OPERACIONES ENTRE GRAFOS

Puesto que los grafos son definidos en términos de los conjuntos de vértices y aristas, es

natural que las operaciones definidas en la teoría de conjuntos puedan ser aplicadas a la

teoría de grafos.

Sean G1 = (V1,A1, fG1) y G2 = (V2,A2, fG2) dos subgrafos de un grafo G = (V,A, fG)

v1

v2 v3

v4v5

a b

c

d

e

v3

v4 v5

a h

c

d

e

g

v1

v2

v6

f

G1 G2

UNION

La unión de los subgrafos G, G1 y G2, es otro subgrafo G3 = (V3,A3, fG3) de G tal que

V3 =V1 UV2, A3 = A1 U A2 y FG3 asigna a toda arista de A3 un par de vértices deV3.

EJEMPLO

v1

v2v3

v4v5

a b

c

d

e

v3

v4

a h

c

d

e

g

v1

v2

v6

f

G1 G2

v5

v3

v4

ah

c

d

e

g

v1

v2

v6

f

v5

G1 U G2

b

O

P

E

R

A

C

I

O

N

E

S

E

N

T

R

E

G

R

A

F

O

S

INTERSECCION

SeanV1 ∩ V2 ≠ 0 la intersección de los subgrafos G1 y G2, G1 ∩ G2, es otro subgrafo

G4 = (V4,A4, fG4) de G, tal queV4 =V1 ∩ V2, A4 = A1 ∩ A2 y FG4 asigna a toda arista

de A4 un par de vértices deV4.

EJEMPLO

v1

v2v3

v4v5

a b

c

d

e

v3

v4

a h

c

d

e

g

v1

v2

v6

f

v5

G1 G2

v1

v2v3

v4v5

a

c

d

e

G1 ∩ G2

O

P

E

R

A

C

I

O

N

E

S

E

N

T

R

E

G

R

A

F

O

S

SUMA ANILLO

La suma anillo de los subgrafos G1 y G2, G1 o G2, es otro subgrafo G5 = (V5, A5, FG5) de

G, tal que V5 = V1 U V2, A5 = (A1 U A2) – (A1 ΩU A2) (1) y FG5 asigna a toda arista A5

un par de vértices de V5.

(1) Sean M y N dos conjuntos . La diferencia simétrica de M y N, escrita (M U N) – (M ∩ N), es el

conjunto de todos los elementos que pertenecen a M U N, pero que no pertenecen a M ∩ N.

v1

v2v3

v4v5

a b

c

d

e

v3

v4

a h

c

d

e

g

v2

v6

f

v5

v4

b

g

v2

v6

f

h

v5

v1

v3

G1 G2

v1

O

P

E

R

A

C

I

O

N

E

S

E

N

T

R

E

G

R

A

F

O

S

Las tres operaciones mencionadas son conmutativas, es decir:

G1 U G2 = G2 U G1, G1 ∩ G2 = G2 ∩ G1 y G1 G2 = G2 G1

Si G1 y G2 son arista-disjuntos entonces G1 ∩ G2 es igual al grafo vacio y G1 G2 =

G1 U G2. Si G1 y G2 son vértice-disjuntos, entonces G1 ∩ G2 no esta definido

arista-disjuntos vértice-disjuntos

Para todo grafo G se tiene que:

G U G = G ∩ G = G

G G es igual a grafo vacio

Si G1 es un grafo de G, entonces G G1 = G – A(G1 )

Fusión de vértices

Un par de vértices a y b de un grafo G se dice que ha sido Fusionados, si los vértices son

remplazados por un nuevo vértice, tal que toda arista incidente en a o en b, o en ambos es

Incidente en el nuevo vértice.

v1

v2

b

v1

v2

hG1 G2

v1

v2

b

v3

v4

bG1 G2

O

P

E

R

A

C

I

O

N

E

S

E

N

T

R

E

G

R

A

F

O

S

EJEMPLO FUSION DE VERTICES

La figura muestra la fusión de los vértices a y b. la arista 2 se convierte en un aro y la arista

4 en una arista paralela a la arista 5. la fusión de los vértices no altera el numero de

aristas, pero si reduce el numero de vértices en una unidad.

a

b

c

d

e

f

g

1 2

3

45

6

7

8

9

(a,b)

c

d

e

f

g

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Grafo G sin fusión Grafo G con fusión

O

P

E

R

A

C

I

O

N

E

S

E

N

T

R

E

G

R

A

F

O

S

ADICION DE UNA ARISTA

Sea G = ( V, A, f ) un grafo y u y v dos vértices de G. El grafo G+a, donde f(a) = uv denota

el grafo cuyo conjunto de vértices es V(G) y cuyo conjunto de aristas es A(G) U {a} esta

operación se llama adición de una arista a.

Claramente G es subgrafo de G+a

b

d

c

e

v2

v1v3

v4

b

d

c

e

v2

v1v3

v4

a

G G+a

Si en el grafo G los vértices u y v son adyacentes, entonces la arista a en G+a es paralela a la arista

cuyos extremos son u y v en G.

O

P

E

R

A

C

I

O

N

E

S

E

N

T

R

E

G

R

A

F

O

S

CONEXIÓN EN GRAFOS

Una RUTA en un grafo G es una sucesión finita no nula.

R = v0a1v1a2v2 … ak-1vk-1akvk

Cuyos términos son alternadamente vértices y aristas, tal que toda arista

de R tiene Como sus extremos el vértice precedente y el siguiente de la

sucesión.

En estas condiciones diremos que R es una ruta de v0 a vk , lo que

denotamos por R - ( v0,vk ).

v0 se llama vértice inicial y vk se llama vértice terminal de R.

Los vértices v1 hasta vk -1 se llaman vértices intermedios . El numero

entero k se llama la longitud de R y la denotamos por l( R ) = k

EJEMPLO

v1

v2

v3

v4

v5

v6

v7

v8

v9

R1=v3a6v5a8v6a9v7a10v5a6v3a3v2a1v1

R1-(v3,v1) y l (R1) = 7

R2=v1a1v2a4v5a6v3a5v4a7v5a8v6

R2-(v1,v6) y l (R2) = 6

R3=v8a11v7a10v5a6v3a3v2a1v1

R3-(v8,v1) y l (R3) = 5

a1

a2

a3a4

a5

a6

a7

a8a9

a10

a11

a12

C

O

N

E

X

I

Ó

N

E

N

G

R

A

F

O

S

Una ruta R – ( V0 -Vk) de un grafo G en el cual todas sus aristas son diferentes, se llama

una CADENA C – ( V0 -Vk) de grafo G. Por ejemplo, en el grafo de la figura anterior, la

ruta R2 es una cadena.

Si además todos los vértices de una cadena son diferentes, esta se llama CADENA

SIMPLE (CS) . Por ejemplo, en el grafo de la figura anterior, la ruta R3 es una cadena

simple.

Una ruta R – ( V0 -Vk) se llama RUTA CERRADA (RC) si y solo si V0 =Vk, es decir, si su

vértice inicial y su vértice terminal coinciden

Si la ruta cerrada es una cadena se llama CICLO (CI).

Si la ruta cerrada es una cadena simple se llama CICLO SIMPLE (CIS).

Las representaciones graficas de los conceptos ruta, cadena, cadena simple, ruta cerrada, ciclo y

ciclo simple son subgrafos del grafo dado.

En un grafo simple, una cadena, una cadena simple un ciclo o un ciclo simple quedan

unívocamente determinados mediante la sucesión de vértices.

C

O

N

E

X

I

Ó

N

E

N

G

R

A

F

O

S

EJEMPLO

v1

v2

v3

v4

v5

v6

v7

RC=v1a1v2a3v3a7v5a6v2a3v3a4v4a2v1 es una ruta cerrada de G

a2

a1a3

a4

a5

a6

a7

a8

a9

a10

CI=v2a6v5a7v3a4v4a8v6a11v5a10v7a5v2 es un ciclo de G

CIS=v2a6v5a11v6a8v4a4v3a3v2 es un ciclo simple de G

G

a11

C

O

N

E

X

I

Ó

N

E

N

G

R

A

F

O

S

GRAFOS CONEXOS Y NO CONEXOS

Un grafo G se llama CONEXO si dados dos vértices cualesquiera V1 yVj de G, existe una

cadena C – (V1 ,Vj ). En caso contrario, el grafo G se llama NO-CONEXO.

EJEMPLOS

G1 es un grafo conexo, mientras que G2, y G3 son grafos no-conexos.

Un grafo G no-conexo esta formado por dos o mas grafos conexos. Cada uno de estos grafos

conexos se llama una COMPONENTE CONEXA del grafo G.

Si existe una cadena C – (V1 ,Vj ) o V1 =Vj en un grafo G, diremos queV1 esta conectado con

Vj. La relación “estar conectado”, definida sobre el grafoV(G) es una relación de equivalencia

(¿por que?) . En esta relación de equivalencia cada clase de equivalencia corresponde a una

componente conexa del grafo G.

G1 G2

G3

DISTANCIA EN UN GRAFO

En un grafo conexo G, la distancia d (V1 ,Vj ) entre dos de sus vérticesV1 yVj es la

longitud de la cadena simple mas corta entre ellos, es decir, d (V1 ,Vj ) = min (CS) donde

CS - ( V1 , Vj )

EJEMPLO

d ( V1 , V5 ) = ?

Las diferentes cadenas simples CS - ( V1 , Vj ) y sus longitudes correspondientes son:

v1

v2v3

v4

v5

v6

v7

v8

a1

a2 a3

a4a5

a6

a7

a8

a9

a10

CS1: v1a1v2a2v3a3v5 (C1) = 3

CS2: v1a10v8a8v4a4v3a3v5 (C2 ) = 4

CS3: v1a10v8a8v4a7v7a6v6a5v5 (C3 ) = 5

CS4: v1a1v2a2v3a4v4a7v7a6v6a5v5 (C4 ) = 6

Por lo tanto:

d ( V1 , V5 ) = (CS) = 3

G

La distancia entre dos vértices de un grafo conexo G, puede ser considerada como una

función que asigna a cada par de vértices del grafo G un numero entero no negativo. Esta

función así definida satisface las condiciones:

1. d ( V1 , Vj ) ≥ 0 y d ( V1 , Vj ) = 0 si y solo si V1 = Vj

2. d ( V1 , Vj ) = d ( V1 , Vj )

3. d ( V1 , Vj ) = d ( V1 , Vk ) + ( Vk , Vj ) para algún vértice de Vk

La función que satisface estas tres propiedades se llama METRICA. Luego la distancia

entre los vértices de un grafo es una métrica.

Sea G un grafo conexo y v un vértice de G, la excentricidad de v, E(v), es la distancia que

hay de v al vértice mas lejano a v en el grafo G, es decir:

E(v) = máx. d ( V, V1) donde V1 Є V(G)

En un grafo conexo G un vértice con mínima excentricidad se llama el centro de G.

En el grafo de la figura anterior E(V3) = E(V4) = 2, el lector puede comparar que V3 y V4

son centros del grafo G. En un grafo conexo G la excentricidad de un centro se llama

RADIO de G

El diámetro D de un grafo conexo G, es la máxima distancia entre dos pares de vértices de

G, esto es : D(v) = máx. d ( V, W) donde V, W Є V(G)

D

I

S

T

A

N

C

I

A

E

N

U

N

G

R

A

F

O

EJEMPLO

En el grafo G1 se tiene: En el grafo G2 se tiene:

La excentricidad de cada vértice es 3 E(V1) = E(V2) = E(V3) = E(V4) = 2, E(V5) = 1

El radio de G1 es 3 El radio de G2 es 1

Todos sus vértices son centros El único centro es V5

El diámetro de G1 es 3 El diámetro de G2 es 2

v1 v2

v3

v4

v5

v6

G1

v1

v2

v3

v4 v5

G2

D

I

S

T

A

N

C

I

A

E

N

U

N

G

R

A

F

O