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Ondes elastiques dans les solides isotropes—

Notes de cours

Tony [email protected]

Universite Pierre et Marie Curie - Paris 6Institut Jean Le Rond d’Alembert - UMR CNRS 7190

4, place Jussieu - 75252 Paris cedex 05 France

Table des matieres

1 Propagation d’ondes elastiques en milieu libre 51 Rappel de mecanique des milieux continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1 Deformations et contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Conditions aux frontieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Decouplage de l’equation de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1 Decomposition de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Polarisation des ondes de volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Bilan energetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.1 Theoreme de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Calculs des flux d’energie en regime harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Dissipation viscoelastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.1 Loi de comportement viscoelastique lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2 Modeles rheologiques simples de viscoelasticite lineaire . . . . . . . . . . . . . . 124.3 Vitesses et attenuations dans un milieu viscoelastique . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Reflexion et transmission aux interfaces 151 Reflexion a une surface libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1 Onde incidente longitudinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2 Onde incidente transverse verticale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Reflexion et transmission a une interface solide–fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1 Onde longitudinale incidente dans le solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2 Onde transverse verticale incidente dans le solide . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3 Onde longitudinale incidente dans le fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Propagation d’ondes guidees 271 Propagation d’ondes de surface et d’interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.1 Onde de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.2 Interface solide – fluide : ondes de Scholte et de Rayleigh fuyante . . . . . . . . 301.3 Interface solide – solide : ondes de Stoneley et de Rayleigh fuyante . . . . . . . 32

2 Propagation d’ondes de plaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.1 Ondes transverses horizontales guidees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2 Ondes de Lamb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4 Generation, detection et mesures des ondes ultrasonores 431 Sources ultrasonores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.1 Transducteurs piezoelectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.2 Transducteurs EMAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.3 Generation et detection laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3

4 TABLE DES MATIERES

2 Rappels sur la dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.1 Applications numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.2 Mesures de la vitesse de phase et de l’attenuation . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Chapitre 1

Propagation d’ondes elastiques enmilieu libre

On s’interesse dans ce chapitre a la propagation d’ondes elastiques dans un solide homogene,isotrope et infini. Le vecteur u(x, t) represente le champ de deplacement en un point de coordonneesx = (x1, x2, x3) et a l’instant t.

1 Rappel de mecanique des milieux continus

1.1 Deformations et contraintes

Un solide est qualifie d’elastique lorsqu’il se deforme sous l’effet d’une sollicitation quelconque etqu’il reprend sa forme initiale a l’arret de cette sollicitation. Dans le cadre de l’elasticite lineaire, lesdeformations induites par des sollicitations mecaniques sont supposees petites. Les composantes dutenseur des deformations sont alors exprimees en fonction des composantes du champ de deplacementpar la relation

εij = 12

(∂ui∂xj

+ ∂uj∂xi

). (1.1)

Lorsqu’un solide est deforme, des contraintes apparaissent afin de ramener le solide dans son etat aurepos. Dans l’hypothese de petites deformations, le tenseur des contraintes est relie au tenseur desdeformations par la loi de comportement

σij = Cijklεkl, (1.2)

ou le terme Cijkl represente les composantes du tenseur d’elasticite (tenseur d’ordre 4). Les tenseurs desdeformations et des contraintes etant symetriques, le tenseur d’elasticite verifie les egalites suivantes

Cijkl = Cjikl = Cijlk = Cklij . (1.3)

Compte tenu de ces egalites et de l’expression des composantes du tenseur des deformations, la loi decomportement (1.2) peut etre mise sous la forme

σij = 12Cijkl

(∂uk∂xl

+ ∂ul∂xk

)= 1

2

(Cijkl

∂uk∂xl

+ Cijlk∂uk∂xl

), (1.4)

d’ouσij = Cijkl

∂uk∂xl

. (1.5)

6 1 Propagation d’ondes elastiques en milieu libre

Le tenseur d’elasticite, compte tenu des egalites (1.3), comporte au maximum 21 composantesindependantes. Dans le cas des solides isotropes, ces composantes sont donnees par la relation

Cijkl = λδijδkl + µ(δikδjl + δilδjk), (1.6)

ou λ et µ sont appeles les coefficients de Lame. Le tenseur des contraintes peut alors etre exprime enfonction du tenseur des deformations par la relation

σ = λ Tr εI + 2µε. (1.7)

1.2 Conditions aux frontieres

Si on considere deux solides separes par une interface plane notee S de normale n 1, un contactparfait entre ces deux solides implique que les conditions aux frontieres entre ces deux solides sont lacontinuite des vecteurs tractions orientes selon la direction n et des deplacements. Ces conditions auxfrontieres s’ecrivent formellement pour deux milieux indices 1 et 2 :σ1(x, t).n = σ2(x, t).n, en x ∈ S,

u1(x, t) = u2(x, t), en x ∈ S.(1.8)

Si on considere un fluide parfait indice 2 en contact avec un materiau solide indice 1, les conditions auxfrontieres sur la surface S de normale n sont desormais la continuite des vecteurs tractions orientesselon la direction n et des composantes normales des deplacements :σ1(x, t).n = σ2(x, t).n, en x ∈ S,

u1(x, t).n = u2(x, t).n, en x ∈ S.(1.9)

Dans le cas d’un fluide parfait, le tenseur des contraintes est un tenseur diagonal dont les coefficientsde la diagonale sont l’oppose de la pression acoustique. En consequence, la contraintes normales sontcontinues a l’interface S et les contraintes tangentielles sont nulles car ces dernieres sont toujoursnulles dans un fluide en l’absence de viscosite. Si la viscosite du fluide est prise en compte, alors lesconditions aux frontieres a utiliser sont les memes que celles a l’interface entre deux solides et noncelles entre un solide et un fluide parfait.

Il existe egalement deux conditions limites classiques a la surface d’un materiau solide : la surfacelibre et la surface rigide. La surface libre correspond a une interface separant un materiau solide etdu vide. Les conditions aux frontieres sont alors l’annulation du vecteur traction sur la surface libre :σ(x, t).n = 0. Ce type de conditions aux frontieres est tout de meme couramment utilise pour desinterfaces entre un solide et de l’air car l’air est un fluide tres leger et tres compressible devant la plupartdes materiaux solides classiques. A l’inverse, une surface rigide correspond, comme son nom l’indique,a une interface separant un materiau solide d’un materiau beaucoup plus rigide. Les conditions auxfrontieres sont alors l’annulation du vecteur deplacement sur la surface rigide u(x, t) = 0. Ce type deconditions aux frontieres reste toutefois assez peu utilise dans le cas des solides, mais peut s’avererutile lorsque le materiau est tres deformable.

2 Decouplage de l’equation de propagation

Dans les solides homogenes et isotropes, le deplacement elastique u est solution de l’equation dumouvement

ρ∂2u

∂t2= divσ + F , (1.10)

1. L’orientation vers l’un ou l’autre des materiaux est sans importance.

2 Decouplage de l’equation de propagation 7

ou ρ est la masse volumique du solide et ou F une force volumique exterieure representant une sourcede volume.

2.1 Decomposition de Helmholtz

Sachant que la divergence du tenseur des contraintes a pour expression

divσ = (λ+ µ) grad( divu) + µ∆u, (1.11)

l’equation de propagation (1.10) en l’absence de source (F = 0) peut etre mise sous la forme

ρ∂2u

∂t2= (λ+ µ) grad( divu) + µ∆u. (1.12)

Sachant que le laplacien d’un vecteur se decompose de la maniere suivante

∆A = grad( divA)− rot( rotA), (1.13)

l’equation du mouvement (1.12) peut alors etre mise sous la forme

ρ∂2u

∂t2= (λ+ 2µ) grad( divu)− µ rot( rotu). (1.14)

Le champ de deplacement est recherche en faisant usage de la decomposition de Helmholtz

u = uL + uT avec

uL = gradϕ,uT = rotψ,

(1.15)

ou ϕ est un potentiel scalaire et ψ est un potentiel vectoriel. Compte tenu des relations rot grad ≡ 0,div rot ≡ 0,

(1.16)

il vient inevitablement que le champ uL est irrotationnel ( rotuL = 0) et que le champ uT est adivergence nulle ( divuT = 0). Ces proprietes mathematiques sont particulierement importantes etpermettent de faire de nombreuses simplifications dans les calculs. En particulier, leur utilisationpermet de mettre l’equation du mouvement (1.14) sous la forme

ρ∂2uL∂t2

+ ρ∂2uT∂t2

= (λ+ 2µ) grad( divuL)− µ rot( rotuT ). (1.17)

L’application d’une part du rotationel et d’autre part de la divergence a cette equation conduit auxdeux equations de propagation suivantes

∂2uL∂t2

− c2L grad( divuL) = 0,

∂2uT∂t2

+ c2T rot( rotuT ) = 0,

(1.18)

ou les celerites des ondes longitudinale cL et transverse cT sont definies par les relations

cL =√λ+ 2µρ

et cT =√µ

ρ. (1.19)

Les proprietes des champs uL et uT permettent ensuite d’ecriregrad( divuL) = ∆uL,rot( rotuT ) = −∆uT ,

(1.20)


Materiau ρ (g.cm−3) λ (GPa) µ (GPa) cL (mm.µs−1) cT (mm.µs−1)Acier 7,5–9 95–140 75–90 5,2–6,5 2,9–3,5Aluminium 2.7 58 26 6,3 3,1Beton? 1.3–2.5 5–14 8–21 2,9–6,5 1,8–4Diamant 3.5 340 510 19,7 12,1Epoxy◦ 1.1–1.4 1.4–3.6 0.7–1.9 1,4–2,6 0,7–1,3Plexiglas◦ 1.2 3,4–7,8 0,8–1,2 2–2,9 0,8–1Plomb 11.5 39 6,3 2,1 0,75PVC◦ 1.1–1.5 1,7–5,7 0,7–1,5 1,4–2,8 0,7–1,2Titane 4.5 77 43 6 3Verre 2,4–2,8 14–25 20–38 4,4–6,5 2,7–4

Table 1.1 – Valeurs de la masse volumique, des coefficients de Lame et des vitesses des ondes devolume dans differents materiaux. Les milieux pouvant etre consideres comme heterogenes aux frequencesultrasonores sont reperes par l’exposant ? et les milieux viscoelastiques sont reperes par l’exposant ◦.

conduisant alors aux equations de D’Alembert pour les deplacements uL et uT∂2uL∂t2

− c2L∆uL = 0,

∂2uT∂t2

− c2T∆uT = 0.

(1.21)

En utilisant la definition des champs uL et uT en fonction des potentiels ϕ et ψ, ces equationsvectorielles peuvent egalement etre remplacees par les equations

∂2ϕ

∂t2− c2

L∆ϕ = 0,∂2ψ

∂t2− c2

T∆ψ = 0.(1.22)

L’equation de propagation vectorielle a trois inconnues (les trois composantes du champ dedeplacement u) (1.10) a ete remplacee par une equation scalaire a une inconnue (le potentiel ϕ)et une equation vectorielle a trois inconnues (les trois composantes du potentiel ψ). Afin de resoudrel’equation (1.12), il peut etre necessaire d’utiliser la condition de jauge :

divψ = 0. (1.23)

Afin d’avoir une idee des ordres de grandeur des vitesses des ondes longitudinale et transversedans les materiaux solides, les valeurs de ces vitesses pour quelques materiaux usuels sont consigneesdans le tableau 1.1.

2.2 Polarisation des ondes de volume

Dans le cas d’une onde plane harmonique de pulsation ω se propageant dans la direction n, ledeplacement associe a cette onde est defini par l’expression

u(x, t) = AQej(ωt−k.x), (1.24)

ou A est l’amplitude ”de deplacement” de l’onde, ou Q est le vecteur polarisation et ou k est le vecteurd’onde. Ce dernier est relie a la direction de propagation n par la relation k = kn, ou le nombre d’ondek depend de la nature de l’onde, c’est-a-dire longitudinale ou transverse. Le vecteur polarisation Q

3 Bilan energetique 9

est choisi norme et il represente la direction du deplacement des particules au passage de l’onde. Ildepend donc de la nature de l’onde et de sa direction de propagation n.

Si on considere une onde plane longitudinale se propageant dans la direction n avec le nombred’onde kL = ω/cL, le deplacement est du type

uL(x, t) = ALQLej(ωt−kLn.x). (1.25)

Le champ de deplacement d’une onde longitudinale etant irrotationnel, il vient immediatement

rotuL = 0 ⇐⇒ n ∧QL = 0. (1.26)

De la meme maniere, si on considere une onde plane transverse se propageant dans la direction n avecle nombre d’onde kT = ω/cT , le deplacement est du type

uT (x, t) = ATQT ej(ωt−kTn.x). (1.27)

Le champ de deplacement d’une onde transverse etant a divergence nulle, il vient

divuT (x, t) = 0 ⇐⇒ n.QT = 0. (1.28)

La polarisation de l’onde longitudinale est colineaire a la direction de propagation, puisque n∧uL = 0,et la polarisation de l’onde transverse est perpendiculaire a la direction de propagation, puisque n.uT= 0. Ainsi, pour une direction de propagation donnee, par exemple n = e1, il peut exister une ondelongitudinale polarisee dans la direction de propagation (QL = e1) et deux ondes transverses polariseesperpendiculairement a la direction de propagation (QT1 = e2 et QT2 = e3).

Onde longitudinale Onde transverse

3 Bilan energetique

3.1 Theoreme de Poynting

La puissance instantanee fournie par les sources volumiques F est donnee par la relation

dwdt = Fiui. (1.29)

Compte tenu de l’equation de propagation (1.10), cette puissance peut etre mise sous la forme

dwdt = ρuiui −

∂σij∂xj

ui (1.30)

ou encoredwdt = ρuiui + σij

∂ui∂xj− ∂(σij ui)

∂xj. (1.31)

On remarque immediatement que le premier terme du membre de droite de cette equation corresponda la derivee temporelle de la densite d’energie cinetique

ec(x, t) = 12ρu

2i (1.32)


et que le second correspond a la derivee temporelle de la densite d’energie elastique

ep(x, t) = 12σijεij . (1.33)

Le troisieme et dernier terme est la divergence du vecteur de Poynting P defini par la relation,

P = −σ.u. (1.34)

Finalement, l’expression locale de la loi de conservation de l’energie peut etre mise sous la forme

dwdt = d(ec + ep)

dt + divP . (1.35)

3.2 Calculs des flux d’energie en regime harmonique

Dans le paragraphe precedent, les quantites utilisees pour effectuer le bilan d’energie sontdes quantites reelles. Toutefois, dans de nombreuses situations et notamment dans le cas d’ondesharmoniques, les champs de deplacement sont recherches sous forme complexe. La moyenne temporelledu flux total d’energie sur une surface unitaire de normale n a pour expression

〈Φ〉 = 1T

∫ T

0P .ndt, (1.36)

ou le vecteur de Poynting a pour expression

P = −Re(σ).Re(u), (1.37)

d’ou l’expression de 〈Φ〉 :〈Φ〉 = −1

2(σ.u?).n. (1.38)

En reprenant l’exemple enonce precedemment d’une onde longitudinale se propageant dans ladirection x1, le champ de deplacement peut etre mis sous la forme

uL(x1, t) = (Q1, 0, 0)tej(ωt−kLx1) (1.39)

et ainsi la moyenne temporelle du flux d’energie a pour expression

〈Φ〉 = 12jωσ11(u?L.e1). (1.40)

Afin de calculer cette moyenne, il est necessaire d’exprimer la contrainte σ11 :

σ11 = −jkL(λ+ 2µ)Q1ej(ωt−kLx1). (1.41)

La moyenne temporelle du flux d’energie associee a une onde longitudinale a donc pour expression

〈Φ〉 = 12ω

2ZL|Q1|2, (1.42)

ou ZL = ρcL est l’impedance associee a l’onde longitudinale.

De la meme maniere, en considerant la propagation d’une onde transverse dans la direction x1 etpolarisee selon x3, le champ de deplacement peut etre mis sous la forme

uT (x, t) = (0, 0, Q3)tej(ωt−kT x1) (1.43)

4 Dissipation viscoelastique 11

et ainsi la moyenne temporelle du flux d’energie a pour expression

〈Φ〉 = 12jωσ13.(u?.e3), (1.44)

avecσ13 = −jkTµQ3e

j(ωt−kT x1). (1.45)

La moyenne temporelle du flux d’energie associee a une onde transverse a donc pour expression

〈Φ〉 = 12ω

2ZT |Q3|2, (1.46)

ou ZT = ρcT est l’impedance associee a l’onde transverse. La moyenne temporelle du flux d’energien’est donc pas la meme pour une onde plane longitudinale et pour une onde plane transverse.

4 Dissipation viscoelastique

Dans la gamme des frequences ultrasonores, beaucoup de materiaux ne peuvent plus etre considerescomme purement elastique et les pertes viscoelastiques doivent alors etre prises en compte. La rheologiedepend toutefois des materiaux. Par exemple, les materiaux metalliques tels l’acier ou l’aluminiumsont tres faiblement dissipatifs aux frequences proches du MHz, alors que les materiaux comme lespolymeres ou les resines le sont particulierement. Il existe de nombreux modeles pour decrire toutesces rheologies, le degre de complexite augmentant avec le nombre de parametres physiques a prendreen compte. Dans cette partie, la modelisation generale de la viscoelasticite est presentee, de meme queles deux modeles les plus simples pour decrire la rheologie d’un materiau viscoelastique.

4.1 Loi de comportement viscoelastique lineaire

Selon le theoreme de superposition de Boltzman, la loi de comportement d’un materiauisotrope viscoelastique lineaire s’ecrit en fonction d’une integrale liant les contraintes a l’histoire desdeformations [1]

σ(r, t) = I

∫ t

−∞λ(t− t′)∂ Tr ε(r, t′)

∂t′dt′ + 2

∫ t

−∞µ(t− t′)∂ε(r, t

′)∂t′

dt′, (1.47)

ou le tenseur des deformations elastiques ε en regime harmonique est donne par la relation

ε(r, t) = ε(r)ejωt = 12

[gradu(r) + grad

tu(r)

]ejωt. (1.48)

Les fonctions λ(t) et µ(t) sont decomposees en une partie statique et une partie dynamique [1],λ(t) = λ0 + λ′(t) avec lim

t→∞λ′(t) = 0,

µ(t) = µ0 + µ′(t) avec limt→∞

µ′(t) = 0,(1.49)

ou les coefficients de Lame λ0 et µ0 traduisent le comportement purement elastique du materiau etou λ′ et µ′ sont des fonctions de relaxation causales modelisant le comportement viscoelastique dumateriau. Ainsi, le tenseur des contraintes peut etre mis sous la forme

σ(r, t) = λ0I Tr ε(r, t) + 2µ0ε(r, t)

+ I

∫ t

−∞λ′(t− t′)∂ Tr ε(r, t′)

∂t′dt′ + 2

∫ t

−∞µ′(t− t′)∂ε(r, t

′)∂t′

dt′, (1.50)


puis, apres avoir reporte l’expression du tenseur des deformations,

σ(r, t) = σ(r)ejωt =I Tr ε(r)[λ0e

jωt + jω

∫ t

−∞λ′(t− t′)ejωt′ dt′

]+ 2ε(r)

[µ0e

jωt + jω

∫ t

−∞µ′(t− t′)ejωt′ dt′

]. (1.51)

En utilisant le changement de variable τ = t− t′, le tenseur des contraintes peut etre mis sous la formede la loi de Hooke,

σ(r) = λI Tr ε(r) + 2µε(r) (1.52)

avec λ = λ0 + jω

∫ ∞0

λ′(τ)e−jωτ dτ,

µ = µ0 + jω

∫ ∞0

µ′(τ)e−jωτ dτ.(1.53)

Apres avoir defini l’expression de la transformee de Fourier temporelle f(ω) d’une fonction f(t) parla relation 2

f(ω) =∫ +∞

−∞f(t)e−jωt dt, (1.54)

les coefficients λ et µ ont alors pour expressions respectivesλ(ω) = λ0 + jωλ(ω),µ(ω) = µ0 + jωµ(ω).

(1.55)

Ces deux coefficients sont des modules dynamiques de viscoelasticite ecrits sous la forme de sommesde parties elastiques (λ0 et µ0) independantes de la frequence et de parties viscoelastiques (λ et µ), cesdernieres etant les transformees de Fourier des fonctions de relaxation λ′ et µ′. Bien que le raisonnementpresente dans cette partie ait ete effectue en considerant les coefficients de Lame generalises, desraisonnements similaires peuvent etre appliques en utilisant d’autres couples de modules d’elasticitetels que le module d’Young et le coefficient de Poisson ou encore le module de compression et le modulede cisaillement.

4.2 Modeles rheologiques simples de viscoelasticite lineaire

Dans ce paragraphe, les modules dynamiques d’elasticite λ et µ sont representes par le module Cpour lequel differentes expressions sont donnees dependant des modelisations de la viscoelasticiteconsiderees. Pour rappel, le module dynamique est defini tel que

C(ω) = C0 + jωC(ω), (1.56)

ou C0 un module d’elasticite independant du temps (et donc de la frequence) et ou C(ω) est la trans-formee de Fourier temporelle de la fonction de relaxation causale C ′(t). Il est important de noter quel’unite de C0 est le Pascal, tandis que celle du module C est le Pascal.seconde. C0 est donc homogenea une elasticite et C a une viscosite.

Le modele rheologique le plus simple pour representer les pertes viscoelastiques dans les materiauxsolides est le modele de Kelvin-Voigt, pour lequel la fonction C ′(t) est definie telle que

C ′(t) = ηδ(t), (1.57)

2. La convention temporelle pour le regime harmonique etant fixee en ejωt, cela impose le signe ”-” dans l’expressionde la transformee de Fourier.

4 Dissipation viscoelastique 13

ou δ(t) est la fonction de Dirac et η est une viscosite. Le module dynamique a alors pour expression

C(ω) = C0 + jωη. (1.58)

Du point de vue phenomenologique, il correspond a la mise en parallele d’un ressort de raideur C0et d’un amortisseur de coefficient d’amortissement η. La partie reelle du module dynamique est lemodule elastique C0 et la partie imaginaire est la partie visqueuse ωη, qui depend donc lineairementde la frequence. Ce type de modelisation n’est toutefois valable tant que la partie visqueuse est faibledevant la partie elastique. Il est utilise pour les materiaux metalliques et les alliages dans la gamme defrequences ultrasonores classiques (entre la dizaine de kHz et la dizaine de GHz). Pour des materiauxmoins rigides, tels les plastiques ou certains polymeres, ce type de modelisation ne peut etre utilise audela de quelques MHz.

Le second modele est le modele de Maxwell qui correspond a l’association en serie d’un ressort etd’un amortisseur. Le module d’elasticite instantane a alors pour expression,

C ′(t) = C∞H(t)e−t/τ , (1.59)

ou H(t) est l’echelon de Heaviside, ou C∞ est un module d’elasticite independant de la frequence etou τ est un temps de relaxation. Le module dynamique C est alors donne par l’expression,

C(ω) = C0 + C∞(ωτ)2 + jωτ

1 + (ωτ)2 . (1.60)

10−2 10−1 100 101 102

ωτ

0

C0

C0 + C∞ Re(C)Im(C)

La partie reelle du module dynamique dependde la frequence et comporte deux valeurs asymp-totiques une a basse frequence C0 et une a hautefrequence C0 + C∞. La partie imaginaire tend versC∞ωτ a basse frequence et vers C∞/(ωτ) a hautefrequence. Sa valeur la plus elevee (C∞/2) est at-teinte lorsque la frequence est proche de l’inverse deson temps de relaxation, c’est-a-dire pour ωτ → 1.La partie reelle du module dynamique etant princi-palement liee a la vitesse de phase de l’onde et la par-tie imaginaire a l’attenuation, lorsque la frequenced’excitation est telle que ωτ → 1, l’onde peuts’averer dispersive et tres attenuee.

Pour rappel, les modeles de Kelvin-Voigt et de Maxwell sont les deux modeles les plus simplespour decrire la viscoelasticite des materiaux solides. Ils peuvent donc s’averer limites dans plusieurssituations. Des modeles de Maxwell generalises avec plusieurs temps de relaxation ou des modelesa derivee fractionnaire peuvent alors etre utilises, mais cela augmente le nombre de parametres acaracteriser. De plus, la temperature peut avoir un role crucial dans la caracterisation de la rheologiedes materiaux puisque pour certains materiaux, tels les polymeres ou certaines resines, les temps derelaxation dependent fortement de la temperature.

4.3 Vitesses et attenuations dans un milieu viscoelastique

Puisque la prise en compte de la viscoelasticite du materiau ne modifie pas l’expression generalede la loi de Hooke, les calculs de la section 2 ne sont pas modifies. Les nombres d’ondes des ondes


longitudinales et transverses sont alors donnes par les expressions

kL = ω

√ρ

λ+ 2µet kT = ω

√ρ

µ. (1.61)

Ces nombres d’onde sont complexes et peuvent etre mis sous la forme k = k1 + jk2. Une onde planeharmonique progressive se propageant dans la direction x sera alors associe au terme

u(x, t) = u0ej(ωt−kx) = u0e

k2xej(ωt−k1x). (1.62)

Il vient immediatement que la partie imaginaire k2 du nombre d’onde doit obligatoirement etre negativek2 = −α avec α ≥ 0. α est alors appele le coefficient d’attenuation de l’onde. La partie reelle k1 dunombre d’onde est quant a elle reliee a la vitesse de phase ω = k1c.

Le module de cisaillement est mis sous la forme µ = µ1+jµ2. Le carre du nombre d’onde transversepeut donc etre mis sous la forme

k2T = k2

1 − α2 − 2jk1α = ρω2(µ1 − jµ2)µ2

1 + µ22

. (1.63)

Les parties reelle et imaginaire de cette equation sont egales conduisant au systemek2

1 − α2 = ρω2µ1µ2

1 + µ22,

2k1α = ρω2µ2µ2

1 + µ22.

(1.64)

La resolution de ce systeme d’equation conduit aux expressions de la vitesse de phase et de l’attenuationc =

√µ1ρ

(1 + µ2

2µ2

1

) 14

,

α = ω

√√√√√ ρ

2µ1

(1 + µ22µ2

1

)− 12

−(

1 + µ22µ2

1

)−1. (1.65)

Si la partie imaginaire µ2 est petite devant µ1, alors ces parametres ont pour expressions approcheesc =

√µ1ρ

= cT ,

α = ωµ22µ1

√ρ

µ1= ωµ2

2µ1cT.

(1.66)

La vitesse de phase ne depend donc que de la partie reelle du module de cisaillement, tandis quel’attenuation est proportionnelle au rapport µ2/µ1.

Dans le cas d’un modele de Kelvin-Voigt, la partie imaginaire µ2 est egale a ωη. La vitesse dephase et l’attenuation peuvent alors etre donnees par les expressions approchees

c =√µ1ρ,

α = ω2η

2µ1

√ρ

µ1.

(1.67)

La vitesse de phase ne depend alors plus de la frequence. Cela signifie que la dispersion sur la vitesse dephase induite par la viscoelasticite dans le cas du modele de Kelvin-Voigt est negligeable. Le coefficientd’attenuation est proportionnel a ω2, signifiant que l’attenuation a une dependance quadratique enfrequence.

Chapitre 2

Reflexion et transmission aux interfaces

Les phenomenes de reflexion et de transmission d’ondes aux interfaces sont traites dans ce chapitre.Les ondes etudiees sont harmoniques de pulsation ω et par souci de simplification, la dependancetemporelle exp(jωt) est omise des expressions de l’ensemble de ce chapitre.

1 Reflexion a une surface libreOn souhaite etudier la reflexion d’une onde plane harmoniquede pulsation ω a la surface libre d’un demi-espace solideisotrope et homogene situe en x3 ≤ 0. Le solide estcaracterise par la masse volumique ρ et par les coefficientsde Lame λ et µ. Dans un premier temps, la nature de l’ondeincidente n’est pas definie. Cette onde se propage dans leplan (x1, x3) avec l’angle d’incidence θI et une vitesse cI .Sa direction de propagation est representee par le vecteurnI = (sin θI , 0, cos θI)t. Le champ de deplacement en un pointde coordonnees x = (x1, x2, x3)t representant l’onde incidentea alors pour expression

x1

x3

θLθT

θI

Solide (ρ, λ, µ)

Vide

uI(x) = QIe−jkInI .x avec QI = (Q1, Q2, Q3)t et ou kI = ω/cI . (2.1)

Il a ete demontre precedemment que trois ondes peuvent exister dans les solides isotropes : uneonde longitudinale et deux ondes transverses. L’hypothese est donc faite que ces trois ondes peuventetre generees lors de l’interaction de l’onde incidente avec la surface libre x3 = 0. L’onde longitudinalereflechie se propage dans la direction nL = (sin θL, 0,− cos θL)t et les deux ondes transverses reflechiesse propagent dans la direction nT = (sin θT , 0,− cos θT )t. Ainsi, le champ de deplacement des ondesreflechies a pour expression

uR(x1, x3) = uL + uT1 + uT2 , (2.2)

avec uL(x) = rILQLe

−jkLnL.x,

uT1(x) = rIT1QT1e−jkTnT .x,

uT2(x) = rIT2QT2e−jkTnT .x,

(2.3)

et ou rIL, rIT1 et rIT2 sont des coefficients de reflexion en amplitude de deplacement. Le champ dedeplacement longitudinal est irrotationnel ( rotuL = 0), ce qui signifie que le vecteur polarisation QL

est colineaire au vecteur nL. De meme, les deux champs de deplacement transverses sont a divergence

16 2 Reflexion et transmission aux interfaces

nulle ( divuT1 = 0 et divuT2 = 0), imposant ainsi que les vecteurs polarisation QT1 et QT2 sontorthogonaux au vecteur nT . Les vecteurs polarisations ont donc pour expressions

QL =

sin θL0

− cos θL

rIL, QT1 =

cos θT0

sin θT

rIT1 , et QT2 =

010

rIT2 . (2.4)

La premiere onde transverse est appelee dans la suite l’onde transverse verticale et la seconde estappelee l’onde transverse horizontale. Compte tenu des lois de Snell-Descartes,

sin θIcI

= sin θLcL

= sin θTcT

, (2.5)

le champ de deplacement u = uI + uR dans le demi-espace peut etre mis sous la forme

u(x) = f(x1)(QIe

−jkI cos θIx3 + rILQLejkL cos θLx3 + rIT1QT1e

jkT cos θT x3 + rIT2QT2ejkT cos θT x3

),

(2.6)avec

f(x1) = e−jkI sin θIx1 = e−jkL sin θLx1 = e−jkT sin θT x1 . (2.7)

Afin de determiner les trois coefficients de reflexion en amplitude, il est necessaire d’appliquer lesconditions aux frontieres. Ces conditions sont des conditions de contraintes nulles a la surface x3 = 0du materiau

σ.e3 = 0 ⇐⇒

σ11 σ12 σ13σ12 σ22 σ23σ13 σ23 σ33

.0

01

=

000

. (2.8)

L’application des conditions aux frontieres correspond alors aux trois equations scalaires suivantes :σ13(x1, x3 = 0) = 0,σ23(x1, x3 = 0) = 0,σ33(x1, x3 = 0) = 0.

(2.9)

Il est donc necessaire de calculer les expressions en x3 = 0 des contraintes σ13, σ23 et σ33 associees achacune des quatre ondes en presences. Pour cela, compte tenu de la loi de Hooke

σij = λ∂uk∂xk

δij + µ

(∂ui∂xj

+ ∂uj∂xi

), (2.10)

les contraintes associees a l’onde incidente ont pour expressionsσI13(x1, x3) = −jµf(x1)kI (cos θIQ1 + sin θIQ3) e−jkI cos θIx3 ,

σI23(x1, x3) = −jµf(x1)kI cos θIQ2e−jkI cos θIx3 ,

σI33(x1, x3) = −jf(x1)kI [λ sin θIQ1 + (λ+ 2µ) cos θIQ3] e−jkI cos θIx3 ,

(2.11)

et celles associees aux ondes reflechies longitudinale, transverse verticale et transverse horizontale ontpour expression respectives :

σL13(x1, x3) = jµf(x1)kL sin(2θL)rILejkL cos θLx3

σL23(x1, x3) = 0,σL33(x1, x3) = −jf(x1)ωZL cos(2θT )rILejkL cos θLx3 ,

(2.12)

1 Reflexion a une surface libre 17

σT1

13 (x1, x3) = jµf(x1)kT cos(2θT )rIT1ejkT cos θT x3 ,

σT123 (x1, x3) = 0,σT1

33 (x1, x3) = jf(x1)ωZT sin(2θT )rIT1ejkT cos θT x3 ,

(2.13)

et σT2

13 (x1, x3) = 0,σT2

23 (x1, x3) = jµf(x1)kT cos θT rIT2ejkT cos θT x3 ,

σT233 (x1, x3) = 0.

(2.14)

Compte tenu de ces expressions, les composantes du tenseur des contraintes en x3 = 0 ont pourexpressions

σ13 = jµf(x1) [−kI (cos θIQ1 + sin θIQ3) + kL sin(2θL)rIL + kT cos(2θT )rIT1 ] ,σ23 = jµf(x1) [−kI cos θIQ2 + kT cos θT rIT2 ] ,σ33 = jf(x1) {−kI [sin θIλQ1 + (λ+ 2µ) cos θIQ3]− ωZL cos(2θT )rIL + ωZT sin(2θT )rIT1} ,

(2.15)et l’annulation de ces trois composantes a la surface x3 = 0 conduit directement a un systeme de troisequations a trois inconnues

kL sin(2θL)rIL + kT cos(2θT )rIT1 = kI (cos θIQ1 + sin θIQ3) ,kT cos θT rIT2 = kI cos θIQ2,

−ωZL cos(2θT )rIL + ωZT sin(2θT )rIT1 = kI [λ sin θIQ1 + (λ+ 2µ) cos θIQ3] .(2.16)

Il vient immediatement que la seconde equation de ce systeme est independante des deux autresequations. Les coefficients de reflexion rIL et rIT1 sont donc independants de la composante Q2du vecteur polarisation de l’onde incidente et le coefficient de reflexion rIT2 est independant descomposantes Q1 et Q3. Si l’onde incidente est une onde longitudinale ou transverse verticale, alorsil n’existe pas d’onde transverse horizontale reflechie (voir figure 2.1(a) et 2.1(b)) et, de la mememaniere, si l’onde incidente est une onde transverse horizontale, alors il n’y a pas d’ondes longitudinaleet transverse verticale reflechies (voir figure 2.1(c)). Dans ce second cas, on deduit de la secondeequation du systeme (2.16) que le coefficient de reflexion rIT2 est egal a 1. Dans la suite, les cas d’uneonde incidente longitudinale et d’une onde incidente transverse verticale sont traites separement. Cedecouplage entre les ondes longitudinales et transverses verticales d’un cote et les ondes transverseshorizontales de l’autre se retrouve dans le cas des interfaces solide–fluide et solide–solide, tant que lesmilieux sont isotropes.

x1

x3

Solide (ρ, λ, µ)

Vide

θL θLL L

θTTV

x1

x3

Solide (ρ, λ, µ)

Vide

θT θTTV TV

L

θL

x1

x3

Solide (ρ, λ, µ)

Vide

THθT θTTH

(a) (b) (c)

Figure 2.1 – Schema de la reflexion d’ondes dans le cas d’une onde incidente (a) longitudinale (L), (b)transverse verticale (TV) et (c) transverse horizontale (TH).


1.1 Onde incidente longitudinale

Dans le cas des solides isotropes, les vitesses des ondes longitudinales et transverses sont les memesdans toutes les directions. Les lenteurs, c’est-a-dire l’inverse des vitesses, sont egalement les memes danstoutes les directions. Les lois de Snell-Descartes peuvent alors etre facilement interpretees en observantles surfaces des lenteurs presentees sur la figure 2.2. La lecture de ces surfaces demontre rapidementque l’angle θT est toujours inferieur a l’angle d’incidence θL et donc que les ondes transverses verticalesreflechies sont toujours des ondes planes propagatives.

θT

θL

sin θLcL

=sin θTcT

θL

c−1L

c−1T

Figure 2.2 – Courbes des surfaces de lenteur pour une surface libre et une onde longitudinale incidente.

Si l’onde incidente est une onde longitudinale, le vecteur polarisation est colineaire au vecteurnI . Le vecteur polarisation est donc du type : QI = (sin θL, 0, cos θL)t. La premiere et la troisiemeequation du systeme (2.16) peuvent alors etre mises sous la forme matricielle(

κ sin(2θL) cos(2θT )− cos(2θT ) κ sin(2θT )

).

(rLLrLT

)=(κ sin(2θL)cos(2θT )

), (2.17)

avecκ = cT

cL. (2.18)

La resolution de ce systeme conduit a l’expression des coefficients de reflexion :rLL = 1

N

[κ2 sin(2θT ) sin(2θL)− cos2(2θT )

],

rLT = 2κN

sin(2θL) cos(2θT ),(2.19)

avecN = κ2 sin(2θL) sin(2θT ) + cos2(2θT ). (2.20)

Afin de verifier la loi de conservation de l’energie, il est necessaire de calculer les coefficients de reflexionen energie. Ces derniers sont donnes par les relations

RLL = 〈ΦL〉〈ΦI〉

,

RLT = 〈ΦT 〉〈ΦI〉

,(2.21)


ou 〈ΦL〉, 〈ΦT 〉 et 〈ΦI〉 sont les moyennes temporelles des flux d’energie selon la direction x3respectivement des ondes longitudinale reflechie, transverse verticale reflechie et longitudinaleincidente. En regime harmonique, la moyenne temporelle du flux d’energie au travers d’une surfaceunitaire de normale n a pour expression

〈Φ〉 = −12(σ.u?).n. (2.22)

Le choix du vecteur n est ici conditionne par la direction de propagation des ondes. Dans ce contexte,selon la direction x3, l’onde incidente ne se propage pas dans le meme sens que les ondes reflechies.Ainsi, dans le cas de l’onde incidente, la normale est n = e3 alors que dans le cas des ondes reflechiesla normale a utiliser est n = −e3. Les moyennes temporelles des flux d’energie associees aux troisondes en presence ont pour expressions

〈ΦI〉 = −12[σI13u

?I1

+ σI33u?I3

],

〈ΦL〉 = 12[σL13u

?L1

+ σL33u?L3

],

〈ΦT 〉 = 12[σT13u

?T1

+ σT33u?T3

].

(2.23)

Le report des expressions des contraintes (2.11), (2.12) et (2.13) et des deplacements (2.1) et (2.3)dans ces expressions conduit aux expressions

〈ΦI〉 = 12ω

2ZL cos θL,

〈ΦL〉 = 12ω

2ZL cos θL|rLL|2,

〈ΦT 〉 = 12ω

2ZT cos θT |rLT |2.

(2.24)

Les coefficients de reflexion en energie sont alors definis par les relationsRLL = |rLL|2,RLT = ZT cos θT

ZL cos θL|rLT |2.

(2.25)

Compte tenu des expressions (2.19) des coefficients de reflexion rLL et rLT , la somme des coefficientsde reflexion en energie a pour expression

RLL +RLT = 1N2

[∣∣∣κ2 sin(2θT ) sin(2θL)− cos2(2θT )∣∣∣2 + ZT cos θT

ZL cos θL|2κ sin(2θL) cos(2θT )|2

]= 1N2

[κ4 sin2(2θT ) sin2(2θL) + cos4(2θT ) + 2κ2 sin(2θL) sin(2θT ) cos2(2θT )

]= 1N2

[κ2 sin(2θT ) sin(2θL) + cos2(2θT )

]2= 1. (2.26)

Les evolutions des modules des coefficients de reflexion en amplitude et celles des coefficients dereflexion en energie sont tracees respectivement sur les figures 2.3(a) et 2.3(b) en fonction de l’angled’incidence θL. Le coefficient de reflexion RLL est egal a 1 et le coefficient de reflexion RLT estnul, lorsque l’onde incidente se propage en incidence normale (θL = 0◦) et en incidence rasante(θL = 90◦). Ainsi, pour ces deux valeurs d’angle d’incidence, il n’y a pas de conversion d’onde a lasurface du materiau. En revanche, les coefficients rLT et RLT presentent un maximum dans l’intervalleθL ∈ [40, 50]◦ signifiant que la conversion est optimale, mais pas maximale puisque le coefficient dereflexion RLL n’est pas nul. De plus, il est interessant de noter que le maximum du coefficient rLT


depasse 1, mais pas celui du coefficient RLT . Il est donc possible d’avoir des coefficients de reflexionen amplitude qui depassent 1, tout en respectant la loi de conservation de l’energie.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90θL

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

|rLL||rLT |

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90θL

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

RLL

RLT

(a) (b)

Figure 2.3 – Evolutions (a) des modules des coefficients de reflexion en amplitude et (b) des coefficientsde reflexion en energie en fonction de l’angle d’incidence θL.

1.2 Onde incidente transverse verticale

Les surfaces des lenteurs correspondant a une onde transverse verticale incidente sont presenteessur la figure 2.4. La lecture de ces surfaces demontre rapidement que l’angle θT est toujours inferieura l’angle d’incidence θL. Neanmoins, lorsque l’angle θL = 90◦, l’angle d’incidence est egal a un anglecritique θcL = arcsin(cT /cL) traduisant la limite entre le domaine des ondes longitudinales reflechiespropagatives (θT ≤ θcL) et le domaine des ondes longitudinales reflechies evanescentes (θT ≥ θcL).

sin θTcT

=sin θLcL

θT

θL

θT

c−1L

c−1T

c−1L

c−1T

θL

θTθT

sin θTcT

6= sin θLcL

(a) Incidence avant l’angle critique (b) Incidence apres l’angle critique

Figure 2.4 – Courbes des surfaces de lenteur pour une surface libre et une onde transverse verticaleincidente.

Si l’onde incidente est une onde transverse verticale, le vecteur polarisation est perpendiculaireau vecteur nI . Le vecteur polarisation est donc du type : QI = (cos θT , 0,− sin θT )t. La premiere et latroisieme equation du systeme (2.16) peuvent alors etre mises sous la forme matricielle(

κ sin(2θL) cos(2θT )− cos(2θT ) κ sin(2θT )

).

(rTLrTT

)=(

cos(2θT )−κ sin(2θT )

). (2.27)


La resolution de ce systeme conduit a l’expression des coefficients de reflexion en amplituderTL = 2κ

Nsin(2θT ) cos(2θT )

rTT = 1N

[cos2(2θT )− κ2 sin(2θT ) sin(2θL)

].

(2.28)

Les coefficients de reflexion en energie ont alors pour expressionsRTL = 〈ΦL〉

〈ΦI〉= ZL cos θLZT cos θT

|rTL|2,

RTT = 〈ΦT 〉〈ΦI〉

= |rTT |2,(2.29)

et un rapide calcul de la somme de ces coefficients,

RTL +RTT = 1N2

[cos4(2θT ) + κ4 sin2(2θT ) sin2(2θL) + 2κ2 cos2(2θT ) sin(2θT ) sin(2θL)

]= 1, (2.30)

montre que la loi de conservation de l’energie est bien respectee.

Les evolutions des modules des coefficients de reflexion en amplitude et celles des coefficients dereflexion en energie sont tracees respectivement sur les figures 2.5(a) et 2.5(b) en fonction de l’angled’incidence θT . Comme attendu, les coefficients rTL et RTL sont nuls pour le cas des incidencesnormale (θT = 0◦) et rasante (θT = 90◦), mais il l’est egalement pour un angle d’incidence θT = 45◦.Ce resultat classique peut etre deduit analytiquement au regard de l’expression (2.28) du coefficientrTL (cos(2θT ) = 0). Ainsi, a l’instar du cas de l’onde incidente longitudinale, il n’y a pas de conversiond’onde pour cet angle particulier. De plus, pour les angles d’incidence superieurs a l’angle critique θcL,le coefficient de reflexion RTL est nul et le coefficient RTT est egal a 1 signifiant que toute l’energieportee par l’onde incidente a ete transmise a l’onde transverse verticale reflechie. Ce resultat est assezlogique puisque pour ces angles d’incidence, l’onde longitudinale reflechie est evanescente et donc ellene propage pas d’energie.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90θT

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6|rTL||rTT |

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90θT

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0RTL

RTT

(a) (b)

Figure 2.5 – Evolutions (a) des modules des coefficients de reflexion en amplitude et (b) des coefficientsde reflexion en energie en fonction de l’angle d’incidence θT .

L’evolution des coefficients de reflexion en energie ne permet donc pas d’observer le comportementdes ondes evanescentes et il apparaıt donc important d’observer l’evolution du coefficient de reflexionen amplitude rTL pour etudier l’onde longitudinale reflechie evanescente. En particulier, il apparaıt


sur la figure 2.5(a) que le coefficient de reflexion rTL est nul lorsque l’angle d’incidence est egal a45◦. Cet angle d’incidence est un cas tres particulier pour lequel une onde transverse verticale ne sereflechie qu’en une autre onde transverse verticale : il n’y a donc pas de conversion d’onde.

2 Reflexion et transmission a une interface solide–fluide

La reflexion et la transmission d’ondes a l’interface entre un fluide parfait et un solide isotrope sontlegerement plus compliquees que dans le cas d’une surface libre. Tout d’abord, dans un fluide parfaitles ondes longitudinales peuvent se propager contrairement aux ondes transverses. Il faut donc prendreen compte dans la modelisation le deplacement acoustique dans le fluide. A l’instar du probleme de lareflexion d’ondes a une surface libre, la propagation des ondes longitudinales et transverses verticalesest decouplee de celle des ondes transverses horizontales. Ces dernieres ne seront donc pas prises encompte dans la suite.

Le fluide est caracterise par la masse volumique ρF et la celerite du son adiabatique cF . Le champde deplacement acoustique associe a une onde longitudinale transmise dans le fluide a pour expression

uF (x1, x3) =

sin θF0

cos θF

tIF e−jkF (sin θF x+cos θF z). (2.31)

La pression acoustique associee est donnee par la relation

pF = jωZF tIF e−jkF (sin θF x1+cos θF x3), (2.32)

ou ZF = ρF cF . Les conditions aux frontieres sont des conditions de continuite des contraintes normaleset tangentielles et de continuite des deplacements normaux a l’interface x3 = 0 :

σ13 = 0,σ23 = 0,σ33 = −pF ,u.e3 = uF .e3.

(2.33)

2.1 Onde longitudinale incidente dans le solide

Dans le cas d’une onde longitudinale incidente, les coefficients de reflexion et transmission enamplitude de deplacement ont pour expressions

rLL = Z + κ2 sin(2θL) sin(2θT )− cos2(2θT )N + Z

,

rLT = 2κ sin(2θL) cos(2θT )N + Z

,

tLF = 2 cos θL cos(2θT )(N + Z) cos θF

,

(2.34)

avec

Z = ZF cos θLZL cos θF

. (2.35)

2 Reflexion et transmission a une interface solide–fluide 23

Les coefficients de reflexion et transmission en energie sont alors donnes par les relationsRLL = |rLL|2,RLT = ZT cos(θT )

ZL cos(θL) |rLT |2,

TLF = ZF cos(θF )ZL cos(θL) |tLF |

2.

(2.36)

Les evolutions des coefficients de reflexion en energie RLL et RLT et de transmission en energieTLF sont tracees en fonction de l’angle d’incidence θL sur la figure 2.6(a) dans le cas d’une interfacealuminium–eau et sur la figure 2.6(b) dans le cas d’une interface aluminium–air. Ainsi que pour lecas de la surface libre, le coefficient de reflexion RLT est nul pour des incidences normale et rasante.Neanmoins, le coefficient de transmission n’est pas forcement nul pour le cas de l’incidence normale.Ce resultat est facilement observable analytiquement car pour cet angle d’incidence, les angles desondes reflechies et transmise sont egalement nuls et alors les coefficients RLL et TLF ne dependentque du rapport des impedances ZF /ZL. Plus ce rapport est faible, plus le coefficient de reflexion enenergie RLL tend vers 1 et plus le coefficient de transmission en energie TLF tends vers 0. La ruptured’impedance entre le solide et le fluide est donc responsable de la qualite de la transmission d’ondedans le fluide, comme observe sur les figures 2.6(a) et 2.6(b). Comme attendu, la somme des coefficientsde reflexion et de transmission en energie est egale a 1 quel que soit la valeur de l’angle d’incidence,signifiant ainsi que la loi de conservation de l’energie est bien respectee.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90θL (◦)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0RLL

RLT

RLF

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90θL (◦)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

RLL

RLT

RLF

(a) Interface aluminium–eau (b) Interface aluminium–air

Figure 2.6 – Evolutions des coefficients de reflexion en energie RLL et RLT et de transmission en energieTLF en fonction de l’angle d’incidence θL pour (a) une interface aluminium–eau et (b) une interfacealuminium–air.

2.2 Onde transverse verticale incidente dans le solide

Les surfaces des lenteurs correspondant a une onde transverse verticale incidente sont presenteessur la figure 2.7. Ainsi que pour le cas de la surface libre, l’angle critique θcL = arcsin(cT /cL) traduitla limite entre le domaine des ondes longitudinales reflechies propagatives (θT < θcL) et le domaine desondes longitudinales reflechies evanescentes (θT > θcL). Dans le cas tres general ou la vitesse du soncf est inferieure a la vitesse des ondes transverses cT dans le materiau, les ondes transmises dans lefluide sont toujours propagatives quel que soit l’angle d’incidence (figure 2.7(a)). En revanche, si lavitesse cT est inferieure a la vitesse cf , il existe un angle critique pour les ondes longitudinales dansle fluide (figure 2.7(b)).


θF

θF

θL

(a) cL > cT > cf (b) cL > cf > cT

θT θT θT θT

c−1L c−1

Tc−1L c−1

T

c−1F c−1

F

Figure 2.7 – Courbes des surfaces de lenteur pour une interface solide–fluide et une onde transverseverticale incidente.

Les coefficients de reflexion et de transmission en amplitude de deplacement ont pour expressionsrTL = 2κ

Z +Nsin(2θT ) cos(2θT ),

rTT = 1Z +N

[Z − κ2 sin(2θT ) sin(2θL) + cos2(2θT )

],

tTF = − 2κZ +N

sin(2θT ) cos θLcos θF

.

(2.37)

Les evolutions des coefficients de reflexion en energie RTL et RTT et de transmission en energieTTF sont tracees sur la figure 2.8(a) dans le cas d’une interface aluminium–eau et sur la figure 2.8(b)dans le cas d’une interface plexiglas–eau en fonction de l’angle d’incidence θT . L’aluminium est tresrigide par rapport a l’eau, c’est-a-dire que les vitesses cL et cT sont superieures a la vitesse cf de l’eau.En revanche, la vitesse des ondes transverses dans le plexiglas est inferieure a la vitesse du son dansl’eau. L’onde longitudinale dans le solide devient evanescente lorsque l’angle d’incidence est superieura l’angle critique θcL = 28, 5◦pour l’aluminium et θcL = 23, 3◦pour le plexiglas. Dans le cas de l’interfaceplexiglas–eau, l’onde longitudinale dans le fluide devient evanescente lorsque l’angle d’incidence estsuperieur a l’angle critique θcF = 33◦.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90θT (◦)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0RTL

RTT

RTF

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90θT (◦)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

RTL

RTT

RTF

(a) Interface aluminium–eau (b) Interface plexiglas–eau

Figure 2.8 – Evolutions des coefficients de reflexion en energie rT L et rT T et de transmission en energietT F en fonction de l’angle d’incidence θT pour (a) une interface aluminium–eau et (b) une interfaceplexiglas–eau.

2 Reflexion et transmission a une interface solide–fluide 25

2.3 Onde longitudinale incidente dans le fluide

Les surfaces des lenteurs correspondant a une onde longitudinale incidente dans le fluide sontpresentees sur la figure 2.9. Il existe deux angles critiques pour ce cas : θcL = arcsin(cF /cL) etθcT = arcsin(cF /cT ). Lorsque l’angle d’incidence est inferieur a l’angle θcL, l’onde longitudinaletransmise dans le solide est propagative et lorsque l’angle d’incidence est superieur a l’angle θcL,elle est evanescente. De meme, lorsque l’angle d’incidence est inferieur a l’angle θcT , l’onde transversetransmise dans le solide est propagative et lorsque l’angle d’incidence est superieur a l’angle θcT , elleest evanescente.

θFθF

θT

θL

c−1Tc−1

L

c−1F

Figure 2.9 – Courbes des surfaces de lenteur pour une interface solide–fluide et une onde longitudinaleincidente dans le fluide.

En suivant le meme raisonnement que pour le cas d’une onde incidente dans le solide, il estfacile de modeliser la reflexion et la transmission d’une onde incidente dans le fluide. Les coefficientsde transmission tFL et tFT respectivement des ondes longitudinale et transverse verticale transmisesdans le solide et le coefficient de reflexion rFF de l’onde longitudinale reflechie dans le fluide ont alorspour expressions

tFL = 2ZF /ZLZ +N

cos(2θT ),

tFT = −2κZF /ZLZ +N

sin(2θL),

rFF = N − ZZ +N

.

(2.38)

Les evolutions des modules des coefficients de reflexion et de transmission en amplitude et celles descoefficients en energie sont tracees respectivement sur les figures 2.10(a) et 2.10(b) en fonction de l’angled’incidence θF . Comme attendu, les deux angles critiques θcL = 13, 6◦ et θcT = 29, 5◦ apparaissentdans ces resultats. Un troisieme angle caracteristique est aussi present sur ces resultats : θcR =arcsin(cF /cR) = 31, 8◦, ou cR = 2846 m.s-1 est la vitesse de l’onde de Rayleigh. Cette onde estune onde de surface se propageant a la surface libre d’un solide isotrope et est constituee d’une ondelongitudinale et d’une onde transverse verticale evanescentes selon la direction x3. Ainsi, lorsque l’angled’incidence est proche ou egal a l’angle θcR, une onde d’interface appelee onde de Rayleigh fuyante estgeneree. Cette onde a la particularite d’etre relativement proche de l’onde de Rayleigh. Elle se propageentre un solide isotrope et un fluide parfait avec une vitesse de phase voisine de la vitesse de l’onde


de Rayleigh dans le solide et elle est attenuee au cours de sa propagation car elle rayonne une ondelongitudinale dans le fluide a un angle θcR.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90θF (◦)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0|tFL||tFT ||rFF |

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90θF (◦)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

TFLTFTRFF

(a) (b)

Figure 2.10 – Evolutions (a) des modules des coefficients de reflexion et transmission et (b) descoefficients en energie en fonction de l’angle d’incidence θF .

Chapitre 3

Propagation d’ondes guidees

1 Propagation d’ondes de surface et d’interface

On s’interesse dans ce chapitre a la propagation d’ondes guidees le long de surfaces ou d’interfacesplanes. Les milieux etudies sont consideres homogenes et isotropes. Dans le repere R(O, x, y, z), leplan de propagation choisi est le plan (x, z) et on s’interesse a d’un demi-espace solide situe en z ≥ 0et caracterise par la masse volumique ρ et les coefficients de Lame λ et µ. Les ondes etudiees sontguidees par une interface parallele au plan (x, y) et se propagent dans la direction x. Les problemesetudies dans ce chapitre sont donc independants de la coordonnee y. Trois types d’ondes guidees sontetudiees, chacune associee a un type d’interface : une surface libre, une interface solide–fluide et uneinterface solide–solide.

1.1 Onde de Rayleigh

On s’interesse ici a des ondes de surface se propageant a la surface d’un demi-espace solide situeen z ≥ 0. Le solide considere est homogene, isotrope et a geometrie plane. Il est caracterise par lamasse volumique ρ et les coefficients de Lame λ et µ. Le champ de deplacement harmonique u estsolution de l’equation de propagation

ρ∂2u

∂t2= (λ+ µ) grad( divu) + µ∆u. (3.1)

Le champ de deplacement est recherche en faisant usage de la decomposition de Helmholtz,

u = uL + uT avec

uL = gradϕ,uT = rotψ.

(3.2)

Dans le cas des ondes polarisees dans le plan de propagation, la composante uy du champ dedeplacement est nulle. il s’en suit que le potentiel scalaire est du type ψ = ψey. Les potentielsscalaires sont solutions des equations de Helmholtz

∂2ϕ

∂x2 + ∂2ϕ

∂z2 −1c2L

∂2ϕ

∂t2= 0,

∂2ψ

∂x2 + ∂2ψ

∂z2 −1c2T

∂2ψ

∂t2= 0,

(3.3)

avec cL =

√λ+ 2µρ

,

cT =√µ

ρ.

(3.4)

28 3 Propagation d’ondes guidees

Les potentiels scalaires sont recherches sous la forme d’ondes harmoniques, propagatives selon ladirection x, ϕ(x, z, t) = f(z)ej(ωt−kx),

ψ(x, z, t) = g(z)ej(ωt−kx).(3.5)

Le nombre d’onde k traduisant la propagation de l’onde guidee dans la direction x est ici une inconnue.Le report des expressions (3.5) dans les equations de propagation (3.3) conduisent alors aux equations

∂2f(z)∂z2 +

(ω2

c2L

− k2)f(z) = 0,

∂2g(z)∂z2 +

(ω2

c2T

− k2)g(z) = 0.

(3.6)

On recherche des solutions representant des ondes qui se propagent parallelement a la surface, c’est-a-dire des solutions correspondant a des ondes evanescentes selon la direction z. Les fonctions f(z) etg(z) sont donc recherchees sous les formesf(z) = A1e

−αLz +A2eαLz,

g(z) = B1e−αT z +B2e

αT z,(3.7)

avec αL =

√k2 − ω2

c2L

=√ω2

c2 −ω2

c2L

= k

√1− c2

c2L

,

αT =√k2 − ω2

c2T

=√ω2

c2 −ω2

c2T

= k

√1− c2

c2T

.

(3.8)

Les solutions associees aux amplitudes A2 et B2 ne sont physiquement pas admissibles car ellesdivergent dans la profondeur. Les amplitudes A2 et B2 sont donc obligatoirement nulles et ainsiles potentiels ϕ et ψ ont pour expressions respectivesϕ(x, z, t) = A1e

−αLzej(ωt−kx),

ψ(x, z, t) = B1e−αT zej(ωt−kx).

(3.9)

Compte tenu de la decomposition de Helmholtz (3.2), le champ de deplacement de l’onde de Rayleigha pour expression

u(x, z) =

−jk0−αL

A1e−αLz +

αT0−jk

B1e−αT z

ej(ωt−kx). (3.10)

Les conditions aux frontieres associees a cette interface solide-vide sont des conditions de contrainteslibres en z = 0 :

σ (x, z = 0, t).ez = 0 =⇒

σxz(x, z = 0, t) = 0,σyz(x, z = 0, t) = 0,σzz(x, z = 0, t) = 0.

(3.11)

Il suffit donc de calculer les composantes σxz, σyz et σzz pour resoudre le probleme. Compte tenu dela loi de Hooke

σ = λI Tr ε+ 2µε, (3.12)

1 Propagation d’ondes de surface et d’interface 29

les contraintes σxz, σyz et σzz apparaissant dans les conditions aux frontieres sont exprimes par lesrelations

σxz(x, z, t) = µ

[∂uz∂x

+ ∂ux∂z

],

σyz(x, z, t) = µ

[∂uz∂y

+ ∂uy∂z

],

σzz(x, z, t) = λ∂ux∂x

+ (λ+ 2µ)∂uz∂z

(3.13)

La contrainte σyz est nulle en tout point car la composante selon y du deplacement est nul et leprobleme est invariant en y. Compte de l’expression (3.10) du deplacement, les contraintes σxz et σzzont pour expressions respectivesσxz(x, z, t) = µ

[2jkαLA1e

−αLz − (k2 + α2T )B1e

−αT z]ej(ωt−kx),

σzz(x, z, t) = µ[(k2 + α2

T )A1e−αLz + 2jkαTB1e

−αT z]ej(ωt−kx)

(3.14)

Compte tenu de ces expressions les conditions aux frontieres conduisent aux equations−2jkαLA1 + (k2 + α2T )B1 = 0,

(k2 + α2T )A1 + 2jkαTB1 = 0

(3.15)

L’annulation de ces deux composantes conduit au systeme matriciel(−2jkαL k2 + α2

T

k2 + α2T 2jkαT

).

(A1B1

)=(

00

). (3.16)

L’equation de dispersion de l’onde de Rayleigh correspond alors a l’annulation du determinant de cettematrice,

(k2 + α2T )2 − 4k2αLαT = 0 (3.17)

qui, compte tenu des relations (3.8), peut etre mise sous la forme(2− c2

c2T

)2

− 4

√√√√(1− c2

c2L

)(1− c2

c2T

)= 0. (3.18)

La resolution de cette equation de dispersion conduit a la determination de la vitesse de phase cRdes ondes de Rayleigh se propageant a la surface d’un demi-espace solide homogene isotrope. Ilest interessant de noter que cette vitesse depend uniquement de la celerite des ondes longitudinaleet transverse et donc elle ne depend pas de la frequence : l’onde de Rayleigh est une onde nondispersive. Cette equation de dispersion est une equation cubique, dont une racine est reelle et deuxsont complexes. La racine reelle correspond a la vitesse de l’onde de Rayleigh, tandis que les racinescomplexes n’ont pas de sens physique [2]. Une approximation simple de la solution cR est donnee parla relation [3],

cRcT

=√

1, 44λ+ 0, 88µ1, 58λ+ 1, 16µ. (3.19)

Compte tenu des expressions (3.15) et (3.17), les amplitudes A1 et B1 sont lineairement reliees parl’expression

B1 = j

√αLαT

A1 (3.20)

et alors le deplacement (3.10) peut etre mis sous la forme

u(x, z) =

−jk0−αL

e−αLz +

jαT0k

√αLαT

e−αT z

A1ej(ωt−kx). (3.21)


La partie reelle des composantes du deplacement de l’onde de Rayleigh a donc pour expressionUx(x, z, t) = Re[ux(x, z, t)] =

[ke−αLz − αT

√αLαT

e−αT z

]sin(ωt− kx)

Uz(x, z, t) = Re[uz(x, z, t)] =[−αLe−αLz + k

√αLαT

e−αT z

]cos(ωt− kx).

(3.22)

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5Deplacement normalise

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

z/λ

UxUz

La polarisation de l’onde de Rayleigh decritdonc des ellipses dont les rayons diminuent avecla profondeur. Sur la figure ci-contre, les compo-santes normale Uz et tangentielle Ux du deplacementelastique, calculees en une position x et a untemps t fixes pour un demi-espace en alumi-nium, sont tracees en fonction du rapport pro-fondeur sur longueur d’onde z/λ. Il apparaıt quepour des profondeurs superieures a deux longueursd’ondes, les deux composantes du deplacementsont tres faibles et donc tres difficilement mesu-rables.

1.2 Interface solide – fluide : ondes de Scholte et de Rayleigh fuyante

Le demi-espace solide etudie au paragraphe precedent est maintenant charge par un demi-espacede fluide parfait caracterise par la masse volumique ρ0 et la vitesse du son adiabatique c0. Le champde deplacement et les contraintes dans le solide restent les memes qu’au paragraphe precedent et sontdonnes respectivement par les expressions (3.10) et (3.14). Le fluide n’etant pas visqueux, une seuleonde peut se propager dans le fluide : une onde longitudinale representee par le potentiel

ϕf (x, z, t) = Cejk0z zej(ωt−kx) (3.23)

avec

k0z =√ω2

c20− k2. (3.24)

Le champ de deplacement dans le fluide a alors pour expression

uf = gradϕf =

−jk0jk0z

Cejk0z zej(ωt−kx). (3.25)

Le champ de pression acoustique pf est determine en combinant l’equation de conservation de la masseet la loi d’etat pour obtenir

pf (x, z) = −ρ0c20 divuf = ρ0ω

2Cejk0z zej(ωt−kx). (3.26)

1 Propagation d’ondes de surface et d’interface 31

Dans le cas present d’une interface solide–fluide parfait, les conditions aux frontieres sont des conditionsde continuite des contraintes normales et tangentielles et des deplacements normaux a l’interface.L’application des conditions aux frontieres conduit directement a l’equation de dispersion des ondesde Scholte

(2− c2

c2T

)2

− 4

√√√√(1− c2

c2L

)(1− c2

c2T

)− j ρ0c

4

ρc4T

√√√√√√√√1− c2

c2L

c2

c20− 1

= 0. (3.27)

Dans le cas d’un demi-espace solide charge par un demi-espace de fluide parfait deux ondes peuventexister : une onde de Scholte associee a une racine reelle de l’equation de dispersion (3.27) et une ondede Rayleigh fuyante associee a une racine complexe.

−15 −10 −5 0Deplacement normalise

−10

−8

−6

−4

−2

0

2

z/λ

U sx

U sz

U fx

U fz

Figure 3.1 – Interface aluminium – eau

Concernant la racine reelle associee a l’ondede Scholte, deux situations sont a distinguer. Toutd’abord, si la vitesse des ondes longitudinales dansle fluide est inferieure a la vitesse des ondes trans-verses dans le solide (c0 < cT < cL), alors la vitessede l’onde de Scholte est legerement inferieure a la vi-tesse de l’onde longitudinale dans le fluide. Dans cecas, le champ d’onde dans le liquide penetre plus pro-fondement que celui dans le solide. L’onde de Scholtetransporte plus d’energie dans le fluide que dans le so-lide. Elle est alors facilement mesurable en placant untransducteur immerge dans le fluide parallele a l’inter-face afin de capter le deplacement tangentiel Ux, plutotque la composant normale Uz. Elle est par ailleurs plussensible aux proprietes du fluide qu’a celles du solide.En terme d’application, ce type d’onde est donc rarement utilise en controle non destructif pour sonderdes materiaux, mais elle est interessante pour caracteriser la rheologie de fluides.

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0Deplacement normalise

−2

−1

0

1

2

z/λ

U sx

U sz

U fx

U fz

Figure 3.2 – Interface epoxy – eau

A l’inverse, si la vitesse des ondes longitudinalesdans le fluide est superieure a la vitesse des ondes trans-verses dans le solide (cT < c0 < cL), alors la vitessede l’onde de Scholte est legerement inferieure a la vi-tesse de l’onde transverse dans le solide [4]. Dans ce cas,les amplitudes des deplacements dans le fluide et dansle solide sont equivalentes. La decroissance de l’ondedans le fluide rend les mesures beaucoup plus difficileset il faut pour cela mettre un transducteur immergeperpendiculairement a l’interface au plus pres de cettederniere afin de mesurer le deplacement normal Uz. Ilest interessant de noter que l’onde de Scholte dans cecas devient particulierement sensible a la celerite desondes transverses dans le solide, donc a son module decisaillement.


Dans les deux cas, les trois ondes de volume constituant l’onde de Scholte sont propagatives dansla direction x et evanescentes dans la direction z. L’energie reste donc confinee a l’interface entre lesdeux milieux. En accord avec les conditions aux frontieres, la composante Ux n’est pas continue al’interface, contrairement a la composante Uz.

Puisque la celerite de l’onde de Scholte est toujours inferieure a celle dans le liquide, il n’est paspossible de generer d’onde de Scholte par refraction a l’interface entre le fluide et le solide, ce qui estun inconvenient fort a l’utilisation des ondes de Scholte dans le domaine ultrasonore. En revanche,cette onde est tres etudiee en geophysique car elle se propage a l’interface entre les sediments et lesoceans, de meme que dans les puis de forage petroliers.

La racine cLR associee a l’onde de Rayleigh fuyante est une racine complexe, signifiant que cetteonde est attenuee au cours de sa propagation. La partie reelle de cette racine est legerement superieurea la vitesse de l’onde de Rayleigh se propageant a la surface du materiau en l’absence du fluide. Lapartie imaginaire traduit l’attenuation de l’onde de Rayleigh fuyante par rayonnement d’une ondelongitudinale dans le fluide a l’angle θR = arcsin (Re(cLR)/c0). Cette angle a ete introduit au chapitre 2,lors de l’etude de la reflexion et la transmission d’ondes a une interface solide–fluide.

1.3 Interface solide – solide : ondes de Stoneley et de Rayleigh fuyante

Le demi-espace solide est maintenant charge par un autre demi-espace solide caracterise par lamasse volumique ρs et les coefficients de Lame λs et µs. A partir de ces trois parametres, les vitessesdes ondes longitudinale csL =

√(λs + 2µs)/ρs et transverse csL =

√µs/ρs dans ce solide sont definies.

Le deplacement associe a cette onde interface dans le demi-espace z ≥ 0 est donne par l’expression(3.10) et celui dans le demi-espace z ≤ 0 est donne par l’expression

us(x, z) =

−jk0βL

BeβLz −

βT0jk

DeβT z

ej(ωt−kx). (3.28)

avec βL =

√k2 − ω2

(csL)2 ,

βT =√k2 − ω2

(csT )2 .

(3.29)

Si le contact est considere parfait entre les deux demi-espaces, les conditions aux frontieres sont lacontinuite des contraintes normales et tangentielles et la continuite des deplacements normaux ettangentiels a l’interface :

σzz(x, z = 0) = σszz(x, z = 0),σxz(x, z = 0) = σsxz(x, z = 0),ux(x, z = 0) = usx(x, z = 0),uz(x, z = 0) = usz(x, z = 0),

(3.30)

ou σszz et σsxz sont evidemment des composantes du tenseur des contraintes dans le demi-espace situeen z ≤ 0. En tenant compte des expressions des contraintes et des deplacements dans chaque milieu,ces quatre equations conduisent au systeme matricielle

(α2T + k2)µ 2jαTkµ −(β2

T + k2)µs 2jkβTµs2jαLkµ −(α2

T + k2)µ 2jkβLµs (β2T + k2)µs

−jk αT jk βTαL jk βL −jk

.A

C

B

D

=

0000

. (3.31)

2 Propagation d’ondes de plaque 33

Comme pour le cas de l’onde de Rayleigh et de l’onde de Scholte, l’equation de dispersion des ondesd’interface entre deux solides correspond a l’annulation du determinant de cette matrice. Ainsi quedans le cas d’un demi-espace solide charge par un demi-espace de fluide parfait, il existe deux racinesde l’equation de dispersion ayant un sens physique : une racine reelle correspondant a une onde deStoneley et une racine complexe associee a une onde de Rayleigh fuyante. L’onde de Stoneley est trespeu etudiee dans le domaine ultrasonore pour deux raisons fondamentales. Tout d’abord, cette onden’existe pour tous les couples de materiaux. De plus, elle est tres difficile a generer par des methodesclassiques de generation d’ultrasons. En revanche, cette onde est tres etudiee dans le domaine de lageophysique pour caracteriser la fracture de roches.

2 Propagation d’ondes de plaque

On s’interesse dans ce chapitre a la propagation d’ondes des plaques delimitees par des surfacesplanes. Les milieux etudies sont consideres homogenes et isotropes. Dans le repere R(O, x, y, z), leplan de propagation choisi est le plan (x, z) et on s’interesse a une plaque d’epaisseur h et caracteriseepar la masse volumique ρ et les coefficients de Lame λ et µ. Les ondes etudiees sont guidees par lesinterfaces paralleles au plan (x, y) et se propagent dans la direction x. Les problemes etudies dansce chapitre sont donc independants de la coordonnee y. Deux configurations sont etudiees dans cechapitre : une plaque dans le vide et une plaque deposee sur un demi-espace.

2.1 Ondes transverses horizontales guidees

2.1.1 Modes TH guides

On s’interesse dans cette partie a la propagation des ondes transverses horizontales dans uneplaque. Le plan de propagation etant le plan (x, z), le champ de deplacement d’ondes polarisees horsplan de propagation est obligatoirement de la forme u = uyey. La composante uy est solution del’equation de Helmholtz

∂2uy∂x2 + ∂2uy

∂z2 + k2Tuy = 0, (3.32)

avec kT = ω/cT et ou la celerite des ondes transverses est donnee par la relation

cT =√µ

ρ. (3.33)

Le champ de deplacement est recherche sous la forme de la superposition de deux ondes planes quipeut etre mis sous la forme, compte tenu de la loi de Snell-Descartes,

uy(x, z, t) = Aej(ωt−kT sin θT x−kT cos θT z) +Bej(ωt−kT sin θT x+kT cos θT z), (3.34)

ou θT est l’angle d’incidence des ondes. En posant,kx = kT sin θT ,kz = kT cos θT ,

(3.35)

le deplacement uy peut etre mis sous la forme

uy(x, z, t) =(Ae−jkzz +Bejkzz

)ej(ωt−kxx) (3.36)

et les nombres d’onde verifient la relation

k2T = k2

x + k2z . (3.37)


On s’interesse ici a la propagation d’ondes guidees dans une plaque solide isotrope et homogene placeedans le vide et delimitee par les surfaces z = 0 et z = h. Le deplacement uy dans la plaque est recherchesous la forme de l’expression (3.36). La plaque etant placee dans le vide, les conditions aux frontieressont des conditions de contraintes nulles en z = 0 et en z = h :

σ .ez = 0 ⇐⇒

σxz = 0,σyz = 0,σzz = 0.

(3.38)

Le tenseur des contraintes est exprime en fonction du tenseur des deformations par la loi de Hooke

σ = λI Tr ε + 2µε . (3.39)

Compte tenu de l’expression du deplacement u = uyey, le tenseur des deformations a pour expression

ε = 12

0 ∂uy

∂x0

∂uy∂x

0 ∂uy∂z

0 ∂uy∂z

0

(3.40)

et ainsi seules les composantes σxy et σyz du tenseur des contraintes sont non nulles. Sur les troisequations du systeme (3.38), deux sont donc automatiquement verifiees, c’est-a-dire σxz = 0 et σzz = 0,puisque ces composantes sont toujours nulles. L’equation restante, c’est-a-dire σyz = 0, est donc laseule equation a resoudre afin de determiner les amplitudes des ondes dans la plaque. La contrainteσyz ayant pour expression

σyz(x, z, t) = µ∂uy∂z

= jµkz[−Ae−jkzz +Bejkzz

]ej(ωt−kxx), (3.41)

les conditions aux frontieres aux interfaces z = 0 et z = h peuvent etre mises sous la forme−A+B = 0,−Ae−jkzh +Bejkzh = 0.

(3.42)

De ces deux equations, on deduit immediatement que les amplitudes A et B sont egales 1 et l’equationsuivante

sin(kzh) = 0. (3.43)

Les solutions de cette equation ont pour expression

km = mπ

h, avec m ∈ N. (3.44)

Le champ de deplacement dans la plaque est donc une somme infinie de solutions

uy(x, z, t) =∑m

Am cos(mπ

hz

)ej(ωt−kxmx), (3.45)

ou kxm est donne par l’equation de dispersion

kxm =

√k2T −

(mπ

h

)2. (3.46)

1. Il a ete montre au chapitre 2 que le coefficient de reflexion d’une onde TH est egal a 1 pour une surface libre, doncce resultat est coherent.


Par commodite, le deplacement peut etre mis sous la forme du developpement modal

uy(x, z, t) =∑m

Bmψm(z)ej(ωt−kxmx), (3.47)

ou les fonctions propres ψm(z) sont definies par la relation

ψm(z) =

√2− δm0

hcos

(mπ

hz

). (3.48)

Ces fonctions propres sont orthogonales et normees, c’est-a-dire qu’elles verifient la relation∫ h

0ψm(z)ψn(z) dz = δmn. (3.49)

La vitesse de phase du mode m a pour expression

cϕm = ω

kxm

= ω√k2T −

(mπ

h

)2(3.50)

et sa vitesse de groupe a pour expression

cgm = ∂ω

∂kxm

= cT∂kT∂kxm

= cT

∂

√k2xm

+(mπ

h

)2

∂kxm

= cTkxm

kT= c2

T

cϕm

. (3.51)

Les evolution des vitesses de phase et des vitesses de groupe des premiers modes TH guides sonttracees en fonction de la frequence respectivement sur les figures 3.3(a) et 3.3(b). Lorsque la frequenceest egale a la frequence de coupure d’un mode, la vitesse de phase du mode tend vers l’infini et lavitesse du groupe tend vers 0.

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1f (MHz)

c ϕm

(km

.s−1)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1f (MHz)

c gm

(km

.s−1)

(a) (b)

Figure 3.3 – (a) Vitesses de phase et (b) vitesses de groupe des premiers modes TH guides.

Les moyennes temporelles de l’energie cinetique et de l’energie de deformation ayant pourexpressions respectives

K = 14ρ∫ h

0uu? dz = 1

4ρω2∞∑m=0|Bm|2,

U = 14µ∫ h

0

(∂u

∂x

∂u?

∂x+ ∂u

∂z

∂u?

∂z

)dz = 1

4µ∞∑m=0

k2xm|Bm|2,

(3.52)


La moyenne temporelle de l’energie totale peut etre mise sous la forme

E = K + U =∞∑m=0

Em, (3.53)

avecEm = 1

2ρω2|Bm|2. (3.54)

La moyenne temporelle du flux d’energie a pour expression

Φ = 1T

∫ T

0

∫ h

0Px dz dt, (3.55)

avecPx = −Re(σxy).Re(u). (3.56)

Compte tenu de l’expression de la contrainte σxy, la moyenne temporelle du flux d’energie peut etremise sous la forme

Φ = −12µ∫ h

0

∂u

∂xu? dz =

∞∑m=0

Φm (3.57)

avecΦm = 1

2µωkxm |Bm|2. (3.58)

Dans le cas ou il n’existe qu’un seul mode n, le rapport de la moyenne temporelle du flux d’energiesur la moyenne temporelle de l’energie conduit a l’expression de la vitesse de l’energie :

ce = ΦE

= Φn

En= µkxn

ρω= c2

T

cϕn

= cgn . (3.59)

La vitesse de l’energie est donc egale a la vitesse de groupe du mode n.

2.1.2 Modes de Love

Dans le cas d’une plaque d’epaisseur h deposee sur un substrat, si la vitesse cT des ondes transversesdans le materiau constituant la plaque est inferieure a la vitesse csT des ondes transverses dans lesubstrat, des ”modes de Love” peuvent exister. Les nombres d’ondes selon la direction x de ces modessont donnes par l’expression

kn = 1

h

√c2

c2T

− 1

arctg

µsµ√√√√√√√√

1− c2

(csT )2

c2

c2T

− 1

+ nπ

, avec n ∈ N, (3.60)

ou µ et µs sont respectivement les modules de cisaillement de la plaque et du substrat.L’evolution de la vitesse de phase des premiers modes de Love est tracee en fonction de la frequence

sur la figure 3.4. Lorsque la frequence est egale a la frequence de coupure d’un mode, la vitesse dephase du mode tend vers la vitesse des ondes transverses dans le substrat csT . A l’inverse, aux hautesfrequences, la vitesse de phase de chaque mode tend vers la vitesse des ondes transverses dans laplaque cT .


2.9

2.95

3

3.05

3.1

3.15

3.2

3.25

3.3

3.35

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

c m(k

m/s

)

f (MHz)

cT

csT

Figure 3.4 – Vitesse de phase des premiers modes de Love en fonction de la frequence.

2.2 Ondes de Lamb

On s’interesse maintenant a la propagation d’ondes guidees polarisees dans le plan de propagationdans une plaque delimitee par deux surfaces planes. Le champ de deplacement est recherche sous laforme

u(x, z) =

jk cos(kLzz)

0kLz sin(kLzz)

UCL +

−jk sin(kLzz)0

kLz cos(kLzz)

USL+

kTz cos(kTzz)0

jk sin(kTzz)

UCT +

−kTz sin(kTzz)0

jk cos(kTzz)

UST ej(ωt−kx), (3.61)

avec k2Lz

= k2L − k2,

k2Tz

= k2T − k2,

(3.62)

et ou les coefficients UCL , USL , UCT et UST sont des amplitudes a determiner. Il est important de noterque chacune des quatre composantes associees a ces amplitudes repondent aux conditions de champirrotationnel (pour les deux premieres) et de champ a divergence nulle (pour les deux dernieres). Lesconditions aux frontieres ne faisant intervenir que les deplacements et les contraintes , il est suffisantde calculer que les expressions de ces composantes 2 :

σxz(x, z) = −µ[2jkkLz

(sin(kLzz)UCL + cos(kLzz)USL

)+(k2Tz− k2

) (sin(kTzz)UCT + cos(kTzz)UST

)]e−jkx,

σzz(x, z) = µ[(k2Tz− k2

) (cos(kLzz)UCL − sin(kLzz)USL

)+2jkkTz

(cos(kTzz)UCT − sin(kTzz)UST

)]e−jkx.

(3.63)

2. Pour ces calculs, il faut avoir remarque la relation (λ+ 2µ)k2Lz

+ λk2 = µ(k2

Tz− k2).


Dans le cas, d’une plaque placee dans le vide et delimitee par deux surfaces positionnees en z = −h/2et z = h/2, les conditions aux frontieres sont simplement des conditions de contraintes nulles sur cesdeux surfaces : σxz(z = ±h/2) = 0 et σzz(z = ±h/2) = 0. Compte tenu des expressions de ces deuxcomposantes, il vient immediatement

2jkkLz

[sin(kLzh/2)UCL + cos(kLzh/2)USL

]+(k2Tz− k2

) [sin(kTzh/2)UCT + cos(kTzh/2)UST

]= 0

2jkkLz

[− sin(kLzh/2)UCL + cos(kLzh/2)USL

]+(k2Tz− k2

) [− sin(kTzh/2)UCT + cos(kTzh/2)UST

]= 0(

k2Tz− k2

) [cos(kLzh/2)UCL − sin(kLzh/2)USL

]+2jkkTz

[cos(kTzh/2)UCT − sin(kTzh/2)UST

]= 0,(

k2Tz− k2

) [cos(kLzh/2)UCL + sin(kLzh/2)USL

]+2jkkTz

[cos(kTzh/2)UCT + sin(kTzh/2)UST

]= 0.

(3.64)

Ce systeme de quatre equations a quatre inconnues peut etre decouple en deux systemes de deuxequations a deux inconnues. Le premier systeme est mis sous la forme matricielle :(

2jkkLz sin(kLzh/2) (k2Tz− k2) sin(kTzh/2)(

k2Tz− k2

)cos(kLzh/2) 2jkkTz cos(kTzh/2)

)(UCLUCT

)=(

00

). (3.65)

L’annulation du determinant de la matrice de ce systeme represente l’equation de dispersion des ondesde Lamb symetriques

tan(kTzh/2)tan(kLzh/2) = − 4k2kTzkLz(

k2Tz− k2

)2 . (3.66)

De la meme maniere, le second systeme est mis sous la forme matricielle 2jkkLz cos(kLzh/2)(k2Tz− k2

)cos(kTzh/2)(

k2Tz− k2

)sin(kLzh/2) 2jkkTz sin(kTzh/2)

(USLUST

)=(

00

)(3.67)

et l’equation de dispersion des ondes de Lamb antisymetriques a pour expression

tan(kTzh/2)tan(kLzh/2) = −

(k2Tz− k2

)2

4k2kLzkTz

. (3.68)

La resolution des equations de dispersion (3.66) et (3.68) permet d’obtenir les couples (ω, k) pourlesquels les ondes de Lamb symetriques Sn et antisymetriques An peuvent se propager.

Les courbes de dispersion des premiers modes de Lamb d’une plaque d’aluminium d’epaisseurh = 5 mm sont tracees sur la figure 3.5. Les courbes en traits pleins rouges representent les modesde Lamb symetriques et celles en tirets bleus representent les modes de Lamb antisymetriques. Il estinteressant de noter que les courbes de dispersion d’une meme famille de modes ne se coupent pas. Deplus, ces courbes sont la plupart du temps croissantes, c’est a dire que le produit fh augmente lorsquele produit kh augmente, signifiant que la vitesse de groupe definie par cg = ∂ω/∂k est positive. Celan’est pas toujours vrai pour le mode S1, puisque pour un produit kh inferieur a 2, la courbe decroitpuis se stabilise sur un bref intervalle. Dans ce cas, la vitesse de groupe est negative, puis nulle. Unevitesse de groupe negative est opposee a la vitesse de phase, signifiant que l’energie acoustique sepropage en sens inverse de celui du vecteur d’onde. Une vitesse de groupe nulle correspond a un mode


local, c’est a dire une vibration qui ne se propage pas. Il apparaıt egalement sur cette figure que lesdeux premiers modes de Lamb, c’est-a-dire les modes S0 et A0, ne presentent pas de frequence decoupure, contrairement aux modes superieurs.

0

2

4

6

8

10

0 2 4 6 8 10

fh

(MH

z.m

m)

kxh

A0S0

A1

S1

S2

A2S3

A3

S4

Figure 3.5 – Courbes de dispersion des premiers modes de Lamb.

L’evolution de la vitesse de phase des premiers modes de Lamb est tracee sur la figure 3.6 enfonction du produit fh. A l’instar des modes TH guides, la vitesse de phase de chaque mode symetriqueou antisymetrique pour n ≥ 1 tend vers l’infini lorsque la frequence est egale a la frequence de coupuredu mode. En revanche, il est interessant de noter que lorsque la frequence tend vers 0, la vitesse dephase du mode A0 tend vers 0 et celle du mode S0 tend vers une valeur finie non nulle. De plus, lavitesse de phase du mode S1 est finie pour les frequences ou sa vitesse de groupe est nulle. Ce modea ces frequences particulieres est appele un mode ZGV (Zero Group Velocity).

0

2

4

6

8

10

0 2 4 6 8

c ϕ(m

m/µ

s)

f.h (MHz.mm)

A0

S0A1

S1

A2S2

S3

A3

10

Figure 3.6 – Evolutions des vitesses de phase des premiers modes de Lamb en fonction du produit fh.

Les deplacements particulaires des modes de Lamb fondamentaux S0 et A0 sont representesrespectivement sur les figures 3.7(a) et 3.7(b). Ces deplacements sont calcules pour une plaque


d’aluminium d’epaisseur h = 2 mm a la frequence f = 1 MHz. Le deplacement du mode S0 estsymetrique par rapport au plan median de la plaque, tandis que celui du mode A0 est antisymetrique.Ces deplacements sont calcules au produit frequence×epaisseur fh = 2 MHz.mm.

(a) Mode S0 (b) Mode A0

Figure 3.7 – Deplacements particulaires pour une plaque d’aluminium d’epaisseur h = 2 mm a lafrequence f = 1 MHz associes a (a) le mode de Lamb symetrique S0 et (b) le mode de Lamb antisymetriqueA0.

2.2.1 Vitesses des modes S0 et A0 aux basses frequences

Dans le domaine des basses frequences, des solutions approchees des equations de dispersion (3.66)et (3.68) pour les deux premiers modes peuvent etre obtenues en effectuant quelques approximations.Ainsi, en considerant que le nombre d’onde k et la pulsation ω tendent vers 0, un developpement limiteau premier ordre des fonctions tangentes peut etre utilise afin de mettre l’equation de dispersion (3.66)sous la forme approchee (

k2Tz− k2

)2= −4k2k2

Lz. (3.69)

Compte tenu des equations (3.62), la solution de cette equation correspond a la vitesse de barre

c = 2cT

√1− c2

T

c2L

= 2cT

√λ+ µ

λ+ 2µ = cb. (3.70)

En utilisant un developpement limite au troisieme ordre des fonctions tangentes, l’equation dedispersion (3.68) peut etre mise sous la forme

(kTzh/2)[1 + 1

3(kTzh/2)2]

(kLzh/2)[1 + 1

3(kLzh/2)2] = −

(k2Tz− k2

)2

4k2kLzkTz

(3.71)

ou encore

4 + h2

3 (k2Tz− k2

Lz) = −

(k2Tz− k2

)2

k2k2Tz

(3.72)

Compte tenu des equations (3.62) et puisque k2 ≈ −k2Tz

, cette equation de dispersion peut etre reecrite

ω = cb

2√

3k2h. (3.73)

La vitesse de phase du mode A0 solution de cette derniere equation a donc pour expression aux bassesfrequences

c =√

cb

2√

3ωh = cp. (3.74)

La vitesse de phase du mode A0 tend donc vers la vitesse de phase cp des ondes de flexion dans lesplaques minces.


2.2.2 Frequences de coupure des modes superieurs

A l’instar des modes TH guides, les modes de Lamb peuvent presenter ou non des frequencesde coupure qui traduisent le passage d’un mode evanescent a propagatif. Les modes de Lambfondamentaux S0 et A0 n’ont pas de frequence de coupure, signifiant qu’ils sont toujours propagatifs.En revanche, les modes superieurs Sn et An avec n ≥ 1 ont des frequences de coupure qui peuvent etrefacilement determinees dans le cas des plaques isotropes. A chaque frequence de coupure, le nombred’onde k tend vers 0, signifiant que les nombres d’ondes kLz et kTz tendent respectivement vers kL etkT .

Afin de determiner les frequences de coupure des modes symetriques, il est necessaire de mettrel’equation de dispersion (3.66) sous la forme

cos(kLh/2) sin(kTh/2) = 0. (3.75)

Les solutions de cette equation ont pour expressionskLh/2 = (2m+ 1)π2 =⇒ fLm =

(m+ 1

2

)cLh

avec m ∈ N,

kTh/2 = (n+ 1)π =⇒ fTn = (n+ 1)cTh

avec n ∈ N.(3.76)

De la meme maniere, l’equation de dispersion (3.68) peut etre mise sous la forme

sin(kLh/2) cos(kTh/2) = 0. (3.77)

Les solutions de cette equation ont pour expressionskLh/2 = (n+ 1)π =⇒ fLn = (n+ 1)cL

havec n ∈ N,

kTh/2 = (2m+ 1)π2 =⇒ fTm =(m+ 1

2

)cTh

avec m ∈ N.(3.78)

Chapitre 4

Generation, detection et mesures desondes ultrasonores

1 Sources ultrasonores

1.1 Transducteurs piezoelectriques

1.1.1 Principe de fonctionnement

Un transducteur ultrasonore est compose d’une plaque piezoelectrique positionnee devant uneface arriere egalement appelee backing. Certains capteurs possedent devant la plaque piezoelectriqueune lame adaptatrice d’impedance Deux electrodes sont egalement placees sur les deux surfaces de laplaque piezoelectrique afin d’appliquer et/ou recuperer une tension electrique.

Un materiau piezoelectrique convertit un signal electrique en energie mecanique et reciproquement.Les materiaux generalement utilises sont des cristaux naturels comme le quartz ou des materiauxcristallins tel le lithium de niobate. Il existe egalement des ceramiques dont la plus frequemment utiliseereste le titanate-zirconate de plomb (PZT-5A). Une plaque piezoelectrique d’epaisseur h utilisee pourgenerer des ondes longitudinales fonctionne sur une bande de frequence centree sur la frequence deresonance de cette plaque definie par la relation

fres = c

2h, (4.1)

ou c est la vitesse des ondes longitudinales dans la plaque piezoelectrique. Cette frequence de resonancerepresente la frequence pour laquelle les ondes longitudinales sont generees de maniere optimale. Acette resonance est associe un facteur de qualite qui quantifie la largeur frequentielle et l’amplitude dela resonance. La bande passante du transducteur depend alors essentiellement de ce facteur de qualite

Le backing a l’arriere du capteur est generalement un amortisseur qui reduit les vibrations de laplaque piezoelectrique et absorbe le rayonnement emis vers l’arriere. Le materiau utilise doit avoir uneimpedance proche de celle de la plaque pour assurer la transmission des ondes. Il arrive egalement quele backing soit un reflecteur represente simplement par une couche d’air afin de reflechir totalementles ondes, ce qui a pour but d’allonger la duree du signal emis par le capteur.

La lame adaptatrice d’impedance a evidemment pour objectif d’assurer une meilleure transmissiondes ondes entre la plaque piezoelectrique d’impedance Zp et le milieu de propagation d’impedance Zt.Elle permet egalement de proteger le materiau piezoelectrique et l’electrode placee a l’avant. Cettelame est une lame quart d’onde ce qui signifie que son epaisseur est choisie pour correspondre au quartde la longueur d’onde a la frequence fres de la plaque piezoelectrique. Dans ce cas, l’impedance Za de

44 4 Generation, detection et mesures des ondes ultrasonores

la couche adaptatrice doit etre choisie pour s’approcher de la relation

Za =√ZpZt (4.2)

qui correspond au cas ou la transmission est parfaite. Cette relation n’est vraie que pour une seulefrequence et plus on s’eloigne de cette frequence moins bonne est la transmission des ondes entre laplaque piezoelectrique et le milieu de propagation.

En definitive, quel que soit le signal electrique soumis au transducteur via les electrodes, la fonctionde transfert de ce dernier depend de plusieurs parametres dont les plus importants sont le facteur dequalite de la resonance de la plaque piezoelectrique, la qualite de l’absorption des ondes en face arriereet eventuellement la transmission des ondes au travers de la lame adaptatrice d’impedance.

Le signal transmis au transducteur piezoelectrique peut etre un signal sinusoıdal continu ou fenetre.Les signaux continus ne sont pas tres utilises dans la mesure ou en utilisation prolongee les capteurschauffent et peuvent s’endommager. Un train d’ondes sinusoıdale est une sinusoıde fenetree sur ungrand nombre de periodes. Ce type de signal ”quasi-harmonique” a une transformee de Fourier enforme de sinus cardinal centre sur la frequence de la sinusoıde et dont la largeur depend du nombre deperiode. Plus la duree de la fenetre est grande, plus le sinus cardinal sera etroit. Un signal impulsionnelest une sinusoıde fenetree sur un faible nombre de periodes pour tendre vers une impulsion. Les fenetressont generalement des enveloppes Gaussiennes. Le contenu frequentiel des signaux impulsionnels sontlarges et centres sur la frequence centrale de la sinusoıde. Il existe d’autres types de signaux commeles sinus glissants (sinusoıde dont la frequence evolue en fonction du temps).

1.1.2 Generation en immersion

La generation des ondes ultrasonores dans un fluide est souvent comparee au rayonnement d’unpiston plan circulaire de rayon a baffle dans un plan infini. Dans ce cas, en regime harmonique depulsation ω, l’intensite des ondes rayonnees dans l’axe du piston a pour expression [5]

I(x) = I0 sin2[ω

2c0

(√a2 + x2 − x

)], (4.3)

ou I0 est une amplitude et c0 est la vitesse du son dans le fluide. L’intensite acoustique rayonnee surl’axe d’un transducteur de diametre 2a = 13 mm a la frequence 2,25 MHz est tracee en fonction de laposition adimensionnee sur l’axe x/a sur la figure 4.1.

0 5 10 15 20 25 30 35 40x/a

0.0

0.5

1.0

I

Champ proche x` Champ lointain

Figure 4.1 – Intensite acoustique rayonnee par un piston plan baffle de diametre 2a = 13 mm a lafrequence f = 2, 25 MHz.

1 Sources ultrasonores 45

La distance entre le capteur et la limite basse du champ lointain est determinee approximativementpour les transducteurs ultrasonores plan par la relation [6]

x` ≈fa2

c0= a2

λ. (4.4)

Le champ de pression rayonne en champ lointain par le transducteur correspond a une onde spherique

p(r, θ) = P0e−jk0r

rD(θ), (4.5)

ou P0 est l’amplitude du champ de pression et ou le facteur de directivite est donne par la relation

D(θ) = 2J1(k0a sin θ)k0a sin θ . (4.6)

La divergence du faisceau est determinee par l’angle θ0 definit par les expressions

θ0 = arcsin(αλ

a

)avec

α = 0, 25 pour une perte de 6 dB,α = 0, 43 pour une perte de 20 dB,α = 0, 61 pour une perte totale.

(4.7)

0 10 20 30 40 50z/a

−5

0

5

x/a

Figure 4.2 – Champ de pression rayonne par un piston plan baffle de diametre 2a = 13 mm a lafrequence f = 1 MHz.

1.1.3 Generation au contact

Les transducteurs au contact sont des capteurs piezoelectriques qui sont colles par l’intermediaired’un couplant a la surface d’un materiau a sonder. Du fait des irregularites de surface du capteur etde l’echantillon a sonder, le couplant depend de la nature des ondes a generer. Si les capteurs sontdes transducteurs a ondes de cisaillement, le gel doit etre tres visqueux, tel du miel par exemple, afind’assurer la continuite des efforts de cisaillement entre le capteur et l’echantillon. Si les capteurs sontdes transducteurs a ondes longitudinales, le gel doit etre aqueux et donc peu visqueux, afin d’assurer lacontinuite des efforts de compression entre le capteur et l’echantillon. Les ondes generees se propagenten incidence normale et peuvent etre detectees par un second transducteur ou alors par le transducteuremetteur (mode echographique).


Une facon simple de generer des ondes elastiques en incidenceoblique est d’avoir recours a des sabots usines avec un angleparticulier (voir figure ci-contre). L’angle entre la surfacedu sabot en contact avec le transducteur et la surface del’echantillon est notee α. L’onde de volume longitudinale outransverse generee par le capteur se propage en incidencenormale dans le sabot. En vertue des lois de Snell-Descartes,les angles d’incidences θL et θT des ondes de volumelongitudinale et transverse transmise dans le materiau sontdonnes par les expressions

θT

T

L

θL

Matériau

Sabot

T

r

a

n

s

d

u

t

e

u

r

α

θL = arcsin(cLci

sinα)

et θT = arcsin(cTci

sinα), (4.8)

ou ci est la vitesse de l’onde de volume generee dans le sabot et cL et cT sont les vitesses des ondesde volume longitudinale et transverse se propageant dans le materiau.

1.1.4 Mais aussi

Si les capteurs en immersion et ceux au contact sont les transducteurs piezoelectriques les plusutilises, il existe d’autres types de capteurs qui ont des utilisations assez specifiques. Voici une listenon exhaustive des differents capteurs [7].

? Les transducteurs focalises dont la surface emettrice est concave afin de focaliser le champrayonne en un point.

? Les transducteurs doubles separent la fonction d’emission de la fonction de reception etcomportent donc deux elements piezoelectriques independants.

? Les transducteurs a couplage par air sont des capteurs fonctionnant en immersion, maiscomme leur nom l’indique, le fluide de couplage est l’air. Si ces capteurs ont l’avantage degenerer des ultrasons sans contact dans des materiaux, les ruptures d’impedance entre d’unepart le capteur et l’air et d’autre part l’air et l’echantillon restent une contrainte majeure. Desniveaux tres eleves sont necessaires en emission et ceux en reception demeurent assez faibles.

? Les barrettes lineaires sont constituees de multiples transducteurs elementaires alignes. Undephasage electronique permet de focaliser le faisceau par un effet d’antenne lineaire. Ce typede focalisation est tres utilisee dans le domaine medical car le point de focalisation peut etredeplace facilement et rapidement.

1.2 Transducteurs EMAT

Les transducteurs EMAT (ElectroMagnetic Acoustic Transducer) generent des ondes ultrasonoressans contact au sein de materiaux conducteurs d’electricite ou ferromagnetique. Ils sont composesd’une bobine et de plusieurs aimants, ces derniers pouvant etre des aimants permanents ou deselectroaimants. La circulation d’un courant alternatif dans la bobine conduit a la generation d’unchamp magnetique variable qui induit des courants de Foucault au sein du materiau. L’interaction deces courants de Foucault avec un champ magnetique permanent cree par les aimants engendrent desphenomenes magnetostrictifs dans les materiaux ferromagnetiques et des forces de Lorentz dans lesmateriaux conducteurs, conduisant alors dans les deux cas a la generation des ondes ultrasonores dansle materiau.

Le positionnement et la polarisation des aimants conditionnent la nature des ondes generees dansle materiau. Ce type de transducteur permet de generer des ondes de volume et egalement des ondesguidees. Notamment, ils permettent facilement de generer des ondes transverses horizontales et donc

1 Sources ultrasonores 47

des modes TH guidees et des ondes de Love, ce qui est un avantage consequent par rapport aux autrestechniques de generation et de detection d’ultrasons. En revanche, les deux inconvenients majeurs deces capteurs par rapport aux transducteurs piezoelectriques sont leur prix tres onereux et leur moinsbonne efficacite en termes de generation et detection d’ondes.

1.3 Generation et detection laser

1.3.1 Generation thermoelastique

La generation d’ondes elastiques dans un materiau par une source laser peut se faire selondeux mecanismes dependant de la quantite d’energie lumineuse deposee dans le materiau et de sescaracteristiques intrinseques. Ainsi, en dessous d’un certain seuil de puissance lumineuse absorbee, leregime est dit thermoelastique et correspond a des deplacements mecaniques de faible amplitude. Audessus de ce seuil, le regime d’ablation apparaıt, causant des dommages irreversibles pour le materiau.Le seuil depend des proprietes mecaniques et thermodynamiques de chaque materiau, ainsi que desproprietes de la source laser.

La generation thermoelastique des ultrasons par laser resulte d’un echauffement local del’echantillon induit par l’absorption optique du faisceau laser. Cette elevation localisee de temperatureproduit alors une dilatation thermique responsable de la generation des ondes elastiques. Le champde temperature T induit par l’absorption optique du faisceau pompe est solution de l’equation dediffusion de la chaleur,

ρCp∂T

∂t(r, t)− κ∆T (r, t) = Q(r, t), (4.9)

avec Cp le coefficient de capacite calorifique massique a pression constante, κ le coefficient deconduction thermique et ρ la masse volumique du materiau et ou la densite volumique d’energieelectromagnetique par unite de temps Q(r, t) represente la source de chaleur induite par l’absorptionoptique du faisceau incident. Le faisceau laser se propageant en incidence normale dans la direction z,le terme source de l’equation (4.9) est du type

Q(x, z, t) = If(x)g(t)e−βz, (4.10)

ou I est l’intensite de la source lumineuse penetrant le solide et β est l’inverse de la profondeurde penetration optique. Pour les materiaux transparents le coefficient β est faible et la source laserpenetre profondement dans le materiau. A l’inverse, le coefficient β pour les materiaux opaques esteleve et la source laser penetre une fine epaisseur sous la surface du materiau. Les fonctions f(x) etg(t) representent les dependances respectivement spatiale et temporelle du faiseceau laser qui sontgeneralement des Gaussiennes.

Dans le cadre de l’acoustique lineaire, le champ de deplacement u est solution de l’equation depropagation,

ρ∂2u

∂t2(r, t) = div σ(r, t), (4.11)

ou le tenseur des contraintes est donne par la relation

σ(r, t) = λ Tr εI + 2µε− (3λ+ 2µ)αTI, (4.12)

avec λ et µ les coefficients de Lame et α le coefficient de dilatation thermique. La resolution desequations (4.9) et (4.11) couplees a des conditions aux frontieres permet de determiner le champ dedeplacement en tout point du materiau. Ces equations sont resolues soit par des methodes numeriques(differences finies, elements finis, ...), soit par des methodes utilisant des transformees de Fourierspatiales et temporelle.


1.3.2 Mesure des deplacements nomaux

Le deplacement normal d’une surface ou d’une interface peut aisement etre mesure par desmethodes optiques. Dans ce contexte, il existe plusieurs techniques : les sondes deflectometriques,les sondes a diffraction ou les sondes interferometriques pour les plus connues. Ces dernieres sont enparticulier les plus utilisees pour la detection des ondes elastiques. Elles reposent sur la modulationdu faisceau lumineux reflechi a la surface d’un materiau par le deplacement de cette meme surface lieaux ondes elastiques.

Le vibrometre laser est un outil de mesure tres utilise pour detecter des ultrasons, generes par unesource laser ou non. C’est une sonde interferometrique qui repose sur la mesure de l’effet Doppler entrele signal emis et le signal reflechi. Il mesure le deplacement normal d’une surface aux basses frequenceset la vitesse normale aux hautes frequences. Le vibrometre laser a plusieurs avantages par rapport auxtransducteurs piezoelectriques agissant en reflexion. Tout d’abord, c’est une technique sans contactdonc mobile. De plus, il opere dans une large bande de frequences et donc plusieurs capteurs emetteurspeuvent etre utilises sans changer pour autant de vibrometre.

2 Rappels sur la dispersion

2.1 Applications numeriques

Afin de visualiser la dispersion, un meme signal porte par une onde de Lamb S0 et une onde deLamb A0 dans le domaine des basses frequences est etudie. Ce signal correspond a une sinusoıde defrequence f0 fenetree par une Gaussienne :

S(x = 0, t) = Im [s(t− t0)] = sin [2πf0(t− t0)] e−12 [σ(t−t0)]2 . (4.13)

La frequence centrale du signal est f0 = 100 kHz, la largeur de la Gaussienne est σ = 0.3 MHz et ledecalage temporel est t0 = 20 µs. Le signal ainsi genere est represente sur la figure 4.3(a) et le modulede sa transformee de Fourier sur la figure 4.3(b).

0 10 20 30 40 50temps (µs)

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

S(x

=0,t)

0 50 100 150 200 250 300f (kHz)

0102030405060

S(x

=0,f

)

(a) (b)

Figure 4.3 – (a) Signal S(x = 0, t) et (b) le module de sa transformee de Fourier S(x = 0, ω).

Ce signal est propage dans la suite par deux ondes de Lamb aux vitesses differentes : l’onde S0de vitesse constante cb et l’onde A0 de vitesse cp dependant de la frequence (voir chapitre 3. Chaquesignal est propage en multipliant la transformee de Fourier du signal en x = 0 par un dephasage

2 Rappels sur la dispersion 49

dependant de l’onde consideree :SS0(x, ω) = S(x = 0, ω) exp

(−j ω

cbx

),

SA0(x, ω) = S(x = 0, ω) exp(−j ω

cpx

).

(4.14)

Les signaux temporels sont ensuite obtenus en calculant la transformee de Fourier inverse de cestransformees de Fourier et sont traces sur la figure 4.4(a) pour l’onde de Lamb S0 et 4.4(b) pourl’onde de Lamb A0. Comme attendu, l’onde de Lamb S0 se propage sans dispersion et donc la formedu signal n’evolue pas au cours du temps. A l’inverse, l’onde de Lamb A0 est une onde tres dispersiveet la forme de son signal evolue au cours du temps en s’etalant, ce qui s’explique simplement par lefait que les basses frequences se propagent moins vite que les hautes frequences.

0 50 100 150 200temps (µs)

S(x

=d,t

)

0 50 100 150 200temps (µs)

S(x

=d,t

)

(a) (b)

Figure 4.4 – (a) Signal SS0(x, t) et (b) SA0(x, t) pour differentes distances de propagation.

2.2 Mesures de la vitesse de phase et de l’attenuation

On considere une onde se propageant dans la direction x avec le nombre d’onde k. Les signauxmesures en deux points distincts x1 et x2 sont respectivement notes S(x1, t) et S(x2, t). Lestransformees de Fourier de ces deux signaux sont reliees par la relation

S(x2, ω) = S(x1, ω)e−jk(x2−x1). (4.15)

Si le nombre d’onde est complexe et defini tel que k = k1 + jk2, il vient en posant d = x2 − x1,

S(x2, ω)S(x1, ω)

= e−jk1dek2d. (4.16)

On deduit directement de cette relation, les expressions de la vitesse de phase

cφ = ω

Re[k] = ω

k1= − ωd

∆Φ avec ∆Φ = arg[S(x2, ω)S(x1, ω)

](4.17)


et de l’attenuationα = k2 = 1

dln∣∣∣∣∣ S(x2, ω)S(x1, ω)

∣∣∣∣∣ = −1d

ln∣∣∣∣∣ S(x1, ω)S(x2, ω)

∣∣∣∣∣ . (4.18)

La mesure optimale de la vitesse de phase consiste a mesurer la difference de phase ∆Φ resultant entreles signaux detectes en deux points separes d’une distance d :

cφ = ∆Φd

(4.19)

References

[1] R. Christensen, Theory of Viscoelasticity, Dover Publications Inc., 2nd edition, 2003.[2] W. M. Ewing, Elastic Waves in Layered Media, McGraw Hill Text, 1st edition, 1957.[3] D. Royer et D. Clorennec, An improved approximation for the rayleigh wave equation, Ultrasonics,

46(9), 23–24, 2007.[4] C. Glorieux, K. V. de Rostyne, K. Nelson, W. Gao, W. Lauriks et J. Thoen, On the character

of acoustic waves at the interface between hard and soft solids and liquids, J. Acoust. Soc. Am.,110(3), 1299, 2001.

[5] D. T. Blackstock, Fundamentals of physical acoustics, Wiley, 2000.[6] G. S. Kino, Acoustic Waves: Devices, Imaging, and Analog Signal Processing, Prentice Hall, 1987.[7] J.-P. Lefebvre, P. Lasaygue, P. Catherine, J.-F. de Belleval et P. Gatignol, L’acoustique ultrasonore

et ses applications, 1ere partie, Acoustique et Techniques, 36, 4–11, 2004.

Bibliographie

J. Achenbach, Wave Propagation in Elastic Solids, North Holland, 1987.K. Aki et P. G. Richards, Quantitative Seismology, University Science Books,U.S., 1997.B. A. Auld, Acoustic fields and waves in solids, tome 1, R. E. Krierger Publishing Compagny, Malabar,Florida, 1990.B. Kennett, Seismic Wave Propagation in Stratified Media, Cambridge University Press, 1983.D. Royer et E. Dieulesaint, Ondes elastiques dans les solides : Propagation libre et guidee, tome 1,Masson, 1997.D. Royer et E. Dieulesaint, Ondes elastiques dans les solides : Generation, interaction acousto-optique,applications, tome 2, Masson, 1997.J. L. Rose, Ultrasonic Waves in Solid Media, Cambridge University Press, 2004.

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