МАТЕМАТИКА за 8. клас Издателство САНПРО, по лиценз на...
Transcript of МАТЕМАТИКА за 8. клас Издателство САНПРО, по лиценз на...
МАТЕМАТИКА за 8. клас
Издателство САНПРО, по лиценз на Pearson
ОТГОВОРИ
Раздел 1 Начален преговор
1.1 Цели изрази
1 г) 4x(2x+1); д) 3b(b-3); ж) pr(r–1); з) ax(a+x); и) 4x3(2–x)
2 а) 16; б) 6; в) 45; г) 19
4 p = 3 или p = –3; q = –6 или q = 30; r = 9
5 х = 1, у = –15; 11
1.2 Уравнения
1 x = 5
2 31
3 Джесика 80%, Милен 60%, Зак 70%
4 15 cm
8 100 kg, 50 kg, 70 kg
9 8 дни
10 3 3/5 часа
1.3 Триъгълници
1 a) ∢1 = 80°; ∢2 = 80°; г) ∢1 = 70°; ∢2 = 110°; ∢3 = 30°
2 а) 30о, 60о, 90о
б) 36о, 90о, 54о
в) 80о, 40о, 60о
3 а) 𝑥𝑥 = 180−542
= 63°
б) y = 54 + 63 = 117° или y = 180 – 63 = 117°
4 а) ∢𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 180 − 127 = 53°; ∢𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 180 − 2 . 53 = 74°;
∢𝐵𝐵𝐵𝐵𝐷𝐷 = 90 – 74 = 16
б) ∢𝐵𝐵𝐷𝐷𝐵𝐵 = 180 – 127 – 16 = 37°
1.5 Видове успоредници
1 80о 100о
2 54о, 126о
3 64о, 116о
4 65о
5 14 cm
6 10 cm
7 72 cm
8 4 cm
9 160о, 20о
10 30о, 150о
11 108 cm2
1.6 Подготовка за входно ниво
1 a) −9𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎 + 3; б) −2𝑏𝑏3; в) 9𝑎𝑎 − 18; г) 152(1 − 𝑎𝑎)
2 а) (𝑎𝑎 − 1)(2𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 + 1)
б) 2𝑎𝑎(2 − 𝑎𝑎)(2𝑎𝑎 + 𝑎𝑎2 + 4)
в) 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)(𝑎𝑎 − 𝑐𝑐)(𝑐𝑐 − 𝑏𝑏)
г) 2(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)(𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦)
д)
7 а) 4
б) 22
в) 1
г) -2
д)
8 413
9 32 год.
10 30 ученици
Раздел 2 Основни комбинаторни понятия
2.1. Умножение и събиране на възможности
1 5
2 а) 75; б) 80; в) 100
3 6
4 10
5 10
6 42
7 20
8 6
2.2 Пермутации, вариации и комбинации
1 6
2 720
3 120
4 а) 24; б) 120
5 24 . 24 = 576
6 17 100 720
7 а) 504; б) 15 120; в) 181 440
8 а) 100; б) 120
10 5 245 786
11 45
2.3 Обобщение
1 20
2 18
3 4!
4 4! 2!
5
6 32
7 63
8 288
9 336
Раздел 3 Вектори
3.1 Вектор
1 𝑂𝑂𝑂𝑂��,
𝑂𝑂𝑂𝑂��,
𝑂𝑂𝑂𝑂��,
𝑂𝑂𝑂𝑂��
2 𝑂𝑂𝑂𝑂��,
𝑂𝑂𝑂𝑂��,
𝑂𝑂𝑂𝑂��,
𝑂𝑂𝑂𝑂��,
𝑂𝑂𝑂𝑂��
3 𝑂𝑂𝑂𝑂��,
𝑂𝑂𝑂𝑂��,
𝑂𝑂𝑂𝑂��,
𝑂𝑂𝑂𝑂��,
𝑂𝑂𝑂𝑂��,
𝑂𝑂𝑂𝑂��
4
б) 𝑂𝑂𝑂𝑂��,
𝑂𝑂𝑂𝑂�� ,
𝑂𝑂𝑂𝑂�� ,
𝐸𝐸𝐸𝐸��
в) 𝐸𝐸𝑂𝑂��,
𝑂𝑂𝐸𝐸�� ,
𝑂𝑂𝑂𝑂��,
𝑂𝑂𝑂𝑂��,
𝐸𝐸𝑂𝑂��
г) 𝐸𝐸𝑂𝑂��,
𝑂𝑂𝑂𝑂��,
𝐸𝐸𝑂𝑂��
6 𝑂𝑂𝑂𝑂��,
𝑂𝑂𝑂𝑂��;
𝑂𝑂𝑂𝑂��,
𝑂𝑂𝑂𝑂��;
𝑂𝑂𝑂𝑂��,
𝑂𝑂𝑂𝑂��;
𝑂𝑂𝑂𝑂��,
𝑂𝑂𝑂𝑂��;
𝑂𝑂𝑂𝑂�� ,
𝑂𝑂𝑂𝑂��
3.2 Събиране и изваждане на вектори. Свойства
1
а) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� =
𝑎𝑎→ +
𝑏𝑏→
б) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� =
𝑎𝑎→ +
𝑏𝑏→ +
𝑐𝑐→
2
а)
б) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� =
𝑛𝑛→ +
𝑚𝑚→
𝑂𝑂𝑂𝑂��=
𝑛𝑛→ +
𝑚𝑚→ +
𝑝𝑝→
𝐸𝐸𝑂𝑂�� =
𝑚𝑚→ +
𝑛𝑛→
3 𝑂𝑂𝑂𝑂�� +
𝑂𝑂А�� =
𝑂𝑂𝑂𝑂�� =
0→
4
а) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� +
𝑂𝑂𝑂𝑂�� +
𝑂𝑂𝑂𝑂��=
0→
б) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� +(
𝑂𝑂𝑂𝑂�� −
𝑂𝑂𝑂𝑂��)=
0→
5
а) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� +
𝑂𝑂𝑂𝑂�� +
𝑂𝑂𝑂𝑂�� =
𝑂𝑂𝑂𝑂��
б) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� +
𝑂𝑂𝑂𝑂�� +
𝑂𝑂𝑂𝑂��=
𝑂𝑂𝑂𝑂��
в) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� +
𝑂𝑂𝑂𝑂�� +
𝑂𝑂𝑂𝑂��=
𝑂𝑂𝑂𝑂��.
3.3 Умножение на вектор с число. Свойства
2 а) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� =
𝑏𝑏→ −
𝑎𝑎→.
3 𝑂𝑂𝑂𝑂��= 2
𝑎𝑎→
𝑂𝑂𝑂𝑂�� = 1
2 𝑏𝑏→.
4 𝑂𝑂𝑂𝑂�� ,
𝐸𝐸𝐸𝐸�� ,
𝐺𝐺𝐺𝐺��
5
а) 𝐸𝐸𝑂𝑂��= 2
𝑎𝑎→
б) 𝑂𝑂𝐸𝐸��=
𝑏𝑏→ −
𝑎𝑎→
в) 𝑂𝑂𝑂𝑂��=
𝑎𝑎→ +
𝑐𝑐→
г) 𝑐𝑐→=
𝑎𝑎→ +
𝑏𝑏→
д) 𝐸𝐸𝑂𝑂��= 2
𝑎𝑎→ +
𝑏𝑏→
6 𝑋𝑋𝑋𝑋��=
𝑦𝑦→ −
𝑥𝑥→ XY||AB
7
а) 𝑂𝑂𝐴𝐴�� = 1
2(𝑎𝑎→ +
𝑏𝑏→)
б) 𝑂𝑂𝑂𝑂��=
𝑎𝑎→ +
𝑏𝑏→
в) 𝑄𝑄𝑂𝑂��= 1
2(𝑎𝑎→ +
𝑏𝑏→)
г) точките P и Q съвпадат
д) Пресечната точка на диагоналите на успоредника ги разполовява.
8
а) KLMN - трапец
б) 𝑛𝑛→= 2
𝑚𝑚→−
𝑘𝑘→
9
а) 𝑂𝑂𝑂𝑂��=
𝑏𝑏→ −
𝑎𝑎→ ‚
𝑂𝑂𝐸𝐸��= 1
4 𝑏𝑏→ ,
𝑂𝑂𝐸𝐸��=
𝑎𝑎→ + 1
4 𝑏𝑏→,
𝑂𝑂𝐸𝐸��= 1
4 𝑎𝑎→ +
𝑏𝑏→,
𝐸𝐸𝐸𝐸�� = 3
4(𝑏𝑏→ −
𝑎𝑎→)
б) EF||AB; Дължината на EF е ¾ от дължината на AB.
10
а) 𝑂𝑂𝐴𝐴��= 1
2(𝑚𝑚→ +
𝑛𝑛→) ,
𝑂𝑂𝑄𝑄��=3
4(𝑚𝑚→ +
𝑛𝑛→),
𝑂𝑂𝑄𝑄��=1
4(3
𝑛𝑛→ −
𝑚𝑚→)
б) 𝑂𝑂𝑀𝑀��=3
𝑛𝑛→ −
𝑚𝑚→
в) MQ||MR с обща точка M, следователно MQ и MR са части от една и съща
права 𝑂𝑂𝑀𝑀𝑂𝑂𝑄𝑄
= 4
11
а) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� = 2
𝑏𝑏→
б) 𝑂𝑂𝑂𝑂��= 2
𝑎𝑎→ +
𝑏𝑏→
в) 𝑂𝑂𝑂𝑂��= 2(2
𝑎𝑎→ +
𝑏𝑏→)
г) S е среда на OT
12
а) 𝑂𝑂𝐴𝐴�� = 2(
𝑎𝑎→ +2
𝑐𝑐→)
13
а) 𝑂𝑂𝐴𝐴�� =
𝑎𝑎→ +
𝑏𝑏→
в) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� = 2
𝑎𝑎→ −1
2 𝑏𝑏→
3.4 Обобщение
1 𝑎𝑎→ и
𝑐𝑐→;
𝑏𝑏→ и
ℎ→;
𝑑𝑑→ и
𝑔𝑔→
2
а) АВ�� =
𝑂𝑂𝑂𝑂�� =
𝐸𝐸𝑂𝑂�� =
𝐸𝐸𝑂𝑂��;
𝑂𝑂𝑂𝑂�� =
𝑂𝑂𝑂𝑂�� =
𝐸𝐸𝐸𝐸�� =
𝑂𝑂𝑂𝑂��;
𝑂𝑂𝑂𝑂�� =
𝑂𝑂𝐸𝐸�� =
𝑂𝑂𝐸𝐸�� =
𝑂𝑂𝑂𝑂��;
𝑂𝑂𝐸𝐸�� =
𝑂𝑂𝐸𝐸�� =
𝑂𝑂𝑂𝑂�� =
𝑂𝑂𝑂𝑂��;
𝐸𝐸𝐸𝐸�� =
𝑂𝑂𝑂𝑂�� =
𝑂𝑂𝑂𝑂�� =
𝑂𝑂𝑂𝑂��;
𝐸𝐸𝑂𝑂�� =
𝑂𝑂𝑂𝑂�� =
𝑂𝑂𝑂𝑂�� =
𝐸𝐸𝑂𝑂��
б) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� и
𝑂𝑂𝑂𝑂�� ;
𝑂𝑂𝑂𝑂�� и
𝑂𝑂𝐸𝐸��;
𝑂𝑂𝑂𝑂�� и
𝑂𝑂𝐸𝐸��
5
а) 𝑂𝑂𝑂𝑂��=
𝑐𝑐→ −
𝑏𝑏→
б) 𝑂𝑂𝐴𝐴�� = 1
2(𝑐𝑐→ −
𝑏𝑏→)
в) 𝑂𝑂𝐴𝐴��= 1
2(𝑐𝑐→ +
𝑏𝑏→)
6 𝑂𝑂𝑂𝑂��=
𝑏𝑏→ −
𝑎𝑎→
𝑂𝑂𝑂𝑂�� =
𝑏𝑏→ −3
𝑎𝑎→ CD||AB CD = 3AB
8
а) 𝑂𝑂𝐺𝐺�� = 1
3(𝑎𝑎→ +
𝑏𝑏→).
б) 𝑂𝑂𝐺𝐺�� = 1
3(𝑎𝑎→ +
𝑏𝑏→) Точките G и H съвпадат.
в) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� = 1
2 𝑏𝑏→
9 в) k=1/3 m=1/3 𝑂𝑂𝑋𝑋��= 4
3 𝑎𝑎→ + 1
3 𝑏𝑏→
11 PQRS е успоредник
12
а) 𝑂𝑂𝑂𝑂��=
𝑏𝑏→ −
𝑎𝑎→
б) 𝑂𝑂𝐸𝐸�� = −
𝑏𝑏→
в) 𝑂𝑂𝐸𝐸�� = −
𝑏𝑏→ −
𝑎𝑎→
г) векторите с начало т. O и край всеки от средите на страните на ABCDEF: 12
(𝑎𝑎→ +
𝑏𝑏→) 1
2(2
𝑎𝑎→ −
𝑏𝑏→) 1
2(𝑎𝑎→ − 2
𝑏𝑏→) −1
2(𝑎𝑎→ +
𝑏𝑏→) 1
2(𝑏𝑏→ − 2
𝑎𝑎→) 1
2(2
𝑏𝑏→ −
𝑎𝑎→)
15
а) 𝑂𝑂𝑂𝑂��=
𝑎𝑎→ +
𝑏𝑏→
б) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� = −
𝑏𝑏→
в) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� =
𝑎𝑎→ −
𝑏𝑏→
19
а) 𝑂𝑂𝑂𝑂��=
𝑏𝑏→ −
𝑎𝑎→
б) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� = 1
2 𝑏𝑏→:
в) 𝑂𝑂𝑂𝑂��=
𝑐𝑐→ −
𝑎𝑎→
г) 𝑂𝑂𝑂𝑂��= 1
2(𝑐𝑐→ −
𝑎𝑎→)
д) 𝑂𝑂𝑂𝑂��= 1
2(𝑎𝑎→ +
𝑐𝑐→)
е) 𝑂𝑂𝑂𝑂��= 1
2�𝑎𝑎→ +
𝑐𝑐→� − 1
2 𝑏𝑏→
Раздел 4 Триъгълник и трапец
4.1 Делене на отсечка в дадено отношение
1 a) 3/5; b) 5/12
2 12 cm, 21 cm, 27 cm
3 a) ¾; б) ½; в) 3/2; г) 2/5
4.2 Средна отсечка в триъгълник
2 RS, ST, и TR са средни отсечки на DEF.
Съгласно Теорема 2 , RS ǁ DF, ST ǁ ED, и TR ǁ FE.
3 AB ǁ EF; BC ǁ DE; CA ǁ FD; EF е ½AB; DE e ½BC; FD e ½CA
4 DC = 16; AC = 32; DF = 8.5; DE = 18
5 FH ǁ LJ; HK ǁ GL; KF ǁ JG; L J e ½FH; GL e ½HK; JG e ½KF; GJ = 7; GL = 6; LJ = 5
6 a) 25° b) 65°
7 a) 75° б) 75°в) 45°г) 60°
8 1320 m
9 a) 234 m b) 468 m
10 30 cm
11 40°
4.3 Медицентър на триъгълник
3 H
4 18
5 a) TY = 18; TW = 27;
7 а) 16; в) 32; д) 10; ж) 80;
4.4 Трапец. Равнобедрен трапец
1 ∢𝑃𝑃 = ∢𝑄𝑄 = 74°; ∢𝑆𝑆 = 106°
2 а) ∢1 = 77°; ∢2 = 103°; ∢3 = 103° ; в) ∢1 = 49°; ∢2 = 131°; ∢3 = 131°; г) x
= 12
11 а) равнобедрен трапец
4.5 Средна отсечка (основа) на трапец
1 x = 6, MN = 23
2 а) 10; в) AD = 4, EF = 9, BC = 14
4.6 Обобщение
1 а) FH ǁ EF; BC ǁ DE; CA ǁ FD; EF е 1/2AB; DE e 1/2BC
2 а) VY = 22, YX = 11
7 а) 52; в) 24;
8 б) ∢1 = 115°; ∢2 = 115°; ∢3 = 65°
Раздел 5 Квадратен корен
5.1 Ирационални числа. Квадратен корен
1 а) 𝑥𝑥 ≥ 2 ; б) 𝑥𝑥 ≤ 0; в) 𝑥𝑥 ≤ 0; г) всяко число
2 а) 11; 12; 20; 80; б) 0,5; 1,3; 0,09; 1,8; в) 23
; 56
; 74
; 165.
4 б)
5 а) 2; б) −16
; в) 2
5.2 Свойства на квадратните корени
1 а) 0,9; 0,63; 13,2; 0,6; б) 6; 10; 0,8; 4.
2 а) 1113
; б) 518
; в) 2524
; г) 145
; д) 1522
; е) 0,07; ж) 0,02; з) 0,008; и) 2; й) 4
3 а) 75; б) 3
7; в) 16
9; г) 108
11
4 а) 13; б) 2; в) 49.
5 а) 65; б) 44; в) 89; г) 66; д) 588; е) 5; ж) 14; з) 28.
6 а) 11; б) 1; в) 5; г) 8; д) 12,1; е) 8.
5.3 Действия с квадратни корени
1 а) 2; б) 3; в) 5; г)4.
2 а) 10√2; б) 4√2; в) 2√5; г) 2√7; д) 100√2; е) 5√5; ж) 150√15; з) 12549 √5; и) 3√3
8√2
3 а) √12; б) √2; в) √2; г) −√75; д) −√0,4; е) −�2
3
4 2𝑎𝑎2√5; б) 2𝑎𝑎𝑏𝑏�10𝑏𝑏; в)−2𝑎𝑎𝑏𝑏�10𝑏𝑏; д)−7𝑎𝑎2𝑏𝑏√2 ; е) 3|𝑎𝑎||𝑏𝑏|√10
5 а) √2𝑎𝑎2;б) √𝑎𝑎4𝑏𝑏; в) −√𝑎𝑎3𝑏𝑏2; г) √𝑎𝑎4𝑏𝑏2; д) �8
3𝑏𝑏3; е) √8𝑑𝑑2𝑐𝑐4
6 а) 𝑎𝑎 − 5; б) 𝑎𝑎 − 5; в) 2𝑎𝑎 − 6; г) 6 − 2𝑎𝑎; д) 𝑎𝑎 − 3; е) 2𝑎𝑎 + 10
7 а) |𝑎𝑎−𝑏𝑏|√𝑏𝑏
2; б) 5√2𝑐𝑐|𝑎𝑎+𝑏𝑏| в) |𝑎𝑎 − 2𝑏𝑏|√𝑎𝑎𝑏𝑏 г) (𝑎𝑎−𝑏𝑏)3𝑦𝑦2
5 � 𝑦𝑦10
8 в)
9 г)
5.4 Сравняване на ирационални числа, записани с квадратни корени
1 а) 𝑏𝑏 < 𝑎𝑎 < 𝑐𝑐; б) 𝑎𝑎 < 𝑐𝑐 < 𝑏𝑏; в) 𝑎𝑎 < 𝑑𝑑 < 𝑏𝑏 < 𝑐𝑐; г) 𝑏𝑏 < 𝑎𝑎 < 𝑐𝑐
3 б)
4 в)
5 в)
6 б)
7 𝑎𝑎 > 𝑐𝑐
8 а) 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏; б) 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏; в) 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏; г) 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏
10 а)
5.5 Преобразуване на изрази, съдържащи квадратни корени
1 а) −2√2; б) −2√3 ; в) 29√2 ; г) 5𝑏𝑏√𝑏𝑏 д) 31√215
; е) 11√36
; ж) −1,5√3; з) −6√3;
и) 9√3 − 35√2; й) 6𝑥𝑥3√𝑥𝑥 ; к) 2𝑎𝑎3𝑏𝑏√𝑎𝑎𝑏𝑏
2 а) 6√5 − 5; б) 2 + 2𝑥𝑥√3 ; в)𝑦𝑦√5 + 5 ; г) 6𝑥𝑥 − 13√𝑥𝑥 − 5; д)−√35 − 16;
е) 10 − 22√3; ж) 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦2; з) 3𝑥𝑥 − 4; и) 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥√3 + 3; й) 3;
к) 2𝑥𝑥 + 6 − 2√2𝑥𝑥 + 5
3 а) 8 + √10 − 4√3 ; б) 11 + √6 − 2√2; в) 49 + 8√3; г) 2
4 а) �11+3√3
2; б) 2,5; в) 50 + 8√6
5 а) 1; б) 1
6 а) -8; б) 6√3
7 а) √7 − 4; б) 7 в) 17
8 а) √3√7
; б) √52
; в) √7√5
5.6 Рационализиране на изрази, съдържащи квадратни корени
1 а)5√33
; б) 15√𝑥𝑥2𝑥𝑥
2 а) √147
; б) √62
; в) √55
; г) 3√2𝑥𝑥4𝑥𝑥
; д) 5√3𝑎𝑎9𝑎𝑎
; е) 6𝑥𝑥10
; ж) �55𝑦𝑦15
; з) √3𝑧𝑧6𝑧𝑧
; и) √2𝑥𝑥8𝑥𝑥
3 а) 5�3√5−241
; б) �√2+5��√3+√5�−2
; в) 6𝑥𝑥−3√𝑥𝑥𝑦𝑦4𝑥𝑥−𝑦𝑦
4 а) √105
5 а) −2�2 + √7�; б) √7+4−3
; в) 7�√𝑥𝑥+3�9−𝑥𝑥
; г) 8(√𝑦𝑦−4)16−𝑦𝑦
; д) 2√6 − 5 ;
е) −�√3 + √4��√2 + √3�; ж) 8�√10−1�9
; з) −3�√6+2�2
; и) 5+3√27
; й) 7+√103
6 а) 5√15
; б) 3√6
; в) −76�2+√11�
; г) 7√5−1
; д) 1√2�√5−2�
; е) 13+2√2
; ж) 57+3√6
7 а) √7 + 1; б) 3√3 − 5 ; в) 5√3 − √2 ; г) 10 − 2√3
8 а) √3√7
; б) √52
; в) √7√5
9 б) 2 + √6 + √2 ; в) √3 + √15 − 3
5.7 Обобщение
1 в)
2 г)
3 в)
4 г)
5 а)
6 б)
7 г)
8 б)
9 в)
10 б)
Раздел 6 Квадратни уравнения
6.1 Квадратно уравнение. Непълни квадратни уравнения
1 а) 𝑥𝑥1,2 = ±6 б) 𝑥𝑥1,2 = ±7 в) 𝑥𝑥1,2 = ±8 д) 𝑥𝑥1,2 = ± 53 е) 𝑥𝑥1,2 = ± 11
4
2 а) 𝑥𝑥1,2 = ±4√2 б) 𝑥𝑥1,2 = ±√7 в) 𝑥𝑥1,2 = ±√10 г) 𝑥𝑥1,2 = ±0,7 д) 𝑥𝑥1,2 = ±0,9
е) 𝑥𝑥1,2 = ±2√3
3 а) 𝑥𝑥1,2 = −3 ± 2√5 б) 𝑥𝑥1 = −8; 𝑥𝑥2 = −2
4 а) 𝑥𝑥1,2 = 0 б) 𝑥𝑥1,2 = ±6√2 в) а) 𝑥𝑥1,2 = ±3 г) 𝑥𝑥1,2 = ±�5
3
5 а) 𝑥𝑥1 = 0; 𝑥𝑥2 = −3 б) 𝑥𝑥1 = 0; 𝑥𝑥2 = 12 в) 𝑥𝑥1 = 0; 𝑥𝑥2 = −6 г) 𝑥𝑥1 = 0; 𝑥𝑥2 = 5
д) 𝑥𝑥1 = 0; 𝑥𝑥2 = −2
6 𝑥𝑥1 = 0; 𝑥𝑥2 = 12
7 𝑥𝑥 = 3 𝑚𝑚
8 ≈ 10𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐
9 ≈ 13𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐
10 ≈ 8𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐
6.2 Формула за корените на квадратното уравнение
1 а) 𝑥𝑥1 = 5; 𝑥𝑥2 = −1 б) 𝑥𝑥1 = 1; 𝑥𝑥2 = 12 в) 𝑥𝑥1 = 2
3; 𝑥𝑥2 = −1
3 а) 𝑥𝑥1 = −5; 𝑥𝑥2 = −3; 𝑦𝑦1 = −4;𝑦𝑦2 = −2; 𝑥𝑥1 = 3; 𝑥𝑥2 = −5
б) 𝑥𝑥1,2 = −3 ± √7; 𝑥𝑥1,2 = 1 ± √3; 𝑥𝑥1,2 = −1±√52
в) няма решение; няма решение; 𝑦𝑦1,2 = −3 ± √17
4 а) 𝑥𝑥1 = −7; 𝑥𝑥2 = 6 б) 𝑥𝑥1 = 4; 𝑥𝑥2 = −1 в) 𝑥𝑥1 = −9; 𝑥𝑥2 = 1 г) няма решение;
д) 𝑥𝑥1,2 = 2 ± √6
5 а) 𝑥𝑥1,2 = −√2 ± 2; б) 𝑥𝑥1 = 3; 𝑥𝑥2 = −√33
в) 𝑥𝑥1,2 = √5±1√2
г) 𝑥𝑥1 = 1; 𝑥𝑥2 = √3
6 ≈ 2,4 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐
7 а) ≈ 9 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐 б) ≈ 6,5 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐
8 а) 1 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐 б) ≈ 0,97 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐
6.3 Съкратена формула за корените на квадратното уравнение
1 а) 𝑥𝑥1 = 3; 𝑥𝑥2 = 35 б) 𝑥𝑥1 = −4; 𝑥𝑥2 = −12 в) 𝑥𝑥1 = 30; 𝑥𝑥2 = −10
г) 𝑥𝑥1 = 19; 𝑥𝑥2 = 1 д) 𝑥𝑥1 = −1; 𝑥𝑥2 = −23 е) 𝑥𝑥1 = 26; 𝑥𝑥2 = −2
2 а) 𝑥𝑥1 = 2,6; 𝑥𝑥2 = −5 б) 𝑥𝑥1 = 4; 𝑥𝑥2 = 1,6 в) 𝑥𝑥1 = 2; 𝑥𝑥2 = −10 г) 𝑥𝑥1 = 1; 𝑥𝑥2 = 57
д) 𝑥𝑥1,2 = −5 ± 2√17е) 𝑥𝑥1 = 53
; 𝑥𝑥2 = −3 ж) 𝑥𝑥1,2 = 8±5√22
3 а) 𝑘𝑘 > 18 б) 𝑘𝑘 > 25
12 в) 𝑘𝑘 > 13
8 г) няма такава стойност
4 а) 𝑘𝑘 < 2512
б) 𝑘𝑘 < 14 в) 𝑘𝑘 < 3 г) 𝑘𝑘 ≠ −1
5 а) 𝑘𝑘1,2 = ±8 б) 𝑘𝑘1 = 0; 𝑘𝑘2 = −45 в) 𝑘𝑘1 = 6; 𝑘𝑘2 = −2 г) 𝑘𝑘 = −1
6 а) 𝑥𝑥1 = 𝑘𝑘; 𝑥𝑥2 = −3𝑘𝑘
б) при к ∈ (−∞; 0)⋃�0; 14� 𝑥𝑥1,2 = −1±√1−4к
2к при 𝑘𝑘 > 1
4 няма реални корени
6.4 Разлагане на квадратния тричлен на множители
1 а) (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 − 4); (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 − 3); (𝑥𝑥 + 6)(𝑥𝑥 − 1)
б) (𝑥𝑥 − 1)(3𝑥𝑥 − 2); (𝑥𝑥 + 1)(2𝑥𝑥 − 5); (1 − 𝑥𝑥)(3𝑥𝑥 + 1)
в) �𝑥𝑥 − 5+√212
� �𝑥𝑥 − 5−√212
�; (𝑥𝑥 − 2)(2𝑥𝑥 + 1) �𝑥𝑥 − √6+√102
� �𝑥𝑥 − √6−√102
�
2 а) 2−𝑥𝑥𝑥𝑥−1
б) 𝑥𝑥−2𝑥𝑥−3
в) 2𝑥𝑥−12(𝑥𝑥+1) г) 𝑥𝑥−2
5−𝑥𝑥 д) √2𝑥𝑥+1
√2𝑥𝑥 е) 𝑥𝑥+√6
𝑥𝑥−√6
3 а) 2(𝑥𝑥 + 2)2(𝑥𝑥 − 1) б) 3𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 − 3) в) 2 (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 2)
г) −(𝑥𝑥 − 7)(𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 − 4)
6.5 Биквадратно уравнение
1 а) 𝑥𝑥1,2 = ±2; 𝑥𝑥3,4 = ±1 б) 𝑥𝑥1,2 = ±2; 𝑥𝑥3,4 = ±3 в) 𝑥𝑥1,2 = ± √32
; 𝑥𝑥3,4 = ± √22
г) 𝑥𝑥1,2 = ±3, 𝑥𝑥3,4 = ± √22
д) 𝑦𝑦1,2 = 0; 𝑥𝑥𝑦𝑦3,4 = ±0,9 е) няма реални корени;
ж) 𝑥𝑥1,2 = ±2; 𝑥𝑥3,4 = 0 з) ) 𝑥𝑥1,2 = ±√5
2 а) ±√3 б) ±√3 в) ±2 г) ±√6; ± √102
6.6 Уравнения от по-висока степен, свеждащи се до квадратни
1 а) 𝑥𝑥1 = 3; 𝑥𝑥2 = −5; 𝑥𝑥3,4 = −1 б) 𝑥𝑥1 = 32
; 𝑥𝑥2 = −13
; 𝑥𝑥3 = 1; 𝑥𝑥4 = 16
в) 𝑥𝑥1,2 = 1 ± √5; 𝑥𝑥3,4 = 1 г) 𝑥𝑥1 = 1; 𝑥𝑥2 = −12
д) 𝑥𝑥1,2 = 1±√33
; 𝑥𝑥3 = 23
; 𝑥𝑥4 = 0
е) 𝑥𝑥1,2 = 3±√132
𝑥𝑥3 = 4; 𝑥𝑥4 = −1
2 𝑥𝑥1,2 = −6 ± √5; 𝑥𝑥3,4 = −6
3 𝑥𝑥1 = 2; 𝑥𝑥2 = 0; 𝑥𝑥3,4 = 1 ± √5
4 𝑥𝑥1 = 1; 𝑥𝑥2 = −3; 𝑥𝑥3,4 = −1 ± √3
5 а) 𝑥𝑥1 = −3; 𝑥𝑥2 = 1; 𝑥𝑥3,4 = −1 б) 𝑥𝑥1 = 3; 𝑥𝑥2 = −1; 𝑥𝑥3,4 = 1
в) 𝑥𝑥1 = 3; 𝑥𝑥2 = −1; 𝑥𝑥3,4 = 1 ± √5 г) а) 𝑥𝑥1 = 7; 𝑥𝑥2 = −4; 𝑥𝑥3 = −2; 𝑥𝑥4 = 5
д) няма реални корени; е) 𝑥𝑥1 = 3; 𝑥𝑥2 = 0; 𝑥𝑥3,4 = −1
6.7 Зависимости между корените и коефициентите на квадратното уравнение.
Формули на Виет
1 б) 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = −13
, 𝑥𝑥1. 𝑥𝑥2 = −78 в) 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 11
3, 𝑥𝑥1. 𝑥𝑥2 = 2 г) 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 2
3, 𝑥𝑥1. 𝑥𝑥2 =
−13
2 г)
3 а) 𝑥𝑥2 = −12 б) 𝑥𝑥2 = −1
3 в) 𝑥𝑥2 = √2 г) 𝑥𝑥2 = √3
4 а) −23
;−53
; б) -2; в) 7; г) 25 д) 10
9 е) 3 7
9 ж) -3
5 а) 𝑥𝑥2 − 16𝑥𝑥 + 55 = 0 б) 𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥 − 24 = 0 в) 6𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 + 1 = 0
г) 𝑥𝑥2 − 1,1𝑥𝑥 + 0,28 = 0 д) 15𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 − 4 = 0 е) 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 4√5 − 8 = 0
6.8 Приложение на формулите на Виет
1 а) -4 и -1; б) 7 и 2; в) 4 и -2; г) 13 и 1
4; д) −1
5 и −1
4; е) 5 и -2; ж) 1
3 и −1
5; з) -4 и 3.
2 б) 𝑘𝑘 = 14, 𝑥𝑥2 = −72 в) 𝑘𝑘 = 10
7, 𝑥𝑥2 = 7
5
3 𝑘𝑘1 = 2,𝑘𝑘2 =12
4 а) с различни знаци; б) положителни; в) отрицателни; г) положителни; д) с
различни знаци; е) отрицателни.
5 а) 𝑘𝑘 ≥ 4; б) 𝑘𝑘 < 2 в) 𝑘𝑘 > 4
6 а) 𝑦𝑦2 − 8𝑦𝑦 − 20 = 0 б) 6𝑦𝑦2 + 65𝑦𝑦 + 169 = 0 в) 3𝑦𝑦2 − 7𝑦𝑦 + 2 = 0
г) 275𝑦𝑦2 + 40𝑦𝑦 − 3 = 0
6.9 Моделиране с квадратни уравнения
1 4 или -6
2 12 или -4
3 Баща 48 год., син – 12 г.
4 8 m
5 4 и 5 или -5 и -4
6 10 сm
7 32 m или 28 m
8 ≈ 3,9сm
9 ≈ 21 m
10 ≈ 23 m
6.10 Обобщение
1 б)
2 в)
3 в)
4 а)
5 б)
6 а)
7 б)
8 а)
9 а)
10 ±√10
11 1±√52
12 √5; 3
13 11
Раздел 7 Окръжност
7.1 Окръжност. Взаимни положения на точка и окръжност
1 ∢𝐵𝐵 = 30° и ∢𝐵𝐵 = 60°
2 ∢𝐵𝐵 = 120° и ∢𝐵𝐵 = 60°
3 ∢𝐵𝐵 = 60° , ∢𝐵𝐵 = 30° и ∢𝐷𝐷 = 90°.
4 ∢𝐵𝐵𝑂𝑂𝐵𝐵 = 120°
5 ∢𝐵𝐵 = 30°, ∢𝐵𝐵 = 15° и ∢𝐷𝐷 = 135°.
6 Б
7 а) не; б) не; в )да
8 А
9 А
10 а) принадлежи на окръжността; б) вътрешна за окръжността; в)външна за
окръжността.
11 Точките 𝐵𝐵,𝐷𝐷,𝐵𝐵 са външни, а точка 𝑂𝑂 е вътрешна.
12 Точките 𝐵𝐵 и 𝐵𝐵 са външни, а точка 𝑂𝑂 и 𝐵𝐵 принадлежи на оръжността.
7.2 Взаимни положения на права и окръжност
1 външна
2 две общи точки
4 а) една обща точка - допирателна; б) две общи точки - секуща; в) няма
общи точки - външна
5 𝐵𝐵𝐷𝐷 е секуща за окръжността.
6 𝐵𝐵𝐵𝐵 е допирателна за окръжността.
7 𝐷𝐷𝐵𝐵 е външна за окръжността.
7.3 Допирателни към окръжност
1 ∢𝐵𝐵 = 75°, ∢𝐵𝐵 = 15° и ∢𝐷𝐷 = 90°
2 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 10 cm
3 1,5 cm
4 𝑟𝑟 = 2 cm
5 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 4 cm
6 3 см
7 а) ∢𝐵𝐵𝑃𝑃𝐵𝐵 = 60°; б) 𝑂𝑂𝑃𝑃 = 2𝑟𝑟
8 а) ∢𝑂𝑂𝐵𝐵𝐵𝐵 = ∢𝑂𝑂𝐵𝐵𝐵𝐵 = 60°; б) ∢𝑂𝑂𝐵𝐵𝐵𝐵 = ∢𝑂𝑂𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝛼𝛼2.
9 в) равностранен
11 квадрат
7.4 Централни ъгли, дъги и хорди
1 𝐸𝐸𝐸𝐸� = 65°;𝐵𝐵𝐵𝐵� = 120°; 𝐵𝐵𝐸𝐸𝐵𝐵� = 180°; 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵� = 180°; 𝐵𝐵𝐸𝐸� = 48°; 𝐵𝐵𝐸𝐸� = 82°;
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐷𝐷� = 270°;𝐵𝐵𝐵𝐵𝐸𝐸� = 307°; 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐸𝐸� = 233°; 𝐸𝐸𝐵𝐵𝐵𝐵� = 307°.
2 ∢𝐵𝐵𝑂𝑂𝐷𝐷 = 60° и ∢𝐵𝐵𝑂𝑂𝐷𝐷 = 120°
3 а) 36°; б) 𝐵𝐵1𝐵𝐵2𝐵𝐵3 = 72°� , 𝐵𝐵1𝐵𝐵10𝐵𝐵8� = 108° и 𝐵𝐵1𝐵𝐵4𝐵𝐵6� = 180°
4 ∢𝐵𝐵𝑂𝑂𝐴𝐴 = 60° и ∢𝐵𝐵𝑂𝑂𝐴𝐴 = 90°
5 а)∢𝐵𝐵𝑂𝑂𝐵𝐵 = 90°, ∢𝐵𝐵𝑂𝑂𝐷𝐷 = 120°, ∢𝐷𝐷𝑂𝑂𝐵𝐵 = 150°
б) 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐷𝐷� = 210° и 𝐷𝐷𝐵𝐵𝐵𝐵� = 240°
6 а) 60°; б) 120°; в) 270°
7.5 Диаметър, перпендикулярен на хорда
1 𝐴𝐴𝑂𝑂 = 10 cm, 𝑂𝑂𝑃𝑃 = 5 cm
2 8 cm
3 а) 2,5 cm, 3 cm; б) 8 cm, 6 cm
4 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 3 cm, 𝐵𝐵𝐷𝐷 = 4 cm
5 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 20 cm, 𝐵𝐵𝐷𝐷 = 26 cm
6 1 cm
7 3 cm, 0 cm
7.6 Вписан ъгъл
1 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 = 90° и 𝑧𝑧 = 54°
2 𝑎𝑎 = 101°, 𝑏𝑏 = 67°, 𝑐𝑐 = 84° и 𝑑𝑑 = 80°
3 ∢𝐵𝐵 = ∢𝐷𝐷 = ∢𝐵𝐵 = 40°,𝐷𝐷𝐸𝐸� = 50°,
∢𝐵𝐵𝐵𝐵𝐸𝐸 = 65° и 𝐵𝐵𝐷𝐷𝐸𝐸� = 130°
4 ∢𝐵𝐵 = 75°,∢𝐵𝐵 = 55°,∢𝐷𝐷 = 50°
5 ∢𝐵𝐵 = 70°,∢𝐵𝐵 = 60°,∢𝐷𝐷 = 50°
6 ∢𝐵𝐵𝑂𝑂𝐷𝐷 = 60°
9 1 cm
7.7 Периферен ъгъл
1 а) ∢1 = 65°, 𝐵𝐵𝐵𝐵� = 130° ; б) ∢3 = 116°,∢4 = 64°,𝑇𝑇𝑇𝑇𝑆𝑆� = 232°
2 50° или 130°
3 𝑥𝑥 = 35°; 𝑦𝑦 = 55°
4 а) 𝑎𝑎° = 22°, 𝑏𝑏° = 78°, 𝑐𝑐° = 156°; б) 𝑎𝑎° = 26°, 𝑏𝑏° = 64°, 𝑐𝑐° = 42°;
5 а) 80°, 60°, 40°
6 а) 40°, 40°, 100°
7.8 Ъгъл, чийто връх е вътрешна точка за окръжност
1 а) 𝑥𝑥 = 40° ; б) 𝑥𝑥 = 22°,𝑦𝑦 = 108°, 𝑤𝑤 = 104°
2 54°
3 ∢𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵 = 75°
4 70° или 140°
5 72° или 108°
6 75° или 105°
7 а) 54° или 126°; б) 30° или 150°
8 ∢𝐵𝐵𝐴𝐴𝐷𝐷 = 69°
7.9 Ъгъл, чийто връх е външна точка за окръжност
1 а) 𝑤𝑤 = 250°;
б) 𝑦𝑦 = 40°,
в) 𝑥𝑥 = 60°,𝑦𝑦 = 70°;
2 а) 160° ; б) Сондата е по-близо; когато наблюдател се отдалечава от Земята, то
ъгълът на наблюдение намалява и мярката на дъгата на Земята, която може да
се разглежда, става все по-голяма и доближава 180 °.
3 ∢𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 60°,∢𝐵𝐵𝐵𝐵𝐷𝐷 = 10°;
4 ∢𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵 = 30°, ∢𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 60°,
∢𝐵𝐵𝐵𝐵𝐷𝐷 = 30°;
5 ∢𝐵𝐵𝐴𝐴𝐷𝐷 = 75°
7.10 Взаимно положение на две окръжности
1 а)вътрешно допирателни; б) 𝑘𝑘2 е вътрешна за 𝑘𝑘1; в) външни
г) пресекателни; д)външно допирателни.
2 а)𝑟𝑟 ∈ (0; 5); б)𝑟𝑟 ∈ (5; 19) ; в) 𝑟𝑟 = 19 cm; г) 𝑟𝑟 = 5 cm; д) 𝑟𝑟 ∈ (19; +∞).
3 30𝜋𝜋 и 12𝜋𝜋
4 10 cm.
5 18 cm
6 15 cm и 10 cm
7 12 cm и 9 cm
7.11 Общи допирателни на две окръжности
1 60° или 120°
2 𝑅𝑅 = 6 cm
7 а) 30°; б) 30°
7.12 Обобщение
1 а) принадлежи на окръжността; б) външна за окръжността;
в) външна за окръжността; г) вътрешна за окръжността;
д) принадлежи на окръжността; е) вътрешна за окръжността;
2 а) пресекателна; б) външна; в) допирателна;
3 а) две; б) една; в) нямат общи точки;
4 36°, 144°, 72°, 108°
5 а) ∢1 = 75°, ∢2 = 105° 𝑄𝑄𝑅𝑅𝑃𝑃� = 130° ; б) ∢2 = 65° 𝐾𝐾𝐾𝐾� = 140°
в) 𝑎𝑎° = 30°, 𝑏𝑏° = 60°, 𝑐𝑐° = 62°,𝑑𝑑° = 124°, 𝑠𝑠° = 60°;
г) 𝑎𝑎° = 140°, 𝑏𝑏° = 70°, 𝑐𝑐° = 47,5° д) 𝑥𝑥° = 115°,𝑦𝑦° = 74°;
е) 𝑥𝑥° = 135°, 𝑦𝑦° = 80°; ж) 𝑥𝑥° = 71°,𝑦𝑦° = 65°
6 5 cm
7 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 11 𝑐𝑐𝑚𝑚,𝐷𝐷𝐵𝐵 = 11 𝑐𝑐𝑚𝑚;
8 ∢𝐵𝐵1 = 55°,∢𝐵𝐵1 = 65°,∢𝐷𝐷1 = 60°
9 25 cm
11 ∢𝐵𝐵𝑃𝑃𝐵𝐵 = 40° , 𝐵𝐵𝐵𝐵� = 60°, 𝐵𝐵𝐷𝐷� = 140°
12 ∢𝐵𝐵 = 30°, ∢𝐵𝐵 = 78°, ∢𝑇𝑇 = 72° или
∢𝐵𝐵 = 30°, ∢𝐵𝐵 = 42°, ∢𝑇𝑇 = 108°
Раздел 8 Рационални изрази
8.1 Рационални дроби. Дефиниционно множество
1 а) цял; б) дробен; в) цял; г) дробен; д)дробен;
2 а) 8 45; б) 1; в) не е определен за 𝑥𝑥 = −3;
г) не е определен за 𝑥𝑥 = −3
3 а) ∀ 𝑥𝑥 ∈ ℝ; б) ∀ 𝑥𝑥 ∈ ℝ; в) ∀ 𝑥𝑥 ∈ ℝ ; г) ∀ 𝑥𝑥 ≠ 0; д) ∀ 𝑥𝑥 ≠ − 12; е) ∀ 𝑥𝑥 ≠ 2
5;
ж) ∀ 𝑥𝑥 ≠ 0; 𝑥𝑥 ≠ 2; з) ∀𝑥𝑥 ≠ −2; 𝑥𝑥 ≠ 13; и) ∀ 𝑥𝑥 ≠ 0; 𝑥𝑥 ≠ −5
4; й) ∀ 𝑥𝑥 ≠ 3±√17
2;
к) ∀ 𝑥𝑥 ≠ 2; 𝑥𝑥 ≠ 3; л) ∀ 𝑥𝑥 ∈ ℝ ;
м) ∀ 𝑥𝑥 ≠ −𝑎𝑎 при 𝑎𝑎 ≠ 0;
н) ∀ 𝑥𝑥 ≠ 𝑎𝑎3
при 𝑎𝑎 ≠ −2;
о) ∀ 𝑥𝑥 ≠ −1; п) ∀ 𝑥𝑥 ≠ 1 при 𝑎𝑎 ≠ 0.
4 а) 𝑥𝑥 = −2; б) 𝑥𝑥 = 5; в) 𝑥𝑥 = −2;𝑦𝑦 = ± 13 ;
г) 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦4
; 𝑥𝑥 = ±3𝑦𝑦; д) 𝑥𝑥 = −1;𝑦𝑦 = −1;
е) 𝑥𝑥 = − 1𝑎𝑎
при 𝑎𝑎 ≠ 0 и при 𝑎𝑎 ≠ 12; ж) 𝑥𝑥 = −𝑎𝑎;𝑦𝑦 = 3𝑎𝑎; з) 𝑥𝑥 = −𝑎𝑎;
5 а) допустими стойности за 𝑥𝑥 са: −2; −1; 1; 1,5; 52; недопутими стойности за
𝑥𝑥 са: 0 и 2;
б) допустими стойности за 𝑥𝑥 и 𝑦𝑦 са: −2; −1; 1; 1,5; 2; 52; недопутими
стойности за 𝑥𝑥 и 𝑦𝑦 са: 0 ;
в) допустими стойности за 𝑥𝑥 са: −1; 1; 1,5; 2; 52; недопутими стойности за 𝑥𝑥
са: 0 и − 2; допустими стойности за 𝑧𝑧 са: −2; 0; 1,5; 2; 52; недопутими
стойности за 𝑧𝑧 са: −1 и 1;
г) ако 𝑥𝑥 ≠ 𝑦𝑦 допустими стойности са −2; −1; 0; 1; 1,5; 2; 52; ако 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦
недопустими стойности са −2; −1; 0; 1; 1,5; 2; 52; допустими стойности за 𝑎𝑎
са: −2; −1; 1,5; 2; 52 ; недопустими стойности за 𝑎𝑎 са: 0 и 1.
8.2 Основно свойство на рационалните дроби. Съкращаване и разширяване на
рационални дроби
1 а) 1𝑥𝑥2
; б)5𝑥𝑥2; в) 5𝑥𝑥2; г) 1𝑦𝑦; д) 𝑦𝑦
4𝑥𝑥; е)−𝑥𝑥2𝑦𝑦3
6; ж) 1
3; з) 1
𝑥𝑥−7; и) 𝑥𝑥+2
𝑥𝑥−5; к) 𝑥𝑥−3
𝑥𝑥; л) 𝑥𝑥
𝑥𝑥−1
2 а) 19; б) 𝑥𝑥 + 8; в) 3𝑥𝑥; г) 5
2𝑥𝑥; д) 3
4.
3 а) 𝑥𝑥−5𝑥𝑥+5
; б) 2 𝑥𝑥+5
; в) 𝑥𝑥−35
; г)−𝑥𝑥+4𝑥𝑥
; д) 𝑥𝑥+7𝑥𝑥−7
; е) 𝑥𝑥−62(𝑥𝑥+6); ж) 5𝑥𝑥−1
5𝑥𝑥+1
з) 𝑥𝑥+3𝑥𝑥−3
; и)𝑥𝑥−5𝑥𝑥+7
; к) 𝑥𝑥+42𝑥𝑥−3
л) 2𝑥𝑥2𝑥𝑥−3
; м) 2𝑥𝑥−33𝑥𝑥−2
; н) 5𝑥𝑥−16𝑥𝑥+5
; о)− 𝑥𝑥+3(𝑥𝑥−3)2; п) 𝑥𝑥+3
𝑥𝑥2−3𝑥𝑥+9.
4 а) 𝑥𝑥𝑦𝑦; б) 𝑥𝑥+2
𝑥𝑥; в) −1
𝑎𝑎+1; г) 𝑎𝑎+𝑏𝑏
𝑎𝑎−𝑏𝑏; д) 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑦𝑦2; е) 1
𝑥𝑥−𝑦𝑦.
5 а) 6𝑥𝑥2 𝑦𝑦3𝑧𝑧
24𝑥𝑥5𝑦𝑦𝑧𝑧; б) 4𝑥𝑥(𝑥𝑥−2)(𝑥𝑥+1)
8𝑥𝑥2(𝑥𝑥−2) ; в) 𝑦𝑦(5𝑥𝑥+1)(𝑦𝑦−1)𝑦𝑦(25𝑥𝑥2−1) ; г) 𝑥𝑥2−4
𝑥𝑥2−5𝑥𝑥+6; д)�𝑎𝑎
2−𝑏𝑏2��𝑎𝑎2−1�𝑎𝑎4−1
;
е)5𝑥𝑥2𝑦𝑦2(𝑥𝑥+𝑦𝑦)�𝑥𝑥2+𝑦𝑦2�
𝑥𝑥4−𝑦𝑦4
8.3 Привеждане на рационални дроби към общ знаменател
1 а) 5𝑥𝑥2
12𝑥𝑥 и 22
12𝑥𝑥; б) 38𝑥𝑥
2
4𝑥𝑥3 и 5
4𝑥𝑥3; в) 34𝑥𝑥
8𝑦𝑦2 и 2𝑦𝑦
8𝑦𝑦2;
г) 35𝑦𝑦2−5𝑥𝑥𝑦𝑦2
10𝑥𝑥2𝑦𝑦3 и 4𝑥𝑥
10𝑥𝑥2𝑦𝑦3; д) 14−4𝑥𝑥
18𝑥𝑥2𝑦𝑦3 и 6𝑥𝑥
18𝑥𝑥2𝑦𝑦3;
2 а) 𝑥𝑥 𝑥𝑥−2
и − 1 𝑥𝑥−2
; б) 𝑥𝑥−3 𝑥𝑥2−4𝑥𝑥
и 𝑥𝑥2
𝑥𝑥2−4𝑥𝑥; в) 3𝑥𝑥2+9𝑥𝑥
(𝑥𝑥+1)(𝑥𝑥+3) и 𝑥𝑥+1(𝑥𝑥+1)(𝑥𝑥+3); г) 1
𝑥𝑥(𝑥𝑥−1) и 𝑥𝑥2
𝑥𝑥(𝑥𝑥−1) ;
д) 9𝑥𝑥3−18𝑥𝑥
7(𝑥𝑥−2)2 и 42𝑥𝑥
7(𝑥𝑥−2)2;
е) 2𝑦𝑦+6 12𝑦𝑦2+36𝑦𝑦
и 9𝑥𝑥𝑦𝑦12𝑦𝑦2+36𝑦𝑦
; ж) 2𝑥𝑥−4(𝑥𝑥+3)(𝑥𝑥−2)
и 5𝑥𝑥+15(𝑥𝑥+3)(𝑥𝑥−2); з) −6𝑥𝑥−30
(𝑥𝑥−1)(𝑥𝑥+5) и 4𝑥𝑥−4
(𝑥𝑥−1)(𝑥𝑥+5);
и) 3𝑥𝑥 3𝑥𝑥+18
и 103𝑥𝑥+18
; й) 48 4𝑥𝑥+20
и 𝑥𝑥4𝑥𝑥+20
.
3 а) 2𝑥𝑥2+𝑥𝑥5(2𝑥𝑥−1)3(2𝑥𝑥+1)
и 5(2𝑥𝑥−1)2
5(2𝑥𝑥−1)3(2𝑥𝑥+1); б) −𝑥𝑥2+7𝑥𝑥−12
2𝑥𝑥(𝑥𝑥−4)2 и 4𝑥𝑥
2𝑥𝑥(𝑥𝑥−4)2; в) 𝑥𝑥2(𝑥𝑥+3)(3−𝑥𝑥)(𝑥𝑥+3)2
и
𝑥𝑥2(3−𝑥𝑥)(3−𝑥𝑥)(𝑥𝑥+3)2
; г) 40𝑥𝑥2(𝑥𝑥−6)5𝑥𝑥(1−6𝑥𝑥)(𝑥𝑥−6)
и 13𝑥𝑥2(1−6𝑥𝑥)5𝑥𝑥(1−6𝑥𝑥)(𝑥𝑥−6); д) 9𝑥𝑥2(𝑥𝑥−4)
7(𝑥𝑥−2)(𝑥𝑥−4) и 42𝑥𝑥(𝑥𝑥−2)
7(𝑥𝑥−2)(𝑥𝑥−4) ; е) 2𝑥𝑥+26(𝑥𝑥+1)2
и
246(𝑥𝑥+1)2; ж) (19𝑥𝑥+5)(𝑥𝑥−3)
4(𝑥𝑥−3)2 и 6
4(𝑥𝑥−3)2.
4 а) 𝑥𝑥2−1(3𝑥𝑥+1)2(𝑥𝑥−1)
и −3𝑥𝑥2+2𝑥𝑥+1(3𝑥𝑥+1)2(𝑥𝑥−1)
; б) 𝑥𝑥3+𝑥𝑥2−14𝑥𝑥−24
2𝑥𝑥(𝑥𝑥2−16)(𝑥𝑥+3) и 2𝑥𝑥3+8𝑥𝑥2
2𝑥𝑥(𝑥𝑥2−16)(𝑥𝑥+3);
в) 𝑥𝑥−4 (𝑥𝑥2−4)(𝑥𝑥−4) и 4𝑥𝑥+8
(𝑥𝑥2−4)(𝑥𝑥−4); г) 5𝑥𝑥2+16𝑥𝑥+3(𝑥𝑥−1)(𝑥𝑥+4)(𝑥𝑥+3)
и 3𝑥𝑥2+12𝑥𝑥(𝑥𝑥−1)(𝑥𝑥+4)(𝑥𝑥+3);
д) 4𝑥𝑥+28(𝑥𝑥+1)(𝑥𝑥+7)(𝑥𝑥+3)
и 4𝑥𝑥2+2𝑥𝑥−2(𝑥𝑥+1)(𝑥𝑥+7)(𝑥𝑥+3) ; е) 4𝑥𝑥3−2𝑥𝑥2−2𝑥𝑥
(𝑥𝑥2−1)(6𝑥𝑥2+5𝑥𝑥+1) и 21𝑥𝑥2+28𝑥𝑥+7
(𝑥𝑥2−1)(6𝑥𝑥2+5𝑥𝑥+1);
ж) 9𝑥𝑥3−6𝑥𝑥2−3𝑥𝑥(𝑥𝑥2−1)(12𝑥𝑥2+7𝑥𝑥+1)
и 20𝑥𝑥2+25𝑥𝑥+5(𝑥𝑥2−1)(12𝑥𝑥2+7𝑥𝑥+1).
5 а) 2𝑥𝑥2+4𝑥𝑥
2𝑥𝑥3+16 ; 3𝑥𝑥
2−6𝑥𝑥+122𝑥𝑥3+16
и 22𝑥𝑥3+16
; б) −5𝑥𝑥2−15𝑥𝑥−4527𝑥𝑥−𝑥𝑥4
; 3𝑥𝑥2−𝑥𝑥3
27𝑥𝑥−𝑥𝑥4 и 𝑥𝑥
27𝑥𝑥−𝑥𝑥4 ;
в) 𝑥𝑥4−5𝑥𝑥3+25𝑥𝑥2
(𝑥𝑥+5)(𝑥𝑥3+125) ; 𝑥𝑥
3+10𝑥𝑥2+25𝑥𝑥(𝑥𝑥+5)(𝑥𝑥3+125)
и 𝑥𝑥+5(𝑥𝑥+5)(𝑥𝑥3+125)
.
6 в
7 г
8 б
8.4 Събиране и изваждане на рационални дроби
1 а)𝑥𝑥; б) 2𝑥𝑥 ; в) 710𝑥𝑥
, 𝑥𝑥 ≠ 0; г) 4𝑥𝑥9
; д) 𝑥𝑥5; е) 4
3𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ≠ 0
2 а) 4,𝑚𝑚 ≠ −6 ; б) 8, 𝑦𝑦 ≠ −2; в) 5𝑥𝑥 + 3, 𝑥𝑥 ≠ 1; г) 4𝑎𝑎+5
, 𝑎𝑎 ≠ −5,𝑎𝑎 ≠ 3;
д) 3𝑦𝑦+5
,𝑦𝑦 ≠ −5,𝑦𝑦 ≠ 2; е) 1𝑥𝑥−1
, 𝑥𝑥 ≠ −6, 𝑥𝑥 ≠ 1;
3 а) 12+𝑥𝑥2
4𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ≠ 0; б) 𝑥𝑥
3; в) 3𝑥𝑥
8; г) 5𝑥𝑥
6; д) 5
6𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ≠ 0; е) 1
4𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ≠ 0 ; ж) 5𝑥𝑥+2
6; з) 9𝑥𝑥−7
20;
и) 𝑥𝑥9; й) 2𝑥𝑥+5
(𝑥𝑥+3)(𝑥𝑥+2) , 𝑥𝑥 ≠ −3, 𝑥𝑥 ≠ −2 ; к) 𝑥𝑥−2(𝑥𝑥+1)(𝑥𝑥+2) , 𝑥𝑥 ≠ −1, 𝑥𝑥 ≠ −2 ;
л) 4(2𝑥𝑥+3)(2𝑥𝑥−1) , 𝑥𝑥 ≠ −3
2, 𝑥𝑥 ≠ 1
2
4 а) 23(𝑥𝑥+1) , 𝑥𝑥 ≠ −1; б) 𝑥𝑥
(𝑥𝑥+1)(𝑥𝑥+2) , 𝑥𝑥 ≠ −1, 𝑥𝑥 ≠ −2;
в) 3𝑥𝑥+5𝑥𝑥2−4
, 𝑥𝑥 ≠ ±2; г) 1𝑥𝑥−1
, 𝑥𝑥 ≠ 12
, 𝑥𝑥 ≠ 1;
д) 𝑥𝑥−12(𝑥𝑥+1)(𝑥𝑥+3) , 𝑥𝑥 ≠ −1, 𝑥𝑥 ≠ −3; е) 2𝑥𝑥
2+7𝑥𝑥+48𝑥𝑥(𝑥𝑥+1) , 𝑥𝑥 ≠ −1, 𝑥𝑥 ≠ 0; ж) 3𝑥𝑥
9−𝑥𝑥2, 𝑥𝑥 ≠ ±3;
з) 3𝑥𝑥+20(𝑥𝑥+4)(𝑥𝑥+5)(𝑥𝑥+6) , 𝑥𝑥 ≠ −4, 𝑥𝑥 ≠ −5, 𝑥𝑥 ≠ −6;
и) 2𝑥𝑥2−2𝑥𝑥−46(𝑥𝑥+1)(𝑥𝑥−5)(𝑥𝑥−6) , 𝑥𝑥 ≠ −1, 𝑥𝑥 ≠ 5, 𝑥𝑥 ≠ 6;
й) 14−𝑥𝑥2
, 𝑥𝑥 ≠ ±2, 𝑥𝑥 ≠ −10; к) 𝑛𝑛+44𝑛𝑛(𝑛𝑛−2)(𝑛𝑛−1) ,𝑛𝑛 ≠ 0,𝑛𝑛 ≠ 2,𝑛𝑛 ≠ 1;
л) 7𝑦𝑦+1510𝑦𝑦(𝑦𝑦−3)(𝑦𝑦−2) ,𝑦𝑦 ≠ 0,𝑦𝑦 ≠ 3,𝑦𝑦 ≠ 2.
5 𝐵𝐵 = 4
8.5 Умножение, деление и степенуване на рационални дроби
1 а) 12𝑎𝑎5𝑏𝑏2
, 𝑏𝑏 ≠ 0; б)−2𝑞𝑞3
, 𝑞𝑞 ≠ 0, 𝑝𝑝 ≠ 0; в) 214𝑦𝑦
, 𝑥𝑥 ≠ 0,𝑦𝑦 ≠ 0;
г) 12𝑥𝑥
, 𝑥𝑥 ≠ 0,𝑦𝑦 ≠ 0 ; д) 𝑥𝑥4, 𝑥𝑥 ≠ 0; е)14
, 𝑥𝑥 ≠ 0 ; ж) 𝑏𝑏2
6, 𝑎𝑎 ≠ 0, 𝑏𝑏 ≠ 0 ;
з)− 𝑥𝑥2
2𝑦𝑦6, 𝑥𝑥 ≠ 0,𝑦𝑦 ≠ 0.
2 а) 3𝑥𝑥+1
, 𝑥𝑥 ≠ ±1, 𝑥𝑥 ≠ 0; б) 𝑥𝑥2
10, 𝑥𝑥 ≠ 7; в) 1
𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ≠ 6, 𝑥𝑥 ≠ 0;
г) 13
, 𝑥𝑥 ≠ −1; д) 2𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ≠ −1; е) 𝑚𝑚+𝑛𝑛𝑚𝑚−𝑛𝑛
,𝑚𝑚 ≠ ±𝑛𝑛,𝑚𝑚 ≠ 0; ж) 𝑚𝑚−𝑛𝑛𝑚𝑚+𝑛𝑛
,𝑚𝑚 ≠ ±𝑛𝑛,𝑚𝑚 ≠ 0.
3 а) 5−3𝑥𝑥2𝑥𝑥(𝑥𝑥+2) , 𝑥𝑥 ≠ ±2, 𝑥𝑥 ≠ −1, 𝑥𝑥 ≠ 0; б) 𝑥𝑥+5
𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ −2, 𝑥𝑥 ≠ 5; в) 𝑎𝑎+3
𝑎𝑎+2,𝑎𝑎 ≠ ±2;
г) 𝑥𝑥2−𝑥𝑥−6𝑥𝑥2−16
, 𝑥𝑥 ≠ ±4, 𝑥𝑥 ≠ −5; д) 𝑥𝑥2−3𝑥𝑥−28
𝑥𝑥2−4𝑥𝑥−77, 𝑥𝑥 ≠ 11, 𝑥𝑥 ≠ −7, 𝑥𝑥 ≠ −5, 𝑥𝑥 ≠ 4.
4 а) 𝑏𝑏2
8𝑎𝑎2,𝑎𝑎 ≠ 0; б) 2𝑥𝑥
4
3, 𝑥𝑥 ≠ 0; в) 9𝑦𝑦
2,𝑦𝑦 ≠ 0; г) 12
𝑦𝑦6, 𝑥𝑥 ≠ 0,𝑦𝑦 ≠ 0; д) 14
9𝑏𝑏2,𝑎𝑎 ≠ 0, 𝑏𝑏 ≠ 0.
5 а) 3𝑥𝑥−154
, 𝑥𝑥 ≠ 5; б) 𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ −6; в) 𝑥𝑥 + 3, 𝑥𝑥 ≠ −3;
г) 3𝑥𝑥3(𝑥𝑥−1) , 𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ ±1; д)− 𝑥𝑥
3
𝑎𝑎+𝑏𝑏, 𝑎𝑎 ≠ ±𝑏𝑏, 𝑥𝑥 ≠ 0;
е) 𝑚𝑚2 − 𝑛𝑛2,𝑚𝑚 ≠ ±𝑛𝑛,𝑚𝑚 ≠ 0; ж) 𝑚𝑚−𝑛𝑛𝑚𝑚+𝑛𝑛
,𝑚𝑚 ≠ ±𝑛𝑛,𝑚𝑚 ≠ 0.
6 а)1, 𝑥𝑥 ≠ 4, 𝑥𝑥 ≠ −13; б)𝑥𝑥+2
3−𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ≠ 2, 𝑥𝑥 ≠ 3, 𝑥𝑥 ≠ 7; в)− 𝑥𝑥+4
𝑥𝑥+6, 𝑥𝑥 ≠ 2, 𝑥𝑥 ≠ 3, 𝑥𝑥 ≠ −6;
г) 𝑥𝑥+2𝑥𝑥−3
, 𝑥𝑥 ≠ 1, 𝑥𝑥 ≠ 3, 𝑥𝑥 ≠ −5; д) 120𝑥𝑥+100
, 𝑥𝑥 ≠ −1, 𝑥𝑥 ≠ −32
, 𝑥𝑥 ≠ −5.
7 а) 𝑥𝑥2
, 𝑥𝑥2 ≠ 𝑦𝑦2, 𝑥𝑥 ≠ 0; б) (3−𝑥𝑥)(𝑥𝑥+1)(2𝑥𝑥+3)2 , 𝑥𝑥 ≠ ±1, 𝑥𝑥 ≠ −3, 𝑥𝑥 ≠ − 3
2;
в) 5𝑎𝑎(2𝑎𝑎+𝑏𝑏)(3𝑎𝑎−2𝑏𝑏)𝑏𝑏2(𝑎𝑎+2𝑏𝑏)(𝑎𝑎−𝑏𝑏) ,𝑎𝑎 ≠ ±2𝑏𝑏,𝑎𝑎 ≠ 𝑏𝑏, 𝑏𝑏 ≠ 0; г) 𝑥𝑥
2𝑦𝑦2−𝑥𝑥𝑦𝑦12
, 𝑥𝑥 ≠ 𝑦𝑦.
8 а) 49𝑢𝑢2
25𝑣𝑣2𝑡𝑡2, 𝑣𝑣 ≠ 0, 𝑡𝑡 ≠ 0; б) 2
𝑥𝑥+1, 𝑥𝑥 ≠ ±1;
в) 9𝑥𝑥2(𝑥𝑥+3)3(𝑥𝑥−3)
𝑧𝑧, 𝑥𝑥 ≠ 3, 𝑧𝑧 ≠ 0; г) (𝑧𝑧+2)4
𝑧𝑧6(2−𝑧𝑧)2 , 𝑧𝑧 ≠ 2, 𝑧𝑧 ≠ 0.
8.6 Преобразуване на рационални изрази
1 а) 92𝑥𝑥−3
, 𝑥𝑥 ≠ ± 32 ; б) 1
𝑥𝑥−𝑦𝑦, 𝑥𝑥 ≠ ±𝑦𝑦 ; в) 2𝑎𝑎
𝑏𝑏+3, 𝑏𝑏 ≠ ±3,𝑎𝑎 ≠ −2, 𝑎𝑎 ≠ 0;
г) 22−𝑥𝑥
, 𝑥𝑥 ≠ 2, 𝑥𝑥 ≠ ±5 ; д) 23𝑥𝑥−5
, 𝑥𝑥 ≠ ± 53
, 𝑥𝑥 ≠ −2, 𝑥𝑥 ≠ −1;
е) 𝑥𝑥+2𝑦𝑦𝑥𝑥−2𝑦𝑦
,𝑦𝑦 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ ±2𝑦𝑦; ж) 2𝑥𝑥3𝑥𝑥−12
, 𝑥𝑥 ≠ 4, 𝑥𝑥 ≠ ±2;
з) 𝑏𝑏−𝑎𝑎𝑎𝑎
,𝑎𝑎 ≠ 0,𝑎𝑎 ≠ ±𝑏𝑏; и)−14
,𝑎𝑎 ≠ ±3; й) 2𝑥𝑥+1𝑥𝑥
, 𝑥𝑥 ≠ − 12
, 𝑥𝑥 ≠ 0.
3 а)−1, 𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ ±2𝑦𝑦 ; б) 2, 𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ ±2, 𝑥𝑥 ≠ 3
4 а) −14; б) √3−√2
18
8.7 Дробни уравнения
1 а)𝑥𝑥 = 2; 𝑥𝑥1 = 0 и 𝑥𝑥2 = 35 ; б) 𝑥𝑥 = −7; няма решение; 𝑥𝑥 = 3;
в) 𝑎𝑎 = 1; 𝑥𝑥 = 2;
г) 𝑎𝑎1 = −4 и 𝑎𝑎2 = 3; 𝑥𝑥1 = 1 и 𝑥𝑥2 = 10; 𝑡𝑡1 = −2 и 𝑡𝑡2 = 8; 𝑥𝑥1 = −1 и 𝑥𝑥2 = 16
2 а)𝑦𝑦 = 5; 𝑎𝑎 = −1; няма решение; няма решение;
б) 𝑥𝑥 = 4; 𝑥𝑥 = 3; 𝑥𝑥1 = −4 и 𝑥𝑥2 = 6; 𝑥𝑥1 = −1 и 𝑥𝑥2 = 12;
в) 𝑟𝑟 = 3; 𝑥𝑥 = 2; 𝑥𝑥1 = −11 и 𝑥𝑥2 = 1; 𝑡𝑡1 = −12 и 𝑡𝑡2 = −6;
3 а)𝑥𝑥1,2 = ±1 ; б) 𝑥𝑥1 = 12 и 𝑥𝑥2 = 2;
в)𝑥𝑥1 = 1 и 𝑥𝑥2 = 3 ; г) 𝑥𝑥1 = 0 и 𝑥𝑥2 = 1.
8.8 Моделиране с дробни уравнения
1 Синди – 10 часа, Мери – 15 часа
2 9 часа; 11часа и 15 мин
3 зидар - 10 дни, чирак – 14 дни
4 10мин; 15 мин
5 Автобус – 45 km/h, кола – 60 km/h;
6 6 km/h;
7 10 km/h
8 30 km/h;
9 2 часа и 3 часа
10 15 km/h
11 1,8 t и 1,2 t
12 𝐵𝐵 = 38.
13. 𝐵𝐵 = 46
14 16 cm
15 5 cm
8.9 Обобщение
1 а) 1𝑎𝑎+𝑏𝑏
, 𝑎𝑎 ≠ 𝑏𝑏,𝑎𝑎 ≠ 43𝑦𝑦; б) −𝑥𝑥
2, 𝑥𝑥 ≠ 5
3 ; в) 1−5𝑥𝑥
𝑥𝑥2−3𝑥𝑥+9, 𝑥𝑥 ≠ −3;
г) 𝑥𝑥 + 4, 𝑥𝑥 ≠ −4
2 а) 11𝑎𝑎+𝑥𝑥6𝑎𝑎−6𝑥𝑥
, 𝑎𝑎 ≠ 𝑥𝑥,𝑎𝑎 ≠ 2; б) 2−6𝑦𝑦(1+3𝑦𝑦)2 , 𝑦𝑦 ≠ ± 1
3, 𝑥𝑥 ≠ 0; в) (𝑥𝑥−3𝑦𝑦)(2𝑥𝑥+3𝑦𝑦)
9𝑥𝑥𝑦𝑦2, 𝑥𝑥 ≠
±3𝑦𝑦, 𝑥𝑥 ≠ 0,𝑦𝑦 ≠ 0;
г) 𝑥𝑥−104𝑥𝑥(𝑥𝑥−4) , 𝑥𝑥 ≠ ±4, 𝑥𝑥 ≠ 0
3 а)−1 1935
; б) 𝑎𝑎 = 1, а изразът не е дефиниран за тази стойност ; в) 2√2; г) 0;
5 а) 1; б) 0; в) 1; г) 3
6 а)няма реални корени; б) 𝑥𝑥 = −1,6; в) 𝑦𝑦1 = −3 и 𝑦𝑦2 = −1;
г) 𝑥𝑥 = −6; д) няма решение; е) 𝑥𝑥 = 19; ж) няма реални корени;
з) 𝑥𝑥1,2 = −4 ± 2√2
7 а) 𝑥𝑥1 = 1 и 𝑥𝑥2 = 10
3; б)𝑥𝑥1,2 = ±�3+√13
2 и 𝑥𝑥3,4 = ±�−1+√5
2 ;
в) 𝑥𝑥1,2 = −3±√172
и 𝑥𝑥3,4 = −3±√52
; г) 𝑥𝑥1,2 = ± 12 и 𝑥𝑥3,4 = ± 7
2.
8 100 km/h
9 15 km/h
10 12 дни
11 15 часа и 18 часа
12 7 cm;
13 85
14 12
15 54
Раздел 9 Вписани и описани многоъгълници
9.1 Окръжност, описана около триъгълник
2 а) вътешна за триъгълника; б) средата на хипотенузата; в) външна за
триъгълника
3 𝑅𝑅 = 6 cm
4 𝑅𝑅 = 4,5 cm
5 а) 𝑅𝑅 = 6 cm б) 𝐵𝐵𝐷𝐷 = 4 cm
6 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 4 cm
7 12 cm
8 г
9 в
11 30°, 60° и 90°
12 67,5°, 22,5°, 90°
9.2 Окръжност, вписана в триъгълник
1 𝐵𝐵𝑃𝑃 = 𝐵𝐵𝑅𝑅 = 3,5 cm, 𝐵𝐵𝑃𝑃 = 𝐵𝐵𝑄𝑄 = 2,5 cm, 𝐷𝐷𝑄𝑄 = 𝐷𝐷𝑅𝑅 = 4,5 cm
2 𝐵𝐵𝐷𝐷 = 7 cm , 𝐷𝐷𝐵𝐵 = 8 cm и 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 6 cm
4 𝐵𝐵𝐷𝐷 = 8 cm , 𝐷𝐷𝐵𝐵 = 10 cm и 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 6 cm;
5 𝑄𝑄𝑅𝑅 = 2,5 cm;
7 𝑄𝑄𝑅𝑅 = |𝑏𝑏−𝑐𝑐|2
8 |𝑎𝑎 − 𝑏𝑏|
9 2𝑅𝑅 + 2𝑟𝑟
10 25 cm
11 30 cm
12 30°, 60°
9.3 Външно вписани окръжности
1 𝐵𝐵𝑃𝑃 = 𝐵𝐵𝑅𝑅 = 21 cm, 𝐵𝐵𝑃𝑃 = 𝐵𝐵𝑄𝑄 = 9 cm, 𝐷𝐷𝑄𝑄 = 𝐷𝐷𝑅𝑅 = 5 cm;
2 𝐵𝐵𝐷𝐷 = 7 cm , 𝐷𝐷𝐵𝐵 = 8 cm и 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 6 cm;
3 𝐵𝐵𝐷𝐷 = 14 cm , 𝐷𝐷𝐵𝐵 = 12 cm и 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 16 cm
4 𝑄𝑄𝑅𝑅 = 2,5 cm;
5 𝑄𝑄𝑅𝑅 = |𝑎𝑎−𝑏𝑏|2
6 а) |𝑎𝑎 − 𝑏𝑏|; б) равнобедрен
8 5 cm
9 𝑟𝑟 = 2 cm, 𝑆𝑆 = 30 cm2
10 𝑆𝑆 = 𝑟𝑟. 𝑟𝑟𝑐𝑐
9.4 Ортоцентър на триъгълник. Забележителни точки в триъгълника
1 а) вътрешна; б) съвпада с върха на правия ъгъл; в) външна
8 ℎ = 3𝑟𝑟
13 ∢𝐵𝐵𝐷𝐷𝐵𝐵 = 108°;
9.5 Четириъгълник, вписан в окръжност
1 а) не; б)да; в) не; г) не; д)не
2 а)∢𝐵𝐵 = 90°,∢𝐷𝐷 = 110°,∢𝐵𝐵 = 90°;
б)∢𝐵𝐵 = 90°,∢𝐵𝐵 = 75°,∢𝐷𝐷 = 90°,∢𝐵𝐵 = 105°
в) ∢𝐵𝐵 = 30°,∢𝐵𝐵 = 60°,∢𝐷𝐷 = 150°,∢𝐵𝐵 = 120°;
3 ∢𝐵𝐵 = 90°,∢𝐵𝐵 = 60°,∢𝐷𝐷 = 90°,∢𝐵𝐵 = 120°;
4 90°, 150°, 90°
5 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐵𝐵𝐷𝐷 = 6 cm;
6 ∢𝐵𝐵 = ∢𝐵𝐵 = 60°, ∢𝐷𝐷 = ∢𝐵𝐵 = 120°
7 𝑅𝑅 = 10 cm;
9 ∢𝐵𝐵 = 55°,∢𝐴𝐴 = 55°,∢𝑂𝑂 = 70°;
12 а) отговор:180° − 2𝛼𝛼, 180° − 2𝛽𝛽, 180° − 2𝛾𝛾
9.6 Четириъгълник, описан около окръжност
1 а) да; б) не; в) да; г) да; д) да
2 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 32 𝑐𝑐𝑚𝑚, 𝐵𝐵𝐷𝐷 = 24 𝑐𝑐𝑚𝑚,𝐷𝐷𝐵𝐵 = 40 𝑐𝑐𝑚𝑚,𝐵𝐵𝐵𝐵 = 48 𝑐𝑐𝑚𝑚;
3 63 cm2
5 𝐵𝐵𝐷𝐷 = 21 𝑐𝑐𝑚𝑚,𝐵𝐵𝐵𝐵 = 19 𝑐𝑐𝑚𝑚;
6 𝐵𝐵𝐷𝐷 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 10 𝑐𝑐𝑚𝑚 ;
7 18 cm2
9 𝑟𝑟 = 3 𝑐𝑐𝑚𝑚
10 Средна основа = 5 cm и 𝑆𝑆 = 20 cm2
9.7 Обобщение
1 𝑅𝑅 = 6 cm
2 12 cm
3 в
4 𝐵𝐵𝐷𝐷 = 14 cm , 𝐷𝐷𝐵𝐵 = 16 cm и 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 12 cm
5 𝑄𝑄𝑅𝑅 = 1 cm
7 24 cm
8 30°, 60°
9 𝐵𝐵𝐷𝐷 = 28 cm , 𝐷𝐷𝐵𝐵 = 24 cm и 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 32 cm
10 𝑄𝑄𝑅𝑅 = 0,5 cm
11 а)не; б)не; в)да
12 а) ∢𝐵𝐵 = 90°,∢𝐵𝐵 = 110°,∢𝐷𝐷 = 90°,∢𝐵𝐵 = 70°
б) ∢𝐵𝐵 = 120°,∢𝐵𝐵 = 80°,∢𝐷𝐷 = 60°,∢𝐵𝐵 = 100°
13 90°, 30°, 90°
14 ∢𝐵𝐵 = ∢𝐵𝐵 = 75°, ∢𝐷𝐷 = ∢𝐵𝐵 = 105°
15 а) 𝑆𝑆 = 100 cm2 ; б) 𝑃𝑃 = 25,4 cm
16 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 7 cm , 𝐷𝐷𝐵𝐵 = 1 cm
Раздел 10 Еднаквости в равнината
10.1 Еднаквости в равнината
1 а) да; б) да; г) не, фигурите не са с еднакви размери
2 а) транслация, отражение, ротация; б) транслация, ротация, отражение;
в) отражение, транслация, ротация
3 а) т. U, т. P; б) NI ≅ SU
4 а) ∆LKJ б) ∆CAB в) ∆DFE
5 a = 10m; b = 42; c = 11; d = 4m; x = 20
10.3 Ротация
5 т. A
6 а) т. R б) SE в) т. Q г) т. Q
8 а) 270° б) 15427
9 а) 280°
10.6 Обобщение
1 а) да б) да в) не
2 а) Q →Q’ б) QR ≅ Q’R’; RS ≅ R’S’; SP ≅ S’P’; PQ ≅ P’Q’
3 а) ротация; б) отражение; в) транслация
5 y = 10; z = 3; q = 5
6 1 блок на запад и 7 блока на север
13 а) H б) EH в) EH г) H
14 32 cm2
16 а) 11,25° б) 15 в) 168,75°
18 x1 = x, y1 = -y; x2 = -x, y2 = y
19 Да, ъгълът на ротация на композиция от две ротации е сумата на ъглите от двете
ротации.
20 ρ (O, ±90o), ρ (O, ±180o)
22 а), б), в) пресечната точка на диагоналите
Раздел 11 Годишен преговор
11.3 Триъгълник и трапец
12 60о, 120о
11.4 Квадратен корен
1 б
2 г
3 г
4 б
5 в
6 а) -1; б) -3,1; в) −15√3; г) −10√2; д) 11−2√2 + √6; е) 12−4√3 + √10
7 а) √3 + √2; б) 7−3√21 + 4√2
8 а) 2𝑥𝑥; б) 2𝑦𝑦 + 2�𝑥𝑥2−𝑦𝑦2
9 а) √3 − 1; б) √5 − √3; в) √10 − √5; г) √3 − √2 + 1
11.5 Квадратно уравнение
1 а) 0;4 б) 2; −13; в) �5;− 3; г) няма реални корени
2 а) ±√6 ; ±2 б) 1; -3; -1±√3
3 𝑘𝑘 > − 116
4 а) 3; −43 б) 2; −21
4; в) -8;2
5 а) −32
;−7 б) -3; в) 32; г) 67
6 а) 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 − 15 б) 𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥 − 10 в) 8𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 1
11.6 Окръжност
1 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 13 cm, 𝐵𝐵𝐷𝐷 = 15 cm
2 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 10 cm , 𝐷𝐷𝐵𝐵 = 14 cm
3 а) 𝐵𝐵𝐵𝐵� = 100°, 𝐵𝐵𝐷𝐷� = 120°, 𝐷𝐷𝐵𝐵� = 140°;
б) ∢𝐵𝐵𝑂𝑂𝐵𝐵 = 100°, ∢𝐵𝐵𝑂𝑂𝐷𝐷 = 120° и ∢𝐷𝐷𝑂𝑂𝐵𝐵 = 140°
в)∢𝐵𝐵 = 60°,∢𝐵𝐵 = 70°,∢𝐷𝐷 = 50° ;
г) ∢𝐴𝐴 = 80°,∢𝑂𝑂 = 40°,∢𝑃𝑃 = 60°
4 а) 𝐵𝐵𝐵𝐵� = 120°, 𝐵𝐵𝐷𝐷� = 90°, 𝐷𝐷𝐵𝐵� = 60°, 𝐵𝐵𝐵𝐵� = 90°;
б)∢𝐵𝐵 = ∢𝐵𝐵 = 75°,∢𝐷𝐷 = ∢𝐵𝐵 = 105° равнобедрен трапец;
в)∢𝐴𝐴 = 60°,∢𝑂𝑂 = ∢𝑄𝑄 = 90°,∢𝑃𝑃 = 120° и може да се впише в окръжност.
6 10°, 70°, 60°
11.7 Рационални изрази
1 а) 𝑥𝑥+62𝑥𝑥+3
, 𝑥𝑥 ≠ 1, 𝑥𝑥 ≠ −32; б) 5−𝑥𝑥
𝑥𝑥−3, 𝑥𝑥 ≠ ±3
2 а) 𝑥𝑥+7𝑥𝑥+1
, 𝑥𝑥 ≠ −8, 𝑥𝑥 ≠ 1; б) 𝑥𝑥𝑥𝑥−7
, 𝑥𝑥 ≠ ±7
4 а) 4; б)−56
6 а) 𝑥𝑥 = 2; б) 𝑥𝑥 = −2; в) 𝑥𝑥 = 4,2; г) 𝑥𝑥 = 2
7 а) 𝑥𝑥1 = −1 и 𝑥𝑥2 = −14; б) 𝑥𝑥1,2 = −3±3√5
2 и 𝑥𝑥3,4 = −3±√21
2
8 а) 1700 m; б) 7:10
9 а) по 6 здачи; б) 18 задачи
11.8 Вписани и описани многоъгълници
1 ∢𝐵𝐵 = ∢𝐵𝐵 = 60°,∢𝑃𝑃 = ∢𝑄𝑄 = 120° , ∢𝑂𝑂𝐵𝐵𝐷𝐷 = 50° и ∢𝐵𝐵𝑂𝑂𝐵𝐵 = 160°
2 30°
3 2 cm
4 а) |𝑎𝑎 − 𝑐𝑐|; б) равностранен
5 24
6 а) 55°, 55°; б)110°, 35°, 35°; в)30°, 30°, 120°
7 а) 180° − 2𝛼𝛼, 180° − 2𝛽𝛽, 180° − 2𝛾𝛾
8 36°, 36°, 108°
9 30°, 60°, 90°
10 67,5°, 22,5°, 90°
11.9 Едноквости в равнината
3 а) H; в) BC; д) LM; ж) I
4 D
W
канал
P
W’
Образът на т. W спрямо оста (канала) е т. W’. Начертайте DW’. Кметствата трябва да
построят станцията в т. Р, където DW’ пресича оста (канала).