Es la comprensión de la estructura interna de cada operación y de las relaciones entre unas y otras.

Grossnickle (1959) estima que para apreciar las propiedades estructurales es necesario que el niño sea capaz de considerar los números como entidades existentes y manipulables por derecho propio, con independencia de cualquier contexto particular.

Otro ejemplo es la muestra de niños estadounidenses de 6 años estudiada por Carpenter y Moser, algunos de los cuales fueron capaces de utilizar relaciones aritméticas de este tipo al resolver problemas.

Por ejemplo, para resolver un problema en el que era preciso efectuar la suma de 4 + 7 un niño explicó: 7 + 3 son 10, le añadí 1 más y obtuvo 11.

Carpenter: “estrategias de descomposición”.Resolvió un problema en el que había

que sumar 6 + 8: 6 + 6 = 12 y 2 más son 14.

“estrategia de compensación”. 6 + 8: le quité uno al 8 y se lo di al 6, 7 + 7 =14.

Weaver (1955) describe el método utilizado por una maestra para descubrir las destrezas, pautas de pensamiento y grado de comprensión de los hechos básicos del proceso de multiplicación de cada uno de los niños de su clase.

Alumno Hechos previamente enseñados

Hecho no enseñado

7x 3

8 x 4 = 9x 5

Sally Respuesta automática

Dudó. Después recitó la tabla entera.

Dudó diciendo: yo no sé eso. Después escribió 5 hileras de 9 puntos y los contó de 1 en 1 llegando a 45.

David Respuesta automática

Dijo: 6 cuatros son 24, 7 cuatros son 28, 8 cuatros son 32…

Dijo: ahora ya sé cómo calcular eso, 5 decenas son 50, así que le quito 5 y resulta 45.

Williams (1964) da una lista de las propiedades estructurales de las operaciones aritméticas.

1. Identidad. 2. Conmutatividad. ( 2 + 3 = 3 + 2; 2 x 3 = 3 x 2 ) 3. Asociatividad. [(2+3)+4=2+(3+4) o

(2x3)x4=2x(3x4)]. 4. Distributividad. Por ejemplo, [10x5=(6x5)+(4x5)] Y en la división [30:5=(20:5)+(10:5)] 5. Invariancia. 3+4=6+1,entonces (3+4)x5=(6+1)x5 6. Invariancia de la diferencia. 7. Invariancia de la razón. 2:10=1:5=20:100 no se verifica

si se suma o se resta.

Otras tres propiedades más: 8. Multiplicación y división.

4x7=7+7+7+7 o 4+4+4+4+4+4+4. 9. Operaciones inversas. 3+5=8 es equivalente a 8-5=3 y 8-3=5. 10. No asociatividad de la sustracción y

la división. 12-(6-2) no es igual a (12-6)-2.

Como es obvio el niño no aprende

conscientemente estas propiedades en forma abstracta.

Ginsburg dice que es importante que los niños se sientan estimulados para percatarse de las propiedades. Cita el ejemplo de Bárbara de 6 años

5 7 3 2 +7 +5 +2 +3

La niña trató de igual modo todos los ejercicios por ello Ginsburg hace hincapié en que es preciso reconocer que su comprensión es muy limitada.

Willington (1967) examinó hasta qué punto habían reconocido la conmutatividad de la multiplicación. Tomó 6 floreros y colocó 4 flores en cada uno preguntándole después al niño cuántas flores había en cada florero si los floreros solamente fueran 4.

Willington ideó un test para la asociatividad de la adicción.

Por ejemplo; (2+3)+4=2+(3+4) puso:

Tanto P.G. Brown (1969) como Willington idearon pruebas prácticas de distributividad de la multiplicación respecto de la adición. 5x4=(2x4)+(3x4)

El planteamiento de Willington fue mas concreto.

Grossnickle: una vez alcanzado un estadio en el que los niños estuvieran familiarizados con las propiedades estructurales de las operaciones y fuesen capaces de aceptarlas sería el momento de introducirles en un tercer estadio de desarrollo.

El objetivo es enriquecer y reforzar lo aprendido.

En ninguna de las investigaciones anteriores existe preocupación porque el niño aprenda las propiedades aritméticas. Lo que importa es que el alumno esté capacitado para manejar los números con soltura

El algoritmo es el término utilizado para denotar un procedimiento mecánico, a ejecutar paso a paso.

Plunkett asegura que se les enseñan a casi todos los niños los algoritmos típicos para el cálculo por escrito de las cuatro reglas aritméticas.

Considera que la característica más destacada es su cualidad analítica.

Un ejemplo tomado de Ginsburg es una niña llamada Seslie de 9 años:

Se le pidió que sumase 123+5+4, la niña anotó los números pero los alineó mal.

123 Obtuvo 219 efectuando 52 3+2+4=9; 12+5+4=21 + 4 Finalmente combinó

ambos 219 resultados.

Lowry (1965) señala que al enseñar los algoritmos típicos de cálculo paso a paso se está pensando que el proceso será mejor racionalizado por el niño en el futuro.

Williams afirma que es probable que el niño pierda la pista de lo que está ocurriendo en los mecanismos calculatorias tan depurados

“pasividad cognitiva”.

Cox estudió Se valió de dos muestras. Descubrió que el error mas frecuente

se producía al efectuar la sustracción y consistía en restar el dígito menor del mayor.

43 -17 34

En el caso del algoritmo de adición halló que se cometían 51 tipos diferentes de errores, 23 de ellos tenían que ver con renombrar (sumar llevando).

56+28 74

En el caso del algoritmo de sustracción 28 errores tenían que ver con el reagrupamiento.

53-14 41

Errores de multiplicación. Los niños sufren confusiones con los

diversos pasos que comporta el procedimiento.

313 x3319

Errores en la división.Muchos errores se deben a una deficiente comprensión del proceso algorítmico.

85:5=11

Roberts en su estudio de las estrategias de fracaso en aritmética de 148 niños de 9 años, halló que éstos cometían errores muy similares a los de Cox. Destaca la frecuencia con la que los alumnos mezclaban operaciones.

314 112 x 6 - 36 364 136

Engelhardt afirma que en su estudio se produjeron con mayor frecuencia errores en el contexto de operaciones con números polidígitos.

27 x9 236 5

“Operación incorrecta”: 2x3=5

Se tiene un “error 0” cuando hay señales de que alumno tiene dificultad con el concepto 0.

1 0 3 -0 -5 x0 0 5 3

También Oesterle (1959) examina las dificultades del 0. Tratar de dar

significado a las operaciones con el 0 resulta un tanto absurdo en el nivel

primario. Por ello señala los peligros de considerar 0 como sinónimo de “nada”,

el 0 debería ser considerado como “nada de alguna cosa”.

Como señala Duffin (1976) los algoritmos de división pueden presentar dificultad dado que se efectúan de izquierda a derecha.

9:216=321 6 entra en 9 a 1; resto 3; sumando 3 a 1 da 4.

4 entra en 9 a 2; resto 1; sumando 1 a 2 da 3.3 entra en 9 a 3.

216 9 entra en 6 a 0

9 9 entra en 1 a 0

000 9 entra en 2 a 0

Ward (1979), al encuestar a maestros de niños de 10 años pidió ejemplos de errores comunes. Los errores más comunes se referían a la resta y a la notación.7+12 es escrito 7 +12O al reagrupar:

15+19 61 4

Brown y Burton (1978) y Burton (1981) han investigado los errores que se presentan en el algoritmo de sustracción valiéndose de 2500 niños estadounideses.

Los 7 “chinches” más comunes:

Regla de reparación.Inventada por el niño depende de la medida en que comprenda los fundamentos del algoritmo. Por lo general, las reglas de reparación erróneas entran en conflicto con las propiedades estructurales de los números o de las operaciones aritméticas.

comprensión: el aprendizaje del significado y la estructura de los números y de las operaciones

Por ejemplo Brown cita el caso de un niño de 12 años que no sabe cual es el siguiente de 639963100, en cambio, si puede realizar multiplicaciones con varios decimales

Dickson dedujo que los niños son capaces de aplicar de una forma correcta los algoritmos, aunque no los entiendan realmente.

Propuso a una niña la siguiente suma: 78+932+6+4001. La niña realizó correctamente esta suma, pero cuando decía “me llevo uno”, no sabía realmente porqué, explicaba esto diciendo que sólo se dice “me llevo una”.

Ginsburg: la incomprensión de los algoritmos se debe a que no se comprenden las ideas aritméticas de carácter general.

Resnick: esto se debe a que no se establece una relación adecuada entre la semántica del sistema base con la sintaxis de los algoritmos escritos.

Brown concluyó que los niños que entienden los algoritmos, son capaces de explicar por qué funcionaba, mientras que ninguno de los que cometieron errores en el procedimiento, supieron hacerlo.

Suydam y Dessart señalan que los algoritmos se aprenden mejor por medio de la experiencia. La comprensión es más fácil al utilizar materiales concretos, seguidos de semiconcretos y finalmente abstractos (símbolos).

Enseñar a un niño a efectuar multiplicaciones grandes no va a tener sentido si es escasa su comprensión de los números grandes, o es reducida su comprensión de la naturaleza de la operación de multiplicar (su significado y estructura).

Lowry pretende conseguir alcanzar métodos de cálculos más eficientes.

Suydam y Dessart ofrecen otros métodos de cálculo para cada una de las operaciones. › Para la adición mediante un algoritmo como:

20+6 26+40+7 +47 60+13=73 13 60 73

› En el caso de la sustracción: 50+4=40+14-(20+5)- (20+5)

20+9=29

› Para la multiplicación: 50+2 52x(30+8) x38400+16 161500+60 4001900+76=1976 60 1500

1976› Y en el caso de la división: 463 ÷ 35350 10113105 3 8 13 resto 8

Ashlock sugiere otros algoritmos cuyo objetivo es reducir la cantidad de información que el niño ha de retener a la vez en la mente. Entre ellos algunos ejemplos son la adición y la división:› Adición: Método de las decenas.

› División: Método de duplicación.

Brown sugiere que el trabajo con algoritmos tiene que cargar el acento en la necesidad de que los niños hagan preguntas y exploren diversos métodos de cómputo.

Ginsburg afirma que casi todos los niños de seis años que efectúan con éxito cálculos, los efectúan por medio de alguna estrategia de recuento que constituyen el fundamento de métodos informales.

Carpenter y Moser llegaron a la conclusión de que los niños pequeños no transforman los problemas en único tipo ni aplican solo una estrategia, ya que los niños disponen de muchas estrategias y se valen de muchas de ellas.

Ginsburg afirma que les resulta más fácil y más cómodo los métodos que ellos inventan que los algoritmos enseñados en la escuela.

Algoritmos de cálculo mental de Plunkett:› Son flexibles y adaptables a los números a

operar.› Son métodos activos, en el sentido en que el

usuario efectúa una elección definida (aunque no muy consciente) del método a utilizar y posee control de sus propios cálculos.

› Se trata de métodos holísticos, porque trabajan con los números completos, en lugar de hacerlo con decenas y unidades por separado.

› Son métodos constructivos.› Exigen compresión a lo largo de todo su

desarrollo. › Son icónicos. O bien se refieren a un

icono tal como la representación de un número por una línea o cuadrado, o se fundan en la enumeración serial.

› No pocas veces dan una aproximación rápida del valor correcto.

Desde el punto de vista del maestro, los algoritmos mentales tienen ciertos inconvenientes. Aunque como Plunkett señala a veces es difícil capturarlos en palabras.

Plunkett propone un método de enseñanza de la aritmética elemental con el objetivo de mostrar su significado y su estructura. Se compone de tres fases:

› Fase 1: Esta fase se ocupa de desarrollar la comprensión de los números y del principio de valor posicional.

› Fase 2: El niño se encuentra en situación de hacer buen uso de la calculadora para resolver problemas más difíciles.

› Fase 3: Se centra en el desarrollo de métodos escritos informales.