíció: A lineáris egyenletrendszer bázismegoldása

Bázismegoldásnak nevezzük egy lineáris egyenletrendszer megoldását, ha a nembázisbeli koordináták zérusok, a bázisbeliek pedig nemzérusok. Degenerált bázismegoldásról beszélünk, ha a bázisbeliek között is előfordul zérus.

Definíció: A lineáris egyenletrendszer nemnegatív bázismegoldásai

Ha a bázismegoldásban a bázisbeli koordináták pozitívak akkor nemnegatív bázismegoldásról beszélünk.

Optimalizálási módszerek 1. A lineáris vektortér

Documents

Transcript of Optimalizálási módszerek 1. A lineáris vektortér