Elementær Matematik

Trigonometri

Ole Witt-Hansen 2011

Indhold

1. Vinkler .........................................................................................................................................1 2. Sinus, cosinus og tangens.............................................................................................................3 2.1 Overgangsformler ......................................................................................................................4

3. Den retvinklede trekant............................................................................................................6 4. Den almindelige trekant. Sinus og cosinus relationerne ..........................................................8 4.1 Projektion på en linie .............................................................................................................9

4.2 Kordeformlen. Sinusrelationerne .............................................................................................10 4.3 Cosinusrelationerne..................................................................................................................12 4.3 Arealet af en trekant ved trigonometri .....................................................................................13 4.4 De 5 trekantstilfælde ................................................................................................................14

Trigonometri 1

1. Vinkler To halvlinier med fælles begyndelsespunkt siges at danne en vinkel. Det fælles begyndelsespunkt kaldes for vinklens toppunkt. Set fra toppunktet taler man om vinklens venstre ben og højre ben. Det mest almindelige måltal for vinkler er gradtal. Gradtallet bestemmes ved at tegne en cirkel med centrum i vinklens toppunkt og med en vilkårlig radius. Denne cirkel inddeles i 360 lige store stykker, og hvert stykke betegnes 10 (én grad). Hele cirklen er således 3600. Vinklen måles da ved det antal grader, som den afskærer på cirklen. Med denne definition er ligger en vinkel altid mellem 00 og 3600. Bemærk, at 10 ikke er en længde, men afhænger af (faktisk proportional med) cirklens radius.

Lidt mere formelt kan man sige, at gradtallet for vinklen er 360 gange den brøkdel, som buen b udgør af cirklens omkreds.

03602 rb

v

Vinklen mellem halvlinierne l og m betegnes (lm). Vi vil nu indføre vinkler, som er negative og som er større end 3600. For at gøre dette tegner vi et koordinatsystem og en enhedscirkel med centrum i (0,0). Vi indlægger da vinklen, så toppunktet er i (0,0) og l falder sammen med x-aksens positive retning. Vi indfører nu en omløbsretning i planen, således at en drejning mod uret regnes for positiv og modsat negativ. Begrundelsen for dette valg kunne være, at jordens rotation set fra nordpolen er positiv. Samtidig indfører vi vinkler, som er større end 3600 eller mindre end -3600 , ved drejninger som bevæger sig mere end en gang rundt. Ved en retningsvinklen for en halvlinie l, som har begyndelsespunkt i O, forstår man en drejning, der fører x-aksens positive halvakse over i l. Liniens skæringspunkt med enhedscirklen, kaldes for retningspunktet for vinklen.

Trigonometri 2

Med udvidelse af vinkelbegrebet, ses det, at en halvlinie har uendelig mange retningsvinkler. Hvis v0 er den numerisk mindste, så vil nemlig v0 + 3600 , v0 - 3600 , v0 + 2∙3600….osv., også føre x over i l. Samtlige retningsvinkler kan da skrives: (xl): v = v0 + p∙3600 , p Z Med det udvidede vinkelbegreb, vil vi nu ved en vinkel (lm) mellem to linier l og m forstå en drejning, der fører l over i m. Samtidig vil der (indlysende) gælde (ml) = -(lm). Hvis u, v og w er retningsvinkler for (xl), (xm) og (lm), følger en indskudsreglen for vinkler. (xm) = (xl) +(lm) (lm) = (xm) – (xl) w = v - u Vi har her benyttet x-aksen som den ene halvlinie, men det er underordnet. Hvis linierne er som vist på tegningen er sætningen indlysende. Der er også underordnet om retningsvinklerne er større eller mindre end 3600. Hvis m ligger mellem x og l, vil der derimod gælde:

(xl) = (xm)+(ml) (xl) = (xm)-(lm) (xm)=(xl)+(lm) (lm) =(xm) – (xl) Vi ser, at såvel indskudssætningen, som udtrykket for en vinkel mellem l og m er uforandret det samme. Hvis linierne ligger i rækkefølgen m, l, x, vil der gælde:

(mx) =(ml) + (lx)+ -(xm) = -(lm)-(xl) (xm)=(xl)+(lm) (lm) =(xm) – (xl) På samme måde, kan man vise, at ligegyldig, hvad placeringen er af x, l og m, så gælder indskudssætningen for vinkler, og at man altid kan finde en vinkel w mellem to halvlinier med retningsvinkler u og v som w = v – u Eksempel

Trigonometri 3

Når man taler om vinklen mellem to linier, er det i almindelighed den numerisk mindste vinkel. Vi vil bestemme vinklen mellem de to linier l og m, som har retningsvinklerne u = 2200 og v = -370. Vinklen er ifølge ovenstående: w = v – u. w = -370 – 2200 = -2570. Den numerisk mindste vinkel er derfor –(180 - 2570)=770.

2. Sinus, cosinus og tangens

Der er tegnet et koordinatsystem med en enhedscirkel. Lad der være givet en vinkel med gradtal v (evt. større end 3600 eller negativ). Lad x-aksens positive halvlinie udføre en drejning på v. Skæringspunktet mellem linien og enhedscirklen kaldes for retningspunket P for v. Vi definerer herefter cos v , (læses: cosinus til v), og sin v, (læses: sinus til v), som henholdsvis absisse og ordinat til vinklens retningspunkt. P(cos v, sin v) v kaldes for argumentet til cos v. Efter indførelsen af matematiske lommeregnere skriver man ind imellem cos v og sin v, med en parentes omkring argumentet, som cos(v) og sin(v). Det ses umiddelbart, at

cos 00 = 1, sin 00 = 0, cos 900 = 0, sin 900 = 1, cos 1800 = -1, sin1800 = 0, cos 2700 = 0, sin 2700 = -1

Man har for vane, at skrive potenser af cos v og sin v uden brug af parenteser. Således skriver man

(cos v)2 som cos2v. Det må ikke forveksles med cos v 2, da dette betyder, at man tager cosinus af kvadratet på vinklen. Tilsvarende (sin v)3 skrives sin3v.

Trigonometri 4

Det ses af figuren at |OP|=1. Udregnes |OP| med afstandsformlen mellem O(0,0) og P(cos v, sin v), får man.

22 0)-vsin(0)-v(cos 1|OP|

1sincos 22 vv Denne vigtige relation betegnes ofte som grundrelationen mellem cosinus og sinus. Foruden sinus og cosinus, definerer man tan v (læses: tangens til v) og cot v (læses: cotangens til v). De er defineret ved:

Zppvv

vv ,18090,

cos

sintan 00

Zppvv

vv ,180,

sin

coscot 0

Forbeholdene for vinklerne er gjort fordi nævnerne ikke må blive nul. Der gælder at tan v∙cot v =1. I almindelighed anvender man nu om dage kun tangens. Vi vil vise, at tan v kan aflæses, hvor forlængelsen af OP (vinklens andet ben) skærer cirkeltangenten i E. Hældningskoefficienten for denne linie kan nemlig udregnes ved de to punkter: O(0,0) og P(cos v, sin v) samt punkterne O(0,0) og T(1,t) (som ligger på tangenten). (Se figuren ovenfor)

tvt

vv

tan010

0cos0sin

2.1 Overgangsformler Vi vil nu vise nogle nyttige formler, der knytter sinus, cosinus og tangens sammen med vinkler, der har retningspunkter, der ligger symmetrisk med hensyn til koordinatakserne. Sådanne formler kaldes for overgangsformler.

Trigonometri 5

På den første figur er indtegnet vinklerne v og –v. De to retningspunkter P og Q, har ifølge definition af retningspunkt koordinaterne (cos v, sin v) og (cos(- v), sin(- v)). Da punkterne ligger symmetrisk mht. 1. aksen har de samme absisse og modsatte ordinater. Der gælder derfor: cos(-v) = cos(v) og sin(-v) = - sin v Når vinklen skifter fortegn er cosinus uforandret mens sinus skifter fortegn. På den anden figur er indtegnet vinklerne v og 1800 – v. De to retningspunkter P og Q, har ifølge definition af retningspunkt koordinaterne (cos v, sin v) og (cos(1800 - v), sin(1800 - v)). Vinklen 1800 - v kan opnås ved en drejning på 1800 efterfulgt af en drejning på – v. Punkterne ligger derfor symmetrisk mht. 2. aksen, og har derfor samme ordinat og modsatte absisser. cos(1800 - v ) = - cos(v) og sin(1800 - v) = sin v To vinkler (som 1800 – v og v), som tilsammen er 1800 kaldes for supplementvinkler. Ovenstående kan derfor formuleres: For supplementvinkler gælder det, at cosinus skifter fortegn mens sinus er uforandret.

På den første figur, ser vi på vinklerne v og 900+v. De to retningspunkter P og Q, har ifølge definition af retningspunkt koordinaterne (cos v, sin v) og (cos(900 + v), sin(900 + v)). Vil søger sammenhængen mellem et punkt (x1 , y1) og et punkt (x2 , y2), som er drejet 900 i forhold til det første. x1 vil blive drejet op på y-aksen, så y2 = x1. y1 bliver drejet ned på x-aksens negative side, så x2 = -y1. Der gælder altså: (x2 , y2) =(-y1 , x1). Anvendes dette på koordinaterne til de to retningspunkter får man:

Trigonometri 6

cos(900 + v ) = - sin(v) og sin(900 + v) = cos v Af forskellige grunde anvendes ovenstående formler ikke så ofte, i stedet anvendes formler for v og 900 – v. Disse kan imidlertid let opnås ved at erstatte v med – v i formlerne ovenfor. cos(900 - v ) = - sin(-v) og sin(900 - v) = cos(- v) Ved at anvende de første af overgangsformlerne får man så. cos(900 - v) = sin v og sin(900 - v) = cos v To vinkler (som v og 900 – v), der tilsammen er 900 kaldes for komplementvinkler. Ovenstående overgangsformler, kan derfor formuleres: Når man erstatter en vinkel med den komplementvinkel, bliver sinus til cosinus og omvendt. På den sidste figur, ser vi på vinklerne v og 1800 + v. På helt tilsvarende måde som før finder vi: cos(1800 + v ) = - sin(v) og sin(1800 + v) = - cos v Formlerne kunne i øvrigt være opnået ved at erstatte v med –v i fomlerne: cos(1800 - v ) = - cos(v) og sin(1800 - v) = sin v Ud fra definitionen af tangens, finder man følgende overgangsformler for tangens. tan(-v) = -tan v, tan(180 –v) = - tan v, tan(900 – v) = cot v

3. Den retvinklede trekant Vi vil nu vise, hvorledes de trigonometriske funktioner sinus, cosinus og tangens kan anvendes til at beregne de øvrige ukendte stykker i en retvinklet trekant, når to stykker, (dog ikke de to spidse vinkler) er kendte. Først bemærker vi om vinklerne, da A + B + C =1800 og C = 900 følger at A + B = 900.

Trigonometri 7

De to spidse vinkler i en retvinklet trekant er tilsammen 900 . Hvis A er kendt, kan man finde B som B = 900 – A og omvendt. På figuren er tegnet en retvinklet trekant ABC, hvor C = 900, og som har kateterne a og b og hypotenusen c. For retvinklede trekanter gælder som bekendt Pythagoras’ sætning: a2 + b2 = c2. Vi har på den anden figur indlagt trekanten i et koordinatsystem, hvor der også er tegnet en enhedscirkel. P er her retningspunkt for vinkel A, så P har koordinaterne (cos A, sin A) Det ses nu at trekanterne ∆ABC er ensvinklet med ∆APQ . Heraf følger at forholdet mellem ensliggende sider er konstant. Dette udnytter vi til at opskrive:

b

Aa

Aca

Acb

A cossin1sin1cos

Ved omformning, (idet man husker, at AAA

tancossin

), finder man de tre grundlæggende

trigonometriske formler for den retvinklede trekant.

ba

Aca

Acb

A tansincos

Der gælder naturligvis helt tilsvarende formler for vinkel B.

a

bB

c

bB

c

aB tansincos

Det er de færreste retvinklede trekanter man møder, hvor vinklerne hedder A, B og C. Af den grund er det meget vigtigt at kunne huske en mundtlig formulering af de 3 ligninger. Cosinus til en vinkel i en retvinklet trekant er lig med den hosliggende katete divideret med hypotenusen. Sinus til en vinkel i en retvinklet trekant er lig med den modstående katete divideret med hypotenusen. Tangens til en vinkel i en retvinklet trekant er lig med den modstående katete divideret med den hosliggende. De tre relationer kan omformes til:

b = c∙cos A a = c∙sin A a = b∙tan A I en retvinklet trekant er en katete lig med hypotenusen gange sinus til den modstående vinkel.

Trigonometri 8

I en retvinklet trekant er en katete lig med hypotenusen gange cosinus til den hosliggende vinkel. I en retvinklet trekant er den ene katete lig med den anden gange tangens til den førstes modstående vinkel. Eksempler 1. I en retvinklet trekant er den ene katete lig med 5 og hypotenusen er 7. Beregn de ukendte vinkler og sider. Bemærkning: den anden katete kunne være beregnet med Pythagoras, men det er altid lettere, at anvende de trigonometriske formler.

Løsning: 90,4048,45cos7cos,042,44090,058,457

5sin AcbABAA

Man kan kontrollere med Pythagoras, at 7290,425

2. En retvinklet trekant har kateterne 3 og 5. bestem hypotenusen og de ukendte vinkler.

Løsning: 83,5096,30sin

3

sin,

004,59

090,

096,30

5

3tan

A

acABAA

Igen kunne man have beregnet hypotenusen med Pythagoras, men det er lettere at bruge formlerne for retvinklet

trekant. Som kontrol kan vi udregne: 83,52523 . Eksempel. Specielle vinkler. I almindelighed er man henvist til en matematik-regner, når man skal bestemme sinus og cosinus til en vinkel. For vinklerne 300, 450 og 600, kan man dog opnå eksakte udtryk ved hjælp af de trigonometriske formler.

I den viste retvinklede trekant er vinklerne 600 og 300, mens den ene katete er 1. Ud fra den rette vinkel afsættes en linie med vinklerne 600 og 300. Herved bliver såvel trekant ADC og BDC ligebenede. |DC| = |DB| og |AD| = |CD| , da vinklerne ved grundlinien i trekant CDB er 600, er den sidste vinkel også 600, så trekanten er ligesidet. |DC| er derfor lig med 1 lig med |AD|. Hypotenusen er derfor 2 og den anden katete beregnes af Pythagoras til 3 . Vi anvender nu de trigonometriske formler på denne trekant.

3

3

3

1030tan2

3030cos2

1030sin

31

3060tan

2

1060cos

2

3060sin

For en vinkel på 450 bemærker vi blot, at sin 450 = cos 450 , da vinklen 450 svarer til y = x, hvorefter det følger af grundrelationen:

sin2 450 + cos2 450 = 1 2∙ sin2 450 = 1 sin 450 =2

2

2

1 der gælder således:

sin 450 = cos 450 = 2

2.

4. Den almindelige trekant. Sinus og cosinus relationerne Vi vil nu vise nogle trigonometriske formler, som gælder for alle trekanter, og ikke kun for retvinklede

Trigonometri 9

4.1 Projektion på en linie Ved projektionen af et punkt på en linie, forstår man nedfældning af den vinkelrette. Man tegner (konstruerer) en (stiplet) linie, gennem punktet P vinkelret på linien l. Projektionen Pl af P på linien l er da skæringspunktet mellem de to linier.

Projektionen af et liniestykke AB på en linie l er liniestykket AlBl , som forbinder projektionen af A og projektionen af B på l. Hvis AB er vinkelret på l, vil projektionen udarte til et punkt. For at få en mere generel formel for projektion, indfører vi en orientering af såvel linien l, som en orientering af liniestykket AB regnet positiv fra A til B.

Hvis AB=|AB| , så er BA = -|BA|, således at BA = -AB.

Når liniestykker regnes med fortegn, gælder følgende indskudssætning uafhængig af placeringen af punkterne A, B og C. AB = AC + CB Hvis punkterne er placeret i rækkefølgen A, C og B , så følger sætningen trivielt af, at

|AB| = |AC| +|CB|.

Hvis derimod punkterne f.eks. ligger i rækkefølgen: C, B og A, vil der som før gælde: CA = CB + BA -AC = CB – AB AB = AC + CB Noget tilsvarende kan vises at gælde for alle øvrige placeringer af punkterne A, B og C. Når liniestykkerne regnes med fortegn, og v betyder drejningsvinklen mellem de positive retninger fra l til AB, vil vi da vise, at projektionen af AB på l er givet ved:

AlBl = AB cos v

Trigonometri 10

Hvis vi parallelforskyder AB vinkelret på linien l, så A ligger på l er projektionen af AB uforandret. Se figuren ovenfor. Hvis v < 900 , ses ud fra den retvinklede trekant AlBBl , at |AlBl| = |AB| cos v og dermed AlBl = AB cos v. Hvis 900 < v < 1800 , vil der gælde: |AlBl| = |AB| cos (1800-v). Idet AlBl = -|AlBl| (som følge af orienteringen) gælder som før: AlBl = AB cos v. Når liniestykker regnes med fortegn, kan man vise projektionssætningen: Summen af de med fortegn regnede projektioner af en brudt linie, er lig med projektionen af liniestykket, der forbinder endepunkterne af den brudte linie.

Sætningen følger af formlen for orienteret projektion på et liniestykke, samt af indskudssætningen af punkter på en linie. På figuren til venstre er det indlysende, at AlB =AlCl + ClBl , idet |AlBl| = |AlCl| + |ClBl|. I det andet tilfælde gælder ligeledes: AlBl = AlCl + ClBl ifølge indskudssætningen. Men for længderne af liniestykkerne gælder der derimod: |AlBl|=|AlCl| - |ClBl| . Nu er ClBl =CB cos(180-v) , hvor v<900 er den numerisk mindste vinkel mellem l og CB, så ClBl er negativ, som den skal være. (Se figuren)

4.2 Kordeformlen. Sinusrelationerne En korde i en cirkel er som bekendt et liniestykke, der forbinder to punkter af periferien. Radius i cirklen betegnes R. Længden af korden betegnes k. Den mindste af vinklerne, som korden afskærer af cirklen betegnes v. Vi vil vise kordeformlen:

2

sin22

sin2

vRk

vR

k

En korde kan beregnes som 2 gange radius i cirklen gange sinus til det halve af den vinkel den spænder over.

Trigonometri 11

Cirklens centrum O forbindes med kordens røringspunkter på periferien, hvorefter man har en ligebenet trekant med korden som grundlinie. Midtnormalen på korden går gennem centrum for cirklen og halverer vinklen v. Af den første figur ses, at den retvinklede trekant med katete 2

k og

centervinkel 2v at:

2

sin2

vR

k ,

hvilket viser kordeformlen. Lad der være givet en vilkårlig trekant ABC. Trekantens omskrevne cirkel har radius R. Hver af siderne a, b og c i trekanten er korder i den omskrevne cirkel og hver af vinklerne A, B og C er periferivinkler. Fra geometrien ved vi at en periferivinkel måles ved den halve bue den spænder over. Betegnes buen (centervinklen) svarende til A som v, så er A = 2

v .

Af kordeformlen følger så umiddelbart: ARaRa v sin2sin22

. Tilsvarende får man for de to

andre vinkler.

CRcogBRbogARa sin2sin2sin2

Heraf følger

RC

c

B

b

A

a2

sinsinsin

C

c

B

b

A

a

sinsinsin

Det sidste udtryk betegnes som sinusrelationerne. De kan naturligvis også skrives som de omvendte forhold, hvilket er det mest almindelige.

c

C

b

B

a

A sinsinsin

Sinusrelationerne anvendes, når man vil beregne ukendte sider og vinkler i en almindelig trekant, hvor to sider og en vinkel eller to vinkler og en side er kendte.

Trigonometri 12

4.3 Cosinusrelationerne

På figurerne er vist to trekanter ABC med sider a , b og c. I det første tilfælde falder fodpunktet H for højden fra B mellem A og C. I det andet tilfælde falder fodpunktet uden for AC. Vi vil imidlertid vise, at der i alle tilfælde gælder: CaAcb coscos . Dette er en konsekvens af projektionssætningen. I det første tilfælde følger dette umiddelbart idet b = |AC| = |AH|+|HB| og ifølge projektionsformlen er |AH| = c∙cos A, og |HB| = a∙cos C. I det andet tilfælde ses, at b = |AC| = |AH|-|HB|. Som før er |AH| = c ∙cos A, mens |HB| = a ∙cos(180-C) = -a∙ cosC, -|HB| = a∙ cosC. Vi finder derfor igen CaAcb coscos . Vi bemærker, at formlen er symmetrisk i a og c, så den vil være uforandret hvis H ligger til venstre for A. Vi sammenholder nu formlen

CaAcb

CaAcb

coscos

coscos

med sinusrelationen:c

Ca

A sinsin , som vi omskriver til:

CaAc sinsin Begge ligninger kvadreres.

CaAbcAcb

CaAcb

CaAcb

22222

22

coscos2cos

coscos

coscos

Trigonometri 13

CaAc

CaAc

CaAc

2222

22

sinsin

sinsin

sinsin

Ved addition af ligningerne:

CaCaAbcAcAcb 222222222 sincoscos2sincos

CCaAbcAAcb 2222222 sincoscos2sincos

222 cos2 aAbccb Den sidste af ligninger kaldes for cosinus-relationen. Den skrives i almindelighed, hvor man har byttet om på højre og venstreside. Der gælder tilsvarende relationer for de to andre sider.

Cabbac

Baccab

Abccba

cos2

cos2

cos2

222

222

222

Cosinus-relationerne kaldes også for den udvidede pythagoræiske læresætning. Hvis nemlig C = 900, så er cos C = 0 , og den sidste cosinusrelation reduceres til Pythagoras' sætning 222 bac . Cosinus-relationen kan anvendes til at finde en side, når man kender de to andre sider og den modstående vinkel. Den kan også anvendes til at bestemme vinklerne i en trekant, når de tre sider er kendte. I dette tilfælde, omskriver man ofte cosinus-relationerne lidt.

ab

cbaC

ac

bcaB

bc

acbA

2cos

2cos

2cos

222222222

4.3 Arealet af en trekant ved trigonometri

Trigonometri 14

Ovenfor er vist to trekanter. Vi viste I geometrien, at i begge tilfælde kan arealet beregnes som T = ½h∙g (Arealet af en trekant er ½ højde x grundlinie) På figuren bliver dette: T = ½h∙b. Højden h fra B, er imidlertid katete i den retvinklede trekant ABH, som har hypotenusen c og den modstående vinkel A. Ifølge formlerne for den retvinklede trekant, gælder derfor h =c sin A, som indsættes i formlen T = ½h∙b, så man finder T =½bc sin A Bemærk, at den udledte formel også gælder, hvis fodpunktet for højden falder udenfor AC. Ved bogstavombytning finder man to tilsvarende formler for arealet af trekanten. T = ½ab sin C T = ½bc sin A T = ½ac sin B Man kan udlede sinusrelationerne af disse 3 formler. Dividerer man nemlig udtrykket (T=) ½bc sin A = ½ac sin B = ½ab sin C igennem med ½abc, får man netop sinusrelationerne, (dog ikke sammenhængen med radius i den omskrevne cirkel)

c

C

b

B

a

A sinsinsin

4.4 De 5 trekantstilfælde Når man kender 3 stykker i en trekant, som ikke alle er vinkler, så kan de øvrige stykker beregnes ved hjælp af sinus- og cosinusrelationerne. I geometrien behandlede vi også de 5 trekantstilfælde og vi beskrev, hvorledes trekanterne kan konstrueres ved hjælp af passer og lineal. Det er en grundlæggende sætning for plangeometrien, at hvis en figur kan konstrueres ved hjælp af passer og lineal, så kan de ukendte stykker også beregnes ved trigonometri – og omvendt. Første trekantstilfælde: Givet de 3 sider a, b og c. I geometrien, så vi at betingelsen for at opgaven har en løsning er, at |a – b| < c < |a + b|.

Trigonometri 15

Eksempel De 3 vinkler beregnes ved hjælp af de tre cosinus-relationer.

ab

cbaC

ac

bcaB

bc

acbA

2

222cos

2

222cos

2

222cos

0222

0222

0222

82,82405

542654

cos

77,5548

27

642

564cos

41,414

3

652

465cos

CC

BB

AA

Man kontrollerer at A + B + C = 1800. Andet trekantstilfælde: To sider og den mellemliggende vinkel er kendte. Opgaven har altid netop 1 løsning. Eksempel A = 350 , b = 10, c = 7. Siden a beregnes af cosinusrelationen:

Abccba cos2222

86.532.3435cos7102710 222 aa

For at beregne B eller C, skal vi anvende sinusrelationerne. Her støder vi imidlertid på det problem, at sin v = t har to løsninger (i intervaller 0 til 1800), nemlig v og 180 – v. Begge vinkler kan ikke være større end 90. Den mindste vinkel ligger overfor den mindste side, så den må være mindre end 90. Vi vælger derfor at beregne vinkel C, og udregner B = 180 – (A + C).

Ifølge sinusrelationerne: a

AcC

a

A

c

C sinsin

sinsin

25,4386,5

35sin7sin CC . B = 180 – (35+43,25) = 101,750

Hvis vi i stedet havde beregnet B ud fra sinusrelationerne, så ville vi have fået vinklen 180 – 101,75 = 78,250. Tredje trekantstilfælde: Givet en vinkel, en hosliggende og en modstående side. Som det fremgår af nedenstående tegninger, har opgaven ingen, én eller to løsninger.

Trigonometri 16

Ingen løsninger a < b cos A. Netop 1 løsning. a = b cos A eller a > b. To løsninger: a < b cos A og a < b Det ses, at i eksemplet med to løsninger er B1 = 180 – B2 , som det netop vil være tilfældet, når man beregner B med sinusrelationerne. Eksempel A = 290 , a = 9 og b = 13

B beregnes ud fra sinusrelationen: a

AbB

a

A

b

B sinsin

sinsin

55,13545,44180245,4419

29sin13sin BBB

Heraf fås de to vinkler C1=180- (A+B1) = 106,550 og C2=180- (A+B2) = 15,450. c1 og c2 beregnes ud fra sinusrelationen:

A

aCc

A

a

C

c

sinsin

sinsin

79,1729sin

955,106sin195,4

29sin

945,15sin2 cogc

Fjerde Trekantstilfælde: Der er givet en side, og de to hosliggende vinkler. Opgaven har altid netop én løsning. Den sidste vinkel findes ud fra A + B + C =1800, og de to manglende sider findes da af sinusrelationerne. Eksempel A = 320, C =690 og b = 7

B = 180 – (A + C) = 790. c og a bestemmes af sinusrelationerne: C

c

B

b

A

a

sinsinsin

78,379sin

732sin

sinsin

sinsin

B

bAa

B

b

A

a

66,679sin

769sin

sinsin

sinsin

B

bCc

B

b

C

c

Femte trekantstilfælde: Givet en side, en hosliggende og en modstående vinkel. Femte trekantstilfælde reduceres til fjerde trekantstilfælde ved at beregne den anden hosliggende vinkel ud fra A + B = C = 1800.