МАТЕМАТИКА 5 - klett.rs · 4 Задатак 1. (12. страна) а) Полазећи...

МАТЕМАТИКАРешења задатака из уџбеника за пети

разред основне школе

5

Небојша Икодиновић Слађана Димитријевић

3

∙ 2 – 60

Сања Тања

∙ 2 – 60

100 200 140 280 220

: 2 + 60

Сања Тања

: 2 + 60

45 90 60 030

9 100

57 000 42 300 5 600

47 900

Задатак 1. (10. страна)

а) У каси ће остати 220 динара. б) У каси је било 45 динара.


Трговац очекује добит од 9 100 динара:

57 000 – (42 300 + 5 600) = 57 000 – 47 900 = 9 100.


a) 1 002 + 723 : 3 = 1 002 + 241 = 1 243; (1 002 + 723) : 3 = 1 725 : 3 = 575

б) 998 – 45 ∙ 12 = 998 – 540 = 458; (998 – 45) ∙ 12 = 953 ∙ 12 = 11 436

в) 558 – 252 : 18 = 558 – 14 = 544; (558 – 252) : 18 = 306 : 18 = 17

г) 480 : 15 – 7 = 32 – 7 = 25; 480 : (15 – 7) = 480 : 8 = 60


a) 7 ∙ (100 + 8) = 756; б) (7 ∙ 7 + 1) ∙ 5 = 250;

в) (9 – 7) ∙ (100 + 15) = 230; г) 50 + 15 + 5 ∙ (2 + 4) = 95


a) 721 : 7 = (700 + 21) : 7 = 700 : 7 + 21 : 7 = 100 + 3 = 103

б) 1 248 : 12 – 48 : 12 = (1248 – 48) : 12 = 1 200 : 12 = 100


a) 97 ∙ 17 – 970 = 97 ∙ (17 – 10) = 97 ∙ 7 = 679;

б) 48 + 99 ∙ 48 = (1 + 99) ∙ 48 = 100 ∙ 48 = 4 800;

в) (250 + 25 ∙ 19) ∙ 4 = 250 ∙ 4 + 19 ∙ (25 ∙ 4) = 1 000 + 1 900 = 2 900;

г) (99 + 77) : 11 = 99 : 11 + 77 : 11 = 9 + 7 = 16;

д) 99 – 77 : 11 = 99 – 7 = 92;

ђ) 981 : 9 – 100 = (981 – 900) : 9 = 81 : 9 = 9;

е) 981 : 9 – 945 : 9 = (981 – 945) : 9 = 36 : 9 = 4;

ж) (16 + 4 ∙ 10) : 4 = 16 : 4 + 40 : 4 = 4 + 10 = 14.

ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ

Природни бројеви и основне рачунске операције

4


а) Полазећи од 267 динара и одбројавајући 3 динара, трговац је добио 270 динара. Затим је полазећи од 270 динара и одбројавајући 3 десетице израчунао 300 динара. Најзад је, додајући броју 300 две стотине, дошао до суме од 500 динара коју је Маја дала трговцу.

б) Кусур је 233 динара.


а) x = 4; б) x = 2; в) x = 2.


a) 17 + x = 124x = 124 – 17x = 107;

д) 5 ∙ x = 12 560x = 12 560 : 5x = 2 512;

б) 213 + x = 1 234x = 1 234 – 213x = 1 021;

ђ) x ∙ 12 = 276x = 276 : 12x = 23;

в) 531 – x = 21x = 531 – 21x = 510;

е) x : 45 = 711x = 711 ∙ 45x = 31 995;

г) x – 14 = 78x = 78 + 14x = 92;

ж) 3 264 : x = 32x = 3 264 : 32x = 102.


3 ∙ k + 120 = 360 3 ∙ k = 360 – 120 3 ∙ k = 240 k = 80

Кугла сладоледа кошта 80 динара.


Решење једначине 40 + 32 ∙ n = 200 је n = 5.

Јована ће моћи за 5 недеља да достави 200 наруквица.


Решење једначине15 000 + 3 500 ∙ m = 81 500 је m = 19.

Душан ће за 19 месеци уштедети тачно81 500 динара.


а) Ако је p маса пакета у килограмима, онда је p < 4 kg, тј. p може бити 1 kg, 2 kg или 3 kg.

б) Маса пакета у килограмима може бити било који природан број већи од 3.

в) Маса пакета у килограмима може бити било који природан број већи од 3.

Једначине и неједначине


a) x ≤ 47; б) x > 21; в) 510 < x ≤ 531; г) x > 92;

д) 14 ≤ x ≤ 37; ђ) x < 8; е) 0 ≤ x ≤ 11; ж) x ≥ 73.

5

31

5

79

F

2468

109

11

31

5

79

F

2468

109

11

E6

8

10

3

1

5

7

G


а) 12, 14, 16, 18, 20; б) 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97; в) 300, 210, 201, 120, 102, 111.


а) F = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} ; б) E = {6, 8, 10} ; в) G = {1, 3, 5, 7} .


а) Скуп A = {1, 2, 3, 4, ..., 999, 1000} садржи природне бројеве прве хиљаде.

б) Скуп B = {21, 22, 23, 24, ..., 98, 99} садржи природне бројеве веће од 20 и мање од 100.

в) Скуп C = {1, 3, 5, 7, ..., 97, 99} садржи непарне бројеве прве стотине.

г) Скуп D = {100, 102, 104, 106, ..., 996, 998} садржи парне троцифрене бројеве.

д) Скуп E = {3, 6, 9, 12, ..., 96, 99} садржи бројеве прве стотине који су дељиви са 3.

ђ) Скуп F = {1, 10, 100, 1000, ..., 1 000 000 000} садржи декадне јединице до милијарду.

Појам скупа

1

20

3

4

5

6

78

9J

B12 2014

13

16

15

18S

A11

1719


а) Скуп A = {3, 6, 9, 12, ...} садржи природне бројеве дељиве са 3.

б) Скуп B = {5, 10, 15, 20, 25, ...} садржи природне бројеве дељиве са 5.

в) Скуп C = {2, 22, 222, 2222, ...} садржи природне бројеве записане помоћу цифре 2.

г) Скуп D = {1, 10, 100, 1 000, ... } садржи декадне јединице.

Задатак 5. (19. страна) Задатак 6. (19. страна)


а) Да: A = {1, 3, 5} B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. б) Не: 1 A = {1, 2, 3, 4} и 1 B = {2, 3, 4, 5, 6}. в) Не. г) Не.


а) Скуп решења неједначине 23 + x > 451 је бесконачан: {429, 430, 431, 432, ...}.б) Скуп решења неједначине x + 7 ≤ 11 је коначан: {0, 1, 2, 3, 4}. в) Скуп решења неједначине x – 13 ≥ 11 је бесконачан: {24, 25, 26, 27, 28, ...}.г) Скуп решења неједначине x – 11 < 3 је коначан: {11, 12, 13}.д) Скуп решења неједначине 14 – x ≤ 9 је коначан: {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}.ђ) Скуп решења неједначине 32 – x ≤ 32 је коначан: {0, 1, 2, 3, 4, ..., 30, 31, 32}.

6


а) Тринаест ученика иде на бар једну секцију, математичку или драмску.

б) Двоје ученика иде и на математичку и на драмску секцију.

в) Четворо ученика иде на математичку секцију, а не иде на драмску.

г) Седморо ученика иде на драмску секцију, а не иде на математичку.


а) K L = {2, 5, 8}, K L = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, K \ L = {1, 4, 7}, L \ K = {3, 6, 9};

б) K L = {12, 21}, K L = {10, 11, 12, 21, 20, 22}, K \ L = {10, 11}, L \ K = {20, 22};

в) K L = {4, 5}, K L = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, K \ L = {1, 2, 3}, L \ K = {6}.


а) A B = {3, 4, 5, 6}, A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A \ B = {1, 2}, B \ A = {7, 8, 9};

б) A B = {5, 15}, A B = {5, 10, 15, 20, 25}, A \ B = {10, 20}, B \ A = {25};

в) A B = {2}, A B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A \ B = {3, 5, 7}, B \ A = {4, 6, 8};

г) A B = {1, 2}, A B = {1, 2, 11, 12, 21, 22}, A \ B = {11, 22}, B \ A = {12, 21}.


а) A N = {1, 2, 3, 4, 5}, A N = N0, A \ N = {0}, N \ A = {6, 7, 8, 9, 10, ...};

б) A = , A = A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, A \ = A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, \ A = .


а) x {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15};

б) x {159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169}.


У трећој кутији, на којој пише „овде није плава и није црвена”, налази се жута куглица. У првој кутији, на којој пише „овде није плава”, налази се жута или црвена куглица. Како је жута куглица у трећој кутији, у првој се налази црвена. У другој кутији се налази плава куглица.


Како Банe не тренира фудбал и не тренира пливање, закључујемо да Банe тренира кошарку. Пошто сви тренирају различите спортове, Влада не тренира кошарку, што значи да тренира пливање. Дуле тренира фудбал.

Скуповне операције

Венови дијаграми и закључивање

7

1. математика2. биологија3. историја

1. историја2. математика3. биологија


Анка живи у Нишу, Бранка у Крагујевцу и Данка у Београду.


Постоје две могућности.

уметници

сликари нојеви

птице квадри

коцке

a) б) в)



а) Ако је a природан број мањи од 5, онда је a мање од 10.

б) Ако је a природан број који није мањи од 10, онда је a веће од 5.


а) Сви лавови јесу месоједи. Сваки лав је мачка, а свака мачка је месојед. Дакле, и сваки лав мора бити месојед.

б) Ако животиња није месојед, она не може бити мачка. Свака мачка је месојед.

в) Ако животиња није месојед, она не може бити лав. Сваки лав је мачка, а свака мачка је месојед. Дакле, и сваки лав мора бити месојед.


Укупно је позвано 17 + 12 – 6 = 23 госта.

Њих 7 учии шпански

и француски.

Њих 20 учи шпански.

FE

Њих 17 учи француски.

Њих 13 учисамо шпански.

Њих 10 учисамо француски.


Ана ће позвати Иву, Уну и Миу.


У одељењу има 20 + 17 – 7 = 30 ученика.


Тара има и црвени и зелени камен. Сара има зелени камен. Лара има црвени камен.

8


а)Пре бацања

коцкицеРедни број бацања

1. 2. 3. 4. 5.

Број жетона које има Славко 32 48 56 60 62 31

Број жетона које има Здравко 32 16 8 4 2 33

б) Од пет бацања, Славко је четири пута добио већи број. После пет бацања, победио је Здравко, јер има 33 жетона, а Славко 31 жетон.


Да би се направио низ од 2 017 троуглова, потребно је 1 + 2 ∙ 2 017 = 4 035 шибица.


а) За фигуру која је n-та по реду потребно је 2 ∙ n плочица. За 500. фигуру потребно је 1 000 плочица.

б) За фигуру која је n-та по реду потребно је 2 ∙ n + 1 плочица. За 500. фигуру потребна је 1 001 плочица.

в) За фигуру која је n-та по реду потребно је 2 ∙ n + 3 плочица. За 500. фигуру потребно је 1 003 плочицe.

г) За фигуру која је n-та по реду потребно је 3 ∙ n – 2 плочица. За 500. фигуру потребно је 1 498 плочица.


За фигуру која је n-та по реду потребно је 2 ∙ n + 3 игала. За 60. фигуру потребне су 123 игле.


Прва цифра производа иста је као једноцифрени чинилац; друга цифра производа је за један мања од претходне; трећа цифра производа је једнака разлици броја 9 и једноцифреног чиниоца; последња цифра производа је за један већа од претходне:

5 ∙ 1 089 = 5 445, 6 ∙ 1 089 = 6 534, 7 ∙ 1 089 = 7 623, 8 ∙ 1 089 = 8 712, 9 ∙ 1 089 = 9 801.


а) б) в)

Придруживање

x 1 2 3 4 5

2x + 1 3 5 7 9 11

x 1 2 3 4 5

2x 2 4 6 8 10

x 1 2 3 4 5

x2 – 1 0 3 8 15 24

9


а) Сваком правоугаонику је додељен мерни број његовог обима.

б) Сваком правоугаонику је додељен мерни број његове површине.


За n-ти квадрат започетог низа потребно је n2 плавих плочица и 4 ∙ (n + 1) жутих плочица.

За 100. квадрат започетог низа потребно је 10 000 плавих плочица и 404 жутe плочицe.


а) Ако оловка кошта 60 динара, онда се за 500 динара може купити највише 8 оловака (60 ∙ 8 = 480 ≤ 500); кусур је 20 динара.

б) Ако оловка кошта 70 динара, онда се за 500 динара може купити највише 7 оловака (70 ∙ 7 = 490 ≤ 500); кусур је 10 динара.

в) Ако оловка кошта 100 динара, онда се за 500 динара може купити највише 5 оловака (100 ∙ 5 = 500); кусура нема.


а) При дељењу броја 15 са 6, количник је 2 и остатак је 3.

в) При дељењу броја 36 са 6, количник је 6 и остатак је 0.

б) При дељењу броја 26 са 6, количник је 4 и остатак је 2.

г) При дељењу броја 44 са 6, количник је 7 и остатак је 2.


Дељеник Делилац Количник Остатак

21 376 10 2 137 6

713 5 142 3

354 2 177 0

852 8 106 4


Редни број колоне у којој се налази број n једнак је остатку при дељењу броја n са 7.

а) Број 38 ће бити записан у 3. колони.

б) Број 67 ће бити записан у 4. колони.

в) Број 111 ће бити записан у 6. колони.

г) Број 2 017 ће бити записан у 1. колони.

д) Број 15 436 ће бити записан у 1. колони.

Дељење са остатком


52 ∙ 35 + 10 = 1 830

10


а) Једнобојни воз дужине 12 може се направити од блокова дужине 1, 2, 3, 4 или 6. б) Једнобојни воз дужине 15 може се направити од блокова дужине 1, 3 или 5. в) Једнобојни воз дужине 11 може се направити само од блокова дужине 1.г) Плави блок је два пута дужи од црвеног. Ако је црвени воз исте дужине као плави воз, онда је употребљено два пута више црвених блокова, него плавих.д) Сиви блок (дужине 6) три пута је дужи од жутог блока (дужине 2). Ако се може направити сиви воз дужине m, онда се може направити и жути воз исте дужине m (при чему треба употребити три пута више жутих блокова него сивих блокова).ђ) Браон блок је дужине 5, а зелени блок дужине 7. Дужина најкраћег једнобојног воза који се може направити и од браон и од зелених блокова једнака је 35.


b a a = b · q + r Да ли b | a?

7 21 21 = 7 ∙ 3 + 0 7 | 21

4 20 20 = 4 ∙ 5 + 0 4 | 20

13 36 36 = 13 ∙ 2 + 10 13 |/ 36

6 34 34 = 6 ∙ 5 + 4 6 |/ 34

10 102 102 = 10 ∙ 10 + 2 10 |/ 102

8 96 96 = 8 ∙ 12 + 0 8 | 96


а) У првој стотини, укупно 20 бројева при дељењу са 5 даје остатак 1. б) У првој стотини, укупно 20 бројева при дељењу са 5 даје остатак 3. в) У првој стотини, укупно 20 бројева при дељењу са 5 даје остатак 4. г) У првој стотини, укупно 20 бројева при дељењу са 5 даје остатак 0.


Постоји 250 бројева прве хиљаде који при дељењу са 4 дају остатак 3.

(3 = 4 ∙ 0 + 3, 7 = 4 ∙ 1 + 3, ..., 999 = 4 ∙ 249 + 3)


Постоји укупно 77 природних бројева мањих од 700 који при дељењу са 9 дају остатак 7.

(7 = 9 ∙ 0 + 7, 16 = 9 ∙ 1 + 7, ..., 691 = 9 ∙ 76 + 7)


Постоји укупно 150 троцифрених бројева који при дељењу са 6 дају остатак 0.

Дељивост

11

12510

139

1248

17

D7

D8 D9D10


а) 1, 2, 3, 4, 6, 12; б) 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98.


а) Да, 9 | 18. б) Да, 25 | 75. в) Не, 7 |/ 37. г) Не, 42 |/ 7. д) Да, 13 | 169.



9 |/ 120


а) S3 = {3, 6, 9, 12, 15, 18, ...}; б) S7 = {7, 14, 21, 28, 35, ...}; в) S10 = {10, 20, 30, 40, ...}.


а) 777 : 11 = 7 . (1 111 : 11) = 7 . 101 = 707; б) (23 . 1 111) : 11 = 2 323;в) (53 . 11 011) : 11 = 53 053; г) (1 111 + 11 011) : 11 = 101 + 1 001 = 1 102;д) (3 333 + 44 044) : 11 = 303 + 4 004 = 4 307; ђ) (11 011 – 1 111) : 11 = 1 001 – 101 = 900.


28, 56, 84Задатак 6. (34. страна)

1, 2, 4, 7

D7 = {1, 7}, D8 = {1, 2, 4, 8}, D9 = {1, 3, 9}, D10 = {1, 2, 5, 10}

Својства дељивости


а) Исказ „ако је број дељив са 2, онда је дељив и са 4” није тачан. На пример, 2 | 6 и 4 |/ 6.

б) Исказ „сваки број дељив са 6 дељив је и са 3” јесте тачан, јер 3 | 6.

в) Исказ „сваки број дељив са 9 дељив је и са 3” јесте тачан, јер 3 | 9.

г) Исказ „неки бројеви дељиви са 3 дељиви су и са 9” јесте тачан. Примети да исказ „сви бројеви дељиви са 3 дељиви су и са 9” није тачан.


а) Да, 7 | 1 400, јер 7 | 14 и 1 400 = 14 ∙ 100. б) Да, 25 | 900, јер 25 | 100 и 900 = 9 ∙ 100.

в) Да, 4 | 900, јер 4 | 100 и 900 = 9 ∙ 100. г) Да, 9 | 27 000, јер 9 | 27 и 27 000 = 27 ∙ 1 000.


а) D6 D48, јер 6 | 48. б) D8 D32, јер 8 | 32. в) D12 D48, јер 12 | 48.

12


а) 7 | 693, јер је, на пример, 693 = 700 – 7, 7 | 700 и 7 | 7.

б) 6 | 90, јер је, на пример, 90 = 60 + 30, 6 | 60 и 6 | 30.

в) 8 | 864, јер је, на пример, 864 = 800 + 64, 8 | 800 и 8 | 64.

г) 9 | 8 991, јер је, на пример, 8 991 = 9 000 – 9, 9 | 9 000 и 9 | 9.


а) 4 | 908, јер је, на пример, 908 = 9 ∙ 100 + 8, 4 | 100 и 4 | 8.

б) 3 | 639, јер је, на пример, 639 = 6 ∙ 100 + 3 ∙ 10 + 9, 3 | 6, 3 | 3 и 3 | 9.

в) 9 | 1 827, јер је, на пример, 1 827 = 18 ∙ 100 + 27, 9 | 18 и 9 | 27.

г) 11 | 22 033, јер је, на пример, 22 033 = 22 ∙ 1 000 + 33, 11 | 22 и 11 | 33.

д) 15 | 3 015, јер је, на пример, 3 015 = 30 ∙ 100 + 15, 15 | 30 и 15 | 15.


а) 4 | 4 ∙ 13 + 16, јер 4 | 4 и 4 | 16.

б) 7 | 21 + 16 ∙ 7, јер 7 | 21 и 7 | 7.

в) 9 | 9 ∙ 2 + 9 ∙ 4 + 9 ∙ 8, јер 9 | 9.

г) 11 |/ 99 – 88 + 77 – 60, јер 11 | 99, 11 | 88, 11 | 77, али 11 |/ 60.

д) 7 |/ 13 ∙ 14 + 50, јер 7 | 14, али 7 |/ 50.

ђ) 9 | 81 ∙ 91 – 18 ∙ 19, јер 9 | 81 и 9 | 18.


Не постоје природни бројеви m и n такви да је 6m + 9n = 10 000. Из 3 | 6 и 3 | 9 следи да 3 | 6m + 9n, за било које m, n N. Насупрот томе, 3 |/ 10 000.


а) 2 | 25 798, јер је 25 798 = 2 579 ∙ 10 + 8, 2 | 10 и 2 | 8.

б) 3 | 369, јер је 369 = 3 ∙ 100 + 6 ∙ 10 + 9, 3 | 3, 3 | 6 и 3 | 9.

в) 10 | 23 000, јер је 23 000 = 23 ∙ 1 000 и 10 | 1 000.

г) 5 | 230, јер је 230 = 23 ∙ 10 и 5 | 10.

д) 25 | 200, јер је 200 = 2 ∙ 100 и 25 | 100.

ђ) 4 | 508, јер је 508 = 5 ∙ 100 + 8, 4 | 100 и 4 | 8.

Услови дељивости неким бројевима

13


а) Број 50 дели само декадна јединица 10.

б) Број 600 деле декадне јединице 10 и 100.

в) Број 33 000 деле декадне јединице 10, 100 и 1 000.

г) Број 4 050 000 деле декадне јединице 10, 100, 1 000 и 10 000.


а) Остатак при дељењу броја 12 607 са 10 једнак је 7.

б) Остатак при дељењу броја 12 607 са 100 једнак је 7.

в) Остатак при дељењу броја 12 607 са 1 000 једнак је 607.

г) Остатак при дељењу броја 12 607 са 10 000 једнак је 2 607.


а) Са 2 дељиви су бројеви 50, 608, 772 и 1 170.

б) Са 5 дељиви су бројеви 50, 115, 1 170 и 4 885.


3 450, 3 540, 4 350, 4 530, 5 340, 5 430


а) Бројем 4 дељиви су 300 и 1 492.

б) Бројем 25 дељиви су 300 и 775.


а) 6 102; б) 1 260.


120, 140, 160, 180, 200


а) Исказ 4 | 1 3♣0 је тачан ако уместо ♣ стоји 0, 2, 4, 6 или 8.

б) Исказ 25 | 1 3♣0 је тачан ако уместо ♣ стоји 0 или 5.

в) Исказ 4 | 8 72♣ је тачан ако уместо ♣ стоји 0, 4 или 8.

г) Исказ 25 | 8 72♣ је тачан ако уместо ♣ стоји 5.


а) 3 | 4 506, јер је 4 506 = 4 ∙ 999 + 5 ∙ 99 + 4 + 5 + 6 = 4 ∙ 999 + 5 ∙ 99 + 15, 3 | 999, 3 | 99 и 3 | 15.

б) 9 |/ 4 506, јер је 4 506 = 4 ∙ 999 + 5 ∙ 99 + 4 + 5 + 6 = 4 ∙ 999 + 5 ∙ 99 + 15, 9 | 999, 9 | 99 и 9 |/ 15.

14


а)

n дељивост са 3 збира цифара броја n

Да ли је n дељиво са 3?

174 1 + 7 + 4 = 12, 3 | 12 3 | 157205 2 + 0 + 5 = 7, 3 |/ 7 3 |/ 205486 4 + 8 + 6 = 18, 3 | 18 3 | 486

5 301 5 + 3 + 0 + 1 = 9, 3 | 9 3 | 5 30112 462 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15, 3 | 15 3 | 12 462

б)

n дељивост са 9 збира цифара броја n

Да ли је n дељиво са 9?

174 1 + 7 + 4 = 12, 9 |/ 12 9 |/ 157205 2 + 0 + 5 = 7, 9 |/ 7 9 |/ 205486 4 + 8 + 6 = 18, 9 | 18 9 | 486

5 301 5 + 3 + 0 + 1 = 9, 9 | 9 9 | 5 30112 462 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15, 9 |/ 15 9 |/ 12 462


Како је 5 + 4 + 5 + 3 + 2 + 8 = 27, да би важило 3 | 545♣328 уместо ♣ можемо уписати 0, 3, 6 или 9.


а) Како је 4 + 3 + 5 = 12, исказ 9 | 43♥5 је тачан ако уместо ♥ стоји 6.

б) Како је 2 + 3 = 5, исказ 3 | 2♥3 је тачан ако уместо ♥ стоји 1, 4 или 7.

в) Како је 1 + 5 + 2 + 4 = 12, исказ 3 | 15 24♥ је тачан ако уместо ♥ стоји 0, 3, 6 или 9.

г) Како је 1 + 5 + 1 + 2 + 4 = 13, исказ 9 | 1♥5 124 је тачан ако уместо ♥ стоји 5.


Збир цифара броја 1 000 000 008 једнак је 9, па 9 | 1 000 000 008.


а) Ако је неки број дељив са 10, онда је дељив и са 2 и са 5, јер 2 | 10 и 5 | 10.

б) Број дељив са 5 мора се завршавати цифром 5 или 0, а број дељив са 2 мора се завршавати парном цифром. Дакле, број дељив и са 2 и са 5 мора се завршавати цифром 0, што значи да је дељив са 10.

в) Ако је неки број дељив са 100, онда је дељив и са 4 и са 25, јер 4 | 100 и 25 | 100.

г) Број дељив са 25 мора се завршавати цифрама 00, 25, 50 или 75, а двоцифрени завршетак броја који је дељив са 4 мора такође мора бити дељив са 4. Дакле, број дељив и са 25 и са 4 мора се завршавати цифрама 00, што значи да је дељив са 100.

д) Ако је неки број дељив са 9, онда је дељив и са 3, јер 3 | 9.

15


D21 = {1, 3, 7, 21}, D22 = {1, 2, 11, 22}, D23 = {1, 23}, D24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}, D25 = {1, 5, 25}, D26 = {1, 2, 13, 26}, D27 = {1, 3, 9, 27}, D28 = {1, 2, 4, 7, 14, 28} D29 = {1, 29}, D30 = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

Бројеви треће десетице који имају тачно два делиоца јесу 23 и 29.


а) Број 525 је сложен, 525 = 21 ∙ 25. б) Број 316 је сложен, 316 = 4 ∙ 79.

в) Број 729 је сложен, 729 = 81 ∙ 9. г) Број 1 110 је сложен, 1 110 = 111 ∙ 10.


Да. Ако је n било који природан број већи од 1, онда скуп Dn садржи бар један прост број.


а) 5 | 375; б) 2 | 132; в) 7 | 4949; г) 3 | 111 111.


а) Како је 172 = 289 > 257, довољно је испитати да ли је 257 дељив неким од простих бројева 2, 3, 5, 7, 11, 13:

2 |/ 257, 3 |/ 257,

5 |/ 257, 7 |/ 257 (257 = 7 ∙ 36 + 5),

11 |/ 257 (257 = 11 ∙ 23 + 4), 13 |/ 257 (257 = 13 ∙ 19 + 10).

Дакле, 257 је прост број.

б) Како је 172 = 289 > 287, довољно је испитати да ли је 287 дељив неким од простих бројева 2, 3, 5, 7, 11, 13:

2 |/ 287, 3 |/ 287,

5 |/ 287, 7 | 287 (287 = 7 ∙ 41).

Дакле, 7 | 287, одакле следи да је 287 сложен број (287 = 7 ∙ 41).

в) Како је 192 = 361 > 341, довољно је испитати да ли је 341 дељив неким од простих бројева 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17:

2 |/ 341, 3 |/ 341,

5 |/ 341, 7 |/ 341 (341 = 7 ∙ 48 + 5),

11 | 341 (341 = 11 ∙ 31).

Дакле, 11 | 341, одакле следи да је 341 сложен број (341 = 11 ∙ 31).

Прости и сложени бројеви

16


а) 77 = 7 ∙ 11; б) 105 = 3 ∙ 5 ∙ 7; в) 36 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3;

г) 60 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5; д) 165 = 3 ∙ 5 ∙ 11.


а) 9 = 32; б) 24 = 23 ∙ 3; в) 75 = 3 ∙ 52;

г) 100 = 22 ∙ 52; д) 210 = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7; ђ) 231 = 3 ∙ 7 ∙ 11;

е) 315 = 32 ∙ 5 ∙ 7; ж) 792 = 23 ∙ 32 ∙ 11; з) 980 = 22 ∙ 5 ∙ 72;

и) 1 200 = 24 ∙ 3 ∙ 52.

Растављање природних бројева на просте чиниоце

г) Како је 232 = 529 > 373, довољно је испитати да ли је 373 дељив неким од простих бројева 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19:

2 |/ 373, 3 |/ 373,

5 |/ 373, 7 |/ 373 (373 = 7 ∙ 53 + 2),

11 |/ 373 (373 = 11 ∙ 33 + 10), 13 |/ 373 (373 = 13 ∙ 28 + 9),

17 |/ 373 (373 = 17 ∙ 21 + 16), 19 |/ 373 (373 = 19 ∙ 19 + 12).


д) Како је 292 = 841 > 673, довољно је испитати да ли је 673 дељив неким од простих бројева 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23:

2 |/ 673, 3 |/ 673,

5 |/ 673, 7 |/ 673 (673 = 7 ∙ 96 + 1),

11 |/ 673 (673 = 11 ∙ 61 + 2), 13 |/ 673 (673 = 13 ∙ 51 + 10),

17 |/ 673 (673 = 17 ∙ 39 + 10), 19 |/ 673 (673 = 19 ∙ 35 + 8),

23 |/ 673 (673 = 23 ∙ 29 + 6).


ђ) Како је 432 = 1 849 > 1 729, довољно је испитати да ли је 1 729 дељив неким од простих бројева 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41:

2 |/ 1 729, 3 |/ 1 729,

5 |/ 1 729, 7 | 1 729 (1 729 = 7 ∙ 247).

Дакле, 7 | 1 729, одакле следи да је 1 729 сложен број (1 729 = 7 ∙ 247).

17


а) D12 D30 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} = {1, 2, 3, 6};

б) D16 D18 = {1, 2, 4, 8, 16} {1, 2, 3, 6, 9, 18} = {1, 2};

в) D20 D28 = {1, 2, 4, 5, 10, 20} {1, 2, 4, 7, 14, 28} = {1, 2, 4};

г) D15 D45 = {1, 3, 5, 15} {1, 3, 5, 9, 15, 45} = {1, 3, 5, 15}.


Из 7 | 21 следи да је НЗД(7, 21) = 7.

Из 12 | 60 следи да је НЗД(12, 60) = 12.

Из 25 | 1 250 следи да је НЗД(25, 1 250) = 25.


а) НЗД(23 ∙ 32, 22 ∙ 33 ) = 22 ∙ 32;

б) НЗД(2 ∙ 32 ∙ 5, 22 ∙ 3) = 2 ∙ 3;

в) НЗД(22 ∙ 3 ∙ 52, 32 ∙ 5) = 3 ∙ 5.


а) 100 = 22 ∙ 52, 45 = 32 ∙ 5, НЗД(100, 45) = 5;

б) 24 = 23 ∙ 3, 30 = 2 ∙ 3 ∙ 5, НЗД(24, 30) = 2 ∙ 3 = 6;

в) 70 = 2 ∙ 5 ∙ 7, 154 = 2 ∙ 7 ∙ 11, НЗД(70, 154) = 2 ∙ 7 = 14;

г) 182 = 2 ∙ 7 ∙ 13, 260 = 22 ∙ 5 ∙ 13, НЗД(182, 260) = 2 ∙ 13 = 26.

Највећи заједнички делилац


а)

44, 66 222, 33 11

2, 3

НЗД(44, 66) = 2 ∙ 11 = 22

в)

60, 72 230, 36 215, 18 3

5, 6

НЗД(60, 72) = 22 ∙ 3 = 12

б)

32, 24 216, 12 2

8, 6 24, 3

НЗД(32, 24) = 23 = 8

г)

28, 42 214, 21 7

2, 3

НЗД(28, 42) = 2 ∙ 7 = 14


а) НЗД(18, 24, 60) = 2 ∙ 3 = 6

18, 24, 60 29, 12, 30 3

3, 4,10

б) НЗД(12, 36, 72) = 22 ∙ 3 = 12

12, 36, 72 26, 18, 36 2

3, 9,18 31, 3, 6

18

в) НЗД(15, 35, 55) = 5

15, 35, 55 53, 7, 11

д) НЗД(24, 30, 42) = 2 ∙ 3 = 6

24, 30, 42 212, 15, 21 3

4, 5, 7

е) НЗД(12, 16, 20, 28) = 22 = 4

12, 16, 20, 28 26, 8, 10, 14 2

3, 4, 5, 7

г) НЗД(286, 242, 88) = 2 ∙ 11 = 22

286, 242, 88 2143, 121, 44 11

13, 11, 4

ђ) НЗД(24, 32, 40) = 23 = 8

24, 32, 40 212, 16, 20 2

6, 8, 10 23, 4, 5


Треба одредити НЗД бројева 128 – 2 = 126 и 72 – 2 = 70.

126, 70 263, 35 7

9, 5

Како је НЗД(126, 70) = 2 ∙ 7 = 14, тражени број је 14.


а) Из 28 = 22 ∙ 7 и 45 = 32 ∙ 5 закључујемо да 28 и 45 немају заједнички прост делилац, одакле следи да су узајамно прости, НЗД(28, 45) = 1.

б) Из 70 = 2 ∙ 5 ∙ 7 и 33 = 3 ∙ 11 закључујемо да 70 и 33 немају заједнички прост делилац, одакле следи да су узајамно прости, НЗД(70, 33) = 1.

в) Како су 13 и 41 различити прости бројеви, закључујемо да су 13 и 41 узајамно прости, НЗД(13, 41) = 1.

г) Како је 29 прост број и 29 |/ 39, закључујемо да су 29 и 39 узајамно прости, НЗД(29, 39) = 1.

а) НЗД(360, 255)

360 = 1 ∙ 255 + 105

255 = 2 ∙ 105 + 45

105 = 2 ∙ 45 + 15

45 = 3 ∙ 15

НЗД(360, 255) = 15;

в) НЗД (550, 198)

550 = 2 ∙ 198 + 154

198 = 1 ∙ 154 + 44

154 = 3 ∙ 44 + 22

44 = 2 ∙ 22

НЗД (550, 198) = 22;

б) НЗД(288, 126);

288 = 2 ∙ 126 + 36

126 = 3 ∙ 36 + 18

36 = 2 ∙ 18

НЗД(288, 126) = 18;

г) НЗД(444, 942)

942 = 2 ∙ 444 + 54

444 = 8 ∙ 54 + 12

54 = 4 ∙ 12 + 6

12 = 2 ∙ 6

НЗД(444, 942) = 6.


19


36 = 2 ∙ 16 + 4

16 = 4 ∙ 4

НЗД(16, 36) = 4

Дужина сваког дела једнака је 4 m.


а) НЗС(23 ∙ 32, 22 ∙ 33 ) = 23 ∙ 33 = 216;

б) НЗС(2 ∙ 32 ∙ 5, 22 ∙ 3) = 22 ∙ 32 ∙ 5 = 180;

в) НЗС(22 ∙ 3 ∙ 52, 32 ∙ 5) = 22 ∙ 32 ∙ 52 = 900.


а) 100 = 22 ∙ 52, 45 = 32 ∙ 5, НЗС(100, 45) = 22 ∙ 32 ∙ 52 = 900;

б) 24 = 23 ∙ 3, 30 = 2 ∙ 3 ∙ 5, НЗС (24, 30) = 23 ∙ 3 ∙ 5 = 120;

в) 70 = 2 ∙ 5 ∙ 7, 154 = 2 ∙ 7 ∙ 11, НЗС (70, 154) = 2 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 11 = 770;

г) 182 = 2 ∙ 7 ∙ 13, 260 = 22 ∙ 5 ∙ 13, НЗС (182, 260) = 22 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 13 = 1 820.

Најмањи заједнички садржалац

а)

44, 66 222, 33 211, 33 311, 11 11

1, 1

НЗС(44, 66) = 22 ∙ 3 ∙ 11 = 132;

б)

32, 24 216, 12 2

8, 6 24, 3 22, 3 21, 3 31, 1

НЗС(32, 24) = 25 ∙ 3 = 96;

г)

28, 42 214, 21 2

7, 21 37, 7 71, 1

НЗД(28, 42) = 22 ∙ 3 ∙ 7 = 84.

в)

60, 72 230, 36 215, 18 2

15, 9 35, 3 35, 1 51, 1

НЗД(60, 72) = 23 ∙ 32 ∙ 5 = 360;


20


а) НЗД(6, 7, 8) = 23 ∙ 3 ∙ 7 = 168

6, 7, 8 23, 7, 4 23, 7, 2 23, 7, 1 31, 7, 1 71, 1, 1

б) НЗД(8, 12, 18) = 23 ∙ 32 = 72

8, 12, 18 24, 6, 9 22, 3,9 21, 3, 9 31, 1, 3 31, 1, 1

в) НЗД(15, 35, 55) = 3 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 11 = 1 155

15, 35, 55 35, 35, 55 5

1, 7, 11 71, 1, 11 11

1, 1, 1

г) НЗД(12, 18, 32) = 25 ∙ 32 = 288

12, 18, 32 26, 9, 16 2

3, 9, 8 23, 9, 4 23, 9, 2 23, 9, 1 31, 3, 1 31, 1, 1

д) НЗД(24, 30, 42) = 23 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 840

24, 30, 42 212, 15, 21 2

6, 15, 21 23, 15, 21 3

1, 5, 7 51, 1, 7 71, 1, 1

е) НЗД(12, 16, 20, 28) = 24 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 1 680

12, 16, 20, 28 26, 8, 10, 14 2

3, 4, 5, 7 23, 2, 5, 7 23, 1, 5, 7 31, 1, 5, 7 51, 1, 1, 7 71, 1, 1, 1

ђ) НЗД(24, 32, 40) = 25 ∙ 3 ∙ 5 = 480

24, 32, 40 212, 16, 20 2

6, 8, 10 23, 4, 5 23, 2, 5 23, 1, 5 31, 1, 5 51, 1, 1


Како је НЗС(45, 50, 60) = 900, од полазног места је 900 cm удаљена прва тачка до које ће сваки од робота начинити цео број корака.

21


а) Из НЗС(2, 4, 6) = 12 следи да ће сви бродови бити у луци сваког дванаестог дана: 1. јуна, 13. јуна, 25. јуна, 7. јула, 19. јула, 31. јула, 12. августа и 24. августа.

б) Ниједан брод неће бити у луци парним датумима током јуна и јула, као и непарним датумима током августа.


Из НЗС(12, 14, 16) = 336, следи да је тражени број ученика једнак 336. Ако 336 ученика распоредимо у врсте по 12 ученика, биће 28 врста, 336 : 12 = 28. Ако 336 ученика распоредимо у врсте по 14 ученика, биће 24 врста, 336 : 14 = 24. Ако 336 ученика распоредимо у врсте по 16 ученика, биће 21 врста, 336 : 16 = 21.


Ако n означава тражени број, онда је n – 5 = НЗС(6, 15, 21) = 210. Дакле, n = 215.


а) НЗС(7, 8) = 7 ∙ 8 = 56, јер су 7 и 8 узајамно прости, тј. НЗД(7, 8) = 1.

б) НЗД(11, 13) = 11 ∙ 13 = 143, јер су 11 и 13 узајамно прости, тј. НЗД(11, 13) = 1.

в) НЗД(9, 16) = 9 ∙ 16 = 144, јер су 9 и 16 узајамно прости, тј. НЗД(9, 16) = 1.

г) НЗД(28, 45) = 28 ∙ 45 = 1 260, јер су 28 и 45 узајамно прости, тј. НЗД(28, 45) = 1.


НЗС(x, y) = xy : НЗД(x, y) = 1 350 : 15 = 90


НЗД(x, y) = xy : НЗС(x, y) = 896 : 128 = 7


Из 15 ∙ a = НЗС(a, 15) ∙ НЗД(a, 15) = 105 ∙ 5 = 525, следи да је a = 35.


Постоје четири могућности: x = 6, y = 36; x = 36, y = 6; x = 12, y = 18; x = 18, y = 12.

22

P

Q R

1)P

Q R

P

Q R

p(P, Q)

RP

RQ

2) 3)

QR

PR

RP

RQ

PQ

QP


A a, B a, C a, D a, A b, B b, C b, D b.


1) Како су тачке A, B, C, D колинеарне, сваке две од њих одређују једну исту праву, коју можемо означити p(A, B), p(B, D), p(A, C) итд.

2) У овом случају одређене су четири различите праве: p(A, B), p(A, C), p(A, D) и p(B, C).

3) У овом случају одређено је шест различитих правих: p(A, B), p(A, C), p(A, D), p(B, C), p(B, D) и p(C, D).


1) Пет међусобно различитих тачака одређује 10 дужи.

2) Биће одиграно 10 партија.


1) Тачно је: AB AB p(A, B).

2) Тачно је: AB BA = AB.

3) Тачно је: AB BA = p(A, B).



1) QP PQ = PQ; 2) PQ RP = p(P, Q);

3) QP QR = {Q}; 4) QP QR = p(P, R).


1) Тачке P, Q, R, S припадају дужи PS.

2) Тачке O, P, Q, R припадају полуправој RO.

3) PR QS = QR, PR QS = PS, PS RO = PR, PO RS = , PO PQ = QO, PS OR = PR.

ОСНОВНИ ПОЈМОВИ ГЕОМЕТРИЈЕ

Тачке и праве у равни

23

Ap

q C

Ap

q C

p1

q1

n

m mm

n ll

ll

mn

n

TT2

T3

T1

L

M

1) 2) 3) 4)


Оба поступка су исправна.





Ако је l || m и m || n, онда је и l || n.

Праве a и b јесу паралелне.


1) AB || PR; 2) AB ||/ CR; 3) AP ||/ CS; 4) AS ||/ CQ.


2) Aa1 || Bb1, Aa1 || Bb2, Aa2 || Bb1, Aa2 || Bb2, Aa1 || Aa2, Bb1 || Bb2.


Ако A p, постоје тачно две полуправе са почетком A које су паралелне са p.

A

BC

a

p(B, C)

A

B

p

a

b

Однос две праве у равни

24

1) 2) 3) 4) 5)





4 области 6 области 6 области 7 области

конвекснафигура

неконвекснафигура





A

B F

CD

E

G

A

B F

CD

E

G

A

B F

CD

E

G

A

B F

CD

E

G

A

B F

CD

E

G

A

B F

CD

E

G

1) 2) 3)

4) 5) 6)

конвексна неконвексна конвексна

неконвексна неконвексна неконвексна

Важне геометријске фигуре

25



а) Растојање између Београда и Алексинца приближно је једнако 207 km.

б) Растојање између Велике Плане и Алексинца приближно је једнако 115 km.


1) 12 cm = 120 mm; 2) 3 m 2 cm = 302 cm;

3) 20 dm = 2 m; 4) 2 km 3 m = 2 003 m;

5) 4 m 2 dm 3 cm = 423 cm; 6) 7 cm 5 mm = 6 cm 15 mm.


Грешка коју је Влада направио једнака је 150 cm – 147 cm = 3 cm.

Грешка коју је Лаза направио једнака је 147 cm – 145 cm = 2 cm.

Грешка коју је Драган направио једнака је 147 cm – 140 cm = 7 cm.

Грешка коју је Ђорђе направио једнака је 155 cm – 147 cm = 8 cm.

Најмању грешку је направио Лаза.

A

B F

CD

E

A

B F

CD

E

A

B F

CD

E

A

B F

CD

E

A

B F

CD

E

1) 2) 3)

4) 5)

Дужина дужи

26

A S B CB T A S C

4 cm 6 cm

2 cm 5 cm 5 cm

2 cm


KL = 52 mm – 16 mm = 36 mm


Поступи као у Примеру 3, на 72. страни уџбеника.





Обим сваке фигуре једнак је 2 ∙ 5 cm + 3 ∙ 3 cm = 19 cm.


AS = BS = 4 cm


Дуж AC је четири пута дужа од AS.

BC = 10 cm, AS = 1 cm, TS = 3 cm


У свесци са квадратићима, прво одреди центре тражених кружница, као на слици. Затим конструиши пет кружница полупречника 15 mm чији су центри нацртане тачке.

96 mm 64 mm 96 mm 80 mm 112 mm

8 mm

0 1 2 3 4 5 6 7 8

A S B

5 mm

Кружница и круг

27


1) AB = 2 cm

2) AC = 8 cm



6 cm


Тачка A је унутрашња тачка, јер је 48 cm < 5 dm.

Тачка B је спољашња тачка, јер је 6 dm > 5 dm.

Тачка C је унутрашња тачка, јер је 310 mm = 31 cm < 5 dm.


1) B K(A, AC); 2) C K(A, AB); 3) C K(B, BD); 4) D K(C, CD).

1 cm

O ABC

k (O, 3 cm)

OA

2 cm5 cm

O A

2 cm

5 cm

1) 2)

12 cm

8 cm


1 cm 1 cm 1 cm 1 cm

1 cm 1 cm 1 cm 1 cm 1 cm 1 cm

1)

4) 5)

A B C

k(A, 1 cm)

k(C, 1 cm)

k(B, 2 cm)

1 cm 1 cm 1 cm 1 cm

2)

k(A, 1 cm)

A B C

k(C, 1 cm)

k(B, 2 cm)

1 cm 1 cm 1 cm 1 cm

3)

A B C

k(B, 2 cm)

k(C, 2 cm)k(A, 1 cm)

A CB

k(C, 2 cm)k(A, 2 cm)k(B, 1 cm)

ACB

k(B, 2 cm)

k(C, 2 cm)

k(A, 1 cm)

28


0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 2 3 4 5 6 7 8

O1 O2

O1 O2

O1 O2

k1(O1, 3 cm)

k2(O2, 2 cm)

k1(O1, 3 cm)

k2(O2, 2 cm)

k1(O1, 3 cm)

k2(O2, 2 cm)

1)

2)

3)

29

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3

O1 O2

k1(O1, 3 cm)

k2(O2, 2 cm)

4)

O O21

k1(O1, 3 cm)

k2(O2, 2 cm)

5) k1(O1, 3 cm)

k2(O2, 2 cm)

6)

O2O1


AP = AQ = 3 cm

0 1 2 3 4

k1(P, PQ) k2(Q, QP)

P Q

A


O

k(O, 3 cm)

SR

k(S, SR) O

k(O, 4 cm)

U

Rk(U, UR)


30


0 1 2 3cm

0 1 2 3cm

O

k (A, 2 cm)k (O, 3 cm)

A

B2

B1


1) Ако је AB = 4 cm, постоје две тачке које су 3 cm удаљене и од тачке A и од тачке B – то су пресечне тачке кружница k1 (A, 3 cm) и k2 (B, 3 cm).

2) Ако је AB = 6 cm, постоји само једна тачка која је 3 cm удаљене и од тачке A и од тачке B – то је средиште дужи AB (тачка додира кружница k1 (A, 3 cm) и k2 (B, 3 cm)).

3) Ако је AB = 7 cm, не постоји тачка која је 3 cm удаљена и од тачке A и од тачке B (кружнице k1 (A, 3 cm) и k2 (B, 3 cm) се не секу).


Не. Не секу се кружнице чији су полупречници 2 cm и 4 cm, а центри на растојању 9 cm.


AB = EF, GH = KL, ST = XY, PQ = UV


A a

K L

B

k(A, KL)

AB = KL

Преношење дужи

31



Op

M N

P

k(O, MN)

OP = OQ = MN q

Q

A B

C

D

O xAB BC CD

P

A B

C

O xAB BC CA

PЗадатак 5. (80. страна)

Задатак 6. (80. страна)1 инч

3 инчa

Задатак 7. (81. страна) KL

M N

P Q

KL

P Q

2KL

Q

2MN

MN MN

P

2KL

1) 2)

3)

32


KL

M N

KL

MN

KL

2MN

PP

3KL

MNQP Q

1)

Q

2) 3)





Ако укрстимо два штапа тако да им се поклопе средишта, онда је дуж која спаја по један крај сваког од штапова паралелна са дужи која спаја преостале крајеве штапова (види 83. страну).


1) Дуж AB се централном симетријом у односу на C слика у дуж A1B1.

2) Права p(B, C) се централном симетријом у односу на A пресликава у саму себе, јер садржи центар симетрије, A p(B, C).

A

B

C

K2

SK1 K3 K4

O

AB

C

E

A1D

D1

C1

B1E1

A

B

C A1

B1

CBA B1 A1

Централна симетрија

33


A A1

B

C

A

B B1

C

A B

C C1

C1

B1

A1

C1

A1B11) 2) 3)


O

A

B

B1

A1


0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6

O S O1

O S O1

O O1S

1)

2)

3)

троугао троугао симетричан у односу на O

ABO A1B1OBA1O B1AOOA1B1 OABBB1A1 B1BAABA1 A1B1A

34


1) Јесте централносиметрично слово. 2) Јесте централносиметрично слово.

3) Није централносиметрично слово. 4) Јесте централносиметрично слово.

A

BC B1

1) 2) 3)A

B C1

C

A C1

B

C

A1

A1

A1

C1

B1

B1

A

B

C

1) 2) 3)A

B

C

A

B

C

A1

A1

A1


1) Ако се буба помери за 4 cm нагоре, појешће жути лист.

2) Да би појела црвени лист, буба треба да се помери удесно за 4 cm.


1) Тачке K1, L1, N1 јесу колинеарне.

2) KN = K1N1


Следећи парови дужи описују исто кретање тачака: AB и IJ , CD и KL , GH и EF , PQ и MN.



A

BK L

MN

O

K1L1

M1

N1

O1

Транслација

35


O

1) 2) 3)

A

B A1

O1

B1

O B1

A O1

B

A1

O A1

A

B O1

B1





Сви четвороуглови су паралелограми.


Крајеви седишта су причвршћени двема паралелним и једнаким шипкама. На тај начин је образован паралелограм – четвороугао чије су сваке две наспрамне странице паралелне и једнаке.


Четвороугао KQLP јесте паралелограм, јер се његове дијагонале KL и PQ међусобно полове.


Четвороугао UTVS јесте паралелограм, јер се његове дијагонале UV и ST међусобно полове.


Четвороугао ABA1B1 је паралелограм, јер се његове дијагонале AA1 и BB1 међусобно полове. У паралелограму ABA1B1, наспрамне странице AB и A1B1 су једнаке и паралелне.

Ap

q C

p1

q1

B

D

Паралелограм

36


D1

A BA1

CD1D1) C1

C1

B1 AB1B

CDC1

A B

CB1DA1

D

A B

CA1

D

2)

A1

D1

13) 4) C1

B1


У паралелограму ABCD, дијагонале AC и BD се међусобно полове. Такође, у паралелограму APCQ, дијагонале AC и PQ се међусобно полове. То значи да се међусобно полове и дужи BD и PQ које су дијагонале четвороугла PBQD. Дакле, PBQD је паралелограм.


У паралелограму ABCD, наспрамне странице AB и CD су једнаке и паралелне. Такође, у паралелограму ABQP, наспрамне странице AB и PQ су једнаке и паралелне. То значи да су једнаке и паралелне дужи PQ и CD које су наспрамне странице четвороугла PQCD. Дакле, PQCD је паралелограм.

37

∢aOb (конвексан угао)O

b

a K L

MN

∢aOb (конвексан угао)O

b

a K L

MN


Најдаље ће да добаци дечак који гуму праћке затегне под најмањим углом.


Углови четвороугла KLMN су: KLM, LMN, MNK, NKL.



O

p

Sa

bq1

q2

А BO x T t1

a

b

y

z

p

q

t2

1) 2) 3)

УГАО

Појам угла

A B

C D

AB CD

AB

CD

1)

2)

AB CDAB

AB

CD

AB

3)

4)


Конструктивно сабирање и одузимање углова

38




Ако је aOb < pSq, онда је упоредни угао угла aOb већи од угла упоредног углу pSq.


1) Исказ „Збир правог и оштрог угла је туп угао” јесте тачан.

2) Исказ „Збир два оштра угла је увек оштар угао” није тачан.

3) Исказ „Збир два права угла је опружен угао” јесте тачан.

4) Исказ „Разлика правог и оштрог угла је оштар угао” јесте тачан.

1) 2) 3) 4)

+2

2 +2+

1) 2)

2

разлика опруженог угла и угла

A B

C

D

оштар

туп

прав

туп

Врсте углова


39

O p

q

O p

qr

O p

qr

1)

O p

q

O p

q

r

O p

q

r2)


A

a

B

b

45° 20° 120°0

155°

010

2030

40

5060

708090100110

120

130

140

150

160

170

180

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14cm

010

2030

40

5060

708090100110

120

130

140

150

160

170

180

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14cm

010

2030

40

5060

708090100110

120

130

140

150

160

170

180

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14cm

010

2030

40

5060

708090100110

120

130

140

150

160

170

180

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14cm


4 h 5 min 50 s = 4 ∙ 3 600 s + 5 ∙ 60 s + 50 s = 14 750 s

Наташа је истрчала Београдски маратон за 14 750 секунди.


Све три песме трају 29 минута и 3 секунде.



1) 30°; 2) 60°; 3) 90°;

4) 120°; 5) 150°; 6) 180°.

Мерење углова


Филм је почео у 20 сати и 15 минута.


α = 55°, β = 130°, γ = 140°


1) α = 30° 1’ = 1 801’, β = 301’ = 5° 1’ : α > β;

2) α = 20’ = 1 200’’, β = 200’’ = 3’ 20’’ : α > β;

3) α = 2° 1’, β = 120’ 1’’ = 2° 1’’ : α > β;

4) α = 400’ = 24 000’’, β = 4 000’’ = 66’ 40’’: α > β.

40


α + β = 94°, 2α – β = 62°


1) 20° 28’ 58’’;2) 15° 54’ 33’’;3) 108° 7’ 30’’.


1) α + β = 18° 43’’; 2) α + β = 37° 55’;

3) α + β = 121° 26’ 34’’; 4) α + β = 60°.


1) 9° 12’ 30’’;2) 1° 33’ 39’’; 3) 55’ 18’’.


1) α – β = 59° 59’; 2) α – β = 22’ 58’’;

3) α – β = 11° 59’ 48’’; 4) α – β = 12° 58’ 49’’;

5) α – β = 4° 59’ 45’’.


1) 22° 14’ 38’’; 2) 14° 36’ 34’’;

3) 60° 33’ 12’’; 4) 2° 3’ 51’’;

5) 69° 58’ 25’’; 6) 68° 11’ 16’’.


α + β = 146°


95°


α = 99° 30’


1) a2Ob2 = 142°; 2) a2Ob2 = 142°;

3) a2Ob2 = 38°; 4) a2Ob2 = 38°.


1) α = 142° 45’, β = 37° 15’, γ = 142° 45’;

2) α = 90°, β = 90°, γ = 90°;

3) α = 50°, β = 40°, γ = 50°; 4) α = 57°, β = 57°, γ = 33°;

5) α = 35°, β = 55°, γ = 90°; 6) α = 60°, β = 80°, γ = 40°.

Угао између две праве


P Ppp Pp 75°75°

q

1)

P Ppp 43°

q

2)

Pp 43°

010

2030

40

5060

708090100110

120

130

140

150

160

170

180

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14cm

010

2030

40

5060

708090100110

120

130

140

150

160

170

180

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14cm


pOb = 51°


1) Два угла су по 101°, а друга два по 79°.



41

p

P

p

P

p

P

01

2cm


Погледај 109. страну у уџбенику.

3) Праве a и b јесу паралелне.



p

Qq

p

Qq

p

q

P P

01

2cm


Конструкција је приказана на 110. страни у уџбенику.


Тражена тангента кружнице је нормала на праву p(S, A) у тачки A.

k(О, 3 cm)A

B

t1

t2

О0 1 2 3cm


42

p

A

p

A

p

k(P, 3 cm)

01

23

cm



1) φ = 38°, ψ = 142°; 2) φ = 66°, ψ = 114°;

3) φ = 107° 30’, ψ = 107° 30’; 4) φ = 100° 15’, ψ = 79° 45’.



P Ppp

23°23°A A

Pp

Aq2q1

q2q1a1 a2

010

2030

40

5060

708090100110

120

130

140

150

160

170

180

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14cm

Углови на трансверзали


1) α = 99°; 2) α = 81°.


1) α = 103°; 2) α = 132°; 3) α = 60°; 4) α = 107°.


1) α = 54°; 2) α = 126° 3) α = 54°; 4) α = 126°.

A B54°

C D

E

A B54°

CD

E

A B54°

CD

E

A B54°

CD

E

A B54°

C D

E

1) 2) 3) 4)

43


Углови са паралелним крацима су једнаки или суплементни. Углови са паралeлним крацима поменути у поставци задатка нису једнаки, па су дакле суплементни. Ако их означимо α и β, при чему је α < β, онда је β = α + 2°. Из α + β = α + α + 2°= 180°, односно 2α + 2°= 180°, добијамо да је α = 89°. Дакле, β = 91°.

Углови паралелограма

A B

C

OA1

B1

C1

A B

C

O A1

B1

C1



CAB = C1A1B1, ABC = A1B1C1, BCA = B1C1A1.

CAB = C1A1B1, ABC = A1B1C1, BCA = B1C1A1.


Два наспрамна угла паралелограма су по 101°, а друга два су по 180° – 101° = 79°.


Два наспрамна угла паралелограма су по 65°, а друга два су по 115°.


Наспрамни углови паралелограма су једнаки, па ако је један од њих прав, онда је и наспрамни угао прав. Суседни углови паралелограма су суплементни, па ако је један од њих прав, онда је прав и њему суседни угао.


1) 52°; 2) 52°.

44


РАЗЛОМЦИ

Појам разломка


1 dm = 110

m, 3 cm = 3100

m, 37 mm = 371 000

m


Чоколада има 4 ∙ 6 = 24 „коцкице”. Једну четвртину чоколаде чини 24 : 4 = 6 „коцкица”, а три четвртине чоколаде чини 6 ∙ 3 = 18 „коцкица”, као што је приказано на слици десно.



У свакој чаши ће бити 310

ℓ сока.


а) 1 : 5 = 15

, 3 : 7 = 37

, 4 : 9 = 49

и 11 : 8 = 118

.

б) 25

= 2 : 5, 16

= 1 : 6, 179

= 17 : 9 и 1310

= 13 : 10.

1cm

25

310

14

1

34

13

34

35

910

712


Задатак има више (бесконачно много) решења, а једно од њих је следеће:

1 = 11

= 22

= 101101

, 2 = 21

= 63

= 5025

, 3 = 31

= 186

= 6020

и 5 = 51

= 204

= 6513

.

45


Када је бројилац (различит од броја 0) дељив имениоцем, онда је разломак једнак неком природном броју. У супротном, када бројилац није дељив имениоцем, онда разломак није једнак неком природном броју. Како важи 1 | 2 011, 2 | 2 012, 3 | 2 013, 4 |/ 2 014,

5 | 2 015, 9 |/ 2 018, 10 |/ 2 019 (Зашто?), закључујемо да разломци 2 0144

, 2 0189

и 2 01910

нису природни бројеви.


Уочавамо да је 42

= 2, 8016

= 5, 12111

= 11 и 23

, 32

, 24

, 1230

, 3012

, 8215

N. Зато пишемо:

{ 23

, 32

, 24

, 42

, 1230

, 3012

, 8215

, 8016

, 12111 } = { 4

2, 80

16, 121

11 } { 23

, 32

, 24

, 1230

, 3012

, 8215 }.


Уочавамо да је

2 m : 5 = 25

m, 20 dm : 5 = 205

dm = 4 dm, 200 cm : 5 = 2005

cm = 40 cm.

Према томе, свака од другарица ће добити 25

m траке, односно 4 dm, односно 40 cm траке.


Код разломака 13

, 27

, 57

, 79

, 1927

бројилац је мањи од имениоца, па су то прави разломци.

Код разломака 87

, 32

, 53

, 2719

, 5736

бројилац је већи од имениоца, па су то неправи

разломци. Зато пишемо:

{ 13

, 27

, 57

, 87

, 79

, 32

, 53

, 2719

, 1927

, 5736 } = { 1

3, 2

7, 5

7, 7

9, 19

27 } { 87

, 32

, 53

, 2719

, 5736 }.


Задатак има више (бесконачно много) решења, а једно од њих је следеће:

1718

, 17100

, 17386

јесу прави разломци чији је бројилац једнак 17;

1817

, 11117

, 10 00017

јесу неправи разломци чији је именилац једнак 17.


а) 74

= 1 34

; б) 115

= 2 15

; в) 329

= 3 59

.

46


72

= 3 12

, 103

= 3 13

, 114

= 2 34

, 316

= 5 16

, 13710

= 13 710

, 3512

= 2 1112


19 dm = 1 910

m, 303 cm = 3 3100

m, 1 111 mm = 1 1111 000

m


а) 92

= 4 12

, 4 < 92

< 5, n = 4; б) 185

= 3 35

, 3 < 185

< 4, n = 3;

в) 334

= 8 14

, 8 < 334

< 9, n = 8; г) 10310

= 10 310

, 10 < 10310

< 11, n = 10;

д) 14512

= 12 112

, 12 < 14512

< 13, n = 12.


3 13

= 103

, 4 78

= 398

, 7 35

= 385

, 11 38

= 918


Можемо да напунимо 13 чаша запремине 1 dℓ, јер је 1 310

ℓ = 1310

ℓ = 13 dℓ.


Бројевна полуправа


Из OA = 10 cm и OA = 2 ∙ OB следи да је OB = 10 : 2 = 5 cm. Слично, из OA = 10 cm и OA = 5 ∙ OC следи да је OC = 10 : 5 = 2 cm.

610 118

1cm

О АBC p

47


а)

б)

в)


а)

б)

0 1

0 1

0 1

38

47

78

57

310

710

0 1 2 3 4

0 1 232

1 35

1 23

2 16

74

134


На основу слике испод видимо да два цртежа заставе (други и трећи слева) задовољавају тражени услов.


Није тешко уочити да је 12

= 24

= 48

(види

слику десно), па закључујемо да су свe троје купили једнаке количине бурека.

Проширивање и скраћивање разломака

12

24

48

1020

= 12

1220

= 35

1220

= 35

1020

= 12

48


Задатак има више (бесконачно много) решења, а једно од њих је следеће.

а) 12

= 36

= 2040

; б) 56

= 2024

= 4048

; в) 310

= 930

= 3001 000

.


а) 12

= 24

, 12

= 510

, 12

= 714

, 12

= 1020

;

б) 56

= 1012

, 56

= 2530

, 56

= 3542

, 56

= 5060

;

в) 310

= 620

, 310

= 1550

, 310

= 2170

, 310

= 30100

.


а) Тврђење 12

= 38

није тачно, јер је 1 ∙ 3 = 3, а 2 ∙ 3 ≠ 8 (или 2 ∙ 4 = 8, а 1 ∙ 4 ≠ 3).

б) Тврђење 45

= 1625


в) Тврђење 59

= 2036

јесте тачно, једнакост се добија када се разломак 59

прошири са 4.

г) Тврђење 58

= 2040


д) Тврђење 27

= 1654

није тачно, јер је 2 ∙ 8 = 16, а 7 ∙ 8 ≠ 54.


а) 215

= 860

и 512

= 2560

; б) 215

= 60450

и 512

= 60144

.


а) НЗС(15, 25) = 75, 815

= 4075

и 925

= 2775

;

б) НЗС(8, 9) = 72, 815

= 72135

и 925

= 72200

.


Дате разломке можемо скратити на више начина, навешћемо све могућности.

а) 2452

= 1226

, 2452

= 613

; б) 1575

= 525

, 1575

= 315

, 1575

= 15

; в) 45150

= 1550

, 45150

= 930

, 45150

= 310

.

49


а) 2840

= 1420

, 2840

= 710

; разломак 2840

се не може скратити са 5 (5 |/ 28), а ни са 8 (8 |/ 28).

б) 3560

= 712


се не може скратити са 2, 4 и 8 (2 |/ 35, 4 |/ 35, 8 |/ 35, 8 |/ 60).

в) 56128

= 2864

, 56128

= 1432

, 56128

= 716


се не може скратити са 5 (5 |/ 56, 5 |/ 128).


На основу НЗД(1, 5) = 1, НЗД(8, 9) = 1, НЗД(39, 169) = 13, НЗД(64, 81) = 1, НЗД(49, 56) = 7,

закључујемо да се разломци 15

, 89

и 6481

не могу скраћивати.


а) 615

= 25

, НЗД(6, 15) = 3; б) 1533

= 511

, НЗД(15, 33) = 3;

в) 3550

= 710

, НЗД(35, 50) = 5; г) 6045

= 43

, НЗД(60, 45) = 15;

д) 75200

= 38

, НЗД(75, 200) = 25; ђ) 34060

= 173

, НЗД(340, 60) = 20.


а) Јесте тачно, јер је 64

= 6 : 24 : 2

= 32

. Наравно, до истог закључка долазимо ако уочимо да

важи 6 ∙ 2 = 4 ∙ 3.

б) Није тачно, јер је 4 ∙ 3 ≠ 2 ∙ 9.

в) Није тачно, јер је 25 ∙ 5 ≠ 2 ∙ 55. Уочимо и да је 2555

= 511

и 511

≠ 25

.

г) Јесте тачно, јер је 2255

= 25

и 222555

= 25

. Наравно, до истог закључка долазимо ако

уочимо да важи 22 ∙ 555 = 222 ∙ 55.

д) Није тачно, јер је 32 ∙ 99 ≠ 66 ∙ 54. Уочимо и да је 3266

= 1633

, 5499

= 611

и 1633

≠ 611

.


а) 13

< 23

; б) 58

< 78

; в) 109

> 59

; г) 1710

> 1110

.


а) 15

< 14

; б) 52

> 58

; в) 109

> 1019

; г) 1710

> 17100

.

Упоређивање разломака

50


У сваком конкретном случају, према томе шта нам се чини једноставнијим за рад, бирамо да ли ћемо разломке сводити на једнаке имениоце или на једнаке бројиоце.

a) Уочавамо да је НЗС(5, 10) = 10 и 35

= 610

. На основу 610

< 710

следи да је 35

< 710

.

б) Уочавамо да је НЗС(2, 4) = 4 и 27

= 414


< 49

следи да је 27

< 49

.

в) Уочавамо да је НЗС(9, 11) = 99, 79

= 7799

и 911

= 8199


< 8199

следи

да је 79

< 911

.

г) Уочавамо да је НЗС(12, 15) = 60, 512

= 2560

и 715

= 2860


< 2860

следи

да је 512

< 715

.

д) Уочавамо да је 1824

= 34

и 2736

= 34

, па је јасно да је 1824

= 2736

.

б) На основу графичког приказа датог

испод видимо да је 34

= 3040

и 710

= 2840

.

Зато на основу 3040

> 2840

закључујемо

да је 34

> 710

.

а) На основу графичког приказа датог

испод видимо да је 35

= 915

и 23

= 1015

.

Зато на основу 915

< 1015

закључујемо

да је 35

< 23

.


35

34

23

915

710

3040

2840

1015


Прво сводљиве разломке скратимо и неправе разломке преведемо у мешовите бројеве: 1220

= 35

, 3045

= 23

, 1326

= 12

, 3525

= 75

= 1 25

и 43

= 1 13

. Дакле, међу датим разломцима

једнаки су: 35

и 1220

, 12

и 1326

. Затим уочавамо да је НЗС(2, 3, 5, 15) = 30

и 12

= 1530

, 23

= 2030

, 1 13

= 1 1030

, 35

= 1830

, 815

= 1630

, 1 25

= 1 1230

.

На основу 1530

< 1630

< 1830

< 2030

< 1 1030

< 1 1230

следи 12

< 815

< 35

< 23

< 1 13

< 1 25

.

10

12

35

23

1 13

1 25

815

51


a) 2 45

> 1 910

.

б) На основу 3 29

= 3 627

, 3 310

= 3 620

и 627

< 620

следи 3 29

< 3 310

.

в) Уочавамо да је 5112

= 174

= 4 14

, па је 5112

> 3 1315

.

г) Уочавамо да је 736

= 12 16

и 918

= 11 38

, па је 736

> 918

.

д) Уочавамо да је 9718

= 5 718

, 14728

= 214

= 5 14

и 718

> 14

, па је 9718

> 14728

.


Како је 198

= 2 38

, 189

= 2, 199

= 2 19

, 2011

= 1 911

, 2110

= 2 110

и 2713

= 2 113

, закључујемо да

од датих разломака 198

, 189

, 199

, 2110

и 2713

нису мањи од 2.


a = 8 cm = 8100

m O = 4a = 4 ∙ 8 = 32 cm = 32100

m

P = 6a2 = 6 ∙ 82 = 6 ∙ 64 = 384 cm2 = 38410 000

m2 V = a3 = 83 = 512 cm3 = 5121 000 000

m3

Децимални запис разломака


а) 310

= 0,3; 510

= 0,5; 2 910

= 2,9; 3110

= 3 110

= 3,1.

б) 3100

= 0,03; 8100

= 0,08; 27100

= 0,27; 10 1100

= 10,01; 5 81100

= 5,81, 123100

= 1 23100

= 1,23.

в) 61 000

= 0,006; 461 000

= 0,046; 2471 000

= 0,247; 9 11 000

= 9,001; 5 451 000

= 5,045;

4 9991 000

= 4,999; 2 3031 000

= 2 3031 000

= 2,303.


a = 8 cm = 8100

m = 0,08 m O = 32 cm = 32100

m = 0,32 m

P = 384 cm2 = 38410 000

m2 = 0,0384 m2 V = 512 cm3 = 5121 000 000

m3 = 0, 000512 m3

52


а) 0,4 = 410

; 0,7 = 710

; 1,5 = 1510

= 1 510

; 23,3 = 23310

= 23 310

.

б) 0,37 = 37100

; 1,07 = 107100

= 1 7100

; 1,16 = 116100

= 1 16100

; 2,33 = 233100

= 2 33100

.

в) 3,033 = 3 0331 000

= 3 331 000

; 5,555 = 5 5551 000

= 5 5551 000

; 2,018 = 2 0181 000

= 2 181 000

.

г) 3,0033 = 30 03310 000

= 3 3310 000

; 2,2019 = 22 01910 000

= 2 2 01910 000

.


а) 0,6 = 35

; б) 1,4 = 75

; в) 2,5 = 52

; г) 0,05 = 120

; д) 0,75 = 34

; ђ) 0,875 = 78

.


a) 45

= 0,8; б) 34

= 0,75; в) 725

= 0,28; г) 2 950

= 2,18; д) 338

= 4,125.


a) 13

= 0,333… = 0,(3) = 0,3. б) 16

= 0,1666… = 0,1(6) = 0,16.

в) 56

= 0,8333… = 0,8(3) = 0,83. г) 119

= 1,222… = 1,(2) = 1,2.

д) 3 215

= 3,1333… = 3,1(3) = 3,13.


а) OABCD = 4 ∙ AB = 4 ∙ 4 = 16 dm, PABCD = AB2 = 42 = 16 dm2

OPQRS = 2 ∙ (PQ + QR) = 2 ∙ (31 + 51) = 2 ∙ 82 = 164 cmPPQRS = PQ ∙ QR = 31 ∙ 51 = 1 581 cm2

б) Како је OPQRS = 164 cm = 16 410

dm, закључујемо да правоугаоник PQRS има већи обим

од квадрата ABCD. Како је PPQRS = 1 581 cm2 = 15 81100

dm2, закључујемо да квадрат ABCD

има већу површину од правоугаоника PQRS.

в) OABCD = 16 dm = 1,6 m, OPQRS = 164 cm = 1,64 mPABCD = 16 dm2 = 0,16 m2, PPQRS = 1 581 cm2 = 0,1581 m2

Упоређивање разломака у децималном запису

53


Реквизит Тежиналопта за фудбал 0,42 kgлопта за кошарку 0,635 kgлопта за одбојку 0,273 kgдиск (за бацање) 1,25 kgкопље (за бацање) 0,8 kg


a) б)


a) 33,4 > 3,4; б) 1,04 > 0,97; в) 6,111 > 5,777; г) 0,4 < 0,7;

д) 0,04 < 0,07; ђ) 0,004 < 0,007; е) 0,42 > 0,41; ж) 0,532 > 0,531;

з) 0,9835 > 0,9833; и) 0,357 < 0,413; ј) 0,468 < 0,53; к) 0,035 < 0,23.


a) 0,19 < 0,9 < 0,99 < 1,2 < 1,9 < 3,001 < 30,01; б) 0,35 < 2,3 < 3,03 < 3,2 < 3,5 < 40,09 < 400,1.

10 0,35 0,87 1,11

0,78

0,1

10 0,42 0,8 1,250,6350,2731cm


а) 1,212 ≈ 1,21; 1,255 ≈ 1,26; 1,313 ≈ 1,31; 1,366 ≈ 1,37. У сва четири случаја грешка је мања од 0,01.

б) 1,2507 ≈ 1,25; 1,2893 ≈ 1,29; 1,3335 ≈ 1,33. У сва три случаја грешка је мања од 0,01.

1,2507 ≈ 1,251; 1,2893 ≈ 1,289; 1,3335 ≈ 1,334. У сва три случаја грешка је мања од 0,001.


а) 8,346 ≈ 8,35; б) 91,871 ≈ 91,87; в) 0,045 ≈ 0,04; г) 0,055 ≈ 0,06;

д) 11,6511 ≈ 11,65; ђ) 0,333... = 0,(3) ≈ 0,33; е) 18,598 ≈ 18,60.

Заокругљивање децималних бројева

54


а) 13

+ 13

= 23

; б) 18

+ 38

= 48

= 12

; в) 37

+ 117

= 147

= 2; г) 911

+ 811

= 1711

= 1 611

.


17

+ ( 17

+ 17 ) = 1

7 + 2

7 = 3

7

За два дана Милица је прочитала 37

књиге.

Сабирање разломака


14

+ 35

= 520

+ 1220

= 1720

12

+ 27

= 714

+ 414

= 1114

16

+ 38

= 848

+ 1848

= 2648

= 1324


а) 33,333333 ≈ 33,3333; 33,(3) ≈ 33,3333; 0,666666 ≈ 0,6667; 0,(06) ≈ 0,0606; 899,914555 ≈ 899,9146. У свих пет случајева грешка је мања од 0,0001.

б) 33,333333 ≈ 33,333; 33,(3) ≈ 33,333; 0,666666 ≈ 0,667; 0,(06) ≈ 0,061; 899,914555 ≈ 899,915. У свих пет случајева грешка је мања од 0,001.

в) 33,333333 ≈ 33,33; 33,(3) ≈ 33,33; 0,666666 ≈ 0,67; 0,(06) ≈ 0,06; 899,914555 ≈ 899,91. У свих пет случајева грешка је мања од 0,01.

г) 33,333333 ≈ 33,3; 33,(3) ≈ 33,3; 0,666666 ≈ 0,7; 0,(06) ≈ 0,1; 899,914555 ≈ 899,9. У свих пет случајева грешка је мања од 0,1.

д) 33,333333 ≈ 33; 33,(3) ≈ 33; 0,666666 ≈ 1; 0,(06) ≈ 0; 899,914555 ≈ 900. У свих пет случајева грешка је мања од 1.

55

12

+ 16

= 36

+ 16

= 46

= 23

38

+ 310

= 1540

+ 1240

= 2740


а) 23

+ 34

= 812

+ 912

= 1712

= 1 512

;

б) 45

+ 14

= 1620

+ 520

= 2120

= 1 120

;

в) 710

+ 56

= 4260

+ 5060

= 9260

= 2315

= 1 815

.



а) 35

+ 710

= 610

+ 710

= 1310

= 1 310

; б) 18

+ 524

= 324

+ 524

= 824

= 13

;

в) 116

+ 415

= 5530

+ 830

= 6330

= 2110

= 2 110

; г) 715

+ 512

= 2860

+ 2560

= 5360

.


14

+ 710

= 520

+ 1420

= 1920

За два сата напуњено је 1920

запремине базена.


а) 7 < 5 13

+ 2 13

< 9, 5 13

+ 2 13

= 7 23

;

б) 11 < 1 58

+ 10 18

< 13, 1 58

+ 10 18

= 11 68

= 11 34

.

56


Процени вредност збира, па израчунај:

а) 4 < 3 13

+ 1 23

< 6, 3 13

+ 1 23

= 4 33

= 5;

б) 7 < 4 78

+ 3 58

< 9, 4 78

+ 3 58

= 7 128

= 8 48

= 8 12

;

в) 6 < 5 715

+ 1 1315

< 8, 5 715

+ 1 1315

= 6 2015

= 7 515

= 7 13

.


а) 6 < 3 12

+ 3 23

< 8, 3 12

+ 3 23

= 3 36

+ 3 46

= 6 76

= 7 16

;

б) 7 < 5 38

+ 2 1118

< 9, 5 2772

+ 2 4472

= 7 7172

;

в) 3 < 1 712

+ 2 916

< 5, 1 712

+ 2 916

= 1 2848

+ 2 2748

= 3 5548

= 4 748

.


а) 23

– 13

= 13

; б) 79

– 29

= 59

; в) 258

– 178

= 88

= 1; г) 3124

– 524

= 2624

= 1 112

.


Како је 34

– 14

= 24

= 12

, 24

– 14

= 14

и 14

– 14

= 0, после једног сата у безену је остала једна

половина његовог капацитета, после два сата једна четвртина његовог капацитета, а после три сата више није било воде у базену.


а) 34

– 23

= 912

– 812

= 112

; б) 73

– 56

= 146

– 56

= 96

= 1 12

;

в) 1321

– 514

= 2642

– 1542

= 1142

; г) 935

– 215

= 27105

– 14105

= 13105

.


34

– ( 18

+ 18 ) = 3

4 – 2

8 = 3

4 – 1

4 = 2

4 = 1

2

Након што су Љубица и њен брат доручковали, остала је половина бурека.

Одузимање разломака

57


а) 0 < 2 56

– 1 16

< 2, 2 56

– 1 16

= 1 46

= 1 23

;

б) 1 < 3 18

– 1 18

< 3, 3 18

– 1 18

= 2;

в) 4 < 5 37

– 27

< 6, 5 37

– 27

= 5 17

.


а) 10 < 12 16

– 1 56

< 12, 12 16

– 1 56

= 11 76

– 1 56

= 10 26

= 10 13

;

б) 0 < 2 310

– 1 710

< 2, 2 310

– 1 710

= 1 1310

– 1 710

= 610

= 35

;

в) 2 < 3 57

– 67

< 4, 3 57

– 67

= 2 127

– 67

= 2 67

.


а) 2 < 4 56

– 1 35

< 4, 4 56

– 1 35

= 4 2530

– 1 1830

= 3 730

;

б) 3 < 9 110

– 5 115

< 5, 9 110

– 5 115

= 9 330

– 5 230

= 4 130

;

в) 2 < 5 320

– 2 1325

< 4, 5 320

– 2 1325

= 5 15100

– 2 52100

= 4 115100

– 2 52100

= 2 63100

.


а) 5,1 + 1,6 = 5 + 110

+ 1 + 610

= 5 + 1 + 110

+ 610

= 6 + 710

= 6,7;

б) 12,45 + 8,3 = 10 + 2 + 410

+ 5100

+ 8 + 310

= 20 + 710

+ 5100

= 20,75.


а) 5,1 + 6,1 = 11,2; б) 12,45 + 8 = 20,45; в) 45,9 + 15,6 = 61,5;

г) 22,9 + 5,33 = 28,23; д) 123,45 + 87,65 = 211,1; ђ) 414,65 + 78,2 = 492,85;


Мајин рачун у продавници је износио 283,84 динара.

Сабирање и одузимање разломака у децималном запису

58


а) 46,8 – 7,3 = 39,5; б) 118,69 – 54,19 = 64,5; в) 205,409 – 25,31 = 180,099;

г) 29,7 – 4,155 = 25,545; д) 34,69 – 19 = 15,69; ђ) 99 – 17,17 = 81,83.


Како је 4,32 – 4,05 = 0,27; 4,53 – 4,32 = 0,21 и 4,71 – 4,53 = 0,18, Анђела је највише поправила своје оцене у другом тромесечју првог полугодишта.


а) Својство комутативности сабирања, a + b = b + a. б) Својство асоцијативности сабирања, (a + b) + c = a + (b + c).


а) 211

+ 511

+ 911

= 1 511

; б) 12

+ 25

+ 67

= 1 5370

;

в) 1114

+ 310

+ 635

= 1 935

; г) 3 25

+ 2 12

+ 6 14

= 12 320

.


а) 1,41 + 0,37 + 30,06 = 31,84; б) 77,56 + 4,19 + 7,9 = 89,65;

в) 133,99 + 20,002 + 1,5 + 15,24 = 170,732.


а) 3 34

+ 710

+ 2 14

= 3 34

+ 2 14

+ 710

= 6 + 710

= 6 710

;

б) 2 56

+ 4 29

+ 12 16

+ 10 89

= 2 56

+ 12 16

+ 4 29

+ 10 89

= 15 + 15 19

= 30 19

;

в) 0,7 + 4,897 + 3,3 = 4,897 + 0,7 + 3,3 = 4,897 + 4 = 8,897.


а) Израз 415

– ( 712

– 13 ) је разлика броја 4

15 и разлике бројева 7

12 и 1

3.

415

– ( 712

– 13 ) = 4

15 – ( 7

12 – 4

12 ) = 415

– 312

= 415

– 14

= 1660

– 1560

= 160

Основна својства сабирања и одузимања

415

712

13

14

160

3 47

1721

23

1 1021

2 221

59

415

712

13

14

160

3 47

1721

23

1 1021

2 221

б) Израз 3 47

– ( 1721

+ 23 ) је разлика броја 3 4

7 и збира бројева 17

21 и 2

3.

3 47

– ( 1721

+ 23 ) = 3 4

7 – ( 17

21 + 14

21 ) = 3 47

– 3121

= 3 1221

– 1 1021

= 2 221

в) Израз 5 49

– 512

– ( 715

– 25 ) је разлика разлике бројева

5 49

и 512

и разлике бројева 715

и 25

.

5 49

– 512

– ( 715

– 25 ) = 5 16

36 – 15

36 – ( 7

15 – 6

15 ) = 5 136

– 115

=

= 5 5180

– 12180

= 4 185180

– 12180

= 4 173180

г) Израз 45 – 2,45 – (2,8 + 0,03) је разлика разлике бројева 45 и 2,45 и збира бројева 2,8 и 0,03. 45 – 2,45 – (2,8 + 0,03) = 42,55 – 2,83 = 39,72

2,32,4545 2,8 1,080,03

42,55 2,83

39,72

5 49

512

715

25

5 136

115

4 173180


а) 9,1 – 3,01 + 10,6 = 16,69; б) 7,147 – (0,88 + 5,005) = 1,262;

в) 22,13 + 1,974 – (1,11 + 11,1) = 11,894; г) 14,8 – 0,72 – (8,88 – 0,676) = 5,876.


а) 2894,69953; б) 834,65075; в) 800,11177.


а) 2325

+ 0,08 – 34

= 0,92 + 0,08 – 0,75 = 0,25; б) 3 13125

– 2,4 + 215

= 3 39375

– 2 150375

+ 50375

= 314375

.


а) 5 25

– 3,5 + 5 25

+ 3,5 = 10,8; б) 7,7 – (1,03 + 0,98) = 5,69;

в) 1516

– 712

+ 2,075 = 2 103240

; г) 1720

+ 58

– 45

= 2740

.


а) 1,3 + 4,5 = 5,8, 10 712

– 1,3 = 9 1760

; б) 2 815

+ 4,5 = 7 130

, 10 712

– 2 815

= 8 120

;

в) 1625

+ 4,5 = 5,14, 10 712

– 1625

= 9 283300

.

60


а) 20,17 – 2,017 + 201,7 = 219,853; б) 2 – 215

+ 120

= 1 1112

.


а) O = 3,2 + 1,5 + 2,1 = 6,8 cm; б) O = 0,083 + 0,115 + 0,044 = 0,242 m.


Како је 14

+ 710

= 1920

< 1, треба наставити пуњење базена.


Како је 15

+ ( 15

+ 18 ) + ( 1

5 + 1

8 – 1

9 ) = 133180

> 12

, закључујемо да је Дуњи остало да до краја

књиге прочита мање страна него што је већ прочитала.


На пример: Јован је у продавници купио кифлу чија је цена 33,99 динара, папирнате марамице које коштају 11,5 динара и јогурт чија је цена 51,75 динара. Ако је продавачици дао 100 динара, колики кусур треба да очекује?


а) 43 + x = 82

x = 82 – 43

x = 39;

б) x – 67 = 102

x = 102 + 67

x = 169;

в) 707 – x = 256

x = 707 – 256

x = 451.


а) Непознати сабирак одређујемо тако што од збира одузмемо познати сабирак.

б) Непознати умањеник одређујемо тако што разлику саберемо са умањиоцем.

в) Непознати умањилац одређујемо тако што од умањеника одузмемо разлику.


а) x = 0,65; б) x = 16,75; в) x = 5 110

; г) x = 4 2930

.


а) x = 3 12

; б) x = 24,9; в) x = 1 3160

; г) x = 0,383.

Једначине

61


а) x = 7 112

; б) x = 8,3; в) x = 3760

; г) x = 3,58.



Како је 86,5 – 78,43 = 8,07, зарада трговца по једном комаду тог производа је 8,07 динара.


Продавцу је остало да прода 2645

недељне

поруџбине, јер је 1 – ( 15

+ 29 ) = 26

45.


Како је 0,005 kg = 5 g и 5 – 3,567 = 1,433, закључујемо да апотекар треба да дода још 1,433 g прашка за прављење лека.

Задатак 11. (158. страна) На пример: Бициклиста је кренуо да пређе етапу од 30,5 km. Колики пут је прешао, ако још треба да пређе 22,4 km?


Поставци задатка одговара једначина x – 12

= 17

, где је x део резервоара који је био

испуњен пре истакања. Како је x = 914

, пре истакања у резервоару је било испуњено

914

његове запремине.

Задатак 13. (159. страна) Ако са x означимо новац који је Марко дао продавачици, онда је x – 12,87 = 5 + 2 + 0,1 + 0,01 + 0,01 + 0,01. Одатле добијамо да је x = 20, па закључујемо да је Марко продавачици дао две новчанице од по 10 евра.

Задатак 14. (159. страна) Ако са x означимо обим првобитног правоугаоника, онда се решавање задатка своди на решавање једначине x – 0,7 – 0,7 = 8,6. Одатле добијамо да је x = 10, тј. да је обим првобитног правоугаоника 10 cm.

Задатак 15. (159. страна) На пример: Бомбоне су појефтиниле 8,09 динара и сада коштају 56,5 динара. Колика је била цена бомбона пре појефтињења?

1

14

15

35

25

120

110

320

320

720

6,3

7,899

8,5

15,12

10,099

7,51

11,22

0,695

2,881

6,591

+ –

5,32412,92

2,2 4,629

62


Решавање задатка своди се на решавање једначине 12,375 – x = 2,905. Одатле добијамо да је x = 9,47, тј. тог месеца је продато 9,47 t жита из силоса.


Решавање задатка своди се на решавање једначине 45

– x = 18

. Одатле је x = 2740

, тј. у

вожњи је потрошено 2740

капацитета резервоара.


Решавање задатка своди се на решавање једначине 15,98 – x = 14,05. Одатле је x = 1,93, тј. за другу етапу Иви је требало 1,93 s више него за прву етапу.


На пример: Александар је на табли израчунао разлику два разломка, али је редар грешком избрисао део поступка, пре него што Јана стигла да препише. Јана је видела

да је умањеник 23

а коначан резултат 14

. Може ли она на основу тога да одреди разлику

којих бројева је Александар рачунао?


а) 51 + x > 101

x > 101 – 51

x > 50;

б) 51 + x < 101

x < 101 – 51

x < 50;

в) x – 11 > 25

x > 25 + 11, x ≥ 11

x > 36;

Неједначине

г) x – 11 < 25

x < 25 + 11, x ≥ 11

11 ≤ x < 36;

д) 1 000 – x > 555

x < 1 000 – 555, x ≤ 1 000

x < 445;

ђ) 1 000 – x < 555

x > 1 000 – 555, x ≤ 1 000

445 < x ≤ 1 000.


а) x < 1,8

б) x ≥ 10

в) x > 3 110

г) x ≤ 8 1112

00 1

00 1 1,8

2

1000 1 10

00 13

2 4

00 1 29

3 4 5 6 7 8

5 6 8 9 1173 42

3 110

8 1112

63


а) x > 4,3

б) x ≥ 2,975

в) 2 ≤ x ≤ 4 37

г) 4,6 ≤ x < 6,35


а) Задатак се своди на решавање неједначине 3 13

+ x < 10 16

. Решења су сви бројеви x

такви да је x < 6 56

.

б) Задатак се своди на решавање неједначине 3 13

+ x ≤ 5,2. Решења су сви бројеви x

такви да је x ≤ 1 1315

.

в) Задатак се своди на решавање неједначине 3 13

+ x ≥ 4 27

. Решења су сви бројеви x

такви да је x ≥ 2021

.


На основу поставке задатка формирамо неједначину 18,55 + x ≤ 23, где је са x означена тежина пртљага који се додаје. Добијамо да је x ≤ 4,45. Дакле, Драган може да дода још највише 4,45 kg.

00 1 32 4 4,3 5

00 1

3

2 4 52,975

00 1 2 3 4 54 37

00 1 2 3 4 5 6,35 764,6


а) Задатак се своди на решавање неједначине x – 5 712

> 1 115

. Решења су сви бројеви

x такви да је x > 6 1320

.

б) Задатак се своди на решавање неједначине x – 5 712

≥ 3 38

. Решења су сви бројеви

x такви да је x ≥ 8 2324

.


На основу поставке задатка формирамо неједначине x – 51,38 > 0,5, где је са x означен резултат атлетичарке. Добијамо да је x > 51,88. Дакле, атлетичарка је стазу претрчала за више од 51,88 s.

64

1

1

1

1

6

1

1

25

49 3

8

34

57


а)


а) x < 1 3160

б) x ≤ 6,5

в) 6,631 ≤ x ≤ 7,63

г) 2 2360

< x ≤ 3 815


На основу поставке задатка формирамо неједначину 23,48 – x < 2,5, где је са x означена количина песка коју треба продати. Добијамо да је 23,48 ≥ x > 20,98. Дакле, треба продати више од 20,98 t песка, а највише сву количину песка.


а) P = 2 cm ∙ 3 cm = 6 cm2

б) Дужине страница правоугаоника су 0,2 dm и 0,3 dm. Како је 6 cm2 = 0,06 dm2, закључујемо да је P = 0,2 dm ∙ 0,3 dm = 0,06 dm2.

Множење разломака

25

∙ 49

= 845

38

∙ 34

= 932

6 ∙ 57

= 307

00 1 32 4 6,55

00 1 2

6 7

00 1 32 4 5 76 87,636,631

00 2 41 3

1 3160

2 2360

3 815

б)

в)

65


а) 37

∙ 58

= 1556

; б) 23

∙ 79

= 1427

; в) 5 45

∙ 16

= 295

∙ 16

= 2930

; г) 2 34

∙ 1 12

= 114

∙ 32

= 338

= 4 18

.


а) 12

∙ 23

= 13

; б) 67

∙ 512

= 514

; в) 89

∙ 710

= 2845

; г) 1021

∙ 625

= 435

; д) 2732

∙ 1221

= 2756

;

ђ) 1 79

∙ 34

= 169

∙ 34

= 43

= 1 13

; е) 3 17

∙ 1 311

= 227

∙ 1411

= 4.


а) ab

= 51

; б) ab

= 32

.


а) 1 : 5 = 15

; б) На основу 15

∙ 51

= 1 следи да је 1 : 15

= 51

= 5;

в) На основу 23

∙ 32


= 32

;

г) На основу 23

∙ 32


= 23

.


а) 32

; б) 74

; в) 37

; г) 113

; д) 31.


а) 23

: 23

= 1; б) 45

: 13

= 45

∙ 31

= 125

= 2 25

;

в) 811

: 79

= 811

∙ 97

= 7277

; г) 710

: 25

= 710

∙ 52

= 74

= 1 34

;

д) 1522

: 56

= 1522

∙ 65

= 911

; ђ) 3950

: 13100

= 3950

∙ 10013

= 6;

е) 1 14

: 5 79

= 54

: 529

= 54

∙ 952

= 45208

; ж) 6 45

: 3 15

= 345

: 165

= 345

∙ 516

= 178

= 2 18

;

з) 14 : 7 12

= 14 : 152

= 141

∙ 215

= 2815

= 1 1315

.

Дељење разломака

66


2,155 m = 21,55 dm = 215,5 cm = 2 155 mmМерни број којим висину полице изражавамо у dm је 10 пута већи од мерног броја којим висину изражавамо у m. Сличне везе важе међу свим добијеним мерним бројевима.


а) 0,3426 ∙ 10 = 3,426; 0,3426 ∙ 100 = 34,26;0,3426 ∙ 1 000 = 342,6; 0,3426 ∙ 10 000 = 3 426.

б) 11,358 ∙ 10 = 113,58; 11,358 ∙ 100 = 1 135,8;11,358 ∙ 1 000 = 11 358 11,358 ∙ 10 000 = 113 580.

в) 101,52 ∙ 10 = 1 015,2; 101,52 ∙ 100 = 10 152;101,52 ∙ 1 000 = 101 520; 101,52 ∙ 10 000 = 1 015 200.


а) 1,2 ∙ 1,5 = 1,8; б) 1,9 ∙ 0,75 = 1,425; в) 0,9 ∙ 0,04 = 0,036; г) 3,63 ∙ 5,7 = 20,691.


а) 132,58 : 10 = 13,258; 132,58 : 100 = 1,3258;132,58 : 1 000 = 0,13258; 132,58 : 10 000 = 0,013258.

б) 0,345 : 10 = 0,0345; 0,345 : 100 = 0,00345;0,345 : 1 000 = 0,000345; 0,345 : 10 000 = 0,0000345.

в) 10 152,89 : 10 = 1 015,289; 10 152,89 : 100 = 101,5289;10 152,89 : 1 000 = 10,15289; 10 152,89 : 10 000 = 1,015289.

Множење и дељење разломака у децималном запису


У сва три случаја су направљене грешке при рачунању, дељење није замењено одговарајућим множењем и вршено је „унакрсно” скраћивање које није дозвољено. Испод су тачно израчунате вредности датих израза.

а) 43

: 3 = 43

∙ 13

= 49

б) 58

: 1415

= 58

∙ 1514

= 75112

в) 34

: 15

= 34

∙ 5 = 154

= 3 34


а)

1449

= 916

; б)

3567

= 710

; в)

6252155

= 2235

; г)

4276

= 281

; д) 634

= 8.

67


а) 57,3 : 3 = 19,1; б) 0,301 : 7 = 0,043; в) 322,69 : 23 = 14,03.


а) 1,2 : 0,8 = 1,5; б) 156,09 : 0,3 = 520,3; в) 0,9 : 0,015 = 60;

г) 59,364 : 0,22 = 269,8363636… = 269,8(36) = 269,836.


а) Својство комутативности множења, a ∙ b = b ∙ a.

б) Својство асоцијативности множења, (a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c).

в) Својство дистрибутивности множења према сабирању (дистрибутивни закон), a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c.


а) 38

∙ 56

∙ 17

= 5112

; б) 1738

∙ 1217

∙ 3845

= 415

;

в) 79

∙ 611

∙ 328

= 122

; г) 163

∙ 1136

∙ 1514

∙ 23

= 220189

= 1 31189

.


а) 15 ∙ ( 15

+ 113 ) = 15 ∙ 1

5 + 15 ∙ 11

3 = 3 + 55 = 58;

б) 317

∙ 1110

+ 317

∙ 15910

= 317

∙ ( 1110

+ 15910 ) = 3

17 ∙ 17 = 3;

в) 2,5 ∙ 23

– 23

∙ 1,4 = 23

∙ (2,5 – 1,4) = 23

∙ 1,1 = 23

∙ 1110

= 1115

;

г) (3,8 – 37 ) ∙ 14 = 38

10 ∙ 14 – 3

7 ∙ 14 = 266

5 – 6 = 53 1

5 – 6 = 47 1

5.


а) 425

∙ ( 47

– 18 ) = 4

25 ∙ ( 32

56 – 7

56 ) = 425

∙ 2556

= 114

Основна својства множења и дељења

425

47

18

2556

114

4 49

521

712

536

4 712

68

в) (1 56

– 12 ) : ( 7

15 – 2

5 ) = (1 56

– 36 ) : ( 7

15 – 6

15 ) == 1 2

6 : 1

15 = 1 1

3 : 1

15 = 4

3 ∙ 15 = 20

г) (1,1 + 3,45) ∙ (7 – 3,3) = 4,55 ∙ 3,7 = 16,835


а) 721,256 ∙ 0,908 = 654,900448;

б) 91,9734 : 2,54 = 36,21;

в) 6,93 : 1,44 + 5,439 = 10,2515.


а) 23

: 57

+ 23

∙ 57

= 23

∙ 75

+ 23

∙ 57

= 1415

+ 1021

= 98 + 50105

= 148105

= 1 43105

;

б) 3 1115

: 712

– 2,075 = 5615

∙ 127

– 2,075 = 325

– 2,075 = 6,4 – 2,075 = 4,325;

в) (2 718

– 712 ) ∙ (0,45 + 5,2) = (1 50

36 – 21

36 ) ∙ 5,65 = 6536

∙ 565100

= 1336

∙ 1134

= 1 469144

= 10 29144

.


25

∙ (1,6 + 4,7) = 25

∙ 6,3 = 25

∙ 6310

= 6325

= 2 1325

= 2,52.


а) 2 + 3,7 ∙ 0,3 = 2 + 1,11 = 3,11; б) 35

+ 716

∙ 1415

= 35

+ 49120

= 121120

= 1 1120

.


О = 2(а + b) = 2 ∙ (2,31 + 11,1) = 26,82 cm; P = a ∙ b = 2,31 ∙ 11,1 = 25,641 cm2.

2,33,451,1 7 3,3

4,55 3,7

16,835

20

1 56

12

715

25

1 13

115

б) 4 49

+ 521

∙ 712

= 4 49

+ 536

= 4 1636

+ 536

= 4 2136

= 4 712

425

47

18

2556

114

4 49

521

712

536

4 712

69


а) 4 ∙ x = 52

x = 52 : 4

x = 13;

б) x : 6 = 42

x = 42 ∙ 6

x = 252;

в) 704 : x = 64

x = 704 : 64

x = 11.


а) Непознати чинилац одређујемо тако што производ поделимо познатим чиниоцем.

б) Непознати дељеник одређујемо тако што делилац помножимо количником.

в) Непознати делилац одређујемо тако што дељеник поделимо количником.


а) x = 23

; б) x = 58

; в) x = 1 19

; г) x = 9,2.


а) x = 9,38; б) x = 1112

; в) x = 1027

; г) x = 0,1064.


а) x = 1625

; б) x = 1 23

; в) x = 242 67

; г) x = 2.


Једначине


а) 2,3 ∙ x + 0,505 = 5,91

2,3 ∙ x = 5,91 – 0,505

2,3 ∙ x = 5,405

x = 5,405 : 2,3

x = 2,35;

б) x ∙ 1,2 – 0,088 = 1,1

x ∙ 1,2 = 1,1 + 0,088

x ∙ 1,2 = 1,188

x = 1,188 : 1,2

x = 0,99;

в) 10,7 – 2,5 ∙ x = 1,45

2,5 ∙ x = 10,7 – 1,45

2,5 ∙ x = 9,25

x = 9,25 : 2,5

x = 3,7.

2,3

0,09

3,91

3,774

1,184

2,59

0,60,222

:∙

2,22

1,7 0,37

0,153

0,43808

7

135

14

53

13

192 20

125

203

180

70


а) 23

∙ (5 14

+ x) = 4,2

5 14

+ x = 4,2 : 23

5 14

+ x = 215

∙ 32

5 14

+ x = 6310

x = 6,3 – 5,25

x = 1,05;

б) 67

∙ (x – 37 ) = 9

x – 37

= 9 : 67

x – 37

= 9 ∙ 76

x = 212

+ 37

x = 14714

+ 614

x = 15314

x = 10 1314

;

в) 1 29

∙ ( 35

– x) = 16

35

– x = 16

: 1 29

35

– x = 16

∙ 911

35

– x = 322

x = 35

– 322

x = 66110

– 15110

x = 51110

.


Поставци задатка одговара једначина (1 – 15 ) ∙ x = 640, где је x количина новца коју је

Јована понела на излет. Решавајући једначину добијамо да је x = 800, тј. Јована је понела 800 динара на излет.


Ако са x означимо тражени број, онда треба решити једначину x : 34

– 1 = 65

. Тражени

број је 1 1320

.


Тражени број је решење једначине ( 58

+ 14,7) : x = 2,5. Дакле, тражени број је 6,13.


Нека је b дужина крака посматраног троугла. Тада је 4,7 + 2b = 11,3, одакле добијамо да је b = 3,3 cm.


Нека је a дужина странице посматраног квадрата. Тада је 4 ∙ (a + 0,3) = 34, одакле добијамо да је a = 8,2 cm.


На пример: У једној врећи се налазило 6,7 килограма брашна. Од те количине напуњено неколико мањих кеса, тако да је у свакој било 1,2 килограма, и у врећи је остало 0,7 килограма. Колико мањих кеса је напуњено брашном?

71


Неједначине

а) 5 ∙ x > 100

x > 100 : 5

x > 20;

б) 5 ∙ x < 100

x < 100 : 5

x < 20;

в) x : 3 > 33

x > 33 ∙ 3

x > 99;

г) x : 3 < 33

x < 33 ∙ 3

x < 99;

д) 1 000 : x > 25;

x < 1 000 : 25

0 < x < 40;

ђ) 1 000 : x < 25

x > 1 000 : 25

x > 40.

Примети да 0 није решење неједначине под д), јер дељење нулом није дозвољено. Број 0 јесте решење неједначина под б) и г).


а) x < 0,02

б) x ≥ 10,001

в) x > 12 320

г) x ≤ 2,7


а) 3 13

∙ x > 10 16

x > 3 120

;

б) 3 13

∙ x ≤ 3,3

x ≤ 0,99;

в) 3 13

∙ x ≥ 4 27

x ≥ 1 27

.


Ако са x означимо број оловака који се може купити, онда је x ∙ 39,99 ≤ 275. Из последњег

следи да је x ≤ 6 3 5063 999

. Дакле, за 275 динара може се купити највише 6 графитних

оловака.

00 1 2 3

10,0011

0 0,10,02

0 10,0011

10 1

2,7

12 320

72


а) x > 4 67

б) x ≥ 522

в) x ≤ 1 27

г) x < 4,60138


а) x : 2,5 > 56

x > 2 112

;

б) x : 2,5 ≤ 0,56

x ≤ 1,4;

в) x : 2,5 ≥ 10 25

x ≥ 26.


Ако са x означимо количину сладоледа који је Лена направила, онда је x : 0,125 > 8. Из последњег следи да је x > 1. Дакле, Лена је направила више од једног литра сладоледа.


а) На основу 27

: 1 = 27

, 27

: 10 = 270

, 27

: 0,01 = 2007

и 270

< 27

< 13

< 2007

, закључујемо да

бројеви 1 и 10 нису решења неједначине 27

: x > 13

, а број 0,01 јесте. Решења неједначине

27

: x > 13

јесу сви бројеви x такви да је 0 < x < 67

.

б) Бројеви 0,01 и 1 јесу решења неједначине 4 35

: x ≥ 715

, а број 10 није. Решења

неједначине 4 35

: x ≥ 715

јесу сви бројеви x такви да је 0 < x ≤ 9 67

.

0 1

0 1 2 4 5

0 1 2 3 4 5

00 1 2 3 4 54,60138

0 1 2

4 67

522

1 27

0 2167

0 2 4 6 81 3 5 7 910

9 67

в) Бројеви 1 и 0,01 нису решења неједначине 3,5 : x < 0,8, а број 10 јесте. Решења неједначине 3,5 : x < 0,8 јесу сви бројеви x такви да је x > 4,375.

0 2 41 3 54,375 6

73

г) Бројеви 1 и 10 јесу решења неједначине 720

: x < 8,75, а број 0,01 није. Решења

неједначине 720

: x < 8,75 јесу сви бројеви x такви да је x > 0,04.


а) 4,2 : x ≤ 16

x ≥ 25,2;

б) 4,2 : x > 6

0 < x < 0,7;в) 4,2 : x < 10 2

5x > 21

52.


Ако са x означимо број једнаких делова на које ћемо поделити брашно, онда су решења задатка сви природни бројеви x који су решења обе од неједначина 23,8 : x > 0,5 и 23,8 : x < 0,6, тј. за које важи 0,5 < 23,8 : x < 0,6. Добијамо да је

39 23

< x < 47 35

, па закључујемо да дату количину брашна можемо поделити на 40, 41, 42,

43, 44, 45, 46 или 47 једнаких делова тако да сваки део буде између 500 g и 600 g.


а) 1,55 < x ≤ 1,9; б) x ≥ 3,2.


а) 3 13

∙ x + 35

≤ 1 12

3 13

∙ x ≤ 1 12

– 35

103

∙ x ≤ 1510

– 610

103

∙ x ≤ 910

x ≤ 910

: 103

x ≤ 910

∙ 310

x ≤ 0,27

0 0,10,04

0 10,27

б) 1 37

∙ x – 8,9 ≥ 1,1

1 37

∙ x ≥ 1,1 + 8,9

107

∙ x ≥ 10

x ≥ 10 : 107

x ≥ 10 ∙ 710

x ≥ 7

0 101 2 3 4 5 6 7 98

0 21 2,4 3

0 101 2 3 4 5 6 7 98

0 21 2,4 3

в) 7,9 – 2,5 ∙ x > 1,92,5 ∙ x < 7,9 – 1,92,5 ∙ x < 6x < 6 : 2,5x < 2,4

74


Закључна оцена се формира на основу просека свих оцена. Како је5 + 4 + 3 + 5 + 5 + 5

6 = 27

6 = 4,5, ученику би требало закључити оцену 5.


Аритметичка средина

I резултат

II резултат

уписани резултат

Ивана (скок у даљ) 6,94 m 7,08 m 7,01 m

Емир (400 m с препонама) 49,98 s 48,76 s 49,37 s

(6,94 + 7,08) : 2 = 14,02 : 2 = 7,01 m

(49,98 + 48,76) : 2 = 98,74 : 2 = 49,37 s


а) 5 + 92

= 142

= 7

7 – 5 = 2, 9 – 7 = 2

б) 100 + 3002

= 4002

= 200

200 – 100 = 100, 300 – 200 = 100

0 2 41 3 5 76 8 9 10

2 2

0 100 200 300

100 100

400

в) 2,5 + 8,32

= (2,5 + 8,3) : 2 = 10,8 : 2 = 5,4

5,4 – 2,5 = 2,9; 8,3 – 5,4 = 2,9

г)

23

+ 54

2 =

812

+ 1512

2 =

23122

= 2324

2324

– 23

= 2324

– 1624

= 724

, 54

– 2324

= 3024

– 2324

= 724


а) На основу 5 + x2

= 5,5 или 5,5 – 5 = x – 5,5, закључујемо да је x = 6.

б) На основу 3,5 + x2

= 5,5 или 5,5 – 3,5 = x – 5,5, закључујемо да је x = 7,5.

в) На основу 1 + x2

= 5,5 или 5,5 – 1 = x – 5,5, закључујемо да је x = 10.

0 41 5,4 8,3 10

2,9 2,9

2,5 7

01

23

54

724

724

2324

75


Поступити као у Примеру 3, на 186. страни уџбеника.


Поступити као у Примеру 3, на 186. страни уџбеника.


а) На основу 51 + 45 + x3

= 45 или 51 – 45 = 45 – x, закључујемо да је x = 39.

б) На основу 54 + 47 + x3

= 45 или 54 – 45 + 47 – 45 = 45 – x, закључујемо да је x = 34.


а) Мика је висок 138 cm.

б) Пера је висок 124 cm.

в) Лаза је висок 138 cm.


Просечна цена јабука у тој продавници је 107,49 динара по килограму.


а) 3 + 4 + 5 + 4 + 5 + 56

= 266

= 133

= 4 13

0 1 2 3 4 5 6

0 2010

24,75

40 503012 27

4 13

б) 10 + 27 + 12 + 504

= 994

= 24,750 1 2 3 4 5 6

0 2010

24,75

40 503012 27

4 13


а) На основу просечне висине три дечака и висине једног од њих не могу се одредити висине друга два дечака, али се може одреди збир њихових висина. На основу датих података закључујемо да је збир висина Пере и Лазе једнак 240 cm.

76


Висина Прва могућност Друга могућност Трећа могућност

Пера 137 cm 138 cm 148 cm

Лаза 111 cm 110 cm 100 cm


У случају Екипе 1, на основу 10 < 11 + 10,2 + 10,5 + x4

< 11,5, закључујемо да је

8,3 < x < 14,3, где је x време (у секундама) за које је четврти тркач истрчао свој део стазе.

У случају Екипе 2, на основу 10 < 10,8 + 9,9 + x + y4

< 11,5, закључујемо да је

19,3 < x + y < 25,3, где x и y означавају времена (у секундама) трећег и четвртог тркача.


Ако на плану стана 5 mm представља 1 m у стварности, онда 1 mm на плану представља 20 cm у стварности.

а) Како је плану дужина терасе 25 mm, закључујемо да је дужина терасе у стварности једнака 25 ∙ 20 = 500 cm = 5 m.

б) Димензије дечје собе на плану су 18 mm и 27 mm, па су димензије дечје собе у стварности 3,6 m и 5,4 m.

Размера

10203040

6070

просечна висина

80

50

90

100110120

висина (cm)

МикаПера Лаза

130140

10203040

6070


80

50

90

100110120

висина (cm)


130140

10203040

6070


80

50

90

100110120

висина (cm)


130140

Прва могућност Друга могућност Трећа могућност

б) Висина Прва могућност Друга могућност Трећа могућност

Пера 120 cm 130 cm 115 cm

Лаза 120 cm 110 cm 125 cm

77

в) План стана можемо да изделимо на три правоугаоника чије области немају заједничких тачака. Један правоугаоник чини тераса, други спаваћа соба, а трећи ходник, дечја соба, купатило и дневни боравак са трпезаријом и кухињом. На плану димензије првог од уочених правоугаоника су 25 mm и 10 mm, другог 24 mm и 36 mm, трећег 52 mm и 40 mm. На основу тога следи да су њихове димензије у стварности: 5 m и 2 m; 4,8 m и 7,2 m, 10,4 m и 8 m. Према томе, површина стана је P = 5 ∙ 2 + 4,8 ∙ 7,2 + 10,4 ∙ 8 = 127,76 m2.


а) Како је 5 : 35 = 1 : 7, 35 : 5 = 7 : 1 и 7 : 49 = 1 : 7, закључујемо да су размере 5 : 35 и 7 : 49 једнаке, тј. 5 : 35 = 7 : 49.

б) Међу датим размерама нема једнаких.

в) Размере 4,5 : 25 и 0,09 : 0,5 једнаке, тј. 4,5 : 25 = 0,09 : 0,5.


Прво уочавамо да је 60 km = 60 000 000 mm. Према томе, размера карте је 12 : 60 000 000 = 1 : 5 000 000.


Када купимо паковање воде од 1,5 ℓ, онда смо један литар платили 44,91 : 1,5 = 29,94 динара, а када купимо паковање од 5 ℓ, онда смо један литар платили 141,99 : 5 = 28,398 динара. Према томе, ако купујемо већу количину воде, исплативије је куповати воду у паковањима од 5 ℓ.


Упоредићемо размере добијеног и враћеног новца. Како је 132 000 : 162 000 = 22 : 27,

а 108 000 : 135 000 = 4 : 5 и 2227

> 45

, закључујемо да је први кредит повољнији (повољније

је за добијених 132 000 динара вратити 162 000 динара него за добијених 108 000 динара вратити 135 000 динара).


а) Стварном растојању од 5 km на карти које одговара растојање од 5 : 200 000 = 0,000025 km = 25 mm.

б) Растојање на карти од 5 mm представља стварно растојање од 5 ∙ 200 000 = 1 000 000 mm = 1 km.


а) AC : AB = 1 : 4; б) AE : AB = 3 : 4; в) AC : CB = 1 : 3; г) AD : DB = 1 : 1; д) AE : EB = 3 : 1.

78


а) 15

= 20100

; б) 1325

= 52100

; в) 2750

= 54100

; г) 32

= 150100

; д) 174

= 425100

.


а) 0,3 = 30100

; б) 0,03 = 3100

; в) 0,33 = 33100

.

Проценти


а) 5% = 5100

= 0,05; 5% = 120

; б) 10% = 10100

= 0,10; 10% = 110

;

в) 40% = 40100

= 0,40; 40% = 25

; г) 75% = 75100

= 0,75; 75% = 34

;

д) 32,5% = 32,5 : 100 = 325 : 1 000 = 3251 000

= 0,325; 32,5% = 1340

;

ђ) 53,2% = 53,2 : 100 = 532 : 1 000 = 5321 000

= 0,532; 53,2% = 133250

.


Нека је C тражена подеона тачка.

а) Ако је AC : CB = 1 : 1, онда је AC = CB = 12

∙ AB = 6 cm.

б) Ако је AC : CB = 1 : 2, онда је AC = 13

∙ AB = 4 cm а CB = 23

∙ AB = 8 cm.

в) Ако је AC : CB = 3 : 1, онда је AC = 34

∙ AB = 9 cm а CB = 14

∙ AB = 3 cm.

г) Ако је AC : CB = 1 : 5, онда је AC = 16

∙ AB = 2 cm а CB = 56

∙ AB = 10 cm.

д) Ако је AC : CB = 3 : 7, онда је AC = 310

∙ AB = 3,6 cm а CB = 710

∙ AB = 8,4 cm.


Ана ће добити 35

од укупног броја бомбона, тј. 15 бомбона, а Марко 25

од укупног броја

бомбона, тј. 10 бомбона.


Поступити као у Примеру 5, Поступити као у примеру 5.на 191. страни уџбеника. на 191. страни уџбеника.

79

Задатак 10. (197. страна)Цена производа после појефтињења од 20% је била 0,8 ∙ 850 = 680 динара. Након повећања од 20% које је уследило, цена производа је 1,2 ∙ 680 = 816 динара.


У тој школи дечаци чине 408750

= 0,544 = 54,4% свих ученика.


Цена је повећана за 286 – 275275

= 11275

= 0,04 = 4%.


После појефтињења од 20%, цена производа је 800 динара. Да би цена поново била 1 000

динара, треба је повећати за 1 000 – 800800

= 200800

= 0,25 = 25%.

Задатак 14. (198. страна)Поступити као у Примеру 8, на 198. страни уџбеника.

Задатак 4. (196. страна)Како је 2% ∙ 500 = 10, у паковању од 500 g сира има 10 g млечне масти.

Задатак 5. (196. страна)Нова цена је 120% ∙ 740 = 888 динара.

Задатак 6. (196. страна)а) 1% ∙ 120 = 1,2; 1% ∙ 300 = 3; 1% ∙ 752 = 7,52; 1% ∙ 1 240 = 12,4.б) 20% ∙ 200 = 40; 20% ∙ 36 = 7,2; 20% ∙ 2 500 = 500.в) 50% ∙ 240 = 120; 50% ∙ 42 = 21; 50% ∙ 6 200 = 3 100.

Задатак 7. (196. страна)а) У одељењу има има 15 девојчица и 10 дечака.б) На крају претходне школске године све петице је имало 5 ученика.в) У хору пева четворо ученика.г) Десном руком пишу 22 ученика.

Задатак 8. (196. страна)Ако са x означимо првобитну цену производа, онда се решавање задатка своди на решавање једначине 1,3 ∙ x = 390. Одатле добијамо да је x = 300, тј. првобитна цена производа је била 300 динара.

Задатак 9. (196. страна)Ако са x означимо првобитну цену производа, онда се решавање задатка своди на

решавање једначине 34

∙ x = 540. Одатле добијамо да је x = 720, тј. првобитна цена

производа је била 720 динара.

80


1) Тачке A и A1 су једнако удаљене од праве s.

2) Праве s и p(A, A1) секу се под правим углом.

3) Било која тачка праве s једнако је удаљена од тачака A и A1.



s

AB

C

D

E

FG

s

AB

C

D

E

FG

s

AB

C

D

E

FG

s

A B

C

D

E

F G

1) 2)

3) 4)

A1

B1

C1

D1

E1

G1

F1

A1

B1

C1

D1

E1

G1

F1

A1

B1

C1

D1

E1

F1

G1

D1

E1C1

B1A1

F1G1

s

s1) 2)

ОСНА СИМЕТРИЈА

Осна симетрија

81

A

B

CA1

s

BA

A1

B1


Обим четвороугла ABB1A1 једнак је 20 cm.


Угао између правих p и p1 једнак је 2 ∙ 29° = 58°.


1) Углу PAQ симетричан је, у односу на s, угао PA1Q.

2) Углу APQ симетричан је, у односу на s, угао A1PQ.

3) Углу AQA1 симетричан је, у односу на s, угао A1QA.

4) Углу A1QP симетричан је, у односу на s, угао AQP.


1) pOp1 = 68°; 2) p1Oq1 = 90°; 3) qOq1 = 112°.





A

B

sA1

B1

5 cm

2 cm

3 cm 3 cm

5 cm

2 cm

s

B

A A1

B1s

A

P P1A1p

p1

82

OO1

k(O, 3 cm)s

O

O1

t

Tk(O, OT)

s

q

q1

Q

Q1

E

F F1

G G1

E1






Права t је тангента и добијене слике кружнице k(O, OT), јер је дуж O1T нормална на t.

Троуглови ABC и A2B2C2 су централносиметрични у односу на пресек правих a и b.

A

B

C C1

A1

B1

B2

A2

C2

a

b

83

pp p1) 2) 3) p4)

0 0 1 1 2 0 1


Добија се облик приказан под 3).


Испод сваког слова наведен је број оса симетрије.


Осносиметрични знаци су: први, други, трећи, четврти и пети.


За сваку фигуру нацртане су све њене осе симетрије.


1) Треба обојити најмање 8 квадрата. 2) Треба обојити најмање 7 квадрата.

3) Треба обојити најмање 9 квадрата. 4) Треба обојити најмање 9 квадрата


1) 7, 4 cm; 2) 10, 8 cm; 3) 8 cm; 4) 12 cm.

Оснoсиметричне фигуре

84


Дуж делимо на четири једнака дела тако што је најпре поделимо на два једнака дела, а затим конструишемо симетрале обе половине.


1) Место на коме је закопано благо налази се на симетралама дужи које одређују било које две палме.

2) Поступити као у Примеру 1, на 207. страни уџбеника.

A C

Симетрала дужи


1)

BP

Улица симетрала

P

2) Тражена тачка је пресек праве u и симетрале дужи BP.


Тангента је нормала на праву p(O, T) у тачки T.

закопано благо

аутобуско стајалиште

85





A

pP

k(A, AP)

0 1 2 3 4 5 6

A

3 cm

A B

D

A B

D C

3 cm

0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6

AA B

D

3 cm

3 cm

5 cm

5 cm A B

D

3 cm

5 cm

C

p

A

BC

D1) 2)

p

A

C

DB

86


Прво је конструисан лук кружнице k(P, r) који сече праву s у двема тачкама O1 и O2, при чему је r произвољно изабрано и веће је од растојања тачке P од праве s. Нека је P1 пресечна тачка кружница k1(O1, O1P) и k2(O2, O2P), која је различита од P. Права s је симетрала дужи PP1, па је P1 осносиметрична тачки P у односу на s.


1) Прво треба одредити подножје N нормале из тачке C на праву p(A, B). Тражена права је симетрала дужи CN.

2) Постоје три праве које задовољавају постављене услове.


Угао делимо на четири једнака дела тако што га најпре поделимо на два једнака дела, а затим конструишемо симетрале обе половине.



Симетрале упоредних углова образују прав угао.

sOs1 = sOq + qOs1 = pOq : 2 + p1Oq : 2 = ( pOq + p1Oq) : 2 = 180° : 2 = 90°

P

s

P

s

P

s

P1P

s

O2

O1

O2

O1

O2

O1

O p

q

22°30’45°

O p

q

45°135°

67°30’

O p

q112°30’

45°

1) 2) 3)

p

q

O p1

s

s1

Симетрала угла

87


cOd = (180° – 44° ) : 2 = 68°



O s pOq

p

q

A

a

O s pOq

p

q

P

Q

L

a

b

T

A

O

O1

МАТЕМАТИКА 5 - klett.rs · 4 Задатак 1. (12. страна) а) Полазећи...

Documents

Transcript of МАТЕМАТИКА 5 - klett.rs · 4 Задатак 1. (12. страна) а) Полазећи...